Математические модели для многочастичной задачи на квантовом графе и для туннелирования Специальность 05.13.18 Ч математическое моделирование, численные методы и комплексы программ А В Т О Р Е Ф Е Р А Т диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук Саранск

Авторефераты по всем темам >> Авторефераты по техническим специальностям

На правах рукописи

Еремин Дмитрий Александрович Математические модели для многочастичной задачи на квантовом графе и для туннелирования Специальность 05.13.18 Ч математическое моделирование, численные методы и комплексы программ А В Т О Р Е Ф Е Р А Т диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Саранск - 2012

Работа выполнена на кафедре математического анализа Мордовского государственного университета им. Н. П. Огарева.

Научный руководитель Ч доктор физико-математических наук, профессор И. Ю. Попов Официальные оппоненты Ч доктор физико-математических наук, профессор В. М. Уздин кандидат физико-математических наук, доцент М. А. Пятаев Ведущая организация Ч Санкт-Петербургский государственный университет аэрокосмического приборостроения

Защита состоится 22 марта 2012 г. в 14 час. 00 мин. на заседании диссертационного совета Д 212.117.14 при Мордовском государственном университете им Н. П. Огарева по адресу: 430005, г. Саранск, пр. енина, д. 15, ауд. 110.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Мордовского государственного университета им Н. П. Огарева.

Автореферат разослан 2012 г.

Ученый секретарь диссертационного совета доктор физико-математических наук, профессор Н. Д. Кузьмичев

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Современное развитие наноэлектроники делает необходимой задачу теоретического исследования различных квантовых наносистем. Это связано в первую очередь с практической возможностью создания подобных структур. Квантовые свойства наносистем могут зависеть от различных факторов (от геометрической формы, от вида соединения структур, от направления и напряженности магнитного поля и т.д.), поэтому возникает не только теоретический, но и практический интерес в нахождении и исследовании данных зависимостей.

Следует также отметить, что кроме исследования квантовых свойств наноструктур, важно исследовать возмущения в подобных объектах, в частности короткодействующими потенциалами. Такие системы можно исследовать с помощью модели потенциалов нулевого радиуса. При использовании данной модели описание объектов сводится к построению возмущения оператора апласа и исследованию его спектра.

В некоторых случаях адекватной моделью наносистем является квантовый граф. Математическая теория одночастичных задач для квантовых графов достаточно хорошо развита. В то же время, многочастичные задачи рассматривались только для некоторых простых типов систем. Эти задачи являются более сложными, поскольку размерность конфигурационного пространства многократно возрастает в зависимости от числа частиц. С другой стороны, без учета взаимодействия частиц невозможно эффективно моделировать многие наноустройства, в частности, элементы квантового компьютера.

Целью исследования является:

1. построение модели ипкого квантового графа на сфере и ее верификация;

2. разработка численного метода аппроксимации сингулярного потенциала, сосредоточенного на кривой, регулярными потенциалами специального вида;

3. построение и изучение модели многочастичного квантового графа;

4. построение и изучение модели наносферы с двумя проводниками в магнитном поле;

5. разработка комплекса программ для вычисления энергетических уровней двухчастичной системы и коэффициента прохождения для сферы в магнитном поле;

6. изучение влияния интенсивности взаимодействия частиц между собой на энергетические уровни;

7. изучение зависимости коэффициента прохождения от напряженности магнитного поля.

Объектом исследования являются математическая модель ипкого квантового графа, модель двухчастичного квантового графа и модель наносферы с двумя проводниками.

Научная новизна и значимость работы определяется следующими результатами исследования.

1. Развит математический аппарат моделирования ипких квантовых графов на сфере и многочастичных квантовых графов на базе спектральной теории самосопряженных операторов.

2. Разработан численный метод аппроксимации -потенциала, сосредоточенного на кривой, регулярными потенциалами.

