Авторефераты по всем темам >>
Авторефераты по разное
На правах рукописи
ПЕТРОВ НИКОЛАЙ НИКАНДРОВИЧ
КОНФЛИКТНО УПРАВЛЯЕМЫЕ ПРОЦЕССЫ СО МНОГИМИ УЧАСТНИКАМИ И ДОПОЛНИТЕЛЬНЫМИ ОГРАНИЧЕНИЯМИ
01.01.02 - дифференциальные уравнения
АВТОРЕФЕРАТ
диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук
Екатеринбург - 2007
Работа выполнена на кафедре дифференциальных уравнений ГОУ ВПО "Удмуртский государственный университет." Официальные оппоненты член-корреспондент РАН, доктор физико-математических наук, профессор Ушаков Владимир Николаевич;
доктор физико-математических наук, профессор Жуковский Владислав Иосифович;
доктор физико-математических наук, профессор Ухоботов Виктор Иванович.
Ведущая организация ГОУ ВПО "Санкт-Петербургский государственный университета".
Защита состоится ".......".......................... 2007 г. в 11 часов на заседании диссертационного совета Д 004.006.01 при Институте математики и механики Уральского отделения РАН адресу: 620219, г. Екатеринбург, ГСП-384, ул. С. Ковалевской, 16.
С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института математики и механики Уральского отделения РАН
Автореферат разослан ".......".......................... 2007 г.
Ученый секретарь диссертационного совета доктор физ.-мат. наук Н. Ю. Лукоянов
Актуальность темы. Объектом исследования диссертационной работы являются задачи преследования и уклонения с участием групп преследователей и одного или нескольких убегающих.
Теория конфликтно управляемых процессов представляет собой интенсивно развивающийся раздел современной математики. В данной теории исследуются задачи управления динамическими процессами в условиях конфликта, который предполагает наличие двух или более сторон, способных воздействовать на процесс с противоположными или несовпадающими целями и оптимизировать заданные функционалы качества процесса.
Динамические процессы могут описываться дифференциальными, интегральными, разностными, гибридными и другими уравнениями.
Конфликтно управляемые процессы, описываемые обыкновенными дифференциальными уравнениями, называют дифференциальными играми1, термин был введен Р. Айзексом одним из основоположников теории дифференциальных игр.
Одной из первых работ в этой области, по всей видимости, следует считать работу Г. Штейнгауза, опубликованную в 1925 году, в которой он формулирует задачу преследования.
Теория конфликтно управляемых процессов имеет в своем основании общую теорию игр, математическую теорию управления и теорию дифференциальных уравнений.
Фундаментальными результатами математической теории управления являются принцип максимума Л. С. Понтрягина2 и метод динамического программирования Р. Беллмана1.
Становление теории дифференциальных игр относится к началу 60-х годов XX века и связано с именами советских и зарубежных математиков Н. Н. Красовского, Л. С. Понтрягина, Л. А. Петросяна, Б. Н. Пшеничного, Р. Айзекса, У. Флеминга. Крупный вклад в развитие теории дифференциальных игр внесли А. А. Азамов, А. Я. Азимов, Э. Г. Альбрехт, М. Барди, В. Д. Батухтин, Т. Башар, Ю. И. Бердышев, А. Брайсон, А. С. Безикович, М. С. Габриэлян, Н. Л. Григоренко, Р. В. Гамкрелидзе, П. Б. Гусятников, М. И. Гусев, В. Г. Гусейнов, Айзекс Р. Дифференциальные игры. М.: Мир. 1967.
Понтрягин Л. С., Болтянский В. Г., Гамкрелидзе Р. В., Мищенко Е. Ф., Математическая теория оптимальных процессов. М.: Наука. 1983.
В. И. Жуковский, А. Земба, В. В. Захаров, М. И. Зеликин, Д. Зонневенд, Р. П. Иванов, А. Ф. Клейменов, А. В. Кряжимский, А. Б. Куржанский, А. Н. Красовский, Дж. Лейтман, В. Н. Лагунов, Ю. С. Ледяев, Н. Ю. Лукоянов, А. А. Меликян, А. В. Мезенцев, Е. Ф. Мищенко, М. С. Никольский, В. В. Остапенко, Ю. С. Осипов, А. Г. Пашков, В. С. Пацко, Н. Н. Петров, Г. К. Пожарицкий, Е. С. Половинкин, Б. Б. Рихсиев, И. С. Раппопорт, Н. Ю. Сатимов, А. И. Субботин, Н. Н. Субботина, В. Е. Третьяков, Н. Т. Тынянский, В. Н. Ушаков, В. И. Ухоботов, У. Флеминг, А. Фридман, Хо-Ю-Ши, А. Г. Ченцов, Ф. Л. Черноусько, А. А. Чикрий, С. В. Чистяков, Р. Эллиот, Л. П. Югай и многие другие математики.
Красовским Н. Н.345 и представителями его научной школы создана теория позиционных игр, в основе которой лежит понятие стабильного моста и правило экстремального прицеливания. Для широких классов дифференциальных игр доказана теорема об альтернативе. Обоснованы методы детерминированных и стохастических программных конструкций. Решение игровой задачи сводится к последовательному выбору экстремальных управлений, сохраняющих траекторию конфликтно управляемого процесса на стабильном мосту и приводящих траекторию по нему на терминальное множество.
Принятая схема позиционной игры такова5 Пусть движение конфликтно управляемого вектора z описывается системой вида = f(z, u, v), (1) где z Rn, u U, v V, U Rm, V Rk, f непрерывная функция.
В пространстве Rn задано непустое целевое множество M.
Формулируются две задачи о позиционном подходе (т. е. управлении по принципу обратной связи). Первая задача (стоящая перед первым игроком) задача о сближении с целевым множеством M внутри заданных фазовых ограничений N; вторая задача (стоящая перед вторым игроком) задача об уклонении вектора z от M. Совокупность этих (противоположных) задач есть дифференциальная игра сближения-уклонения.
Связь между задачами раскрывается центральным результатом теории позиционных дифференциальных игр теоремой об альтернативе, Красовский Н. Н. Игровые задачи о встречи движений. М.: Наука. 1970.
Красовский Н. Н. Управление динамической системой: задаче о минимуме гарантированного результата. М.: Наука. 1985.
Красовский Н. Н., Субботин А. И. Позиционные дифференциальные игры. М.:
Наука. 1974.
которая утверждает, что в рамках принятой формализации всегда, при подходящем выборе классов стратегий игроков, разрешима одна и только одна из указанных задач.
Таким образом, задачи сближения-уклонения являются взаимоисключающими и взаимодополняющими. Отсюда следует важный вывод о принципиальной неулучшаемости позиционного способа управления.
Кроме того, теоремы об альтернативе позволяют рассматривать каждую из задач сближения или уклонения как критерий разрешимости противоположной задачи.
Большое внимание в работах данной школы уделяется вопросам практической реализации процедур управления и численного решения прикладных задач теории дифференциальных игр.
В работах А. И. Субботина6 условия стабильности сформулированы при помощи производных по направлению. В результате получены дифференциальные неравенства, обобщающие основное уравнение дифференциальных игр, записанное Р. Айзексом. Данный подход был применен к построению теории обобщенных решений уравнений ГамильтонаЦЯкоби.
