Авторефераты по всем темам >>
Авторефераты по физике
На правах рукописи
Сезонов Юрий Иванович
МАКРОСКОПИЧЕСКИЕ КВАНТОВЫЕ ЭФФЕКТЫ В НАМАГНИЧЕННЫХ НАНОТРУБКАХ
01.04.07 - физика конденсированного состояния
АВТОРЕФЕРАТ
диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук
Москва - 2010
Работа выполнена в Московском государственном институте электроники и математики (техническом университете).
Научный консультант:
доктор физико-математических наук, профессор Эминов Павел Алексеевич.
Официальные оппоненты:
доктор физико-математических наук, профессор Поляков Петр Александрович.
доктор физико-математических наук, Тютнев Андрей Павлович.
доктор физико-математических наук, профессор Шешин Евгений Павлович.
Ведущая организация:
Московский инженерно - физический институт (Государственный университет)
Защита диссертации состоится ___ ________ 2010 г. в 14.00 час. на заседании диссертационного совета Д 212.133.02 при Московском государственном институте электроники и математики по адресу: 109028, г. Москва, Б. Трехсвятительский пер., д. 3.
С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Московского государственного института электроники и математики.
Автореферат разослан л___ ________ 2010 г.
Заместитель председателя диссертационного совета доктор технических наук, профессор Пожидаев Е.Д.
ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ
Актуальность работы. Развитие микроэлектроники идет по пути уменьшения размеров интегральных микросхем и их элементов. Уже сейчас существуют лабораторные образцы будущих элементов наноэлектроники на основе нанотрубок. В нанотрубках реализуются наиболее благоприятные условия для проявления квантовых эффектов, на основе которых могут быть созданы элементы функциональной электроники.
Особый интерес традиционно представляют осцилляционные эффекты. Сюда можно отнести, например, изучение осцилляций фотопроводимости двумерного электронного газа в магнитном поле, магнитотранспортные исследования в холловской геометрии для случая двумерного электронного газа на цилиндрической поверхности и осцилляции магнитосопротивления низкоразмерных наноструктур. Исследование магнитного отклика в квазидвумерных структурах позволяет получить важные данные о параметрах энергетического спектра таких структур. Магнитное поле может изменять характер проводимости нанотрубки.
В связи со значительным интересом к исследованию плазменных волн в наноструктурах представляется важным изучение условий распространения и затухания плазменных волн, а также возможных механизмов управления этим затуханием в нанотрубках. Непосредственно с твердотельной плазмой связано явление экранирования кулоновского взаимодействия заряженных частиц в наноструктурах.
Электропроводность - один из важнейших параметров нанотрубок, определяющих возможность их использования в наноэлектронике. В последнее время активно проводится экспериментальное и теоретическое изучение проводимости нанотрубок. Исследования показывают, что для объяснения экспериментальных данных наряду с баллистическим механизмом электронного транспорта следует учесть вклад электрон- фононного рассеяния в сопротивление нанотрубки.
В связи с появившимися сообщениями о наблюдении сверхпроводимости в плоских двумерных электронных системах, а учитывая уже имеющиеся экспериментальные результаты о сверхпроводимости пучков однослойных углеродных нанотрубок, представляется актуальным теоретическое исследование сверхпроводящих свойств таких структур.
Следует отметить, что кроме углеродных нанотрубок на сегодняшний день получены нанотрубки и из других материалов. Это дисульфид вольфрама и другие дихалькогениды, бор - углеродо - нитрид, нитрид - бора, арсенид галлия.
Таким образом, теоретическое изучение электронных свойств нанотрубок представляет несомненный интерес для развития наноэлектроники.
Цель работы. Изучение электрофизических характеристик (магнитных, диэлектрических, проводящих, сверхпроводящих) однослойных нанотрубок во внешних электромагнитных полях.
Научная новизна работы заключается в установлении новых закономерностей электронных свойств нанотрубок, а именно:
- Вычислена энергия обменного взаимодействия двумерного электронного газа на цилиндрической поверхности. Изучен вклад обменного взаимодействия в осцилляции намагниченности нанотрубки.
- Развита теория коллективных колебаний 2D электронов в нанотрубках с цилиндрической симметрией в магнитном поле.
- Дано квантовое описание явления пространственной и временной дисперсии продольной диэлектрической проницаемости. Построена теория экранирования кулоновского поля точечного заряда в намагниченном электронном газе нанотрубки.
- Исследовано влияние неупругого электрон - фононного рассеяния на продольную проводимость нанотрубки во внешнем магнитном поле.
- Построена микроскопическая теория сверхпроводимости электронного газа на цилиндрической поверхности в продольном магнитном поле. Исследована зависимость критической температуры и термодинамических величин сверхпроводника от параметра Ааронова - Бома Теоретическая и практическая ценность результатов работы состоит в том, что для двумерных наноструктур с цилиндрической симметрией создан аналитический комплексный подход к описанию электрофизических свойств нанотрубок, который согласуется с имеющимися экспериментальными данными и позволяет целенаправленно планировать экспериментальные исследования. Результаты работы используются в учебном процессе МИЭМ, МГУПИ.
Достоверность научных результатов и выводов диссертации обеспечивается корректной постановкой изучаемых задач и их физической обоснованностью; использованием современных методов квантовой физики, а также их сравнением в предельных случаях с теоретическими и экспериментальными результатами других авторов.
Все изложенные в диссертации результаты получены автором лично или при его непосредственном участии. Автор осуществлял выбор направлений и постановку задач исследований, а также анализ полученных данных.
Апробация работы. Основные результаты работы докладывались на: VII Российской конференции по физике полупроводников (г. Москва, 2005г.); III Международном симпозиуме УКачество, инновации, образование и CALS-технологииФ (г. Шарм-аль Шейх, 2007г); Международном форуме УНовые информационные технологии и менеджмент качестваФ (г. Шарм-аль Шейх, 2009г); ХVIII, ХIХ и ХХ Международных совещаниях УРадиационная физика твердого телаФ (г. Севастополь, 2008 - 2010гг.); школе - семинаре УНаноструктуры, модели, анализ и управлениеФ (г. Москва, 2008, 2009гг.); XI Международной конференции УФизика диэлектриковФ (г. Санкт-Петербург, 2008г); Международном форуме по нанотехнологиям 08. (г. Москва, 2008г).
Публикации. Материалы, отражающие основное содержание диссертации, изложены в 26 научных публикациях и 10 тезисах докладов, в том числе в 12 журнальных статьях из перечня ВАКа.
На защиту выносятся 1. Аналитические зависимости вклада обменного взаимодействия в намагниченность нанотрубки.
2. Квантовая теория явления пространственно - временной дисперсии диэлектрической проницаемости нанотрубки.
3. Электрон - фононный механизм продольной проводимости нанотрубки в магнитном поле.
