Авторефераты по всем темам >>
Авторефераты по разное
РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ДРУЖБЫ НАРОДОВ На правах рукописи
Шульман Виктор Семенович
ИНВАРИАНТНЫЕ ПОДПРОСТРАНСТВА И ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРНЫЕ УРАВНЕНИЯ
01.01.01 Ч математический анализ
АВТОРЕФЕРАТ
диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук
МоскваЧ2009
Работа выполнена на кафедре высшей математики Вологодского Государственного Технического Университета.
Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор М. Л. Гольдман, доктор физико-математических наук, профессор Р. С. Исмагилов, доктор физико-математических наук, профессор А. Я. Хелемский.
Ведущая организация: Воронежский Государственный Университет
Защита диссертации состоится 02 июня 2009 г. в 17 ч. 00 мин. на заседании диссертационного совета Д 212.203.27 в Российском университете дружбы народов по адресу: 117923, г. Москва, ул. Орджоникидзе, д. 3, ауд. 495а
С диссертацией можно ознакомиться в Учебно-научном центре (Научной библиотеке Российского университета дружбы народов) по адресу: 117419, г. Москва, ул. Миклухо-Маклая, д.
Автореферат разослан 2009 г.
Ученый секретарь диссертационного совета кандидат физико-математических наук, доцент Л.Е. Россовский
ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ
Актуальность темы диссертации. Значение и актуальность исследования строения инвариантных подпространств операторно алгебраических систем обусловлены возможностью их использования для анализа основных свойств (спектральных характеристик, геометрических инвариантов, неприводимых представлений) этих систем. В частности, весьма существенным оказывается возможность использования результатов об инвариантных подпространствах для исследования линейных операторных уравнений и (в свою очередь) их приложений к дифференциальным уравнениям и теории псевдодифференциальным операторов. Большой интерес к этим вопросам вызывается и наличием плодотворных связей между теорией инвариантных подпространств и такими разделами функционального анализа как теория банаховых алгебр, спектральная теория операторов, теория структур, бесконечномерная геометрия, теория меры, теория приближений, гармонический анализ (в частности, спектральный синтез), асимптотика операторных полугрупп, структурная теория бесконечномерных алгебр Ли. Актуальность тематики подтверждается, также, активным участием многих ведущих исследователей в ее развитии. Скажем о некоторых рассматривающихся в работе вопросах более подробно.
1. Триангуляция (то есть, нахождение максимальных цепочек инвариантных подпространств) операторных алгебр, полугрупп и алгебр Ли, и, как ее первый шаг, выработка критериев нетривиальности решеток инвариантных подпространств. Эти вопросы имеют первостепенную важность для классификации представлений соответствующих алгебраических структур, исследования спектральной структуры операторных систем, строения их подсистем, идеалов и факторов. Интерес к проблемам триангулируемости возник уже в конце девятнадцатого века, вместе с теорией конечных групп и конечномерных алгебр Ли. Первые бесконечномерные результаты связаны с именами Гильберта, Шмидта, Вейля, фон Неймана, Стоуна, Халмоша, Л.С.Понтрягина, М.Г.Крейна.
Важным этапом развития тематики явилась работа В.И.Ломоносова, за которой последовали работы Д.А.Гурария и Л.А.Ваксмана, Войтыньского, Раджави, Розенталя и многих других математиков. Избранный в диссертации подход потребовал серьезного продвижения в теории банаховых алгебр (теория совместного спектрального радиуса) и исследования асимптотики компактно порожденных полугрупп, что само по себе имеет большое значение. Еще одно направление, в котором, в результате этого подхода, стал возможен существенный прогресс Ч это спектральная теория операторных уравнений с компактными коэффициентами.
