Авторефераты по всем темам >>
Авторефераты по разное
На правах рукописи
Шелкович Владимир Михайлович
инейная и нелинейная теория p-адических обобщенных функций
Специальность 01.01.03 - математическая физика
АВТОРЕФЕРАТ
диссертации на соискание учёной степени доктора физико-математических наук
Москва - 2010
Работа выполнена в отделе математической физики Математического института им. В.А. Стеклова РАН
Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук С.В. Козырев доктор физико-математических наук, профессор А.Н. Кочубей доктор физико-математических наук, профессор М.Д. Миссаров
Ведущая организация: Российский государственный гуманитарный университет, г. Москва.
Защита состоится 21 октября 2010 г. в 14 часов на заседании диссертационного совета Д 002.022.02 при Математическом институте им. В.А.
Стеклова РАН по адресу: 119991, Москва, ГСП-1, ул. Губкина 8, Математический институт им. В.А. Стеклова РАН.
С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке Математического института им. В.А. Стеклова РАН.
Автореферат разослан 21 мая 2010 г.
Учёный секретарь диссертационного совета Д 002.022.02 при МИАН доктор физико-математических наук Ю.Н. Дрожжинов 1.
Общая характеристика работы
Настоящая диссертационная работа посвящена разработке некоторых разделов математической физики, связанных с теорией обобщенных функций и гармоническим анализом. Также исследованы и решены некоторые важные задачи вещественной теории обобщенных функций.
Актуальность темы. p-Адические числа были открыты К. Гензелем в 1899 году и традиционно использовались в алгебраической геометрии, теории чисел, теории групп. Последние 30 лет p-адические числа стали интенсивно использоваться в теоретической и математической физике. Этот всплеск научной активности в большой степени был инициирован пионерскими работами В.С. Владимирова, И.В. Воловича.
Физические модели, использующие p-адическое пространство, возникали как попытка дать решение некоторых кардинальных проблем теории квантовой гравитации и теории струн (И.Я. Арефьева, В.С. Владимиров, И.В. Волович, Б.Г. Драгович, П. Фрэмптон, П. Фройнд, Е. Виттен, А.В. Забродин). В работах В.С. Владимирова, И.В. Воловича, Б.Г. Драговича, Е.И. Зеленова, Ю. Меурисе, А.Ю. Хренникова были построены p-адические и адельные модели квантовой механики. М.Д. Миссаров и Е.Ю. Лернер изучали теорию перенормировок для иерархической фермионной модели.
p-Адические теории струн, гравитации и космологии стимулировали развитие и новые приложения p-адического Фурье-анализа, теории распределений, псевдодифференциальных уравнений, самосопряженных операторов в L2(Qp), теории Фейнмановских интегралов, теории p-адически значных вероятностей и динамических систем (В.С. Владимиров, И.В. Волович, Е.И. Зеленов, С.В. Козырев, А.Н. Кочубей, А.Ю. Хренников). Эти математические теории, в свою очередь, дают новые возможности для физических приложений p-адического анализа - например, в теории неупорядоченных систем (спиновых стекол) (М. Мезард, Г. Паризи, Вирасоро, Н. Сургалис, В.А. Аветисов, А.Х. Бикулов, С.В. Козырев). Имеются приложения ультраметрического анализа для параметризации генетического (аминокислотного) кода (Б.Г. Драгович, А. Драгович, С.В. Козырев, А.Ю. Хренников). p-Адические вероятностные модели и их приложения исследовались А.Н. Кочубеем. p-Адические случайные процессы рассматривались С. Альбеверио, В. Карвовским, А.Н. Кочубеем, А.Х. Бикуловым, И.В. Воловичем, С. Эвансом. p-Адические динамические системы и их приложения (в частности в криптографии) рассматривались в работах А.Ю. Хренникова, М. Нильсена, П.-А. Свенсона, В. Анашина. p-Адические модели в психологии, когнитивных и социальных науках, анализе изображений были изучены А.Ю. Хренниковым.
В свою очередь, новые p-адические модели и приложения стимулировали развитие новых областей p-адического анализа и математической физики, в частности, теории псевдодифференциальных операторов и уравнений, p-адических всплесков.
Как известно, для p-адического анализа, связанного с функциями, определенными на Qp и принимающими комплексные значения, операция дифференцирования не определена. Вследствие этого, большое число p-адических моделей вместо дифференциальных уравнений используют псевдодифференциальные. Поэтому в моделях математической физике, базирующихся на p-адическом анализе, псевдодифференциальные операторы (в частности операторы дробного дифференцирования), играют значительную роль.
Понятие p-адического псевдодифференциального оператора было введено В.С. Владимировым. В.С. Владимиров построил спектральную теорию одномерного оператора дробного дифференцирования и оператора типа Шрёдингера. При этом В.С. Владимировым были получены явные формулы для собственных функций дробного оператора. Развитие спектральной теории операторов типа Шрёдингера было продолжено в работах А.Н. Кочубея.
Как известно, в моделях p-адического анализа интенсивно используются p-адические псевдодифференциальные уравнения. Стационарное и нестационарное p-адическое уравнение Шредингера исследовалось в работах В.С. Владимировым и И.В. Воловичем. p-Адическое стохастическое псевдодифференциальное уравнение было рассмотрено А.Х. Бикуловым и И.В. Воловичем. p-Адические уравнения Эйнштейна и квантовой p-адической гравитации изучались в работах И.Я. Арефьевой, И.В. Воловича, Б.Г. Драговича и П. Фрэмптона. p-Адические псевдодифференциальные уравнения использовались для моделирования межбассейновой кинетики в работах В.А. Аветисова, А.Х. Бикулова, С.В. Козырева и В.А. Осипова. В работах С.В. Козырева и Е.И. Зеленова, С. Фищенко для моделирования турбулентности использовались нелинейные ультраметрические и p-адические уравнения. Широкий класс p-адических псевдодифференциальных уравнений был исследован в книге А.Н. Кочубея.
Первый p-адический базис всплесков хааровского типа был построен С.В. Козыревым в 2002 году. С.В. Козыревым было показано, что построенные p-адические всплески являются собственными функциями псевдодифференциальных операторов. В работах С. Альбеверио и С.В. Козырева было показано, что p-адическом случае непрерывный и дискретный анализ всплесков можно рассматривать в рамках теории представлений групп.
Дж. Дж. Бенедетто и Р. Л. Бенедетто предложили метод построения базисов всплесков на локально- компактных абелевых группах с компактными открытыми подгруппами, основанный на Утеории множеств всплесковФ (Уtheory of wavelet setsФ). Базис С.В. Козырева может быть получен этим методом. Напомним, что в вещественном случае имеется эффективный метод построения базисов всплесков - это так называемый кратномасштабный анализ (КМА). В статьях Дж. Дж. Бенедетто, Р. Л. Бенедетто были приведены соображения, что в p-адическом случае КМА построить невозможно.
Теория всплесков дала адекватный формализм для построения решений p-адических уравнений (А.Ю. Хренников, С.В. Козырев, С. Альбеверио, С. Кужель, С. Торба).
Как видно из сказанного, различные разделы математической физики, базирующиеся на p-адическом анализе, интенсивно развиваются и находят новые приложения. Однако, в силу того, что p-адический анализ - молодая наука, в нем имеется много неразработанных областей.
Цель работы. Основной целью диссертации является разработка новых разделов математической физики, связанных с теорией p-адических обобщенных функций и гармоническим анализом, разработке теории p-адических псевдодифференциальных операторов и уравнений, развитию теории p-адических всплесков и асимптотическим методам p-адического анализа.
Рассматриваются модели, использующие комплексно-значные функции pадического аргумента.
Методы исследований. В работе используются специфические методы p-адического анализа, функционального анализа, а также новые методы, которые были разработанные автором (в частности, метод p-адического кратномасштабного анализа (КМА), метод построения p-адических асимптотик).
Научная новизна. В диссертации представлены следующие новые результаты (полученные ранее в оригинальных статьях).
1. Исследовано понятие присоединенного однородного распределения (ПОР) в D (R). Введено определение квазиприсоединенного однородного распределения (КПОР), обобщающее определение ПОР. Построена теория одномерных вещественных КПОР. Для многомерных вещественных КПОР доказан аналог классической теоремы Эйлера. Построена теория p-адических КПОР.