3. Создан комплекс программ для численного исследования энергетических уровней двухчастичной модели и коэффициента прохождения для наносферы с двумя проводниками.

4. Исследована зависимость энергетических уровней двухчастичной модели от интенсивности взаимодействия частиц между собой.

5. Найдена зависимость коэффициента прохождения для наносферы с двумя проводниками от напряженности магнитного поля.

Методологическую и теоретическую основу исследования составили труды российских и зарубежных исследователей в области математического моделирования физических систем с использованием метода потенциалов нулевого радиуса.

Основные результаты, выносимые на защиту.

1. Математическая модель ипкого квантового графа на сфере.

2. Численный метод аппроксимации -потенциала, сосредоточенного на кривой, гладкими потенциалами специального вида.

3. Обоснование предложенного метода путем построения последовательности обычных гамильтонианов, сходящихся к исходному гамильтониану с сингулярным потенциалом.

4. Математическая модель двухчастичной задачи для проводника с квантовым кольцом.

5. Математическая модель наносферы с двумя проводниками в магнитном поле.

6. Программные комплексы для решения поставленных задач:

программный комплекс, написанный на языке C++, для расчета и построения спектра двухчастичной задачи;

программа, написанная на языке C++, для численного исследования зависимости коэффициента прохождения для сферы с двумя проводниками от параметров системы и напряженности магнитного поля.

Практическая значимость работы заключается в следующем:

1. используемые в работе методы и модели могут быть использованы при исследовании особенностей электронного транспорта в других наноструктурах;

2. полученные в работе результаты могут быть использованы для исследования транспортных и спектральных свойств многочастичных наноэлектронных устройств и сферических наноструктур при наличии в них примесей;

3. разработанный численный метод может быть использован при математическом моделировании сферических наноструктур с сингулярным потенциалом (например, содержащих квантовый провод);

4. результаты проведенного численного анализа зависимости коэффициента прохождения от напряженности магнитного поля могут быть использованы при разработке новых наноэлектронных приборов.

Апробация результатов работы. Результаты работы прошли апробацию на конференциях и семинарах:

1. Третья Всероссийская научная конференция "Дифференциальные уравнения и краевые задачи", Самара, май 2006 г.

2. Конференция молодых ученых, аспирантов и студентов МордГУ, Саранск, ноябрь 2007 г.

3. VII Всероссийская межвузовская конференция молодых ученых, Санкт-Петербург, апрель 2010 г.

4. Дифференциальные уравнения и их приложения в математическом моделировании, Саранск, июль 2010 г.

5. Конференция молодых ученых, аспирантов и студентов МордГУ, Саранск, апрель 2011 г.

6. Пятая международная научная школа-семинар "Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ" имени Е.В. Воскресенского, Саранск, июль 2011 г.

7. Восьмая Всероссийская научная конференция "Дифференциальные уравнения и краевые задачи", Самара, сентябрь 2011 г.

8. XXXX Огаревские чтения, Саранск, декабрь 2011 г.

Публикации. Основное содержание диссертации отражено в 7 опубликованных статьях, в том числе, 3 из Перечня ВАК.

Структура и объем диссертационной работы. Диссертация изложена на 115 страницах машинописного текста. Содержит введение, три главы, два приложения, заключение, 17 рисунков, список итературы, содержащий 129 наименований.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность и научная новизна работы.

Сформулирована цель работы, указана теоретическая и практическая значимость полученных результатов. Дано описание существующих результатов по проблематике работы, краткое содержание диссертации и результатов, выносимых на защиту. Приведена краткая история развития модели потенциалов нулевого радиуса.

