Авторефераты по всем темам >>
Авторефераты по разное
На правах рукописи
Рохлин Дмитрий Борисович
ИССЛЕДОВАНИЯ ПО ТЕОРИИ АРБИТРАЖА В СТОХАСТИЧЕСКИХ МОДЕЛЯХ ФИНАНСОВЫХ РЫНКОВ
01.01.05 - Теория вероятностей и математическая статистика
АВТОРЕФЕРАТ
диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук
Москва 2010
Работа выполнена на кафедре высшей математики и исследования операций факультета математики, механики и компьютерных наук Южного федерального университета.
Научный консультант: доктор технических наук, профессор Г.И. Белявский.
Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, ведущий научный сотрудник МИАН А.А. Гущин, доктор физико-математических наук, профессор И.В. Павлов, доктор физико-математических наук, ведущий научный сотрудник ЦЭМИ РАН Э.Л. Пресман.
Ведущая организация: факультет вычислительной математики и кибернетики Московского государственного университета им. М.В. Ломоносова.
Защита состоится 15 апреля 2010 г. в 14 часов на заседании диссертационного совета Д 002.022.01 при Математическом институте им. В.А. Стеклова РАН по адресу: 119991 Москва, ул. Губкина, д. 8, 9-й этаж, конференц-зал.
С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Математического института им. В.А. Стеклова.
Автореферат разослан л 2010 г.
Ученый секретарь диссертационного совета Д 002.022.01, доктор физико-математических наук, профессор В.А. Ватутин
Общая характеристика работы
Актуальность темы. Диссертация посвящена исследованию ряда общих стохастических моделей рынков ценных бумаг с точки зрения теории арбитража. Основное внимание уделяется моделям с дискретным временем.
Исследованы модели с ограничениями на портфель, с операционными издержками, с бесконечным горизонтом, модели больших рынков. Получен ряд новых критериев безарбитражности, допускающих вычислительно осуществимую проверку. Исследованы некоторые математические задачи, тесно связанные с изучаемыми вопросами: задача о мартингальном выборе, теорема Крепса-Яна, вопрос о существовании эквивалентной супермартингальной плотности для разветвленно-выпуклого семейства случайных процессов.
Теория арбитража является краеугольным камнем стохастической финансовой математики. Согласно принципу отсутствия арбитража любая модель рынка должна быть устроена таким образом, что инвестор (участник торгов, спекулянт) не может получить прибыль без риска при отсутствии начального капитала. Другими словами, не существует инвестиционной стратегии, не требующей начального капитала и приносящей неотрицательный доход, который положителен с положительной вероятностью.
Привлекательность принципа отсутствия арбитража обусловлена тем, что сделанные предположения минимальны и экономически убедительны.
Он позволяет указать наиболее широкие классы случайных процессов, которые могут быть использованы для описания цен активов (при заданных правилах торговли), и определить интервалы безарбитражных цен платежных обязательств.
Принцип отсутствия арбитража упоминался еще основоположником финансовой математики Башелье1, который не использовал термина ларбитраж, но говорил об лоперациях, в которых одна из договаривающихся сторон получает прибыль при любых ценах, и о том, что подобная разница (цен) никогда не возникает на практике. В той же работе Башелье ввел процесс броуновского движения с целью описания цен первичных активов (лренты) и расчета цен платежных обязательств (форвардных контрактов и опционов). При этом, фактически, использовалась идея о том, что цены активов являются мартингалами.
Новый импульс развитию финансовой математики был придан работами Блэка, Шоулза и Мертона2. С использованием принципа отсутствия арбитража и теории стохастического интегрирования Ито в них была однозначно определена цена Европейского опциона в модели, где динамика цен рисковоBachelier L. Thorie de la spculation //Ann. Sci. Ecole Norm. Sup. 1900. Vol. 17. P. 21Ц86.
Black F., Scholes M. The pricing of options and corporate liabilities //J. Polit. Econ. 1973. Vol. 81, no. 3.
P. 637Ц654. (1973); Merton R.C. Theory of rational option pricing // Bell J. Econ. Manag. Sci. 1973. Vol. 4, no. 1. P. 141Ц183.
го актива описывается геометрическим броуновским движением. Ключевую роль при этом играет полнота рассматриваемой модели рынка: начальный капитал, необходимый для воспроизведения платежного обязательства, совпадает с ценой последнего.
В общем случае условие отсутствия арбитража приводит к существованию строго положительного функционала (ценообразующего правила), обладающего свойством согласованности: он приписывает существующие цены всем имеющимся на рынке активам и безарбитражные цены любым новым активам. Результаты об эквивалентности условия отсутствия арбитража и существования согласованного ценообразующего правила объединяются под названием первая фундаментальная теорема теории расчета цен финансовых активов. Впервые результаты такого рода были сформулированы в работах Росса3. Термин первая фундаментальная теорема введен в работе Дубвига и Росса4.
В динамических моделях рынков, где цены первичных активов описываются некоторым случайным процессом S, в классических работах Харрисона и Крепса, Харрисона и Плиски5 было подчеркнуто, что условие отсутствия арбитража равносильно существованию эквивалентной мартингальной меры для S. При этом согласованное ценообразующее правило определяется математическим ожиданием по эквивалентной мартингальной мере. Таким образом, была установлена связь теории арбитража с теорией мартингалов.
Дальнейшее развитие теории арбитража было связано с различными обобщениями данных результатов, а также анализом новых моделей и условий безарбитражности. Состояние данной теории к концу прошлого века освещено в обзоре Кабанова6 и монографии Делбаена и Шахермайера7. Укажем наиболее известные результаты.
В модели с дискретным временем и конечным горизонтом теорема Даланга-Мортона-Виллинджера8, в случае произвольного вероятностного пространства и произвольного согласованного с фильтрацией процесса цен S, устанавливает эквивалентность условия отсутствия арбитража и существования эквивалентной мартингальной меры для S. В модели с операционными издержками, предложенной Кабановым9, аналогом этого результата Ross S.A. The arbitrage theory of asset pricing //J. Econom. Theory. 1976. Vol. 13, no. 3. P. 341Ц360.
Dybvig P.H., Ross S.A. Arbitrage //The New Palgrave: a Dictionary of Economics / Ed. by Eatwell J., Milgate M., Neuman P. London: Macmillan, 1987. P. 100Ц106.
Harrison, J.M., Kreps D.M. Martingales and arbitrage in multiperiod securities markets //J. Econ. Theory.
1979. Vol. 20. P. 381Ц408. (1981); Harrison J.M., Pliska S.R. Martingales and stochastic integrals in the theory of continuous trading //Stochastic Process. Appl. 1981. Vol. 11, no. 3. P. 215Ц260.
Kabanov Yu.M. Arbitrage theory // Handbook of mathematical finance. Option pricing, interest rates and risk management / Ed. by Jouini E., Cvitani J., Musiela M. Cambridge: Cambridge University Press, 2001.
P. 3Ц42. (2001) Delbaen F., Schachermayer W. The mathematics of arbitrage. Berlin: Springer, 2006.
Dalang R.C., Morton A., Willinger W. Equivalent martingale measures and no-arbitrage in stochastic securities market models // Stoch. Stoch. Rep. 1990. Vol. 29, no. 2. P. 185Ц201.
Kabanov Yu.M. Hedging and liquidation under transaction costs in currency markets // Finance Stoch.
является утверждение об эквивалентности условия робастного отсутствия арбитража и существования строго согласованного процесса цен10. В обоих случаях условия безарбитражности носят алгебраический характер.
При рассмотрении моделей с непрерывным временем и/или бесконечным горизонтом необходимо использовать топологические версии условия безарбитражности. В работах Делбаена и Шахермайера11 было установлено, что условия отсутствия бесплатного ленча с исчезающим риском, предполагающего расширение множества достижимых капиталов за счет замыкания по норме L, достаточно для существования эквивалентной локальной мартингальной (в общем случае, -мартингальной) меры.
Наконец, в модели большого рынка, предложенной Кабановым и Крамковым12 и представляющей собой последовательность обычных моделей рынков с конечным числом первичных активов, условия отсутствия асимптотического арбитража и наличия сильного асимптотического арбитража выражаются в терминах контигуальности и асимптотической разделимости последовательностей эквивалентных (локальных) мартингальных мер.
В настоящее время теория арбитража остается активной областью исследований. В частности, большое внимание привлекают модели с операционными издержками: условия безарбитражности в моделях с дискретным временем рассматривались в работах Кабанова, Рашоньи и Стрикера13, Шахермайера14, Григорьева (2005), Кавал и Молчанова (2006), Демпстера, Евстигнеева и Таксара (2006), Бушара (2006), Валери, Кабанова и Стрикера (2007), Жака, Беркаоуи и Варрена (2008), Рашоньи (2008), в моделях с непрерывным временем Ч в работах Гуазони (2006, 2008), Черного (2007), Гуазони, Рашоньи и Шахермайера (2008, 2009), Кабанова и Стрикера (2008) и др. Современное состояние теории арбитража в моделях с операционными издержками отражено в монографии Кабанова и Сафарьяна15.
После основополагающих работ Росса, Хубермана16, Кабанова и Крамкова (1994, 1998), Клейн и Шахермайера (1996) модели больших рынков 1999. Vol. 3, no. 2. P. 237Ц248.