2. Выяснение условий непрерывности основного в теории инвариантных подпространств отображения Lat, сопоставляющего алгебре операторов ее решетку инвариантных подпространств. Интерес к проблемам непрерывности Lat объясняется, прежде всего, тем, что ее наличие стабилизирует задачи описания решеток инвариантных подпространств и, тем самым, делает возможным "аппроксимационный" подход к их решению. Результаты о непрерывности оказываются полезными при изучении области значений Lat, то есть, тех решеток подпространств, которые имеют вид Lat(M) для некоторого семейства операторов M; такие решетки принято, следуя Халмошу, называть рефлексивными. Таким образом, в круг рассматриваемых задач входит поиск достаточно удобных критериев рефлексивности решеток подпространств, то есть, изучение тех свойств, которые выделяют решетки инвариантных подпространств среди всех решеток подпространств. Следует отметить, что исследование непрерывности Lat выявляет топологическую подоплеку ряда фундаментальных результатов теории операторных алгебр, таких как теорема Арвесона о коммутативных решетках или теорема Ларсона - Андерсена о кратности инвариантных цепочек.
Вопрос о непрерывности Lat приводит к необходимости изучения геометрии решеток подпространств, а также пространственных тензорных произведений таких решеток и, в частности, исследования проблемы Хоппенвассера - Крауса о нахождении условий на операторные алгебры A и B, при которых решетка инвариантных подпространств их тензорного произведения совпадает с тензорным произведением их решеток. Заметим, что двойственная задача Ч нахождение оболочки тензорного произведения решеток Ч также привлекала и привлекает большое внимание; в частности, для ее решения в случае симметричных решеток была построена теория Томиты - Такесаки, вызвавшая революционный прогресс в современной теории С*-алгебр.
Впервые вопросы непрерывности Lat, в неявном виде, возникли в работах фон Неймана, рассматривавшего "почти инвариантные" подпространства и "почти триангулирующие" цепочки подпространств.
Позднее это направление получило развитие в работах Апостола, Фояша, Войкулеску, Халмоша, Конвея, Хэдвина, Дэвидсона и др.. При этом основное внимание уделялось алгебрам с одной образующей; рассматриваемый в диссертации общий случай имеет принципиальные отличия и требует новой техники. Структура решеток инвариантных подпространств активно исследовалась в работах Диксмье, Калиша, М.С.Бродского, Донохью, Г.Э.Кисилевского, Н.К.Никольского, Домара, Д.В.Якубовича и многих других математиков.
3. Исследование структуры операторных бимодулей над максимальными самосопряженными коммутативными алгебрами операторов и соответствующих им проекторных систем (бирешеток). Рассматриваемые здесь вопросы можно разделить на два класса Ч те, которые связаны с разработкой чисто операторной (бескоординатной) техники в теории бирешеток, независимой от ограничений типа сепарабельности или счетной разложимости, и те, которые возникают при координатном подходе Ч они связаны c вопросами теории меры, емкости, спектрального анализа Ч синтеза и других классических областей анализа. Координатный подход впервые возник в работах Арвесона, который изучал специальный класс бимодулей Ч CSL-алгебры. Он же поставил (в основном, в алгебраической ситуации) множество задач как общеоператорного, так и координатного характера; некоторые из них рассматриваются и решаются в диссертации. На долгое время после работ Арвесона теория CSL-алгебр оказалась в центре внимания специалистов по теории операторных алгебр (среди которых можно выделить особенно значительный вклад Дэвидсона, Эрдеша, Ларсона, Андерсена). Необходимость изучения общемодульной ситуации выявилась в последнее десятилетие, в связи с потребностями теории линейных операторных уравнений, возникающих, в свою очередь, в теории представлений квантовых групп, уравнений в свертках, интегральных уравнений, линейных уравнений в частных производных. Рассмотрение этой тематики в диссертации потребовало создания и разработки нового аппарата: теории операторного синтеза, теории аппроксимативных обратных сплетений, теории псевдотопологических пространств.
Цель и задачи исследования. Целью диссертационной работы является разработка эффективного аппарата спектрального и триангуляционного (то есть, основанного на изучении структуры инвариантных подпространств) анализа операторно алгебраических систем Ч операторных алгебр, полугрупп, алгебр Ли, бимодулей над операторными алгебрами. Для этой цели в диссертации решаются задачи классификации представлений таких систем, изучения их решеток инвариантных подпространств, задачи совместной триангуляции, задачи выделения геометрических и аналитических инвариантов, удобных для анализа таких систем, изучения асимптотики компактно порожденных полугрупп, задачи спектрального и операторного синтеза, изучения топологических свойств (непрерывность, стабилизация, аппроксимативность) основных конструкций, рассматриваются проблемы теории меры и теории емкостей, исследуется строение ядер и образов операторов в шкалах банаховых пространств, анализируются спектральные характеристики операторов умножения в симметрично нормированных идеалах и, как следствие, операторов свертки и дифференциальных операторов в частных производных.