2. Были введены и изучены p-адические аналоги пространств Лизоркина основных функций и распределений, инвариантные относительно одного класса p-адических псевдодифференциальных операторов (который включает оператор дробного дифференцирования и интегрирования). Эти пространства являются естественной областью определения псевдодифференциальных операторов и должны играть центральную роль в моделях, связанных с p-адическими псевдодифференциальными операторами и уравнениями.
3. Введено определение p-адической версии кратно-масштабного анализа (КМА). Предложено масштабирующее уравнение, которое отражает самоподобие топологической структуры Qp. Построена теория p-адических одномерных и многомерных всплесков (вейвлет) хааровского типа. Описан широкий класс p-адических масштабирующих функций, порождающих КМА. Построено бесконечное семейство p-адических одномерных и многомерных базисов всплесков (вейвлет) нехааровского типа. Доказан pадический аналог теоремы ШеннонаЦКотельникова.
4. На пространствах Лизоркина определены и исследованы операторы дробного дифференцирования и интегрирования Владимирова и Тайблесона (в дальнейшем будем называть эти операторы дробными оператором).
Также введен новый класс многомерных псевдодифференциальных операторов, включающий в себя дробные операторы, а также псевдодифференциальные операторы, изученные в работах А.Н. Кочубея и В. ЗунигиГалинды. Построена спектральная теория упомянутых выше псевдодифференциальных операторов. Получены необходимые и достаточные условия того, что p-адические всплески являются собственными функциями псевдодифференциальных операторов. Доказано, что все построенные нами pадические всплески являются собственными функциями дробного оператора.
5. Разработан метод решения p- адических псевдодифференциальных эволюционных уравнений (где t R, x Qn), использующий теорию pp адических всплесков. Это Уметод разделения переменныхФ, который является аналогом классического метода Фурье. Используя этот метод, в явном виде найдены решения задач Коши для p-адических линейных (первого и второго порядка по t) и полулинейных псевдодифференциальных эволюционных уравнений.
6. Введено определение и исследованы свойства квази-асимптотики pадического распределения. Доказаны p-адические многомерные тауберовы теоремы для распределений Лизоркина.
7. Доказаны теоремы, описывающие асимптотическое поведение p-адических сингулярных интегралов Фурье.
8. Построен алгебраический аппарат, в рамках которого можно решать линейные и нелинейные сингулярные задачи вещественного и p-адического анализа, связанные с теорией распределений. Именно, построены новые версии вещественных алгебр Коломбо. Также построены алгебра p-адических обобщенных функций Коломбо-Егорова и ассоциативная алгебра pадических асимптотических распределений, порожденная КПОР. Исследованы алгебраические аспекты сингулярных решений квазилинейных систем законов сохранения (в вещественном случае), в которых могут возникать дельта-образные сингулярности.
Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Развиты новые разделы математической физики, связанные с p-адической теорией обобщенных функций и p-адическим гармоническим анализом. Результаты работы и развитые в ней методы (в частности КМА, спектральный анализ псевдодифференциальных операторов) могут быть использованы в различных моделях математической физики, использующих p-адические числа, в задачах, связанных с обработкой сигналов, в задачах, связанных с p-адическими с псевдодифференциальными операторами и уравнениями, при решении линейных и нелинейных сингулярных задач p-адического анализа, связанных с теорией распределений.
На некоторые результаты приведенные в диссертации ссылались другие авторы: С. Альбеверио, М. Гроссер, В. Зунига-Галиндо, С.В. Козырев, А.Н. Кочубей, С. Кужель, М. Кунцигер, Е. Майерхофер, М. Обергуггенбергер, Родригес-Вега, С. Торба, Р. Штейнбахер.
Апробация работы. Основные результаты диссертации многократно докладывались и обсуждались на семинаре отдела математической физики (МИАН), на семинаре отдела дифференциальных уравнений (МИАН), на семинарах МГУ, ПОМИ, на университетских математических семинарах г.
иона (Франция), г. Бонна (Германия), г. Векшо (Швеция), а также были представлены на следующих международных конференциях:
1. Международная конференция УОбощенные функции (GF 2009)Ф, Вена, Австрия, Август 31-Сентябрь 4, 2009; 2. XVI Международный конгресс по математической физике, Прага, Чешская республика, Август 3-8, 2009;
3. Международная УWavelets and applicationsФ, Санкт-Петербург, Июнь 1420, 2009; 4. Летняя школа и конференция по современной математической физике, Белград, Сербия, Июль 6 - 17, 2008; 5. 12-я международная конференция по гиперболическим проблемам: теория, численные методы и приложения. Университет Мэриленд, Колледж-Парк, США, Июнь 9-13, 2008; 6. Третья международная конференция по p-адической математической физике, МИАН, Москва, Октябрь 1Ц6, 2007; 7. Линейная и нелинейная теория обобщенных функций и ее приложения (GF 2007), Бедлево, Польша, Сентябрь 2Ц8, 2007; 8. Международная конференция УДифференциальные уравнения и смежные вопросыФ посвященная И. Г. Петровскому, Москва, МГУ, Май 21Ц26, 2007; 9. Вторая международная конференция по p-адической математической физике, Белград, Сербия, Сентябрь 15Ц21, 2005; 10. Международная конференция по обобщенным функциям, ДУЧП, гармоническому анализу и математической физике (ICGF 2004), Новый Сад, Сербия, Сентябрь 22Ц28, 2004; 11. Первая международная конференция по p-адической математической физике, МИАН, Москва, Октябрь 1-5, 2003.
Публикации. Основное содержание диссертации опубликовано в 28 научных статьях, список которых приводится в конце автореферата.
В совместных работах по теории p-адических квази-присоединенных однородных распределений постановка задачи и основной вклад принадлежит автору. В совместных работах по кратно-масштабному анализу хааровских p-адических всплесков [19], [20], [28] вклад соавторов одинаков, однако автору принадлежит идея использовать для построения КМА функциональное уравнение (5.1.5), отражающее самоподобность структуры Qp, в качестве масштабирующего уравнения. В совместных работах по теории нехааровских p-адических всплесков автору принадлежит теорема, дающая описание счетного семейства нехааровских базисов всплесков. В совместных работах о p-адических псевдодифференциальных операторах, автору принадлежит идея введения p-адических пространств Лизоркина и использование этих пространств в качестве УестественнойФ области определения дробных и псевдодифференциальных операторов. В этих же работах автору принадлежат теоремы о необходимых и достаточных условиях того, что всплеск-функции является собственной функцией псевдодифференциального оператора. В совместных работах о p-адических псевдодифференциальных уравнениях автору принадлежит идея метода разделения переменных, а также теоремы, дающие решения задач Коши для эволюционного псевдодифференциального линейного уравнения второго порядка по t и для полулинейных эволюционных уравнений. В совместных работах о p-адических тауберовых теоремах автору принадлежит идея введения pадических квазиасимптотик, теоремы о p-адических квази-асимптотиках, тауберова теорема, дающая в одномерном случае характеризацию квазиасимптотики распределения на бесконечности через дробную первообразную, а также тауберова теорема, связанная с псевдодифференциальным оператором. В совместных работах об асимптотическом поведении p- адических сингулярных интегралах Фурье автору принадлежат теоремы для случая, когда = 0 идля случая, когда мультипликативный нормированный характер не равен 1. В совместных работах об p-адической алгебре Коломбо-Егорова автору принадлежит общая конструкция алгебры и теоремы о том, что семейства дробных операторов Владимирова и Тайблесона образуют абелевы группы. В совместных работах об p-адической алгебре асимптотических распределений автору принадлежит теорема, которая дает слабые асимптотические разложения произведений регуляризаций квази-присоединенных однородных распределений.
Структура и объём работы. Диссертация состоит из 10 глав, библиографии, двух приложений и списка литературы, содержащего 239 названий.
Общий объём диссертации составляет 292 страниц.
2. Содержание диссертации и ее основные результаты Работа посвящена развитию теории p-адических распределений (обобщенных функций) (как линейной так и нелинейной), построению теории кратно-масштабных p-адических всплесков, теории p-адических псевдодифференциальных операторов и уравнений, развитию асимптотических методов p-адического анализа. Мы рассматриваем модели, которые связаны с комплексно-значными функциями p-адического аргумента. Кроме того, исследованы и решены несколько важных задач, связанных с вещественной теорией распределений функций.
