Авторефераты по всем темам >>
Авторефераты по физике
САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ На правах рукописи
ЮРОВ Артем Валерианович
ИССЛЕДОВАНИЕ КОСМОЛОГИЙ СКАЛЯРНОЙ МАТЕРИИ МЕТОДОМ СПЕКТРАЛЬНОГО ДИЗАЙНА
Специальность: 01.04.23 - физика высоких энергий
АВТОРЕФЕРАТ
диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук
Санкт-Петербург 2007
Работа выполнена на кафедре теоретической физики Российского государственного университета им. И. Канта
Официальные оппоненты:
доктор физико-математических наук АНДРИАНОВ Александр Андреевич доктор физико-математических наук КАМЕНЩИК Александр Юрьевич доктор физико-математических наук МАНДЖАВИДЗЕ Иосеб
Ведущая организация:
Математический институт им. В.А. Стеклова Российской Академии наук (г.
Москва)
Защита состоится Ф25Ф октября 2007 г. в ____ час. на заседании диссертационного совета Д 212.232.16 по защите диссертаций на соискание ученой степени доктора физико-математических наук при СанктПетербургском государственном университете по адресу: 199034, СанктПетербург, Университетская набережная, д. 7/9.
С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке СанктПетербургского государственного университета.
Автореферат разослан Ф__Ф __________ 2007 г.
Ученый секретарь диссертационного совета: Власников А.К.
Актуальность темы. Одним из важнейших открытий в физике и космологии последних лет является обнаружение феномена Фтемной энергииФ. Изучение сверхновых типа Ia продемонстрировало, что в среднем убывание яркости происходит быстрее, чем это должно происходить в рамках модели Фридмана, описывающей расширение вселенной, заполненной преимущественно барионным веществом, с параметром адиабатичности , равным единице (или w = - 1 = 0). Такое дополнительное потускнение означает наличие эффективной добавки расстояния, что, в свою очередь, может быть объяснено наличием положительного ускорения у космологического расширения [1]. Во фридмановской вселенной, темная энергия, приводящая к такому динамическому режиму, описывается уравнением состояния с w = p/(c2) < -1/3, т.е. приводит к отрицательному давлению, причем не меньше чем 70 процентов содержимого вселенной оказывается Фтемной энергиейФ.
В настоящее время центральным является вопрос о физической природе темной энергии. Обычно различают два варианта возможных ответов: темная энергия является физическим (например скалярным) полем неизвестной природы (модель квинтэссенции или k-эссенции) или она является проявлением действия положительной энергии гравитирующего вакуума (модель космологической постоянной или -члена).
Астрономические наблюдения свидетельствуют, что величина w лежит достаточно близко к минус единице, но, вероятно, не совпадает с ней в точности, оставаясь немного меньше [2]. Другими словами, параметр адиабатичности 0 и 0. Если = 0 (w = -1), то темная энергия является положительной космологической постоянной. Если же < 0 (w < -1), то темная энергия оказывается проявлением существенно новой космологической составляющей содержимого вселенной:
так называемой ФфантомнойФ или Фпризрачной энергииФ.
Наличие фантомной энергии приводит к целому ряду фундаментальных следствий. Во-первых, фантомная энергия нарушает условие энергодоминантности. В рамках моделей квинтэссенции, фантомная энергия описывается как некоторое скалярное поле с отрицательным (духовым) кинетическим членом. Следует подчеркнуть, что появление полей с духовым кинетическим членом вполне естественно в рамках полевой теории струн. Так, эволюция неэкстремальной D-браны описывается как переход из нестабильного в стабильное состояние за счет динамики открытой фермионной струны, концы которой закреплены на бране. В низшем, тахионном возбуждении используется метод обрезания по уровням [3], что в приближении медленно меняющегося вспомогательного поля приводит к действию, определяющем интегральные уравнения движения, содержащие роллинговое решение. В свою очередь, поведение такого решения на больших временах эффективно описывается лагранжианом с духовым знаком кинетического члена, который в космологическом приближении описывает скалярную материю с фантомным уравнением состояния w < -1.
Рост плотности энергии фантомной энергии в процессе расширения вселенной показывает, что эффекты квантовой гравитации, которые обычно считались существенными окрест начальной или финальной космологической сингулярности a 0, могут стать доминирующими на поздних стадиях эволюции вселенной, причем не на планковских, а на макроскопических масштабах. В свою очередь, возможность проявления эффектов квантовой гравитации на мегауровне приводит к возможности нарушения причинности на макроскопических масштабах. Наконец, скорость расширения вселенной, в которой доминирует фантомная энергия растет настолько быстро, что через конечное время после начала ускорения, компоненты тензора кривизны становятся бесконечными. Возникает финальная сингулярность совершенно нового типа, соответствующая не нулевому, а бесконечно большому значению масштабного фактора [4]. Этот новый тип сингулярности получил название Фбольшого разрываФ. Следует отметить, что наличие скалярной материи с фантомным уравнением состояния не всегда приводит к сингулярности большого разрыва. Например, проведенный в [5] анализ вышеупомянутых роллинговых решений показал, что динамика такой вселенной не приводит к сингулярности большого разрыва, а выходит на асимптотику решения Де Ситтера. Вместе с тем, можно показать, что при определенных значениях параметров модели, в ней оказывается возможным явление, получившее название Фбольшого переходаФ (big trip). Принципиальную роль в этом сценарии будущей эволюции вселенной играют решения уравнений Эйнштейна, известные как кротовые норы или ФкротовиныФ. Хорошо установлено, что такие решения являются неустойчивыми по отношению к квантовым поправкам и требуют для своей стабилизации нарушения условия энергодоминантности внутри горловины (например, за счет использования эффекта Казимира). Ситуация меняется при рассмотрении вселенной, заполненной фантомной энергией, которая сама по себе нарушает это условие. Расчеты показывают, что фантомная энергия стабилизирует кротовые норы и более того, аккреция фантомной энергии приводит к гиперболическому росту размера горловины (в сферически симметричном случае) кротовых нор. Эта скорость настолько велика, что через конечное время, размер горловины оказывается бесконечным, причем этот момент предшествует появлению сингулярности большого разрыва.
В этих услових вся породившая кротовую нору вселенная оказывается внутри горловины.
Дальнейшая эволюция вселенной в такой картине сводится к перемещению вселенной как целого внутри гигантской кротовые норы в Фпрошлое Ф или ФбудущееФ. Изучение возможных режимов такого большого перехода показывает, что вполне допустима ситуация, при которой вселенная, проходя через гигантскую кротовину, избегает области сингулярности большого разрыва. Более того, как показали исследования, в этом случае космологические горизонты событий не возникают, а значит исчезает и проблема формулировки фундаментальной теории (Мтеории), основанной на формализме S-матрицы. Поэтому, пространствовремя, описанное выше, несмотря на всю свою необычность, а стало быть и такие экзотические объекты, как кротовые норы и фантомная энергия, могут оказаться принципиально необходимыми для самой возможности математически корректной формулировки М-теории.
Все вышесказанное подчеркивает актуальность изучения космологических моделей, содержащих фантомную энергию, как для космологии, так и для исследований, посвященных разработке и построению гипотетической М-теории.
Как отмечалось, астрономические данные не позволяют пока определить адиабатический индекс с достаточной точностью. Близость его величины к нулю (т.е. w = -1) делают популярными и актуальными исследование космологических моделей, в которых роль темной энергии играет простейший вид скалярной материи - положительная космологическая постоянная. Такие модели, являясь на первый взгляд более реалистичными, чем теории с фантомной энергией тем не менее страдают от трех весьма фундаментальных трудностей:
1. Наиболее известна проблема малости космологической постоянной, суть которой в том, что если ускорение вселенной действительно вызвано наличием ненулевого -члена в уравнениях Эйнштейна, то это означает наличие ненулевой плотности энергии гравитирующего вакуума. Проблема же заключается в том, что наблюдаемое значение этой плотности 0.7 10-29 г/см3 на пятьдесят порядков меньше, чем теоретически ожидаемое значение.
2. Проблема космических совпадений, заключается в том, что наблюдаемые плотности вакуумной энергии, темной материи и барионного вещества по порядку величины совпадают.
3. Наличие положительной космологической постоянной означает наличие режима де Ситтера, что плохо согласуется с существующими струнными моделями. В настоящее время найдено много точных анти-де Ситтеровских решений с отрицательной величиной космологической постоянной, однако найти де Ситтеровские решения в рамках теории струн оказалось неожиданно сложно.
