Geum.ru
Авторефераты по всем темам  >>  Авторефераты по техническим специальностям

На правах рукописи

УДК 51-77+ 330.4

Крылова Ольга Игоревна Математические модели социально - экономических и природных процессов на основе мультифрактальной динамики с кусочнолинейными и нелинейными трендами

Специальность 05.13.18 Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Тверь 2012

Работа выполнена на кафедре общей математики и математической физики в ФГБОУ ВПО Тверской государственный университет

Научный консультант: доктор физико-математических наук профессор Цветков Виктор Павлович

Официальные оппоненты:

ФГБОУ ВПО Тверской государственный университет Заведующая кафедрой компьютерной безопасности и математических методов управления доктор физико-математических наук профессор Андреева Елена Аркадьевна ФГБОУ ВПО Тверской государственный технический университет Заведующий кафедрой программного обеспечения вычислительной техники доктор физико-математических наук профессор Калабин Александр Леонидович

Ведущая организация:

Центральный экономико-математический институт РАН

Защита состоится 14 декабря 2012 г. в 14.00 на заседании диссертационного совета Д 212.263.04 в Тверском государственном университете по адресу: 170002, г. Тверь, Садовый пер., 35, ауд. 2

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Тверского государственного университета по адресу: 170100 г. Тверь, ул. Володарского, 44а.

Отзывы на автореферат, подписанные и заверенные печатью, просим направлять по адресу: 170002 г. Тверь, Садовый пер., 35, диссертационный совет Д 212.263.04, ученому секретарю.

Автореферат опубликован на официальном сайте ВАК Министерства образования и науки РФ ( и на официальном сайте Тверского государственного университета ( Автореферат разослан л__ ноября 2012 г.

И. о. ученого секретаря диссертационного совета Д 212.263.доктор физико - математических наук доцент _______Зингерман К. М.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность. В настоящее время глобальные социально - экономические и природные процессы часто характеризуются кризисными явлениями, для предотвращения или снижения уровня их последствий необходима целенаправленная деятельность на основе прогнозирования развития ситуации. Объектом исследования в данной работе являются процессы изменения глобальной температуры атмосферы, биржевой цены на нефть марки Brent, численности народонаселения.

Основным способом прогнозирования поведения глобальных систем является моделирование. Широко известные методы и подходы, такие как модель фрактального броуновского движения1, экстраполяционный метод прогнозирования2,3 и другие4,5,6 не обеспечивают адекватное описание вышеперечисленных глобальных процессов в широком диапазоне условий7.

Это связано с существенно нелинейным характером поведения рассматриваемых систем, отсутствием детальной информация о происходящих в них процессах и внешних воздействий на них, возникновением ситуаций с неоднозначным исходом и рядом других обстоятельств. В частности, глобальные системы имеют свойство самоорганизации и фрактальный характер поведения8, которые должным образом не учитываются в моделях.

Целью исследования является повышение качества прогноза глобальных социально - экономических и природных процессов на основе анализа (посредством моделирования) их фрактальных свойств.

В настоящее время одним из перспективных методов фрактальной теории для описания глобальных и региональных социально-экономических и природных систем является метод мультифрактальной динамики9.

Мультифрактальные особенности временных рядов хорошо выявляются при их структурном анализе с использованием методов графического трендового анализа. Поэтому предмет исследования - моделирование социально - экономических и природных процессов на основе совместного использования фрактального и трендового анализа является актуальным.

В моделях мультифрактальной динамики широко применяются кусочноЦлинейные тренды. Однако для процессов с большим размахом осцилляционной составляющей, например, глобального потепления, для Б.Мандельброт. Фрактальная геометрия природы. М. Наука. 1992.

Дынкин А. А. (Ред.). Мировая экономика: прогноз до 2020г. М.: Магистр. 20Клинов В. Г.. Мировая экономика: прогноз до 2050 г. Вопросы экономики 5. 2008, 62-Яковец Ю. В. Прогноз технологического развития мира и России и стратегия инновационного прорыва. М.:

МИСК 2008.

Б.Н, Кузык, Ю.В. Яковец. Россия - 2050: стратегия инновационного прорыва. М.: Экономика Столерю Л. Равновесие и экономический рост (принципы макроэкономического анализа). М.: Статистика.

