Авторефераты по всем темам >>
Авторефераты по разным специальностям
На правах рукописи
Щукина Наталья Александровна
ИНЖЕНЕРНЫЕ модели плоских статических задач нелинейной упругости: аналитическиЕ решениЯ в символьных пакетах
01.02.04 - Механика деформируемого твердого тела
АВТОРЕФЕРАТ
диссертации на соискание ученой степени
кандидата технических наук
Волгоград - 2012
Работа выполнена на кафедре Прикладная математика Волгоградского государственного технического университета
Научный руководитель | доктор технических наук, доцент Жуков Борис Александрович. |
Официальные оппоненты: | Брызгалин Геннадий Ильич доктор физико-математических наук, профессор Волгоградский государственный технический университет кафедра Высшая математика, профессор |
Крысько Вадим Анатольевич доктор технических наук, профессор Саратовский государственный технический университет имени Гагарина Ю.А. кафедра Математика и моделирование, заведующий кафедрой | |
Ведущая организация | Южный федеральный университет |
Защита состоится 25 декабря 2012 года в 10.00 часов на заседании диссертационного совета Д 212.028.04 при Волгоградском государственном техническом университете по адресу: 400005, г. Волгоград, пр. Ленина, 28, ауд. 210
С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Волгоградского государственного технического университета.
Автореферат разослан л23 ноября 2012 года.
Ученый секретарь
диссертационного совета Водопьянов Валентин Иванович
Общая характеристика работы
Актуальность работы. Одним из важнейших классов изделий, применяемых в современном машиностроении, являются резинотехнические изделия. В настоящее время резинотехнические изделия применяются практически во всех отраслях хозяйственной деятельности человека. Эксплуатация воздушного, водного, автомобильного, железнодорожного транспорта, космических аппаратов и энергетических установок не возможна без надежных резиновых уплотнений. Все шире на транспорте применяются резинометаллические шарниры, обеспечивающие низкие шумы и виброизоляцию гусеничных движителей и других агрегатов. В строительстве, промышленности и горнодобывающей технике широко применяются резинометаллические амортизаторы, опоры, виброизоляторы, надувные пневматические конструкции, резинотканевые рукава, конвейерные ленты и эластичные емкости для жидких грузов. В большинстве случаев надежность и долговечность конструкций определяется надежностью и долговечностью комплектующих резиновых изделий, несмотря на то, что их вклад в вес и стоимость конструкции обычно незначителен. Поэтому к расчету резиновых изделий предъявляются повышенные требования. С точки зрения надежности работы изделий и конструкций в свете современных представлений теории разрушения важнейшей информацией является знание полей напряжений в зоне их концентрации. Одним из распространенных концентраторов, существование которых вызвано конструктивной необходимостью, является отверстие. Поэтому исследование и расчет концентрации напряжений около отверстий в резинотехнических изделиях является актуальной задачей.
В области эксплуатационных нагрузок резина находится в высокоэластичном состоянии, то есть она относится к эластомерам. Поскольку в высокоэластичном состоянии резина является низкомодульным материалом и допускает большие эксплуатационные деформации, то для описания напряженно-деформированного состояния необходимо привлекать нелинейную теорию упругости. Точные нелинейные решения получены для центрально - симметричных задач, задачи Ламе, задачи контролируемого изгиба, для некоторых задач при антиплоской деформации. Для несжимаемого материала точные решения получены в задачах с универсальными деформациями. Тем не менее получение точных решений задач нелинейной теории упругости является сложнейшей проблемой. В силу этого разработаны различные приближенные модели, позволяющие свести решение нелинейной задачи к решению ряда линейных задач. Так в коммерческих пакетах, таких как ANSYS, ABAQUS, SolidWorks, предназначенных для решения задач механики и физики, реализован инкрементальный подход. То есть конечная деформация разбивается на ряд шагов. На каждом шаге полагают деформации малыми и линеаризуют уравнения нелинейной теории упругости. Получаются уравнения линейной теории упругости с переменными коэффициентами (уравнения линейной теории упругости неоднородного материала), зависящими от решений на предыдущих шагах. Соответствующие линейные задачи решаются методом конечных элементов. Возникает два вида погрешности: погрешность ограничения конечным числом шагов и погрешность дискретизации. Уменьшение первого вида погрешности в общем случае требует интерактивной связи расчетчика и пакета по вопросу выбора шага, необходимости пересчета на каждом шаге матрицы жесткости и так далее. Уменьшение погрешности второго типа требует увеличения числа конечных элементов в зонах больших градиентов рассчитываемых полей, в частности в зонах концентрации напряжений. Но увеличению количества конечных элементов препятствует ограниченность ресурсов компьютеров. Поэтому возникает практическая невозможность вычисления максимальных значений напряжений в зонах концентрации. Таким образом, метод конечных элементов плохо приспособлен к исследованию концентрации напряжений в зонах с большими градиентами напряжений, например, в окрестностях угловых точек отверстий. В силу вышесказанного возникает актуальная задача разработки метода, сводящего решение нелинейных задач теории упругости к решению последовательности линейных задач и позволяющего точно решать последние. По крайней мере, для определенного класса задач.