Наилучшее решение позиционной дифференциальной игры сближения-уклонения доставляют максимальные стабильные мосты в фазовом пространстве. Однако эффективное построение таких мостов для исследования реальных конфликтно управляемых процессов весьма затруднительно или даже невозможно. Удобнее строить мосты, не являющиеся максимальными, но обладающие свойством стабильности и дающие эффективно реализуемые процедуры управления. Одним из способов построения таких мостов связан с программным или первым поглощением. Условие регулярности и обеспечивает окончание игры за время первого поглощения. При этом обосновывается преследование по кривой погони. Программные конструкции положены в основу метода программных итераций.
Одним из способов построения стабильных мостов являются попятные процедуры, позволяющие вскрыть структуру дифференциальной игры. Начальные идеи в этом направлении принадлежат Л. С. Понтрягину и реализованы им в методе альтернированного интеграла7.
В линейном случае этот метод дает эффективные достаточные условия разрешимости задачи преследования. Попятные процедуры с фикСубботин А. И. Минимаксные неравенства и уравнения Гамильтона-Якоби. М.:
Наука. 1991.
Понтрягин Л. С. Линейные дифференциальные игры преследования//Математический сборник. 1980. Т. 112. № 3.
сированным и нефиксированным временем и дискриминацией убегающего распространены на нелинейные системы в работе Б. Н. Пшеничного8.
Идею рассматривать дифференциальную игру с двух точек зрения предложил и развил Л. С. Понтрягин9.
При таком подходе выдвигается на первый план один из игроков, которому предоставляется право строить управление на основе определенной информационной дискриминации противника.
Приведем более подробное описание формализации дифференциальных игр, предложенных Л. С. Понтрягиным10.
Пусть движение конфликтно управляемого объекта z описывается системой (1). Л. С. Понтрягин подчеркивает:... мы связываем с дифференциальной игрой две разные задачи.
1. Нашей целью является завершение игры, т. е. приведение точки z на множество M; при этом для осуществления этой цели в нашем распоряжении находится управляющий параметр u, так что в каждый момент времени t мы выбираем значение u(t) этого параметра, используя z(s) и v(s) на отрезке t - s t, где подходящим образом выбранное положительное число. Таковы привила преследования.
2. Нашей целью является предотвращение конца игры, т. е. предотвращение прихода точки z на множество M. При этом для достижения этой цели в нашем распоряжении находится управляющий параметр v, так что в каждый момент времени t мы выбираем значение v(s) этого параметра, используя z(s), v(s) на отрезке t - s t. Таковы правила игры убегания.
Основопологающие результаты по решению дифференциальных игр преследования и убегания получили Л. С. Понтрягин и Е. Ф. Мищенко.
В работе11 сформулированы достаточные условия разрешимости задачи преследования в нелинейных дифференциальных играх. В ней использован формализм принципа максимума одного из центральных методов теории управления.
Основной результат заключается в описании множества начальных позиций, из которых гарантируется возможность завершения преследоПшеничный Б. Н. Структура дифференциальных игр// ДАН СССР. 1969. Т. 184.
№ 2. С. 285Ц287.
Понтрягин Л. С. Избранные научные труды. Т. 2. М.: Наука. 1988.
Понтрягин Л. С. Линейная дифференциальная игра убегания// Труды математического института АН СССР. 1971. Т. 112. С. 30Ц63.
Понтрягин Л. С., Мищенко Е. Ф. Задача об уклонении от встречи в линейных дифференциальных играх// Дифференциальные уравнения. 1971. Т. 7. № 3. С. 436 - 4вания, а также в вычислении времени преследования, и способ формирования управления преследователя, реализующего процесс преследования.
Естественным обобщением дифференциальных игр двух лиц являются дифференциальные игры с участием группы преследователей и одного или группы убегающих. Новые способы решения дифференциальных игр с участием группы преследователей были предложены в ра12 ботах Е. Ф. Мищенко, Ф. Л. Черноусько, Б. Н. Пшеничного, А. А. Чикрия, Н. Л. Григоренко15, М. С. Никольского, Н. Ю. Сатимова, И. С. Раппопорта, П. Б. Гусятникова, Л. А. Петросяна, Б. Б. Рихсиева, В. И. Жуковского, А. А. Азамова, Р. П. Иванова, В. Л. Зака и многих других математиков.
Отметим, что толчком к появлению большого числа работ по указанной тематике послужила статья Б.Н.Пшеничного18, в которой рассматривался случай простого преследования несколькими объектами одного преследуемого объекта при одинаковых возможностях всех участников.
Было показано, что поимка происходит тогда и только тогда, когда начальная позиция убегающего принадлежит внутренности выпуклой оболочки начальных позиций преследователей.
Следует отметить, что абсолютное большинство работ посвященных как задаче преследования, так и задаче убегания рассматривались при определенном преимуществе одной из сторон. Работ, посвященных задачам преследования и уклонения при равных динамических и инерционных возможностях игроков достаточно мало. Основная часть работ указанного типа относится к задаче простого преследования. Также практически неизученными являются дифференциальные игры с участием нескольких лиц и при наличии дополнительных ограничений на состояния одной из сторон.
Цель данной работы состоит в получении условий разрешимости Черноусько Ф.Л., Меликян А.А. Игровые задачи управления и поиска. М.: Наука. 1978.
Пшеничный Б.Н.,Остапенко В.В. Дифференциальные игры. Киев.: Наукова думка. 1992.
Чикрий А.А. Конфликтно управляемые процессы. Киев.: Наукова думка. 1992.
Григоренко Н.Л. Математические методы управления несколькими динамическими процессами. М.: Изд-во Московского ун-та. 1990.
Петросян Л.А. Дифференциальные игры преследования. Л.: Изд-во ЛГУ. 1977.
Рихсиев Б.Б. Дифференциальные игры с простым движением. Ташкент.: Фан.
1989.
Пшеничный Б. Н. Простое преследование несколькими объектами// Кибернетика. 1976. № 3. С. 145Ц146.
новых классов игровых задач группового преследования-убегания при дополнительных типа фазовых ограничениях на состояния убегающих.
Методы исследования. Для исследования указанных задач применяется аппарат математической теории оптимального управления, дифференциальных игр, теории многозначных отображений, выпуклого анализа.
Научная новизна. Все результаты диссертации являются новыми.
Среди них отметим следующие:
1. Предложен метод решения квазилинейных задач группового преследования с дополнительными ограничениями.
2. Получены новые достаточные условия разрешимости задач преследования одного убегающего группой преследователей для обобщенного примера Л.С.Понтрягина с равными динамическими и инерционными возможностями игроков.
3. Получены новые условия разрешимости задач уклонения в дифференциальных играх со многими преследователями и одним убегающим при равных возможностях всех участников и фазовых ограничениях на состояния убегающего.
4. Получены новые достаточные условия разрешимости задач преследования и убегания с участием групп преследователей и убегающих (преследование жестко скоординированных убегающих, "мягкая" поимка, поимка заданного числа убегающих в примере Л.С.Понтрягина).
5. Для задачи о "мягкой"поимке группы инерционных объектов получены двухсторонние оценки наименьшнго числа убегающих, уклоняющихся от встречи с заданным числом преследователей из любых начальных позиций.