Опуская третью проблему, как относящуюся к компетенции теории струн, отметим, что первые две получают достаточно удовлетворительное объяснение в рамках использования антропного принципа и космологического мультиверса. Хотя такой подход выглядит достаточно перспективным, тем не менее не прекращаются многочисленные попытки получить малую величину космологической постоянной более традиционным для физики способом, без использования антропного принципа, особенно в его сильной формулировке.
Продуктивным примером является использование моделей содержащих т.н. браны и макроскопически большие дополнительные измерений.
Гипотеза о том, что размерность пространства-времени может отличаться от (1+3) применялась ранее для построения теории расширенной супергравитации, которая содержала бы группу симметрий достаточную для описания феноменологии сильных и электрослабых взаимодействий (SU(3)SU(2)U(1)). В рамках этих исследований предполагалось, что дополнительные измерения образуют компактное многообразие планковского масштаба. Разложение по собственным функциям последнего лежит в основе метода размерной редукции, который является геометрическим способом унификации различных взимодействий (модели КалузыКлейна).
Позднее выяснилось, что наличие дополнительных измерений является необходимым для существования физически содержательной теории струн. Новым обстоятельством, специфичным именно для струнных моделей, явилось открытие возможности существования макроскопических, а не только планковских дополнительных измерений. Это открытие позволило предложить новый способ решения проблемы иерархий. Ключевая идея здесь следующая: рассматривается трехмерная брана вложенная во внешнее объемлющее пространство размерности D, для которого используется термин bulk. Для получения четырехмерного (включая время) действия на бране следует проинтегрировать D-мерное действие по координатам объемлющего пространства. В результате, в простейшем случае эффективная четырехмерная гравитационная постоянная G4 получается делением D + 4-мерной G на соответствующий D-мерный D+объем, что, при достаточно большой величине макроскопических измерений способно привести к аномально малой величине G4.
Аналогично может быть решена проблема малости космологической постоянной: предположим, что пространственный объем bulk-пространства конечен и характеризуется масштабом d. Обычно на объемлющее пространство накладывается геометрия орбиобразия и условия сшивки Израэля. Исследования показывают, что при этом эффективная величина четырехмерной космологической постоянной на бране оказывается связанной с D + 4-мерной космологической постоянной посредством множителя типа e-d, что дает естественное решение фундаментальной проблемы 1.
Более тщательный анализ проблемы показал, что геометрические конфигурации описанного вида, вообще говоря, неустойчивы, но могут быть стабилизированы путем введения дополнительного скалярного поля в объемлющее пространство. Соответствующие модели, в свою очередь, столкнулись с той трудностью, что полевые уравнения приводили, в том числе, к сингулярным решениям, как в объемлющем пространстве, так и на бране. Поэтому, весьма актуальной стала задача развития эффективного математического формализма, позволяющего строить регулярные устойчивые решения, приводящие к экспоненциально подавленному значению четырехмерной космологической постоянной на бране.
Решение этой проблемы возможно позволит ответить на фундаментальный вопрос о малости космологической постоянной, не используя рассуждений основанных на антропном принципе.
Основные задачи. Диссертационная работа направлена на исследование космологических моделей со скалярной материей, описывающих темную энергию с w -1, которые согласовывались бы с набором наблюдаемых данных (величиной параметра Хаббла, величиной космологического ускорения), а также последствий возможного существования областей пространства-времени с нарушенным условием энергодоминантности для космологии и теоретической физики. В соответствии с результатами астрономических наблюдений подробному изучению были подвергнуты только две модели: (I) модель фантомной энергии с отрицательным параметром адиабатичности и (II) модель с положительной космологической постоянной ( = 0). Центральную роль в исследовании аналитических решений, предпринятом в работе, играет метод спектрального дизайна, развитие и обобщение которого являлось необходимым условием для реализации данной программы. В соответствии с вышеуказанным, основные задачи диссертационной работы состояли в следующем:
1. Исследование явления пересечения фантомной зоны (гладкаяй фантомизация).
2. Изучение новых космологических решений (одного в обычной фридмановской космологии, а второго на бране Рэндал-Сэндрум I с доминированием фантомной энергии) содержащих две сингулярности типа Фбольшой разрывФ. Анализ соответствия этих решений данным астрономических наблюдений.
4. Исследование эффектов Фбольшого переходаФ, Фгигантских черных дырФ и возникновения замкнутых времениподобных кривых в решениях такого типа. В частности изучался вопрос: проявляются ли указанные феномены только окрест сингулярности будущего или они могут существовать около обеих сингулярностей.
5. Анализ зависимости формирования плоского спектра флуктуаций скалярного поля в процессе тахионной неустойчивости от формы потенциала.
6. Задача восстановления формы потенциала самодействия скалярного поля по однопетлевому потенциалу, используемому для расчета вакуумных флуктуаций.
7. Исследование особенностей спектра квантовых флуктуаций около классических решений, порожденных наличием пространственно-временной некоммутативности, особенно для сингулярных решений, характерных для космологических моделей с сингулярностью большого разрыва.
8. Построение регулярных решений с подавленной величиной космологической постоянной на видимой бране при наличии пятимерного объемлющего пространства, заполненного стабилизирующим скалярным полем.
9. Развитие метода одевающих цепочек дискретных симметрий (используемых, в частности при решении задачи 8) для многомерных моделей и генерация новых интегрируемых (1+2) иерархий.
10. Построение изоспектральных симетрий для линейных уравнений с мояловским умножением, используемых в задаче 7.
11. Использование многомерных преобразований Дарбу для построения и изучения локализованных несингулярных решений (1+2) нелинейных моделей (ДС, БЛП). Построение йордановых обобщений уравнений ДэвиСтюартсона.
12. Изучение обобщения преобразований Бэклунда, которые были бы эффективны для неинтегрируемых моделей, не допускающих пару Лакса, на примере уравнений двумерной гидродинамики.
Методы исследования. Особенностью данного диссертационного исследования является широкое использование преобразований Дарбу ([6], [7]) для построения точных решений исследуемых уравнений.
Преобразование Дарбу (ПД) для одномерного уравнения Шредингера представляет собой конкретную реализацию метода факторизации, позволяющего строить одни ФинтегрируемыеФ потенциалы из других. При этом существуют эффективные рецепты нахождения спектра и собственных функций соответствующих гамильтонианов. В частности, чрезвычайно просто соотношение между дискретными спектрами двух гамильтонианов с несингулярными потенциалами, которые связаны однократным ПД: эти спектры могут либо отличаться на один (нижний) уровень, либо полностью совпадать. Именно последнее обстоятельство приводит к возможности явной реализации суперсимметричных (двойное вырождение) и парасуперсимметричных (тройное вырождение) моделей.
Использование метода преобразования Дарбу (метода факторизации, суперсимметричного подхода или спектрального дизайна (в оригинале spectral design [8]) уже давно является весьма эффективным в теории ядра. Следует отметить, что в задачах ядерной физики, как правило, используется радиальное уравнение Шредингера, применение к которому преобразований Дарбу является нетривиальной процедурой с точки зрения спектральной задачи. Этот вопрос был тщательно исследован в работах [9].
Отметим, что поскольку речь идет о задаче на полупрямой, использование обычного ПД не является эффективным. Например, однократное ПД с волновой функцией основного состояния в качестве опорной, не приводит к удалению одного уровня, а искажает весь спектр. Тем не менее можно развить технику двух последовательных преобразований, не меняющих в конечном счете фазовых сдвигов. Интересно, что дважды преобразованный квантовомеханический потенциал V2 выражается через исходный (V0) и единственное решение исходного уравнения (в теории интегрируемых на прямой систем такие преобразования называются бинарными преобразованиями Дарбу). Именно необходимость модификаций такого рода для практических расчетов в теории ядерной материи делают оправданным использование термина Фспектральный дизайнФ вместо привычных ПД или преобразований суперсимметрии. Наконец отметим, что потенциалы V0 и V2 называют фазово-эквивалентными.
В качестве примера использования спектрального дизайна в ядерной физике можно привести работы [10], в которых идеи суперсимметрии (в том числе нарушенной) использовались для объяснения обнаруженного ранее (см. [11]) явления, согласно которому для сильно деформированных ядер с массовыми числами A и A + 1 определенная доля лучей обладает практически одинаковой энергией (на уровне 1:1000; такой способ решения потребовал однако дополнительного условия, суть которого сводится к предположению о том что состояния ядер с A + 1 образуют вырожденный дублет с j = J 1/2, где J целый момент ядра с четным числом A, а j полуцелый момент ядра с A + 1.).