Schachermayer W. The fundamental theorem of asset pricing under proportional transaction costs in finite discrete time // Math. Finance. 2004. Vol. 14, no. 1. P. 19Ц48.
Delbaen F., Schachermayer W. A general version of the fundamental theorem of asset pricing // Math.
Annalen. 1994. Vol. 300, no. 1. P. 463Ц520; Delbaen F., Schachermayer W. The fundamental theorem of asset pricing for unbounded stochastic processes // Math. Annalen. 1998. Vol. 312, no. 2. P. 215Ц250.
Кабанов Ю.М., Крамков Д.О. Большие финансовые рынки: асимптотический арбитраж и контигуальность // Теор. вероятн. и ее примен. 1994. Т. 39, № 1. С. 222Ц229.
Kabanov Y., Rsonyi M., Stricker C. No-arbitrage criteria for financial markets with efficient friction // Finance Stoch. 2002. Vol. 6, no. 3. P. 371Ц382; Kabanov Y., Rsonyi M., Stricker C. On the closedness of sums of convex cones in L0 and the robust no-arbitrage property // Finance Stoch. 2003. Vol. 7, no. 3. P. 403Ц4Schachermayer W. The fundamental theorem of asset pricing under proportional transaction costs in finite discrete time // Math. Finance. 2004. Vol. 14, no. 1. P. 19Ц48.
Kabanov Y.M., Safarian M. Markets with Transaction Costs. Berlin: Springer, 2009.
Ross S.A. The arbitrage theory of asset pricing // J. Econom. Theory. 1976. Vol. 13, no. 3. P. 341Ц360;
Huberman G. A simple approach to Arbitrage Pricing Theory // J. Econom. Theory. 1982. Vol. 28, no. 1.
P. 183Ц191;
исследовались в статьях Клейн (2000, 2003, 2006, 2008), Рашоньи (2003, 2004, 2008), ДеДонно, Гуазони и Прателли (2005), Фёльмера и Шахермайера (2008).
С точки зрения настоящей работы, большой интерес представляют также недавние исследования (Каратзас, Кардарас17, Кристенсен, Ларсен18), касающиеся эталонных портфелей (numraire portfolios) в связи с теорией арбитража. В этих работах было подчеркнуто, что в общей модели с непрерывным временем и конечным набором активов одно из естественных условий безарбитражности рынка может быть выражено в терминах (относительно) log-оптимальных портфелей.
Отметим также исследования, касающиеся определения границ цен платежных обязательств на основе принципа отсутствия арбитража. Непосредственное отношение к вопросам, рассматриваемым в диссертационной работе, имеют результаты Гапеева (1997), Шатаева (1998), Ширяева (1998), Кащеева (2000), Гущина и Мордецкого (2002), Рушендорфа (2002), Карассуса, Гобет и Темама (2007), Роу, Токарж и Заставняка (2008).
Актуальность работы подчеркивается также тем обстоятельством, что ряд результатов почти одновременно независимым образом был получен другими авторами. Это касается критерия безарбитражности при наличии ограничений на портфели активов [1], которые были анонсированы в [12] (аналогичные результаты были получены в работе Евстигнеева, Шургера и Таксара19, препринт которой появился в 2002 г.); теоремы Крепса-Яна для L [3]: препринт 2004 г. (тот же результат получен Кассезе20: препринт 20г.); теоремы о мартингальном выборе [2, 6] (при дополнительных ограничениях аналогичный результат получен Рашоньи21). Однако методы доказательства во всех случаях были существенно различными.
Цель работы состоит в исследовании условий безарбитражности различных моделей рынков ценных бумаг с акцентом на вычислительно осуществимые процедуры проверки таких условий.
Научная новизна. Основные результаты диссертации состоят в следующем.
1. Получены новые критерии безарбитражности в моделях рынков с ограничениями на портфели активов, в моделях с операционными издержKaratzas I., Kardaras C. The numraire portfolio in semimartingale financial models // Finance Stoch.
2007. Vol. 11, no. 4. P. 447Ц493.) Christensen M.M., Larsen K. No arbitrage and the growth optimal portfolio // Stoch. Anal. Appl. 2007.
Vol. 25, no. 1. P. 255Ц280.
Evstigneev I.V., Schrger K., Taksar M.I. On the fundamental theorem of asset pricing: random constraints and bang-bang no-arbitrage criteria // Math. Finance. 2002. Vol. 14, no. 2. P. 201Ц221.
Cassese G. Yan theorem in L with applications to asset pricing // Acta Math. Appl. Sin. Engl. Ser.
2007. Vol. 23, no. 4. P. 551Ц562.
Rsonyi M. New methods in the arbitrage theory of financial markets with transaction costs // Lecture Notes in Math. / Ed. by Donati-Martin C. et al. Berlin: Springer, 2008. Vol. 1934. P. 455Ц462. Sminaire de probabilits XLI.
ками, в моделях больших рынков.
2. Поставлена и решена задача о мартингальном выборе. С использованием этого результата в моделях с операционными издержками получены критерии безарбитражности, выраженные в терминах носителей условных распределений многозначных случайных процессов, определяющих динамику цен активов и правила торговли, а также новые рекуррентные формулы для границ цен платежных обязательств.
3. Доказаны новые версии теоремы Крепса-Яна об отделимости конусов в пространствах измеримых функций. С использованием соответствующего результата для пространства L реализована новая схема доказательства первой фундаментальной теоремы в достаточно общей модели рынка с дискретным временем и бесконечным горизонтом.
4. Исследована задача о нижних оценках плотностей мартингальных мер в модели с дискретным временем и конечным набором активов. Критерии существования нижних оценок выражены в терминах носителей условных распределений приращений цен. В качестве побочного результата получено новое доказательство теоремы Даланга-МортонаВиллинджера.
5. Установлено, что арбитражные свойства большого рынка полностью определяются асимптотическим поведением последовательности эталонных портфелей, построенных для малых рынков. С использованием этого результата проанализирован ряд конкретных моделей. Показано, что предлагаемый подход ведет к новым доказательствам и усилению ключевых результатов теории больших рынков.
6. Показано, что условие отсутствия неограниченной прибыли с ограниченным риском равносильно существованию эквивалентной супермартингальной плотности для весьма общей модели рынка с непрерывным временем, где множество процессов-капиталов подчинено лишь условию разветвленной выпуклости.
Методы исследования. В работе применяются методы теории вероятностей и функционального анализа. В частности, используются теоремы об измеримом выборе, теоремы отделимости, теория двойственности.
Теоретическая и практическая значимость. Работа носит теоретический характер. Ее результаты являются вкладом в развитие математической теории арбитража. Разработанные методики исследования рынков с дискретным временем на основе теоремы о мартингальном выборе и больших рынков на основе свойств эталонных порфтелей могут быть использованы для анализа новых моделей. Полученные рекуррентные формулы для границ цен платежных обязательств в моделях с дискретным временем имеют практическую ценность и могут служить основой для разработки соответствующих алгоритмов.
Представляет интерес дальнейшее развитие предложенной методики исследования нижних оценок плотностей мартингальных мер. Этот же подход был успешно применен для доказательства новых версий теоремы КрепсаЯна. Полученный общий критерий существования эквивалентной супермартингальной плотности для разветвленно-выпуклого семейства случайных процессов с непрерывным временем может служить отправным пунктом для исследования вопроса о существовании эталонного портфеля в указанной модели.
Апробация работы. Результаты диссертационной работы докладывались в Венском техническом университете, Австрия, 2005; на Третьем коллоквиуме Башелье по финансовой математике и стохастическому анализу, Метабиф, Франция, 2008; в университете г. Безансон, Франция, 2008; на симпозиуме по финансовой математике, Гданьск, Польша, 2008; на Большом семинаре кафедры теории вероятностей МГУ, 2009; на семинаре отдела теории вероятностей и математической статистики МИАН им. В.А. Стеклова, 2009;
на заседании Ростовского математического общества, 2009.
Публикации. Основные рaботы, в которых отражены результаты диссертации: [1Ц11]. К тематике диссертации относятся также работы [12Ц17].
ичный вклад автора. Все работы, за исключением [4], выполнены без соавторов. Из указанной совместной работы в диссертацию включены два примера (в модифицированном виде). Идеи этих примеров принадлежат соавтору. Также проф. Шахермайер указал автору на ценность леммы 2.5 работы [3] как самостоятельного результата, его связь с вопросом о нижних оценках плотностей мартингальных мер и предложил простую схему доказательства указанной леммы. В первоначальном варианте данный результат был скрыт в доказательстве теоремы 2.1 работы [3], а его обоснование опиралось на косвенные соображения, связанные с преобразованием Юнга-Фенхеля.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, 10 глав, приложения и списка литературы из 189 наименований. Полный объем диссертации Ч 293 страницы.
Содержание работы Во введении дан краткий исторический обзор, приведены известные результаты, имеющие непосредственное отношение к тематике диссертации, и кратко изложены основные результаты работы.