В первой главе произведено построение возмущения оператора Бельтрами-Лапласа -потенциалом, сосредоточенным на множестве нулевой меры, а именно на кривой. Соответствующую математическую модель называют ипким квантовым графом. Корректное описание подобных моделей можно задать при помощи теории самосопряженных расширений симметрических операторов. Разработан и обоснован численный метод аппроксимации -потенциала, сосредоточенного на кривой, регулярными потенциалами специального вида. Данный метод может быть использован при математическом моделировании сферических наноструктур с сингулярным потенциалом и является решением задачи о верификации модели ипкого квантового графа, то есть предложен такой выбор параметров расширения гамильтониана, при котором модель ипкого квантового графа соответствует некоторой реальной задаче.

В первом параграфе первой главы произведено описание математической модели ипкого квантового графа на единичной сфере S2, то есть рассмотрены область на единичной сфере с гладкой границей и оператор Бельтрами-Лапласа ( ) 2 1 BL = + ctg +.

2 sin2 Пусть Lin Ч оператор Бельтрами-Лапласа на , а Lex Ч на области S2 \ . Построение модели возмущения самосопряженного оператора L = Lin Lex потенциалом, сосредоточенным вдоль кривой , произведено с помощью метода Усужения-расширенияФ. Для этого рассмотрено сужение оператора L на множество D = {(f1(x), f2(x)) C(S2) : f1(x) = f2(x) = 0 x }, и найдена область определения самосопряженного расширения оператора L. С этой целью выбран элемент из области определения оператора L, удовлетворяющий граничному условию < Lf(x)|g(x) > - < f(x)|Lg(x) >= 0.

Переходом к полярным координатам (r, ), показано, что самосопряженные расширения могут быть описаны граничными условиями на (ортогональной проекции ) для функции и ее производных:

f f f|ex = f|in, - (r(), )f|in, = ex in r r где Ч некоторая гладкая функция.

Во втором параграфе первой главы в новой системе координат sin =, (1 - sin )P () = , переводящей границу в единичную окружность = 1 на плоскости, введен короткодействующий потенциал A ( ) - A(, ) = -1 (1, ), где (u) Ч гладкая функция, удовлетворяющая условиям + (u) 0 u R, supp [-1, 1], (u)du = 1.

- Показано, что последовательность потенциалов A(, ) при 0 аппроксимирует сингулярный потенциал, сосредоточенный на кривой . Обозначая через R(), R0(), R() резольвенты операторов L, L0 Ч оператор Бельтрами-Лапласа и L = L0 + A, соответственно, доказана Теорема 1 Для достаточно больших || ( = 0) резольвен ты R() сходятся к резольвенте R() при 0 в банаховом пространстве B(L2(R2), H1(R2)).

Во второй главе произведено описание и построение двухчастичных задач в проводнике и кольце, на основе которых построена двухчастичная модель для системы Упроводник-кольцоФ. Описана одночастичная модель для аналогичной системы. Каждая модель исследована на энергетические уровни, отмечено влияние взаимодействия частиц на основное состояние двухчастичной системы.

В первом параграфе второй главы рассмотрен гамильтониан системы двух невзаимодействующих частиц на прямой, который может быть записан в виде ( ) 2 H0 = - +, 2m x2 yс пространством состояний D(H0) = H2(R2). Для удобства использована система единиц, в которой = 1, m = 1.

Функция Грина оператора H0 известна и представима в виде ( ) G0(r, r0; z) = K0 -2z|r - r0|, r, r0 R2, z C\[0; +), здесь K0 Ч функция Макдональда.

Оператор H1, описывающий поведение двух взаимодействующих частиц на прямой (взаимодействие считается точечным), формально может быть записан в виде H1 = H0 + l(y - x), где l Ч интенсивность взаимодействия частиц между собой.

Строгое математическое построение оператора H1 произведено с помощью теории расширений симметрических операторов. С этой целью рассмотрено сужение S оператора H0 на множество функций, равных нулю на диагонали конфигурационного пространства, то есть D(S) = { D(H0) : (x, x) = 0}.

Доказана Теорема 2 -поле и Q -функция пары операторов (S, H0) действуют по правилу f G (z)f = G0(x, y, x0, x0; z)f(x0)dx0, R Q(z)f = (G0(x, x, x0, x0; z) - G0(x, x, x0, x0; -1))f(x0)dx0.