Другим интересным применением метода спектрального дизайна является изучение однонейтронной оболочечной модели Be, которая описывается как двухчастичная система, состоящая из точечного ядра и нейтрона. В качестве первого приближения используется ядро Be с одним связанным нейтроном, причем внутренняя структура Be моделируется модифицированным потенциалом, содержащим спин-орбитальное слагаемое. При специальном выборе параметров такой потенциал моделирует энергии двух физических связанных состояний Be: 1s1/2 (Eexp = -0.503 МэВ) и 0p1/2 (Eexp = -0.183 МэВ). Однако при этом возникают два дополнительных связанных состояния: 0s1/2 и 0p3/2, соответствующие нефизическим (запрещенным) орбиталям s1/2 и p3/2, которые можно удалить путем использования двойного преобразования Дарбу. Суть метода спектрального дизайна в контексте обсуждаемой задачи сводится к построению суперсимметрично-эквивалентного потенциала с двумя физическими связанными состояниями Be и фазовыми сдвигами Be + n, но уже без запрещенных состояний [12]. Использование метода спектрального дизайна для построение фазово-эквивалентных потенциалов позволяет получать достаточно простые модели, которые тем не менее приводят к качественному согласию с результатами, полученными при анализе более сложных и реалистичных гамильтонианов. Эффективность этого подхода была продемонстрирована на примере 3-модели 12 C, на примере изучения ядра Li, а также для систем + + N. Фазо16 вая эквивалентность также обсуждалась для O + + n модели Ne и при исследовании пионного распада гиперъядра He [13].
Отметим в заключение, что изучение важных в практическом приложении задач при наличии N связанных каналов требует обращения к матричному уравнению Шредингера. Хотя общие теоремы о дарбуковариантности для линейных дифференциальных уравнений произвольного порядка с матричными коэффициентами были доказаны еще в докторской диссертации В.Б. Матвеева, спектральные свойства этих преобразований до сих пор недостаточно изучены. По этой причине развитие метода спектрального дизайна для общего случая N связанных каналов имеет чрезвычайно важное значение в развитии теории атомного ядра.
Возвращаясь к задачам на прямой, отметим, что преобразование Дарбу дает унифицированный подход ко многим известным алгебраическим методам интегрирования: технике вторичного квантования, лестничным операторам, возникающим при построении неприводимых представлений группы R3 и т.д. В результате имеется простой, но удобный метод получения важных в приложениях соотношений между различными специальными функциями (полиномы Эрмита и Лежандра, гипергеометрическая функция и др.).
Не будет преувеличением сказать, что все известные примеры потенциалов уравнения Шредингера, для которых известны аналитические решения, могут быть получены с помощью ПД двумя способами: или путем применения ПД к известному интегрируемому потенциалу (например, к нулевому, в случае безотражательных, солитонных потенциалов) или комбинацией последовательности ПД и дополнительного условия гарантирующего форм - инвариантность (см. например [14]). Для реализации второго способа удобно использовать не ПД в стандартном виде, а одевающие цепочки дискретных симметрий [15]. Наложение условия замыкания на цепочки содержащие N ФзвеньевФ позволяет единым образом получать интегрируемые потенциалы, начиная от гармонического осциллятора и кончая потенциалами выражающимися через трансценденты Пенлеве и их обобщения.
Широкая распространенность ПД связана с тем обстоятельством, что любое линейное уравнение вида N k = Ak(x, t), (1) t xk k=где = (x, t) и Ak(x, t) - матричные функции, допускает такой вид дискретных симметрий. В свою очередь, ряд важных в приложениях нелинейных уравнений могут быть редуцированы в систему уравнений, по крайней мере одно из которых является уравнением типа (1). В частности, нелинейные интегрируемые уравнения типа КдФ, НУШ или ДС сводятся к паре линейных уравнений (пара Лакса). Неинтегрируемые модели, конечно, не допускают такого представления. Однако, следует отметить, что для реализации преобразований типа ПД, часто достаточно наличия одного линейного уравнения и некоторого калибровочного произвола. Например, уравнения Эйнштейна в метрике Фридмана могут быть записаны как система из двух уравнений, одно из которых линейно (см. [16]). Использование ПД для этой системы возможно, благодаря наличию калибровочной свободы (Верещагин, Юров 2004) и позволяет построить множество точных решений, описывающих инфляцию с выходом, а также т.н. Фгладкую фантомизациюФ (Глава 2 данной диссертации). Аналогичным образом были построены точные решения, содержащие две сингулярности типа большой разрыв, которые составляют основной объект исследований Главы 3.
ПД применяются в Главе 4 для изучения формы потенциалов, приводящих к существенно плоскому спектру флуктуаций скалярного поля, а также для доказательства ряда утверждений, которые используются в этой же главе при исследовании проблемы восстановления формы потенциала самодействия скалярного поля по данному однопетлевому потенциалу.
Данный подход оказался эффективным и в пятимерном пространстве, содержащем семейство вложенных бран (Yurov, Yurov 2005). При этом появляется возможность найти аналитическое решение, которое бы естественным образом приводило к экспоненциально подавленной величине космологической постоянной на видимой бране.
Наконец, стоит отметить, что ПД удобно применять в квантовой космологии, как метод построения точных решений уравнения Уилера - Де Витта. В свою очередь, использование бинарных ПД (или цепочек последовательных ПД, выраженных с помощью формул Крама) позволяет найти семейства решений с заданным спектром, но зависящих от набора произвольных параметров.
Другим важным приложением ПД, не связанным с космологической тематикой, является построение точных решений солитонных уравнений и учете их взаимодействия с произвольным фоновым решением (шумом) нелинейной системы. Эффективность ПД в таких задачах связана с тем обстоятельством, что для нахождения новых решений нелинейной задачи требуется знать лишь частные решения системы линейных дифференциальных уравнений, условием совместности которых является исследуемое нелинейное уравнение. Это позволяет с одной стороны, провести детальный учет всех свободных параметров, а с другой - конструировать новые решения, нахождение которых другими методами (например МОЗР) было бы достаточно сложной задачей. Например, простое дополнение классических ПД процедурой дифференцирования по спектральному параметру позволило обнаружить новый тип решений (позитоны) в такой, казалось бы, хорошо изученной модели, как КдФ.
Особенно эффективно использование ПД (и родственных преобразований таких, как преобразования Мутара, Шлезингера, Лапласа) для многомерных моделей, зачастую представляя собой единственный способ построения точных решений соответствующих нелинейных уравнений.
Более того, использование ПД на языке одевающих цепочек дискретных симметрий позволяет обнаружить неожиданные связи между известными интегрируемыми иерархиями. Так, иерархии КдФ, мКдФ, экспоненциального уравнения Калоджеро - Дегаспериса (КД) и эллиптического уравнения КД оказываются связанными с помощью одевающих цепочек дискретных симметрий. Аналогичная связь существует между НУШ и уравнениями цепочки Тоды (эта связь реализуется с помощью другой изоспектральной симметрии - преобразования Шлезингера).
Всё это указывает на возможную плодотворность обобщения метода одевающих цепочек на более сложные многомерные интегрируемые уравнения. Перечислим три основные причины, которые делают, на наш взгляд, изучение и обобщение метода одевающих цепочек актуальными задачами. Во - первых, это открывает возможности для расширения списка интегрируемых эволюционных нелинейных уравнений и, как следствие, может пополнить этот список новыми интегрируемыми моделями. Во - вторых, метод одевающих цепочек позволяет установить связи между (в том числе уже известными) интегрируемыми уравнениями. В третьих, одевающие цепочки строятся с помощью преобразования Дарбу, которое само по себе является эффективным средством для нахождения точных решений нелинейных интегрируемых уравнений.
Использование метода одевающих цепочек в теории нелинейных уравнений, возможно, способно пролить свет на еще одно интересное, но не до конца понятое характерное свойство, которым обладают члены интегрируемых иерархий - свойство Пенлеве. Суть дела - в следующем наблюдении: процедура построения интегрируемых уравнений из одевающей цепочки КдФ приводит к LA-парам, квадратично нелинейным по вспомогательным полям. Например, уравнение мКдФ записывается как условие совместности двух скалярных уравнений, одно из которых - уравнение Риккати. Это означает, что подвижными особенностями вспомогательных полей по переменной x могут быть только полюсы. A -уравнение линейно, поэтому это свойство сохраняется и по переменной t. Вспомогательные поля в свою очередь удовлетворяют уравнению м2КдФ (которое, напомним, после точечной экспоненциальной замены сводится к экспоненциальному уравнению Калоджеро - Дегаспериса). Таким образом, связь уравнения м2КдФ (и значит, всей его иерархии) со свойством Пенлеве становится очевидной, что непосредственно следует из способа построения этого уравнения. То же относится и к иерархии м3КдФ. Следовательно, возникает естественное предположение, что свойство Пенлеве может быть получено как следствие суперсимметричной связи между иерархиями (или, иначе, того факта, что все они порождены одевающими цепочками) и наличием LA-пары (т.е. пары линейных или квадратично нелинейных уравнений, условием совместности которых является исследуемое нелинейное уравнение) для "иерархии-источника например, для иерархии КдФ. Связь свойства Пенлеве с наличием LA-пары и преобразованиями Беклунда известна и используется в методе сингулярных многообразий. Метод одевающих цепочек устанавливает аналогичную связь, но "в обратную сторону": от LA-пар и преобразований Дарбу к свойству Пенлеве, а не наоборот.