4. Микроскопическая теория сверхпроводимости намагниченной нанотрубки Структура и объем диссертации. Работа имеет объем 153 стр. машинописного текста, состоит из введения, пяти глав и заключения и списка литературы из 110 наименований; имеет 24 иллюстрации.
СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ
.
Во введении обоснована актуальность темы, сформулированы цель и задачи исследования, определены научная новизна и практическая ценность результатов работы, представлены основные положения, выносимые на защиту.
В главе I приводится обзор литературы по строению и физическим свойствам уникальных графитовых образований - фуллеренов и нанотрубок. Основное внимание уделяется однослойным нанотрубкам, наиболее близким по геометрии к цилиндру. Нанотрубки перспективные элементы наноэлектроники и для их внедрения в производство необходимо теоретическое и экспериментальное изучение влияния внешних условий на электронные свойства наноструктур.
Модель углеродной нанотрубки в виде свернутого в цилиндр двумерного электронного газа находит широкое применение при теоретических исследованиях физических свойств нанотрубок.
Для квантового цилиндра гамильтониан нерелятивистского электрона в постоянном магнитном поле, направленном вдоль оси z в цилиндрических координатах с фиксированным радиусом R, много меньшим длины трубки L, записывается в виде:
2 d2 c d m*c pz e H0 i R2 HSz (1,1) d2 2 d 8 2m* mc Здесь Sz - оператор проекции спина на направление напряженности магнитного z 1 поля H OZ, z 0 1 - матрица Паули, m* - эффективная масса электрона, 2 * c eB / m*c - циклотронная частота, pz - оператор проекции импульса, / 2mR2 - энергия размерного конфайнмента, В - индукция магнитного поля. Векторный потенциал однородного магнитного поля, направленного вдоль оси z, совпадающей с осью цилиндра, выбран в виде A = (-By/2, Bx/2, 0).
Гамильтониан H0 коммутирует с операторами проекции спина электрона ( S ), проz екции орбитального момента импульса ( L ) и проекции импульса электрона ( pz ) на наz правление магнитного поля:
H0, Sz H0, Lz H0, pz В результате для нормированной волновой функции и уровней энергии электрона в приближении эффективной массы получим:
i exp[ (n p3z)] (, z) C, (1,2) n, p3, 2 RL pE(n,p3, ) n BH. (1,3) 0 2m* В формулах (2), (3) cпиновая часть волновой функции электрона имеет вид 11 C C или C C 0 1 для случаев, когда спин направлен по (= +1) или против ( = - 1) направления оси z соответственно, а также приняты обозначения: p3 = pz, - полярный угол, n = 0, 1, 2, Е - азимутальное квантовое число, задающее величину Lz= n, Ф = R2B - магнитный поток через сечение цилиндра, Ф0 = hc/e - квант магнитного потока, е - заряд электрона, e B - магнетон Бора.
2mc Энергия Ферми связана с линейной концентрацией электронов формулой 2 2m* Ф NL EF n , Ф0 (1,4) n а импульс Ферми продольного движения формулой Ф F 2 n p3 2m* EF n RN S, (1,5) Ф0 где NnS - число электронов в n - ой зоне, приходящихся на единицу площади поверхности.
В свободном случае заполнение электронами дискретных уровней энергии поперечного движения происходит в следующем порядке:
Е0 Е-1, Е+1 Е-2, Е+2 Е В магнитном поле, если выполнено условие Ф 2 1, Ф0 (1,6) то заполнение электронами дискретных уровней энергии поперечного движения происходит следующем образом:
Е0 Е-1 Е+1 Е-2 Е+2 Е Если вместе с (6) выполнено также условие Ф 1 Ф0 N NL , (1,7) L R то электроны могут находиться только в основном состоянии (n = 0), для которого импульс Ферми продольного движения будет:
NL F p3 (1,8) В дальнейшем будем использовать систему, где постоянная Планка, скорость света и постоянная Больцмана равны единицы ( c kB 1).
В главе II рассматривается вклад обменного взаимодействия электронного газа на цилиндрической поверхности на магнитные свойства нанотрубок.
Используя метод вторичного квантования, энергию обменного взаимодействия можно представить в виде:
eU nF (1, )nF (2, ) 12, (2,1) ** (r1) (r1) (r2) (r2)dr1dr2, 2 1 r1 rгде суммирование проводится по всем квантовым числам =(n,p3) и проекциям спина * пар электронных состояний, (r1) (r2) - волновые функции стационарных состояний 1 электронов, взятых в различных точках с радиус-векторами r1 и r2 и nF (, ) - числа заполнения данного квантового состояния электронов. Химический потенциал идеального электронного газа связан с температурой T полным количеством электронов в газе N и напряженностью магнитного поля соотношением n L N dp E(n, p3, ) , 2 1 n exp T Из уравнения (2,1) с учетом соотношений (2) и (3) находим энергию обменного взаимодействия в виде 2 e2 U nF (1, )nF (2, ) einK0(2 pRsin )d, (2,2) 2 L 12, где n=n1 - n2, p=|p31 - p32|, K0(x) - функция Макдональда, а суммирование проводится по квантовым состояниям 1=(n1,p32) и 2=(n2,p32). Формула (2,2) описывает непосредственно вклад обменного взаимодействия в термодинамический потенциал электронного газа, который можно представить в виде eU ex nF (1, )nF (2, )In( pR)Kn( pR), (2,3) 2L 12, где In - модифицированная функция Бесселя n-го порядка, Kn - функция Макдональда nго порядка. Этот результат (2,3) использован для вычисления вклада обменного взаимодействия в намагниченность квантового цилиндра ex mex (2,4) B ,T в различных предельных случаях.
Рассмотрим осцилляции намагниченности вырожденного газа для реальных ситуаций, когда выполняется условия (T 0) EF >>, >>1.
T В этом случае из формул (2,2) (2,3) находим e2L ex dp1dp2 nF (n1, p1)nF (n2, p2), (2,5) 2 8 (n1 n2)2 p2Rn1,n2 где мы также пренебрегли зависимостью энергии электрона в функциях распределения Ферми-Дирака от спина электрона.
Осциллирующую часть намагниченности выделяем с помощью формулы суммирования Пуассона. В итоге для магнитного момента квантового цилиндра получаем следующий результат:
sin 2 n sin 2 n mex 4 0 C, (2,6) B nn 2 где C m*L 4 и =e2 - постоянная тонкой структуры.
Выражение, стоящее под знаком суммы в формуле (2,6), является периодической функцией дробных частей параметров Ф/Ф0 и , а сама намагниченность представляет собой осциллирующую функцию магнитного потока через поперечное сечение нанотрубки (рис.1).
Магнитный отклик идеального вырожденного двумерного электронного газа на цилиндрической поверхности в продольном постоянном магнитном поле вычислен в работе [1]. Например, при = 10,6 и Ф/Ф0 = 0,45 отношение вклада обменного взаимодействия в намагниченность квантового цилиндра к аналогичному результату работы [1] можно представить в виде mex 2 Rm*, m причем в реальных наноструктурах m*R >> 1.
