Авторефераты по всем темам >>
Авторефераты по разное
На правах рукописи
Чугунов Вадим Николаевич
Классификация нормальных и сопряженно-нормальных теплицевых и ганкелевых матриц
Специальность 01.01.06 математическая логика, алгебра и теория чисел
Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук
Москва 2011
Работа выполнена в Учреждении Российской академии наук Институте вычислительной математики РАН.
Научный консультант доктор физико-математических наук, профессор Икрамов Хаким Дододжанович
Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор Гришин Александр Владимирович доктор физико-математических наук, профессор Ильин Валерий Павлович доктор физико-математических наук, профессор Гутерман Александр Эмилевич
Ведущая организация: Санкт-Петербургский Государственный Морской Технический Университет
Защита состоится У Ф февраля 2012 г. в часов на заседании диссертационного совета Д 212.154.32 при Московском педагогическом государственном университете по адресу: 107140, г. Москва, ул. Краснопрудная, д. 14, ауд. 108.
С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Московского педагогического государственного университета по адресу: 119991, г. Москва, ул. Пироговская, д. 1.
Автореферат разослан У Ф января 2012 г.
Ученый секретарь О.В. Муравьева диссертационного совета
Общая характеристика работы
Актуальность тематики.
Описание пересечения двух матричных классов типичная задача линейной алгебры. Известным примером служит критерий Сильвестра, устанавливающий условия, при которых вещественная симметричная матрица является одновременно положительно определенной.
Множество нормальных матриц представляет собой матричный класс, обладающий целым рядом замечательных свойств, самым важным из которых является наличие ортонормированного базиса из собственных векторов. Сопряженно-нормальные матрицы играют в матричном анализе ту же роль по отношению к преобразованиям унитарной конгруэнции, какую нормальные матрицы выполняют по отношению к унитарным подобиям.
На практике часто имеют дело с теплицевыми, ганкелевыми матрицы и их обобщениями. Их роль велика в алгебре, теории функций, гармоническом анализе, проблеме моментов, функциональном анализе, теории вероятностей и многих прикладных вопросах.
С алгебраической точки зрения возник интерес к изучению пересечения нормальных и сопряженно-нормальных матриц с матрицами той или иной структуры. Несмотря на некоторые имеющиеся множества требуемых матриц, найденные из различных соображений, хотелось получить полные характеризации нормальных и сопряженно-нормальных матриц среди матриц фиксированной структуры в рамках единого подхода.
Цель исследования заключается в выделении из множеств теплицевых, ганкелевых и теплиц-плюс-ганкелевых матриц классов нормальных и сопряженно-нормальных матриц.
Методология исследования опирается на традиционный аппарат линейной алгебры и конечномерную теорию преобразования Фурье. Важными инструментами решения нормальной ганкелевой задачи являются введенные в диссертации новый класс двухпараметрических циркулянтов и класс линейных преобразований, для которого множество таких циркулянтов является инвариантным.
Научная новизна и теоретическая значимость. В работе представлены полные решения нескольких задач описания пересечения матричных классов: выделяются десять классов нормальных ганкелевых матриц и семь классов сопряженно-нормальных теплицевых матриц и устанавливается отсутствие других видов матриц таких типов; на основе анализа классов нормальных и сопряженно-нормальных теплицевых матриц выведена характеризация матриц, являющихся одновременно теплицевыми, нормальными и сопряженно-нормальными матрицами. Для множества матриц, представимых в виде суммы теплицевой и ганкелевой, найдены частные решения задач описания нормальных и сопряженно-нормальных матриц, когда теплицево и ганкелево слагаемые являются соответствующими циркулянтами или косыми циркулянтами.
Практическая ценность заключается в том, что получена параметризация всех представленных классов нормальных и сопряженно-нормальных матриц, выделенных среди теплицевых, ганкелевых и теплиц-плюс-ганкелевых. Это дало возможность сконструировать генераторы матриц исследуемых видов, обладающих свойствами нормальности или сопряженной нормальности.
Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались автором: на 1-ой международной конференции УМатричные методы и операторные уравненияФ (Москва, 2005), 2-ой международной конференции УМатричные методы и операторные уравненияФ (Москва, 2007), международной конференции ILAS (Италия, 2010), на всероссийской школеконференции УЛомоносовские чтенияФ (Москва, 2009), на научно-исследовательских семинарах механнико-математического факультета Московского Государственного Университета, Учреждения Российской академии наук Института вычислительной математики РАН, Института прикладной математики РАН, Санкт-Петербургского Государственного Морского Технического Университета, Института вычислительной математики и математической геофизики Сибирского отделения РАН.
Публикации. По теме диссертации опубликовано 17 работ, из них 16 в рецензируемых журналах, 1 в материалах конференций.
ичный вклад автора. Вклад автора в совместные работы заключался: предложении идеи решения [2, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 16, 17], совместном теоретическом обосновании [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 14, 15, 16, 17].
Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав и заключения. Текст работы изложен на 1страницах, содержит библиографию из 67 наименований.
Содержание диссертации Во введении описываются цели данной работы и обосновывается ее актуальность. Кратко излагается содержание диссертации по главам, сформулированы используемые определения и вспомогательные факты, дан обзор основных результатов диссертации.