Следует отметить, что изучение общей структуры иерархий интегрируемых моделей представляет большой интерес для современной теории струн. Применение обобщенного формализма Редже (триангуляции с фиксированными и одинаковыми длинами сторон треугольников) к двумерной гравитации приводит к матричным моделям, которые, как выяснилось, тесно связаны с иерархиями интегрируемых уравнений. Здесь важны -функции, оказывающиеся эквивалентными непертурбативным статистическим суммам соответствующих моделей. Таким образом, изучение связей существующих между иерархиями означает и изучение связей между непертурбативными статсуммами соответствующих матричных моделей.
Эффективность ПД для одномерного уравнения Шредингера послужила примером для поиска аналогичных преобразований, пригодных для изучения уравнения Дирака. Исследования показали, что для фермиона во внешнем электростатическом поле, зависящем от одной пространственной координаты, четырёхмерное уравнение Дирака редуцируется в систему уравнений Захарова-Шабата, которые лежат в основе интегрирования мКдФ, для которых развивается техника сплетающих операторов [17]. Там же была реализована суперсимметричная алгебра, содержащая ненулевые центральные заряды. В (Yurov 1997) эти результаты были частично обобщены на случай внешнего электромагнитного поля, зависящего от одной пространственной переменной и от времени.
Была проведена редукция в плоскую гиперболическую задачу Захарова Шабата, связанную с теорией уравнений Дэви - Стюартсона ((ДС)), и построены обобщённые формулы Крама. Среди интегрируемых потенциалов этих уравнений существуют конфигурации электромагнитных полей в виде последовательности локализованных импульсов. Эти результаты могут оказаться полезными в задаче о вычислении плотностей фермионных пар, рожденных из вакуума скажем полем лазера описанной конфигурации. Для получения этих плотностей следует на первом шаге найти полный набор ортонормированных решений уравнения Дирака с соответствующими электромагнитными потенциалами. Коэффициенты разложения операторов поля по положительно и отрицательно частотным решениям представляют собой операторы рождения-уничтожения частиц, определённых при t -, (t - время), если внешнее поле адиабатически выключается при t . Гамильтониан диагонализуется (если это возможно) с помощью преобразования Боголюбова. Знание коэффициентов, входящих в это преобразование, позволяет найти плотность числа пар квазичастиц в единице объёма, а из них предельным переходом вычислить число реальных пар, рожденных внешним полем за время его существования. В [18] эти вычисления проведены до конца для внешнего электрического поля в виде одиночного импульса E(t) = E0/ cosh2(kt) и для постоянного электромагнитного поля. Возможность усилить эти результаты списком неоднородных по (одной) пространственной переменной и переменных по времени э/м полей, для которых аналогичная задача может быть также решена в аналитическом виде с помощью ПД (причём, как уже отмечалось, эти поля могут иметь реальный, с точки зрения экспериментатора, смысл) основана на двух наблюдениях:
во-первых, ПД позволяют получить полную систему решений соответствующего уравнения Дирака (ср. с [19], где рассматривается полнота преобразований Мутара для двумерного уравнения Шредингера);
во-вторых, в (Yurov 1997) продемонстрирована возможность построения "интегрируемых"э/м конфигураций, которые удовлетворяют условию адиабатического включения- выключения (оставаясь при этом пространственно локализованными). По - видимому, этих наблюдений достаточно для того, чтобы описанный выше формализм вычисления плотностей пар оказался эффективным и для сложных, неоднородных э/м полей.
Другое неожиданное приложение дискретных преобразований типа ПД - уравнения двумерной гидромеханики несжимаемой жидкости (Li, Yurov 2003), (Юрова, Юров 2006). Хотя эти уравнения не допускают пару Лакса тем не менее, для них можно написать Фаналог ПДФ и использовать его для построения точных решений двумерных уравнений Навье Стокса. Эта задача, актуальность которой невозможно переоценить, тоже рассматривается в тексте диссертации.
ЦИТИРОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА [1] Perlmutter S. et al. Nature 391 (1998) 52; Riess A.G. et al. Astron.
J. 116 (1998) 1009; Sahni V., Starobinsky A.A., IJMPD 9 (2000) 373.
[2] Hannestad S. and Mortsell E. Phys. Rev. D66 (2002) 063508; Tegmark M.et al. [Collaboration] Phys. Rev. D69 (2004) 103501; Seljak U. et al., Phys.
Rev. D71 (2005) 103515; Sahni V., Starobinsky A.A., [astro-ph/0610026].
[3] Witten E. Nucl. Phys. B268 (1986) 253; ArefТeva I.Ya, Medvedev P.B., Zubarev A.P. Nucl. Phys. B341 (1990) 464.
[4] Caldwell R.R. Phys. Lett. B545 (2002) 23; Caldwell R.R., Kamionkowski M. and Weinberg N.N. Phys. Rev. Lett. 91 (2003) 071301; Gonzlez-Daz P.F. Phys. Lett. B586 (2004) 1; Gonzlez-Daz P.F Phys. Rev. D69 (2004) 063522; Carroll S.M., Hoffman M. and Trodden M. Phys. Rev. D68 (2003) 023509; Nojiri S. and Odintsov S.D. Phys. Rev. D70 (2004) 103522.
[5] Арефьева И.Я., Вернов С.Ю., Кошелев А.С. ТМФ 148 (2006) 23.
[6] Darboux J.G. Compt. Rend. 94 (1882) 1343.
[7] Andrianov A.A., Borisov N.V., Ioffe M.V. Phys. Lett. A105 (1984) 19;
Andrianov A.A., Borisov N.V., Eides M.I., Ioffe M.V. Phys. Lett. A1(1984) 143; Berezovoy B.P., Pashnev A.I. ТМФ 70 (1987) 146.
[8] Andrianov A.A., Cannata F. J. Phys. A37 (2004) 10297.
[9] Baye D., Phys. Rev. Lett. 58 (1987) 2738; Baye D., J. Phys. A20 (1987) 5529; Ancarani L. U., Baye D., Phys. Rev. A46 (1992) 206.
[10] Amado R. D., Bijker R., Cannata F., Dedonder J.P., Phys. Rev. Lett.
67 (1991) 2777; Amado R. D., Bijker R., Cannata F., Dedonder J.P., Walet N.R. [nucl-th/9210017].
[11] Twin P.J., Nucl.Phys. A520 (1990) 17; Byrski T. et al., Phys. Rev. Lett.
64 (1990) 1650; Scharpey-Schafer J. F., Prog. Part. Nucl. Phys. 28 (1992) 187.
[12] Melezhik V.M., Baye D., Phys. Rev. C59 (1999) 3232; Kido T., Yabana K., Suzuki Y., Phys. Rev. C53 (1996) 2296; Capel P., Baye D., Melezhik V.S., Phys. Lett. B552, (2003) 145.
[13] Baye D., Sparenberg J-M., J. Phys. A37 (2004); von Oertzen W, Eur.
Phys. J. A11 (2001) 403; Kumagai-Fuse I, Akaishi Y. Prog. Theor. Phys. (1994) 815.
[14] Matveev V.B., Salle M.A. УDarboux Transformation and SolitonsУ, Berlin - Heidelberg: Springer Verlag (1991); Loutsenko I., Spiridonov V. CRM Proceedings and Lecture Notes 25 (2000) 273.
[15] Веселов А. П., Шабат А.Б. Функц. анализ и его прилож. 27 2 (1993) 1.
[16] Журавлев В.М., Червон С.В., Щиголев В.К. ЖЭТФ 114 (1998) 406;
Zhuravlev V.M., Chervon S.V., Shchigolev V.K. Phys. Lett. B398 (1997) 269.
[17] Percoco U., Villalba V.M. Phys.Lett. A141 (1989) 221; Anderson A.Phys.Rev.
A43 9 (1991) 4602.
[18] Гриб А.А. Проблема неинвариантности вакуума в квантовой теории поля М.: Атомиздат (1978); Гриб А.А., Мамаев С.Г., Мостепаненко В.М. Вакуумные квантовые эффекты в сильных полях М.: Энергоатомиздат (1988).
[19] Ganzha E.I. [solv-int/9606001].