6. Доказано существование цены игры в дифференциальных играх преследования со многими участниками в классе обобщенных кусочно программных стратегий.
Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Предложенные в диссертации методы решения задач преследования и уклонения являются конструктивными и открывают перспективы дальшейшего развития теории дифференциальных игр со многими участниками. Результаты диссертации легли в основу специального курса по теории дифференциальных игр, прочитанного автором магистрам математического факультета Удмуртского государственного университета.
Апробация работы. Основные результаты работы докладывались и обсуждались:
на Всесоюзной конференции по оптимальному управлению, геометрии и анализу (Кемерово, 1986, 1990); международной конференции Моделирование и исследование устойчивости процессов (Киев, 1992, 1994, 1996, 1997); весенних Воронежских школах Понтрягинские чтения (Воронеж, 1993, 1995); международной конференции по теории игр (Орехово-Зуево, 1994); на III международном семинаре Негладкие и разрывные задачи управления. Оптимизация и их приложения (Санкт-Петербург, 1995); международной конференции Multiple criteria and game problems (Москва, 1996); International IFAC Conference Nonsmooth and Discontinuous Problems of Control and Optimization (Челябинск, 1998); международной конференции, посвященной 90-летию со дня рождения Л. С. Понтрягина (Москва, 1998); международной конференции Control Applications of Optimization 11th IFAC International workshop (Санкт-Петербург, 2000); международной конференции по логике, теории игр и социальному выбору (Санкт-Петербург, 2001); на международной конференции, посвященной 65-летию со дня рождения Б. Н. Пшеничного (Киев, 2002); X International Symposium Dynamic Games and Applications (Санкт-Петербург, 2002); международном семинаре, посвященном 60-летию со дня рождения А. И. Субботина (Екатеринбург, 2005); международной конференции, посвященной 75-летию со дня рождения В. И. Зубова (Санкт-Петербург, 2005); семинаре, посвященном 60-летию со дня рождения В. И. Благодатских (Москва, 2006);
Ижевском городском математическом семинаре по теории управления и дифференциальным уравнениям (Ижевск, 1987-2006); семинаре отдела динамических систем Института математики и механики УрО РАН (Екатеринбург, 2003) и др.
Работа поддержана грантами РФФИ (99-01-00454, 03-01-0014, 06-01-00258), Конкурсным центром Министерства образования РФ (97Ц0Ц1.9, E02Ц1.0-100), Федеральным агентством по образованию (А04-2.8-60) и программой Университеты России (34126).
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах. Список основных публикаций приводится в конце автореферата.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, 5 глав, 16 параграфов. Объем работы 271 страница. Список литературы включает 256 наименований.
Краткое содержание работы Первая глава диссертации посвящена квазилинейным дифференциальным играм со многими участниками и дополнительными ограничениями на состояния убегающих.
В первом параграфе рассматривается дифференциальная игра n + лиц, описываемая системой вида i = Aizi + i(ui, v) (2) i zi Rn, ui Ui, v V, zi(0) = zi.
Здесь Ai квадратная матрица порядка ni, Ui, V непустые компакты i i соответственно пространств Rm, Rm, функции i : Ui V Rn непрерывны по совокупности переменных. Здесь и всюду далее i = 1,..., n.
Терминальное множество M состоит из множеств Mi, каждое из которых представимо в виде 1 Mi = Mi + Mi, (3) i где Mi линейное подпространство Rn, Mi2 выпуклый компакт, i принадлежащий L1 ортогональному дополнению к Mi1 в Rn.
i Дополнительно предполагается, что в пространстве Rk заданы система вида = Ay + Cv, v V, y(0) = y0 (4) и множество D = {y : y Rk, (pj, y) j, j = 1,..., r}, (5) где A, C заданные матрицы, y0 D заданный вектор, p1,..., pr единичные векторы Rk, 1,..., r вещественные числа, такие, что IntD = .
Назовем предисторией управления убегающего в момент t, t vt() = {v(s) : v(s) V, s [0, t], v(s) измерима} О п р е д е л е н и е 1. Будем говорить, что задана квазистратегия преследователя Pi, если определено отображение Ui(t, z0, vt()), 0 ставящее в соответствие начальному состоянию z0 = (z1,..., zn) моменту t и произвольной предыстории управления убегающего vt() измеримую функцию ui(t) = Ui(t, z0, vt()) со значениями в Ui.
При этом предполагается, что должно быть выполнено условие физической осуществимости, то есть если v1, v2 два допустимых управления убегающего E, причем v1(t) = v2(t) для почти всех t, то соответствующие им при отображении Ui(t, z0, vt()) функции u1, u2 также равны почти всюду при t 0.
О п р е д е л е н и е 2. Будем говорить, что в игре из началь0 ного состояния z0 = (z1,..., zn) происходит поимка в момент T (z0), если существуют квазистратегии U1(t, z0, vt()),..., Un(t, z0, vt()) преследователей P1,..., Pn, номер q такие, что для любой измеримой функции v(), v(t) V, y(t) D, t [0, T (z0)] справедливо zq(T (z0)) Mq.
Предполагается, что предыстория vt() обладает свойством: y(s) D для всех s [0, t].
Перейдем к описанию схемы преследования. Обозначим через i опеi ратор ортогонального проектирования из Rn на L1.
i 0 i Предположение 1. Точка z0 такова, что ieA tzi Mi при t / и i 0 ie(t-)A i(Ui, v) для всех 0 t < , v V.
Пусть для точки z0 выполнено предположение 1 и введем функции 0 i i i(t, , v) = sup 0| - (ietA zi - Mi ) ie(t-)A i(Ui, v) = , 0 t < , v V.
Пусть далее (t) = {v() : v : [0, t] V, y() D, [0, t]}.
t T (z0) = inf{t 0, inf max i(t, , v())d 1}.
i v()(t) Предположение 2. 0 < T (z0) < .
0 Теорема 1. Пусть точка z0 = (z1,..., zn) такова, что выполнены предположения 1, 2. Тогда в игре происходит поимка в момент T (z0).
Замечание. К сожалению, проверка выполнения предположения возможна в очень редких случаях.
Предположение 3. Существуют p Rk, R1 такие, что для множества D1 = {y : y Rk, (p, y) } справедливо включение D D1.
Обозначим через I(q) = {1,..., n + q}, d = max{|v|, v V }, n+1(t, , v) = (B(t - )v, p), где B непрерывная матричная функция.
Предположение 4. Существуют непрерывная функция (t, v), неотрицательные непрерывные функции 1(t, v), gi(t, ), g(t, ), матi ричная функция B(t), константа c > 0 такие, что i(t, , v) gi(t, )1(t, v), i n+1(t, , v) = g(t, )(t, v), t eA(t-)C - B(t - ) d c для всех 0 t < , v V.
Пусть t f(t) = g(t, )d, 1 (t, v) = (t, v) + a, n+(t) = inf max 1(t, v).
l vV lI(1) Предположение 5. Существуют константы a, c1, c2, c3, c4 такие, что ci 0 и 1. eAty0 c1 для всех t 0;
2. a 0, (t, v) -c2 для всех t 0, v V ;
3. для каждого t > 0 существует множество E(t) [0, t] такое, что (E(t)) c3, g(t, )d c4, min gi(t, ) g(t, ) i E(t) для всех t > 0, [0, t] \ E(t);
4. f, g непрерывные функции;
5. ограниченная на [0, ) функция и выполнено одно из следующих двух условий:
а) lim f(t)(t) = при a < t б) lim f(t)2(t) = при a = 0.
t Теорема 2. Пусть для игры выполнены предположения 1, 3, 4, 0 5. Тогда в игре из состояния z0 = (z1,..., zn) происходит поимка в момент T (z0).