Диссертация посвящена выделению в множествах теплицевых, ганкелевых и теплиц-плюс-ганкелевых матриц классов нормальных и сопряженно-нормальных, как решению задач классификации матриц, подчиняющихся набору условий.
Под решением классификационной задачи понимается доказательство критерия, устанавливающего наличие у матрицы определенной совокупности характеристик (теплицева, ганкелева, сумма теплицевой и ганкелевой, с одной стороны; нормальная или/и сопряженно-нормальная, с другой) как принадлежность одному или нескольким перечисленным в критерии классам, а также сама совокупность описанных классов. Так как нормальная (сопряженно-нормальная) матрица при умножении на число сохраняет свойство нормальности (сопряженной нормальности), то все описанные в диссертации классы определены с точностью до скалярного множителя.
Первая глава, состоящая из четырех разделов, посвящена решению нормальной теплицевой задачи (НТЗ), заключающейся в характеризации матриц, являющихся теплицевыми и нормальными одновременно.
В разделе 1.1 дан экскурс в историю исследования рассматриваемой задачи, возникшей как стремление получить конечномерный аналог следующего утверждения.
Теорема 1.1. (Браун, Халмош) Бесконечномерная теплицева матрица (оператор) нормальна тогда и только тогда, когда представляет собой линейный многочлен с комплексными коэффициентами от эрмитовой теплицевой матрицы.
В теореме 1.2 приводится классификация конечномерных нормальных теплицевых вещественных матриц. Обозначим через In единичную матрицу порядка n.
Теорема 1.2. (Икрамов) Пусть вещественная матрица T одновременно нормальная и теплицева. Тогда справедливо по меньшей мере одно из утверждений:
1) T симметричная матрица;
2) T матрица вида In + K, где R, Kt = -K;
3) T циркулянт;
4) T косой циркулянт.
Полную характеризацию комплексных нормальных теплицевых матриц дает теорема 1.3, еще одно доказательство которой представлено в первой главе несмотря на существующее множество различных обоснований этого утверждения.
Теорема 1.3. Комплексная теплицева матрица T является нормальной тогда и только тогда, когда принадлежит одному из следующих классов:
Класс 1.1. T матрица вида In + R, где , C, R эрмитова теплицева матрица.
Класс 1.2. T представляет собой -циркулянт для некоторого числа C, || = 1.
В разделе 1.2 обосновываются необходимые условия теоремы 1.3. Это доказательство основывается на установлении того факта, что всякая четверка элементов нормальной матрицы {T}ij = tj-i вида tj, tn-j, t-j, t-(n-j) удовлетворяет соотношениям вида t-j = jtj, t-(n-j) = jtn-j, где j C, |j| = 1 (1) (четверка типа A) или t-j = jtn-j, t-(n-j) = jtj, где j C, |j| = 1 (2) (четверка типа B). Это позволяет разбить все множество теплицевых матриц с уловиями (1) или(и) (2) для каждой четверки на 26 множеств, характеризуемых наличием в матрице ненулевых четверок типа A, типа B и типа A и B одновременно и существованием или отсутствием различных и в формулах (1) и (2).
Последующий анализ каждого множества приводит к выводу, что все четверки нормальной теплицевой матрицы удовлетворяют условию (1) с единой либо (2) с одним и тем же , что устанавливает справедливость необходимых условий в теорем 1.3.
В разделе 1.3 различными способами показывается, что линейные многочлены от эрмитовых теплицевых матриц и -циркулянты являются нормальными матрицами, т. е. устанавливается достаточность.
В разделе 1.4 приведены алгоритмы построения нормальных теплицевых вещественных и комплексных матриц соответственно четырех и двух классов и для каждого класса определена размерность многообразия решения как минимальное число вещественных параметров, по значениям которых можно однозначно вычислить все элементы матрицы в рассматриваемом классе.
Основные результаты первой главы: приведено еще одно доказательство критерия нормальности комплексной теплицевой матрицы как полное решение НТЗ, описаны алгоритмы построения нормальных теплицевых матриц.
Во второй главе, состоящей из трех разделов, приведено полное решение нормальной ганкелевой задачи (НГЗ), в которой требуется указать все виды комплексных матриц, являющихся одновременно нормальными и ганкелевыми. Данная задача имеет смысл лишь в поле комплексных чисел, так как произвольная вещественная ганкелева матрица всегда является нормальной в силу симметричности. На самом деле, НГЗ эквивалентна системе квадратичных уравнений относительно элементов двух вещественных теплицевых матриц. Поэтому для нахождения нормальных ганкелевых матриц нужно определить все случаи, когда соответствующая система разрешима, и в каждом из них найти решения.
История нахождения требуемых ганкелевых матриц отражена в разделе 2.1.
Для удобства описания решения cопоставим ганкелевой матрице H теплицеву матрицу T = HPn, (3) где Pn =....