Объект и предмет исследования. Объектом исследования являются операторно алгебраические системы (алгебры, группы, полунруппы, алгебры Ли, бимодули операторов, действующих в гильбертовых или банаховых пространствах). Предмет исследования Ч алгебраические, геометрические (триангуляционные, в частности), спектральные свойства этих систем, их подсистем и связанных с ними систем линейных операторных уравнений.
Гипотеза. Основные результаты диссертации получены при исследовании справедливости следующих гипотез:
1. Алгебра Ли вольтерровых операторов имеет инвариантное подпространство (гипотеза Войтыньского).
2. Решетка проекторов тензорного произведения алгебр фон Неймана совпадает с тензорным произведением решеток проекторов сомножителей (гипотеза Хопенвассера) 3. Борелевское подмножество прямого произведения компактов содержит носитель ненулевого оператора тогда и только тогда, когда оно не является маргинально нулевым (гипотеза Арвесона).
4. Решетка подпространств, порожденная решеткой конечной ширины и коммутирующей с ней синтезируемой решеткой, является синтезируемой (гипотеза Арвесона).
5. Транзитивный бимодуль над максимальной абелевой симметричной алгеброй операторов ультраслабо плотен в пространстве всех операторов (гипотеза Дэвидсона).
6. Коммутатор компактного и нормального оператора имеет, в случае его ядерности, нулевой след (гипотеза Вейсса).
7. Пространство решений линейного операторного уравнения с коммутирующими нормальными коэффициентами совпадает с пространством решений формально сопряженного уравнения (гипотеза Вейсса).
Методология и методы проведенного исследования. В диссертационной работе используются методы классического анализа, теории операторов, теории банаховых алгебр, теории С*-алгебр, теории меры, теории емкостей Шоке, геометрии банаховых пространств, теории спектрального синтеза, теории симметрично нормированных операторных алгебр, теории представлений, теории структур. Специально для решения рассматриваемых в диссертации задач были разработаны аппарат теории псевдотопологических пространств, техника аппроксимативных сплетений, теория операторного синтеза.
Научная новизна полученных результатов. Основные результаты, полученные в диссертации, являются новыми. В тех случаях, когда изложение требует воспроизведения результатов и конструкций, принадлежащих другим математикам, это специально оговаривается и подчеркивается. В комментариях после каждой главы указывается, где опубликованы помещенные в этой главе результаты.
Рассмотрим, с этой точки зрения, каждую главу диссертации. Понятие совместного спектрального радиуса, являющееся основным техническим инструментом во второй главе, было введено в работе Рота и Стрэнга (1960 г). Однако применений к триангуляционным и спектральным задачам в этой работе не предполагалось, и потому ничего, кроме первого определения, в диссертацию из нее не вошло. Не только использование в теории инвариантных подпространств, операторных полугрупп и алгебр Ли, но и фундаментальные аналитические свойства, такие как субгармоничность совместного спектрального радиуса, не были установлены до работ автора и его ученика Ю.В.Туровского.
В третьей главе диссертации речь идет о непрерывности основного в теории инвариантных подпространств отображения Lat. Хотя аппроксимационные методы в теории инвариантных подпространств были инициированы еще фон Нейманом и концептуально близки к теории возмущений, теории рассеяния и т.д., принятый в диссертации подход, основанный на изучении геометрических свойств решеток проекторов и их тензорных произведений, является новым. Применения результатов о непрерывности к проблеме рефлексивности решеток (то есть, характеризации решеток инвариантных подпространств) также впервые появились в работах автора.
Начиная с четвертой главы, в изложении активно используется разработанный автором аппарат теории псевдотопологических пространств, ассоциированных с произведением двух пространств с мерой. Хотя вопросам эффективного описания алгебр, содержащих masa (максимальные коммутативные алгебры операторов), посвящена большая литература, особое место среди которой занимает статья Арвесона, техника псевдотопологии позволила значительно продвинуться в этом направлении, поскольку оказалась применимой для одновременного анализа различных masa-бимодулей. Как следствие, это позволило получить ответы на ряд открытых ранее вопросов теории masaW. Arveson, Operator algebras and invariant subspaces, Ann. of Math., 100 (1974), 433 - 5бимодулей и теории коммутативных решеток проекторов.
