Авторефераты по всем темам >>
Авторефераты по разное
САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ На правах рукописи
БИСЯРИН Михаил Александрович НЕЛИНЕЙНАЯ ДИНАМИКА ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ И АКУСТИЧЕСКИХ МОДУЛИРОВАННЫХ ВОЛН В НЕОДНОРОДНЫХ ВОЛНОВОДНЫХ СТРУКТУРАХ Специальность : 01.04.03 Радиофизика
АВТОРЕФЕРАТ
диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук
Санкт-Петербург 2009
Работа выполнена на кафедре радиофизики и в Научно-исследовательском институте радиофизики физического факультета Санкт-Петербургского государственного университета Научный консультант :
доктор физико-математических наук, профессор Молотков Иван Анатольевич Официальные оппоненты :
доктор физико-математических наук, профессор Громов Евгений Михайлович доктор физико-математических наук, профессор Котов Олег Иванович доктор физико-математических наук, профессор Крауклис Павел Владимирович Ведущая организация : Институт проблем машиноведения РАН
Защита состоится "_____" ______________" 2009 г. в _____час._____мин.
на заседании совета Д 212.232.44 по защите докторских и кандидатских диссертаций при Санкт-Петербургском государственном университете по адресу : 199034 Санкт-Петербург, Университетская наб., д. 7/9. Ауд. _____.
С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке СанктПетербургского государственного университета.
Автореферат разослан "____" _________________" 2009 г.
Ученый секретарь совета Д 212.232.по защите докторских и кандидатских диссертаций, кандидат физико-математических наук С.Т.Рыбачек - 3 - О Б Щ А Я Х А Р А К Т Е Р И С Т И К А Р А Б О Т Ы Диссертация посвящена аналитическому исследованию слабо нелинейных волновых процессов электромагнитной и акустической природы в градиентных волноводных каналах. В ней с единых позиций теории нелинейных локализованных волновых процессов разработаны асимптотические методы и получено аналитическое описание нелинейной динамики электромагнитных и акустических волн, модулированных по амплитуде и частоте и распространяющихся в градиентных волноводных каналах с продольной неоднородностью.
Актуальность темы Нелинейные явления сопровождают многие физические процессы, исследуемые в оптике, акустике, гидродинамике, физике плазмы и других областях физики. Абстрагируясь от специфических, определяемых физическими механизмами свойств процессов в каждой из перечисленных областей, оказывается возможным установить общие законы и закономерности проявлений нелинейности независимо от их физического содержания. Это позволяет считать теорию нелинейных волновых процессов самостоятельной физической дисциплиной, довольно разветвлённой и динамично развивающейся. Подтверждением её широчайших возможностей служит то обстоятельство, что методы и результаты теории нелинейных волн с успехом применяются в других областях знания, причём не только в естественных науках, но и экономических и гуманитарных.
Существенное место в теории нелинейных волн занимают слабо нелинейные волновые процессы, и возрастающий интерес к ним стимулируется практическими потребностями оптоэлектроники, волоконной оптики и нелинейной акустики. С физической точки зрения - 4 - слабо нелинейные процессы выделяются условием, что амплитуды волнового поля достаточно велики, так что нельзя пренебрегать эффектами нелинейности, однако их можно рассматривать в качестве дополнительных на фоне линейного волнового процесса. Влияние слабой нелинейности имеет следствием изменение качественного характера волнового процесса по сравнению с линейным случаем. Аналитическое описание слабой нелинейности требует разработки специальных асимптотических методов решения модельных уравнений.
В работе излагаются результаты исследований по аналитическим методам описания слабо нелинейных локализованных волновых процессов. Всесторонне исследован целый ряд задач, каждая из которых представляет научный интерес сама по себе и решение каждой из которых весьма актуально для соответствующих разделов нелинейной оптики или нелинейной акустики. Вместе с тем, фундаментальная общность свойств слабо нелинейных волновых процессов и системность применённых к их описанию аналитических методов органично объединяют рассмотренные задачи в рамках единой темы исследования и делают полученные результаты весьма актуальными для общей теории нелинейных волн.
Цели и задачи работы Основными целями работы являются :
1. представление аналитического описания слабо нелинейной динамики коротких электромагнитных и акустических импульсов, модулированных по амплитуде и частоте, в градиентных волноводных каналах с учётом их продольной неоднородности и возможной кривизны ;
2. установление теоретической реализуемости солитонного режима распространения волнового поля в градиентном волноводном канале с - 5 - продольной неоднородностью и выяснение, какие ограничения для этого должны быть наложены на характеристики продольной неоднородности;
3. осуществление аналитического описания влияния продольной неоднородности градиентного волноводного канала на амплитуду, форму, ширину и скорость солитонного импульса в процессе его распространения;
4. разработка асимптотических методов исследования влияния нелинейных и дисперсионных эффектов высших порядков на характеристики солитонных импульсов в различных режимах;
5. представление аналитического описания процесса распространения светлых и тёмных солитонных импульсов с длиной волны несущей, близкой к длине волны нулевой дисперсии;
6. установление применимости нелинейного волнового уравнения с кубичной нелинейностью для моделирования слабо нелинейной динамики короткого акустического импульса.
Аналитическое описание слабо нелинейной динамики электромагнитных и акустических импульсов в неоднородных волноводных структурах достигается путём вывода и всестороннего анализа ряда модельных задач:
1. Асимптотическое решение нелинейного волнового уравнения применительно к описанию динамики короткого оптического импульса в градиентных оптических волокнах или планарных структурах с продольной неоднородностью. Нелинейность процесса предполагается слабой, порядок величины амплитуды импульса принимается в качестве малого параметра асимптотического решения. В ходе асимптотического решения происходит естественное выделение линейной компоненты волнового процесса, описание модовой структуры импульса и вывод уравнения для огибающей, учитывающего продольную неоднородность градиентного оптического волновода.
- 6 - 2. Асимптотическое решение нелинейного волнового уравнения для аналитического описания слабо нелинейной динамики короткого импульса с линейной частотной модуляцией несущей. Как показано в работе, решение требует принципиально различных методов в зависимости от соотношения ширины спектра и глубины линейной частотной модуляции.
3. Исследование локальной и глобальной разрешимости задачи Коши для нелинейного уравнения Шредингера с переменными коэффициентами в классе быстро убывающих функций. Формулировка на основе результатов этого исследования условий, которые достаточно наложить на продольную неоднородность волноводного канала и выполнение которых гарантирует сохранение локализованного характера импульса.