В главах 1 - 4, 6 анализируются модели с дискретным временем и конечным горизонтом: идеальный рынок рассматривается в главах 1, 2; модель с ограничениями на портфель Ч в главе 3; модель с операционными издержками Ч в главе 4, определение границ цен платежных обязательств Ч в главе 6. В главе 7 рассматривается модель с дискретным временем и бесконечным горизонтом, и в главе 9 - модель большого рынка. Остальные главы посвящены анализу ряда математических задач, тесно связанных с изучаемыми вопросами. В главе 5 доказывается теорема о мартингальном выборе, в главе 8 Ч несколько версий теоремы Крепса-Яна, и в заключительной главе устанавливается критерий существования эквивалентной супермартингальной плотности для разветвленно-выпуклого семейства случайных процессов с непрерывным временем. Приложение содержит необходимые сведения из теории измеримых многозначных отображений.
Через ri, cl, int, conv и cone мы обозначаем относительную внутренность, замыкание, внутренность, выпуклую и коническую оболочки подмножества конечномерного евклидова пространства Rd, а через (x|A) = inf{ > 0 : x A}, s(x|A) = sup{(x, y) : y A};
(x|A) = 0, x A, (x|A) = +, x A Ч функцию Минковского, опорную и индикаторную функции. Скалярное произведение элементов x, y Rd обозначим через (x, y). Положим также a- = max{-a, 0}. Множество A Rd называется конусом, если x A для всех x A, 0. Если A Ч конус, то A, A Ч полярный и сопряженный конусы: -A = A = {y Rd : (y, x) 0, x A}.
Напомним, что многозначное отображение G : Rd, относящее каждому некоторое множество G() Rd, называется измеримым относительно -алгебры F, если { : G()V = } F для любого открытого множества V Rd.
В главе 1 дано новое доказательство теоремы Даланга-Мортона-Виллинджера о равносильности условия отсутствия арбитража и существования эквивалентной мартингальной меры с ограниченной плотностью для d-мерного случайного процесса (Sn)N дисконтированных цен рисковых акn=тивов.
Пусть (, F, P) Ч вероятностное пространство, наделенное фильтрацией F = (Fn)N, описывающей процесс накопления информации. Рассмотрим n=d-мерный случайный процесс S = (Sn)N, согласованный с F, и d-мерный n=i i F-предсказуемый процесс = (n)N. Процессы Sn и n, i = 1,..., d описыn=вают соответственно дисконтированную цену i-го рискового актива и количество его единиц в портфеле инвестора в момент времени n. Процесс n G = (k, Sk), Sk = Sk - Sk-1, n = 1,..., N n k=определяет динамику дисконтированного выигрыша инвестора.
Говорят, что выполнено условие отсутствия арбитража (NA), если из неравенства G 0 п.н. (относительно меры P) вытекает, что G = 0 п.н.
N N Вероятностная мера Q называется мартингальной, если процесс S является Q-мартингалом. Обозначим через n носитель регулярного условного распределения случайного вектора Sn+1 относительно Fn.
Теорема 1 (Даланга-Мортона-Виллинджера). Следующие условия равносильны:
(a) NA;
(b) существует эквивалентная P мартингальная мера Q с п.н. равномерно ограниченной плотностью z = dQ/dP;
(с) 0 ri (conv n-1) п.н., n = 1,..., N.
Теорема 1 в данной степени общности впервые была доказана в работе22.
В дальнейшем был предложен ряд альтернативных доказательств: Шахермайер (1992), Кабанов и Крамков (1994), Роджерс (1994), Жакод и Ширяев (1998), Кабанов и Стрикер (2001). Трудная часть состоит в доказательстве существования эквивалентной мартингальной меры при выполнении условия (a) или условия (с). При этом, фактически, достаточно рассмотреть i случай N = 1 в предположении, что случайные величины Sn интегрируемы.
Предлагаемый подход основан на следующем утверждении. Пусть X Ч банахова решетка и X Ч топологически сопряженное пространство. Обо значим через X+, X+ конусы неотрицательных элементов X и X соот ветственно. Рассмотрим выпуклый конус C в X. Если элемент f X+ ограничен сверху на специальном подмножестве конуса C:
sup f(w) < , C1 = {w C : w- 1}, w- = max{-w, 0}, wC то существует g X : g f, g(w) 0, x C. Результаты такого типа использовались в работах [3], [10] для доказательства новых версий теоремы Крепса-Яна и в работах [4], [11] для анализа нижних оценок плотностей мартингальных мер.
Пусть S Ч интегрируемый процесс, X = L1, X = L, и подпространство Kn L1 состоит из элементов (n, Sn), где n Ч Fn-1-измеримый вектор с ограниченными компонентами. Из сказанного следует, что для доказательства существования для (Sn-1, Sn) эквивалентной мартингальной меры с ограниченной плотностью достаточно указать строго положительный элемент f L, для которого sup{E(wf) : E(w-) 1, w Kn} < .
Dalang R.C., Morton A., Willinger W. Equivalent martingale measures and no-arbitrage in stochastic securities market models // Stoch. Stoch. Rep. 1990. Vol. 29, no. 2. P. 185Ц201.
При этом элемент g L, g f, указанный выше, с точностью до нормализующей константы, является плотностью эквивалентной мартингальной меры. По поводу конструкции f см. замечание после теоремы 3.
В отличие от работ23 данный подход не требует доказательства замкнутости (по вероятности или в L1) подпространства Kn и использования теоремы Крепса-Яна. По сравнению с работами24 мы не рассматриваем измеримые многозначные отображения со значениями в бесконечномерных пространствах и не используем тонкую теорему фон-НейманаЦАумана об измеримом выборе и лемму ло проекции.
В главе 2 для d-мерного случайного процесса (Sn)N получены криn=терии существования эквивалентной мартингальной меры, плотность которой, с точностью до нормирующего множителя, ограничена снизу заданной случайной величиной f [11]. Для существования эквивалентной мартингальной меры Q, удовлетворяющей условию dQ/dP c, где c Ч положительная константа, необходима интегрирумость S по мере P. Более того, приведенный в25 пример показывает, что меры Q с указанными свойствами может не существовать и для равномерно ограниченного процесса S. Некоторое достаточное условие получено в работе26. Оно выполнено, в частности, для процесса S с независимыми приращениями, если случайные векторы Sn имеют конечные моменты всех порядков.
Рассмотрим подпространство K Lp(, F, P), p [1, ) и обозначим через q сопряженный показатель: 1/p + 1/q = 1. Элемент f Lq задает + функционал на Lp по формуле X, f = E(Xf), X Lp.
Теорема 2. Пусть K Lp = {0}. Тогда для существования элемента g, + удовлетворяющего условиям X, g = 0, X K; g f, g Lq, (1) необходимо и достаточно, чтобы f был ограничен сверху на специальном подмножестве K1 подпространства K:
vp := sup X, f < , K1 = {X K : X- p 1}. (2) XKSchachermayer W. A Hilbert space proof of the fundamental theorem of asset pricing in finite discrete time // Insurance Math. Econom. 1992. Vol. 11, no. 4. P. 249Ц257; Кабанов Ю.М., Крамков Д.О. Отсутствие арбитража и эквивалентные мартингальные меры: новое доказательство теоремы Харрисона-Плиски //Теор. вероятн. и ее примен. 1994. Т. 39, № 3. С. 635Ц640; Kabanov Yu.M., Stricker Ch. A teachersТ note on no-arbitrage criteria // Lecture Notes in Math. Berlin: Springer, 2001. Vol. 1755. P. 149Ц152. Sminaire de Probabilits XXXV.
Dalang R.C., Morton A., Willinger W. Equivalent martingale measures and no-arbitrage in stochastic securities market models // Stoch. Stoch. Rep. 1990. Vol. 29, no. 2. P. 185Ц201; Jacod J., Shiryaev A.N. Local martingales and the fundamental asset pricing theorems in the discrete-time case // Finance Stoch. 1998.
Vol. 2, no. 3. P. 259Ц273.
Delbaen F., Schachermayer W. The mathematics of arbitrage. Berlin: Springer, 2006.
Rsonyi M., Stettner L. On utility maximization in discrete-time financial market models // Ann. Appl.
Probab. 2005. Vol. 15, no. 2. P. 1367Ц1359.
При p = , q = 1 данное утверждение, вообще говоря, неверно ([4], примеры 1 и 3). Однако, оно становится верным, если потребовать ограниченности f сверху на множестве {X K : X- V }, где V Ч некоторая окрестность нуля в топологии Макки (L, L1), или заменить L1 на пространство (L) топологически сопряженное с L. Эти результаты содержатся в теореме 1 работы [4].
Отметим, что задачи, эквивалентные (2) в случае f = 1, рассматривались в работах27. Из результатов указанных работы также следует равносильность условий (1) и (2) при p [1, ). Аналогичное утверждение для p = во второй из цитированных работ Лейтнера неверно: имеются примеры одношаговых моделей рынка со счетным набором активов, в которых существует эквивалентная мартингальная мера, но условия (1), (2) не эквивалентны при p = . Пример такого рода построен в работе [4]. Другая его версия приводится в диссертации.
В модели c конечным набором активов в качестве K берется подпространство приращений дисконтированного капитала инвестора G, где N Ч ограниченный предсказуемый процесс. Если Sn Lp, p [1, ], то K Lp(, F, P).