Во втором параграфе первой главы рассматривается дифференциальная игра , описанная в первом параграфе. Получены достаточные условия разрешимости задачи преследования в нефиксированный момент времени.
О п р е д е л е н и е 3. Будем говорить, что в игре из начально0 го состояния z0 = (z1,..., zn) происходит поимка, если существуют момент T (z0), квазистратегии U1(t, z0, vt()),..., Un(t, z0, vt()) преследователей P1,..., Pn, такие, что что для любой измеримой функции v(), v(t) V, y(t) D, t [0, T (z0)] найдутся номер q {1,..., n} и момент T T (z0) такие, что zq(T ) Mq.
i Предположение 6. Для точки z0 такой, что ieA tzi Mi2 для / всех i, t справедливы соотношения i i con(Mi2 - ieA tzi ) ieA (t-)i(Ui, v) = для всех i, 0 t < , v V.
Пусть для точки z0 выполнено предположение 6. Определим функции i(t, , v) = i i = sup{ : 0, -(Mi2 - ieA tzi ) ieA (t-)i(Ui, v) = }.
Пусть далее (t) = {v() : v : [0, t] V, y() D, [0, t]}, t T (z0) = min{t 0 : inf max i(t, , v())d 1}.
i v()(t) Теорема 3. Пусть Mi = {0}, iAi = Aii для всех i, выполнено предположение 6 и T (z0) < . Тогда в игре происходит поимка.
Предположение 7. Существует p Rk, p = 0, R1 такие, что для множества D1 = {y : (p, y) } справедливо D D1.
Полагаем n+1(t, , v) = (p, B(t - )v()), где B(t) непрерывная матричная функция.
Предположение 8. l(t, , v), l I(1) не зависят от t, т. е.
l(t, , v) = l(, v) для всех 0, v V.
Пусть () = inf max (, v).
vV lI(1) Предположение 9. Существуют положительные числа c, c1, cнепрерывная матричная функция B(t) такие, что 1. eAty0 c1, eA(t-) - B(t - ) d c2 для всех t 0;
2. n+1(, v) -c() для всех 0, v V ;
t 3. lim ()d = .
t+ Теорема 4. Пусть выполнены предположения 6Ц9. Тогда в игре происходит поимка.
Дополнительно рассмотрен конфликтно управляемый процесс (2), (3), (4) в случае, когда Ai, A нулевые матрицы, C единичная матрица. Итак, конфликтно управляемый процесс типа простого движения с перемешанными управлениями игроков описывается системой дифференциальных уравнений i i = i(ui, v), zi Rn, ui Ui, v V, zi(0) = zi.
i Здесь Ui, V непустые компакты соответственно пространств Rm и Rm соответственно, функции i непрерывны по совокупности переменных.
Терминальное множество M состоит из множеств Mi, каждое из которых представимо в виде (3).
Ограничения для убегающего имеют вид = v, v V, y(0) = y0.
D = {y : y Rm, (pj, y) j, j = 1,..., r}, где p1,..., pr единичные векторы Rm, 1,..., r вещественные числа, такие что IntD = .
Определим многозначные отображения 0 Wi(zi, v) = -con(izi - Mi2) ii(Ui, v), 0 0 Wi1(zi, v) = -con(izi - Mi ) coii(Ui, v), v V.
Предположение 10. Wi(zi, v) = для всех i, v V.
Предположение 11. Wi1(zi, v) = для всех i, v V.
Пусть предположение 10 (11) выполнено. Введем функции 0 i(v) = sup{ 0 : -(izi - Mi ) ii(Ui, v) = }, 1(v) = sup{ 0 : -(izi - Mi2) coii(Ui, v) = }, i n+j(v) = 1 (v) = (pj, v), v V.
n+j Пусть далее = inf max l(v), 1 = inf max 1(v), l vV lI(r) vV lI(r) V1 = {v : v V, i(v) = 0, i = 1,..., n}.
Теорема 5. Пусть выполнено предположение 10, > 0 и выполнено хотя бы одно из следующих двух условий:
а) r = 1;
б) min max(pj, v) > 0.
vcoV1 j Тогда в игре происходит поимка.
Теорема 6. Пусть выполнено предположение 11, 1 0, причем существует v0 V такой, что 1 = max 1(v0).
l lI(r) Тогда в игре происходит уклонение от встречи.
Вторая глава диссертации посвящена задаче преследования группой преследователей одного или нескольких убегающих в примере Л. С. Понтрягина при одинаковых динамических и инерционных возможностях игроков.
Третий параграф диссертации носит вспомогательный характер и посвящен некоторым свойствам почти периодических функций.
В четвертом параграфе диссертации изучаются свойства положительного базиса, необходимые в дальнейшем.
Пятый параграф диссертации посвящен задаче преследования группой преследователей одного убегающего в примере Л. С. Понтрягина при равных динамических и инерционных возможностях всех игроков.
В пространстве Rk (k 2) рассматривается дифференциальная игра n + 1 лиц: n преследователей P1,..., Pn и убегающий E.
Закон движения каждого из преследователей Pi имеет вид:
x(l) + a1x(l-1) + + alxi = ui, ui V. (6) i i Закон движения убегающего E имеет вид:
y(l) + a1y(l-1) + + aly = v, v V. (7) Здесь xi, y, ui, v Rk, a1,..., al R1, V выпуклый компакт Rk.
При t = 0 заданы начальные условия:
x()(0) = x0, y()(0) = y, = 0,..., l - 1, (8) i i причем x0 - y0 Mi для всех i, где Mi выпуклые компакты Rk.
/ iЗдесь и всюду далее i = 1,..., n. Дополнительно предполагается, что убегающий E не покидает пределы выпуклого множества D вида (5).
Вместо систем (6), (7) рассмотрим систему (l) (l-1) zi + a1zi + + alzi = ui - v, ui, v V, (9) (l-1) 0 0 0 zi(0) = zi0 = x0 - y0,..., zi (0) = zil-1 = x0 - yl-1.
i0 il-Пусть z0 = {zi, = 0,..., l - 1}.
О п р е д е л е н и е 4. Будем говорить,что в игре происходит поимка, если существуют момент T и квазистратегии U1(t, z0, vt()),..., Un(t, z0, vt()) преследователей P1,..., Pn, что xq() - y() Mq при некоторых q, [0, T ] для любой измеримой функции v(t), v(t) V, y(t) D, t [0, ].
Обозначим через p(t), p = 0, 1..., l - 1 решения уравнения w(l) + a1w(l-1) + + alw = с начальными условиями w(0) = 0,..., w(p-1)(0) = 0, w(p)(0) = 1, w(p+1)(0) = 0,..., w(l-1)(0) = 0.
Предположение 12. Все корни характеристического уравнения l + a1l-1 + + al = 0 (10) имеют неположительные вещественные части.
Предположение 13. l-1(t) 0 для всех t 0.