4. Установление применимости нелинейного волнового уравнения с кубичной нелинейностью к описанию слабо нелинейной динамики акустического импульса, осуществление с этой целью аналитического вывода нелинейного волнового уравнения из системы гидродинамических уравнений Эйлера. В процессе этого вывода оказывается возможным выяснить, при каких значениях показателя адиабаты среда является фокусирующей или дефокусирующей для акустического излучения.
5. Асимптотическое решение нелинейного уравнения Шредингера с переменными коэффициентами для малой и плавной продольной неоднородности, а также на малых расстояниях при произвольной продольной неоднородности.
6. Асимптотическое решение возмущённого нелинейного уравнения Шредингера с дополнительными членами, характеризующими дисперсионные и нелинейные эффекты высших порядков, при различных соотношениях между коэффициентами и протяжённостью трассы.
7. Асимптотическое решение возмущённого уравнения Шредингера применительно к импульсам с длиной волны несущей в окрестности - 7 - длины волны нулевой дисперсии, аналитическое описание возникающих в процессе распространения таких импульсов связанных состояний солитонов. Решение задачи требует принципиально различающихся подходов в зависимости от величины отстройки длины волны несущей от длины волны нулевой дисперсии.
Научная новизна Принципиально новой является сформированная в работе концепция, предполагающая моделирование электромагнитных и акустических слабо нелинейных волновых процессов посредством нелинейного волнового уравнения с квадратичной зависимостью показателя преломления среды от амплитуды волнового поля. И если для моделирования электромагнитных процессов введение нелинейности в систему уравнений Максвелла является уже хорошо известной процедурой, то редукция системы гидродинамических уравнений Эйлера к нелинейному волновому уравнению представляет собой результат настоящей работы. Дополнительная важность этого результата обусловлена тем обстоятельством, что полученное для коэффициента при нелинейном члене волнового уравнения явное аналитическое выражение позволяет связать фокусирующие или дефокусирующие свойства среды с показателем адиабаты.
Отличительной новой особенностью моделирования слабо нелинейных волновых процессов является введение в рассмотрение продольной неоднородности градиентного волноводного канала и пространственной изогнутости его оси. Предложенный асимптотический метод решения нелинейного волнового уравнения позволяет аналитически описать совместное действие таких факторов как слабая нелинейность процесса, слабая продольная неоднородность волноводного канала и - 8 - короткая продолжительность импульса посредством единого малого параметра. Для огибающей импульса выведено обобщённое нелинейное уравнение Шредингера, его коэффициенты зависят от характеристик моды распространения и поперечной неоднородности волноводного канала и являются функциями от продольной координаты. Решением этого уравнения и реализуется описание влияния продольной неоднородности на параметры слабо нелинейного импульса в градиентном волноводе.
При рассмотрении коротких импульсов с линейной частотной модуляцией несущей впервые отмечена необходимость классификации импульсов по глубине модуляции. Импульсы, у которых глубина линейной частотной модуляции много меньше ширины спектра, и импульсы, глубина модуляции которых соизмерима с шириной спектра, составляют два класса с существенно различной динамикой в градиентном волноводном канале с продольной неоднородностью. Для обоих режимов в работе сформулированы и реализованы методы аналитического описания и указаны отличительные особенности распространения импульсов.
Исследование эволюции огибающей импульса на базе обобщённого нелинейного уравнения Шредингера с коэффициентами, зависящими от продольной координаты и выражающимися через характеристики поперечной неоднородности волноводного канала, представляет собой существенный элемент новизны проведённой работы. Впервые исследована локальная и глобальная разрешимость задачи Коши для этого уравнения в классе быстро убывающих функций. Решение уравнения для огибающей осуществляется различными асимптотическими методами, что позволяет описывать динамику импульса либо на произвольных расстояниях при дополнительных предположениях о малости продольной неоднородности и дисперсионных и нелинейных эффектов высших порядков, либо без ограничений на эти характеристики, но лишь на малых - 9 - расстояниях вдоль трассы распространения. Принципиально новым результатом является также и установление существования двух качественно различающихся режимов распространения импульсов с длиной волны несущей в окрестности длины волны нулевой дисперсии.
Один из них реализуется тогда, когда отстройка длины волны несущей от длины волны нулевой дисперсии превосходит некоторую характерную величину, другой имеет место в непосредственной окрестности длины волны нулевой дисперсии.
Достоверность результатов Полученные результаты носят теоретический характер. Их обоснованность и достоверность обеспечиваются адекватностью математических моделей, использованием обоснованных асимптотических методов и определённостью границ их применимости. При предельных переходах к более простым и изученным ситуациям (волноводный канал без продольной неоднородности, импульс без линейной частотной модуляции и т.п.) получаются результаты, согласующиеся с имеющимися в научной литературе. Вывод о том, что показатель адиабаты, равный 3/2, разделяет среды, фокусирующие и дефокусирующие акустическое излучение, находится в согласии с результатами других авторов, полученными при изучении системы уравнений Навье-Стокса методами теории дифференциальных уравнений в частных производных и функционального анализа.
Научная и практическая значимость Научная значимость работы определяется новизной рассмотренных задач, оригинальностью методов их решения, системной общностью аналитического описания волновых процессов различной физической - 10 - природы в градиентных волноводных каналах с продольной неоднородностью. Работа вносит значительный вклад в развитие важного научного направления, связанного с анализом нелинейной волновой динамики в волноводных структурах. Практическая значимость обусловлена тем, что разработанные методы позволяют достаточно полно учитывать влияние продольной неоднородности волноводного канала на процесс распространения импульса. Эти методы могут использоваться при разработке методики оценки продольной неоднородности градиентного оптического волокна, а также для задания допусков на неоднородность, обеспечивающих надёжную передачу информационных сообщений по солитонным волоконнооптическим линиям.
Положения, выносимые на защиту 1. Локализация слабо нелинейного волнового процесса в среде, характеризующейся двумя масштабами неоднородности в направлении распространения и перпендикулярно к нему, обеспечивается качественно различающимися механизмами. Само образование волноводного канала и осевое сосредоточение волнового поля в нём являются следствием сильной поперечной неоднородности среды.
Нелинейность процесса проявляется в динамике огибающей, и в первую очередь, в образовании солитона огибающей. Параметры солитона изменяются в процессе распространения импульса под влиянием слабой продольной неоднородности и изогнутости волноводного канала.
2. Слабо нелинейный режим распространения короткого импульса в градиентном волноводе адекватно моделируется нелинейным волновым уравнением и может быть асимптотически охарактеризован посредством единого малого параметра. Этим параметром определяется порядок величины амплитуды импульса, а квадратом этого параметра - 11 - характеризуется продольная неоднородность волноводного канала и его кривизна.