Пусть () Ч носитель регулярного условного распределения P(, dx) случайного вектора = S1 относительно F0, D() Rd Ч линейная оболочка (). Определим на Rd функции 1/p p(, h) = [(h, x)-]p P(, dx), p [1, );
Rd (, h) = s(-h|()), а также многозначные отображения Tp() = {h D() : p(, h) 1}.
Теорема 3. Пусть = S1 Lp(F, Rd), f Lq (F ), где p [1, ] и + 1/p+1/q = 1. При выполнении условия NA для одношаговой модели (N = 1) следующие условия эквивалентны:
(a) vp < ;
(b) существует g Lq(F ): E(g|H ) = 0, g f;
(c) s(a|Tp) Lq(H ), где a = E(f|H ).
Leitner J. Optimal portfolios with expected loss constraints and shortfall risk optimal martingale measures // Statist. Decisions. 2005. Vol. 23, no. 1. P. 49Ц66; Leitner J. Optimal portfolios with lower partial moment constraints and LPM-risk-optimal martingale measures // Math. Finance. 2008. Vol. 18, no. 2. P. 317Ц331.
При p = 1 и 0 ri (conv ) отсюда нетрудно вывести существование g L (F ): E(g|H ) = 0. Действительно, существует H -измеримая функ++ ция 0 < f L(H ) такая, что s(E(f|H )|T1) L(H ). На этой идее основано доказательство ключевой импликации (c) = (b) теоремы ДалангаМортона-Виллинджера в главе 1.
При p [1, ) эквивалентность условий (a), (b) является следствием теоремы 2. Как уже отмечалось, при p = утверждение указанной теоремы, вообще говоря, неверно. Тем не менее, из теоремы 3 следует, что в одношаговой модели с конечным числом активов эквивалентность условий (1) и (2) при p = все-таки имеет место. Следующая теорема показывает, что аналогичный результат справедлив и для многошаговой модели. Тем самым получен отрицательный ответ на вопрос, поставленный в конце работы [4].
Обозначим через Dn-1() линейную оболочку носителя n-1() условного распределения n относительно Fn-1.
Теорема 4. Пусть процесс Sn L(Fn, Rd), n = 0,... N удовлетворяет условию NA и 0 < f L1(F, P). Тогда для существования мартингальной меры Q, плотность которой удовлетворяет оценке dQ/dP cf с некоторой константой c > 0, необходимо и достаточно, чтобы рекуррентная формула N = f, n = E(n+1|Fn) + (-an|conv n), an = E(n+1Sn+1|Fn) задавала P-интегрируемую последовательность (n)N.
n=Следует отметить нелокальный характер данного результата: в диссертации построен процесс (S0, S1, S2), для которого не существует мартингальной меры, плотность которой ограничена снизу положительной константой, и найдется (предсказуемый) портфель (1, 2), удовлетворяющий условиям EG = , G -1. При этом для каждого из процессов (S0, S1), (S1, S2) 2 оба этих свойства неверны.
В 3 главе рассматривается обобщение теоремы Даланга-Мортона-Виллинджера при наличии ограничений на портфели активов: n() Bn(), где Bn Ч многозначные Fn-1-измеримые отображения, значениями которых являются выпуклые множества Bn() 0. Обозначим через n() ортопроектор на линейную оболочку n().
Теорема 5. Пусть Bn() являются конусами и их проекции nBn замкнуты п.н. Тогда следующие условия равносильны:
(a) NA;
(b) существует эквивалентная P мера Q с п.н. равномерно ограниченной плотностью z = dQ/dP такая, что EQ(Sn|Fn-1) Bn;
(с) Bn ri (conv n) = п.н., n = 1,..., N.
Теорема 5 доказана в работе [1]. В случае полиэдральных конусов Bn эквивалентность условий (a), (b) установлена в28. В работе29 использовалось предположение об обратимости матрицы условных ковариаций Sn относительно Fn-1, а в работах30 Ч следующее условие невырожденности:
((n, Sn) = 0, n Bn) = n = 0 п.н.
Более слабое условие замкнутости конусов nBn и условие (c) введены в работе [1]. Условие, эквивалентное замкнутости nBn, независимым образом введено в31.
Кроме того, рассмотрен случай выпуклых, но необязательно конических ограничений Bn, и исследована задача с ограничениями, зависящими от капитала.
В главе 4 рассматривается модель валютного рынка с операционными издержками, предложенная в работах32. При описании данной модели мы следуем33.
Обозначим через ij количество единиц i-й валюты, которое можно обменять на единицу j-й. Предполагается, что dd матрица обменных курсов ij удовлетворяет условиям: ij > 0, ii = 1, ij ikkj, последнее из которых означает, что прямой обмен активов не хуже, чем цепочка обменов. Конусом платежеспособности K() называется выпуклый конус, порожденный векторами {ei}d стандартного базиса Rd и векторами ijei - ej. Элементами i=-K являются портфели, которые могут быть приобретены бесплатно.
В динамической модели задается согласованный с фильтрацией (Ft)T t=случайный процесс (t)T, принимающий значения в множестве матриц обt=менных курсов. Через Kt = K(t) обозначим соответствующий процесс конусов платежеспособности. Пусть Ft-измеримый d-мерный случайный вектор t описывает портфель инвестора в момент времени t. Процесс портфеля (t)T называется самофинансируемым, если t=t - t-1 -Kt п.н., t = 0,..., T, Schrger K. On the existence of equivalent -measures in finite discrete time // Stoch. Proc. and Appl.
1996. Vol. 61, no. 1. P. 109Ц128; Napp C. The Dalang-Morton-Willinger theorem under cone constraints // J.
of Math. Econ. 2003. Vol. 39, no. 1-2. P. 111Ц126.
Pham H., Touzi N. The fundamental theorem of asset pricing with cone constraints // J. of Math. Econ.
1999. Vol. 31, no. 2. P. 265Ц279.
Carassus L., Pham H., Touzi N. No arbitrage in discrete time under portfolio constraints // Math. Finance.
2001. Vol. 11, no. 3. P. 315Ц329; Pham H. Dynamic Lp-hedging in discrete time under cone constraints // SIAM J. on Control and Optimiz. 2000. Vol. 38, no. 3. P. 665Ц682.
Evstigneev I.V., Schrger K., Taksar M.I. On the fundamental theorem of asset pricing: random constraints and bang-bang no-arbitrage criteria // Math. Finance. 2002. Vol. 14, no. 2. P. 201Ц221.
Kabanov Yu.M. Hedging and liquidation under transaction costs in currency markets // Finance Stoch.
1999. Vol. 3, no. 2. P. 237Ц248; Kabanov Y., Stricker C. The Harrison-Pliska arbitrage pricing theorem under transaction costs // J. Math. Econom. 2001. Vol. 35, no. 2. P. 185Ц196.
Schachermayer W. The fundamental theorem of asset pricing under proportional transaction costs in finite discrete time // Math. Finance. 2004. Vol. 14, no. 1. P. 19Ц48.
где -1 = 0. Через AT () обозначим выпуклый конус в L0(FT, Rd), состоящий из элементов T самофинансируемых процессов .
Говорят, что процесс обменных курсов (t)T удовлетворяет условию t=робастного отсутствия арбитража (NAr: robust no-arbitrage), если суще ствует процесс (t)T обменных курсов с меньшими операционными издержt=ками:
ji ij [1/ ji, t ri [1/t, t ], t ij] удовлетворяющий условию отсутствия арбитража (NA):
AT () L0(Rd, FT ) = {0}.
+ Напомним, что последовательность (i) F -измеримых селекторов G i=таких, что множества {i()} плотны в G() при каждом : G() = i=, называется представлением Кастэна для G. Рассмотрим представление Кастэна (i) отображения G и, следуя [2], положим i= (G, H ) = cl (i, H ), i=где (i, H ) Ч носитель регулярного условного распределения i относительно H. Полученное многозначное отображение (G, H ; ) является H -измеримым и не зависит от выбора представления Кастэна п.н.
Теорема 6. Для модели валютного рынка с операционными издержками следующие условия эквивалентны:
(a) NAr;
(b) существует строго согласованный процесс цен, т.е. P-мартингал (Zt)T, принимающий значения в (ri Kt )T ;
t=0 t= (c) рекуррентная формула WT = KT, Wt = cl (ri Kt ri Yt), Yt = cl (conv (Wt+1, Ft)) задает последовательность многозначных отображений (Wt)T с п.н.
t=непустыми значениями.
Эквивалентность условий (a), (b) установлена в работе34, где и было введено условие NAr. Условие (c) введено в работе [7]. Весьма близкий результат Schachermayer W. The fundamental theorem of asset pricing under proportional transaction costs in finite discrete time // Math. Finance. 2004. Vol. 14, no. 1. P. 19Ц48.
независимым образом получен в работе35 при дополнительном предположе нии о выполнении условия лэффективного трения: int Kt = .
Утверждение об эквивалентности условий (b), (c) вытекает из теоремы о мартингальном выборе [2], [6] (глава 5), хотя в работе [7] и главе 4 доказательство проводилось по другой схеме.
Как известно, на идеальном рынке арбитражные стратегии включают лишь два изменения портфеля в соседние моменты времени и легко строятся с использованием соображений отделимости. При наличии операционных издержек такие стратегии могут иметь более сложную структуру. С использованием условия (c) теоремы 6 в заключительном параграфе главы 4 построен пример рынка с банковским счетом и двумя рисковыми активами, в котором нет двухшаговых арбитражных стратегий, но есть трехшаговая.