Ф/ФРис. 1. Зависимость вклада обменного взаимодействия в магнитный момент цилиндра от параметра Ааронова - Бома. Номер кривой соответствует дробной части величины = 0; 0,1; Е. 0,9. L=10 мкм.
Таким образом, обменное взаимодействие вносит существенный вклад в намагниченность квантового цилиндра, а магнитный отклик испытывает осцилляции Ааронова - Бома при изменении магнитного потока через поперечное сечение нанотрубки и размерные осцилляции при изменении радиуса нанотрубки.
В случае больцмановского газа, т.е. при условии:
T, 0, T , формула (2,2) преобразуется к виду:
2 e2 p1z p2z U 1z dp dp2z 2m*T T [(n1 )2 (n2 )2 . (2,7) 2 L n1,n2 2in In( pR)Kn( pR)exp T В результате, для вклада обменного взаимодействия в намагниченность квантового цилиндра в случае больцмановского газа в высокотемпературном пределе получено следующее выражение:
2 T mz 2 m NL L e sin 4. (2,8) B m* 4T Существенно, что полученный результат предсказывает осцилляции намагниченности квантового цилиндра и в высокотемпературном пределе. Следует заметить, что при повышении температуры резкие пики в зависимости магнитного момента квантового цилиндра от параметра Ааронова-Бома, характерные для вырожденного случая, сглаживаются, и в пределе больцмановского газа имеет место синусоидальная зависимость намагниченности от магнитного потока.
В главе III рассматриваются диэлектрические свойства намагниченного электронного газа нанотрубки.
Под влиянием возмущения, задаваемого скалярным потенциалом = (r, t), происходит изменение плотности намагниченного электронного газа. Для ее вычисления исходим из квантово-механического уравнения для матрицы плотности.
Независящая от спина матрица плотности (t, r1, r2) является решением уравнения i H1 H2* , (3,1) t где индексы 1 и 2 относятся к координатам r1 и r2, на которые действует гамильтониан электрона H H0 e(t,r).
HЗдесь - гамильтониан электрона, определяемый формулой (1) (t,r) от времени и координат в цилиндрической системе Зависимость возмущения координат имеет следующей вид:
(t,r) A(r)exp[it il ik3z].
(3,2) Влияние магнитного поля на электронный газ учитывается точно, а реакция системы на возмущение (3,2) - по теории возмущений в линейном приближении. Таким образом, решение уравнения (3.1) находится в виде = 0 + , где 0 = 0(1 - 2, z1 - z2) - точное решение стационарного уравнения (1,1) в постоянном магнитном поле, а (t, r1, r2) - поправка к матрице плотности за счет возмущения (3,2).
Для изменения поверхностной плотности намагниченного электронного газа NS получена следующая формула:
N NS eA(R) exp[it il ik3z] kll k nF n , p3 nF n , p3 L 2 2 2 , (3,3) 2 dp p3k3 nl lc 2 n i m* m*R2 где согласно правилу обхода полюсов Ландау при наличии полюса частота должна пониматься как + i0, т.е. полюсные множители надо понимать в смысле формулы Сохоцкого.
Пространственная дисперсия приводит к возможности распространения в нанотрубке продольных электрических волн, для которых вектор E направлен вдоль волнового вектора k Продольную диэлектрическую проницаемость найдем исходя из связи плотности заряда индуцированного возмущением (3,2) с вектором диэлектрической поляризации. В итоге возмущение (3,2) должно быть решением уравнения Пуассона 4 e NS (r R), l где (r - R) - дельта-функция Дирака, l=l(,k3) - продольная диэлектрическая проницаемость намагниченного электронного газа, NS определяется формулой (3,3).
В результате находим следующую формулу для электронного вклада в продольную диэлектрическую проницаемость намагниченного электронного газа квантового цилиндра:
2el (,k3) 1 Il (k3R)Kl (k3R) l k3 l k nF n , p3 nF n , p3 (3,4) dp3 2 2 2 2 .
p3k3 nl lc n-- i m* m*R2 Полученный результат является обобщением формулы Силина-Климонтовича применительно к намагниченному электронному газу на цилиндрической поверхности.
Дисперсионное уравнение l(,k3)=0 определяет закон дисперсии продольных волн.
В квазиклассическом случае (k3 < pF, < EF) и при l = 0 получаем:
4e2k (3,5) l,k31 K0k3RI0k3R VFn, 2 2 k3VF n n причем суммирование по n в (3,5) ограничено условием положительности подкоренного выражения в (1,4).
Таким образом, дисперсионное уравнение для симметричного плазмона в квазиклассической области значений k3 имеет вид:
VF n 4e2k3 1 K0 k3R I0 k3R k3VF (n). (3,6) 2 2 n Проведенный анализ показывает, что для произвольных значений параметра k3VF/, закон дисперсии продольных электрических волн и спектр электронных колебаний следует вычислить на основе полученной квантовой формулы (3,4), а не его квазиклассического приближения (3,6), которое соответствует случаю относительно слабой пространственной дисперсии [2].
Рассмотрим далее случай сильной пространственной дисперсии. Особый интерес представляет статический случай 0, когда особенно ясно видна роль пространственной дисперсии в плазме.
Исходя из формулы суммирования Пуассона из (3,4) при l=0 получено следующее точное представление для величины l(, k3):
2e2R l ,k3 1 I0 k3R K0 k3R 2ik Ф0 Gk exp Ф , (3,7) k где 2 Gk pdp d exp 2i kRpsin p0 exp 2m* /T .
k3 k3 pcos i0 k3 k3 pcos i0 2m* m* 2m* m* В частном случае, когда условия (1,6) и (1,7), из формулы (3,4) при l=0 находим 2 * F 4e 2 p k 3. (3,8) 0,k 1 I k RK k Rm ln l 3 0 3 0 F k 2 p k 3 3 F Существенно, что выражение (3,8) как функция k3 в точке k3 2 p3 имеет особенность (рис.2), аналогичную коновской особенности в трехмерном случае для продольной диэлектрической проницаемости свободного электронного газа. Наличие коновской особенности приводит к изменению характера экранировки заряда.
l(0k)-k3/pF Рис. 2. Зависимость диэлектрической восприимчивости нанотрубки от волнового числа. Сильная пространственная дисперсия, статический случай. Линейная концентрация электронов NL=6 107 м-1, радиус трубки R=10 нм, импульс Ферми p F=10-26 кг м/с.
Формула (3,7) в явном виде показывает, что продольная диэлектрическая проницаемость электронного газа квантового цилиндра является осциллирующей функцией параметра Ааронова-Бома и зависит от радиуса трубки (рис.3).