Глава 1 является введением. В главе 2 УВспомогательные факты из p-адического анализаФ приводятся необходимые определения и обозначения и вспомогательные факты p-адического анализа, используемые на протяжении всей работы. Следующие 8 глав содержат оригинальные результаты автора.
В главе 3 УТеория присоединенных и квази-присоединенных однородных распределений (вещественный и p-адический случаи)Ф мы развиваем теорию присоединенных однородных распределений (ПОР) и квази-присоединенных однородных распределений (КПОР) в вещественном и p-адическом случаях. Наши результаты дают решение важной нерешенной до сих пор задачи описания всех ПОР и КПОР. Эти результаты расширяют и обобщают результаты, полученные И.М. Гельфандом, Г.Е.
Шиловым, Р. Эстрадой и Р. Канвалом, И.М. Гельфандом, М.И. Граевым, И.И. Пятецким-Шапиро, В.С. Владимировым, И.В. Воловичем, Е.И. Зеленовым. Результаты этой главы были получены в статьях [23], [9], [1].
p-Адические КПОР существенно используются в главах 6, 7, 10.
В нашей статье [23], обобщая естественным образом понятие ПОР, введено Определение 3.7 ( [23]). Будем называть распределение fk D (R) квази-присоединенным однородным (КПОР) степени и порядка k, k = 0, 1, 2, 3,..., если для любого a > 0 и D(R) k x fk(x), = a+1 fk, + ahr(a) fk-r, , a r=то есть, k Uafk(x) = fk(ax) = afk(x) + hr(a)fk-r(x), r=где fk-r(x) - КПОР степени и порядка k - r, hr(a) - дифференцируемая функция, r = 1, 2,..., k. При этом будем предполагать, что для k = суммы в правых частях последних соотношений являются пустыми. Множество {fk : k Z+} назовем цепочкой КПОР.
Согласно основной теореме 3.4.3 этой главы, с точностью до постоянного множителя hr(a) = a logr a, r = 1, 2,..., k. Поэтому определение 3.эквивалентно следующему определению:
Определение 3.8 ( [23]) Распределение fk D (R) назовем КПОР степени и порядка k, k = 0, 1, 2,..., если для любого a > 0 и D(R) k x fk(x), = a+1 fk, + a+1 logr a fk-r, , a r=где fk-r(x) - ПОР степени и порядка k - r, r = 1, 2,..., k. Мы считаем, что для k = 0 сумма в правой части соотношения пуста.
Согласно [23], существуют ПОР только порядка k = 0, т.е. однородные распределения (ОР) (заданные определением 3.8 при k = 0) и порядка k = 1 (заданные определением 3.8 при k = 1). Следующая теорема дает описание всех КПОР одномерных распределений.
Теоремы 3.4.2, 3.4.3 ( [23]). Каждое КПОР f D (R) степени и порядка k N (с точностью до КПОР порядка k - 1) есть линейная комбинация линейно независимых распределений (a) x logk x, -N;
(b) P x-n logk-1 x, -N, где распределение P x-n logk-1 x яв ляется главным значением функции x-n logk-1 x.
То есть класс КПОР совпадает с классом распределений, который описан в книге И.М. Гельфанд, Г.Е. Шилов, УОбобщенные функции и действия над ними. Обобщенные функцииФ, вып. 1, М.: ГИФМЛ, 1959 (см.
Гл.I,з4.1.).
Для многомерного случая доказан аналог классической теоремы Эйлера:
Теорема 3.5.3 ( [23]) fk(x) - КПОР степени и порядка k, k 1 тогда и только тогда, когда n k+ xj - fk(x) = 0.
xj j=В отличие от вещественного случая, p-адические ПОР не исследовались.
Это было впервые сделано в наших работах [9], [1]. Используя приведенные выше результаты, мы развили в [9], [1] теорию p-адических присоединенных и квази-присоединенных однородных распределений.
Обозначим через D(Qn) линейное пространство локально-постоянных p C-значных функций на Qn с компактным носителем (пространство основp ных функций) и через D (Qn) множество всех линейных функционалов p (распределений) на D(Qn). Следующее определение p-адического КПОР p вводится по аналогии с определением 3.8.
Определение 3.12 ( [9], [1]) Будем называть fm D (Qp) КПОР степени и порядка m, m Z+, если m x fm(x), = (t)|t|p fm, + (t)|t|p logj |t|p fm-j, p t j=для всех D(Qp) и t Q, где fm-j D (Qp) - КПОР степени и p порядка m - j, j = 1, 2,..., m. Если m = 0, мы будем считать последнюю сумму пустой.
Доказывается теорема, дающие описание всех p-адических КПОР:
Теорема 3.9.3 ( [9], [1]) Каждое КПОР f D (Qp) степени (x) = |x|-11(x) и порядка m N (с точностью до КПОР порядка m - 1) p имеет вид (a) C (x) logm |x|p, если (x) = 0(x) = |x|-1;
p p (b) CP |x|-1 logm-1 |x|p, если (x) = 0(x) = |x|-1, где распределеp p p ние P |x|-1 logm-1 |x|p - главное значение функции |x|-1 logm-1 |x|p, C - p p p p константа.
При исследовании КПОР было обнаружено семейство функций, которые можно рассматривать как новые типы вещественных и p-адических функций.
В главе 4 УpЦАдические пространства Лизоркина основных функций и распределенийФ введены p-адические пространства Лизоркина основных функций и распределений и исследованы их свойства. Эти пространства далее интенсивно используются в главах 5, 6, 7, 8, 10.
Как известно, дробные операторы играют особую роль в приложениях p-адического анализа, однако пространство распределений D (Qn) не инваp риантно относительно действия этих операторов и потому не является для них естественной областью определения.
Следуя идеям работ П.И. Лизоркина мы и ввели в [11], [12] p-адические пространства Лизоркина основных функций и распределений. Было введено пространство основных функций Лизоркина первого типа ( [11]):
(Qn) = : = F [], (Qn) D(Qn), p p p где (Q n) = () D(Qn) : (1,..., j-1, 0, j+1,..., n) = 0, j = p p 1, 2,..., n и F - преобразование Фурье. Также введено пространства основных функций Лизоркина второго типа ( [11], [12]):
(Qn) = : = F [], (Qn) D(Qn), p p p где (Qn) = () D(Qn) : (0) = 0. Назовем пространства (Qn) и p p p (Qn) пространствами распределений Лизоркина первого и второго типа, p соответственно.
Пространства Лизоркина основных функций и распределений инвариантны относительно действия введенных нами в главе 6 псевдодифференциальных операторов (в частности, дробных операторов) и тем самым представляют собой УестественнуюФ область их определения.
В главе 5 УТеория p-адических всплесковФ построена кратно-масштабная теория p-адических всплесков (wavelets) и p-адический кратномасштабный анализ (КМА). Результаты этой главы базируются на работах [11], [15], [16], [6], [18], [20], [19], [28]. Теория всплесков играет ключевую роль в теории и приложениях p-адического анализа (см. главы 6, 7).
В отличие от вещественного случая, теория p-адических всплесков только недавно начала развиваться. Первый p-адический базис всплесков хааровского типа в L2(Qp) k; ja(x) = p-j/2p p-1k(pjx - a) |pjx - a|p, x Qp, (5.1.3) k = 1, 2,..., p-1; j Z; a Ip, был построен в 2002 году С.В. Козыревым В этой статье использовалось УестественноеФ множество сдвигов Ip = {a Qp : {a}p = a}, (5.2.1) С. В. Козырев, Теория всплесков как p-адический спектральный анализ, Известия Академии Наук, Сер. Матем., 66, no. 2, (2002), 149Ц158).
где {a}p - дробная часть числа a Qp. Позднее в статьях Дж.Дж. Бенедетто и Р.Л. Бенедетто был предложен метод построения базисов всплесков на локально-компактных абелевых группах с компактными открытыми подгруппами, основанный на Утеории множеств всплесковФ (theory of wavelet sets). Однако в вещественном случае существует классическая теория, называемая кратномасштабным анализом (КМА), в рамках которой разработана техника построения базисов всплесков. В p-адическом случае этот метод не был разработан. Более того, Дж.Дж. Бенедетто и Р.Л. Бенедетто высказали предположение, что в силу того, что множество сдвигов (5.2.1) не образует группу, p-адический КМА невозможен. Тем не менее, в нашей статье [28] p-адический КМА был построен.