Обозначим через 1,..., s (1 <,..., < s) вещественные корни, 1 i1,..., p ip, (1 2... p) комплексные корни уравнения (10), ks кратность s, m кратность корня i. В силу предположения 13 p s. Пусть далее 0 0 i(t) = 0(t)zi0 + 1(t)zi1 + + l-1(t)zil-1, 0 0 (t) = 0(t)y0 + 1(t)y1 + + l-1(t)yl-1.
Так как s p j t q(t) = e tPqj(t) + e (Qq(t) cos t + Rq(t) sin t), j=1 =то i(t), (t) представимы в виде s p j t i(t) = e tPij(t) + e (Q1 (t) cos t + Ri(t) sin t), i j=1 =s p j t (t) = e tPj (t) + e (Q2 (t) cos t + R(t) sin t).
j=1 =Считаем, что i(t) Mi для всех i и t > 0, ибо если (t) M при / некоторых и t, то преследователь P ловит убегающего E, полагая u(t) = v(t).
Считаем также, что Psi(t) = 0 для всех i, ибо в противном слу чае, преследователи первоначально добиваются выполнения указанного условия.
Обозначим через i степень многочлена Psi(t), 0 степень многочлена Ps (t), степень многочлена Psl-1(t). Можно считать, что i = для всех i, ибо в противном случае преследователи Pi первоначально добиваются выполнения данного условия.
Предположение 14. m < ks для всех I = { : = s}.
Определим функцию : comp(Rk) V R(A, v) = sup{ | > 0, -A (V - v) = }.
Здесь comp(Rk) пространство выпуклых компактных подмножеств Rk c метрикой Хаусдорфа. Пусть далее 0 zi = lim Psi/t, I = {n + 1,..., n + r}, d = max{ v, v V }, t -1/a, если s < 0, zi - Mi, если s = 0, ks = 1, b = Mi1 = 0, если s = 0, zi, в противном случае, j(Aj, v), j I(0), j(v) = (pj-n, v) + bj-n, j = n + 1,... n + r, j(Mj, v), j I(0) j (v) = (pj-n, v) + bj-n, j = n + 1,..., n + r = inf max j(v), 0 = inf max j (v), vV jI(r) vV jI(r) V1 = {v : v V, (Mi, v) = 0, i = 1,..., n}.
Предположение 15. 0 M1, функции i непрерывны во всех / 1 точках (M1, v) таких, что i(M1, v) > 0.
Теорема 7. Пусть для игры выполнены предположения 12Ц15, s < 0, 0 > 0, D = Rk, Mi = {0}. Тогда в игре происходит поимка.
Теорема 8. Пусть для игры выполнены предположения 12Ц15, s < 0, 0 > 0, 0 D, Mi = {0} и выполнено хотя бы одно из следующих двух условий:
а) r = 1;
б) min max((pj, v) + bj) > 0.
vcoV1 j Тогда в игре происходит поимка.
Теорема 9. Пусть для игры выполнены предположения 12Ц15, s = 0, 0 > 0, D = Rk. Тогда в игре происходит поимка.
Теорема 10. Пусть для игры выполнены предположения 12Ц15, s = 0, 0 > 0 и выполнено хотя бы одно из следующих двух условий:
а) r = 1;
б) min max(pj, v) > 0.
vcoV1 j Тогда в игре происходит поимка.
Следствие 1. Пусть выполнены предположения 12Ц15, Mi = {0}, s = 0, V = D1(0), n k, D многогранник. Тогда в игре происходит поимка.
Пусть система (9) имеет вид i = izi + ui - v, zi(0) = zi, ui 1, v 1, (11) где zi Rk, i R1, терминальные множества Mi = {0}.
Обозначим + = max{0, i}, i 0 0 2 (zi, v) + (zi, v)2 + zi (1 - v ) (zi, v) =.
zi Теорема 11. В игре , описываемой (11), происходит уклонение от встречи тогда и только тогда, когда min max((zi, v) - +) 0.
i i v В шестом параграфе диссертации рассматривается задача о m-кратной поимке убегающего в дифференциальной игре , описываемой (5), (6), (7).
Приводятся достаточные условия разрешимости задачи преследования.
Седьмой параграф диссертации посвящен нестационарной задаче преследования группой преследователей одного убегающего в примере Л. С. Понтрягина при одинаковых динамических и инерционных возможностях игроков.
В пространстве Rk (k 2) рассматривается дифференциальная игра n + 1 лиц: n преследователей P1,... Pn и убегающий E.
Закон движения каждого из преследователей Pi имеет вид x(l) + a1(t)x(l-1) + + al(t)xi = ui, ui V. (12) i i Закон движения убегающего E имеет вид y(l) + a1(t)y(l-1) + + al(t)y = v, v V. (13) Здесь xi, y, ui, v, Rn, a1,..., al непрерывные на [t0, ) функции, i = 1,... n. При t = t0 заданы начальные условия xi(t0) = x0, (t0) = x0,..., x(l-1)(t0) = x0, i0 i1 i il-0 0 y(t0) = y0, (t0) = y1,..., y(l-1)(t0) = yl-1, причем xi0 = y0.
Дополнительно предполагается, что убегающий в процессе игры не покидает пределы выпуклого многогранного множества D вида (5).
Вместо систем (12), (13) рассмотрим систему (l) (l-1) zi + a1(t)zi + + al(t)zi = ui - v, ui, v V, (14) (l-1) 0 0 0 zi(t0) = zi0 = xi0 - y0,..., zi (t0) = zil-1 = x0 - yl-1.
il-О п р е д е л е н и е 5. Говорят, что в игре происходит поимка, если существуют момент T (z0), квазистратегии Ui(t, zij, vt()) преследователей Pi такие, что zq(T ) = 0 при некоторых q {1,..., n}, T [0, T (z0)] для любой допустимой функции v(t) V, t [0, T (z0)], где zi(t) решение системы (14), соответствующее набору управлений ui(t), v(t).
Обозначим через q(t, s), q = 0,..., l - 1, (t s t0) решения уравнения w(l) + a1(t)w(l-1) + + al(t)w = с начальными условиями w(j)(s) = 0, j = 0,..., q - 1, q + 1,..., l - 1, w(q)(s) = 1.
Предположение 16. l-1(t, s) 0, для всех t t0, t0 s t.
Пусть далее 0 0 i(t) = 0(t, t0)zi0 + 1(t, t0)zi1 + + l-1(t, t0)zil-1, 0 0 (t) = 0(t, t0)y0 + 1(t, t0)y1 + + l-1(t, t0)yl-1.
Предположение 17. Существуют функции i C[t0, ), векто0 ры zi, zi = 0 такие, что 1. i(t) > 0 для всех t > t0;
2. lim i(t)i(t) = zi.
t Пусть далее 0 (t) = min i(t), i(v) = (zi, v) = sup{ : 0, -zi V - v}.
i j+n(v) = (pj, v), j = 1,..., r, I(q) = {1,..., n + q}, 0 = inf max q(v), vV qI(r) t V1 = {v : v V, i(v) = 0, i = 1,..., n}, f(t) = l-1(t, s)ds.
tПредположение 18. Функции i(z, v) непрерывны во всех точках (z, v) таких, что i(z, v) > 0.