1 Матрицу T будем называть соответствующей для рассматриваемой ганкелевой матрицы H. Введем операцию V -преобразования для теплицевой матрицы T, заключающуюся в замене T = T1 + iT2 (4) на матрицу T = T1 + iT2 = (v11T1 + v21T2) + i(v12T1 + v22T2), где v11 vV = v21 v невырожденная матрица. Пусть Fn (нормированная) матрица дискретного преобразования Фурье.
В этой части диссертации сформулированы десять классов нормальных ганкелевых матриц в виде следующего утверждения.
Теорема 2.1. Комплексная ганкелева матрица H является нормальной тогда и только тогда, когда принадлежит одному из следующих классов:
Класс 2.1. Вещественные ганкелевы матрицы и произвольные их комплексные кратные.
Класс 2.2. Матрицы вида Pn + H1, , C, (5) где H1 произвольная вещественная центросимметричная ганкелева матрица.
Класс 2.3. Блочно-диагональные матрицы вида H1 H2, , C, (6) где H1 верхнетреугольная вещественная ганкелева матрица порядка k (0 < k < n), а H2 нижнетреугольная вещественная ганкелева матрица порядка l = n - k.
При этом мы называем H1 и H2 соответственно верхнетреугольной и нижнетреугольной ганкелевыми матрицами, если {H1}ij = 0 при i + j > k + и {H2}ij = 0 при i + j < l + 1.
Класс 2.4. Матрицы вида H1 + H-1, , C, (7) где H1 невырожденная вещественная верхнетреугольная (или нижнетреугольная) ганкелева матрица.
Класс 2.5. Ганкелевы матрицы, для которых соответствующие теплицевы матрицы получаются V -преобразованием множества унитарных -циркулянтов (|| = 1, = 1) и их скалярных кратных.
Класс 2.6. Ганкелевы матрицы, для которых соответствующие теплицевы матрицы получаются V -преобразованием матриц вида T = T1 + iT2, полученных одним из следующих двух способов:
а) T1 произвольный вещественный невырожденный -циркулянт, T2 произвольное вещественное кратное -t матрицы T1 ;
t б) T1 и T2 вещественные -циркулянты, "делящие нуль"; иначе говоря, T1 и T2 удовлетворяют условию t T1T2 = 0. (8) Класс 2.7. Ганкелевы матрицы, для которых соответствующие теплицевы матрицы являются циркулянтами вида T = F DFn, где D = (d1,..., dn) диагональn ная матрица, удовлетворяющая соотношениям n + |dj| = |dn+2-j|, j = 2, 3,...,. (9) Класс 2.8. Ганкелевы матрицы, для которых соответствующие теплицевы матрицы являются косыми циркулянтами вида T = G-1F DFnG-1, где G-1 = (1, , n -2,..., n-1), корень n-ой степени из -1 вида = ei n, D = (d1,..., dn) диагональная матрица, для которой выполнены условия n |d1| = |d2|, |dj| = |dn+3-j|, j = 3, 4,..., + 1. (10) Класс 2.9. Ганкелевы матрицы, для которых соответствующие теплицевы матрицы получаются V -преобразованием матриц вида T = T1 + iT2, являющихся результатом выполнения следующей процедуры:
a) Задать в качестве T1 произвольное вещественное кратное вещественного ортогонального циркулянта.
Определить L1 как строго нижнетреугольную теплицеву матрицу, поддиагональная часть которой совпадает с поддиагональной частью T1, а T3 как матрицу вида t T3 = T1Lt - L1T1. (11) б) В качестве T2 можно взять любой вещественный циркулянт, решающий уравнение t XT1 - T1Xt = T3. (12) Класс 2.10. Ганкелевы матрицы, для которых соответствующие теплицевы матрицы получаются V -преобразованием матриц вида T = T1 + iT2, являющихся результатом выполнения следующей процедуры:
a) Задать в качестве T1 произвольное вещественное кратное вещественного ортогонального косого циркулянта. Матрицу L1 определить как строго нижнетреугольную теплицеву матрицу, поддиагональная часть которой противоположна поддиагональной части T1.
б) В качестве T2 можно взять любой (вещественный) косой циркулянт, решающий уравнение (12), где T3 определяется (11).
Раздел 2.2, включающий в себя четыре параграфа, содержит доказательство теоремы 2.1. Оно представляет собой изложение подхода, благодаря которому с одной стороны все ранее известные классы нормальных ганкелевых матриц, а также новые, получаются в рамках единой схемы, с другой обосновывается отсутствие других классов требуемых матриц. Данное доказательство является полным решением НГЗ для матриц произвольного порядка. Оно содержит обоснование только необходимых условий, так как достаточность следует из эквивалентности совершаемых преобразований.
В параграфе 2.2.1 вводятся используемые обозначения и соглашения. Далее в параграфе 2.2.2 осуществляется переформулирование исходной ганкелевой задачи в терминах уравнения для соответствующей теплицевой матрицы TT = TT, а после перехода к вещественной и мнимой частям вида (4) получается уравнение t t T2T1 = T1T2. (13) Таким образом, НГЗ эквивалентна задаче описания пар вещественных теплицевых матриц, произведение которых дает симметричную матрицу.
У матриц T1 и T2 с элементами {T1}kj = aj-k и {T2}kj = bj-k отделим диагональ, введя ^ ^ T1 = a0In + T1, T2 = b0In + T2.