19А.А. Акаев, В.А.Садовничий. О новой методологии долгосрочного циклического прогнозирования динамики развития мировой системы и России.// Прогноз и моделирование кризисов и мировой динамики / Отв.ред. А.А.Акаев, А.В.Коротаев, Г.Г.Малинецкий. - М.: Издательство ЛКИ, 2010. Цс 5 - 69.

Капица С. П., Курдюмов С. П., Малинецкий Г.Г. Синергетика и прогнозы будущего //М: URSS, 20Kudinov A. N., V.P.Tsvetkov, I.V. Tsvetkov. Catastropfes in multifractal dynamics. RJMP,vol. 18,№ 2, 2012, pp.

149 - 1повышения качества прогноза в моделях необходимо использовать более сложные тренды. В связи с этим актуальной является научная задача построения математических моделей глобальных социально - экономических и природных процессов на основе мультифрактальной динамики с нелинейными трендами.

Методы исследования. В диссертационной работе использованы методы фрактального и трендового анализа, теории катастроф. Для повышения достоверности прогноза рассматриваются два направления - повышение точности расчета фрактальной размерности и повышение точности аппроксимации тренда процесса.

Область исследования. Содержание диссертации соответствует паспорту специальности 05.13.18 - математическое моделирование, численные методы и комплексы программ (физико - математические науки) по следующим областям исследований:

разработка, исследование и обоснование математических объектов;

комплексное исследование научных и технических, фундаментальных и прикладных проблем с применением современной технологии математического моделирования и вычислительного эксперимента;

разработка новых математических методов и алгоритмов проверки адекватности математических моделей объектов на основе данных натурного эксперимента.

Основные положения, выносимые на защиту:

1. Мультифрактальная модель глобальных социально - экономических и природных процессов с нелинейным трендом, основанным на модификации кусочно- линейного тренда за счет введения членов седьмой степени в уравнение трендовой линии.

2. Алгоритм анализа трендовой структуры и расчета фрактальной размерности временных рядов социально - экономических и природных процессов и его программная реализация.

3. Результаты исследований процессов изменения глобальной температуры атмосферы, биржевых цен на нефть марки Brent, численности народонаселения.

ичное участие автора заключается в разработке алгоритма анализа трендовой структуры и расчета фрактальной размерности временного ряда, проведении вычислительных экспериментов при исследовании глобальных процессов, разработке нестатистического показателя достоверности и оценке с его помощью качества прогноза биржевых цен на нефть марки Brent 2009 и 2010 годах. В работу включены результаты совместных исследования глобальных социально - экономических и природных процессов в рамках мультифрактальной модели с линейным и нелинейным трендом.

Теоретическая и практическая значимость диссертации заключается:

в разработке новых математических моделей социально - экономических и природных процессов с нелинейным трендом, которые могут использоваться в автоматизированных системах прогнозирования и торговых (биржевых) системах;

в разработке нового алгоритма анализа трендовой структуры и расчета фрактальной размерности временных рядов социально - экономических и природных процессов и реализующий его программы для ЭВМ.

Достоверность полученных результатов основана:

на использовании апробированных аналитических методов фрактального и трендового анализа, теории катастроф;

на подтверждении результатов, полученных аналитическими методами, с фактическими данными;

на строгом математическом обосновании концепции мультифрактальной динамики для описания социально - экономических и природных процессов.

Научная новизна результатов состоит:

1. В создании и развитии новой математической модели описания социально - экономических и природных процессов мультифрактальной динамики с кусочно-линейными и нелинейными трендами.

2. В построении нового алгоритма анализа трендовой структуры и расчета фрактальной размерности временных рядов социально - экономических и природных процессов.

3. В сделанных прогнозах цен на нефть, росте народонаселения, тенденций глобального потепления.

Новизна ряда положений подтверждена Свидетельством о государственной регистрации программы для ЭВМ в Федеральной службе по интеллектуальной собственности, патентам и товарным знакам.

Апробация и реализация основных результатов работы. Основные результаты работы докладывались и обсуждались в 2008 - 2012 годах на ежегодной межвузовской студенческой научной конференции по экономике (Тверь, 2008 г.), межрегиональной научно-практической конференции (Тверь, 2009 г.), Международной конференции Математическое моделирование и вычислительная физика ( Дубна, ОИЯИ, 2009 г.), на Международной междисциплинарной научной конференции (Шестые курдюмовские чтения Синергетика в Естественных науках, Тверь, 2010 г.);

Всероссийской конференция Организационно - экономические и социальные проблемы села ( Тверь, 2010 г), первой Международной научно-практической конференции по экономике (Тверь, 2012 г.).