Предположение 19. lim (t)f(t) = .
t Предположение 20. Для каждого > t0 выполнены следующие условия:
1. (t)(t) ограничена на [, );
2. (t) l-1(t, s)ds ограничена на [, ).
tТеорема 12. Пусть для игры выполнены предположения 16Ц20, 0 > 0, j = 0, j = 1,..., r и выполнено хотя бы одно из следующих двух условий:
1. r = 1;
2. min max(pj, v) > 0.
vcoV1 j Тогда в игре происходит поимка.
Предположение 21. Функции i ограничены на [t0, ).
Теорема 13. Пусть для игры выполнены предположения 16Ц21, 0 > 0, 0 IntD и выполнено хотя бы одно из следующих двух условий:
1. r = 1;
2. min max(pj, v) > 0.
vcoV1 j Тогда в игре происходит поимка.
В восьмом параграфе диссертации рассматривается задача уклонения одного убегающего от группы преследователй в конусе, в которой закон движения каждого из преследователей Pi имеет вид i = axi + ui, ui 1, a R1.
Закон движения убегающего E имеет вид = ay + v, v 1.
При t = 0 заданы начальные положения преследователей x0,..., x0 и 1 n начальное положение убегающего y0, причем x0 = y0, i = 1,..., n.
i Предполагается, что убегающий E в процессе игры не покидает выпуклый конус D = { y : y Rk, (pj, y) 0, j = 1,..., r}, где p1,..., pr единичные векторы Rk такие, что IntD = .
Пусть некоторое разбиение 0 = t0 < t1 <,..., < ts,..., интервала [0, ), не имеющее конечных точек сгущения.
О п р е д е л е н и е 6. Кусочно-программной стратегией V игрока E, заданной на [0, ), соответствующей разбиению , называется семейство отображений {bl}, ставящих в соответствие величиl=нам (tl, x1(tl),..., xn(tl), y(tl)) измеримую функцию v = vl(t), определенную для t [tl, tl+1) и такую, что vl(t) 1, y(t) D, t [tl, tl+1).
Обозначим данную игру через .
О п р е д е л е н и е 7. Будем говорить, что в игре происходит уклонение от встречи, если существуют разбиение интервала [0, ), стратегия V игрока E, соответствующая разбиению такие, что для любых траекторий x1(t),..., xn(t) преследователей P1,..., Pn имеет место xi(t) = y(t), t 0, i = 1,..., n, где y(t) реализовавшаяся в данной ситуации траектория игрока E.
Теорема 14. Если a < 0, n < k, то в игре происходит уклонение от встречи.
Девятый параграф диссертации посвящен задаче преследования группой преследователей группы убегающих в примере Л. С. Понтрягина при равных динамических и инерционных возможностях игроков и при условии, что каждый преследователь ловит не более одного убегающего, а каждый убегающий принимает решение о своем поведении в начальный момент времени на весь интервал [0, ).
Предполагается, что закон движения каждого из преследователей Pi имеет вид (6), а закон движения каждого из убегающих Ej, j = 1,..., m имеет вид (7), причем V = D1(0). При t = 0 заданы начальные условия xi(0) = x0, i(0) = x0,..., x(l-1)(0) = x0, i0 i1 i il-(l-1) 0 0 yj(0) = yj0, j(0) = yj1,..., yj (0) = yjl-1, причем x0 = yj0 для всех i, j. Дополнительно предполагается, что каж iдый из убегающих Ej не покидает пределы выпуклого многогранного множества D вида (5).
В дальнейшем предполагается, что сначала все убегающие выбирают свои программные управления для t [0, ), а затем преследователи определяют свои движения на основе информации о выборе убегающих и, кроме того, каждый преследователь ловит не более одного убегающего.
О п р е д е л е н и е 8. Будем говорить, что в игре возможна поимка, если существует момент T > 0, такой, что для любой совокупности траекторий убегающих () {yj(t) : yj (0) = yj, = 0, 1,..., l - 1, yj(t) D, t [0, )} найдутся траектории преследователей {xi(t) : x()(0) = x0 }, i i обладающие следующим свойством: существуют множества индексов N {1, 2,..., n}, M {1, 2,..., m} мощности q (т. е. |N| = |M| = q) такие, что каждый убегающий Ej, j M ловится не позднее момента T некоторым преследователем Pi, i N, причем, если преследователь Pi ловит убегающего Ej, то остальные убегающие считаются им не пойманными. Выражение Pi ловит Ej означает, что существует момент Tij (0, T ], что xi(Tij) = yj(Tij). Считаем, что n q.
Предположение 22. Корни уравнения (10) вещественны и неположительны.
Условие G. Для каждого p {0, 1,..., q - 1} верно следующее:
для всякого множества N {1, 2,..., n}, |N| = n - p найдется такое множество M {1, 2,..., m}, |M| = q-p, что для всех M выполнено 0 Intco{x0 - y, N, p1,..., pr}.
Теорема 15. Пусть выполнено предположение 22, s < 0, = 0, = 1,..., r. Для того,чтобы в игре имела место поимка достаточно выполнения условия G. При l = 1, a1 > 0 условие G является и необходимым.
Теорема 16. Пусть выполнено предположение 22, s = 0. Для того, чтобы в игре имела место поимка достаточно выполнения условия G. При l = 1, a1 = 0 условие G является и необходимым.
Третья глава диссертации посвящена задаче преследования группой преследователей группы убегающих в примере Л.С.Понтрягина при равных динамических и инерционных возможностях игроков и при условии, что все убегающие используют одно и тоже управление (жестко скоординированы).
В десятом параграфе диссертации рассматривается задача простого преследования группой преследователей группу жестко скоординированных убегающих. Получены необходмые и достаточные условия разрешимости указанной задачи в предположении, что множество допустимых управлений строго выпуклый компакт с гладкой границей.
В пространстве Rk (k 2) рассматривается дифференциальная игра n + m лиц: n преследователей и m убегающих. Законы движения каждого из преследователей Pi (с управлением ui) и каждого из убегающих Ej (с управлением v) имеют вид:
i = ui, ui V ; j = v, v V ; xi, yj, ui, v Rk.
При t = 0 заданы начальные условия 0 xi(0) = x0, yj(0) = yj, причем x0 = yj.
i i Дополнительно предполагается, что убегающие в процессе игры не покидают пределы выпуклого многогранного множества D вида (5).
Пусть T > 0 и некоторое конечное разбиение 0 = t0 < t1 < t2 < < tq < tq+1 = T отрезка [0, T ].
О п р е д е л е н и е 9. Кусочно-программной стратегией W убегающих Ej, соответствующей разбиению , будем называть семейство отображений cl (l = 0, 1,..., q), ставящих в соответствие величинам (tl, xi(tl), yj(tl), min min xi(t) - yj(t) ) (15) i t[0,tl] измеримую функцию v(t), определенную для t [tl, tl+1) и такую, что v(t) V, yj(t) D, t [tl, tl+1).
Отметим, что действия убегающих можно трактовать следующим образом: имеется центр, который по величинам (15) для всех убегающих Ej выбирает одно и то же управление v(t), t [tl, tl+1).
О п р е д е л е н и е 10. Кусочно-программной контрстратегией Ui преследователя Pi, соответствующей разбиению , будем называть семейство отображений bl (l = 0, 1,..., q), ставящих в соотi ветствие величинам (15) и управлению v(t), t [tl, tl+1) измеримую функцию ui(t), определенную для t [tl, tl+1) и такую, что ui(t) V, t [tl, tl+1).