Тогда (13) имеет вид ^ ^t ^ ^t ^t ^ ^t ^ T2T1 - T1T2 = a0(T2 - T2) - b0(T1 - T1). (14) В правой части (14) стоит теплицева матрица, значит и в левой части (14) должна стоять тоже теплицева матрица. Это ^ ^ условие в терминах элементов матриц T1 и T2 имеет вид an-kbn-j - an-jbn-k = a-kb-j - a-jb-k, (15) k, j = 1,..., n - 1.
^ ^ На основе элементов матриц T1 и T2 введем в рассмотрение две дополнительные (n - 1) 2-матрицы F и G вида an-1 bn- an-2 bn-2 F =, (16) ..
..
..
a1 b a-1 b- a-2 b-2 G =. (17) ..
..
..
a-n+1 b-n+Определим величины an-k bn-k F = = an-kbn-j - an-jbn-k, kj an-j bn-j a-k b-k G = = a-kb-j - a-jb-k.
kj a-j b-j Теперь (15) принимает вид F = G, k, j = 1,..., n - 1.
kj kj Дальнейший анализ состоит из нескольких взаимоисключающих случаев, определяемых рангами матриц F и G.
Параграф 2.2.3 охватывает случаи, когда F и G имеют ранг, не превосходящий единицы. Если одна из матриц нулевая, то приходим к классу 2.1 нормальных ганкелевых матриц. При ^ ^ выполнении условия F = G = 1 матрицы T1 и Tпредставимы в виде ^ ^ T1 = U + L, T2 = U + L, где U строго верхнетреугольная, L строго нижнетреугольная теплицевы матрицы, , , и вещественные числа, удовлетворяющие условиям 2 + 2 = 0, 2 + 2 = 0.
Решаемое уравнение имеет вид ULt = 1U + 2Lt, где = - , 1 = a0 - b0, 2 = b0 - a0.
При = 0 получаем класс 2.2, иначе введя 1 = -1/, 2 = -2/, имеем (U + 2In)(Lt + 1In) = 12In.
Случай 1 = 2 = 0 дает класс 2.3, а ненулевые одновременно 1 и 2 класс 2.4, иначе имеем класс 2.1.
В параграфе 2.2.4 рассматривается более сложная ситуация, когда F = G = 2. Исследование начинается с важного утверждения.
емма 2.6. Пусть F и G (n - 1) 2-матрицы вида (16) и (17) соответственно, F = G = 2. Матрицы F и G удовлетворяют условию (15) тогда и только тогда, когда найдется 2 2-матрица W с определителем, равным единице, такая, что G = FW.
Представив матрицу W в виде W =, получаем, что соответствующие теплицевы матрицы для оставшихся классов нормальных ганкелевых матриц должны лежать в множестве теплицевых матриц, подчиняющихся условию t-j = tn-j + tn-j, j = 1, 2,..., n - 1, где + - - + = + i, = + i.
2 2 2 Данное множество названо классом C(, ) двухпараметрических циркулянтов, задаваемым матрицей W. Влияние V -преобразования на множество C(, ) описывает Лемма 2.7. Пусть C(, ) класс (, )-циркулянтов, характеризуемый матрицей W. Тогда V -преобразование этого класса есть класс C(, )-циркулянтов, характе ризуемый матрицей W = V-1WV.
Если матрица T C(, ) порождает нормальную ганкелеву матрицу H = TPn, то это же верно для ее V -преобразования T C(, ).
Данная лемма позволяет свести анализ ганкелевой задачи к исследованию четырех различных случаев, определяемых жордановой формой матрицы W :
a) Собственные значения матрицы W образуют комплексно сопряженную пару.
б) Собственные значения вещественны и различны.
в) Собственные значения совпадают, и матрица W диагонализуема.
г) Собственные значения совпадают, и жордановой формой матрицы W является клетка 2-го порядка.
Остановимся на каждом из этих случаев.
а) Если собственные значения матрицы W образуют комплексно сопряженную пару, то нормальные ганкелевы матрицы следует искать среди -циркулянтов (|| = 1). Здесь помогает Лемма 2.8. Ганкелев -циркулянт H (|| = 1, = 1) является нормальной матрицей тогда и только тогда, когда соответствующий теплицев -циркулянт T имеет все собственные значения равными по модулю, т.е.
является скалярным кратным унитарной матрицы.
Получаем класс 2.5.
б) Условие, что собственные значения W вещественны и различны, приводит к множеству теплицевых матриц, удовлетворяющих ограничению t-j = an-j + i bn-j, j = 1, 2,..., n - 1.
Такие матрицы названы разделяющимися циркулянтами.
Для данного множества оказывается справедливой t Лемма 2.9. Матрица T1T2 симметрична тогда и тольt ко тогда, когда T1T2 скалярная матрица.
Из данной леммы следует класс 2.6.
в) Пусть собственные значения совпадают, и матрица W диагонализуема, тогда W = I2 или W = -I2. Приходим к задаче отыскания нормальных ганкелевых матриц среди ганкелевых циркулянтов и косых циркулянтов. Ее решение дают классы 2.7 и 2.8.