Мнимая часть продольной диэлектрической проницаемости описывает затухания плазменных волн. Исходя из формулы Сохоцкого, из (3,4) при l=0 выделена мнимая часть продольной диэлектрической проницаемости и, проведя интегрирование по p3, получен точный результат, описывающий затухание Ландау:
m* l (, k3 ) (2e2 )I0 (k3R)K0 (k3R) k (3,9) 2m* k3 2 2m* k3 nF n, n n, .
F 2k3 2k3 n- l(0,k)-Ф/ФРис. 3. Зависимость диэлектрической восприимчивости нанотрубки от параметра Ааронова-Бома при различных значениях радиуса. Сильная пространственная дисперсия, статический случай. k3=10pF. Импульс Ферми pF= 1 10-26 кг м/с, линейная концентрация электронов NL= 108 м-1: а.) R=10 нм, б.) R=12,5 нм, в.) R=15 нм, г.) R=17,5 нм, д.)R=20 нм.
q(n )2 0 2m* exp 2m* k nF 1, q Здесь T 2k3, Поглощение для предельного случая больцмановского газа, т.е. при условии T 0, T,, как следует из (3,9), определяется формулой:
m* l (, k3 ) (2e2 )I0 (k3R)K0 (k3R) 2sh( ) k3 2T T 1 (2m*)2 k3 exp (3,10) T 2m*T (2k3 )2 T 2 cos(2 ) exp( ).
1 0 В случае полностью вырожденного электронного газа, когда выполнены условия (1,6) и (1,7), электроны могут находиться только в основном состоянии (n = 0).
Для n=0 в предельном случае вырожденного газа и при выполнении условия (T 0) EF >> область значений параметров, для которых l (, k3) 0 задается неравенством 2 (2m* k3 )2 2 (2m* k3 ) pF , (3,11) (2k3)2 (2k3)а зависимость находится из уравнения.
(k ) ,k 3 l В результате для вырожденного электронного газа получено:
m* l (, k3) 2e2 I0 (k3R)K0 (k3R). (3,12) k На рис. 4. представлены зависимости частоты (а), фазовой скорости (б) от волнового числа и указана область, определяемая соотношением (3,11), где наблюдается затухание Ландау. Затухание соответствует коротковолновой области k > k0 и при уменьшении длины волны уменьшается обратно пропорционально квадрату волнового числа (3,12).
Мнимая часть диэлектрической проницаемости, так же, как и реальная часть, является осциллирующей функцией параметра Ааронова-Бома.
В главе III используется продольная диэлектрическая проницаемость системы для описания эффекта экранировки поля внешнего заряда, обусловленного перераспределением зарядов самой системы.
Фурье-образ потенциала поля покоящегося заряда с плотностью дается qr выражением:
V0 0,k V 0,k , l 0,k где V0 0,k - Фурье-образ потенциала заряда в свободном случае, а l 0,k - продольная диэлектрическая проницаемость вещества в статическом пределе, когда.
Пусть точечный заряд q в используемой цилиндрической системе координат находится в точке с координатами r R, 0, z 0. Тогда, без учета поляризации среды, Фурье-образ потенциала поля, создаваемого этим зарядом в произвольной точке на цилиндрической поверхности радиусом R, определяется из формулы:
V0 z, dk3 0 k3,l eik zil, (3,13) V 2 l Рис. 4. Зависимости частоты а), фазовой скорости б) от волнового числа. Линейная концентрация электронов NL=6 107 м-1, радиус трубки R=10 нм., VF=104 м/с. k0 - красная граница затухания Ландау.
где q V0 z, . (3,14) z2 4R2 sinИз формул (3,13)-(3,14) следует, что, V k,l 4qI k RK k R 0 3 l 3 l где K x I x и - модифицированные функции Бесселя мнимого аргумента. Так как осl l новной вклад в асимптотику в наиболее интересной области относительно больших расстояний от заряда, когда выполнено условие z>>R, дает аксиально-симметричная часть потенциала (l=0), то экранированный потенциал поля точечного заряда q на поверхности квантового цилиндра определяется формулой:
eik zI0 k3 R K0 k3 R dk, (3,15) q V z 0,k где 2me2I0 k3 R K0 k3 R 0, k3 1 kk3 k3. (3,16) nF n, p3 nF n, p3 dp pn Рассмотрим осцилляции Фриделя экранированного потенциала. В случае вырожденного электронного газа из формулы (3,16) получено:
F N k3 2 p3 n 4me2 0, k3 1 I0 k3 R K0 k3 R ln. (3,17) F k3 k3 2 p3 n nN F Здесь p3 n определяется формулой (1,7).
При выполнения условий (1,6) и (1,7) значение l 0,k определяется формулой (3,8).
Вычислив действительную часть интеграла (3,15), при выполнении условий z 2R, zpF 1 получаем, что экранированный кулоновский потенциал в нанотрубке задается формулой cos 2zpF pF q 18me2 (3,18) V z = z 4me2 z pF ln2 4zpF ln 2R tt где ln ln C, C - постоянная Эйлера.
Заметим, что монотонная часть (3,18) согласуется с результатом работы [3].
Наиболее интересными представляются осцилляции Фриделя экранированного кулоновского потенциала, асимптотика которых вычислена здесь в аналитическом виде.
Как это следует из (3,18), по мере заселения электронами новых зон, осцилляции F Фриделя происходят уже не только на одной УчастотеФ 0 p3, но и на УчастотахФ n 2 pn, где pn - импульс Ферми n- й зоны, определяемый формулой (1,7). Этот эффект в квазиклассическом приближении должен быть сильно сглажен в связи с наложением осцилляций с разными, но относительно близкими УчастотамиФ. Тем не менее, он может быть существенным для случая нескольких заполненных зон, представляющего практический интерес.
В работе [4], в вырожденном случае и в отсутствии внешнего поля, также изучались осцилляции Фриделя экранированного электрон - электронного взаимодействия в квантовом цилиндре. Следует отметить, что в настоящей работе исследована другая по своему физическому смыслу задача, как это и указано при ее постановке, - экранирование кулоновского поля, создаваемого внешним зарядом q, который неподвижен и не испытывает обратного влияния со стороны электронного газа нанотрубки.
Вычислен также экранированный кулоновский потенциал в предельном случае больцмановского электронного газа, т.е. при условии.
T, В квазиклассическом приближении, т.е. при k3 pF, имеем:
k3 k3 nF nF n, p3 nF n, p3 k3.
22 p Применив формулу суммирования Пуассона, статическую диэлектрическую проницаемость намагниченного электронного газа нанотрубки, задаваемую формулой (3,16), представим в виде:
0, k3 1 4me2R dx exex T Фex 2 2 k dxJ0 2 kR 2m xT (3,19) cos Ф0 ex 1 2 k T I0 k3 R K0 k3 R, где J0z - функция Бесселя нулевого порядка. Из формулы (3,19) для больцмановского электронного газа получено 4e 0,k3 1 NLI0 k3 R K0 k3 R, T Главный член асимптотики экранированного потенциала определяется формулой:
q V z . (3,20) z z 4e2NL ln2 2R T График зависимости экранированного потенциала от расстояния показан на рис 5.