3. Динамика слабо нелинейного короткого импульса в градиентной волноводной структуре со слабой продольной неоднородностью характеризуется тремя масштабами. Высокочастотное заполнение модулируется огибающей, эволюция которой, в свою очередь, двухмасштабна. Соотношения между фазами высокочастотного заполнения и огибающей различаются для различных распространяющихся мод. Распространение огибающей вдоль волновода происходит со скоростью, отличающейся от фазовой скорости высокочастотного заполнения, и сопровождается медленными вариациями амплитуды, ширины и формы.
4. Моды слабо нелинейного режима распространения в градиентном волноводе со слабой продольной неоднородностью имеют линейные аналоги, которые, в свою очередь, взаимно однозначно соответствуют высокочастотным модам.
5. Динамика огибающей слабо нелинейного импульса в градиентном волноводе со слабой продольной неоднородностью удовлетворяет возмущенному нелинейному уравнению Шредингера с коэффициентами, зависящими от продольной координаты. Для достаточно широкого и практически значимого класса продольных неоднородностей волноводного канала существует интервал, на котором гарантированно сохраняется сосредоточенный характер импульса. При определенных ограничениях на продольную неоднородность такая сосредоточенность сохраняется на произвольно больших расстояниях вдоль волноводного канала.
6. Влияние дисперсии и слабой нелинейности высших порядков на огибающую короткого импульса может быть взаимно скомпенсировано, - 12 - что позволяет минимизировать искажения формы импульса в процессе его распространения. Этот эффект аналогичен образованию солитонов огибающей в результате совместного действия нелинейности и дисперсии в главном порядке.
7. Распространение излучения с длиной волны, близкой к длине волны нулевой дисперсии, инициирует образование связанных нелинейных структур. Качественный состав и динамика этих структур определяются величиной отстройки длины волны высокочастотного заполнения импульса от длины волны нулевой дисперсии. Если отстройка превышает установленную величину, то образуется связанное состояние из светлых и тёмных солитонов огибающей. В непосредственной же окрестности длины волны нулевой дисперсии формируется особая нелинейная структура - солитон на пьедестале.
8. Слабо нелинейная динамика импульса с линейной частотной модуляцией высокочастотного заполнения существенно различается в зависимости от того, является ли глубина модуляции много меньшей ширины спектра или эти две величины соизмеримы. На этой основе производится классификация импульсов на чирпированные и сильно чирпированные. Динамика огибающей сильно чирпированного импульса оказывает влияние на распределение волнового поля в поперечном сечении волноводного канала. И в том и в другом случае коэффициент модуляции может задаваться лишь в определенных соотношениях с параметрами поперечной и продольной неоднородности волноводного канала.
9. Система гидродинамических уравнений Эйлера, применённая к описанию слабо нелинейного процесса распространения короткого акустического импульса в градиентном волноводном слое с продольной неоднородностью, редуцируется к нелинейному волновому уравнению - 13 - с кубичной нелинейностью. Значение показателя адиабаты = 3 разделяет среды на фокусирующие ( > ) и дефокусирующие ( < ) 2 акустическое излучение.
Апробация работы Результаты исследований по теме диссертации представлялись на всесоюзных, всероссийских и международных научных конференциях :
1. Всесоюзная научная конференция "Волновые и вибрационные процессы в машиностроении". - Горький, 1989.
2. Волны и дифракция - 90. Х Всесоюзный симпозиум по дифракции и распространению волн. - Винница, 1990.
3. I European Fluid Mechanics Conference. - Cambridge, 1991.
4. X Topical Meeting on Gradient-Index Optical Systems. - Santiago de Compostela, 1992.
5. International Conference "Gradient-Index Optics in Science and Engineering". - Kazimierz-Dolny, 1995.
6. International Conference on Nonlinear Dynamics, Chaotic and Complex Systems. - Zakopane, 1995.
7. Итоговый семинар по физике и астрономии победителей конкурса грантов 19года для молодых ученых Санкт-Петербурга. - СПб., Физико-технический институт им. А.Ф.Иоффе, 1998.
8. International Conference "Optical Pulse and Beam Propagation". - San Jose, 1999.
9. International Conference "Materials and Devices for Photonic Circuits", SPIE's 44th Annual Meeting. - Denver, 1999.
10. International Conference "Optical Pulse and Beam Propagation - II". - San Jose, 2000.
11. Международная конференция "Комплексный анализ, дифференциальные уравнения и смежные вопросы". - Уфа, 2000.
12. X International Conference "Laser Optics". - St.Petersburg, 2000.
13. Региональная VI конференция по распространению радиоволн. - СанктПетербург, 2000.
14. Applied Nonlinear Dynamics. From Semiconductors to Information Technologies. - Thessaloniki, 2001.
15. Региональная VII конференция по распространению радиоволн. - СанктПетербург, 2001.
16. Asia-Pacific Optical and Wireless Communications Conference. - Beijing, 2001.
17. XXVII General Assembly of the International Union of Radio Science. - Maastricht, 2002.
18. Региональная VIII конференция по распространению радиоволн. - СанктПетербург, 2002.
19. XI International Conference "Laser Optics". - St.Petersburg, 2003.
20. Региональная X конференция по распространению радиоволн. - СанктПетербург, 2021. Conference MSS-04, Institute of Space Research. - Moscow, 2004.
- 14 - 22. XII International Conference "Laser Optics". - St.Petersburg, 2006.
23. Региональная XII конференция по распространению радиоволн. - СанктПетербург, 2006.
24. 18th International Symposium on Nonlinear Acoustics. - Stockholm, 2008.
Отдельные разделы диссертации докладывались на научных семинарах кафедры радиофизики физического факультета Санкт-Петербургского государственного университета, кафедры радиофизики радиофизического факультета Санкт-Петербургского государственного политехнического университета, на городских семинарах по дифракции и распространению волн в Петербургском отделении Математического института им.
В.А.Стеклова.
Часть результатов, представленных в диссертации, получена в рамках исследований, поддержанных грантами Российского фонда фундаментальных исследований.
Публикации Все представленные в диссертации результаты опубликованы в ведущих научных изданиях. Основное содержание диссертации изложено в публикациях, в том числе в монографии "Нелинейные локализованные волновые процессы", опубликованной в соавторстве с И.А.Молотковым и С.А.Вакуленко, издание осуществлено при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований. Все изложенные в диссертации результаты получены при личном участии автора. В совместных работах автор активно участвовал в разработке концепции, математической постановке задачи, в её аналитическом и численном решении.
Структура и объем диссертации Диссертация состоит из введения, пяти глав, в составе которых параграфов, заключения, приложений и списка цитируемой литературы из 277 наименований. Общий объём диссертации - 313 страниц.