Чтобы построить p-адический аналог классического КМА, нам нужно иметь соответствующее p-адическое масштабирующее уравнение. Автор предложил использовать соотношение p-1 r (x) = x -, x Qp, (5.1.5) p p r=в качестве масштабирующего уравнения, порождающего КМА. Решение этого уравнения (x) = |x|p (масштабирующая функция) является характеристической функцией единичного шара. Уравнение (5.1.5) является аналогом масштабирующего уравнения, порождающего КМА Хаара в вещественном анализе и отражает самоподобность структуры Qp:
B0(0) = p-1B-1(r), r=то есть единичный шар B0(0) = {x : |x|p 1} представляется как сумма p непересекающихся шаров B-1(r) = x : |x - r|p p-1, r = 0, 1,..., p - 1.
В нашей статье [28] было введено определение КМА в L2(Qp). В этой же статье (для p = 2), пользуясь масштабирующим уравнением (5.1.5), мы строим хааровский КМА в L2(Q2). В [28] было показано, что в отличие от вещественного случая, существует бесконечное множество различных 2адических ортонормальных базисов всплесков в L2(Q2), порожденных тем же самым хааровским КМА. В [28] была доказана теорема, дающая явные формулы для всплеск-функций, порождающих эти базисы:
Теорема 5.4.1 ( [28]) Пусть (0)(x) = 2(2-1x)(|x|2), x Q2, - всплескфункция, порождающая в L2(Q2) базис Козырева (5.1.3) при p = 2, (t) - характеристическая функция отрезка [0, 1]. Для каждого s = 0, 1, 2,...
функция 2s-k (s)(x) = k(0) x -, (5.4.4) 2s k=является всплеск-функцией для хааровского КМА в том и только в том случае, если 2s-2r+2s k = 2-s(-1)k re-i k, k = 0,..., 2s - 1, (5.4.5) r=где r C - произвольные постоянные, такие, что |r| = 1, r = 0,..., 2s1.
Согласно теореме 5.4.1, все 2-адические хааровские базисы задаются как (s)(2jx - a), j Z, a I2, где I2 - УестественноеФ множество сдвигов (5.2.1).
В [20] мы обобщаем теорему 5.4.1 на случай произвольного p:
Теорема 5.5.1 ( [20]) Все множество всплеск-функций с компактным носителем даются следующей формулой p-1 ps-k (0) (x) = ;k x -, = 1, 2,..., p - 1, (5.5.2) ps =1 k=(0) где = p(p-1x) |x|p, = 1,..., p - 1, - всплеск-функции, порождающие базис Козырева (5.1.3), и ;k = - +m p ps -p-s ps-1 e-2i kmz, при = , m= - - +m = p p ps p-2s ps-1 ps-1 e-2i k 1-e2i mz, при = , - m=0 n=+m-n p 2i ps e -(5.5.3) |m| = 1, z - элементы произвольной унитарной (p - 1) (p - 1) матрицы Z, s = 0, 1, 2,....
Согласно теореме 5.5.1, все p-адические хааровские базисы задаются как (pjx - a), = 1, 2,..., p - 1, j Z, a Ip, (0) где Ip - множество сдвигов (5.2.1). Один из наших базисов (pjx - a), = 1, 2,..., p - 1, j Z, a Ip, совпадает с базисом Козырева (5.1.3).
В нашей статье [19] мы изучили p-адические масштабирующие уравнения вида ps-1 k (x) = k x -, k C, (5.6.1) p ps k=и их решения - масштабирующие функции. Одно из этих уравнений совпадает с УестественнымФ масштабирующим уравнением (5.1.5). Был описан широкий класс p-адических масштабирующих функций, порождающих КМА. Все описанные масштабирующие функции являются 1-периодическими, причем их сдвиги попарно ортогональны (ортогональные масштабирующие функции).
Как было недавно доказано в работах С. Альбеверио, С.А. Евдокимова, М.А. Скопиной не существует ортогональных масштабирующих функций (из класса основных функций) отличных от описанных в нашей статье [19].
Более того, все эти масштабирующие функции порождают один и тот же p-адический хааровский КМА. Таким образом, в теоремах 5.4.1, 5.5.1 описаны все p-адические хааровские базисы всплесков с компактным носителем.
В [28], пользуясь стандартным подходом Ж. Мейера и С. Малла, мы также построили многомерные базисы всплесков Хаара посредством тензорного произведения одномерных КМА. Один из этих многомерных базисов порожден одномерным базисом всплесков Козырева (5.1.3):
k; ja(x) = p-nj/2p p-1k (pjx - a) |pjx - a|p, x Qn, (5.8.8) p n n n где k = (k1,..., kn) Jp 0, j Z, a Ip. Здесь Ip - прямое произведеn ние n множеств (5.2.1) и Jp 0 = {(k1,..., kn) : kr = 0, 1, 2,..., p - 1; r = 1, 2,..., n; k1 + + kn = 0}.
В статьях [16], [6], [18] были построены нехааровские p-адические базисы всплесков с компактным носителем. Доказана теорема, дающая явные формулы для всплеск-функций, порождающих бесконечное семейство новых различных нехааровских базисов всплесков.
Теорема 5.10.1 ( [16], [18]) Для каждого = 0, 1, 2,... функции p-k (m), (m) s (x) = s;ks x -, s Jp;m, (5.10.2) p k=являются всплеск-функциями тогда и только тогда, когда p--s+r p s;k = p- s;re-2i k, (5.10.3) r=S. Albeverio, S. Evdokimov, M. Skopina, p-Adic multiresolution analysis and wavelet frames, Принята к печати в Journal of Fourier Analysis and Applications, (2010), Евдокимов, М.А. Скопина, 2-Адические базисы всплесков, Труды Института математики и механики Уральского отделения Российской кадемии наук, т. 15, no. 1, (2009), 135Ц146; S. Albeverio, S. Evdokimov, M. Skopina, p-Adic non-orthogonal wavelet bases, Труды Математического института им.
В. А. Стеклова, т. 265, Москва, 2009, 1Ц12.
где s;k C - произвольная константа, такая, что |s;k| = 1, k = 0, 1,..., p - 1, m-Jp;m = {s = p-m sjpj : sj = 0, 1,..., p - 1; j = 0, 1,..., m - 1; s0 = 0}, j=(5.9.1) m 1 - фиксированное натуральное число. Здесь (m) s (x) = p(sx) |x|p, s Jp;m, x Qp, (5.9.2) множество из (p - 1)pm-1 всплеск-функций, которые порождают нехааровский базис в L2(Qp) (m) s; ja(x) = p-j/2p s(pjx - a) |pjx - a|p, x Qp, (5.9.3) где j Z, a Ip, s Jp;m, который был построен в наших работах [16], [6].
В этой же главе показано, что упомянутые нехааровские базисы (5.9.3) и (5.10.2) могут быть получены в рамках модифицированного хааровского КМА, который порожден pm-1 масштабирующими функциями.
В [16], [6] мы строим многомерные нехааровские базисы всплесков посредством тензорного произведения одномерных базисов. Например, мы получаем нехааровский базис в L2(Qn) p (m)(x) = p-|j|/2p s (pjx - a) |pjx - a|p, x Qn, (5.11.1) s; ja p как тензорные произведения одномерных базисов (5.9.3), где def 1 n pjx = (pj x1,..., pj xn), j = (j1,..., jn) Zn, (5.11.2) x = (x1,..., xn) Qn и pj - мульти-растяжение.
p Было доказано, что среди базисов, построенных в теоремах 5.4.1, 5.5.и 5.10.1, имеются бесконечные семейства базисов, которые не могут быть получены методом работ Бенедетто. Таким образом, были построены бесконечные семейства новых базисов всплесков.