О п р е д е л е н и е 11. В игре происходит уклонение от встречи, если для любого T > 0 существуют разбиение отрезка [0, T ] и стратегия V убегающих Ej, такие, что для любых траекторий xi(t) преследователей Pi xi(t) = yj(t), t [0, T ].
О п р е д е л е н и е 12. В игре происходит поимка, если существует T > 0 и для любой стратегии V убегающих Ej существуют кусочно-программные контрстратегии Ui преследователей Pi, момент [0, T ] и номера s {1, 2,..., m}, r {1, 2,..., n}, такие, что xr() = ys().
Будем предполагать в дальнейшем, что выполнено следующее условие: любые k векторов из совокупности 0 0 {x0 - yj, yq - yr, q = r, p1,..., pr} i линейно независимы и yj Int D.
Теорема 17. Пусть V строго выпуклый компакт с гладкой границей, D = Rk, Intco{x0} co{yj } = .
i Тогда в игре происходит уклонение от встречи.
Теорема 18. Пусть V строго выпуклый компакт с гладкой границей, D = Rk, Intco{x0} co{yj } = .
i Тогда в игре происходит поимка.
Теорема 19. Пусть V = D1(0), 0 Intco{x0 - yj, p1,..., pr}.
/ i Тогда в игре происходит уклонение от встречи.
Теорема 20. Пусть V = D1(0), n k - 1. Тогда в игре происходит уклонение от встречи.
Теорема 21. Пусть V = D1(0), n k и 0 Intco{x0 - yj, p1,..., pr} i Тогда в игре происходит поимка.
О п р е д е л е н и е 13. В игре происходит поимка двух убегающих, если существует T > 0 и для любого разбиения отрезка [0, T ], для любой стратегии V убегающих E1,..., Em существуют контрстратегии U1,..., Un преследователей P1,..., Pn моменты времени 1, 2, номера l, s {1,..., m}, l1, s1 {1,..., n} такие, что xl (1) = yl(1), xs (2) = ys(2).
1 Теорема 22. Пусть m = 2, D = Rk, V строго выпуклый компакт с гладкой границей и выполнены следующие условия:
0 1. co{y1, y2} Intco{x0,..., x0 };
1 n 2. существуют множества J1, J2 {1,..., n}, I1, I2 I0 \ (J1 J2), I1 I2 = , такие, что наборы векторов 0 {zi1, i J1, -c}, {zi2, i J2, c}, 0 0 0 {zl1, zs2, z1, z2, l J1 \ (J1 J2), s J2 \ (J1 J2), I1, I2} образуют положительный базис, причем |I0 \ (J1 J2)| k + 1, (I0 = {1,..., n}).
Тогда в игре происходит поимка.
В параграфе 11 диссертации рассматривается задача о преследовании группой преследователей группу жестко скоординированных убегающих, при условии, что законы движения участников конфликта имеют вид (12), (13) и цель группы преследователей состоит в поимке хотя бы одного убегающего.
Теорема 23. Пусть выполнены предположения 12Ц14, D = Rk, n k + 1 и 0 Intco{zij} Тогда в игре происходит поимка.
Теорема 24. Пусть выполнены предположения 12Ц14, n k, V = D1(0) и 0 Intco{zij, p1,..., pr}, r 1.
Тогда в игре происходит поимка.
Кроме того, в данном параграфе рассматривается задача о поимке двух жестко скоординированных убегающих, при условии, что законы движения участников имеют вид i + a1xi = ui, ui V, j + a1yj = v, v V, xi, yj, ui, v Rk, a1, R1, a1 > 0.
xi(0) = x0, yj(0) = yj.
i причем x0 = yj для всех i, j, V строго выпуклый компакт с гладкой i границей.
Теорема 25. Пусть m = 2, D = Rk, V строго выпуклый компакт с гладкой границей и выполнены следующие условия:
0 1. co{y1, y2} Intco{x0,..., x0 };
1 n 2. существуют множества J1, J2 {1,..., n}, I1, I2 I0 \ (J1 J2), I1 I2 = , такие, что наборы векторов 0 {zi1, i J1, -c}, {zi2, i J2, c}, 0 0 0 {zl1, zs2, z1, z2, l J1 \ (J1 J2), s J2 \ (J1 J2), I1, I2} образуют положительный базис, причем |I0 \ (J1 J2)| k + 1, (I0 = {1,..., n}).
Тогда в игре происходит поимка.
Четвертая глава диссертации посвящена задаче о мягкой поимке группой преследователей одного или нескольких убегающих в примере Л. С. Понтрягина при равных динамических и инерционных возможностях игроков.
В параграфе 12 диссертации получены досточные условия мягкой поимки группой преследователей одного убегающего в примере Л. С. Понтрягина.
Предполагается, что закон движения каждого из преследователей Pi имеет вид (6), а закон движения убегающего имеет вид (7). При t = заданы начальные условия x()(0) = x0, y()(0) = y, = 0,..., l - 1, i i 0 причем x0 = y0, x0 = y1.
i0 iО п р е д е л е н и е 14. В игре происходит мягкая поимка, если существуют T > 0 и квазистратегии U1(t, z0, vt()),..., Un(t, z0, vt()) преследователей P1,..., Pn, такие, что xq() = y(), q() = () при некоторых q и [0, T ].
Предполагается, что все корни уравнения (13) вещественны и неположительны.
Пусть далее s s s 0 j j i(t) = j(t)zij = e tPji(t), i(t) = e tQ1i(t), j j=1 j=1 j=Q1 (t) Psi(t) s-1,i 0 zi = lim, zi = lim, ( = deg Q1 ), s-1,i t t t t 0 0 = inf max (zi, v), 1 = inf max min{(zi, v), (zi, v)}.
vV i vV i Предположение 23. Функции (zi, v) непрерывны во всех точках 0 вида (zi, v) для которых (zi, v) > 0.
Теорема 26. Пусть выполнено предположение 23, s = 0, ks 2, > 0. Тогда в игре происходит мягкая поимка.
0 Предположение 24. Функции (zi, v), i(zi, v) непрерывны во 0 1 0 всех точках (zi, v), (zi, v) таких, что (zi, v) > 0, (zi, v) > 0.
Теорема 27. Пусть выполнено предположение 24, s = 0, ks = 1, 1 > 0. Тогда в игре происходит мягкая поимка.
Теорема 28. Пусть выполнено предположение 23, s < 0, > 0.
Тогда в игре происходит мягкая поимка.
В параграфе 13 диссертации рассматривается задача о мягкой поимке группой инерционных объектов группу инерционных объектов в игре (n, m, z0), где n число преследователей, m число убегающих, z0 вектор начальных позиций, законы движения каждого из преследователей Pi и каждого из убегающих Ej имеют вид i = ui, xi(0) = x0, i(0) = x1, ui 1, (16) i i 0 j = vj, yj(0) = yj, j(0) = yj, vj 1. (17) Вводится функция f : N N вида f(n) = min{m: в игре (n, m, z0) происходит уклонение при любых z0}.