- 15 - С О Д Е Р Ж А Н И Е Д И С С Е Р Т А - И И Во Введении обосновывается выбор темы и её актуальность, обсуждается место проведённого исследования в ряду работ по теории нелинейных волн, определяются цели исследования и формулируются положения, выносимые на защиту. Описывается также содержание и структура работы, приводится список публикаций автора по теме диссертации, и для каждой главы указывается, в каких статьях опубликованы её основные результаты.
Глава 1 (зз1-6) посвящена аналитическому описанию слабо нелинейного процесса распространения импульса в градиентных планарных структурах. Допускается слабая продольная неоднородность волноводного канала, то есть, масштаб зависимости показателя преломления среды от продольной координаты значительно превосходит масштаб зависимости от поперечной координаты. Кроме того, в рассмотрение включается также и переменная малая изогнутость осевой линии волноводного канала: при этом порядок величины радиуса кривизны совпадает с масштабом продольной неоднородности. Под импульсом, распространение которого составляет предмет исследования, подразумевается высокочастотное излучение, модулированное огибающей с быстро убывающими фронтами.
з1 носит вводный характер, в нём дается обзор литературы, посвящённой электромагнитным волновым процессам в двумерных волноводных структурах и применяемым для их описания методам. В зна основании литературных данных обсуждается применимость нелинейного волнового уравнения к волновым процессам в неоднородных средах и обосновывается его выбор в качестве модельного уравнения для - 16 - описания слабо нелинейного короткого импульса неоднородном волноводном канале.
В з3 формулируется модельная задача о распространении слабо нелинейного короткого импульса в двумерном градиентном волноводном канале с продольной неоднородностью. Процесс описывается нелинейным волновым уравнением 2u u - f (u2;s,n) = 0, (1) ts и n - криволинейные ортогональные координаты, s - продольная, n - нормальная координата в окрестности осевой линии волноводного канала.
Искомая функция u должна удовлетворять условию lim u = 0, n выражающему локализацию поля в окрестности оси, и описывать волну, распространяющуюся в положительном направлении по координате s.
Предполагается, что амплитуда поля является малой величиной порядка .
Слабая продольная неоднородность и слабая изогнутость характеризуются посредством , то есть, свойства волноводного канала зависят от медленной продольной координаты = s, а кривизна его оси равна ( ), здесь () - заданная функция.
В работе исследуется случай квадратичной зависимости квадрата показателя преломления среды от волнового поля f (u2;,n) = (n, ) + (n, ) < u2 >, (2) < u2 > означает среднее значение квадрата волнового поля за период колебаний. Функцией (n,) задаётся распределение показателя преломления до введения в среду высокоинтенсивного излучения, - коэффициент Керра.
Решение уравнения (1) ищется в виде - 17 - R( ) u = U (n,,, )expi (3) - t + к.c., фаза огибающей выражается как Q( ) = - t (4) и отличается от фазы высокочастотного заполнения в (3). Комплексная амплитуда U разлагается в ряд по степеням . (5) U = U (n,, ) j j j =В з4 осуществляется подстановка анзатца (3), (4), (5) в уравнение (1) и выводится серия задач для линейных дифференциальных уравнений второго порядка с граничными условиями U 0, обеспечивающими j n локализацию волнового поля в окрестности оси волноводного канала.
Последовательное решение этих задач с учётом соотношений, выражающих условия их разрешимости, позволяет определить все элементы анзатца.
Комплексная амплитуда в главном приближении оказывается подчинённой задаче Штурма-Лиувилля 2U0, (6) +( (n, ) - r2( ))U0 = 0, lim U0 = n nна бесконечном интервале, и играют роль параметров. Для достаточно широкого и практически важного класса функций (n,) задача (6) определяет конечный набор незатухающих мод, характеризуемых аналогом постоянной распространения r()=RТ() и собственной функцией U0(n,,). При этом локализация волнового поля импульса в окрестности оси волновода достигается за счет непрерывной зависимости показателя преломления от нормальной координаты n. Из вида уравнения (6) вытекает, что собственную функцию можно представить в виде - 18 - произведения U0 (n,, ) =V (n, )F(, ), в котором функция V(n,) нормирована условием V 2(n, )dn =1 и описывает поперечное - распределение поля, медленно меняющееся вдоль оси волноводного канала. Функцию F(,) в дальнейшем будем называть огибающей импульса. В случае зависимости линейной части квадрата показателя 2 2 преломления (n, ) = 0 ( ) - 2 ( )n2 для собственных чисел задачи (6) имеются явные формулы, а поперечное распределение поля импульса при этом выражается посредством функций параболического цилиндра.
Условие разрешимости задачи для поправки U1 позволяет выразить q()=Q'() через r() и поперечное распределение поля импульса, тем самым устанавливается соотношение между фазами высокочастотного заполнения и огибающей. Уравнение для поправки второго порядка U2 к комплексной амплитуде является предметом з5, она также удовлетворяет неоднородному уравнению с дифференциальным оператором (6), и её условие разрешимости является уравнением для огибающей F(,) - обобщённым нелинейным уравнением Шредингера F 2F 2ir( ) + g( ) + j( )F + h( ) | F |2 F = 0, (7) коэффициенты которого выражаются через характеристики, определённые на предыдущих шагах асимптотической процедуры. Зависимость от переменной кривизны () присутствует в выражении для коэффициента j(). Зависимость коэффициентов уравнения (7) от продольной координаты позволяет описать влияние продольной неоднородности волноводного канала на слабо нелинейную динамику огибающей импульса.
В з6 рассматривается нелинейное уравнение Гельмгольца u + f (| u |2,n, )u = 0, f = (n, ) + (n, ) | u |2, моделирующее слабо - 19 - нелинейную эволюцию пучка в среде с различными масштабами неоднородности в поперечном и продольном направлениях. В ходе последовательного асимптотического анализа устанавливается существование слабо нелинейных мод волнового пучка, причём каждая из них имеет линейный аналог, связь с которым иллюстрируется явной формулой для главного члена асимптотики слабо нелинейной моды.
Содержание Главы 2 (зз7-13) составляет исследование слабо нелинейного распространения короткого импульса в градиентном оптическом волокне. Учитывается продольная неоднородность волокна и его пространственная искривлённость. Допускается также зависимость показателя преломления материала волокна в поперечном сечении от азимутального угла. В з7 представлен обзор литературы, посвящённой нелинейному режиму распространения импульсов в оптических волокнах.