Глава 5 посвящена теореме о мартингальном выборе. Пусть на фильтрованном вероятностном пространстве (, F, P, (Ft)T ) задана последоваt=тельность Ft-измеримых многозначных отображений Gt() Rd, t = 0,..., T с непустыми выпуклыми значениями Gt(). Будем говорить, что для последовательности (Gt)T разрешима задача о мартингальном выборе, есt=ли существуют согласованный случайный процесс (St)T со значениями в t=(ri Gt)T и эквивалентная P вероятностная мера Q, относительно которой S t=является мартингалом.
Теорема 7. Следующие условия эквивалентны:
(a) для (Gt)T разрешима задача о мартингальном выборе;
t=(b) рекуррентная формула WT = GT, Wt = cl (ri Gt ri Yt), Yt = cl (conv (Wt+1, Ft)) задает последовательность многозначных отображений (Wt)T с п.н.
t=непустыми значениями.
В полной общности данная теорема доказана в работе [6], а при дополнительных предположениях об открытости Gn() либо о конечности Ч в работе [2]. Задача о мартингальном выборе поставлена в [14], [2].
Если значениями Gt являются конусы, то разрешимость задачи о мартингальном выборе равносильна существованию P-мартингала (St)N со знаn=чениями в (ri Gt)T. Отсюда вытекает эквивалентность условий (b) и (c) t=теоремы 6.
Rsonyi M. New methods in the arbitrage theory of financial markets with transaction costs // Lecture Notes in Math. / Ed. by Donati-Martin C. et al. Berlin: Springer, 2008. Vol. 1934. P. 455Ц462. Sminaire de probabilits XLI Теорема о мартингальном выборе играет ключевую роль в главе 6, основной целью которой является построение вычислительно осуществимых процедур для определения множества справедливых цен платежных обязательств в рамках рассмотренных в главах 1 и 4 моделей идеального рынка и валютного рынка с операционными издержками. Данная проблема является в теории арбитража одной из основных.
Как известно, в модели идеального рынка верхняя граница множества справедливых цен (верхняя цена хеджирования, цена продавца) C(fT ) = inf{x : x + G fT для некоторого предсказуемого процесса } T платежного обязательства fT L0(FT ) допускает двойственное описание C(fT ) = sup{EQfT : Q P(S), EQ|fT | < }, где P(S) Ч множество эквивалентных мартингальных мер для S.
В модели валютного рынка известна формула36 для множества H+(T ) = {0 Rd : T - 0 AT ()} начальных портфелей, позволяющих суперхеджировать T :
H+(T ) = {0 : (0, Z0) E(T, ZT ), Z M (ri K, T )}.
Здесь M (ri K, T ) Ч множество P-мартингалов Z, принимающих значение в относительной внутренности K и удовлетворяющих условию E|(T, ZT )| < .
Несмотря на теоретическую ценность указанного выше двойственного описания множеств безарбитражных цен и портфелей непосредственное применение данных формул часто оказывается затруднительным из-за того, что множества мартингальных мер и строго согласованных процессов цен могут быть очень большими. Представленные ниже рекуррентные формулы, в которые не входят указанные двойственные объекты, представляются более удобными с вычислительной точки зрения.
Теорема 8. Пусть в модели идеального рынка выполнено условие NA. Определим согласованную с фильтрацией последовательность (wt)T посредt=ством рекуррентных формул wT = fT, wt() = inf{ + (, St()) : (; ) Gt()}, Gt() = {(; ) R Rd-1 : Er(I( + (, St+1) wt+1)|Ft)(, , ) = 1}.
Если Gm = на множестве положительной меры для некоторого m, то C(fT ) = +. В противном случае, C(fT ) = w0.
Schachermayer W. The fundamental theorem of asset pricing under proportional transaction costs in finite discrete time // Math. Finance. 2004. Vol. 14, no. 1. P. 19Ц48.
Здесь Er(f|H ) Ч регулярное условное математическое ожидание случайной величины f(, z), зависящей от параметра z. Данное понятие введено в работе37. Формулы теоремы 8 напоминают рекуррентные соотношения метода динамического программирования. Близкие результаты получены в работе38. В отличие от указанной работы мы не используем операцию существенного супремума семейства случайных величин (что упрощает вычисления) и не предполагаем, что фильтрация F порождается процессом S.
Обозначим через h субдифференциал в нуле выпуклой положительно однородной функции h. Интеграндом называется расширенная функция :
Rd [-, +] такая, что функция (, x) является F -измеримой для любого x Rd. Интегранд называется нормальным, если его надграфик является замкнутым и F -измеримым.
Теорема 9. Пусть в модели валютного рынка выполнено условие NAr.
Определим согласованную с фильтрацией последовательность нормальных интеграндов (ht)T посредством рекуррентных соотношений t= hT (, x) = (T, x) - (x|KT );
ht(, x) = -s(-x|Gt) - (x|Kt ), Gt() = {z Rd : Er(I(-z (-ht+1))|Ft)(, z) = 1}.
Если Gm = на множестве положительной меры для некоторого m, то H+(T ) = . В противном случае, H+(T ) = -(-h0).
Примеры, проанализированные в главе 6, охватывают ряд известных результатов о границах цен платежных обязательств в моделях с конечным вероятностным пространством (Мельников и Феоктистов (2001)), с ограниченными относительными ценами (Гапеев (1997), Ширяев (1998), Кащеев (2000), Гущин и Мордецкий (2002), Рушендорф (2002)), с неограниченными относительными ценами (Шатаев (1998), Гущин и Мордецкий (2002), Карассус, Гобет и Темам (2007)), с операционными издержками (Роу, Токарж, Заставняк (2008)). В случае конечного вероятностного пространства полученные формулы могут быть реализованы в виде конечных алгоритмов.
Доказательства ключевых результатов, представленных в главе 6, опираются на теорему о мартингальном выборе (теорема 7). Связь с указанной теоремой проясняет следующий результат.
Теорема 10. Пусть выполнено условие NAr. Тогда следующие условия эквивалентны:
Дынкин Е.Б., Евстигнеев И.В. Регулярные условные математические ожидания соответствий // Теория вероятн. и ее примен. 1976. Vol. 21, no. 2. P. 334Ц347.
Carassus L., Gobet E., Temam E. A>
(a) (0, Z0) = E(T, ZT ) для некоторого Z M (ri K, T );
(b) разрешима задача о мартингальном выборе для последовательности случайных конусов V0 = {(x; y) : x K0, y = (0, x)};
Vt = Kt R, 1 t T - 1;
VT = {(x; y) : x KT, y = (T, x)}.
В главе 7 рассматривается модель рынка с дискретным временем и бесконечным горизонтом на фильтрованном вероятностном пространстве (, F, P, (Ft) ), F0 = {, }, F = ( Ft), в которой множество W t=t=процессов капиталов всевозможных инвестиционных стратегий подчинено следующей системе аксиом:
(A) существует избранный актив: 1 W ;
(B) W является выпуклым конусом;
(C) допускается фиксация капитала в произвольный неслучайный момент s m времени: W = {W : W W, m Z+} W ;
(D) в момент времени m при наступлении события Am Fm можно вложить средства в стратегию W W : Un = IA (Wn - Wm)I{nm} W.
m Заметим, что данные аксиомы касаются лишь допустимых операций над процессами из W и не требуют введения первичных активов.
(j) Последовательность (W ) случайных процессов назовем сходящейся j=(j) по Фату к процессу W, если существует a R такое, что W -a и (j) Wn = lim Wn п.н., n 0.
j Множество случайных процессов назовем замкнутым по Фату, если оно содержит пределы всех сходящихся по Фату последовательностей своих элементов.
Процесс W называется a-допустимым, если Wt -a п.н., t 0. Процесс W назовем допустимым, если он является a-допустимым при каком-нибудь a. Множество всех допустимых элементов W обозначим через Wadm.
Положим W1,+ = {W W+ : W0 = 1} и введем следующие множества случайных величин, мажорируемых предельными значениями W капиталов допустимых стратегий на бесконечности:
C = C(W ) = {x L : x W для некоторого W Wadm, W0 = 0}, H = H(W+) = {x L0 : x W для некоторого W W1,+}.
+ Значения W считаются определенными и рассматриваются лишь в том случае, когда предел limn Wn существует п.н.
s Заменив в данных формулах W на W, введем также множества Cs = s s C(W ), Hs = H(W+), соответствующие стратегиям, действующим лишь s до конечного горизонта. Поскольку множества W, W являются выпуклыми конусами, то C, Cs Ч выпуклые конусы в L, а H, Hs Ч выпуклые подмножества L0.
+ Обозначим через D, D замыкания множества D L в топологии нормы L и в топологии (L, L1) (т.е. в -слабой топологии L) соответственно. Будем говорить, что для стратегий с конечным горизонтом выполнено (i) условие отсутствия бесплатного ленча с исчезающим риском (NFLVRs), если Cs L = {0};
+ (ii) условие отсутствия бесплатного ленча (NFLs), если Cs L = {0};
+ (iii) условие отсутствия неограниченной прибыли с ограниченным риском (NUPBRs), если множество Hs ограничено в L0.