В этой же главе доказана многомерная p-адическая версия теоремы Шеннона-Котельникова, обобщающая одномерный случай теоремы [15]. В отличие от вещественного аналога, в p-адическом случае ряд, восстанавливающий сигнал в каждой точке, состоит из одного члена. Показано, что в противоположность вещественному случаю, для p-адического случая КМА Шеннона-Котельникова совпадает с хааровским КМА.
В этой же главе в разделе 5.13 доказываются леммы и предложения, которые дают характеризацию p-адических пространств Лизоркина основных и обобщенных функций (первого и второго типов) в терминах всплесков (которые сами принадлежат пространству Лизоркина основных функций). Приведем эти утверждения для пространств Лизоркина второго типа.
емма 5.13.3 (см. [16]) Каждая функция (Qn) может быть p представлена в форме конечной суммы (x) = ck; jak; ja(x), x Qn, (5.13.6) p n n kJp 0,jZ,aIp где ck; ja - константы; k; ja(x) - элементы хааровского базиса всплесков n n (5.8.8), k = (k1,..., kn) Jp 0, j Z, a Ip.
Предложение 5.13.4 (см. [16]) Любое распределение f (Qn) может p быть представлено в форме бесконечной суммы вида f(x) = dk; jak; ja(x), x Qn, (5.13.8) p n n kJp 0,jZ,aIp где dk; ja - константы; k; ja(x) - элементы хааровского базиса всплесков n n (5.8.8), k = (k1,..., kn) Jp 0, j Z, a Ip.
В главе 6 Уp-Адические псевдодифференциальные операторы на пространствах ЛизоркинаФ (результаты которой базируются на статьях [11], [12], [16], [6], [28]) на пространствах Лизоркина рассматриваются многомерные дробные операторы Владимирова D, Cn, Тайблесона D, C, а также один класс многомерных псевдодифференциальных операторов вида -(A)(x) = F A() F []() (x), (Qn), (6.3.1) p где символ оператора A() E(Qn \ {0}), E(Qn) - пространство локальноp p постоянных C-значных функций на Qn. Оператор (6.3.1) определяется на p пространстве распределений как -Af = F [A F [f]], f (Qn). (6.3.4) p В частности, этот класс включает в себя дробный оператор Тайблесона (здесь A() = ||):
p -Df (x) = F ||F [f]() (x), f (Qn); (6.3.5) p p Такого типа утверждения были впервые сформулированы для случая ультраметрических пространств Лизоркина в S. Albeverio, S. V. Kozyrev, Multidimensional ultrametric pseudodifferential equations, Proc. Steklov Inst. Math., v. 265, Moscow, 2009, 13Ц29.
оператор Кочубея с символом вида A() = |f(1,..., n)|, > 0, где p f(1,..., n) - квадратичная форма, для которой f(1,..., n) = 0, когда |1|p + |n|p = 0; оператор Зуниги-Галиндо с символом вида A() = |f(1,..., n)|, > 0, где f(1,..., n) - отличный от константы полином.
p Лемма 6.3.1 ([11], [12]) Пространства Лизоркина второго типа (Qn) p и (Qn) инвариантны относительно действия операторов (6.3.1).
p Построена спектральная теория операторов (6.3.1). Получены необходимые и достаточные условия того, что введенные нами в главе 5 p-адические всплески являются собственными функциями псевдодифференциальных операторов (6.3.1). Эти результаты были получены в наших работах [11], [16], [6], [28]. Приведем две типичных теоремы, касающиеся базисов всплесков (5.8.8) и (5.11.1).
Теорема 6.4.5 ( [4]) Пусть A - псевдодифференциальный оператор n n (6.3.1) с символом A() E(Qn \ {0}); k Jp 0, j Z, a Ip. Тогда np мерная хааровская всплеск-функция (5.8.8) является собственной функцией A в том и только в том случае, если выполнено условие A pj(-p-1k + ) = A - pj-1k, Zn. (6.4.4) p Этому вектору соответствует собственное значение = A - pj-1k, то есть Ak; ja(x) = A - pj-1k k; ja(x).
Теорема 6.4.2 ( [16], [6]) Пусть A - псевдодифференциальный операn тор (6.3.1) с символом A() E(Qn \ {0}); j = (j1,..., jn) Zn; a Ip ;
p n s Jp;m; m = (m1,..., mn), пусть ml 1 - фиксированное натуральное число, l = 1, 2,..., n. Тогда n-мерная нехааровская всплеск-функция (5.11.1) является собственным вектором оператора A в том и только в том случае, когда A pj(-s + ) = A - pjs, Zn. (6.4.1) p Этому вектору соответствует собственное значение = A -pjs, т.е.
A(m)(x) = A(-pjs)(m)(x).
s; ja s; ja n n Здесь мульти-растяжение pj задается формулой (5.11.2), а Ip и Jp;m - n-прямые произведения множеств (5.2.1) и (5.9.1), соответственно.
В частности, доказано, что все построенные нами в главе 5 p-адические всплески являются собственными функциями дробного оператора (6.3.5).
Эти результаты играют фундаментальную роль в p-адическом анализе и его приложениях, в особенности, при решении псевдодифференциальных уравнений (см. главу 7).
В главе 7 Уp-Адические псевдодифференциальные уравненияФ (результаты которой базируются на статьях [11], [4], [16]) исследуются линейные и нелинейные p-адические эволюционные псевдодифференциальные уравнения (во всех уравнениях t R, x Qn).
p В нашей статье [16] было предложено искать решения задач Коши для упомянутых p-адических эволюционных псевдодифференциальных уравнений в специальном УестественномФ классе распределений. В этом классе применим Уметод разделения переменныхФ (аналог классического метода Фурье), который базируется на следующих фактах: (1) хааровские всплески, построенные в главе 5, при соответствующих условиях типа (6.4.4) являются собственными функциями псевдодифференциальных операторов (6.3.1), построенных в главе 6; (2) согласно лемме 6.3.1, пространства Лизоркина (Qn) и (Qn) инвариантны относительно действия операторов p p (6.3.1); (3) согласно лемме 5.13.3, каждая основная функция из пространства (Qn) может быть представлена как конечная линейная комбинация p (5.13.6) всплесков (5.8.8), а согласно предложению 5.13.4, каждое распределение из пространства (Qn) может быть представлено как бесконечная p линейная комбинация (5.13.8) всплесков (5.8.8).
Учитывая сказанное, для решения задач Коши для эволюционных псевдодифференциальных уравнений мы будем использовать пространства (m)(Qn R+) таких распределений f(x, t), что (a) f(, t) (Qn) для p p каждого t 0; (b) если m = 0, f(, t), () - непрерывная функция для каждой основной функции (Qn); если m = 1, 2,..., для каждой p dj основной функции (Qn) существуют производные f(, t), (), p dtj j = 1,..., m. Согласно лемме 5.13.3 и предложению 5.13.4, каждое распределение из (m)(Qn R+) однозначно представляется в виде формального p ряда f(x, t) = dk; ja(t)k; ja(x) (7.1.1) n n kJp 0,jZ,aIp где коэффициенты dk; ja(t) = f(, t), k; ja() для случая m = 0 - некоторые непрерывные функции и для случая m = 1, 2,... - некоторые m раз дифференцируемые функции; k; ja(x) - элементы хааровского базиса всплесков (5.8.8); и для каждой основной функции (Qn) p f(, t), () = (), k; ja() f(, t), k; ja(), n n kJp 0,jZ,aIp где последняя сумма конечна.
Поэтому естественно искать решение задачи Коши u(x, t) в пространстве (m)(Qn R+). Подставляя u(x, t) в уравнение в виде формального p ряда (7.1.1) и разделяя переменные, мы в конечном счете сводим решение задачи Коши для p-адического эволюционного псевдодифференциального уравнения к решению вещественного обыкновенного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами по временной переменной t.
В разделе 7.3 (теоремы 7.3.2 и 7.3.6) решаются задачи Коши для линейных уравнений первого порядка по t:
u(x, t) + Axu(x, t) = f(x, t), u(x, 0) = u0(x) (Qn) (7.3.1) p t и u(x, t) i - Axu(x, t) = f(x, t), u(x, 0) = u0(x) (Qn), (7.3.16).
p t где Ax - псевдодифференциальный оператор (6.3.1) (относительно x). Приведем формулировку одной из упомянутых теорем.