В статических задачах предполагается, что эластомер является гиперупругим материалом, то есть существует потенциал энергии упругой деформации. Разнообразие уравнений состояния нелинейной теории гиперупругости в отличие от линейной теории, где всегда выполняется закон Гука, снижает ценность точных постановок задач нелинейной теории упругости. Точные решения, найденные для конкретных потенциалов энергии деформации гиперупругих материалов, удовлетворительно совпадающие с экспериментальными данными для одного уровня деформированного состояния, могут не совпадать с этими данными для других уровней деформированных состояний. Актуальной является разработка приближенной линженерной модели нелинейной теории гиперупругости для средних уровней деформации, одинаково удовлетворительно описывающей различные напряженные состояния и позволяющей использовать методы линейной теории для решения конкретных задач. Альтернативой инкрементальному подходу, приводящему к решению задач линейной теории упругости неоднородных тел, служит метод возмущения, так же сводящий решение нелинейной задачи к решению ряда линейных задач, но уже однородных тел. Этот метод, впервые примененный в нелинейной теории упругости А. Синьорини, основан на разложении объектов, описывающих напряженно-деформированное состояние, в ряд по степеням малого параметра. Удерживая один, два или три члена будем получать решение в рамках эффектов первого, второго, третьего порядка. При этом возникает ошибка ограничения. Для нахождения каждого члена разложения получается задача линейной теории упругости однородных тел, но с добавочными внешними поверхностными и объемными усилиями, зависящими от решений в рамках эффектов предыдущих порядков. Для точного аналитического решения плоских задач такого типа разработан мощный аппарат, использующий теорию функций комплексной переменной. Разработка этого аппарата связана с именами Г.В. Колосова, Н.И. Мусхелишвили, Ф.Д. Гахова, Д.И. Шермана и других. Такой подход может быть положен в основу создания приближенной линженерной модели нелинейной теории гиперупругости. Вместо оценки погрешности ограничения даются рекомендации по выбору области применимости модели в сравнении с точными решениями и экспериментальными данными. Другими словами, для обоснования достоверности модели в ее рамках по экспериментальным данным при одноосном растяжении находятся константы материала, а потом на экспериментальном материале для двухосного растяжения проверяется приемлемость теоретического описания. Производится сравнение полученных результатов в рамках приближенной модели с точным решением для одного варианта задачи Ламе. Критерием для ограничения величины деформации в области применимости модели можно выбрать 10%-ное отклонение теоретического значения напряжения от экспериментального.
Проблемой, связанной с расчетом резинотехнических изделий, является учет ее несжимаемости. Эксперименты Холта и Макферсона показали, что вплоть до деформаций порядка 400% изменение объема находилось в пределах погрешности эксперимента. Учет малой сжимаемости необходим только при расчете тонкослойных резинометаллических изделий. В отличие от сжимаемых материалов в несжимаемых материалах напряжения не определяются деформациями, по ним напряженное состояние находится только с точностью до гидростатического давления. Вместе с тем условие несжимаемости несет дополнительную информацию о геометрии деформирования, причем прибавляет ли эта информация трудностей в решении или уменьшает их зависит от того, в какой форме условие несжимаемости учитывается. Само по себе уравнение несжимаемости увеличивает количество уравнений в системе на одно уравнение, что усложняет задачу. Оно также увеличивает размерность задачи (на одну независимую переменную) в вариационных методах при учете его с помощью множителей Лагранжа. В численных реализациях обнаружено, что для совместности уравнений Эйлера необходимо, чтобы порядок аппроксимации гидростатического давления был ниже порядка аппроксимации перемещений. Это относится как к методам Ритца и Канторовича, так и к методу конечных элементов. Такая ситуация трактуется как некорректность постановки задачи с множителем Лагранжа. Актуальной является разработка варианта инженерной модели, в рамках которой условие несжимаемости выполняется автоматически.