Исследования по теме диссертации получили финансовую поддержку РФФИ: грант Математическое моделирование региональных социально - экономических систем на основе фрактального подхода №10 - 10- 9752010 г., грант Математическое моделирование состояний и катастроф нелинейных динамических систем № 11 - 01 - 00565 - и 2011-2013 гг.

Публикации и свидетельства о государственной регистрации программ для ЭВМ. Основные результаты диссертации опубликованы в научных трудах, в том числе 14 статьях, из них 6 - в изданиях, рекомендованных ВАК. Получены два свидетельства о государственной регистрации программы для ЭВМ в Федеральной службе по интеллектуальной собственности, патентам и товарным знакам.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, семи глав, заключения, приложения и включает 109 страниц машинописного текста. В списке литературы 101 наименование.

Содержание диссертации Во введении обоснована актуальность темы диссертации, сформулированы цель исследования и научная задача, изложены основные результаты, выносимые на защиту, их новизна, обоснованность и достоверность, представлены сведения о публикациях, апробации и реализации основных результатов диссертации.

В главе 1 приведены элементарные сведения о фракталах и мультифракталах и способах расчета фрактальной размерности.

В данной работе для расчета фрактальной размерности используется способ, основанный на зависимости длины фрактальной кривой от масштаба измерения в виде степенной функции. Для этого исходный временной ряд с временным дискретом представляется в графическом виде - по оси абсцисс откладываются временные дискреты Ц, а по оси ординат - значения и строится график - ломаная линия, соединяющая значения соседних элементов ряда Ц.

Реализация этого способа осуществляется следующим способом.

1.Временной ряд разбивается на группы. Группа данных заменяется на одного представителя (со средними значениями) - групповой элемент и строятся графики для группового описания временного ряда.

2. Строится гистограмма длин графиков для степени группирования и аппроксимируется функцией вида где - длина графика при степени группирования 1;

- первичная фрактальная размерность.

3. Фактическая фрактальную размерность временного ряда определяется по формуле10:

, (2) где - фрактальная размерность специально сформированного стохастического ряда.

Для мультифрактального анализа временного ряда, предварительно выявляют трендовую структуру графика ряда в следующем порядке. Сначала выделяют трендовые периоды и для каждого из них строят трендовую линию. Под трендовым периодом понимается период времени, в течение которого трендовые параметры (тенденции) процесса не меняются.

Обычно в качестве трендовой линии используют линию регрессии и относительно нее строят трендовый канал. Под трендовым каналом Кудинов А.Н., Сажина О.И., Цветков В.П., Цветков И.В. Фрактальная модель динамики цен на нефть в период 2008 - начало 2009 г. и прогноз цен на нефть на ее основе.// Финансы и кредит, №(364) 2009, с. 12-15.

понимается область, ограниченную двумя отрезками прямых линий, параллельных линии тренда, в котором находится все множество значений временного ряда в рассматриваемый период. Часто временные ряды социально-экономических и природных процессов имеют ярко выраженный трендовый характер, в этом случае для уменьшения ошибки в расчете фрактальной размерности в работе предложено нормировочный временной ряд формировать внутри трендовых каналов В работе для мультифрактальных исследований разработан алгоритм анализа трендовой структуры и расчета фрактальной размерности временных рядов11, описание которого приводится ниже:

I. Ввод исходных данных:

I. 1. Массив значений временного ряда;

I. 2. Условно постоянные (временная дискрета (масштаб); порядок скользящих средних - и ; минимально допустимая длительность трендового периода; набор степеней группирования).

II. Последовательное определение периодов и параметров трендовой структуры:

II. 1. Проверка первого критерия: изменение знака разности скользящих средних с постоянными накопления и ;

II. 2. Проверка второго критерия: Длительность предварительно определенного (вычисленного) трендового периода больше допустимой;

II. 3. Расчет параметров трендовой структуры последовательно для каждого трендового периода:

II.3.1 Вычисление коэффициентов линейного тренда;

II.3.2 Вычисление ширины трендового канала.