Основные результаты и положения, выносимые на защиту. Главные результаты, связанные с изучением моделей темной энергии:
1. Доказано, что решения уравнений Эйнштейна в метрике Фридмана могут быть построены с помощью ПД. Показано существование режима гладкой фантомизации. Фантомные зоны могут быть удалены без наличия скачков в давлении и плотности.
2. Обнаружено, что решения на бране Рэндал-Сэндрум I с уравнением состояния характерным для фантомной энергии содержат две сингулярности типа Фбольшой разрывФ (решение II). Используя ПД аналогичные решения, можно найти и для обычной фридмановской космологии (решение I), однако уравнение состояния уже не будет иметь стандартного вида. Показано, что решение I содержит достаточное число свободных параметров, чтобы быть приведено к виду согласующемуся с данными астрономических наблюдений.
3. Доказано, что несмотря на симметричность решения I во времени, процесс аккреции фантомной энергии на кротовые норы и механизм формирования гигантских черных дыр не обладает такой симметрией. Соответственно большой переход реализуется лишь около одной сингулярности.
4. Обнаружено, что пространство-время соответствующему решению II делится на три области, причем в каждой из них возможно как формирование гигантских черных дыр, так и явление большого перехода.
5. Доказано, что формирование ФлазовФ (в частном случае - кротовых нор) на бране (решения II) свободно от энергетических ограничений, имеющих место в обычном пространстве-времени. В частности, здесь не требуется обладать энергетическими масштабами всей видимой вселенной для построения кротовой норы, способной пропустить объект с характерным макроскопическим размером.
6. Обнаружено, что решения II допускают, в принципе большой переход вдоль замкнутой временеподобной кривой. Требование отсутствия парадоксов, могущих появиться в процессе такого путешествия накладывает жесткое условие на волновую функцию вселенной. Оказывается, использование такой волновой функции позволяет, в принципе решить проблему плоскостности, не используя гипотезу об инфляции.
7. Показано, что потенциал самодействия для скалярного поля может быть восстановлен по данным рассеяния для однопетлевого потенциала описывающего квантовые флуктуации. Метод развит на классе потенциалов в теориях поля с (1+1) действием, которые спонтанно нарушают симметрию и одновременно приводят к квантовым флуктуациям отвечающим безотражательным данным рассеивания. Формулируется общая задача реконструкции потенциала по данным рассеивания и приводятся точные примеры. Найдено, что все потенциалы, удовлетворяющие вышеуказанным свойствам, подобны или модели 4 или модели синус-Гордон.
8. Обнаружено, что спектр флуктуаций может быть вычислен на фоне статического решения (1+1) некоммутативной скалярной полевой модели. Доказано, что в случае солитонных решений, пространственно - временная некоммутативность приводит к порождению новых связанных состояний. Найдено, что в случае сингулярных решений (типичных для фантомных космологических моделей с сингулярностью типа Фбольшой разрывФ) возникает бесконечное число связанных состояний со спектром, похожим на спектр кварковых состояний. Кроме того показано, что двумерное линейное уравнение с умножением Мойяла допускает ПД и итерационные формулы типа Крама.
9. Развито обобщение метода преобразования Дарбу, позволяющее строить точные несингулярные решения, описывающие трехмерную брану, взаимодействующую с пятимерной гравитацией и bulk скалярным полем. Обнаружено, что уравнения Эйнштейна и условия Израэля редуцируются в уравнение Шредингера содержащее разрывный потенциал, причем волновые функции испытывают скачок первой производной. Доказано, что всегда можно выбрать функции, входящие в определитель Крама такими, что пятимерная скалярная кривизна R будет конечна как на бране, так и в объемлющем пятимерном пространстве. Представлены новые точные решения, обобщающие модели с нечетным суперпотенциалом. Доказано, что формализм оказывается применим и к реалистичному случаю бран с космологическим расширением. В частности, используя простое орбиобразие(S1/Z2)и однократное преобразование Дарбу, построена модель с экспоненциально подавленной величиной космологической постоянной на видимой бране.
Результаты, связанные с развитием формализма ПД содержащиеся в заключительной главе и Приложении А:
10. Показано, что уравнение Дирака, описывающее фермион, взаимодействующий с внешним одномерным, но нестационарным э/м полем, допускает ПД. Обнаружено, что использование этих преобразований позволяет найти семейство точных решений для случая адиабатического включения - выключения внешнего поля. Доказано, что соответствующие полевые конфигурации связаны с многосолитонными (многодромионными) решениями уравнений Дэви - Стюартсона.
11. Получен аналог преобразования Шлезингера для уравнений ДэвиСтюартсона. Показано, что в отличии от J - S - систем для моделей типа НУШ для классификации (1+2) моделей недостаточно ограничиться одной йордановой алгеброй. Обнаружено, что в основе адекватной конструкции должна лежать некоторая алгебра, содержащая по крайней мере две бинарные операции: умножение Йодана и умножение Ли.
12. Найдено, что использование преобразований Шлезингера позволяет построить новые точные несингулярные решения уравнений ДэвиСтюартсона I, рационально или экспоненциально локализованные на плоскости. Обнаружено, что использование ПД позволяет исследовать эволюцию локализованного в начальный момент импульса, описываемого уравнениями Дэви-Стюартсона II. Решение оказывается неустойчивым.
13. Открыт новый алгебраический метод построения точных решений двумерных уравнений гидромеханики, основанный на промежуточном решении пары линейных уравнений с переменными коэффициентами.
14. Обнаружено, что специфической особенностью (1+2) интегрируемых моделей является существование двух типов одевающих цепочек дискретных симметрий.
15. Показано, что двойное ПД, используемое в квантовой космологии сводится к бинарному ПД. Открыто, что описанные в литературе точные решения в квантовой космологии, построенные с помощью ПД обладают дополнительной, Фне замеченной ранееФ параметризационной инвариантностью.
Научная новизна.
Впервые применено ПД для уравнений Эйнштейна в метрике Фридмана и описан режим гладкой фантомизации. Впервые описан метод, позволяющий удалять зону, в которой нарушено слабое энергетическое условие так, чтобы давление и плотность оставались непрерывными функциями времени. Показано, что двойное ПД, используемое в квантовой космологии, сводится к бинарному ПД. Впервые изучена аккреция фантомной энергии на кротовые норы и черные дыры в пространстве-времени, содержащее две сингулярности большого разрыва. Впервые продемонстрировано свойство дуальности фантомной энергии во фридмановской космологии и на бране. Впервые показано, что в пространстве-времени с такой структурой возможно существование как эффекта Фбольшого переходаФ, так и гигантских черных дыр. Впервые показано, что в пространствевремени такого типа возможен большой переход вдоль замкнутой времениподобной кривой и что условия самосогласованности приводят к возможности решения проблемы плоскостности без использования инфляционного сценария.
Впервые описана задача реконструкции потенциала самодействия скалярного поля по его однопетлевому потенциалу, используемому при расчете спектра квантовых флуктуаций. Полностью изучен случай, когда последний отвечает безотражательным данным рассеяния, а потенциал самодействия спонтанно нарушает симметрию.
Впервые описан феномен генерации связанных состояний за счет пространственно - временной некоммутативности и подчеркнута значимость этого обстоятельства для физики процессов окрест сингулярности большого разрыва. Впервые описано ПД для таких моделей.
Впервые изучено применение ПД в теории бран. Впервые описан новый метод генерации решений несингулярных на бране и в объемлющем пространстве (bulk). Впервые с помощью ПД построены новые решения, в том числе решения, полученные одеванием решений Рэндал - Сэндрум, решения, выраженных через четвертую трансценденту Пенлеве и решения содержащие геометрию орбиобразия и экспоненциально подавленную (на видимой бране) космологическую постоянную.
Впервые описаны одевающие цепочки дискретных симметрий для (1+2) уравнений КП, БЛП и ДС. Впервые показано, что, в отличии от изученных ранее (1+1) уравнений, (1+2) модели обладают двумя типами одевающих цепочек (цепочки типов I и II, или сопряженные цепочки).
Впервые введено ПД для уравнения Дирака, описывающего фермион взамодействующий с (1+1) э/м полем, и предложен метод построения интегрируемых полевых конфигураций, отвечающих адиабатичному включению и выключению внешнего поля, важному при использовании S-матричного формализма.
Впервые развит метод построения точных решений уравнений ДС с помощью преобразований Шлезингера. Построены новые точные локализованные несингулярные решения уравнений ДС-I. Впервые найдены йордановы обобщения уравнений ДС.
Впервые предложен алгебраический метод построения точных решений уравнений двумерной гидромеханики, основанный на промежуточном решении пары линейных уравнений с переменными коэффициентами.