Разбираются дисперсионные свойства и способы управления ими в оптических волокнах, нелинейные явления и пороги их возбуждения, физические механизмы нелинейности, а также возможности применения нелинейного режима функционирования волоконнооптических коммуникаций. В з8 формулируется модельное уравнение, описывающее процесс распространения импульса, это уравнение (1), в котором квадрат показателя преломления представляется формулой (2), однако задача формулируется как трёхмерная, систему ортогональных криволинейных координат образуют полярные координаты и в поперечном сечении световода и длина кривой s, отсчитываемая вдоль оси волокна.
Соответственно и условие локализации волнового поля в окрестности оси волокна формулируется в виде lim u = 0, кроме того, требуется конечность функции u при =0 и 2-периодичность по координате .
- 20 - Анзатц для решения модельного уравнения обсуждается в з9, малый параметр имеет тот же смысл, что и в Главе 1. Основные элементы анзатца определяются формулами (3), (4), а в разложении по степеням малого параметра (5) присутствуют функции Uj(,,,). Само модельное уравнение учитывает кривизну и кручение оси волокна. Отметим, что даже если показатель преломления в поперечном сечении градиентного световода и не зависит от азимутального угла , такая зависимость всё равно появится в Uj при j>1 вследствие искривлённости оси. В зопределяются основные характеристики мод импульса. Функция U0 2периодична по (U0 ~ eim ), и если линейная часть показателя преломления не зависит от , то U0 как функция от , , удовлетворяет задаче Штурма-Лиувилля 2U0 1 U0 2 m2 U0 =, (8) + + (, ) - r2( ) 2 U0 конечна при 0,, U0 тогда U0(,,, ) =V (, )F(, )eim, V(,) - собственная функция задачи (8), нормированная условием V (, )d =1. В случае параболической зависимости функции от радиальной координаты собственная функция V выражается через обобщённый полином Лагерра.
Поправки к комплексной амплитуде Uj (j 1) удовлетворяют неоднородным уравнениям второго порядка с дифференциальным оператором (8). Условие того, что решения этих уравнений должны быть ограниченными при = 0 и стремиться к нулю при , накладывает ограничения на правые части уравнений. Так, условие разрешимости задачи для U1 приводит к формуле - 21 - 1 V , q( ) = r( ) + d r( ) устанавливающей связь между фазами огибающей и высокочастотного заполнения. А условие разрешимости рассматриваемой в з11 задачи для Uимеет следствием уравнение для огибающей импульса F(,), по форме совпадающее с уравнением (7), но выражения для коэффициентов отличаются от аналогичных формул двумерной задачи. В случае продольной неоднородности, когда коэффициенты связаны соотношением, p = const, 2g( )r( ) = p2h( ) можно в явном виде выписать солитонное решение уравнения (7) pei g( '), F(, ) = d ' ch-1 r( ) r( ') 0 которое в сочетании с анзатцем (3), (4) наглядно иллюстрирует трёхмасштабный характер исследуемого процесса: высокочастотное заполнение модулируется огибающей, эволюция которой двухмасштабна, средняя по скорости эволюция фазы огибающей сопровождается медленным изменением её амплитуды.
Предметом зз12 и 13 являются короткие оптические импульсы с линейной частотной модуляцией несущей. Фаза чирпированного импульса представляется в виде = 0t + 0t2, параметр характеризует глубину модуляции. При этом мгновенная частота = 0 + 20t, и полное изменение мгновенной частоты импульса длительностью t0 равно = 20t0. Принципиальным результатом проведённого исследования является установление того факта, что динамика импульса существенно определяется соотношением между шириной спектра и глубиной модуляции. Выделяются два качественно различающихся типа динамики, - 22 - =0,=0,=0,Рис.1. Изменение качественного характера модуля спектральной функции |F()| tt0 2 чирпированного импульса f (t) = e cos(2 t + 4 t2), t0 = 4, 0 0 по мере увеличения коэффициента модуляции.
- 23 - один имеет место в случае, когда глубина модуляции много меньше ширины спектра, такие импульсы называем чирпированными, другой тип динамики - сильно чирпированный импульс - характеризуется тем, что глубина модуляции и ширина спектра соизмеримы. Для импульсов с гауссовой огибающей t tf (t) = e cos(0t + 0t2) выражение для спектральной функции получатся в явной форме, и на рис.наглядно демонстрируется различие между чирпированными и сильно чирпированными импульсами. При увеличении глубины модуляции возникают осцилляции модуля спектральной функции в окрестности частоты 0, сильно чирпированный импульс характеризует немонотонный спектр, причём максимальное значение модуля спектральной функции смещается от центральной частоты несущей. Заметим, что такой импульс вообще не может рассматриваться как традиционный волновой пакет.
В исследуемой задаче полагается, что импульс включает в себя достаточно большое количество периодов высокочастотного заполнения, и в силу выбора фазовой функции огибающей (4) отношение периода колебаний к длительности импульса является величиной порядка (кроме того, это следует и из явной формулы для солитонного решения уравнения для огибающей). Составив отношение полного изменения мгновенной частоты несущей к ширине спектра, нетрудно убедиться, что оно является величиной порядка. На основе этого соотношения и осуществляется классификация: чирпированными называем импульсы, у которых коэффициент модуляции является малой величиной ~, если же - 24 - ~, то полное изменение частоты несущей соизмеримо с шириной спектра, и такие импульсы естественно называть сильно чирпированными.
В з12 исследуется слабо нелинейная динамика чирпированного импульса, и решение нелинейного волнового уравнения (1) ищется в виде R( ) u = U (,,, )expi - t - ( )t2 + к.c.
, (9) в дополнение к анзатцу (3) здесь вводится ещё одна неизвестная функция ()~1, характеризующая изменение коэффициента модуляции под влиянием продольной неоднородности волноводного канала. Наличие квадратичной фазовой модуляции не проявляется в старшем члене асимптотического разложения (5), он также определяется из решения задачи Штурма-Лиувилля (8), однако для последующих членов разложения (5) схема решения усложняется. В частности, из условия разрешимости задачи для U1 дополнительно получается соотношение ( )Q2( ) = const, выражающее согласованность вариаций коэффициента модуляции и фазы огибающей в продольно неоднородном волокне.
Выведенное уравнение для огибающей чирпированного импульса в общем случае может решаться численно. Тем не менее, для некоторых специальных типов продольной неоднородности это уравнение сводится ко второму уравнению Пенлеве u"(x) - xu(x) + u3(x) = в котором x и u(x) выражаются через уже определённые элементы анзатца.
Численное решение этого уравнения позволяет представить (рис.2) изменение качественного характера динамики огибающей импульса при наложении на несущую линейной частотной модуляции. Возникающий при этом осциллирующий хвост убывает вследствие нелинейности быстрее функции Эйри, а сравнение с sech - солитоном нелинейного - 25 - Рис.2.