III. Формирование стохастического ряда для каждого трендового периода.

IV. Расчет фрактальной размерности последовательно для каждого трендового периода:

IV. 1. Расчет длин огибающих временного ряда для различных степеней группирования для исходного и стохастического рядов;

IV. 2. Расчет первичной фрактальной размерности:

IV.2.1 Логарифмирование длин огибающих и степеней группирования исходного и стохастического рядов;

IV.2.2 Расчет угла наклона линии регрессии для множества логарифмических длин огибающих исходного и стохастического временных рядов при различных степенях группирования;

IV. 3. Нормировка первичной фрактальной размерности временного ряда для каждого трендового периода.

V. Вывод полученного результата.

Для реализации этого алгоритма разработана программа для ЭВМ Вычисление фрактальной размерности временных рядов.

Сажина О.И., Цветков И.В.. Новый алгоритм расчета фрактальной размерности мультифрактальных кривых. Шестые курдюмовские чтения: Синергетика в Естественных науках. Труды международной междисциплинарной научной конференции. Изд - во ТвГУ. Тверь 2010 г.с. 12-13.

Во второй главе приведены основные понятия из элементарной теории катастроф. Для исследования глобальных социально - экономических и природных процессов выбрана функция катастрофы четвертой степени (типа Сборка)12 с одной переменной состояния и двумя управляющими параметрами :

Данная функции имеет точки бифуркации и возможность изменением количества вещественных корней в решении уравнения катастрофы.

В третьей главе приведены общий вид моделей мультифрактальной динамики с кусочно-линейным и нелинейным трендом, основное уравнение и результаты его анализа. Для описания на основе мультифрактальной динамики различных процессов необходимо выполнение двух условий:

интервал наблюдения можно разбить на множество периодов, на которых ( ) имеет значение фрактальной размерности ;

скорость линейного тренда, аппроксимирующего эту функцию в каждом -ом периоде, с достаточной точностью зависит только от.

В этом случае уравнение трендового процесса можно записать в виде:

В соответствии с (4) линия тренда процесса будет представлена в виде кусочноЦлинейной функции. Однако, как показал опыт, в местах близких к стыку отдельных звеньев ломанной (кусочноЦлинейной) линии тренда возникают существенные отклонения от реальных значений. Для устранения этого недостатка (4) была модифицирована посредством введения в нее нелинейных элементов (членов седьмой степени) следующим образом13:

Из условия непрерывности и гладкости значения и определяются по следующим формулам:

Значения и находятся из экспериментальных данных.

Выбор члена седьмой степени определяется близостью к линейному тренду на большей части периода и возможностью в конце этого промежутка быстро и гладко перейти к тренду в начале следующего периода.

Учитывая бифуркационные явления в социально - экономических и природных процессах, для скорости линейного тренда в - ом трендовом периоде основное уравнение мультифрактальной динамики можно записать в следующем виде9:

Гилмор Р. Прикладная теория катастроф: Пер. с англ. М.: Мир, 1984.

13 Kudinov A. N.,Krylova O. I., V.P.Tsvetkov, I.V. Tsvetkov (2012). Global warming in mathematical model of multifractal dynamics. Russian journal of earth sciences,vol. 12, Es 3001, doi: 10.2205/2012ES000510,2012.

В этой работе для функции предлагается аналитическое представление в виде:

На начальном этапе моделирования параметры и определяются из наилучшего согласия их с опытными данными.

Анализ характера поведения основного уравнения мультифрактальной динамики показал, что наличие бифуркаций, критических точек, и их взаимное расположение, наличие областей линейного и нелинейного изменения параметров, размеры этих областей, их увязка с величиной фрактальной размерности соответствуют общим принципам развития кризисных социально-экономических и природных процессов.

В четвертой главе рассмотрена классификация социально - экономических и природных процессов по фрактальной размерности, разработана схема анализа и прогнозирования динамики мультифрактальных процессов, которая включает три этапа:

1.Анализ трендовой структуры временного ряда, включая следующие процедуры:

разбиение интервала наблюдения за процессом на трендовых периодов длительностью ;

расчет коэффициента тренда и ширины трендового канала -.

2. Фрактальный анализ временного ряда для каждого i Цго периода, включая следующие процедуры:

расчет значения фрактальной размерности процесса -, расчет параметров фрактальной модели - ;

классификация процесса (определения его типа) в - ом периоде на основании параметров модели Ц.

3.Прогнозирование основных параметров процесса, включая следующие процедуры:

установление закономерности изменения фрактальной размерности процесса в течение времени наблюдения и расчет на период прогноза;

расчет коэффициентов линейного тренда на основе ;

определение среднего прогнозного значения и допустимого интервала значения параметра процесса в период прогноза;

оценка качества прогноза по мере поступления соответствующих фактических данных о процессах.