Научная и практическая ценность. Основные результаты диссертации могут иметь важное значение при построении космологических моделей, учитывающих наличие фантомной энергии, фантомизации (глава 2) и тех чрезвычайно специфических явлений, которые характерны именно для такой компоненты темной энергии: большой переход, гигантские черные дыры и т.д. Явление Фбольшого переходаФ может оказаться чрезвычайно существенным для построения новых моделей инфляции, при наличии фантомных полей. Не исключено, что некоторые эффекты описанные во третьей главе диссертации способны дать решение проблемы плоскостности, альтернативное к решению, предлагаемому в рамках инфляционной парадигмы. Методы построения точных решений пятимерных уравнений Эйнштейна при наличии браны (глава 5) выглядят достаточно эффективными для решения проблемы космологической постоянной. Наконец, многие частные и общие результаты диссертационной работы могут иметь важное (в том числе) практическое значение в электродинамике сплошных сред, теории интегрируемых систем, гидромеханике (Глава 6), при расчете квантовых флуктуаций, в том числе в некоммутативной теории поля (Глава 4), классической и квантовой космологии (приложение A). Вероятно, разработанные в диссертации методы могут также оказаться полезными при расчетах плотностей пар, рожденных из вакуума внешними полями и при расчете спектра флуктуаций метрики в ранней (раздувающейся) вселенной.
Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на следующих конференциях:
1. "The 31st Symposium on Mathematical Physics N. Copernicus University, Torun, Poland, 1999.
2. "Международная научно-техническая конференция, посвященная 40летию пребывывания КГТУ на Калининградской земле и 85-летию высшего рыбохозяйственного образования в России Калининград, Россия, 1999.
3. "Baltic Sea Seminar Карлскрона, Швеция, 2000.
4. "Современные образовательные программы: региональный опыт реализации и интеграции КГУ, Калининград, Россия, 2001.
5. "Физическая экология (физические проблемы экологии) МГУ им. М.В.
омоносова, Москва, Россия, 2001.
6. "Baltic Sea Seminar Росток, Германия, 2002.
7. "Международная школа Фока С.-Петербург, Россия, 2002.
8. ФСеминар по проблемам измеримости в квантовой гравитации и темной составляющей вселеннойФ, С.-Петербург, Россия, 2006.
Результаты докладывались и обсуждались на семинарах в Институте физике (Лейпциг, Германия, 2002-2003; Hermann-von-Helmholtz Visiting Professorship: Gottlieb Daimler-und Karl Benz-Stiftung), на физическом факультете Колумбийского университета (штат Миссури, США, 2001, 2004), на коллоквиуме математического отделения Колумбийского университета (штат Миссури, США, 2001; MillerТs Scholar), в Познаньском университете (Польша, 2000-2001), на кафедре теоретической физики (РГУ им. И. Канта, Калининград, Россия, 1990-2006).
Работа проходила экспертную оценку в реализованных проектах:
1)Грант РФФИ 91-01-01789.
2) Грант РФФИ 96-01-01408.
3) Грант РФФИ 96-01-01789.
4) Грант РФФИ 00-01-00783.
5) Грант министерства образования Е00-3.1-36) Грант MillerТs Scholar на математическом отделении Колумбийского университета (штат Миссури, США), 2001, 2004.
Публикации. Основные результаты работы изложены в 26 публикациях.
Структура работы. Работа состоит из введения, пяти глав, заключения, двух приложений и списка цитируемой литературы (207 наименований), содержит 31 рисунок и две таблицы. Общий объем диссертации - 2страниц.
ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ
Во Введении отражены актуальность проблемы, цель исследования, основные положения, выносимые на защиту, показана их научная новизна и практическая значимость.
В Главе 2 рассматривается процедура сведения уравнений Фридмана для случая k = 0 к линейному уравнению Шредингера. Разобрана процедура одевания исходного решения и построения обобщенного уравнения состояния, параметризованного двумя константами. Обсуждается неоднозначность восстановления уравнения состояния по наблюдаемой зависимости масштабного фактора от времени. Эта неоднозначность возникает как следствие использования упомянутого линейного уравнения второго порядка, которое обладает двумя, линейно независимыми решениями. Общее решение представляет собой степенную функцию от линейной суперпозиции двух функций, умноженных на произвольные константы, скажем c1 и c2, причем выбор c2 = 0 редуцирует решение в исходное (одеваемое). Отсюда следует, что, выбирая отношение c2/c1 достаточно малым, мы получаем решение сколь угодно точно апроксимирующее наблюдаемый масштабный фактор на заданном, конечном промежутке времени и, вместе с тем, обладающее существенно отличной динамикой за пределами этого промежутка. Например, использование в качестве исходного известного решения, описывающего расширение плоской вселенной в которой доминирует холодное вещество (w = 0), неожиданно приводит к модели, демонстрирующей режим нарушения слабого энергетического условия, т.е. пересечения так называемой фантомной зоны (фантомизация), после чего вселенная расширяется столь быстро, что за конечное время величина масштабного фактора и скалярная кривизна оказываются бесконечными. Возникает сингулярность нового типа - сингулярность большого разрыва. В области справа от сингулярности зона с нарушенным слабым энергетическим условием тоже существует лишь конечное время, после чего происходит вторичное пересечение фантомной границы (дефантомизация), в результате чего вселенная продолжает расширяться в обычном режиме. Отметим, что пересечение фантомной границы возможно во вселенной, заполненной скалярной материей с минимальной связью.
Существование таких необычных решений оказывается достаточно общим свойством двухпараметрических решений, полученных описанным выше методом. Сам же метод оказывается принципиально неприменим лишь окрест особой точки исходного масштабного фактора, например, вблизи сингулярности большого взрыва, что, однако, не имеет отношения к современным астрономическим наблюдениям.
Интересной особенностью описанных выше решений является возможность удаления фантомных зон, при котором давление и плотность остаются гладкими функциями, а первая производная давления содержит особенность первого рода. В тексте диссертации показано, что это возможно вследствие того, что логарифм масштабного фактора имеет точку перегиба как раз на границе пересечения фантомной зоны. Преобразованное таким образом решение описывает инфляционную стадию с выходом, не требующим дополнительных подгонок параметров, и потому может представлять интерес в космологии ранней вселенной.
Наконец, в конце описываемой главы показано, что в случае космологии на бране возникает дополнительная неоднозначность при восстановлении уравнения состояния по наблюдаемому масштабному фактору, как функции времени. Содержание этой главы основано на работах (Верещагин С.В., Юров 2004; Юрова, Юров 2004; см. также A. Yurov [astroph/0305019]), A.V. Yurov, V.A. Astashenok, V.A. Yurov [astro-ph/0701597].
Глава 3 посвящена изучению эффектов специфичных для фантомных космологических моделей - возникновению феноменов ФТбольшого переходаФ (перемещение вселенной внутри гигантской кротовой норы) и гигантских черных дыр.
Показано, что уравнения Фридмана допускают новый, симметричный во времени тип решений (решение I), содержащий две сингулярности большого разрыва - в прошлом и будущем. Вместе с тем процессы аккреции темной энергии на черные дыры и червоточины не обладают такой симметрией. В частности явление Фбольшого переходаФ может иметь место в прошлом или в будущем.
Более того, в этой главе обнаружено, что в рамках моделей бран наличие баротропного уравнения состояния, нарушающего слабое энергетическое условие, автоматически приводит к решению с двумя такими сингулярности (решение II). В случае бесконечно большого натяжения на бране это решение вырождается в известное решение, полученное в рамках обычных уравнений Фридмана и содержащее одну сингулярность большого разрыва. Таким образом, наличие двух упомянутых сингулярностей оказывается чисто бранным эффектом. С другой стороны, мы показываем, что возможность одновременного существования эффектов Фбольшого переходаФ и гигантских черных дыр до и после сингулярностей открывает возможность построения модели вселенной, избегающей последних, т.е. вселенной, существование которой определено на временном интервале от t = - до t = +.
В случае w < -1 в рамках решения II, два симметричных нуля масштабного фактора соответствуют двум космологическим сингулярностям обычного типа, в которых масштабный фактор обращается в нуль и плотность энергии становится бесконечной. Столкновения с такими сингулярностями можно избежать так же, как это имеет место в изученных выше фантомных моделях. Показано, что имеет место рост кротовых нор и черных дыр, что опять приводит к возможности большого перехода. Также как это было описано выше, такие эффекты позволяют в принципе построить модель, определенную на интервале от - до +, такую что, мировые линии наблюдателей, находящихся в различных областях указанного интервала, не будут с необходимостью заканчиваться в сингулярности. Наличие такого механизма открывает соверщенно новые возможности для гладкого рождения вселенной, отличные как от хокинговского граничного условия Фбез границФ, так и от готтовского непричинного условия саморождения.