R Гамильтониан системы Ч две взаимодействующие частицы на прямой Ч рассмотрен как самосопряженное расширение оператора S. Обозначим через R(z), R0(z) резольвенты H1 и H0, соответственно.

Тогда по формуле Крейна получаем ( ) R(z) = R0(z) - (z) [Q(z) + A]-1 z, где A = Ч параметр, характеризующий самосопряженные расшиl рения оператора S.

Найдено ядро резольвенты R(z), то есть функция Грина G1(x, y, x0, y0; z) оператора H( ) G1(x, y, x0, y0; z) = K0 -2z (x - x0)2 + (y - y0)2 ) ( s |x-y|+|x0-y0| s2-4z 1 le x+y-(x0+y0) e- ( ) ds, z C\[0; +).

2 l + 2 s2 - 4z s2 - 4z R Во втором параграфе второй главы, аналогично случаю на прямой, рассмотрено поведение двух взаимодействующих частиц в кольце.

Гамильтониан Hr,0, описывающий поведение двух невзаимодействующих частиц в кольце, имеет вид ( ) 1 2 Hr,0 = - +, 22 2 1 где Ч радиус кольца, с пространством состояний { } ( ) D(Hr,0) = H2 T2 : | =- = | =, =.

j j j=- j= j j Здесь T = [-, ], j = 1, 2.

Функция Грина найдена в виде 1 1 1 em( - )en( - ) G0(1, 2, . ; z) =.

1 22 m2 + n2 - 2zn,m Оператор Hr, описывающий поведение двух взаимодействующих частиц в кольце, формально записан в виде Hr = Hr,0 + l ((2 - 1)).

Строгое построение оператора Hr произведено с помощью техники Усужения-расширенияФ симметрических операторов, доказана Теорема 3 -поле и Q -функция операторов (S, Hr ), действуют по правилу f G (z)f = G0(1, 2, , ; z)f()d, T Q(z)f = (G0(, , , ; z) - G0(, , , ; -1))f()d.

T Найдена функция Грина Gr(1, 2, , ; z) оператора Hr, опи1 сывающего поведение двух взамодействующих частиц в кольце 1 1 1 em( - )en( - ) Gr(1, 2, , ; z) = 1 22 m2 + n2 - 2zn,m 1 l 1 s+t s-t 2 - e 1e 2 3 s2 + t2 - 4z2 las + 2s,t 2 1 e( - )mes z C\[0; +), m2 + (s - m)2 - 2zm где ( ) cth s2 - 4z2/2, s = 2m, m Z, ( ) as(z) = s2 - 4z2 th s2 - 4z2/2, s = 2m + 1, m Z.

В третьем параграфе второй главы произведено построение двухчастичной модели квантового кольца с проводником.

Введены два вспомогательных оператора ( ) { } 1 2 1 H2 = - +, D(H2) = H2 (R T), 2 x2 2 ( ) { } 1 1 2 H3 = - +, D(H3) = H2 (T R), 2 2 2 xописывающих поведение одной из частиц в кольце, а другой Ч в проводнике.

Функции Грина операторов H2 и H3 имеют вид 1 en(x-x )em(- ) G2,3(x, , x, ; z) = dn.

m22 n2 + - 2z m R Рассмотрена система, схематически изображенная на рис.1.

Рис. Схематическое изображение системы.

Пока контакт разомкнут, гамильтониан системы представляет собой прямую сумму H0 = H1 H2 H3 Hr.

Включение контактов смоделировано с помощью процедуры Усужение - расширениеФ. С этой целью рассмотрено сужение S = S1 S2 S3 Sr, где D(S1) = { D(H1) : (0, x) = 0, (x, 0) = 0}, D(S2) = { D(H2) : (0, ) = 0, (x, 0) = 0}, D(S3) = { D(H3) : (, 0) = 0, (0, x) = 0}, D(S4) = { D(H4) : (, 0) = 0, (0, ) = 0}.