В данной работе для оценки достоверности интервального прогноза предлагается использовать коэффициент достоверности, характеризующий долю времени, в течение которого прогнозируемая величина находилась внутри прогнозируемого диапазона величины ( ;

), от длительности периода прогноза Точность интервального прогноза оценивается по среднеквадратическому отклонению фактических данных от их среднего прогнозируемого значения ( ) при нахождении фактической величины в диапазоне ( ; ) в течение периода прогноза.

В пятой главе проведен анализ тенденции глобального потепления с 1850 по 2011 гг. в модели мультифрактальной динамики с кусочнолинейным и нелинейным трендом. Результаты вычислений параметров модели с кусочно-линейным трендом приведены в таблице 1.

Анализ мультифрактальной модели с линейным трендом показывает:

1. За время наблюдения с 1850 года в динамике температуры прослеживаются пять периодов длительностью 30 - 31 год.

2. Значение фрактальной размерности во всех пяти периодах заметно меньше критического значения ( ), и, следовательно, катастрофы в динамике глобальной температуры не происходили.

3. Величина фрактальной размерности во всех периодах меньше гауссовского значения - 1,5. Это подтверждает существенно детерминированный характер процессов, обуславливающих динамику глобальной температуры. Увеличение с 1,157 до 1,201 указывает на незначительное увеличение хаотизации глобальной температуры в целом за период наблюдения с 1850 года.

Таблица 1. Параметры модели с кусочно-линейным трендом i 1 2 3 4 30 31 30 31 0,0089 -0,0081 0,0135 -0,0016 0,01 1,140 1,166 1,141 1,203 1,1 0,2624 0,229 0,1987 0,2281 0,19 1,157 1,24. Рассчитанные значения коэффициента находятся в диапазоне 0,8 и 0,995, что указывает на сильное влияние внешних тепловых источников на температуру атмосферы Земли.

Аппроксимации графика временного ряда среднегодовой температуры нелинейным трендом приведен на рис. 1, а значения коэффициентов для нелинейного члена - в таблице 2.

0,u 0(С) 0,0,t (год) -0,-0,-0,-0,Рис.1. Аппроксимация нелинейным трендом графика среднегодовой температуры.

Таблица 2. Значения коэффициентов для нелинейного члена i 1 2 3 4 -0,0170 0,0216 -0,0151 0,0199 -0,01Сравнительный анализ мультифрактальных моделей с линейным и нелинейным трендами показывает, что точность аппроксимации (максимальное значение разности линейного и нелинейного трендов) в местах стыка кусочно- линейного тренда составила до 0,05 градусов, а в относительных единицах - до 11%.

По прогнозу среднегодовой глобальной температуры на основе мультифрактальных моделей с использованием кусочно-линейного и нелинейного трендов в период до 2042 года ожидается снижение температуры на. При этом отклонение результатов прогнозирования для различных вариантов трендов не превышало 20%.

В последующем 30 - летнем периоде с 2043 года по 2072 год прогнозируется потепление на и в целом по сравнению с 2011 годом ожидается повышение средней глобальной температуры на .

Таким образом, на основе мультифрактального анализа прогнозируется сохранение общей тенденции к потеплению в ближайшие 60 лет.

В шестой главе в рамках мультифрактальной модели проведен анализ цен на нефть в 2008 - 2010 гг., приведен краткосрочный прогноз и оценка его качества на основе фактических данных. Параметры мультифрактальной модели приведены в таблице 3. Их анализ показывает следующее.

В 2008 году большое значение коэффициента соответствует состоянию перегретости нефтяного рынка (наличию большого объема спекулятивных операций). В первом периоде этого года значение фрактальной размерности находилось близко к с левой стороны, что создавало неустойчивую ситуацию. Во втором периоде - значение фрактальной размерности увеличилось на 0,04 и произошел разворот тренда и подъем нефтяных цен сменился на спад. Процесс такого изменения цен получил название нефтяного пузыря.