Возможность существования непричинных связей между областями внутри и вне двух сингулярностей большого разрыва означает, что пространство-время следует считать простирающимся от - до +, без прохождения через указанные точки сингулярности. Однако, это возможно только, если масштабный фактор является хорошо определенным на всем временном интервале. Последнее имеет место лишь для счетного набора параметра = -(w + 1)/2 (или | | для случая решений содержащих две сингулярности большого взрыва) определяемого соотношением =, n = 0, 1, 2, 3,..., . (2) 12(n + 1) Физический смысл соотношения (2) остается неясным, однако можно сделать следующие два качественных замечания:
(i) (2) можно считать неким сортом предварительного ФквантованияФ как динамических переменных (плотность энергии, давление, скалярное поле), так и пространственно-временных величин (время реализации большого взрыва, сингулярности большого разрыва и Фбольшого переходаФ).
(ii) Справедливость соотношения (2) приводит к отсутствию любых горизонтов событий в прошлом или в будущем. Это важнейшее обстоятельство означает возможность транспортировки любого количества информации посредством механизма Фбольшого переходаФ, обстоятельство делающее возможным адекватную математическую формулировку фундаментальных физических теорий, основанных на использовании формализма S-матрицы В этой же главе показано, что на бране возможен Фбольшой переходФ вдоль замкнутых времениподобных кривых. Обсуждаются вытекающие отсюда ограничения на волновую функцию вселенной и показано, что условие отсутствия причинных парадоксов приводит к новой возможности решения проблемы плоскостности без использования инфляции.
Содержание этой главы основано на работе (Yurov, Moruno, GonzlezDaz 2006). Другие примеры точно решаемых космологических моделей приведены в (Yurov 2001).
В Главе 4 исследуются флуктуации на фоне классических решений. Показано, что использование преобразований Дарбу позволяет строить целые семейства потенциалов, генерирующих практически плоский спектр и обсуждается процедура восстановления формы потенциала самодействия скалярного поля V по заданному однопетлевому потенциалу, который можно получить, вычисляя функциональный интеграл методом перевала. Если квантовые поправки вычисляются на фоне классического стационарного решения типа кинк, то уравнение для квантовых флуктуаций имеет вид обычного одномерного уравнения Шредингера, спектр которого и определяет спектр флуктуаций. Эти потенциалы в свою очередь определяют квантовую задачу рассеивания. Задача восстановления классических потенциалов конкретизировалась следующими двумя условиями: (i) потенциалы самодействия спонтанно нарушают симметрию и (ii) данные рассеивания для квантовых флуктуаций носят безотражательный характер. В результате, удалось развить процедуру вычисления V. Показано, что все такие потенциалы делятся на два вида: потенцилы типа хиггсовского и потенциалы типа синус - Гордон. Для установления этого факта существенным оказывается использование ПД (соответствующее доказательство опирается в конечном счете на тот факт, что все безотражательные потенциалы строятся конечным числом ПД на нулевом фоне.).
Далее рассматривается процедура вычисления спектра флуктуаций в моделях с пространственно - временной некоммутативностью. Основной результат в том, что наличие некоммутативности приводит к уширению эффективного потенциала (используемого для вычисления спектра флуктуаций), задавая новый естественный масштаб порядка .
Вследствие этого в случае большой величины параметра некоммутативности получается намного больше связанных состояний, чем в обычной, коммутативной теории. Картина становится еще богаче, если в качестве фона рассматриваются сингулярные решения. В этом случае, некоммутативность приводит к бесконечной последовательности связанных состояний с линейной зависимостью 2 от целых, квантовых чисел (для больших частот). Эти результаты могут иметь важнейшее значение при изучении физических процессов на бране окрест сингулярности большого разрыва, существование которой предсказывается в моделях с фантомной энергией, поскольку скалярные поля в таких моделях обладают по крайней мере одной, особой точкой.
Показано, что описанное поведение универсально: коротковолновой спектр зависит лишь от и не зависит от деталей конкретной модели.
Многообразие рассмотренных примеров явно поддерживают ту мысль, что рождение новых связанных состояний является общим свойством (1+1) теорий с пространственно-временной некоммутативностью.
Наконец, рассмотрено линейное уравнение с мояловским произведением, возникающее при расчете однопетлевой поправки методом Фheat kernelФ:
H (gmnmn + Amm + B) . (3) Мояловское произведение в (3) определено следующим образом:
i f(x) g(x) = exp mn f(x)g(y), (4) 2 xm yn x=y где mn = -nm постоянная антисимметричная 2 2 матрица. Для (3) найдены два типа ПД и описан алгоритм построения итерационных формул, обобщающих формулы Крама. Содержание этой главы основано на работах (Верещагин, Юров 2006; Vassilevich, Yurov 2004; Bordag, Yurov 2003). Дискретные симметрии для двумерного линейного уравнения второго порядка с обычным умножением рассматривались в работах (Верещагин, Верещагин, Юров 2006; Верещагин М.Д., Юров 2004; Yurov 1999).
В Главе 5 показано, что ПД позволяют находить точные решения уравнений Эйнштейна при наличии семейства параллельных 3-бран, погруженных в объемлющее пятимерное пространство, заполненное гравитацией и скалярным полем. Действие системы имеет вид:
1 (2) S = d4xdy | g | R - - V () - d4x | gb |b(), (5) 2 yb b где пятимерные координаты (x, y), для 0 3; b-я брана расположена в точке y = yb, gab - пятимерная метрика, g - метрика заданная b на b-ой бране и используется система единиц, в которой гравитационная константа связи = 1. Натяжение на b-ой бране обозначается b, а потенциал V () считается функцией от внешнего (bulk) скалярного поля = (y). Для стационарной браны часть получаемых из (5) уравнений может быть сведена к уравнению Шредингера, что позволяет применить ПД для построения точных решений данной системы. Наличие простых алгебраических связей между скалярной кривизной R = и суперпо тенциалом показывает, что правильное применение ПД дает систематическую процедуру для построения несингулярных решений (R = ) в теории бран. Эта процедура подробно описана в тексте диссертации.
В частности, изучено требование совместности ПД с условиями сшивки Израэля на бране. Предъявлены некоторые новые точные решения, полученные однократным Дарбу-одеванием решений Рэндал-Сэндрум.
Обсуждаются двукратные ПД, роль форм-инвариантности и одевающие цепочки. В частности, показано, что четные, нечетные и показательные суперпотенциалы, изученные в цитируемой литературе, являются частными примерами форм-инвариантных относительно ПД потенциалов.
Предъявлены два нетривиальных обобщения моделей с нечетным суперпотенциалом: одно построено с помощью метода Адлера, а второе - путем построения и замыкания цепочек дискретных симметрий. Соответствующие решение выражается через четвертую трансценденту Пенлеве.
В этой же главе рассматривается и более реалистичный случай нестационарной браны. Показано, что, как правило, наш подход приводит к конечной области ФbulkФ- пространства, где выполняются условие энергодоминантности. Описаны два способа разрешить эту проблему. Первый: рассмотреть потенциалы ФбаргмановскогоФ типа, для которых, как показывает вычисление, можно выбрать параметры так, чтобы условие энергодоминантности выполнялось во всем (бесконечном) объемлющем пространстве. Второй: использовать орбиобразия. Подробно рассматривается конфигурация двух бран при наличии компактификации по пятой координате и наделением многообразия структурой простейшего орбиобразия S1/Z2. Показано, что при росте расстояния между бранами, величина эффективного космологического члена на видимой бране экспоненциально уменьшается:
Heff H2(0) = H2e-L/2, (6) cosh(L) где L - размер орбиобразия, H - параметр Хаббла, H(0) - параметр Хаббла на видимой бране.
В заключительном параграфе предлагается новый подход к изучению нестационарных бран, основанный на методе функций Грина. Преимущество такого подхода - линейность изучаемых уравнений.
Все эти результаты описаны в (Yurov, Yurov 2005). Одномерные одевающие цепочки, теория которых используется в этой главе, исследовались также (на базе других спектральных задач) в (Yurova, Yurov, Rudnev 2003; Yurov 2004) В Главе 6 изложена математическая теория спектрального дизайна, которая использовалась в основном тексте диссертации и приведен ряд результатов, имеющих самостоятельный интерес.