В современных конструкторских бюро и лабораториях методы расчетов на прочность по приближенным эмпирическим формулам или сопроматовским решениям постепенно вытесняются компьютерными расчетами в рамках более точных постановок с помощью специальных вычислительных пакетов программ. Существует уже значительный выбор коммерческих пакетов, таких как ANSYS, ABAQUS, SolidWorks и других. В рамках всех этих пакетов для решения нелинейных задач реализован инкрементальный подход, особенности которого отмечены выше. В настоящее время научное программирование претерпевает серьезные изменения: развиваются интегрированные среды, основанные на алгоритмических языках, растет применение универсальных математических систем (Maple, MathCAD, Mathematica, MatLAB и др.). Эти системы имеют дружественный интерфейс, реализуют множество стандартных и специальных математических операций, снабжены мощными графическими средствами и имеют собственные языки программирования. Все это предоставляет широкие возможности для эффективной работы специалистов различных профилей. Актуальной задачей является реализация и автоматизация расчетов в рамках предложенной инженерной модели в одной из таких систем. В данной работе выбрана система УMapleФ, которая содержит средства символьной математики, позволяющие реализовать автоматизацию аналитических решений некоторых классов линейных задач.
Цель диссертационного исследования: разработка технической модели нелинейной теории упругости эластомеров в рамках эффектов второго и третьего порядков, пригодной для автоматического получения аналитических решений плоских задач нелинейной теории упругости о концентрации напряжений около отверстий на базе математического пакета Maple.
Достижение этой цели связывается с решением следующих задач:
- представление вектора перемещения, удовлетворяющее разложению уравнения несжимаемости по степеням малого параметра вплоть до третьего порядка включительно;
- построение приближенной модели нелинейной теории упругости и определение областей ее применимости;
- разработка алгоритма, позволяющего автоматически получать аналитические выражения для комплексных потенциалов, описывающих напряженно-деформированное состояние около отверстий по заданному конформному отображению области, используя методы теории функций комплексной переменной;
- реализация предложенного алгоритма в рамках пакета символьной математики Maple.
Научная новизна:
- Предложена форма потенциала энергии деформации Трелоара-Ривлина, удобная для использования в приближенных соотношениях инженерной модели.
- В рамках предложенной модели на платформе Maple созданы символьные блоки, позволяющие автоматически получать аналитические выражения для распределения напряжений на контуре отверстия, свободного от нагрузок.
Основные результаты, выносимые на защиту.
- Приближенные соотношения нелинейной теории упругости и их экспериментальное обоснование.
- Постановки граничных задач и алгоритмы их решения, позволяющие автоматически получать аналитические выражения для комплексных потенциалов по степеням малого параметра вплоть до второго порядка включительно, описывающих напряженно деформированное состояние около отверстий, свободных от напряжений, по заданному конформному отображению области на внешность круга единичного радиуса и заданным граничным условиям на бесконечности.
- Созданные в рамках математического пакета Maple символьные блоки, предназначенные для автоматического получения аналитических решений задач о концентрации напряжений около отверстий, реализующих предложенный алгоритм.
Практическая ценность заключается в создании алгоритмов и символьных блоков для аналитического нахождения коэффициентов концентрации напряжений, применяемых в расчетах на прочность. Созданные символьные блоки являются готовым элементом для интерактивных спецкурсов по теме Концентрация напряжений на контуре отверстий.
Достоверность полученных результатов подтверждается тем, что область применимости предложенных соотношений непосредственно определялась с обеспечением 10%-ого отклонения полученных решений от литературных экспериментальных данных; полученные аналитические решения при стремлении малого параметра к нулю сводятся к известным линейным соотношениям.
Методы исследования. Использовались фундаментальные понятия и методы механики сплошных сред, нелинейной теории упругости и математической физики. Экспериментальная обработка данных проводилась методами математической статистики.
Публикации. По теме диссертации опубликовано шесть работ, из них три - в рецензируемых изданиях, рекомендованных ВАК.
Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы были представлены на VII всероссийской научно-технической конференции Проблемы информатики в образовании, управлении, экономике и технике (г. Пенза, 2007 г.), XXI международной научной конференции Математические методы в технике и технологиях. ММТТ-21 (г. Саратов, 2008 г.), VIII всероссийской научно-технической конференции Информационные системы и модели в научных исследованиях, промышленности, образовании и экологии (г. Тула, 2010 г.), V международной научно-практической конференции Техника и технология: новые перспективы развития (г. Москва, 2012), а также регулярно докладывались на научно-технических конференциях ВолгГТУ в 2008-2012гг.
Работа выполнена на кафедре прикладной математики Волгоградского государственного технического университета.
Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, заключения, списка используемой литературы. Объем основной части, включая 3 таблицы и 9 рисунков, а также список литературы из 212 наименований, составляет 127 страниц.
ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ
Введение. Обоснована актуальность темы диссертации, сформулированы основные цели и задачи исследования. Дано краткое описание содержания всех глав, а так же обзор существующих подходов к решению задач нелинейной теории упругости.
В первой главе диссертации приведено экспериментально-аналитическое обоснование построения приближенной модели нелинейной теории гиперупругости, построенной методом возмущения линейной теории с учетом эффектов третьего порядка. Приведена постановка задач при конечной плоской деформации несжимаемого гиперупругого тела. Описан вариант учета эффектов третьего порядка, при котором условие несжимаемости удовлетворяется тождественно. Проведено сравнение решений в рамках приближенной модели с известными решениями в точной постановке для некоторых типов задач.
разнообразие уравнений состояния нелинейной теории гиперупругости в отличие от линейной теории, где всегда выполняется закон Гука, снижает ценность точных постановок задач нелинейной теории упругости. Точные решения, найденные для конкретных потенциалов энергии деформации гиперупругих материалов, удовлетворительно совпадающие с экспериментальными данными для одного уровня деформированного состояния, могут не совпадать с этими данными для других уровней деформированных состояний.
Целью первого раздела является обоснование приближенной линженерной модели нелинейной теории гиперупругости для средних уровней деформации, одинаково удовлетворительно описывающей различные напряженные состояния и позволяющей использовать методы линейной теории для решения конкретных задач. Идея обоснования заключается в том, что по экспериментальным данным при одноосном растяжении находятся константы материала для предлагаемой модели, а потом на экспериментальном материале для двухосного растяжения проверяется приемлемость теоретического описания в рамках этой модели и сравнение с точными решениями для потенциалов Муни и Трелоара. В качестве метода построения такой модели применяется метод возмущений, использующий разложение в степенные ряды по малому параметру объекты, описывающие напряженно-деформированное состояние.
Для изотропного несжимаемого материала функция удельной потенциальной энергии деформации (потенциал энергии деформации) может быть представлена в виде , где - главные инварианты меры деформации Коши . Пусть - главные кратности удлинения, - главные истинные напряжения, тогда
, , .
Для несжимаемого материала . При одноосном растяжении имеем следующие соотношения , и поэтому: , .
Из общих соотношений нелинейной гиперупругости для несжимаемого изотропного материала получается известное соотношение, связывающее истинное напряжение с кратностью удлинения .
Для потенциала Трелоара получаем.
Для потенциала Муни, где - константа, будем иметь выражение:.
Для положительности данных потенциалов энергии деформации необходимо и достаточно, чтобы , .
Для изотропного несжимаемого материала в работе Ривлина и Сондерса показано, что потенциал линейно зависит от инварианта и нелинейно от инварианта : , поэтому предполагается, что он допускает полиномиальную аппроксимацию вида
.
Разлагая результат в ряд по параметру и удерживая члены до третьего порядка, получаем ,
где , , .
Остальные константы не влияют на эффекты третьего порядка при любом виде напряженно-деформированного состояния, поэтому в рамках рассматриваемой модели можно ограничиться выражением для потенциала энергии деформации в виде
. 1 2
Здесь - константы, причем - модуль сдвига линейной теории.
Для анализа предлагаемой модели были использованы экспериментальные данные, приведенные в диссертации В.П. Никифорова. В рассмотренной работе, в частности, проведены эксперименты по одноосному и двухосному растяжению для пяти видов ненаполненных резин и натурального каучуков. Исследования проводились в режиме постоянной деформации. Время релаксации напряжений составляло 20 часов при . Эксперименты проводились на образцах типа крест размером мм. В результате эксперимента вычислялись истинные напряжения и кратности удлинений. По оценке В.П. Никифорова среднеквадратичные ошибки при вычислении истинных напряжений и кратностей удлинений не превышали величин 0.106 кг/см2 и 0.0103 соответственно.