1111Таблица 3. Параметры мультифрактальной модели Период наблюдения 2008 год 1 квартал 2009 г. 1 квартал 2010 г.

i 1 2 1 2 1 180 180 48 48 22 В 1 квартале 2009 года по сравнению с 2008 годом:

значение параметра увеличилось на 0,06 и сдвинулось вправо ближе к значения 1,5, характерному для броуновского движения;

коэффициент уменьшился примерно в 3 раза, что указывает на существенное снижении внешнего давления на рынок;

длительность двух соседних трендовых периодов с противоположной тенденцией изменения цен оказалась в 4 раза короче, чем в 2008 году.

В 1 квартале 2010 года по сравнению с 1 кварталом 2009 годом:

значение параметра увеличилось на 0,03 и сдвинулось дальше от значения 1,5, характерного для броуновского движения;

коэффициент уменьшился примерно в 1,5 раза, что указывает на ослабление внешнего давления на рынок;

длительность двух соседних трендовых периодов с противоположной тенденцией изменения цен на нефть для модели 2010 г. отличалась в три раза (для модели 2009 года длительности трендовых периодов примерно равны).

На основе гипотезы о сохранении динамики роста и максимальной ширины трендовых каналов в первых кварталах 2009 г. и 2010 г. были сделаны интервальные прогнозы цен на нефть на декабрь 2009 г.- 77 2 дол.

США, на декабрь 2010 г. - 89,7 5 дол. США. Эти прогнозы заранее в середине соответствующего года были опубликованы 10,14. Оценка качества этих прогнозов проиллюстрирована на рис.2 и рис. 3. Точность прогноза оказалась удовлетворительной: среднеквадратическое отклонение фактических цен от прогнозируемых составило для прогноза в декабре 20года 0,7 долларов, что соответствует 1 % от средней цены на нефть в этот период, а для прогноза в декабре 2010 года - 2, 0 доллара, что соответствует 2,2% от средней цены на нефть в этот период. Таким образом, подтверждается работоспособность предложенных моделей для прогнозирования цен на нефть в краткосрочной перспективе.

Кудинов А.Н., Сажина О.И., Цветков В.П., Цветков И.В. Анализ цен на нефть в 2009 г.

и первой половине 2010 г. и их прогноз на конец 2010 г. в рамках фрактальной модели// Финансы и кредит 38(422) - 2010. С.21-26.

85,долл./барр.

80, 75, 70, 65, 60, 55, 50, 45, 40,сутки 35, Рис. 2. График цен на нефть в 2009 году и их прогноз на конец года 95,долл./барр.

90, 85, 80, 75, 70,сутки 65, Рис.3. График цен на нефть в 2010 году и их прогноз на конец года В седьмой главе рассмотрен процесс роста населения с 1950 года.

Параметры модели мультифрактальной динамики с кусочно - линейным трендом приведены в таблице 4.

02.01.2020.01.2005.02.2023.02.2011.03.2027.03.2015.04.2001.05.2019.05.2002.06.2016.06.2030.06.2014.07.2028.07.2011.08.2025.08.2008.09.2022.09.2006.10.2020.10.2003.11.2018.11.2002.12.2016.12.2030.12.2008.01.2024.01.2007.02.2023.02.2010.03.2024.03.2007.04.2021.04.2006.05.2021.05.2004.06.2020.06.2005.07.2019.07.2002.08.2017.08.2031.08.2014.09.2028.09.2012.10.2026.10.2009.11.2023.11.2007.12.2021.12.20 Таблица 4. Параметры модели с кусочно - линейным трендом i 1 2 12 20 49,804 73,614 80,8 1,41 1,33 1, 1,Анализ параметров модели показал следующее. Выявлено три трендовых периода длительностью 12, 20, 29 лет с различной скоростью роста народонаселения. Фрактальная размерность кривой народонаселения непрерывно уменьшалась с 1.41 по 1.29 до настоящего времени, что указывает на стабильность данного процесса.

Для модели мультифрактальной динамики с нелинейным трендом рассчитанные значения коэффициентов для нелинейного члена - и ширины трендовых каналов приведены в таблице 5.

Таблица 5. Параметры модели с нелинейным трендом i 1 2 0,0235 0,0071 -0,01 9,7581 10,1557 9,20По прогнозу в модели с линейным трендом в 2024 году население Земли достигнет 8 миллиардов, а в 2030 году - 8.5 миллиардов человек.

Прогноз в модели с нелинейным трендом в силу малой ширины трендового канала отличается незначительно.