В данном параграфе получены некоторые достаточные условия разрешимости задачи уклонения в игре (n, m, z0) и доказана Теорема 29. Существуют константы c1, c2 > 0 такие, что для всех n N, n = 1 справедливо неравенство c2n ln n f(n) c1n ln n.
В параграфе 14 диссертации рассматривается задача о мягкой поимке группой инерционных объектов группы инерционных жестко скоординированных объектов c законами движения (16), (17).
Теорема 30. Пусть Intco{x1} co{yj } = .
i Тогда в игре происходит мягкая поимка.
Теорема 31. Пусть Intco{x1} co{yj } = .
i Тогда в игре происходит уклонение от мягкой поимки.
Пятая глава диссертации посвящена доказательству существования цены игры в классе обобщенных кусочно программных стратегий в дифференциальной игре n + m лиц, в которой закон движения каждого из преследователей Pi имеет вид i = fi(xi, ui), xi(0) = x0, ui Ui. (18) i Закон движения каждого из убегающих Ej имеет вид j = gj(yj, vj), yj(0) = yj, vj Vj. (19) i j Здесь xi, yj Rk, Ui Rn, Vj Rm, Ui, Vj компакты. Пусть 0 X0 = (x0,..., x0 ), Y0 = (y1,..., ym).
1 n Обозначим через (X0, Y0, JT ) игру, начинающуюся в момент t = 0 из начальных позиций (X0, Y0) с функцией выигрыша m JT (xi(t), yj(t)) = min min xi(t) - yj(t).
i t[0,T ] j=Отметим, что в случае m = 1 существование цены игры в классе кусочнопрограммных стретегий доказано Н.Н.Петровым Будем предполагать, что для систем (18), (19) выполнены следующие условия:
Петров Н. Н. О существовании значения игры преследования// ДАН СССР.
1970. Т. 190. № 6. С. 1289-1291.
1. функции fi(gj) определены и непрерывны на Rk Ui(Rk Vj);
2. функции fi(gj) удовлетворяют по xi(yj) локальному условию Липшица с константой, не зависящей от ui(vi);
3. для всех (xi, ui) Rk Ui, (yj, vj) Rk Vj справедливы неравенства |(xi, fi(xi, ui))| Ci(1 + xi ), |(yj, gj(yj, vj))| Dj(1 + yj ).
О п р е д е л е н и е 15. Кусочно программной стратегией Qi преследователя Pi называется пара {, Q}, где :
0 = t0 < t1 < < tr < tr+1 = T, а Q семейство отображений bl, l = 0,..., r ставящих в соответi ствие величинам (tl, x1(tl),..., xn(tl), y1(tl),... ym(tl), min min xi(t) - y1(t),..., min min xi(t) - ym(t) ) (20) i i t[0,tl] t[0,tl] измеримую функцию ui = ui(t) Ui, определенную для t [tl, tl+1).
О п р е д е л е н и е 16. Кусочно программной стратегией Sj убегающего Ej называется пара {, S}, где :
0 = t0 < t1 < < tr < tr+1 = T, а S семейство отображений cl, l = 0,..., r ставящих в соответj ствие величинам (20) измеримую функцию vj = vj(t) Vj, определенную для t [tl, tl+1).
Совокупность (Q1,..., On, S1,..., Sm) называется ситуацией. В силу наших предположений, в каждой ситуации (Q1,..., On, S1,..., Sm) определены траектории xi = xi(t), yj = yj(t) для t [0, T ] и, определено значение функции выигрыша m K(Q1,..., Qn, S1,..., Sm) = min min xi(t) - yj(t).
i t[0,T ] j=Игрок P стремится минимизировать величину K(Q1,..., Qn, S1,..., Sm), игрок E максимизировать данную величину.
Игру из начальных позиций (X0, Y0) с функцией выигрыша K при условии игроки используют кусочно программные стратегии обозначим (X0, Y0), а ее цену V (X0, Y0).
В работе доказывается существование цены игры в игре (X0, Y0).
Публикации по теме диссертации 1. Петров Н.Н. Об одной задаче группового преследования с фазовыми ограничениями// Прикладная математика и механика. 1988. Т. 52.
Вып. 6. С. 1030Ц1033.
2. Петров Н.Н. Одна задача простого преследования с фазовыми ограничениями// Автоматика и телемеханика. 1992. № 5. С. 22Ц26.
3. Петров Н.Н. Квазилинейные конфликтно-управляемые процессы с дополнительными ограничениями// Прикладная математика и механика. 1993. Т. 57. Вып. 6. С. 61Ц68.
4. Петров Н.Н. Об одном классе задач группового преследования с фазовыми ограничениями// Автоматика и телемеханика. 1994. № 3.
С. 42Ц49.
5. Петров Н.Н. Существование значения игры преследования со многими участниками// Прикладная математика и механика. 1994. Т. 58.
Вып. 4. С. 22Ц29.
6. Петров Н.Н. Об одной задаче группового преследования с фазовыми ограничениями//Изв. вузов. Математика. 1994. № 4(383). С. 24Ц29.
7. Петров Н.Н. О некоторых задачах группового преследования// III международ. семинар Негладкие и разрывные задачи управления.
Оптимизация и их приложения. Часть I. 1995. СПб. С. 111Ц112.
8. Петров Н.Н. Об одной задаче преследования группы убегающих// Автоматика и телемеханика. 1996. № 6. С. 48Ц54.
9. Петров Н.Н. Многократная поимка в примере Л.С.Понтрягина с фазовыми ограничениями// Прикладная математика и механика. 1997.
Т. 61. Вып. 5. С. 747Ц754.
10. Петров Н.Н. Простое преследование жесткосоединенных убегающих// Автоматика и телемеханика. 1997. № 12. С. 89Ц95.
11. Петров Н.Н. Групповое преследование с дополнительными ограничениями// Кибернетика и вычислительная техника. 1997. Вып. 115.
С. 1Ц12.
12. Петров Н.Н. Нестационарный пример Понтрягина с фазовыми ограничениями// Проблемы управления и информатики. 2000. № 4.
С. 18Ц24.
13. Петров Н.Н. Об одной задаче преследования со многими убегающими// Вестник Удмурт. ун-та. 2000. № 1. С. 131Ц136.
14. Петров Н.Н. Одна задача уклонения от многих преследователей// Известия РАН. Теория и системы управления. 1998. № 1. // С. 41Ц43.
15. Петров Н.Н. Мягкая поимка в примере Л. С. Понтрягина со многими участниками//Прикладная математика и механика. 2003.// Т. 67. Вып. 5. С. 759Ц770.
16. Петров Н. Н. Теория игр. Ижевск: Изд-во Удмуртского ун-та, 1997. 197 с.
17. Вагин Д.А., Петров Н.Н. Задача преследования группы жестко скоординированных убегающих //Известия РАН. Теория и системы управления. 2001. № 5. С. 75Ц79.
18. Вагин Д.А., Петров Н.Н. Об одной задаче группового преследования с фазовыми ограничениями// Прикладная математика и механика. 2002. Т. 66. Вып. 2. С. 234Ц241.
19. Petrov N. N. Group pursuit with phase restrictions// International Journal of Mathematics, Game Theory and Algebra. 1998. V. 7. №2/3.
p. 179Ц187.
20. Petrov N. N About one Pursuit Problem with many Evaders// Game Theory and Applications. 2001. V. VI. p. 82Ц88.