Первые два названия заимствованы из работ39, а последнее Ч из работы40.
Будем говорить, что для общих стратегий выполнено (i) условие отсутствия арбитража (NA), если C L = {0};
+ (ii) условие отсутствия бесплатного ленча с исчезающим риском (NFLVR), если C L = {0}.
+ Неотрицательный случайный процесс Z назовем супермартингальной плотностью для W+, если ZW является супермартингалом для всех W W+, Z0 = 1. Супермартингальная плотность называется эквивалентной, если limn Zn = Z > 0. Аналогичные понятия вводились, например, в работах Швейцера (1992), Крамкова и Шахермайера (1999), Кабанова и Стрикера (2005). Называя лэквивалентными плотности с условием Z > 0, мы следуем терминологии работы Каратзаса и Кардараса (2007).
Системе аксиом (A) - (D) удовлетворяют (i) линейные пространства, устойчивые относительно остановки: W W = W W ; (ii) предсказуемо выпуклые (в смысле определения41) конусы; (iii) модель рынка с проKreps D.M. Arbitrage and equilibrium in economies with infinitely many commodities // J. Math. Econom.
1981. Vol. 8. P. 15Ц35; Delbaen F., Schachermayer W. A general version of the fundamental theorem of asset pricing // Math. Annalen. 1994. Vol. 300, no. 1. P. 463Ц520; Delbaen F., Schachermayer W. The fundamental theorem of asset pricing for unbounded stochastic processes // Math. Annalen. 1998. Vol. 312, no. 2. P. 215Ц250.
Karatzas I., Kardaras C. The numraire portfolio in semimartingale financial models // Finance Stoch.
2007. Vol. 11, no. 4. P. 447Ц493.
Fllmer H. and Kramkov D. Optional decomposition under constraints // Probab. Theory Relat. Fields.
1997. Vol. 109, no. 1, P. 1-извольным числом первичных активов. Условие замкнутости по Фату выполняется в модели рынка с конечным числом активов, в том числе при наличии ограничений t Bt, где Bt Ч случайные выпуклые конусы с замкнутыми проекциями tBt.
Обозначим через D и De множества супермартингальных плотностей e и эквивалентных супермартингальных плотностей для W+, а через M Ч можество эквивалентных супермартингальных мер.
Теорема 11 (о существовании эквивалентной супермартингальной плотности). Пусть множество случайных процессов W удовлетворяет аксиомам (A) - (D). Тогда NUPBRs NFLVRs De = .
Доказательство теоремы 11 опирается на теорему Крепса-Яна для пространства L с топологией нормы, доказанную в работе [3] и позволяющую установить наличие строго положительной разделяющей меры (в смысле определения42), являющейся, однако, лишь конечно-аддитивной. С использованием рассуждений43 отсюда удается вывести существование эквивалентной супермартингальной плотности.
Теорема 12 (о существовании эквивалентной супермартингальной меры).
Пусть множество случайных процессов W удовлетовряет условиям (A) - (D) и замкнуто по Фату. Тогда e NA и NUPBRs NFLVR NFLs M = .
Принципиальный момент доказательства теоремы 12 состоит в обосновании -слабой замкнутости в L конуса C при выполнении условия NFLVR.
При этом существенно используется результат теоремы 11 о существовании эквивалентной супермартингальной плотности. Этим предлагаемый метод отличается от известного подхода, развитого в работах Шахермайера и Делбаена, где подобные утверждения выводятся непосредственно из условий безарбитражности.
-Процесс 0 < V W1,+ назовем эталонным, если V является супермартингальной плотностью для W+. Данный процесс определяется однозначно и является относительно log-оптимальным:
E ln(Wt/Vt) 0, W W1,+.
Исследованию таких процессов посвящена обширная литература, берущая начало от44. Свойство эталонности log-оптимальных портфелей впервые отмечено в45. Дальнейшие сведения об эталонных портфелях (в англоязычной Kabanov Yu.M. Arbitrage theory // Handbook of mathematical finance. Option pricing, interest rates and risk management / Ed. by Jouini E., Cvitani J., Musiela M. Ч Cambridge: Cambridge University Press, 2001. Ч P. 3Ц42.
Karatzas I., itkovi G. Optimal consumption from investment and random endowment in incomplete semimartingale markets // Ann. Appl. Probab. 2003. Vol. 31, no. 4. P. 1821Ц1858.
Kelly J.R. A new interpretation of information rate // Bell. Syst. Techn. J. 1956. Vol. 35. P. 917Ц926.
Long J.B. The numraire portfolio // J. Financial Economics. 1990. Vol. 26. P. 29Ц69.
итературе для них используется термин numraire portfolio) можно найти в работах Бешерера (2001), Каратзаса и Кардараса (2007), Кристенсена и Ларсена (2007), в монографии Платена и Хиса (2006), в диссертации Кристенсена (2005).
Теорема 13 (о верхней цене хеджирования). Пусть множество W, удовлетворяющее аксиомам (A) - (D), замкнуто по Фату и De = . Тогда для любых a R+ и g L0 следующие условия эквивалентны:
+ (a) существует стратегия W W+: W0 = a, W g;
(b) sup E(gY) a.
Y D Теорема 14 (об эталонном процессе). Пусть множество W, удовлетворяющее аксиомам (A) - (D), замкнуто по Фату и De = . Тогда существует -единственный процесс V W1,+ такой, что V De.
В заключительной части главы 7 затрагивается вопрос о существовании эквивалентных мартингальных плотностей. В модели с конечным числом активов условия существования эквивалентных супермартингальной и мартингальной плотностей равносильны. Однако, при наличии счетного числа активов это не так: построен пример одношаговой модели со счетным числом активов, в которой существует эквивалентная супермартингальная плотность, но не существует эквивалентной мартингальной плотности и эквивалентной супермартингальной меры. Этот же пример показывает, что условие замкнутости по Фату множества W в теореме 12 не может быть опущено.
В главе 8 рассматривается теорема Крепса-Яна, которая, как уже отмечалось, играет важную роль в обосновании результатов главы 7. Пусть X, Y Ч пара банаховых пространств в двойственности, и X наделено локально выпуклой топологией , согласованной с указанной двойственностью.
Пусть X+ X Ч -замкнутый отмеченный конус (т.е. X+ (-X+) = {0}).
Элемент Y называется строго положительным, если x, > 0 для всех x X+\{0}.
Несколько модифицируя терминологию46, будем говорить, что упорядоченное топологическое пространство (X, , X+) обладает свойством КрепсаЯна, если для любого -замкнутого выпуклого конуса C X, удовлетворяющего условиям C X+ = {0}, -X+ C, существует строго положительный элемент g X такой, что его ограничение на C неположительно: x, g 0, x C.
Jouini E., Napp C., Schachermayer W. Arbitrage and state price deflators in a general intertemporal framework // J. Math. Econom. 2005. Vol. 41, no. 6. P. 722Ц734.
Говорят, что топологическое пространство (X, ) обладает свойством Линделёфа, если из любого его -открытого покрытия можно выделить счетное подпокрытие. Для слабой линделёфовости пространства X достаточно выполнения любого из следующих условий: (a) X рефлексивно, (b) X сепарабельно, (c) X слабо компактно порождено.
Теорема 15. Пусть пространство (X, (X, Y ), X+) обладает свойством Линделёфа и на нем существуют строго положительные функционалы.
Тогда для любой топологии , согласованной с двойственностью X, Y, пространство (X, , X+) обладает свойством Крепса-Яна.
Доказательство данного результата изложено в з8.1. Очень близкий результат содержится в работе47, где вместо свойства Линделёфа было использовано следующее условие, концептуально связанное с теоремой ХалмошаСэвиджа. Для любого семейства неотрицательных функционалов {}I Y существует счетное подсемейство { } со следующим свойством: если i i=для x X+\{0} существует I такое, что x, > 0, то x, > 0 для i некоторого i.
Пространство L с топологией нормы обычно не обладает свойством Линделёфа. Тем не менее, как показано в [3], имеет место следующий результат (другое его доказательство независимым образом получено в работе48).
Теорема 16. Пространство L(, F, P), наделенное топологией нормы и естественным упорядочением, порожденным конусом L(, F, P), облада+ ет свойством Крепса-Яна.
С другой стороны, показывает пример 2.1 работы49, пространство как l1(R+) = {(ft)tR : |ft| < } не обладает свойством Крепса-Яна.
+ tR+ При этом строго положительные функционалы на l1(R+) существуют. Заме+ тим, что l1(R+) является банаховым идеальным пространством на (R+, 2R, ), где Ч считающая мера на R+. Данная мера не является -конечной.
Указанный пример подчеркивает точность основного результата работы [10], который показывает, что -конечность меры гарантирует выполнение свойства Крепса-Яна для любого банахова идеального пространства на (, F, ). Доказательство этого результата приводится в з8.3.
Теорема 17. Пусть X Ч банахово идеальное пространство на (, F, ) с конусом неотрицательных элементов X+ = {x X : x 0}. Если мера является -конечной, то пространство (X, , X+), где Ч топология нормы, обладает свойством Крепса-Яна.