Модуль сдвига линейной теории, входящий во все выражения, был использован из работы Никифорова. По данным для одноосного растяжения методом наименьших квадратов определялись константы , , в потенциале Муни и кубическом потенциале (1).
Для реализации метода наименьших квадратов использовалась программа нелинейного программирования NLPSolve из пакета расширений Optimization системы символьной математики Maple.
Теоретические значения истинных напряжений, вычисленные при всех видах деформаций, были использованы для сравнения с соответствующими значениями, полученными экспериментальным путем. На основании этих результатов при рассматриваемых видах деформаций для всех видов резин составлена таблица 1, в которой показаны интервалы применимости рассматриваемых потенциалов (цифра 1 - соответствует потенциалу Трелоара, 2 - потенциалу Муни, 3 - кубической модели). Критерием для ограничения применимости потенциалов было выбрано 10%-ное отклонение теоретического значения напряжения от экспериментального. Максимальное значение кратности удлинения в эксперименте для резин на основе синтетического каучука составило 3.03, для резины из натурального каучука - 3.585 при одноосном растяжении.
Из таблицы 1 видно, что при умеренных значениях деформации предлагаемая кубическая модель потенциала описывает напряженно-деформированное состояние рассматриваемых видов резин не хуже остальных моделей. Но в рамках этой теории получаем три краевые задачи линейной теории упругости для эффектов первого, второго и третьего порядков, что позволяет использовать для их решения хорошо разработанные аналитические методы линейной теории упругости. Этот аспект является важным, поскольку численные методы нуждаются в аналитических решениях для проверки на пригодность, кроме того аналитические решения делают возможным анализ и оптимизацию влияния силовых и геометрических параметров на поведение решения. Численные методы требуют для решения такой задачи проводить обширную программу расчетов с последующим приближенным восстановлением зависимостей.
Таблица 1 | ||||||
Резина | Потенциал | Одноосное растяжение | Двухосное несимметричное растяжение | Двухосное симметричное растяжение | Чистый сдвиг | |
1 | 1 | 1.41 | 1.12 | 1.5 | 1.81 | 1.495 |
2 | 3.03 | 1.12 | 1.34 | 1.14 | 1.495 | |
3 | 3.03 | 1.44 | 1.88 | 1.14 | 1.91 | |
3 | 1 | 1.39 | 1.21 | 1.505 | 1.33 | 1.34 |
2 | 1.485 | 1.21 | 1.505 | 1.215 | 1.34 | |
3 | 2.78 | 1.14 | 1.405 | 1.215 | 1.45 | |
| 5 | 1 | 1.66 | 1.055 | 1.27 | 2.07 | 1.765 |
2 | 3.585 | 1.535 | 2.035 | 1.445 | 1.765 | |
3 | 2.98 | 1.315 | 1.715 | 1.655 | 1.655 | |
Рассматривается краевая задача в напряжениях для плоской деформации
,
где и - радиус-векторы точек в плоскости, ортогональной оси , в текущей и отсчетной конфигурациях соответственно, - декартовы координаты точек в плоскости текущей конфигурации, а - координаты тех же точек в отсчетной.
Задача в нелинейной постановке для изотропного несжимаемого материала с функцией удельной потенциальной энергии деформации (потенциалом энергии деформации) в виде (1) сводится к трем краевым задачам линейной теории упругости. Это позволяет использовать для их решения хорошо разработанные аналитические методы линейной теории, в частности, метод комплексных потенциалов Колосова - Мусхелишвили. Эти задачи выделяются при ограничении разложений для радиус-вектора частиц в текущей конфигурации и функции гидростатического давления членами разложения по малому параметру до второго порядка.
Полагая , 3 4
из общих соотношений нелинейной теории упругости получаем разложения для тензора-градиента и меры деформации Коши с точностью до в виде:
, ,
где , , Ц главный инвариант меры деформации Коши. Поскольку свойством находиться в высокоэластичном состоянии, требующим для расчета средства нелинейной теории упругости, обладают резиноподобные материалы, а они ведут себя как несжимаемые, то разложение для радиус-вектора (2) должно удовлетворять условию несжимаемости для эффектов первого и второго порядка:
, . 5 6
Разложение для функции гидростатического давления принимает вид .