Оператор S Ч симметрический, он описывает две частицы в системе изолированных кольца и канала, имеющих проколы в точках x = 0 (в канале) и = 0 (в кольце). Гамильтониан устройства с включенным контактом находится среди самосопряженных расширений полученного оператора, поэтому используется формула Крейна.

Для пары операторов (S, H) -поле и Q -функция Крейна задаются прямыми суммами (z) = 1(z) 2(z) 3(z) r(z), Q(z) = Q1(z) Q2(z) Q3(z) Qr(z).

Здесь отображение ( ) ( ) 1(z) = 1(z) 2(z) = 1(z)1 + 2(z)2, 1 1 1 где 1(z)f(x, y) = G1(x, y, x, 0; z)f(x)dx, R 2(z)f(x, y) = G1(x, y, 0, y; z)f(y)dy, R представляет собой -функцию Крейна пары операторов (S1, H1).

Соответствующая этой паре Q -функция Крейна задается оператором ( ) ( ) Q11(z) Q12(z) 1 Q1(z) =, Q21(z) Q22(z) 1 где Q11(z)f(x) = G1(x, 0, x, 0; z)f(x)dx, R Q12(z)f(x) = G1(x, 0, 0, x; z)f(x)dx, R Q21(z)f(x) = G1(0, x, x, 0; z)f(x)dx, R Q22(z)f(x) = G1(0, x, 0, x; z)f(x)dx.

R Через 2(z) и Q2(z) обозначены -функция и Q -функция Крейна пары операторов (S2, H2) :

( ) ( ) 2(z) = 1(z) 2(z) = 1(z)1 + 2(z)2, 2 2 2 здесь 1(z)f(x, ) = G2(x, , x, 0; z)f(x)dx, R 2(z)f(x, ) = G2(x, , 0, ; z)f()d.

T ( ) ( ) Q11(z) Q12(z) 2 Q2(z) =, Q21(z) Q22(z) 2 где Q11(z)f(x) = G1(x, 0, x, 0; z)f(x)dx, R Q12(z)f(x) = G1(x, 0, 0, ; z)f()d, T Q21(z)f() = G1(0, , x, 0; z)f(x)dx, R Q22(z)f() = G1(0, , 0, ; z)f()d.

T Для пары операторов (S3, H3) соответствующие отображения имеют вид ( ) ( ) 3(z) = 1(z) 2(z) = 1(z)1 + 2(z)2, 3 3 3 здесь 1(z)f(, x) = 2(z)f(x, ), 2(z)f(, x) = 1(z)f(x, ).

3 2 3 ( ) ( ) Q22(z) Q21(z) 2 Q3(z) =.

Q12(z) Q11(z) 2 Через r(z) и Qr(z) обозначены отображения ( ) ( ) r(z) = 1(z) 2(z) = 1(z)1 + 2(z)2, r r r r где 1(z)f(1, 2) = Gr(1, 2, , 0; z)f()d, r T 2(z)f(1, 2) = Gr(1, 2, 0, ; z)f()d.

r T ( ) ( ) Q11(z) Q12(z) r r Qr(z) =, Q21(z) Q22(z) r r где Q11(z)f() = Gr(, 0, , 0; z)f()d, r T Q12(z)f() = Gr(, 0, 0, ; z)f()d, r T Q21(z)f() = Gr(0, , , 0; z)f()d, r T Q22(z)f() = Gr(0, , 0, ; z)f()d.

r T Гамильтониан системы Ч кольцо с присоединенным проводником Ч рассмотрен как самосопряженное расширение оператора S. Это расширение обозначено через H. Его резольвента R(z) найдена по формуле Крейна ( ) R(z) = R0(z) - (z) [Q(z) + A]-1 z, здесь A Ч эрмитов оператор, параметризующий самосопряженные расширения оператора S. Он описывает характеристики контакта, а его вид определяется условиями Кирхгофа:

( ) ( ) f1(x,0) f1(x,0) f2(x,0) f2(x,0) f1(x, 0) = - + -, y+ y- + ( ) ( ) f1(0,y) f1(0,y) f3(0,y) f3(0,y) f1(0, y) = - + -, x+ x- + ( ) ( ) f1(x,0) f1(x,0) f2(x,0) f2(x,0) f2(x, 0) = - + -, y+ y- + ( ) ( ) f2(0,) f2(0,) f4(0,) f4(0,) f2(0, ) = - + -, x+ x- 1+ 1( ) ( ) f3(,0) f3(,0) f4(,0) f4(,0) f3(, 0) = - + -, y+ y- 2+ 2 ( ) ( ) f1(0,y) f2(0,y) f4(0,) f4(0,) f3(0, y) = - + -, x+ x- 1+ 1 ( ) ( ) f3(,0) f3(,0) f4(,0) f4(,0) f4(, 0) = - + -, y+ y- 2+ 2 ( ) ( ) f2(0,) f2(0,) f4(0,) f4(0,) f4(0, ) = - + -, x+ x- 1+ 1поэтому матрица A выбрана в виде 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 A =, 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 где внедиагональные элементы характеризуют УидеальностьФ контакта, а диагональные элементы Ч степень отклонения контакта от идеального. Например, при > 0 движущаяся в проводнике заряженная частица испытывает отталкивание от контакта, а при < 0 Ч притяжение.

В последнем параграфе второй главы с помощью написанной на языке С++ программы (Приложение А) исследована двухчастичная модель квантового кольца с проводником на дополнительные энергетические уровни, найден основной энергетический уровень соответствующей одночастичной модели, он может быть определен из уравнения ( ) - cth -z - 2 = 0.

2z Произведено сравнение численно полученного значения основного энергетического уровня двухчастичной задачи с основным энергетическим уровнем одночастичной задачи в зависимости от различных значений параметра . Сделан вывод, что при уменьшении (увеличении) значения параметра , основной энергетический уровень двухчастичной задачи уменьшается (увеличивается), при этом аналогичное поведение наблюдается и у основного энергетического уровня одночастичной модели. Более того, отмечено, что основные энергетические уровни двухчастичной и одночастичной моделей отличается в два раза, что объясняется увеличением количества частиц.

В предположении, что = 0.1, = 1, найдены энергетические уровни двухчастичных моделей с взаимодействием частиц и без, графики которых представлены на рисунках 2 и 3.

E ------1-1l -5 0 5 Рис. Энергетические уровни двухчастичной модели без взаимодействия частиц.

E ----1l -5 0 5 Рис. Энергетические уровни двухчастичной модели с взаимодействием частиц.

Из данных графиков видно, что взаимодействие частиц приводит к снятию вырождения энергетических уровней системы.

В последней главе диссертации описана математическая модель наносферы с двумя проводниками в постоянном магнитном поле. Найден коэффициент прохождения, исследована его зависимость от энергии, магнитного поля и от расположения точек контакта проводников.

Рассмотрена единичная сфера S R3 с двумя присоединенными проводниками R1,2. Полагается, что проводники и центр сферы распо+ агаются на одной плоскости L, и магнитное поле B перпендикулярно этой плоскости.

dВведены обозначения H1,2 = - Ч гамильтониан свободной чаdxd стицы в проводнике, здесь i Ч оператор импульса для проводника dx (далее используется система единиц, в которой m = 1/2, = 1 ), HS Ч гамильтониан свободной частицы на сфере HS = ( - A( p r))2, где p Ч оператор импульса для сферы, A Ч векторный потенци ал электромагнитного поля. Выбрана симметрическая калибровка, то есть A = B .

r Для УвключенияФ соединения проводникЦсфера использована процедура УсуженияЦрасширенияФ. То есть, сужается оператор H1HS Hна множество функций, равных нулю в точках соединения, и строится самосопряженное расширение данного симметрического оператора, которое дает требуемую модель задачи. Полученное расширение не единственно, оно параметризуется несколькими числами, которые зависят от характеристик контакта.