г) Случай недиагонализуемой матрицы W с совпадающими собственными значениями является самым сложным. С учетом V -преобразования матрица W может быть двух видов 1 W = = J0 или -1 W = = J2.
0 -Если W = J1, то в представлении (4) матрица T1 является циркулянтом C1, а T2 суммой циркулянта C2 и строго нижнетреугольной теплицевой матрицы L1, поддиагональная часть которой совпадает с поддиагональной частью C1. Подстановка представлений для T1 и T2 в исследуемое уравнение дает условие C1Lt - L1Ct = C2Ct - C1Ct.
1 1 1 Матрица, стоящая в правой части, является циркулянтом, поэтому и матрица C3 = C1Lt - L1Ct 1 также должна быть циркулянтом. Важную роль здесь играет лемма 2.14.
емма 2.14. Пусть C вещественный теплицев циркулянт и L строго нижнетреугольная теплицева матрица, поддиагональные элементы которой совпадают с поддиагональными элементами C. Матрица CLt - LCt является циркулянтом тогда и только тогда, когда C скалярное кратное ортогонального циркулянта.
Теперь алгоритм поиска C1 и C2 соответствует описанию класса 2.9. Если W = J2, то аналогично получаем класс 2.10.
Роль леммы 2.14 в этом случае играет Лемма 2.16. Пусть C вещественный теплицев косой циркулянт, а L строго нижнетреугольная теплицева матрица, поддиагональные элементы которой противоположны поддиагональным элементам C. Матрица CLt-LCt является косым циркулянтом тогда и только тогда, когда C скалярное кратное ортогонального косого циркулянта.
В разделе 2.3 представлены алгоритмы построения нормальных ганкелевых матриц из теоремы 2.1 и для каждого класса вычислена размерность решения.
Основные результаты второй главы: получены десять классов нормальных ганкелевых матриц в рамках единого подхода, доказано отсутствие других решений нормальной ганкелевой задачи, приведены алгоритмы построения решений в множестве ганкелевых матриц.
В третьей главе, состоящей из четырех разделов, дано решение сопряженно-нормальной теплицевой задачи (CНТЗ) классификации матриц, являющихся теплицевыми и сопряженно-нормальными одновременно.
В разделе 3.1 сформулирован критерий принадлежности теплицевой матрицы множеству сопряженно-нормальных матриц.
Теорема 3.1. Tеплицева матрица T является сопряженно-нормальной тогда и только тогда, когда принадлежит одному из следующих классов:
Класс 3.1. Теплицевы циркулянты вида T = F DFn, где n D = (d1,..., dn) диагональная матрица, удовлетворяющая соотношениям (9).
Класс 3.2. Теплицевы косые циркулянты вида T = G-1F DFnG-1, где G-1 = (1, , 2,..., n-1), n - корень n-ой степени из -1 вида = ei n, D = (d1,..., dn) диагональная матрица, для которой выполнены условия (10).
Класс 3.3. Теплицевы унитарные -циркулянты c || = 1, = 1 и их скалярные кратные.
Класс 3.4. Симметричные теплицевы матрицы.
Класс 3.5. Кососимметричные теплицевы матрицы и произвольные комплексные кратные матриц, получаемых из вещественных кососимметричных теплицевых матриц произвольными вещественными сдвигами по главной диагонали.
Класс 3.6. Теплицевы -симметричные матрицы (t-j = tj ) с || = 1, = 1, имеющие нули в позици ях (j, 1) для j = 1, 2,..., n/2.
Класс 3.7. Скалярные кратные теплицевых -симметричных матриц с || = 1, = 1, которые представимы в виде - T = In + L + Lt, (18) - где L строго нижнетреугольная матрица вида L = L1 +iL2, при этом L2 выбирается произвольным образом, а L1 однозначно определяется по L2 из соотношения 2L1 = L1L1 + L2L2. (19) Раздел 3.2 содержит доказательство теоремы 3.1. Оно основано на выделении подмножеств теплицевых матриц, для которых матрица TT-TT сама является теплицевой. В этом помогает результат из статьи Gu G., Patton L. // SIAM J.
Matrix Anal. Appl. 24 (2003) 728Ц746, формулирующий для теплицевых матриц A, B, C и D условия теплицевости AB - CD. Если для теплицевой матрицы {T}kj = tj-k определить вектора a = (0, t-1, t-2,..., t-n+1), = (0, t1, t2,..., tn-1) и операцию z = (0, zn-1, zn-2,..., z1) для вектора z = (0, z1, z2,..., zn-1), то условие теплицевости TT-TT дает Утверждение 3.2. Матрица TT - TT является теплицевой тогда и только тогда, когда a a + a a = + , где для векторов x = (x1, x2,..., xn) и y = (y1, y2,..., yn) x y матрица с элементами {x y}kj = xkyj, k, j = 1,..., n.
Возможны два частных случая:
а) векторы a и линейно независимы;
b) векторы a и линейно зависимы.
Эти случаи рассмотрены в параграфах 3.2.1 и 3.2.2.