Разложение плоской части выражения тензора напряжений Коши принимает вид
,
где , ,
Уравнения равновесия в отсутствие массовых сил приводятся к трем уравнениям равновесия для эффектов первого, второго и третьего порядков:
, ,
. 7 8
Условия интегрируемости можно записать в виде системы
, ,
9 10
Здесь Ц симплектический оператор, .
Используя представления для плотностей внешних поверхностных усилий в деформированной конфигурации, граничные условия в напряжениях получим в форме:
,
, 11 12
Если плотность внешних сил задана в отсчетной конфигурации, а нагружение "мертвое ", то .
В разработанной системе разложение для радиус-вектора частиц в текущей конфигурации (2) представляется в виде:
Уравнения равновесия приводятся к системе уравнений для эффектов первого, второго и третьего порядков
,
,
где ,
,
.
При этом условие несжимаемости (3) удовлетворится тождественно для произвольных функций , и , а уравнения (5) превратятся в бигармонические
, ,
13 14
Силовые граничные условия переходят в
,
,
Приводится сравнение решений задачи о концентрации напряжений около круглого отверстия при равномерном растяжении на бесконечности, полученных на основе инженерной теории с точными решениями для потенциала вида (1). Показано, что разложение точного решения по малому параметру до третьего порядка включительно совпадает с решением, полученным в рамках инженерной теории третьего порядка. В отличие от классического результата линейной теории упругости, в которой коэффициент концентрации постоянен , в нелинейном решении он растет с ростом внешней нагрузки. При поправка к линейному решению достигает 25%.
Во второй главе приводится комплексное представление перемещений и напряжений для эффектов первого и второго порядка. С помощью стандартной процедуры граничные задачи линейной теории упругости для эффектов первого и второго порядков сводятся к интегральным уравнениям теории функций комплексной переменной. Рассматриваются только области, которые можно конформно отобразить на внешность окружности единичного радиуса с центром в начале координат с помощью функции вида
.
Для этих областей интегральные уравнения теории функций комплексной переменной приводятся к алгебраическим уравнениям с помощью интегралов типа Коши. Предложен алгоритм точного вычисления интегралов типа Коши для добавочных слагаемых в уравнениях эффектов второго порядка. Приведен обзор методов приближенного вычисления интегралов типа Коши в случае невозможности их точного вычисления. Представлена методика определения малого параметра и выражения для коэффициента концентрации напряжений около отверстий.
Переходя к комплексным переменным , и вводя комплексные потенциалы по формуле Гурса:
,
получим, что уравнения (7) выполнятся тождественно, а решением системы (4) являются функции:
,
,
где , ,
, .
В двусвязной области комплексные потенциалы для разложения по малому параметру до первого и второго порядков представляются в общем случае в виде
,
,
,
.
Константы , , и выражаются через компоненты главного вектора на контуре:
,
.
И потенциалы для первого и второго приближения можно записать в форме:
,
,
.
Далее искомые потенциалы аппроксимируются разложением в ряды Лорана, а коэффициенты находятся из условия удовлетворения граничным условиям (6) на бесконечности и на контуре отверстия. На бесконечности с помощью предельного перехода получаем конечную систему линейных алгебраических уравнений для части коэффициентов разложения. Получение уравнений для оставшихся коэффициентов требует вычисления интегралов типа Коши на контуре отверстия. Тангенциальные напряжения на контуре, необходимые для вычисления коэффициента концентрации вычисляются в виде инварианта , поскольку на свободном от нагрузки контуре нормальные напряжения равны нулю.
Для первого приближения при вычислении тангенциальных напряжений на контуре применяется инвариант , поскольку на свободном контуре . Для эффектов второго порядка для вычисления тангенциальных напряжений на контуре применяется инвариант .
Получаем ,
.
Показано, что несмотря на использование потенциала энергии деформации в виде (1) константы и в окончательные выражения для эффектов второго порядка, такие как выражения для напряжений и коэффициента концентрации, не входят. То есть подтверждается утверждение о том, что эффекты второго порядка описывают только влияние геометрической нелинейности.