Граничные условия для волновой функции в точках контакта зада ют инейное соотношение между j(0), j(0) и uj(j), uj(j). Они выбраны в следующей форме { vj(S) = Njuj(S) - Mjj(0), j(0) = Mj uj(S) - Pjj(0).

Коэффициенты Mj, Nj, Pj зависят от свойств контакта в точке qj.

Через Q(E) обозначена Q -матрица Крейна.

GS(q( qj; E), i = j, i ) Qij(E) = lim GS(qj, qi; E) + ln (qj, qi), i = j.

qiqj 2 Используя граничные условия, найден коэффициент прохождения в виде 2kM1M2Q21(E) t12(E) = -, (E) где Q = Q - N, N = diag(N1, N2) и ( ) (E) = -k2|M2|2 (P1 + P2) det Q + |M1|2(1 + Q22) + P1Q11) + ( ) k|M2|2 Q11 + (1 - k2P1P2)(det Q - k2P2|M1|2Q22).

С помощью разработанной на языке C++ программы (Приложение B) вычислен коэффициент прохождения для фиксированных параметров модели. Графики функций T = |t12(E)| показаны на рисунках 4Ц6 для некоторых значений магнитного поля B и проводников, присоединенных к противоположным точкам сферы ( q1 = (0, /2), q2 = (, /2) ).

Замечено, что при некоторых значениях энергии E наблюдаются резонансы Фано и Брейта-Вингера, в отличии от случая отсутствия магнитного поля, в котором резонансы Фано не наблюдаются, если проводники присоединены к противоположным точкам сферы (коллапс резонансов Фано).

T 0.0.0.0.E 2 4 6 8 Рис. Зависимость коэффициента прохождения T от энергии E для проводников, присоединенных к противоположным точкам сферы; значения параметров:

B = 0, q1 = (0, /2), q2 = (, /2), Mj = 1, Nj = -0.1, Pj = 0.1 (j = 1, 2).

B = 0.15, q1 = (0, /2), q2 = (, /2), Mj = 1, Nj = -0.1, Pj = 0.1 (j = 1, 2).

B = 0.3, q1 = (0, /2), q2 = (, /2), Mj = 1, Nj = -0.1, Pj = 0.1 (j = 1, 2).

Графики функций T = |t12(E)| для случая расположения контактов в точках q1 = (0, /2), q2 = (/2, /2) приведены на рисунках 7Ц10.

T 0.0.0.0.E 2 4 6 8 Рис. Зависимость коэффициента прохождения T от энергии E ; значения параметров:

B = 0, q1 = (0, /2), q2 = (/2, /2), Mj = 1, Nj = -0.1, Pj = 0.1 (j = 1, 2).

T 0.0.0.0.E 2 4 6 8 Рис. Зависимость коэффициента прохождения T от энергии E ; значения параметров:

B = 0.1, q1 = (0, /2), q2 = (/2, /2), Mj = 1, Nj = -0.1, Pj = 0.1 (j = 1, 2).

T 0.0.0.0.E 2 4 6 8 Рис. Зависимость коэффициента прохождения T от энергии E ; значения параметров:

B = 0.3, q1 = (0, /2), q2 = (/2, /2), Mj = 1, Nj = -0.1, Pj = 0.1 (j = 1, 2).

T 0.0.0.0.E 2 4 6 8 Рис. Зависимость коэффициента прохождения T от энергии E ; значения параметров:

B = 0.5, q1 = (0, /2), q2 = (/2, /2), Mj = 1, Nj = -0.1, Pj = 0.1 (j = 1, 2).