Если векторы a и линейно независимы, то вектор a может быть выражен как линейная комбинация a = r + , причем = 0. Подстановка в условие сопряженной нормаль ности T дает r = 0, || = 1, что соответствует множеству -циркулянтов с || = 1.
Так как -циркулянты с || = 1 коммутируют, то на данном множестве рассматриваемую задачу можно записать в виде TT = 0, который означает нормальность ганкелевой матрицы, соответствующей рассматриваемой теплицевой. Получаем классы 3.1, 3.2, 3.3.
Условие линейной зависимости векторов a и в виде = a для некоторого комплексного числа приводит к соотношению (1 - ||2)(a a + a a) = 0.
Здесь возможны четыре ситуации в зависимости от значения .
Если = 1, то T является симметричной теплицевой матрицей класс 3.4. Случай = -1 дает класс 3.5. При || = имеем пустое множество требуемых теплицевых матриц.
Самым сложным сложным является случай || = 1, = 1. Пусть L комплексная строго нижнетреугольная теплицева матрица, тогда, представив исследуемую теплицеву матрицу в виде T = t0In + L + Lt, получаем уравнение t0( - 1)L - t0( - 1)L + ( - )LL = 0.
При t0 = 0 имеем LL = 0, которое дает класс 3.6. Если же t0 = 0, то в силу того, что умножение на константу не выводит матрицу из множества сопряженно-нормальных, предполага- ем диагональный элемент равным, тогда получаем -L + L = LL, а с учетом L = L1 + iL2 приходим к (19). Получаем класс 3.7.
Далее показывается, что для любой ненулевой вещественной нижнетреугольной матрицы L2 существует и единственна вещественная нижнетругольная матрица L1 такая, что пара Lи L2 удовлетворяет уравнению (19).
В разделе 3.3 на основании теорем 1.1 и 3.1 выводится описание теплицевых матриц, которые входят как в множество нормальных, так и являются сопряженно-нормальными.
Теорема 3.4. Tеплицева матрица T является нормальной и сопряженно-нормальной одновременно тогда и только тогда, когда принадлежит одному из следующих классов:
Класс 3.1Т. Теплицевы циркулянты вида T = F DFn, n где D = (d1,..., dn) диагональная матрица, удовлетворяющая соотношениям (9).
Класс 3.2Т. Теплицевы косые циркулянты вида T = G-1F DFnG-1, где G-1 = (1, , 2,..., n-1), n - корень n-ой степени из -1 вида = ei n, D = (d1,..., dn) диагональная матрица, для которой выполнены условия (10).
Класс 3.3Т. Теплицевы унитарные -циркулянты c || = 1, = 1 и их скалярные кратные.
Класс 3.4Т. Теплицевы симметричные матрицы с вещественными внедиагональными элементами и произвольные их комплексные кратные.
Класс 3.5Т. Матрицы, получающиеся из вещественных кососимметричных теплицевых матриц посредством произвольных вещественных сдвигов по главной диагонали и умножения на произвольные комплексные числа.
Класс 3.6Т. Теплицевы -симметричные матрицы с || = 1, = 1, имеющие нули в позициях (j, 1) для j = 1, 2,..., n/2, остальные внедиагональные элементы получаются из вещественной симметричной матрицы, домножением наддиагональных элементов на комплексное число , а поддиагональных на , где такое, что = .
В разделе 3.4 представлены алгоритмы построения сопряженно-нормальных теплицевых матриц классов теоремы 3.и матриц, являющихся теплицевыми, нормальными и сопряженно-нормальными одновременно. В каждом случае определена размерность многообразия решения.
Основные результаты третьей главы: найдены семь классов сопряженно-нормальных теплицевых матриц, исследовано множество, являющееся пересечением нормальных и сопряженно-нормальных теплицевых матриц, приведены алгоритмы построения решений в множестве теплицевых матриц.
В четвертой главе, состоящей из трех разделов, даны частные решения нормальной и сопряженно-нормальной теплицплюс-ганкелевых задач (НТ+ГЗ и СНТ+ГЗ), заключающихся в классификации соответственно нормальных и сопряженно-нормальных матриц, представимых в виде суммы теплицевой и ганкелевой. При этом любая нормальная теплицева матрица, сложенная с нулевой ганкелевой, и всякая нормальная ганкелева матрица в сумме с нулевой теплицевой являются решениями НТ+ГЗ. Аналогично, любая сопряженно-нормальная теплицева матрица, сложенная с нулевой ганкелевой, и всякая ганкелева матрица в сумме с нулевой теплицевой дают решение СНТ+ГЗ. Данная глава содержит лишь частные случаи решения НТ+ГЗ и СНТ+ГЗ, а именно, когда теплицево и ганкелево слагаемые суть циркулянты или косые циркулянты.
В разделе 4.1 приведены используемые определения. Раздел 4.2, включающий два параграфа, посвящен НТ+ГЗ. Сначала выводится основное уравнение.
Пусть A и B комплексные теплицевы матрицы порядка n. Условия, при которых матрица S = A + BPn (20) является нормальной, имеют вид AA - AA = [(AB + BA) - (AB + BA)]Pn + BB - BB.