Структура огибающей импульса: (1) в нелинейном режиме при наличии линейной частотной модуляции, (2) в нелинейном режиме без частотной модуляции, (3) функция Эйри Ai(x).
уравнения Шредингера показывает, что линейная частотная модуляция приводит к более резкой крутизне переднего фронта импульса.
Для импульсов, глубина линейной частотной модуляции которых соизмерима с шириной спектра, требуется существенное изменение асимптотической процедуры, что и составляет содержание з13. Анзатц для решения нелинейного волнового уравнения (1) в виде сильно чирпированного импульса R( ) u = U (,,, )expi - t - ( )t2 + к.c.
отличается от анзатца (9) для чирпированного импульса тем, что квадратичная фазовая модуляция имеет больший порядок величины по параметру . Это обстоятельство проявляется уже в задаче ШтурмаЛиувилля для главного приближения U0 комплексной амплитуды, её собственное значение представляет собой определённую комбинацию функций R(), Q() и (), а поперечное распределение волнового поля оказывается зависящим от коэффициента модуляции (). Это означает, что сильная линейная частотная модуляция проявляется не только в продольной динамике импульса (как в случае чирпированного импульса), но и в распределении волнового поля в поперечном сечении градиентного - 26 - волноводного канала. Соответствующие явные формулы выписаны для 2 2 2 случая параболической зависимости. В (, ) = 0 ( ) - 2 ( ) процессе асимптотического решения устанавливается соотношение ( )Q( ) = const между фазой огибающей и коэффициентом модуляции (оно отличается от аналогичного соотношения для чирпированного импульса). Для огибающей выведено уравнение, обобщающее нелинейное уравнение Шредингера и имеющее коэффициенты, зависящие от продольной координаты и выражающиеся через характеристики градиентного волноводного канала и распределение волнового поля в поперечном сечении. Тем самым описывается влияние продольной неоднородности градиентного волноводного канала на слабо нелинейную динамику сильно чирпированного импульса.
Глава 3 (зз14-17) выделяется как предметом, так и методом исследования. Поскольку нелинейное уравнение Шредингера и его обобщения описывают огибающую рассматриваемых импульсов, а исследование нелинейной динамики импульса предполагает построение асимптотических решений уравнения для огибающей, то возникает необходимость установить разрешимость этого уравнения в подходящем классе функций. Результаты главы представляются важными и актуальными для теории нелинейного уравнения Шредингера с переменными коэффициентами.
Заменой переменной и искомой функции уравнение (7) приводится к виду, когда переменным является лишь один из коэффициентов, поэтому рассматривается задача Коши u 2u i + + f (t) | u |2 u = 0 u = (x) S(R), (10), t=t xгде S(R) - пространство быстро убывающих функций. Наличие переменного коэффициента в уравнении (10) может привести к тому, что - 27 - быстро убывающее при t = 0 решение утратит это свойство при конечных t.
В з14 выясняются условия, которым должна удовлетворять функция f(t), чтобы решение оставалось сосредоточенным по крайней мере на конечном интервале изменения переменной t. Исследование проводится методами теории дифференциальных уравнений в частных производных. Вводится пространство C1[0,T; S], его элементами являются функции u(x,t)S(R) при t [0,T) и дифференцируемые по t на рассматриваемом промежутке.
Затем строится последовательность функций -i (x-x')i e 4t u0 = U(t) (x')e dx' 4t - t uk+1 = U(t) + i f (t')U(t - t'){| uk (x,t') |2 uk (x,t')}dt' и доказывается, что она сходится к искомому решению при конечном T, если f(t)C[0,) и f(t)>0. Глобальная разрешимость задачи (10) исследуется в з15, его результатом является установление условий, гарантирующих принадлежность решения требуемому классу при любом T>0. Другой УкрайнийФ случай, когда сосредоточенное решение обязательно разрушается за конечное время, рассматривается в з16.
Применительно к процессу распространения импульса в градиентном волноводном канале можно сделать вывод, что для достаточно широкого и практически важного класса продольных неоднородностей существует гарантированная длина участка волновода, в пределах которого сохраняется локализованный характер импульса.
Заметим, что этим фиксируется значение медленной координаты , физическая же длина гарантированного участка S =. В з17 проведены оценки длины такого интервала для осциллирующих и монотонных - 28 - продольных неоднородностей градиентного оптического волокна, построены зависимости от мощности и крутизны начального импульса.
Глава 4 (зз18-22) посвящена нелинейной акустике, в ней устанавливается применимость нелинейного волнового уравнения с квадратичной зависимостью скорости звука от амплитуды волнового поля к описанию слабо нелинейных акустических волновых процессов. В зосуществляется сведение системы уравнений Эйлера к нелинейному волновому уравнению вида (1), (2), при этом в адиабатическом приближении коэффициент при нелинейном члене выражается через показатель адиабаты 1 1 = - - , 2 2 2 p0 2 p0 - постоянное значение давления. Из этой формулы следует, что значение = 3/2 разделяет положительные и отрицательные значения коэффициента , при > 3/2 среда фокусирует акустическое излучение, при < 3/2 среда является дефокусирующей.
Сведением системы уравнений Эйлера к нелинейному волновому уравнению устанавливается глубокая аналогия между слабо нелинейными электромагнитными и акустическими волновыми процессами. Это позволяет использовать методы описания оптических импульсов в градиентных планарных структурах при изучении распространения слабо нелинейного акустического импульса в градиентном волноводном канале с продольной неоднородностью. В з19 исследуется модовая структура акустического импульса и соотношения между высокочастотным заполнением и огибающей, а в з20 выводится уравнение для огибающей.
Для определённого типа продольной неоднородности получено явное выражение решения нелинейного уравнения Шредингера (7) в виде тёмного солитона.
- 29 - Для оценки погрешности, вносимой за счёт пренебрежения изменением энтропии, в зз21 и 22 рассмотрено влияние изменения энтропии на процесс распространения импульса в среде с релаксацией.
Изучены режимы, когда время релаксации того же порядка величины, что и характерное время возмущения, а также ситуация, когда время релаксации значительно превышает характерный масштаб возмущения. В обоих случаях получено аналитическое описание процесса.