При аппроксимации графика народонаселения с 1950 года расхождение фактических и расчетных результатов составило не более 2%. Адекватность предложенной модели в краткосрочной перспективе подтверждается сделанным достоверным прогнозом на ее основе достижения в 2011 году численности народонаселения в размере 7 млрд. человек.

В заключении приведены основные результаты диссертации.

1. Предложен новый алгоритм анализа трендовой структуры и расчета фрактальной размерности для временных рядов и на его основе разработана программа для ЭВМ, которая позволяет автоматизировать мультифрактальную обработку данных о социально-экономических и природных процессах.

2. Построена математическая модель глобального потепления на основе принципов мультифрактальной динамики. Выявлено самоподобие вариаций глобальной температуры с 1850 по 2011 гг. Показано наличие в динамике 5 периодов продолжительностью 30- 31 год каждый с различным типом динамики (рост или падение) глобальной температуры в зависимости от значения фрактальной размерности, расположенных в интервалах от 1,1до 1,183 - 1,203.

Рассчитанные значения коэффициента, характеризующего интенсивность влияния глобальных тепловых потоков на среднегодовую температуру атмосферы земли лежат в диапазоне и, что указывает на сильное влияние всевозможных тепловых источников на температуру Земли.

Проведен анализ глобальной температуры в модели мультифрактальной динамики с линейным трендом, на основе которого был сделан прогноз об увеличении глобальной температуры на в ближайшие 61 год, а с использованием нелинейного тренда по прогнозу ожидается увеличение температуры только на.

3. Построена математическая модель колебаний нефтяных цен на принципах мультифрактальной динамики. Показана мультифрактальная природа поведения цен на нефть в период 2008 - 2010 гг.

На основе анализа изменения цен на нефть в 1-ых кварталах 2009 и 2010 годах в течение соответствующего года сделаны интервальные прогнозы на последние два месяца этих лет. На основе фактических данных была проведена оценка качества прогноза.

Коэффициент достоверности прогноза оказался примерно 0,6 при прогнозируемом интервале цен примерно 5% от среднего значения цены на нефть в 2009 году и 1 - при прогнозируемом интервале цен примерно 11% от среднего значения цены на нефть в 2010 году. Точность прогноза оказалась также удовлетворительной. Среднеквадратическое отклонение фактических цен от прогнозируемой равно 0,7 долларов для прогноза в ноябре - декабре 2009 года, что составило 1 % от средней прогнозируемой цены на нефть в этот период. Среднеквадратическое отклонение фактических цен от прогнозируемой равно 2, 0 доллара для прогноза в ноябре - декабре 20года, что составило 2,2% от средней прогнозируемой цены на нефть в этот период.

4. Построена математическая модель роста народонаселения с 1950 по 2011 гг. на принципах мультифрактальной динамики. Выявлено три характерных временных периода длительностью 12, 20, 29 лет со средней скоростью роста народонаселения соответственно. Это указывает на достаточно стремительный рост народонаселения. При этом наблюдается убывание значения фрактальной размерности от 1,41 до 1,29, что подтверждает стабильность данного процесса в рассматриваемом периоде наблюдения.

Проведенный в данной работе фрактальный анализ роста народонаселения с 1950 года указывает на хорошее согласие фактических данных и расчетных результатов в рамках построенной математической модели. Расхождение составило не более 2%. Правильный прогноз достижения 7 млрд. численности народонаселения в 2011 году, сделанный в рамках предложенной модели, говорит об адекватности этой модели фактическим данным.

По прогнозу на основе модели с кусочно - линейным трендом ожидается, что в 2024 году население Земли достигнет 8 миллиардов, а в 2030году - 8,5 миллиардов человек. Несколько иной прогноз следует из модели с нелинейным трендом, согласно которой после 2012 года скорость роста народонаселения окажется на меньше чем в третьем периоде в модели с нелинейным трендом.

5. Рассмотрена возможность использования модели мультифрактальной динамики для исследования сельскохозяйственного сектора Тверского региона. На примере исследования общего количества посевных площадей с 1949 по 2009 гг. показано наличие катастрофы типа Сборка в период с 1991 - 1995 гг.

Основные результаты диссертации опубликованы:

I. В изданиях, рекомендованных ВАК:

1. Кудинов А.Н., Сажина О.И., Цветков В.П., Цветков И.В.

Фрактальная модель динамики цен на нефть в период 2008 - начало 2009 г. и прогноз цен на нефть на ее основе.// Финансы и кредит, №28 (364) 2009. С.

12-15.