Теорема 7.3.2 (см. [16]) Пусть символ псевдодифференциального оператора Ax в (7.3.1) удовлетворяет условию (6.4.4), т.е.
A pj(-p-1k + ) = A - pj-1k, Zn, p n для всех для всех j Zn, k Jp 0. Пусть f (0)(Qn R+). Тогда задача p Коши (7.3.1) имеет в (1)(Qn R+) единственное решение p j-u(x, t) = e-A(-p k)t u0, k; ja n n kJp 0,jZn,aIp t j-+ e-A(-p k)(t-) f(, ), k; ja() d k; ja(x), (7.3.5) где k; ja(x) - n-мерные p-адические хааровские всплески (5.8.8).
Для уравнения (7.3.1) получено условие стабилизации решения когда t .
Теорема 7.3.4 (см. [16]) Пусть символ псевдодифференциального оператора Ax в (7.3.1) удовлетворяет условию A pj(-p-1k + ) = A - pj-1k, Re A - pj-1k > 0, Zn, p n для всех j Zn, k Jp 0. Пусть f (0)(Qn R+). Предположим также, p n n что для каждого k Jp 0, j Zn, a Ip lim f(, t), k; ja() = ck; ja (= const).
t Тогда решение (7.3.5)) задачи Коши (7.3.1) стабилизируется при t :
ck; jak; ja(x) lim u(x, t) = g(x) = (Qn), x Qn.
p p t A(-pj-1k) n n kJp 0,jZn,aIp В разделе 7.4 (теорема 7.4.1) решается задача Коши для линейного уравнения второго порядка по t:
2u + A1x u + A2xu(x, t) + u(x, t) = f(x, t), t2 t (7.4.1) u(x,0) u(x, t), (Qn), p t где A1x, A2x - псевдодифференциальные операторы (6.3.1) (относительно x). В этом же разделе (теорема 7.4.2) решается задача Коши для псевдодифференциальных уравнения m-го порядков по t:
m ru(x,t) Arx tr + u(x, t) = f(x, t), r=(7.4.10) u(x,0) k-1u(x,0) u(x, 0),,..., (Qn), p t tm-где Arx, r = 0, 1,..., m - псевдодифференциальные операторы (6.3.1) (относительно x).
В разделе 7.5 (теоремы 7.5.1, 7.5.2) решаются задачи Коши для полулинейных уравнений u(x, t) + Axu(x, t) + u(x, t)|u(x, t)|2m = 0, u(x, 0) = u0(x) (Qn);
p t (7.5.1) u(x, t) i - Axu(x, t) + u(x, t)|u(x, t)|2m = 0, u(x, 0) = u0(x) (Qn), p t (7.5.11) где m N. Приведем формулировку теоремы 7.5.1.
Теорема 7.5.1 (см. [16]) Пусть символ псевдодифференциального оператора Ax в (7.5.1) удовлетворяет условию (6.4.4), т.е.
A pj(-p-1k + ) = A - pj-1k, Zn, p n для всех j Zn, k Jp 0. Тогда в классе распределений (1)(Qn R+), p таких, что в представлении (7.1.1) имеем pj -ja - a Zn, если j < j, / p задача Коши (7.5.1) имеет единственное решение u(x, t) = 2m ReA(-pj-1k) j-ReA(-pj-1k) + | u0, k; ja |2mp-mnj 1 - e-2mReA(-p k)t n kJp 0, jZn, n aIp j- u0, k; ja e-A(-p k)t k; ja(x), t 0, (7.5.4) где k; ja(x) - n-мерные p-адические хааровские всплески (5.8.8).
В этой же главе решены задачи Коши для случая, когда в упомянутых псевдодифференциальных уравнениях вместо операторов (6.3.1) используются дробные операторы (6.3.5). Так как построенные всплески автоматически являются собственными функциями дробного оператора(6.3.5), в этом случае мы получаем решение соответствующих задач Коши без дополнительных предположений (6.4.4). Уравнение (7.3.1) - аналог классического параболического уравнения; уравнения (7.3.16) и (7.5.1) - аналоги линейного и нелинейного уравнений Шредингера, соответственно.
В главе 8 УАсимптотики распределений и p-адические тауберовы теоремыФ (результаты которой базируются на статьях [14], [15], [11]) введены определения квази-асимптотик p-адических распределений, исследованы их свойства и даны доказательства нескольких p-адических многомерных тауберовых теорем для распределений из пространства Лизоркина (Qn). Ранее p-адические аналоги тауберовых теорем не рассматp ривались. Введенные квази-асимптотики являются p-адическим аналогом вещественных квази-асимптотик используемых в книге В. С. Владимирова, Ю. Н. Дрожжинова, Б. И. Завьялова, УМногомерные тауберовы теоремы для обобщенных функцийФ, Москва, Наука, 1986. В дальнейшем запись f(x) g(x), |x|p (t) будет обозначать, тот факт, что распределение f (Qn) имеет квази-асимптотику g степени на бесконечности p относительно автомодельной функции (t), где - мультипликативный характер мультипликативной группы поля Qp. Упомянутые тауберовы теоремы связаны с преобразованием Фурье, дробными операторами Влади мирова D, Cn, Тайблесона D, C и псевдодифференциальным оператором (6.3.1). Приведем формулировки двух теорем.
Теорема 8.5.5 ( [14], [15]) Распределение f (Qp) имеет квазиасимптотику на бесконечности относительно автомодельной функции (t) степени в том и только в том случае, если существует натуральное число N > - + 1 такое, что D-Nf(x) lim = C = 0, |x|p |x|N(x) p т.е. (дробная) первообразная D-Nf(x) порядка N имеет асимптотику на бесконечности степени +N (понимаемую в обычном смысле), где C константа.
Теорема 8.5.6 ( [14], [15]) Пусть A() E(Qn \ {0}) - символ однородp ного степени псевдодифференциального оператора (6.3.1) и f (Qn).
p Тогда f(x) g(x), |x|p (t) в том и только в том случае, если -(Af)(x) (Ag)(x), |x|p (t)(t).
В главе 9 УАсимптотики p-адических сингулярных интегралов ФурьеФ (результаты которой основаны на статье [17]) изучено асимптотическое поведение p-адических сингулярных интегралов Фурье:
J,m;(t) = f ;m(x)p(xt), (x), |t|p , где f ;m(x) D (Qp) - квази-присоединенное однородное распределение степени (x) = |x|-11(x) и порядка m; (x), 1(x), и p(x) - мультиp пликативный, нормированный мультипликативный и аддитивный характеры поля p-адических чисел, соответственно, (x) D(Qp) - основная функция, m = 0, 1, 2..., C.
Все построенные асимптотические соотношения для интеграла Фурье J,m;(t) при |t|p обладают необычным для вещественного случая свойством стабилизации. А именно, эти асимптотические соотношения становятся точными равенствами для достаточно больших |t|p > s(), где s() = p-l+k - параметр стабилизации, l - параметр постоянности основной функции , k0 - ранг мультипликативного характера . Теоремы, дающие описание упомянутых асимптотических соотношений для J,m;(t) при |t|p являются теоремами абелевого типа.
В главе 10 УНелинейные теории обобщенных функций (вещественный и p-адический случаи)Ф развивается нелинейная теория распределений (обобщенных функций). Используя эти результаты можно решать как линейные, так и нелинейные сингулярные задачи вещественного и p-адического анализа, связанные с теорией распределений. Результаты этой главы базируются на статьях [10], [2], [3], [24], [7], [25], [8], [26], [27].
Мы также используем некоторые конструкции из наших статей об алгебрах распределений [5], [21], [13, Sec.1-2].
Для вещественного случая построены новые версии алгебр обобщенных функций Коломбо [24], [7], [25]. В частности, построены алгебра Коломбо Gharm(Rn), порожденная гармоническими (или полигармоническими) регуляризациями распределений и алгебра Ж.Ф. Коломбо Ganalyt(Rn), порожденная аналитическими регуляризациями распределений. Построение алгебры Коломбо Gharm(Rn) решает (в обобщенной постановке) одну задачу из книги М. Обергуггенбергера, УMultiplication of distributions and applications to partial differential equationsФ, Longman, Harlow, U.K., 19(см. Problem 27.1).