Основные результаты диссертационной работы.

1. Построена математическая модель ипкого квантового графа на сфере. С помощью построения последовательности регулярных потенциалов, аппроксимирующих сингулярный потенциал, решена задача о верификации модели ипкого квантового графа;

2. Разработан численный метод аппроксимации -потенциала, сосредоточенного на кривой, гладкими потенциалами специального вида, позволяющий моделировать сферические наноструктуры с сингулярным потенциалом, сосредоточенным на кривой;

3. Построена двухчастичная модель квантового кольца с проводником. Установлено, что взаимодействие частиц приводит к снятию вырождения энергетических уровней двухчастичной системы;

4. Найден коэффициент прохождения для наносферы с двумя проводниками в магнитном поле. Установлено, что при наличии магнитного поля наблюдаются резонансы Фано даже в случае противоположного присоединения проводников, в отличии от случая отсутствия магнитного поля.

Список опубликованных работ по теме диссертации:

Статьи в журналах, рекомендованных ВАК для публикации основных результатов диссертационных исследований:

1. Еремин Д. А. Двухчастичная модель проводника с квантовым кольцом // Научно-технический вестник СПбГУ ИТМО. Ч СПб:

СПбГУ ИТМО, 2010. Ч Вып. 5. Ч С. 58-62.

2. Еремин Д. А. Квантовое кольцо с проводником: модель двухчастичной задачи / Д. А. Еремин, И. Ю. Попов // Наносистемы:

физика, химия, математика. Ч 2011. Ч Т. 2. Ч № 2. Ч С. 15Ц31.

3. Eremin D. A. Regular Potential Approximation for -Perturbation Supported by Curve of the Laplace-Beltrami Operator on the Sphere / D. A. Eremin, D. A. Ivanov, I. Yu. Popov // Zeitschrift fr Analysis und ihre Anwendungen (Journal for Analysis and its Applications). Ч 2012. Ч V. 31. Ч №2. Ч P. 125Ц137.

Публикации в других изданиях:

4. Еремин Д. А. Двумерная аномалия в случае нескольких сближающихся точечных потенциалов в однородном магнитном поле / Д. А. Еремин, О. Г. Костров // Математическое моделирование и краевые задачи. Труды второй всероссийской научной конференции. Секция "Дифференциальные уравнения и краевые задачи". Часть 3 / Отв. Редактор В. П. Радченко. Ч Самара: СамГТУ, 2007. Ч С. 83-86.

5. Еремин Д. А. Зависимость аномалии от числа сближающихся точечных потенциалов в однородном магнитном поле / Д. А. Еремин, О. Г. Костров // Материалы XII научной конференции молодых ученых, аспирантов и студентов Мордов. гос. ун-та им. Н. П. Огарева: в 2 ч. Ч. 2: Естественные науки / Сост. О. В. Бояркина; отв.

за вып. В. Д. Черкасов. Ч Саранск: Изд-во Мордов. ун-та, 2007. Ч С. 143-145.

6. Еремин Д. А. Двухчастичная модель проводника с квантовым кольцом / Д. А. Еремин, О. Г. Костров // Сборник тезисов докладов конференции молодых ученых. Выпуск 3. Труды молодых ученых / Главный редактор д.т.н., проф. В. О. Никифоров. Ч СПб:

СПбГУ ИТМО, 2010. Ч С. 87-88.

7. Еремин Д. А. К вопросу обоснования модели возмущения оператора Бельтрами-Лапласа на сфере / Д. А. Еремин, Д. А. Иванов // Математическое моделирование и краевые задачи. Труды второй всероссийской научной конференции. Секция УМоделирование и оптимизация динамических систем и систем с распределенными параметрамиФ. Часть 2 / Отв. Редактор В. П. Радченко. Ч Самара:

СамГТУ, 2011. Ч С. 55-57.

Авторефераты по всем темам >> Авторефераты по техническим специальностям

Blog