Jouini E., Napp C., Schachermayer W. Arbitrage and state price deflators in a general intertemporal framework // J. Math. Econom. 2005. Vol. 41, no. 6. P. 722Ц734.
Cassese G. Yan theorem in L with applications to asset pricing // Acta Math. Appl. Sin. Engl. Ser.
2007. Vol. 23, no. 4. P. 551Ц562.
Jouini E., Napp C., Schachermayer W. Arbitrage and state price deflators in a general intertemporal framework // J. Math. Econom. 2005. Vol. 41, no. 6. P. 722Ц734.
В главе 9 рассматривается обобщение модели большого финансового рынка, введенной в работе Кабанова и Крамкова (1994). В данной модели предполагается, что на n-м малом рынке дисконтированные цены акd(n),n 1,n n тивов описываются векторным семимартингалом St = (St,..., St ), t [0, T (n)], T (n) < . Разумеется, каждому n соответствует свое фильтроn ванное вероятностное пространство (n, F, Pn, (Ftn)0tT (n)). Любой элеn мент множества X неотрицательных процессов-капиталов, порожденных стратегиями торговли, является суммой неслучайного начального капитала и векторного стохастического интеграла по Sn. Число d(n) активов и горизонт планирования T (n) могут неограниченно возрастать при n .
Следуя50, будем говорить, что на большом рынке Х нет асимптотического арбитража (NAA), если из условий Xn n n n X, X0 0 вытекает, что lim supn Pn(XT 1) = 0;
Х имеется сильный асимптотический арбитраж (SAA), если n lim sup Pn(XT 1) = n n n для некоторой последовательности Xn X такой, что X0 0.
Более точно, в терминологии указанной работы мы рассматриваем арбитраж первого рода.
Последовательность (Pn) называется контигуальной относительно последовательности (Qn) (обозначение: (Pn) (Qn)), если из условия Qn(An) n 0, An FT вытекает, что Pn(An) 0. Последовательности (Pn), (Qn) называются полностью (асимптотически) разделимыми (обозначение: (Pn) (Qn)), если существуют последовательность натуральных чисел nk и nk k k k k k множества An FT такие, что Pn (An ) 1 и Qn (An ) 0, k .
В работах51 критерии выполнения условий NAA и SAA выражены в терминах контигуальности и полной разделимости некоторых последовательностей вероятностных мер. В работе [8], результаты которой излагаются в главе 9, показано, что свойства безарбитражности большого рынка полностью определяются асимптотическим поведением последовательности эталонных портфелей (numraire portfolios), построенных для малых рынков. При этом Кабанов Ю.М., Крамков Д.О. Большие финансовые рынки: асимптотический арбитраж и контигуальность // Теор. вероятн. и ее примен. 1994. Т. 39, № 1. С. 222Ц229; Kabanov Yu.M., Kramkov D.O.
Asymptotic arbitrage in large financial markets // Finance Stoch. 1998. Vol. 2, no. 2. P. 143Ц172.
Кабанов Ю.М., Крамков Д.О. Большие финансовые рынки: асимптотический арбитраж и контигуальность // Теор. вероятн. и ее примен. 1994. Т. 39, № 1. С. 222Ц229; Klein I., Schachermayer W. Asymptotic arbitrage in non-complete large financial markets // Probab. Theory Appl. 1996. Vol. 41. P. 927Ц934; Klein I., Schachermayer W. A quantitative and a dual version of the Halmos-Savage theorem with applications to mathematical finance // Ann. Probab. 1996. Vol. 24, no. 2. P. 867Ц881; Kabanov Yu.M., Kramkov D.O.
Asymptotic arbitrage in large financial markets // Finance Stoch. 1998. Vol. 2, no. 2. P. 143Ц172.
n делаются минимальные предположения о структуре множеств X капиталов на малых рынках.
n Именно, предполагается, что X - семейство неотрицательных согласованных с (Ftn) случайных процессов, удовлетворяющее условиям n n n n (i) 1 X и X является конусом: если X X и > 0, то X X ;
(ii) существует строго положительный процесс (эталонный портфель) n n n V X1n := {Xn X : X0 = 1} n n такой, что Xn/V является Pn-супермартингалом для всех Xn X.
n Пусть Qn = (VT )-1 Pn Ч cуб-вероятностная мера (0 Qn(An) 1) с n Pn-плотностью (VT )-1. Определения асимптотического арбитража и сильного асимптотического арбитража в рассматриваемой модели формулируются так же, как и выше. Определения контигуальности и разделимости очевидным образом переносятся на случай суб-вероятностных мер Qn.
Теорема 18. В модели большого рынка справедливы соотношения:
n n NAA (Pn) ((VT )-1 Pn) lim lim inf EP (VT )- = 1;
n n n n SAA (Pn) ((VT )-1 Pn) > 0 : lim inf EP (VT )- = 0.
n n Более полный список эквивалентных условий представлен в з9.1. Отметим, что требование существования эталонных портфелей оказывается единственным нетривиальным условием, касающимся структуры малых рынков, позволяющим дать указанную выше характеризацию условий NAA и SAA.
В то же время, оно не является ограничительным, поскольку в традиционной семимартингальной модели рынка с конечным набором акций и конечным временным горизонтом существование эталонного портфеля выте кает из существования эквивалентной локальной мартингальной (или даже -мартингальной) меры для процесса цен (S1,n,..., Sd,n) (см.52).
В з9.2 рассматривается последовательность неполных рынков на конечных вероятностных пространствах. Обозначим через H(P|Q) = EP ln (dP/dQ) энтропию P относительно эквивалентной меры Q и через P(Sn) Ч множество эквивалентных мартингальных мер на n-м малом рынке.
Karatzas I., Kardaras C. The numraire portfolio in semimartingale financial models // Finance Stoch.
2007. Vol. 11, no. 4. P. 447Ц493; Christensen M.M., Larsen K. No arbitrage and the growth optimal portfolio // Stoch. Anal. Appl. 2007. Vol. 25, no. 1. P. 255Ц280.
Теорема 19. Пусть P(Sn) = . Тогда для любого n существует един ственная мартингальная мера Qn P(Sn) с минимальной обратной эн тропией: H(Pn|Qn) H(Pn|Qn), Qn P(Sn) и выполняются следующие соотношения:
NAA (Pn) (Qn); SAA (Pn) (Qn).
Доказательство цитированных выше результатов Кабанова и Крамкова, Клейн и Шахермайера, касающихся семимартингальных моделей рынков, дано в з9.3. Хотя данные результаты не содержатся в теоремах з9.1, они достаточно непосредственно вытекают из указанных теорем и утверждений53, относящихся к описанию структуры множества супермартингальных мер n для X. Указаны также критерии, аналогичные теореме 19. Вместо эквивалентных мартингальных мер, минимизирующих обратную относительную энтропию, в них входят эквивалентные супермартингальные плотности с теми же свойствами.
В з9.4 мы рассматриваем диффузионные модели рынков. Пусть Wti,n, 1 i m(n) Ч независимые стандартные винеровские процессы и дисконтированные цены рисковых активов подчинены системе стохастических дифференциальных уравнений i,n i,n i,n dSt = St (i,ndt + (t, dWtn)), 1 i d(n), t [0, T (n)], t где предсказуемые случайные процессы i,n, i,n удовлетворяют условиям T (n) i,n |i,n| + |t |2 dt < .
t Предположим также, что d(n) m(n) и ранг матрицы n со строками (i,n)d равен d(n) для всех t, и n. Тогда матрица n(n)T обратима. Пусть i= T (n) вектор n = (n)T (n(n)T )-1n удовлетворяет условию |n|2 dt < п.н.
t Процесс n называют обычно рыночной ценой риска.
Теорема 20. Справедливы соотношения T (n) NAA lim lim sup Pn |n|2dt M = 0;
t M n T (n) SAA lim sup Pn |n|2dt M = 1 для всех M > 0.
t n Kramkov D., Schachermayer W. The asymptotic elasicity of utility functions and optimal investment in incomplete markets // Ann. Appl. Probab. 1999. Vol. 9, no. 3. P. 904Ц950; Delbaen F., Schachermayer W. The fundamental theorem of asset pricing for unbounded stochastic processes // Math. Annalen. 1998. Vol. 312, no. 2. P. 215Ц250; Kabanov Yu.M., Stricker Ch. On equivalent martingale measures with bounded densities // Lecture Notes in Math. Berlin: Springer, 2001. Vol. 1755. P. 139Ц148. Sminaire de Probabilits XXXV.
Полученные критерии, фактически, имеют тот же вид, что и в работе54.
Однако класс рассматриваемых здесь моделей шире, поскольку мы не накладываем условия существования эквивалентных локальных мартингальных мер на малых рынках.
В з9.5 рассматривается рынок с дискретным временем и бесконечным горизонтом. Предполагается, что имеется только один рисковый актив, дисконтированная цена которого определяется рекуррентным соотношением Sn = Sn-1(1 + Rn), Rn = exp(n - n/2 + nn) - 1, n 1; S0 = 1.
Здесь k R, k > 0 Ч неслучайные последовательности и (k) Ч поk=следовательность независимых случайных величин, имеющих стандартное нормальное распределение. Рассматриваемая модель большого рынка соответствует последовательности малых рынков на временных интервалах [0,..., n]. Положим > 0 и n n k 1() = I{0< (1+)k}, 2() = kI{ > (1+)k}.