В Главе 5 (зз23-28) осуществляется аналитическое решение ряда задач, описывающих нелинейную динамику огибающей короткого и сверхкороткого импульса в различных режимах распространения. Для случая малой и плавной продольной неоднородности (характеризуемой более медленной по сравнению с продольной переменной) решение уравнения (7) построено в з23, оно справедливо на произвольных расстояниях вдоль трассы распространения. Решение этого же уравнения при произвольной (по ) продольной неоднородности осуществлено в засимптотическим методом, обеспечивающим адекватное приближение на малых расстояниях. В обоих случаях выписаны явные формулы, характеризующие вариации амплитуды, формы, ширины и скорости импульса под влиянием продольной неоднородности.
В зз 25 и 26 исследуется нелинейное уравнение u 2u 3u i + + 2 | u |2 u - i + i (| u |2 u) = x с целью описания влияния дисперсии третьего порядка и самоукручения огибающей на стандартный солитон нелинейного уравнения Шредингера.
Здесь также разработаны два асимптотических подхода. Один (з25) реализуется при малых значениях и и справедлив на произвольных расстояниях x, другой (з26) применим при произвольных значениях этих коэффициентов, но лишь на малых расстояниях. При определённых - 30 - соотношениях эффекты дисперсии третьего порядка и самоукручения огибающей компенсируют друг друга, так что форма солитонного импульса не искажается в приближении, учитывающем эти два фактора.
Нелинейная динамика импульса с длиной волны несущей , близкой к длине волны нулевой дисперсии 0, моделируется обобщённым нелинейным уравнением Шредингера (обозначения стандартные) u 1 2u i 3u 0ni - k" - k''' + | u |2 u = 0, x 2 6 2c 2 причём в окрестности длины волны 0 коэффициент kФ 0. Случай, когда величина |0 Ц| ещё не слишком мала, составляет предмет з27. В этом режиме влияние дисперсии третьего порядка может трактоваться как эффект, возмущающий процесс распространения стандартного солитона нелинейного уравнения Шредингера, в результате возбуждаются примесные солитоны светлого и тёмного типов, и огибающая представляет собой связанное состояние основного и примесных солитонов.
Принципиально важным результатом з28 является установление критического значения отстройки |0 Ц|, выделяющего непосредственную окрестность длины волны нулевой дисперсии, в пределах которой именно дисперсия третьего порядка является определяющим фактором динамики импульса. Для этого интервала длин волн применяется малоамплитудное приближение, и с его помощью аналитически описывается формирование особой нелинейной структуры - уединённой волны на пьедестале. Эта уединённая волна представляет собой солитон Кортевега - де Фриза, и его амплитуда, ширина и скорость выражаются явным образом через нелинейные и дисперсионные характеристики среды.
В Заключении изложены основные результаты диссертации.
Некоторые вспомогательные результаты, использованные в основном изложении, представлены в семи Приложениях.
- 31 - О С Н О В Н Ы Е Р Е З У Л Ь Т А Т Ы 1. Построено асимптотическое решение нелинейного волнового уравнения с кубичной нелинейностью по малому параметру, задающему порядок величины амплитуды волнового поля. Решение адекватно описывает слабо нелинейную динамику короткого импульса и учитывает продольную неоднородность градиентного волноводного канала и изогнутость его оси. Описана модовая структура импульса и показано, что процесс распространения является трёхмасштабным: высокочастотное заполнение модулируется огибающей, эволюция которой, в свою очередь, двухмасштабна и формируется средней по скорости эволюцией фазы огибающей и медленным изменением амплитуды и формы.
2. Показано, что слабо нелинейная динамика импульса с линейной частотной модуляцией несущей существенно зависит от соотношения между глубиной модуляции и шириной спектра импульса. Если глубина модуляции соизмерима с шириной спектра (сильно чирпированный импульс), то распределение волнового поля импульса в поперечном сечении волноводного канала оказывается зависящим от частотной модуляции. Аналитически описана динамика чирпированного и сильно чирпированного импульсов и установлены соотношения между коэффициентом модуляции и параметрами поперечной и продольной неоднородности волноводного канала.
3. На основе проведённого исследования локальной и глобальной разрешимости в пространстве быстро убывающих функций задачи Коши для нелинейного уравнения Шредингера с переменными коэффициентами сформулированы условия, которые достаточно наложить на продольную неоднородность волноводного канала, чтобы гарантировать сохранение локализованного характера огибающей импульса по мере его распространения. Установлена протяжённость трассы распространения, на - 32 - которой сохраняется сосредоточенность импульса для достаточно широкого и практически значимого класса продольных неоднородностей.
4. Установлена применимость нелинейного волнового уравнения с кубичной нелинейностью для моделирования слабо нелинейной динамики акустического импульса. Выведена формула для коэффициента квадратичной зависимости скорости звука от волнового поля, аналога коэффициента Керра для электромагнитных волновых процессов, и показано, что значение показателя адиабаты, равное 3/2, разделяет среды на фокусирующие (при показателе адиабаты больше 3/2) и дефокусирующие ( в противном случае) акустическое излучение.
5. Построены асимптотические решения уравнения для огибающей - нелинейного уравнения Шредингера с коэффициентами, зависящими от продольной координаты, - для малой и плавной продольной неоднородности, а также на малых расстояниях вдоль волноводного канала при произвольной слабой продольной неоднородности. С помощью этих решений получены явные формулы для вариаций амплитуды, формы, ширины и скорости огибающей импульса под влиянием слабой продольной неоднородности волноводного канала.
6. Аналитически описано совместное воздействие дисперсии третьего порядка и самоукручения на огибающую импульса. Установлена возможность взаимной компенсации этих двух эффектов и, как следствие, сохранения формы огибающей импульса в рамках приближения, учитывающего дисперсию третьего порядка и самоукручение.
7. Установлено существование двух режимов распространения импульсов с длиной волны несущей в окрестности длины волны нулевой дисперсии и указано значение длины волны, разделяющее эти два режима.
Если отстройка длины волны несущей от длины волны нулевой дисперсии превосходит установленную величину, то действие дисперсии третьего - 33 - порядка проявляется в возбуждении примесных солитонов светлого и тёмного типов, и огибающая импульса распространяется в виде связанного состояния основного и примесного солитонов. В непосредственной окрестности длины волны нулевой дисперсии эффект дисперсии третьего порядка является превалирующим, и формируется особая нелинейная структура - распространяющийся на пьедестале солитон, характеризуемый уравнением Кортевега - де Фриза. Предложенный метод позволяет рассчитывать и все последующие поправки.
П У Б Л И К А - И И П О Т Е М Е Д И С С Е Р Т А - И И Монография И.А.Молотков, С.А.Вакуленко, М.А.Бисярин. Нелинейные локализованные волновые процессы. - М., Янус-К, 1999. 176 с.
Статьи 1. М.А.Бисярин. Распространение неадиабатического возмущения в релаксирующей среде // Физика горения и взрыва. 1987. Т.23, №3.