В случае, если A и B являются циркулянтами или косыми циркулянтами, получаем AA - AA = [(AB + AB) - (AB + AB)]Pn + BB - BB, что в силу ограничений на A и B эквивалентно системе AB + AB = AB + AB, BB - BB = 0.
В параграфе 4.2.2 описаны решения нормальной теплиц-плюсганкелевой задачи, когда теплицево и ганкелево слагаемые циркулянты или косые циркулянты.
Сначала матрицы A и B являются циркулянтами вида A = F D(1)Fn, (21) n B = F D(2)Fn, (22) n где D(1) = (d(1), d(1),..., d(1)), n 1 D(2) = (d(2), d(2),..., d(2)).
n 1 Теорема 4.1. Матрица S вида (20), в котором A и B задаются формулами (21) и (22), является нормальной тогда и только тогда, когда выполнены следующие условия:
n+а) |d(2)| = |d(2) |, k = 2, 3,...,, k n+2-k б) для каждого k = 2, 3,..., (n + 1)/2, удовлетворяющего ограничению d(2) = 0, k k+k d(1) = d(1) + rkei 2, n+2-k k где rk некоторое вещественное неотрицательное число, а k и k определяются из соотношений d(2) = |d(2)|eik, d(2) = |d(2)|eik.
k k n+2-k k Далее получено решение НТ+ГЗ в случае, когда матрицы A и B являются косыми циркулянтами вида A = G-1F D(1)FnG-1, (23) n B = G-1F D(2)FnG-1. (24) n Теорема 4.2. Матрица S вида (20), в котором A и B задаются формулами (23) и (24), является нормальной тогда и только тогда, когда выполнены следующие условия:
n а) |d(2)| = |d(2)|, |d(2)| = |d(2) |, k = 3, 4,..., + 1, 1 2 k n+3-k б) если d(2) = 0 и d(2) = |d(2)|ei1, d(2) = |d(2)|ei1, то 1 1 1 2 1+d(1) = d(1) + r1ei 2, r1 0, 2 в) для каждого k = 3, 4,..., n/2 + 1, удовлетворяющего ограничению d(2) = 0, k k+k d(1) = d(1) + rkei 2, n+3-k k где rk некоторое вещественное неотрицательное число, а k и k определяются из соотношений d(2) = |d(2)|eik, d(2) = |d(2)|eik.
k k n+3-k k Доказательство теоремы 4.1 и 4.2 основано на подстановке спектрального разложения циркулянта и косого циркулянта в решаемое уравнение.
После доказательства теорем 4.1 и 4.2 находится размерность множества подходящих матриц.
Раздел 4.3, состоящий из двух параграфов, посвящен СНТ+ГЗ. Он начинается с вывода уравнения.
Пусть A и B комплексные теплицевы матрицы порядка n, а S, определяемая соотношением (20), соответствующая им (T+H)-матрица. Записывая для S условие сопряженной нормальности, получаем AA - AAt = [(A - At)B + B(A - At)]Pn.
Последнее уравнение при условии, что обе матрицы A и B являются циркулянтами или косыми циркулянтами, можно переписать в виде AA - AAt = [(A - At)B + (A - At)B]Pn.
емма 4.3. Пусть A циркулянт или косой циркулянт. Если матрица AA - AAt вещественна, то A является сопряженно-нормальной матрицей.
емма 4.3 показывает, что в сопряженно-нормальном (T+H)-циркулянте или косом циркулянте теплицево слагаемое A также является сопряженно-нормальной матрицей.
Поэтому исследуемое уравнение можно записать в виде системы [AA] = 0, (A - At)B + (A - At)B = 0.
В параграфе 4.3.2 дается решение СНТ+ГЗ когда теплицево и ганкелево слагаемые циркулянты или косые циркулянты.
Теорема 4.4. Матрица S вида (20), в котором A и B задаются формулами (21) и (22), является сопряженно-нормальной тогда и только тогда, когда выполнены следующие условия:
n+а) |d(1)| = |d(1) |, k = 2, 3,...,, k n+2-k n+б) для каждого k = 2, 3,..., d(2) = |d(2)|ei(2k-k), n+2-k k где k и k определяются из соотношений d(2) = |d(2)|eik, d(1) - d(1) = |d(1) - d(1) |eik.
k k k n+2-k k n+2-k Теорема 4.5. Матрица S вида (20), в котором A и B задаются формулами (23) и (24), является сопряженно-нормальной тогда и только тогда, когда выполнены следующие условия:
n а) |d(1)| = |d(1)|, |d(1)| = |d(1) |, k = 3,..., + 1, 1 2 k n+3-k б) d(2) = |d(2)|ei(21-1), 2 где d(2) = |d(2)|ei1, d(1) - d(1) = |d(1) - d(1)|ei1, 1 1 1 2 1 в) для каждого k = 3,..., n/2 + d(2) = |d(2)|ei(2k-k), n+3-k k где k и k определяются из соотношений d(2) = |d(2)|eik, d(1) - d(1) = |d(1) - d(1) |eik.
k k k n+3-k k n+3-k Доказательство теорем 4.4 и 4.5 эквивалентно обоснованию теорем 4.1 и 4.2. Данный параграф завершается выводом размерности решения.