V/q, В/Кл z/R Рис. 5. Зависимость удельного потенциала от расстояния для нанотрубки. Концентрация NL=108 м-1, температура Т = 300 К, радиус трубки R=10 нм.
Заметим, что результат, как это и должно быть в классическом пределе, не содержит осцилляционных эффектов.
Исследуем осцилляции Ааронова-Бома экранированного кулоновского поля точечного заряда вырожденным электронным газом квантового цилиндра. Ограничимся рассмотрением той части экранированного потенциала, которая не содержит осцилляций Фриделя. В квазиклассическом приближении для случая сильного вырождения электронного газа (T 0,k3 1 4me2R FI0 k3 R K0 k3 R, (3,21) где принято обозначение Ф 2 kR 2mEF F 2. (3,22) 1 2 k cos Ф0 J0 k Как следует из формул (3,21) и (3,22), статическая продольная диэлектрическая проницаемость испытывает осцилляции при изменении магнитного потока через сечение нанотрубки. В итоге для асимптотики ( z 2R) аксиально-симметричной части экранированного кулоновского потенциала в рассматриваемом приближении получена следующая формула: q V z , (3,23) z z 4me2RF ln2 2R где величина F определяется формулой (3,22). Таким образом, формула (3,23) описывает осцилляции Ааронова-Бома экранированного кулоновского поля в квантовом цилиндре (рис.6). F-Ф/ФРис. 6. Зависимость квадрата обратной величины F от параметра Ааронова - Бома. Произведение импульса Ферми на радиус pFR/ =7,2. В главе IV. рассматриваются проводящие свойства нанотрубки для различных механизмов рассеяния электронов на фононах и вычислена проводимость квантового цилиндра в магнитном поле. Отправной точкой при изучении электрон - фононного взаимодействия выбран гамильтониан Фрелиха, который в представлении вторичного квантования имеет вид He ph (q)[a apbq a apbq ], (4,1) pq pq S q,p где ap+ - оператор рождения электронов, bq+ - оператор рождения фононов, Ф(q) - амплитуда, характеризующая интенсивность взаимодействия. Рассмотрено рассеяние электронов на длинноволновых акустических фононах в случае, когда доминирует деформационный механизм рассеяния. Решение этой задачи дано на основе кинетического уравнения Больцмана в приближении времени релаксации. Движение электронов в невозмущенной электрическим полем задаче описывается решением стационарного уравнения Шредингера на цилиндрической поверхности, вдоль оси которого приложено постоянное магнитное поле (1,1). Рассматривая линейный отклик квантового цилиндра на внешнее электрическое поле с напряженностью Е, также направленным вдоль оси нанотрубки, из кинетического уравнения Больцмана находим, что поправка f1 к равновесной функции распределения fописывается формулой f0 p f1(n, p3) (e) (n, p3) E. (4,2) E(n, p3) m Суммируя вклады от каждой зоны энергии поперечного движения, для продольной проводимости нанотрубки получаем следующую формулу: 1 p3 f e2 2 (n, p3) dp3. (4,3) 2 R m E n Рассматривая гамильтониан (4,1) как возмущение, вероятность квантовых переходов электрона за единицу времени из состояния (n, p3) в состояние (n', p3 ') с поглощением (испусканием) фонона с импульсом q (q,q3) и энергией (q) можно представить в виде: (n, p3 n', p3 ') 2 BDqJnn'(qR) (4,4) nq[E(n, p3) q E(n', p3 ')] (1 nq)[E(n, p3) q E(n', p3 ')] , где Jnn'(x) - функция Бесселя, nq - среднее число фотонов с энергией (q), зависящее от распределения Бозе - Эйнштейна, BD - постоянная деформационного потенциала. Учитывая далее, что скорость хаотизации продольного импульса определяется из уравнения ( p3 ' p3)(n, p3 n', p3 ') p3, (4,5) p3 ' для обратного времени релаксации в случае линейного закона дисперсии получено следующее представление: 2 2 pF (n ') q ( pF (n) pF (n'))BDm* (n, n') V q Jnn'(qR) 1 pF (n) 2 2 q ( pF (n) pF (n')) pF (n ') eT . (4,6) 2 2 q ( pF (n) pF (n'))2 pF (n') 1 dq V 2 2 q ( pF (n) pF (n'))pF (n) eT 1 Здесь V - скорость звука, pF (n) - продольный импульс Ферми n-й зоны энергии поперечного движения электрона, определяемый формулой (5). В итоге, после интегрирования по переменной p3 линейная проводимость квантового цилиндра в продольном магнитном поле представляется в виде , (4,7) n,n' n,n' где NnS n,n' e2 (n,n'), (4,8) m а время релаксации определяется формулой (4,6). На основании формулы (4,7) вычислен вклад электрон - фононного рассеяния на акустических фононах в сопротивление квантового цилиндра. В высокотемпературном пределе сопротивление линейно зависит от температуры. Аналогичное поведение сопротивления металлических углеродных нанотрубок, причем независимо от хиральности, было установлено ранее в [5]. В предельном случае относительно низких температур и линейного закона дисперсии для фононов, сопротивление квантового цилиндра пропорционально третьей степени температуры. Для двумерной наноструктуры ( n n') формула (4,6) описывает зависимость времени релаксации от параметра Ааронова - Бома. Электропроводность является осциллирующей функцией магнитного потока через сечение нанотрубки. Изменение дробной части параметра Ааронова - Бома сопровождается изменением проводимости по сравнению со свободным случаем, когда нет магнитого поля, на 10 - 20% (рис.7). Рис.7. Зависимость проводимости от параметра Ааронова - Бома. Радиус трубки R=10 нм. Температура T=10 К Линейная концентрация NL=0,04 109 м-1 (1), NL=0,06 109 м-1 (2); 0 - проводимость нанотрубки при линейной концентрации NL=0,04 109 м-1 в свободном случае. В главе V рассматриваются сверхпроводящие свойства нанотрубки. Исследована возможность образования куперовской пары на цилиндрической поверхности в постоянном магнитном поле. Рассмотрим уравнение Шредингера для системы из двух взаимодействующих друг с другом электронов, находящихся на цилиндрической поверхности в присутствии продольного магнитного поля: H1 H2 Hint E. (5,1) Здесь E - энергия куперовской пары, Hint U U r1 r2 U z1 z2 R2 cos 1 2 U z, - потенциальная энергия взаимодействия электронов в цилиндрической системе координат, z z1 z2, 1 2, индексы 1 и 2 относятся к координатам r1 и r2, на которые действует гамильтониан электрона на цилиндрической поверхности в продольном магнитном поле, который определяется формулой (1,1), нормированные