Мы показали, что алгебра асимптотических распределений E, порожденная вещественными КПОР (введенными в главе 3), которая была введена ранее в нашей статье, вкладывается в алгебру Коломбо Gharm(R) как подалгебра. Каждый элемент алгебры E (а значит и произведение КПОР) (называемый асимптотическим распределением) представляет собой финитное слева вектор-распределение.
В наших работах [8], [26], [27] был исследован алгебраический аспект сингулярных решений квазилинейных систем законов сохранения (в вещественном случае), в которых могут возникать дельта-образные сингулярности. Это так называемые решения типа - и -ударных волн, которые не вписываются в классическую теорию Лакса и Глимма.
Были рассмотрены системы законов сохранения:
F (u, v) G(u, v) u v + = 0, + = 0, (10.4.6) t x t x и G(u, v) H(u, v) v (uv) + = 0, + = 0, (10.4.7) t x t x где функции потока F (u, v), G(u, v), H(u, v) являются гладкими и линейными по v; u = u(x, t), v = v(x, t) R; x R. Эти системы допускают решения -ударных волн. Была также рассмотрена система, допускающая решения типа -ударных волн:
f(u) u + = 0, t x f (u)v v (10.4.13) + = 0, t x f (u)v2 + f (u)w w + = 0, t x где f(u) - гладкая функция, u = u(x, t), v = v(x, t), w = w(x, t) R, x R.
Для таких сингулярных решений систем (10.4.6) (10.4.7) и (10.4.13) в теоремах 10.5.1 - 10.5.4 были построены функции потоков F (u, v), G(u, v), H(u, v), и f(u), f (u)v, f (u)v2 + f (u)w, которые будучи нелинейными, являются, однако, однозначно определенными шварцевскими распределениями из D (R). Их можно рассматривать как УправильныеФ сингулярные суперпозиции распределений (произведения распределений), которые можно определить только в контексте решения задачи Коши. Функции потока могут быть сильно сингулярными и содержать как -функции, так и их производные, причем их структура определяется структурой линейных членов уравнений. Таким образом, сингулярное решение задачи Коши для систем (10.4.6), (10.4.7), (10.4.13) порождает алгебраические соотношения между его компонентами (распределениями). Невзирая на то, что УправильныеФ сингулярные суперпозиции распределений являются однозначно определенными распределениями, они имеют УстранныеФ специфические свойства.
В этой же главе построена ассоциативная и коммутативная алгебра pадических обобщенных функций Коломбо-Егорова Gp(Qn) [10], [2], [3]. В p алгебре Gp(Qn) можно определить произведение p-адических распределеp ний из D (Qn), которое в общем случае будет обобщенной функцией из p Gp(Qn). Эта алгебра также является ассоциативной сверточной алгеброй.
p Существует линейное инъективное вложение D (Qn) Gp(Qn), при этом p p пространство D(Qn) является подалгеброй в алгебре Gp(Qn). Отметим, p p что вложение пространства распределений алгебру Коломбо можно осуществить различными способами - нет естественного канонического вложения. Этот дефект типичен для подхода Коломбо. В отличие от вещественного случая алгебры Коломбо, в p-адической алгебре Коломбо-Егорова мы можем определить произвольную непрерывную функцию от обобщенных функций.
В Gp(Qn) вводятся операции дробного дифференцирования и дробного p интегрирования с помощью дробных операторов Владимирова и Тайблесона (вместо операций дифференцирования и интегрирования). Доказаны следующие теоремы.
Теорема 10.8.1 Семейство операторов Владимирова {D : Cn} на пространстве обобщенных функций Gp(Qn) образует n-параметрическую p абелеву группу: если f Gp(Qn), то p + DDf = DDf = D f, - DD f = f, , Cn.
Теорема 10.8.2 Семейство операторов Тайблесона {D : C} на пространстве обобщенных функций Gp(Qn) образует однопараметричеp скую абелеву группу: если f Gp(Qn), то p DDf = DDf = D+f, DD-f = f, , C.
Чтобы определить операторы Владимирова и Тайблесона на Gp(Qn), исp пользуются последовательности основных функций из пространств Лизоркина.
Также построена ассоциативная алгебра A, порожденная линейной оболочкой A множества квази-присоединенных однородных p-адических распределений (КПОР), которые введены в главе 3) [10], [2], [3]. Каждый элемент алгебры f(x) A (называемый асимптотическим распределением) является произведением КПОР распределений и представляет собой вектор-распределение (финитное справа и слева):
f(x) = f(,n)(x), m R, m, n Z+, x Qp, (10.9.7) m 0 = 0, m R - возрастающая последовательность; компоненты вектора f(,0)(x) A и f(,n)(x) = cmn(x); m = 1, 2,..., M, n = 0, 1,..., N, 0 m M N, N Z+; cmn и M, N - константы. Будем отождествлять распределение f(x) из подпространства A с вектор-распределением f(x) = f(,n)(x), где f0,N(x) = f(x), а остальные компоненты равны нулю, то m есть имеет место вложение A A. Алгебра асимптотических распределений A вкладывается как подалгебра в алгебру Коломбо-Егорова Gp(Qp).
При построении алгебры асимптотических распределений, аппроксимация произведения распределений строилась в виде слабой асимптотики. Такой подход к определению произведения распределений оказался весьма продуктивным при решении задач, возникающих в теории разрывных решений нелинейных гиперболических систем уравнений (в вещественном случае).
В приложении A приводятся два тождества, которые используются в главах 3, 9. В приложении B доказывается теорема о слабых асимптотических разложениях, которая используется в главе 10.
3. Основные результаты работы Х В пространстве D (R) исследовано понятие присоединенного однородного распределения (ПОР). Доказано, что существуют только ПОР порядков k = 0 и k = 1. Введено определение квазиприсоединенного однородного распределения (КПОР), обобщающее определение ПОР. Дано описание всех одномерных КПОР и их преобразований Фурье. Для многомерных КПОР доказан аналог классической теоремы Эйлера. Дано описание класса p-адических КПОР и их преобразований Фурье.
Х Введено определение p-адической версии кратно-масштабного анализа (КМА). Построена кратно-масштабная теория p-адических одномерных и многомерных всплесков (вейвлет) хааровского типа. В отличие от вещественного случая, существует бесконечное множество различных p-адических ортонормальных базисов всплесков, порожденных тем же самым хааровским КМА. Приведены формулы, дающие описание всех этих базисов (один из этих одномерных базисов совпадает с базисом всплесков, построенным С.В. Козыревым). Описан широкий класс p-адических масштабирующих функций, порождающих КМА. Построено бесконечное семейство p-адических одномерных и многомерных базисов всплесков (вейвлет) нехааровского типа. Нехааровские базисы могут быть получены в рамках модифицированного хааровского КМА. Доказан p-адический аналог теоремы Шеннона-Котельникова.
Х Введены и изучены p-адические пространства Лизоркина основных функций и распределений, которые являются естественной областью определения p-адических псевдодифференциальных операторов. На пространствах Лизоркина исследованы дробные операторы Владимирова и Тайблесона и один новый класс многомерных псевдодифференциальных операторов (включающий в себя дробный оператор и псевдодифференциальные операторы, изученные в работах А.Н. Кочубея и В. Зуниги-Галинды). Показано, что пространства Лизоркина инвариантны относительно действия упомянутых операторов.
Построена спектральная теория рассмотренных псевдодифференциальных операторов. Получены необходимые и достаточные условия того, что p-адические всплески являются собственными функциями псевдодифференциальных операторов. Кроме того доказано, что все построенные нами p-адические всплески являются собственными функциями дробного оператора. Последние результаты играют фундаментальную роль в p-адическом анализе и его приложениях, в особенности, для решения псевдодифференциальных уравнений.
Х В явном виде найдены решения задач Коши для p-адических линейных и полулинейных псевдодифференциальных эволюционных уравнений.
Метод построения решений опирается на теорию p-адических всплесков.
Х Введено определение и исследованы свойства квази-асимптотики pадических распределений. Эти квази-асимптотики - p-адический аналог вещественных квази-асимптотик из книги В.С. Владимирова, Ю.Н. Дрожжинова, Б.И. Завьялова, УМногомерные тауберовы теоремы для обобщенных функцийФ, Москва, Наука, 1986. Доказаны p-адические многомерные тауберовы теоремы для распределений Лизоркина.