В третьей главе описывается комплекс программ, созданный на базе пакета символьной математики Maple и предназначенный для автоматизации символьных вычислений при решении задач о концентрации напряжений около отверстий. Конфигурация предлагаемой программы представлена в виде библиотеки программ BiblA, подгружаемой в Maple пользователем. Структура интерфейса имеет вид рабочего листа Maple, что упрощает освоение символьных блоков Концентрация напряжений для механика, знакомого с Maple. Для правильной работы команд этой библиотеки необходимо подгрузить такие пакеты Maple как linalg, PDEtools, plots и powseries.
Основная идея, положенная в основу создания символьных блоков, повышающая ее практическую ценность, состоит в том, что она не вычисляет объекты по готовым формулам предыдущей главы, а начинает вычислять разложения этих объектов, начиная с разложения вектора перемещения, автоматически удовлетворяющего условию несжимаемости. Все формулы предыдущей главы, полученные в ручном режиме на бумаге, были проверены следующим образом. Брался результат работы программы и сравнивался с результатом, полученным по формулам предыдущей главы. Формулы предыдущей главы необходимы лишь для компактной записи, ибо программа выдает результаты в компонентной форме в декартовой системе координат, которые уже для эффектов второго порядка очень громоздки и необозримы, но именно по ним можно вычислять значения тех или иных величин, строить графики, находить экстремумы и т.д. Это лишний раз подчеркивает необходимость созданной программы в нелинейной теории упругости.
Все процедуры данной библиотеки программ делятся на три группы. К первой группе относятся 16 процедур первого уровня. Это самодостаточные процедуры, которые не обращаются к другим процедурам библиотеки. Процедуры первого уровня носят вспомогательный характер и к ним непосредственно нет необходимости обращаться для решения задач о концентрации напряжений около отверстий. Исключение составляет программа AppIC(n,f,s), используемая для численного вычисления интегралов типа Коши. В качестве описания действия этих программ приводится рабочий лист Maple.
Процедуры второго уровня тоже носят вспомогательный характер, но они ссылаются на процедуры первого уровня. Таких процедур 6 и они обеспечивают вычисление объектов, описывающих напряженно-деформированное состояние тел. Обращение к процедурам и результаты их выполнения также приведены в диссертации.
Процедуры третьего уровня ссылаются на процедуры второго уровня и составляют библиотеку Концентрация напряжений на контуре отверстия. Обращение только к ним достаточно для аналитического решения задач как в линейном, так и в квадратичном (по малому параметру) приближении. Таких процедур 10. Следует отметить жесткий порядок следования процедур, так как последующие используют результат действия предыдущих.
В качестве примера исследуется зависимость характера монотонности коэффициента концентрации от формы эллиптического отверстия и внешней нагрузки. Рассматривается контур отверстия, заданный уравнением , . Здесь - коэффициент формы. Коэффициент концентрации линейно растет с ростом . Приведены поверхности для различных значений коэффициента формы .
Из анализа этих поверхностей следует, что в промежутке максимальные значения лежат в вершинах эллипса и растут с ростом (рисунок 1). При коэффициент концентрации не зависит от внешней нагрузки (рисунок 2). В диапазоне максимальные значения продолжают лежать в вершинах эллипса, но убывают с ростом (рисунок 3). В промежутке один экстремум с некоторого значения расщепляется на три. Один остается в вершине и его значение продолжает уменьшаться, а два других располагаются симметрично относительно вершины и расходятся с ростом . Эти кривые строятся как линии уровня . Значение этих экстремумов растет с ростом и, начиная с некоторого значения, начинают превышать значение в вершине (рисунок 4).
В заключении приводятся основные результаты работы.
ОБЩЕЕ ЗАКЛЮЧЕНИЕ И ВЫВОДЫ
- Построена приближенная нелинейная модель плоской деформации несжимаемого однородного изотропного материала в рамках эффектов третьего порядка. Проведен вычислительный анализ (по литературным экспериментальным данным) области применимости предложенной модели. Результаты сравнивались с точным решением задачи о концентрации напряжений на контуре окружности при равномерном растяжении на бесконечности для потенциала применяемой приближенной модели
.
- Показано, что для эффектов первого и второго порядка основные уравнения краевой задачи с неизвестными функциями и являются бигармоническими, в отличие от задачи для эффектов третьего порядка. Этот факт позволяет автоматизировать аналитическое решение краевых задач для эффектов первого и второго порядка единым образом.