1 2 1 n n k k 2 k k=1 k=Пусть n() = 1() + 2(). Установлено, что если (i) (1) < , n n то выполнено условие NAA, (ii) 2 () = для некоторого > 0, то выполнено условие SAA. Ранее было известно55, что выполнения условия (k/k)2 < достаточно для отсутствия асимптотического арбитраk=жа. Получены также следующие критерии.
Теорема 21. Выполнено в точности одно из условий NAA или SAA. Если limk kI{0< (1+)k} = 0 для некоторого (0, 1), то 1 k NAA () < ; SAA () = .
В главе 10 доказано, что разветвленно-выпуклое семейство W неотрицательных случайных процессов обладает эквивалентной супермартингальной плотностью, если и только если множество H неотрицательных случайных величин, мажорируемых значениями элементов W в фиксированные моменты времени, ограничено по вероятности.
Рассмотрим вероятностное пространство (, F, P), наделенное фильтрацией (Ft)tR, удовлетворяющей обычным условиям непрерывности справа + и полноты. Предполагается, что F = (t0Ft) и -алгебра F0 тривиальна с точностью до P-нулевых множеств. Все рассматриваемые далее случайные процессы считаются согласованными с фильтрацией (Ft)tR. Пусть D + Kabanov Yu.M., Kramkov D.O. Asymptotic arbitrage in large financial markets // Finance Stoch. 1998.
Vol. 2, no. 2. P. 143Ц172.
Ширяев А.Н. Основы стохастической финансовой математики. Москва: Фазис, 1998.
Ч множество случайных процессов, траектории которых непрерывны справа и имеют конечные пределы слева P-п.н.
Следуя56, назовем семейство W D неотрицательных случайных процессов разветвленно-выпуклым (fork-convex), если для любых элементов Xi W, i = 1, 2, 3, где X2 > 0, X3 > 0; любого s R+ и любого hs L0 (Fs), + hs 1 процесс Xt2 Xt1 Xt = Xt I[0,s)(t) + Xs hs 2 + (1 - hs) I[s,)(t) Xs Xs принадлежит W.
Как и в главе 7, cлучайный процесс Z D, удовлетворяющий условиям Z0 = 1; Zt > 0, t > 0 и Z = limt Zt > 0 п.н., назовем эквивалентной супермартингальной плотностью для W, если процесс XZ является P-супермартингалом для любого X W.
Теорема 22. Пусть W Ч разветвленно-выпуклое семейство случайных процессов, содержащее 1, и пусть X0 = 1 для всех X W. Множество H = {y L0 : y XT для некоторых X W, T 0} + ограничено по вероятности, если и только если существует эквивалентная супермартингальная плотность для W.
Данный результат имеет ясную интерпретацию в рамках математической теории арбитража. Именно, пусть имеется произвольное индексированное семейство S = (Si)iJ семимартингалов Si D. Через L(S) обозначим множество, элементами которого являются семейства = (i)iJ предсказуемых случайных процессов, удовлетворяющих следующим условиям: (a) i = для i J\I, где I Ч некоторое конечное множество (зависящее от ), (b) определен векторный стохастический интеграл (i)iI по (Si)iI. Указанный интеграл обозначим через S. Введем множество W(S) = {X D : X = 1 + S 0, L(S)}.
Данную конструкцию можно рассматривать как модель рынка с произвольным числом основных рисковых активов. В терминологии главы 7 в рассматриваемой модели рынка выполнено условие отсутствия неограниченной прибыли с ограниченным риском (NUPBR), если соотвествующее W(S) множество H ограничено по вероятности.
Теорема 23. Для выполнения условия NUPBR необходимо и достаточно существования эквивалентной супермартингальной плотности для W(S).
itkovi G. A filtered version of the bipolar theorem of Brannath and Schachermayer // J. Theoret.
Probab. 2002. Vol. 15, no. 1. P. 41Ц61.
В случае конечного числа активов (т.е. конечного множества J) данный результат содержится в работе57, где используется тонкая техника стохастического исчисления. Методы, используемые в диссертационной работе, позволяют дать короткое доказательство теоремы 23 (для произвольного J), основанное лишь на стандартных теоремах функционального анализа и теории мартингалов. Данный результат можно рассматривать как критерий отсутствия асимптотического арбитража на большом финансовом рынке, заданном на фиксированном вероятностном пространстве (как в работе58).
Автор выражает особую благодарность члену-корреспонденту РАН, профессору А.Н. Ширяеву за возможность сделать доклад на Большом семинаре кафедры теории вероятностей МГУ, полезные замечания и рекомендации;
профессору В. Шахермайеру за приглашение на семинар, ценные указания и совместную работу над статьей [4]; профессору Ю.М. Кабанову за приглашение на Третий коллоквиум Башелье и в университет Безансона, интересные дискуссии и гостеприимство.
Публикации по теме диссертации [1] Рохлин Д.Б. Расширенная версия теоремы Даланга-Мортона-Виллинджера при выпуклых ограничениях на портфель // Теория вероятн. и ее примен. Ч 2004. Ч Т. 49, № 3. Ч С. 503Ц521.
[2] Рохлин Д.Б. Задача о мартингальном выборе в случае конечного дискретного времени // Теория вероятн. и ее примен. Ч 2005. Ч Т. 50, № 3. Ч С. 480Ц500.
[3] Rokhlin D.B. The Kreps-Yan theorem for L // Int. J. Math. Math. Sci. Ч 2005. Ч Vol. 2005, no. 17. Ч Pp. 2749Ц2756.
[4] Rokhlin D., Schachermayer W. A note on lower bounds of martingale measure densities // Illinois J. Math. Ч 2006. Ч Vol. 50, no. 4. Ч Pp. 815Ц824.
[5] Rokhlin D.B. Martingale selection problem and asset pricing in finite discrete time // Electron. Commun. Probab. Ч 2007. Ч Vol. 12. Ч Pp. 1Ц8.
[6] Рохлин Д.Б. Теорема о мартингальном выборе для случайной последовательности с относительно открытыми выпуклыми значениями // Мат. заметки. Ч 2007. Ч Т. 81, № 4. Ч С. 614Ц620.
Karatzas I., Kardaras C. The numraire portfolio in semimartingale financial models // Finance Stoch.
2007. Vol. 11, no. 4. P. 447Ц493.
De Donno M., Guasoni P., Pratelli M. Super-replication and utility maximization in large financial markets // Stochastic Process. Appl. 2005. Vol. 115, no. 12. P. 2006Ц2022.
[7] Рохлин Д.Б. Конструктивный критерий отсутствия арбитража при наличии операционных издержек в случае конечного дискретного времени // Теория вероятн. и ее примен. Ч 2007. Ч Т. 52, № 1. Ч С. 41Ц59.
[8] Rokhlin D.B. Asymptotic arbitrage and numraire portfolios in large financial markets // Finance Stoch. Ч 2008. Ч Vol. 12, no. 2. Ч P. 173Ц194.
[9] Рохлин Д.Б. Эквивалентные супермартингальные плотности и меры в моделях рынков с дискретным временем и бесконечным горизонтом // Теория вероятн. и ее примен. Ч 2008. Ч Т. 53, № 4. Ч С. 704Ц731.
[10] Рохлин Д.Б. Теорема Крепса-Яна для банаховых идеальных пространств // Сиб. мат. журн. Ч 2009. Ч Т. 50, № 1. Ч С. 199Ц204.
[11] Рохлин Д.Б. Нижние оценки плотностей мартингальных мер в теореме Даланга-Мортона-Виллинджера // Теория вероятн. и ее примен. Ч 2009. Ч Т. 54, № 3. Ч С. 492Ц514.
[12] Рохлин Д.Б. Расширенная версия первой фундаментальной теоремы финансовой математики при конических ограничениях на портфель // Обозр. прикл. и промышл. матем. Ч 2002. Ч Т. 9, № 1. Ч С. 131Ц132.
[13] Рохлин Д.Б. Критерий отсутствия асимптотического бесплатного ленча на конечномерном рынке при выпуклых ограничениях на портфель и выпуклых операционных издержках // Сиб. журн. индустр. мат. Ч 2002. Ч Т. 5, № 1. Ч С. 133Ц144.
[14] Рохлин Д.Б. Задача о мартингальном выборе в случае конечного вероятностного пространства // Обозр. прикл. и промышл. матем. Ч 2004. Ч Т. 11, № 4. Ч С. 913Ц914.
[15] Рохлин Д.Б. Критерий отсутствия арбитража в дискретной модели рынка ценных бумаг при выпуклых ограничениях на портфель // Сиб.
журн. индустр. мат. Ч 2004. Ч Т. 7, № 1. Ч С. 95Ц108.
[16] Рохлин Д.Б. Теорема о C-мартингальном выборе // Обозр. прикл. и промышл. матем. Ч 2006. Ч Т. 13, № 4. Ч С. 713Ц714.
[17] Рохлин Д.Б. О критериях безарбитражности больших финансовых рынков // Обозр. прикл. и промышл. матем. Ч 2007. Ч Т. 14, № 1. Ч С. 143Ц144.