2. И.А.Молотков, М.А.Бисярин. Распространение коротких импульсов в нелинейных и неоднородных световодах // В сб.: Проблемы теоретической физики. Т. 3. - Л., издво ЛГУ, 1988.
3. М.А.Бисярин. О локальной разрешимости нелинейного уравнения Шредингера с переменными коэффициентами // Вестник ЛГУ. Сер. физ. хим. 1989. Вып.2.
4. М.А.Бисярин. Нелинейное уравнение Шредингера с переменными коэффициентами: сосредоточенное решение и его разрушение // Записки научных семинаров ЛОМИ. 1988. Т. 173.
5. М.А.Бисярин, И.А.Молотков. Эволюция огибающей импульса в нелинейном световоде со слабой продольной неоднородностью // Оптика и спектроскопия. 1989.
Т. 67, №2.
6. М.А.Бисярин. Волноводное распространение слабо нелинейных пучков в неоднородной среде // Вестник ЛГУ. Сер. физ. хим. 1990. Вып.1.
7. М.А.Бисярин, И.А.Молотков. Влияние неоднородностей оптического волокна, а также нелинейных и дисперсионных эффектов высших порядков на параметры солитонных импульсов // Известия РАН. Серия физическая. 2001. №6.
8. М.А.Бисярин, И.А.Молотков. Модовая структура и огибающая короткого импульса в градиентном световоде с продольной неоднородностью и с пространственной кривизной // Известия вузов. Радиофизика. 2002. Т. 45, № 6.
9. И.А.Молотков, М.А.Бисярин. Яркие и темные импульсы в оптических волокнах в окрестности длины волны нулевой дисперсии // Квантовая электроника. 2004. Т. 34, №2.
10. Л.Д.Бахрах, М.А.Бисярин, И.А.Молотков. Сверхкороткие импульсы в нелинейных неоднородных средах // Успехи современной радиоэлектроники. 2005. № 7.
- 34 - 11. М.А.Бисярин. Короткие импульсы с линейной частотной модуляцией в градиентных световодах // Известия вузов. Радиофизика. 2006. Т. 49, №1.
12. М.А.Бисярин. Мощные импульсы с сильной линейной частотной модуляцией в градиентных волноводах // Вестник СПбГУ. Сер. физ., хим. 2006. Вып. 2.
13. М.А.Бисярин. Акустические импульсы конечной амплитуды в волноводном слое с продольной неоднородностью // Прикладная механика и техническая физика. 2007.
Т.48, № 6.
14. M.A.Bisyarin, I.A.Molotkov. Self-action of short pulses in nonhomogeneous gradedindex light guides // Optical and Quantum Electronics. 1992. Vol. 24, №3.
15. M.A.Bisyarin, I.A.Molotkov. Finite-amplitude pulses in light guides with quadratic profile of the refractive index // Proceedings of the SPIE. 1996. Vol. 2943.
16. M.A.Bisyarin, I.A.Molotkov. Effects of transverse and longitudinal inhomogeneities of optical waveguide on propagation of nonlinear pulses // Journal of Technical Physics.
1996. Vol. 37, № 3-4.
17. M.A.Bisyarin, I.A.Molotkov. Distortions of the pulse shape in inhomogeneous gradedindex light guides // Proceedings of the SPIE. 1999. Vol. 3609.
18. M.A.Bisyarin, I.A.Molotkov. Weak-nonlinear propagation of subpicosecond pulses in graded-index light guides with a small longitudinal inhomogeneity // Proceedings of the SPIE. 2000. Vol. 3927.
19. M.A.Bisyarin, I.A.Molotkov. Subpicosecond pulse propagation in graded-index optical fibers under the influence of weak longitudinal inhomogeneities and higher-order nonlinear and dispersive effects // Proceedings of the SPIE. 2001. Vol. 4579.
20. M.A.Bisyarin, I.A.Molotkov. Subpicosecond pulse propagation in optical fibres with transverse and longitudinal inhomogeneities // Chaos, Solitons and Fractals. 2003. Vol.
17, № 2/3.
21. M.A.Bisyarin. Nonlinear evolution of a pulse with a linear frequency modulation in a graded-index waveguide // International Journal of Geomagnetism and Aeronomy. 2005.
Vol. 6, № 2, doi: 10.1029/2005GI000104.
22. M.A.Bisyarin. Nonlinear chirped pulses in graded-index optical fibers with longitudinal inhomogeneity // Proceedings of the SPIE. 2007. Vol. 6614, paper 661406.
23. M.A.Bisyarin. Weak-nonlinear acoustic pulse dynamics in a waveguide channel with longitudinal inhomogeneity // AIP Conference Proceedings. 2008. Vol. 1022.
Публикации в сборниках трудов конференций 1. М.А.Бисярин, И.А.Молотков. Распространение пикосекундных импульсов в нелинейных градиентных световодах // Волны и дифракция - 90. Х Всесоюзный симпозиум по дифракции и распространению волн. - Винница, 1990.
2. М.А.Бисярин, И.А.Молотков. Эволюция огибающей нелинейного импульса в неоднородном световоде // Итоговый семинар по физике и астрономии победителей конкурса грантов 1997 года для молодых ученых Санкт-Петербурга. - СПб., Физико-технический институт им. А.Ф.Иоффе, 1998.
3. М.А.Бисярин, И.А.Молотков. Эволюция солитона нелинейного уравнения Шредингера под действием высших дисперсионных и нелинейных членов// Международная конференция "Комплексный анализ, дифференциальные уравнения и смежные вопросы". - Уфа, 2000.
4. M.A.Bisyarin, I.A.Molotkov. Short pulses in nonlinear graded-index light guides with weak longitudinal inhomogeneity // X Topical Meeting on Gradient-Index Optical Systems. - Santiago de Compostela, 1992.
- 35 - 5. M.A.Bisyarin, I.A.Molotkov. Nonlinear dynamics of short pulses in optical fibres with strong transverse and weak longitudinal inhomogeneities // XXVII General Assembly of the International Union of Radio Science. - Maastricht, 2002.
6. I.A.Molotkov, M.A.Bisyarin. Coupled nonlinear structures of bright and dark solitons in the vicinity of zero-dispersion wavelength // Conference MSS-04, Institute of Space Research. - Moscow, 2004.
Результаты диссертации представлены также в тезисах докладов на конференциях (публикаций) и депонированной рукописи:
М.А.Бисярин. Звуковые импульсы конечной амплитуды в нелинейном неоднородном волноводном слое // Деп. в ВИНИТИ 24.05.89 № 3464-B89.