В эффектах третьего порядка аналогичное уравнение является неоднородным бигармоническим уравнением с правой частью, зависящей от решений для эффектов первого и второго порядка, что не позволяет воспользоваться теми же подходами. Однако записанный выше потенциал, константы которого получены в рамках эффектов третьего порядка, предлагается использовать и в модели с эффектами второго порядка, в рамках которой разрабатывается автоматизация аналитических расчетов. - Представлены вычислительные формулы для эффектов первого и второго порядка, позволяющие получить аналитическое выражение для коэффициента концентрации напряжений около отверстия для различных видов отверстий и различных граничных условий на бесконечности. Показано, что, несмотря на использование предложенного потенциала энергии деформации, содержащего три константы , величины и в окончательные выражения напряжений и коэффициента концентрации для эффектов второго порядка не входят. Тем самым подтверждается вывод о том, что для несжимаемого материала эффекты второго порядка описывают только влияние геометрической нелинейности. Приведена методика выбора малого параметра по граничным условиям и выражения для коэффициента концентрации.
- Представлено описание и инструкция по применению символьных блоков для решения задач о концентрации напряжений на контуре отверстия.
- На примере эллиптического контура исследован нелинейный эффект зависимости коэффициента концентрации напряжений от уровня внешней нагрузки и формы контура.
Результаты диссертационной работы отражены в шести публикациях.
Статьи в ведущих рецензируемых научных журналах и изданиях, определенных Высшей Аттестационной Комиссией России:
- Щукина, Н.А. Выделение эффектов второго порядка в тензоре кратности удлинения и логарифмической мере деформации / Б.А. Жуков, Н.А. Щукина // Изв. ВолгГТУ. Серия "Реология, процессы и аппараты химической технологии". Вып. 1 : межвуз. сб. науч. ст. / ВолгГТУ. - Волгоград, 2007. - № 11. - C. 62-64.
- Щукина, Н.А. Модель эффектов третьего порядка в статических задачах расчётов резинотехнических изделий / Б.А. Жуков, Н.А. Щукина // Изв. вузов. Северо-Кавказский регион. Естественные науки. - 2010. - № 3. - C. 24-27.
- Щукина, Н.А. Эффекты третьего порядка в исследовании концентрации напряжений около отверстий / Б.А. Жуков, Н.А. Щукина // Изв. ВолгГТУ. Серия Реология, процессы и аппараты химической технологии. Вып. 3 : межвуз. сб. науч. ст. / ВолгГТУ. - Волгоград, 2010. - № 1. - C. 113-118.
Публикации в других изданиях:
- Щукина, Н.А. Моделирование решения плоских задач о концентрации напряжений около отверстий в системе Maple / Н.А. Щукина, Ю.Ю. Андреева // Информационные системы и модели в научных исследованиях, промышленности, образовании и экологии : докл. VIII всерос. науч.-техн. конф. / Тульский гос. ун-т [и др.]. - Тула, 2011. - C. 44-46.
- Щукина, Н.А. Некоторые модели эффектов второго порядка для гиперупругих изотропных несжимаемых сред / Б.А. Жуков, Н.А. Щукина // Математические методы в технике и технологиях. ММТТ-21 : сб. тр. XXI междунар. науч. конф., 27-30 мая 2008 г. / Саратовский гос. техн. ун-т [и др.]. - Саратов, 2008. - Т. 3. - C. 151-154.
- Щукина, Н.А. Создание символьных блоков для решения задач нелинейной теории упругости / Б.А. Жуков, Н.А. Щукина // Техника и технология: новые перспективы развития: матер. V междунар. науч.-практ. конф. (18.04.2012) / Науч. журнал "Естеств. и техн. науки", Изд-во "Спутник+". - М., 2012. - C. 77-80
Щукина Наталья Александровна
ИНЖЕНЕРНЫЕ модели плоских статических задач нелинейной упругости: аналитическиЕ решениЯ в символьных пакетах
Автореферат
Подписано в печать 22.11.2012 г. Заказ № 727. Тираж 100 экз. Печ. л. 1
Формат 60х84 1/16. Бумага офсетная. Печать офсетная.
Отпечатано в типографии ИУНЛ
Волгоградского государственного технического университета.
400005, Волгоград, просп. им. В.И. Ленина, 28, корп. № 7
Авторефераты по всем темам >>
Авторефераты по разным специальностям