2. Кудинов А.Н., Сажина О.И., Цветков В.П., Цветков И.В. Анализ цен на нефть в 2009 г. и первой половине 2010 г. и их прогноз на конец 2010 г. в рамках фрактальной модели// Финансы и кредит 38(422) - 2010. С.21-26.

3. Кудинов А.Н., Цветков В.П., Цветков И.В., Сажина О.И.

Фрактальный анализ динамики цен на нефть// Программные продукты и системы. 2010. № 1. С. 10-11.

4. Кудинов А. Н., Сажина О. И., Цветков В. П., Цветков И. В.

Фрактальная модель роста народонаселения// Вестник Российского университета дружбы народов. Серия: математика, информатика, физика. № 2 (2), 2010. С. 132-138.

5. Kudinov A. N.,Krylova O. I., V.P.Tsvetkov, I.V. Tsvetkov (2012). Global warming in mathematical model of multifractal dynamics. Russian journal of earth sciences,vol. 12, Es 3001, doi: 10.2205/2012ES000510,2012.

6. Крылова О.И., Цветков И.В. Комплекс программ и алгоритм расчета фрактальной размерности и линейного тренда временных рядов// Программные продукты и системы. 2012. № 4. С. 73-77.

Свидетельства о государственной регистрации программ для ЭВМ 1. Крылова О. И., Цветков В. П., Цветков И. В., Михеев С. А., Беспалько Е.В. Вычисление фрактальной размерности временных рядов (программа для ЭВМ). Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ № 2011619434 от 12декабря 2011 г. В Федеральной службе по интеллектуальной собственности, патентам и товарным знакам.

2. Беспалько Е. В., Михеев С. А., Цветков В. П., Цветков И. В, Крылова О.И. Программная реализация регуляризированного метода Ньютона (программа для ЭВМ). Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ № 2011613772 от 16 мая 2011 г. В Федеральной службе по интеллектуальной собственности, патентам и товарным знакам.

II. В трудах международных и всероссийских научных конференций:

1. Кудинов А.Н., Цветков И.В., Сажина О.И. Фрактальная модель динамики цен на нефть в период 2008 год - начало 2009 года// Математическое моделирование и вычислительная физика. Материалы международной конференции. Дубна, ОИЯИ, 2009. С. 170.

2. Сажина О.И., Цветков И.В.. Система уравнений фрактальной модели с двумя взаимосвязанными параметрами состояния. Шестые курдюмовские чтения: Синергетика в Естественных науках. Труды международной междисциплинарной научной конференции. ТвГУ. Тверь, 2010. С. 60-62.

3. Сажина О.И., Цветков И.В.. Новый алгоритм расчета фрактальной размерности мультифрактальных кривых. Шестые курдюмовские чтения:

Синергетика в Естественных науках. Труды международной междисциплинарной научной конференции. ТвГУ. Тверь, 2010.С. 59-60.

4. Кудинов А.Н., Цветков В.П., Крылова (Сажина) О.И., Цветков И.В.

Мультифрактальная динамика и тенденции роста народонаселения.

Материалы первой международной научно-практической конференции 15-мая 2012 года.Тверь, ТвГУ, 2012. С. 22-30.

5. Кудинов А.Н., Цветков И.В., Сажина О.И. Фрактальная размерность основных параметров сельскохозяйственного сектора экономики Тверского региона, как флаг кризисных явлений. Всероссийская конференция Организационно - экономические и социальные проблемы села. ТвГУ.

Тверь. 2010 г.

III. В других изданиях:

1. Кудинов А.Н., Цветков В.П., Крылова (Сажина) О.И., Цветков И.В.

Фрактальная размерность основных параметров сельскохозяйственного сектора экономики Тверского региона, как флаг кризисных явлений.//Вестник ТвГУ, серия Экономика и управление, вып. 8 (34).

ТвГУ, 2010. С. 4-17.

2. Сажина О. И. Принципы включения возмущения при решении двухкомпонентного нелинейного уравнения// Факторы развития экономики России: материалы межрегиональной научно-практической конференции, 2829 апреля 2009 г. С. 130 - 133.

3. Сажина О. И. Показатели качества и критерии эффективности Ньютоновских схем // Факторы развития экономики России: материалы межрегиональной научно-практической конференции, 28-29 апреля 2009 г. С.

127 - 130.

Авторефераты по всем темам  >>  Авторефераты по техническим специальностям