собственные функции и собственные значения определяются формулами (1,2), (1,3). Далее рассматриваем электронные пары, у которых орбитальные моменты импульсов, а также импульсы продольного движения и проекции спина электронов на направление магнитного поля направлены в противоположные стороны. В нулевом приближении волновую функцию такой электронной пары, составленную из решений соответствующих одночастичных уравнений Шредингера, ищем в виде: in r1,r2 Cn, p3eizp dp3, S p где z z1 z2, 1 2, p n, p3 - совокупность квантовых чисел, задающих стацио нарное состояние электрона. В результате уравнение (5,1) принимает вид: p C E 2n2 m*c R2 m C n, p3 n', p3 ' U n n', p3 p3 ', (5,2) p' где U n n', p3 p3 ' - матричный элемент оператора взаимодействия электронов. Следуя модели БКШ, аппроксимируем матричный элемент мультипликативной постоянной взаимодействия U gF1 n, p3 F2 n', p3 ', (5,3) где 1, если EF E n, p3 EF , F (5,4) 0, если E n, p3 EF , т.е. считаем, что во взаимодействии через обмен фононами участвуют только электроны, энергия которых лежит в узком интервале энергий шириной над уровнем Ферми. Из (5,2) с учетом (5,3) и (5,4) для определения энергии основного состояния куперовской пары на цилиндрической поверхности и в присутствии продольного магнитного поля получаем уравнение: 1 1 L , (5,5) dp3 g S 2 pn 2n2 m*cR2 2EF m* где мы положили E 2EF, g - константа взаимодействия. В правой части (5,5) суммирование по n и интегрирование по p3 проводятся по области, определяемой условием (5,4), величина 0 равна энергии связи куперовской пары, а энергия Ферми определяется формулой (4). В работе показано, что решение уравнения (5,5), соответствующее связанному состоянию электронной пары с 0, возможно в случае, когда g 0, т.е. при наличии динамического притяжения между электронами. Используя картину Фарри и метод (u-v) преобразования Боголюбова фермиоператоров, была построена микроскопическая теория сверхпроводимости электронного газа квантового цилиндра во внешнем постоянном магнитном поле. В представлении вторичного квантования исходный гамильтониан слабонеидеального ферми газа с парным эффективным взаимодействием U U r1 r2, которое не зави сит от спина, имеет вид: p, s a p, s a p, s J p, p ' 2S p,s p,s; p',s (5,6) p' p a a'q,s 'ap',s'ap,s, pq,s p где J p, p ' - образ Фурье потенциальной энергии взаимодействия электронов и приняты обозначения: L Ф pf n, p3 dp3 f n, p3, p, s n BH , - химический 2 Ф0 2m* pn потенциал. Совокупность квантовых чисел, характеризующих стационарное состояние электрона в (5,6), будем обозначать символом p,, где p n, p3, 1 - спиновое квантовое число, задающее в единицах проекцию спина электрона на ось OZ. Используя статистический вариационный принцип Боголюбова для термодинамического потенциала системы с гамильтонианом (5,6), получаем оценку: E p E p p 2 ch ch ln pp (5,7) C p C p ' C2 p 1 p, p ', 1 p,, J p, p ' 16S E p E p ' 2 E p p, p' p p где - температура, C p J p, p ' up'vp'. S p, p p Минимальное по отношению к величине энергетической щели значение термодинамического потенциала (5,7), соответствующее устойчивому термодинамическому состоянию системы, находится из условия: 0, С( p) которое приводит к уравнению для энергетической щели: Cp Jp, p' Cp' p',. (5,8) 2 p' C p Таким образом, термодинамические свойства сверхпроводящего электронного газа на цилиндрической поверхности и в присутствии постоянного магнитного поля должны определяться из формулы (5,7) при условии (5,8). Для теории БКШ уравнение (5,8) принимает вид: p, g 1 , (5,9) 4S p где p3 Ф n2 , 2m* Ф0 Ф E 2n Б H, (5,10) Ф2 2 E 2 E p, th th. 2 2 Полученное уравнение описывает зависимость ширины энергетической щели и температуры фазового перехода в нормальное состояние от характерных параметров системы, включая геометрические размеры квантового цилиндра и напряженность магнитного поля. Существенно, что в уравнение (5,10) для энергетической щели явно входит параметр Ааронова-Бома. Зависимость критической температуры от магнитного потока показаны на рис.8. Проведем исследование уравнения (5,10) при нулевой температуре. В случае, когда выполнены условия (1,6) и (1,7), электроны могут находиться только в основном состоянии (n=0), для которого импульс Ферми продольного движения (1,8). Для этого случая получено R H 2 exp (4 ) p3F * . mg Для проведения дальнейших вычислений удобно исходить из следующего представления для линейной концентрации вырожденного электронного газа: Ф J1 2 RpFk cos 2 k Ф0 2 pF 2 NL RpF , (5,11) k k T, К Ф/ФРис. 8. Зависимости критической температуры от магнитного потока. Линейная концентрация NL=28,1 109м-1, радиус трубки R=5 нм, Энергия Ферми в отсутствии магнитного поля EF=0,173 эВ, максимальная критическая индукция магнитного поля В=8,9 Тл, g=8 10-5 кг-1, =1,2 мэВ. где pF 2m*. Формула (5,11) в неявном виде определяет зависимость энергии Ферми от линейной концентрации электронов, радиуса цилиндра и параметра Ааронова-Бома. Рассмотрим далее предельный случай, когда >> . Это условие эквивалентно NLR 1. Проводя в (5,9) суммирование по квантовым состояниям, энергии которых лежат в слое шириной над уровнем Ферми, получаем: 4 R NL 0 2 exp , (5,12) g 2 Полагая также, что выполнено условие NLR 1, из формул (5,11) и (5,12) нахо mg дим: 3 2 sin k NLR 41 Ф 2 0 2 exp cos 2k 1 NLR 4 . (5,13) mg mg Ф0 k k 1 Таким образом, как это следует из формул (5,12) и (5,13), ширина энергетической щели испытывает осцилляции двух типов. Первый тип - это осцилляции Ааронова-Бома, в основе которых лежит неодносвязность области движения электронов в присутствии внешнего магнитного поля. Здесь следует подчеркнуть, что осцилляции Ааронова-Бома для критической температуры в случае тонкостенных сверхпроводников цилиндрической формы наблюдались экспериментально [6]. Второй тип осцилляций - это осцилляции, параметром которых является величина NLR NS 2 R. Существенно, что эти осцилляции сохраняются и при выключении внешнего магнитного поля. В связи с этим можно говорить об этих осцилляциях как о физическом эффекте, в основе которого лежит изменение кривизны поверхности, т.