Изучено асимптотическое поведение p-адических сингулярных интегралов Фурье, связанных с КПОР. Теоремы, описывающие асимптотическое поведение интегралов Фурье, являются теоремами абелевого типа.
Х Построен алгебраический аппарат, в рамках которого можно решать линейные и нелинейные сингулярные задачи вещественного и p-адического анализа, связанные с теорией распределений. Именно, построены новые версии вещественных алгебр Коломбо. Также построены алгебра p-адических обобщенных функций Коломбо-Егорова и ассоциативная алгебра pадических асимптотических распределений, порожденная КПОР. Последняя алгебра является подалгеброй в алгебре Коломбо-Егорова. В отличие от стандартной схемы Коломбо, в рамках наших конструкции обобщенные функции Коломбо можно представлять в виде слабых асимптотических разложений (по параметру аппроксимации) коэффициенты которых являются распределениями Шварца.
Х Исследован алгебраический аспект сингулярных решений квазилинейных систем законов сохранения (в вещественном случае), в которых могут возникать дельта-образные сингулярности. На этих решениях построены функции потока, которые будучи нелинейными, являются, однако, однозначно определенными шварцевскими распределениями. Их можно рассматривать как УправильныеФ сингулярные суперпозиции распределений, которые определяются только в контексте решения задачи Коши.
итература [1] С. Альбеверио, А. Ю. Хренников, В. М. Шелкович, Присоединенные однородные p-адические обобщенные функции, Доклады РАН, 393, no. 3, (2003), 300Ц303.
[2] С. Альбеверио, А. Ю. Хренников, В. М. Шелкович, Ассоциативные алгебры p-адических распределений, Труды Математического института им. В. А. Стеклова, т. 245, 2004, Москва, 29Ц41.
[3] С. Альбеверио, А. Ю. Хренников, В. М. Шелкович, Нелинейные сингулярные проблемы p-адического анализа: ассоциативные алгебры pадических распределений, Известия Академии Наук, Сер. Матем., 69, no. 2, 2005, 3Ц44.
[4] С. Альбеверио, А. Ю. Хренников, В. М. Шелкович, p-Адические полулинейные эволюционные псевдодифференциальные уравнения в пространствах Лизоркина, Доклады РАН, 415, no. 3, (2007), 295Ц299.
[5] О. Г. Смолянов, А. Ю. Хренников, В. М. Шелкович, Мультипликативные структуры в линейном пространстве векторнозначных распределений, Доклады РАН, 383, no. 1, (2002) 28Ц31.
[6] А.Ю. Хренников, В.М. Шелкович, Нехааровские p-адические всплески и псевдодифференциальные операторы, Доклады РАН, 418, no. 2, (2008), 167Ц170.
[7] В.М. Шелкович, Теория обобщенных функций Коломбо, использующая гармонические регуляризации, Матем. заметки, 63, no. 2, 1998, 313Ц316.
[8] В.М. Шелкович, Сингулярные решения систем законов сохранения типа - и -ударных волн и процессы переноса и концентрации, Успехи Математических Наук, 63, вып. 3(381), (2008), 73Ц146.
[9] S. Albeverio, A.Yu. Khrennikov, V.M. Shelkovich, Associated homogeneous p-adic distributions, J. Math. An. Appl., 313, (2006), 64Ц83.
[10] S. Albeverio, A.Yu. Khrennikov, V.M. Shelkovich, p-adic ColombeauEgorov type theory of generalized functions, Mathematische Nachrichten, 278, no. 1-2, (2005), 3Ц16.
[11] S. Albeverio, A.Yu. Khrennikov, V.M. Shelkovich, Harmonic analysis in the p-adic Lizorkin spaces: fractional operators, pseudo-differential equations, p-adic wavelets, Tauberian theorems, Journal of Fourier Analysis and Applications, Vol. 12, Issue 4, (2006), 393Ц425.
[12] S. Albeverio, A.Yu. Khrennikov, V.M. Shelkovich, Pseudo-differential operators in the p-adic Lizorkin space, in: p-Adic Mathematical Physics.
2-nd International Conference, Belgrade, Serbia and Montenegro, 15-September 2005, Eds: B. Dragovich, Z. Rakic, Melville, New York, 2006, AIP Conference Proceedings - March 29, 2006, Vol. 826, Issue 1, 195Ц205.
[13] V.G. Danilov, G.A. Omel yanov, V.M. Shelkovich, Weak Asymptotics Method and Interaction of Nonlinear Waves, in Mikhail Karasev (ed.), УAsymptotic Methods for Wave and Quantum ProblemsФ, Amer. Math.
Soc. Transl., Ser. 2, 208, 2003, 33Ц165.
[14] A.Yu. Khrennikov, and V.M. Shelkovich, Tauberian theorems for p-adic distributions, Integral Transforms and Special Functions, 17, no. 02-03, (2006), 141Ц147.
[15] A.Yu. Khrennikov, and V.M. Shelkovich, Distributional asymptotics and padic Tauberian and Shannon-Kotelnikov theorems, Asymptotical Analysis, 46(2), (2006), 163Ц187.
[16] A.Yu. Khrennikov, V.M. Shelkovich, Non-Haar p-adic wavelets and their application to pseudo-differential operators and equations, Applied and Computational Harmonic Analysis, 28, (2010), 1Ц23.
[17] A.Yu. Khrennikov, V.M. Shelkovich, Asymptotical behavior of one>
[18] A.Yu. Khrennikov, V.M. Shelkovich, An infinite family of p-adic nonHaar wavelet bases and pseudo-differential operators, p-Adic Numbers, Ultrametric Analysis and Applications, 1, no. 3, (2009), 204-216.
[19] A.Yu. Khrennikov, V.M. Shelkovich, M. Skopina, p-Adic refinable functions and MRA-based wavelets, (2007), Journal of Approximation Theory, 161, (2009), 226Ц238.
[20] A.Yu. Khrennikov, V.M. Shelkovich, M. Skopina, p-Adic orthogonal wavelet bases, p-Adic Numbers, Ultrametric Analysis and Applications, 1, no. 2, (2009), 145Ц156.
[21] A.Yu. Khrennikov, V.M. Shelkovich, O.G. Smolyanov, Locally convex spaces of vector-valued distributions with multiplicative structures, Infinite-Dimensional Analysis, Quantum Probability and Related Topics, 5, no. 4, (2002), 1Ц20.
[22] A. Yu. Khrennikov, V.M. Shelkovich, and O.G. Smolyanov, An associative algebra of vector-valued distributions and singular solutions of nonlinear equations, in: Mathematical modelling in physics, engineering and cognitive sciences. v. 7. Proceedings of the conference УMathematical Modelling of Wave PhenomenaФ, November 2002. Edited by B. Nilsson and L. Fishman, Vxj University Press, 2004, 191Ц205.
[23] V.M. Shelkovich, Associated and quasi associated homogeneous distributions (generalized functions), J. Math. An. Appl., 338, (2008), 48Ц70.
[24] V. M. Shelkovich, The Colombeau algebra and an algebra of asymptotical distributions, Proceedings of the International Conference on Generalized Functions (ICGF 2000), eds. A. Delcroix, M. Hasler, J.-A. Marti, V. Valmorin, University of French West Indies. Cambridge Scientific Publishers Ltd., 2004, 317Ц328.
[25] V.M. Shelkovich, New versions of the Colombeau algebras, Mathematische Nachrichten, 278, no. 11, 2005, 1Ц23.
[26] V.M. Shelkovich, Delta-shocks, the RankineЦHugoniot conditions, and singular superposition of distributions, Proceedings of International Seminar Days on DifractionТ2004, June 29-July 2, 2004, Faculty of Physics, St.Petersburg, 2004, 175Ц196.
[27] V.M. Shelkovich, Singular solutions to systems of conservation laws and their algebraical aspect, in the Banach Center Publications, Vol. 88, УLinear and non-linear theory of generalizeed functions and its applicationsФ Warszawa, Poland, 2010, 251Ц266.
[28] V.M. Shelkovich, M. Skopina, p-Adic Haar multiresolution analysis and pseudo-differential operators, Journal of Fourier Analysis and Applications, Vol. 15, Issue 3, (2009), 366Ц393.