Изучаются одевающие цепочки дискретных симметрий. Показано, что (1+2) модели (КП, ДС, БЛП) обладают двумя типами (сопряженных) цепочек, в отличии от одномерных цепочек КдФ и т.д. Второй тип цепочек связан с наличием бинарных преобразований Дарбу. В одномерном случае (модели КдФ, синус-Гордон, НУШ) бинарные ПД могут быть получены путем двойного ПД, с последующим вырождением по спектральному параметру или за счет введения дифференцирования по спектральному параметру. Таким образом, для (1+1) моделей бинарные ПД не являются новым типом преобразований. В отличии от них бинарные ПД для (1+2) моделей уже не выводятся из крамовских формул путем некоторого предельного перехода и потому оказываются независимым видом дискретных симметрий. Именно это обстоятельство позволило доказать вышеприведенное утверждение о наличии двух независимых одевающих цепочек дискретных симметрий для двумерных систем.
Впервые описаны модифицированные уравнения ДС, БЛП и исследованы допускаемые ими дискретные симметрии, включая обобщенные преобразования Шлезингера.
Показано, что для фермиона, взаимодействующего с одномерным, нестационарным э/м полем, уравнение Дирака редуцируется в плоскую гиперболическую задачу Захарова - Шабата. Используя ПД, построены точные решения, описывающие конфигурации поля, допускающие S матричную постановку задачи.
Далее изучаются явные обратимые преобразования Бэклунда для уравнений ДС. Показано, что как и в случае модели НУШ, эти преобразования связаны с уравнениями цепочки Тоды. Найдены точные решения уравнений ДС типа ФподковообразныйФ солитон. Кроме того обсуждаются йордановы обобщения ДС по аналогии с теорией J-S систем. Эти преобразования используются для построения новых несингулярных, локализованных (в том числе экспоненциально) по всем направлениям на плоскости решений уравнений ДС-I. Показано, что эти решения не сводятся к уже известным многодромионным решениям.
Далее рассматривается использование ПД для построения локализованных на плоскости решений уравнений ДС. Для уравнений ДС-I развита процедура Фодевания дромионаФ. Для уравнений ДС-II аналитически рассмотрена задача эволюции локализованного в начальный момент импульса. Показано, что такой импульс с течением времени распадается на определенное число резонансных пиков. В случае наличия существенной особенности на бесконечности у решения пары Лакса первоначально экспоненциально локализованный импульс превращается даже в бесконечно много резонансов. Полученные аналитические результаты находятся в согласии с исследованиями спектральной задачи, показывающими, что для уравнений ДС-II в данных рассеяния с течением времени появляется Фнесолитонная составляющаяФ.
Наконец, в конце данной главы описывается метод построения точных решений D = 2 уравнений гидромеханики, описывающих плоское движение жидкости. Хотя уравнения двумерной гидромеханики, вообще говоря, не интегрируемы, тем не менее оказалось возможным развить такую чисто алгебраическую процедуру, которую можно назвать преобразованием Бэклунда. Более точно: используя точные решения, описывающие потенциальное движение невязкой жидкости, можно построить решения, которые уже содержат вихри, при этом достаточно решить систему из двух линейных уравнений, как и должно быть для преобразований Бэклунда. Этот метод оказывается равно эффективным как для изучения динамики идеальной жидкости (уравнения Эйлера), так и для описания двумерных вязких течений.
Содержание этой главы главным образом основано на работах (Юров, Юрова 2006; Li, Yurov 2006; Yurov 2003; Li, Yurov 2003; Юров 1999; Юров 1998; Юров 1997; Yurov 1997; Юров 1996).
В Заключении обсуждаются основные результаты и выводы диссертационной работы. Делается ряд гипотетических утверждений касаемо возможностей дальнейшего развития идей, описанных в тексте диссертации.
Высказаны благодарности научным учителям, коллегам по работе, соавторам и организациям, которые финансировали исследования, составляющие предмет работы.
В Приложении A обсуждается т.н. двойное преобразование Дарбу в квантовой космологии. Показано, что при использовании итерационных формул Крама, решения уравнения Уилера - Де Вита допускают дополнительную параметризацию, а в Приложении B приведен список основных публикаций автора по теме диссертации и список цитируемой в диссертации литературы из 246 наименований.
Список основных публикаций по теме диссертации 1. Artyom V. Yurov, Prado Martin Moruno and Pedro F. Gonzalez-Diaz, ФNew УBigsФ in CosmologyФ, Nucl. Phys. B759 320-341 (2006) [astro-ph/0606529].
2. Yurov A.V., Yurov V.A., Rudnev M. ФLax pairs for higher-dimensional evolution PDEТs and a 3+1 dimensional integrable generalization of the Burgers equationФ, Proc. Amer. Math. Soc. 135 731-741 (2007) [nlin.SI/0411061].
3. Юров А.В., Верещагин С.Д., Верещагин М.Д. СТПреобразование Мутара в трех измеренияхФ, Математическое моделирование, 18 N. 5 111-1(2006).
4. Юров А.В., Юрова А.А. СТОб одном методе построения точных решений уравнений двумерной гидродинамики несжимаемой жидкостиФ, ТМФ 147 1 501-508 (2006).
5. Верещагин С.Д., Юров А.В. "Преобразование Дарбу и тахионная неустойчивость"Электронный журнал "Исследовано в России 156 1446-1454 (2006).
6. Charles Y. Li, Yurov A. ФLie-Bcklund-Darboux TransformationsФ, Preprint, International Press (2006).
7. Yurov A.V., Yurov.V.A. СТThe nonsingular brane solutions via the Darboux transformationФ, Phys. Rev. D72 (2005) 026003-1(12) [hep-th/0412036].
8. Верещагин М.Д., Юров А.В., ФК вопросу о преобразование Мутара в трех измеренияхФ, Труды междунар. школ-семинар. ФМетоды дискретных особенностей в задачах математической физикиФ, Вып. 3 17-(2004).
9. Верещагин С.Д., Юров А.В., ФПреобразование Дарбу и точно решаемые космологические моделиФ, ТМФ 139 3 405-422 (2004).
10. Vassilevich D. V., Yurov A.V., ФSpace-time noncommutativity tends to create bound statesФ, Phys. Rev. D69 105006-1(5) (2004) [hep-th/0311214].
11. Yurov A.V., ФClosed Dressing Chains of 1D and 2D Toda LatticeФ, Dynamics of PDE 1 2 85-99 (2004).
12. Юрова А.А., Юров А.В. СТЭлементы современной космологии и теории бранФ, Уч. пос., Калилинград (2004) С.1-98.
13. Bordag M., Yurov A. V., ФSpontaneous Symmetry Breaking and Reflectionless Scattering DataФ, Phys. Rev. D67 025003-1(9) (2003) [hep-th/0206199].
14. Yurov A.V., ФDiscrete SymmetryТs Chains and Links Between Integrable EquationsФ, Journal of Mathematical Physics 44 3 1183-1201 (2003) [nlin.SI/0207001].
15. Yurova A.A., Yurov A.V., Rudnev M., ФDarboux transformation for>
16. Li Y., Yurov A., ФLax Pair and Darboux Transformation for Euler EquationsФ, Studies In Applied Math. 111 101-113 (2003).
17. Leble S.B., Yurov A.V., ФReduction Restrictions of Darboux And Laplace Transformations For The Goursat EquationФ, Journal of Mathematical Physics 43 2 1095-1105 (2002).
18. Yurov A.V. ФExact Inflationary Cosmologies With Exit: From Complex Inflaton Field To An "Anti-inflaton"OneФ,>
19. Yurov A.V., ФBLP Dissipative Structures in PlaneФ, Phys. Lett. A26 445-452 (1999).
20. Юров А.В., ФСопряжённые цепочки дискретных симметрий (1+2) нелинейных уравненийФ, ТМФ 119 3 419-428 (1999).
21. Юров А.В., ФПреобразование Дарбу в квантовой механикеФ, Уч. пос., Калилинград (1998) С.1-99.
22. Юров А.В., ФК вопросу о локализованных решениях уравнений ДэвиСтюартсона IФ, ТМФ 112 3 395-398 (1997).
23. Yurov A.V., ФDarboux Transformation for Dirac Equations with (1 + 1) potentialsФ, Phys. Lett. A225 51 (1997).
24. Юров А.В., ФПреобразование Бэклунда-Шлезингера для уравнений Дэви-СтюартсонаФ, ТМФ 109 3 338-346 (1996).
25. Leble S.B., Salle M.A., Yurov A.V., ФDarboux Transformation and Solitons in MultidimensionsФ, Inverse Problems 4 207-214 (1992).
26. Leble S.B., Salle M.A., Yurov A.V. ФDT for DS Type EquationsФ, Proceedings of the IV International Workshop on Nonlinear and Turbulent Processes in Physics (Singapure) 2 287-296 (1991).
27. Leble S.B., Salle M.A., Yurov A.V. ФDarboux Transforms of DaveyStewartson Type Equations and SolitonsФ, Proceedings of Kiev Workshop ТNonlinear WorldТ, World Scientific N1 216-228 (1989).