Oсновные результаты четвертой главы: выведены уравнения, которым должны удовлетворять нормальные и сопряженно-нормальные (T + H)-матрицы, получено частное решение НТ+ГЗ в случае, когда теплицево и ганкелево слагаемые являются циркулянтами или косыми циркулянтами, получено частное решение СНТ+ГЗ в случае, когда теплицево и ганкелево слагаемые являются циркулянтами или косыми циркулянтами.
Основные результаты диссертации Основными научными результатами диссертации являются решения следующих классификационных задач:
во-первых, получение полной характеризации нормальных ганкелевых матриц как результат разработки подхода, позволившего в рамках единой схемы вывести известные и новые классы нормальных ганкелевых матриц;
во-вторых, получение всех семи классов сопряженно-нормальных теплицевых матриц;
в-третьих, вычисление пересечения нормальных и сопряженно-нормальных теплицевых матриц;
в-четвертых, нахождение частных классов нормальных и сопряженно-нормальных матриц, представимых в виде суммы теплицевой и ганкелевой.
Публикации автора по теме диссертации 1. Икрамов Х. Д., Чугунов В. Н. Критерий нормальности комплексной теплицевой матрицы // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1996. Т. 36. № 2.
С. 3Ц10. 0,5 п.л.
2. Икрамов Х. Д., Чугунов В. Н. О кососимметричной части произведения теплицевых матриц // Математические заметки. 1998.
Т. 63. № 1. С. 138Ц141. 0,25 п.л.
3. Икрамов Х. Д., Чугунов В. Н. Несколько замечаний о теплицевых и ганкелевых циркулянтах // Записки научных семинаров ПОМИ им. В. А. Стеклова Российской академии наук. 2006. Т. 334.
С. 121Ц127. 0,44 п.л.
4. Икрамов Х. Д., Чугунов В. Н. Об одном новом классе нормальных ганкелевых матриц // Вестник Московского университета.
Серия 15. Вычислительная математика и кибернетика. 2007. №. 1.
С. 10Ц13. 0,25 п.л.
5. Икрамов Х. Д., Чугунов В. Н. О нормальных ганкелевых матрицах // Записки научных семинаров ПОМИ им. В. А. Стеклова Российской академии наук. 2007. Т. 346. С. 63Ц80. 1,13 п.л.
6. Икрамов Х. Д., Чугунов В. Н. О нормальных ганкелевых матрицах малых порядков // Математические заметки. 2008. Т. 84. № 2.
С. 207Ц218. 0,75 п.л.
7. Икрамов Х. Д., Чугунов В. Н. О классификации нормальных ганкелевых матриц // Доклады Российской академии наук. 2009.
Т. 424. № 6. С. 736Ц740. 0,31 п.л.
8. Икрамов Х. Д., Чугунов В. Н. О сведении нормальной ганкелевой задачи к двум частным случаям // Математические заметки.
2009. Т. 85. № 5. С. 768Ц776. 0,56 п.л.
9. Икрамов Х. Д., Чугунов В. Н. О теплицевых матрицах, являющихся одновременно нормальными и сопряженно-нормальными // Записки научных семинаров ПОМИ им. В. А. Стеклова Российской академии наук. Т. 367. С. 67Ц74. 0,5 п.л.
10. Икрамов Х. Д., Чугунов В. Н. Об одной характеризации теплицевых и ганкелевых циркулянтов // Записки научных семинаров ПОМИ им. В. А. Стеклова Российской академии наук.
С. 71Ц80. 0,63 п.л.
11. Икрамов Х. Д., Чугунов В. Н. О сопряженно-нормальных (T+H)-циркулянтах и косых циркулянтах // Записки научных семинаров ПОМИ им. В. А. Стеклова Российской академии наук. 2010.
Т. 382. С. 60Ц70. 0,69 п.л.
12. Чугунов В. Н. О двух частных случаях решения нормальной ганкелевой задачи // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2009. Т. 49. № 6. С. 931Ц939. 0,56 п.л.
13. Чугунов В. Н. О частных решениях нормальной T +H-задачи // Журнал вычислительной математики и математической физики.
2010. Т. 50. № 4. С. 612-617. 0,38 п.л.
14. Chugunov V. N., Ikramov Kh. D. A contribution to the normal Hankel problem // Linear Algebra Appl (Scopus). 2009. V. 430. № 8Ц9.
P. 2094Ц2101. 0,5 п.л.
15. Chugunov V. N., Ikramov Kh. D. The conjugate-normal Toeplitz problem // Linear Algebra and its Appl (Scopus). 2009. V. 430. № 8Ц9.
P. 2467-2473. 0,44 п.л.
16. Chugunov V. N., Ikramov Kh. D. A complete solution of the normal Hankel problem // Linear Algebra and its Appl (Scopus). 2010.
V. 432. № 12. P. 3210-3230. 1,3 п.л.
17. Chugunov V. N., Ikramov Kh. D. There exist normal Hankel (, )-circulants of any order n // Сборник Matrix methods: Theory, Algorithms and Applications. 2010.
С. 222Ц227. 0,38 п.л.