е. геометрии нанотрубки. Наконец, в предельном случае, когда R , из формулы (5,13) получено 2 0 2 exp. (5,14) gm Этот результат соответствует предельному случаю плоской поверхности, а магнитное поле не входит в (5,14), так как оно направлено параллельно поверхности. Вычислим далее величину скачка теплоемкости структуры при достижении критической температуры. Термодинамический потенциал сверхпроводящего электронного газа квантового цилиндра в свободном случае можно представить в виде: E2 LS T ( ) dp [E E2 2 2T ln(1 e )] g 2, (5,15) 2 n где - ширина энергетической щели, которая находится из уравнения: g L 1 E2 1 dp (2 ) E2 2 th 2T (5,16) 2S n Как и в трехмерном случае, изучение термодинамических свойств наноструктуры начнем с исследования температурной зависимости величины щели . При нулевой температуре, как уже отмечалось, получено выражение (5,12). Линейная концентрация вырожденного электронного газа связана с импульсом Ферми соотношением (5,11). Из уравнения (15,16) получаем: 0 ln 2F( ), (5,17) (T) T где dx F(t) (5,18) 0 t2 x2[exp t2 x2 1] Таким образом, термодинамические свойства сверхпроводящего газа квазичастиц вычисляются на основе формулы (5,15) для термодинамического потенциала с учетом формул (5,11), (5,12) и (5,17), (5,18). При этом зависимость потенциала от геометрических размеров нанотрубки и электронной концентрации определяется шириной щели при нулевой температуре, а зависимость от температуры - формулой (5,18), имеющей такой же вид, как и в трехмерной теории сверхпроводимости. Теплоемкость системы находится дифференцированием термодинамического потенциала по температуре: 2 C T. T В итоге для теплоемкости сверхпроводящего электронного газа квантового цилиндра получаем следующую формулу: C 1 Tc 1 , V 1 T Tc 0. L 3 7(3) n F (n) Учитывая далее, что теплоемкость идеального ферми-газа при T=Tc: CH Tc V 1 , L 3 (n) n F находим, что разность теплоемкостей сверхпроводящей и нормальной фазы в точке фазового перехода стремится к конечному значению: C CH 4Tc V (5,19) L 7(3) (n) n F Таким образом, при достижении критической температуры в системе происходит фазовый переход второго рода из сверхпроводящего в нормальное состояние электронного газа с конечным скачком теплоемкости (5,19). ОБЩИЕ ВЫВОДЫ. 1. Вычислена обменная энергия электронного газа на цилиндрической поверхности в постоянном магнитном поле. Получены аналитические формулы, описывающие вклад обменного взаимодействия в осцилляции намагниченности квантового цилиндра. Показано, что магнитный отклик системы испытывает осцилляции Ааронова - Бома как в случае вырожденного, так и в случае больцмановского газа. 2. Вычислена статистическая матрица плотности электронного газа на цилиндрической поверхности во внешнем магнитном поле, представляющем суперпозицию магнитного и электрического полей. Проведено полное исследование явления пространственной и временной дисперсии продольной диэлектрической проницаемости нанотрубки. 3. Исследовано влияние магнитного поля на коллективные колебания 2D - электронов в нанотрубках. Получены асимптотики закона дисперсии плазменных волн и продольной диэлектрической проницаемости. Указаны условия, про которых возможно экспериментальное наблюдение эффекта Ааронова - Бома. 4. Найдена мнимая часть продольной диэлектрической проницаемости. Определена коротковолновая граница затухания Ландау. Показано, что коэффициент поглощения продольной электрической волны в нанотрубках испытывает осцилляции Ааронова - Бома. 5. Для нанотрубки в магнитном поле получено общее выражение для экранированного кулоновского поля неподвижного точечного заряда. Вычислены асимптотики экранированного потенциала. Показано, что экранированное взаимодействие наряду с монотонной частью содержит квантовую осцилляционную часть, которая соответствует осцилляциям Фриделя. Выяснено, что осцилляции Фриделя могут представлять собой суперпозицию колебаний с разными частотами, которые определяются микроскопическими свойствами нанотрубки. 6. В аналитическом виде получена формула для экранированного кулоновского потенциала в случае больцмановского газа, которая может найти применение для описания свойств полупроводниковых нанотрубок. Показано, что экранированное взаимодействие заряженных частиц на цилиндрической поверхности испытывает осцилляции Ааронова - Бома, которые могут претендовать на экспериментальную проверку в ближайшем будущем. 7. Вычислен вклад электронного рассеяния на продольных акустических фононах нанотрубки в проводимость квантового цилиндра во внешнем магнитном поле. Показано, что проводимость нанотрубки является осциллирующей функцией параметра Ааронова - Бома. 8. Изучена температурная зависимость сопротивления нанотрубки. Установлено, что вклад электрон - фононного рассеяния в удельное сопротивление меняет свою температурную зависимость от линейной в области высоких температур до кубической при низких. 9. В аналитическом виде получена формула, описывающая зависимость сопротивления 1D наноструктуры от температуры. 10. На основании статистического вариационного метода Боголюбова и гамильтониана БКШ исследованы сверхпроводящие свойства электронного газа квантового цилиндра в продольном магнитном поле. Вычислен термодинамический потенциал сверхпроводящей системы. Получено уравнение для энергетической щели, определяющее зависимость критической температуры от геометрических размеров нанотрубки и магнитного потока через сечение цилиндра. 11. Установлено, что критическая температура испытывает два типа осцилляций. Первый тип - это осцилляции Ааронова - Бома. Второй тип осцилляций, в основе которого лежит изменение геометрии поверхности, сохраняется и при выключении внешнего магнитного поля. Дано физическое обоснование полученных результатов и указаны условия, которые являются наиболее благоприятными для наблюдения осцилляций Ааронова - Бома критической температуры. 12. Исследованы термодинамические свойства сверхпроводящего квантового цилиндра. Вычислена величина скачка теплоемкости сверхпроводящей и нормальной фазы при критической температуре. ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ 1. P. A. Eminov, A. A. UlТdin, Yu. I. Sezonov, and. S. V. Gordeeva. Thermodynamical Properties of a Superconducting Quantum Cylinder.// Russian Journal of Mathematical Physics, Vol. 17, No. 2, 2010.- P. 154Ц158. 2. Маджитова Ф.Ш. Сезонов Ю.И., Ульдин А.А., Эминов П.А. Экранированный кулоновский потенциал намагниченной нанотрубки. // Труды. ХIХ Международного совещания УРадиационная физика твердого телаФ М.: ГНУ НИИ ПТМ. 2010.- С.330.-335. 3. Эминов П.А., Сезонов Ю.И., Гордеева С.В., Ульдин А.А., Пюрбеев Ю.А. Рассеяние электронов на акустических фононах и проводимость квантового цилиндра в магнитном поле. // Труды. ХIХ Международного совещания УРадиационная физика твердого телаФ М.: ГНУ НИИ ПТМ. 2010.- С.325-329. 4. Эминов П.А., Ульдин А.А. Сезонов Ю.И., Гордеева С.В. Электрон-фононное взаимодействие и электропроводность нанотрубки во внешнем магнитном поле.// Известия ВУЗов. Физика. 2010. 5. P. A. Eminov, Yu. I. Sezonov, and A. A. UlТdin. AharonovЦBohm Effect for the Potential of a Coulomb Field in Electronic Gas of Quantum Cylinder. // Russian Journal of Mathematical Physics, Vol. 16, No. 4, 2009.- P. 563Ц565. 6. Сезонов Ю. И., Ульдин А. А. Вклад электрон-фононного взаимодействия в проводимость углеродной нанотрубки. // Химическая физика. т. 28, №12, 2009.- С.73-75. 7. Сезонов Ю.И., Эминов П.А., Ульдин А. А. Модель электронного газа на цилиндрической поверхности для описания диэлектрических свойств нанотрубок. // Аннотации лекций 2-ой Всероссийской школы - семинара. УНаноструктуры, модели, анализ и управлениеФ. М. МИЭМ. 2009.- С.17-18. 8. Перепелкина Ю.В., Сезонов Ю.И., Эминов П.А. Затухание электромагнитного поля в нанотрубках. // Труды. ХIX Международного совещания УРадиационная физика твердого телаФ М.: ГНУ НИИ ПТМ. 2009.- С.730-737. 9. Сезонов Ю.И., Ульдин А.А., Эминов П.А. Экранирование электрического поля электронным газом нанотрубки. // Труды. ХIX Международного совещания УРадиационная физика твердого телаФ М.: ГНУ НИИ ПТМ. 2009.- С.724-729. 10. Сезонов Ю.И., Перепелкина Ю.В. Влияние внешнего магнитного поля на затухание Ландау в углеродных нанотрубках. // Химическая физика. т. 28, №4, 2009.- С.8184. 11. Сезонов Ю.И. Макроскопические квантовые эффекты в намагниченных нанотрубках. // Известия РГПУ им. А.И. Герцена. №11(79): Естественные и технические науки: Физика: Научный журнал - СПб.: Известия РГПУ им. А.И.Герцена. 2009.- С.89100. 12. Сезонов Ю.И., Ульдин А.А., Эминов П.А. Фононный вклад в проводимость нанотрубки во внешнем магнитном поле. // Материалы международного форума УНовые информационные технологии и менеджмент качестваФ М.: Фонд УКачествоФ 2009.- С.145148. 13. Эминов П.А., Перепелкина Ю.В., Сезонов Ю.И. Диэлектрические свойства намагниченного электронного газа нанотрубки. // ФТТ, т. 50, вып.12, 2008.- С.2220-2224. 14. Сезонов Ю.И., Перепелкина Ю.В., Эминов П.А. Диэлектрические свойства намагниченного электронного газа квантового цилиндра. // Материалы XI Международной конференции Физика диэлектриков, Санкт-Петербург, 3-7 июня 2008 г. СПб.: Изд-во РГПУ им. А. И. Герцена, т. 2. 2008.- С.256-215. Сезонов Ю.И., Эминов П.А. Макроскопические квантовые эффекты в нанотрубках. // Аннотации лекций школы - семинара. УНаноструктуры, модели, анализ и управлениеФ. М. МИЭМ. 2008.- С.29. 16. Эминов П. А., Сезонов Ю. И. Сверхпроводимость намагниченного электронного газа квантового цилиндра. // ЖЭТФ, т. 134, вып.4(10), 2008.- С.772-778. 17. Вологина М.В., Перепелкина Ю.В., Сезонов Ю.И., Эминов П.А. Распространение электромагнитного излучения в углеродных нанотрубках. Труды. XVIII Международного совещания УРадиационная физика твердого телаФ М.: ГНУ НИИ ПТМ. 2008.- С.537-545. 18. Сезонов Ю.И., Эминов П.А. Осцилляции Ааронова - Бома намагниченности нанотрубки. // Труды. ХVIII Международного совещания УРадиационная физика твердого телаФ М.: ГНУ НИИ ПТМ. 2008.- С.530-536. 19. Сезонов Ю.И., Перепелкина Ю.В., Эминов П.А., Ульдин А.А., Николаев С.В. Осцилляции критической температуры сверхпроводящей нанотрубки в магнитном поле. // Международный форум по нанотехнологиям 08. Сборник тезисов докладов научно-технических секций. т.1. 2008.- С.804-806. 20. Sezonov Yu.I., Eminov P.A., Fotov K.N. Macroscopic quantum effects in nanotubes. // Russian journal of mathematical physics. Vol. 15. № 3. 2008.- P. 425-427. 21. Сезонов Ю.И., Эминов П.А., Журидов Д.В. Проводимость нанотрубок в магнитном поле. // Материалы симпозиума. III международный симпозиум. УКачество, инновации, образование и CALS-технологииФ. М.: Фонд УКачествоФ 2007.- С.173-174. 22. Эминов П.А., Сезонов Ю.И., Альперн А.В., Сальников Н.В. Обменное взаимодействие и осцилляции намагниченности электронного газа в квантовом цилиндре. // ЖЭТФ. т. 130, вып.4, 2006.- С.724-728. 23. Гвоздев В.И., Попов О.Н., Сезонов Ю.И. Основные принципы развития микроэлектроники // Успехи современной радиоэлектроники. № 6. 1999, стр.75-77. 24. Сезонов Ю.И., Эминов П.А. Вклад обменного взаимодействия в намагниченность вырожденного электронного газа в квантовом цилиндре. // Известия ВУЗов. Физика. 12, 2006.- С.51-54. 25. Эминов П.А., Сезонов Ю.И., Альперн А.В., Сальников Н.В. Обменное взаимодействие двумерного электронного газа в наноструктурах с цилиндрической симметрией в магнитном поле. // Материалы VII Российской конференции по физике полупроводников. Полупроводники 2005. РИИС ФИАН М. 2005.- С.121-122. 26. Перепелкина Ю.В., Сезонов Ю.И., Рыбалко В.В. Наноразмерные структуры. (Учебное пособие). // М.: РИО МИЭМ. 2009, 5,75 п.л. Цитируемая литература. 1. В.А. Гейлер, В.А. Маргулис, А.В. Шорохов. ЖЭТФ. т. 115, вып 4. 1999. стр. 1450. 2. А.И.Ведерников, А.О.Говоров, А.В.Чаплик. ЖЭТФ. т. 120, вып 4. 2001. стр. 979. 3. Р.З. Витлина, Л.И. Магарилл, А.В. Чаплик. Письма в ЖЭТФ, Т.86, вып. 2. 2007 стр. 132. 4. А.В. Чаплик, Л.И.Магарилл, Р.З. Витлина. Физика низких температур. т. 34, № 10. 2008. стр. 1094. 5. H. Suzuura, T. Ando. Phys. Rev. B. v 65, 2002. p. 235412. 6. W.A.Little, R.D. Parks. Phys. Rev. Lett. v.9, №1, 1962. p.9.