Теория операторного синтеза masa-бимодулей, развитая в пятой главе диссертации, также является новой, хотя связь между классическим спектральным синтезом и теорией инвариантных подпространств была открыта ранее Арвесоном. Ее построение позволило, в частности, решить ряд поставленных в (1) проблем. Связь между спектральным и операторным синтезом представляет сама по себе плодотворное направление исследований, на котором уже удалось установить ряд результатов, полезных как для теории операторов, так и для гармонического анализа.
В шестой главе диссертации обнаруживаются взаимно обогащающие связи между индивидуальным операторным синтезом и линейными операторными уравнениями. В связи с этим, разработан новый аппарат аппроксимативных обратных сплетений (АОС), позволяющий сравнивать поведение "родственных" операторов в шкалах банаховых пространств.
Применения его к линейным операторным уравнениям, тензорным алгебрам и теории дифференциальных уравнений позволили получить новые результаты и в этих областях.
Практическая значимость полученных результатов. Результаты работы имеют теоретический характер. Они могут применяться к операторным алгебрам, линейным операторным уравнениям и представлениям алгебр Ли, возникающим в механике и теоретической физике.
Основные положения диссертации, выносимые на защиту:
1. Получение результатов о существовании инвариантных подпространств операторно алгебраических систем на основе разработанного автором аппарата совместного спектрального радиуса, в том числе решение проблемы Войтыньского о нетранзитивности энгелевых алгебр Ли компактных операторов.
2. Исследование непрерывности зависимости решетки инвариантных подпространств от семейства операторов, а также разработка эффективных топологических и геометрических критериев, выделяющих решетки инвариантных подпространств в классе общих решеток подпространств.
3. Построение теории операторного синтеза, и основанное на ее результатах решение ряда задач теории инвариантных подпространств, в том числе выше формулировавшихся задач поставленных У.Арвесоном (1) и К.Дэвидсоном а) проблемы характеризации носителей бимодулей над максимальными абелевыми симметричными алгебрами, K. R. DAVIDSON, Nest algebras, Longman, 19б) проблемы плотности транзитивных бимодулей, и с) проблемы существования минимальной ультраслабо замкнутой алгебры с заданной коммутативной решеткой инвариантных подпространств.
4. Разработка аппарата аппроксимативных обратных сплетений и получение, на его основе, описания пространств решений линейных операторных уравнений, позволивших ответить на ряд нерешенных вопросов теории таких уравнений, поставленных Г.Вейссом, а также получение приложений к характеризации пространств ограниченных решений некоторых классов дифференциальных уравнений в частных производных.
Апробация результатов диссертации. Вошедшие в диссертацию результаты докладывались на конференции по операторным алгебрам в Пифагорио (Греция) в 1996 году, на семинаре А.Я.Хелемского по теории банаховых алгебр (МГУ), на семинаре Е.А.Горина и В.Я.Лина по теории банаховых алгебр (МГУ), на семинаре Н.К.Никольского и В.П.Хавина по теории функций и теории операторов (ЛОМИ) в 1983, 1985 и 1986 годах, на совместном англо-российском симпозиуме по теории операторов в Ленинграде в 1996 году, на семинарах Д.П.Желобенко и А.И.Штерна по теории представлений в МИАН и МГУ, на симпозиуме по банаховым алгебрам в Белефельде (1997), на конференции по бесконечномерныи линейным задачам в Словении (Блед 2001, 2005, Краньска Гора 2008), на конференции по банаховым алгебрам в Бедлево (Польша, 2003), на конференции по теории операторных алгебр в Эдмонтоне (Канада, 2003), на конференции IWOTA в Ньюкасле (2002), на семинарах по теории операторов и функциональному анализу в университетах Лондона, Оксфорда, Кембриджа, Лидса, Ланкастера, Эдинбурга, Ньюкасла, Белфаста, Дублина, Копенгагена, Гетеборга, Эгейском университете (Самос), университетах Гераклио (Крит), Афин, Торонто, Халифакса (Канада), Кента (США), Бордо, Белграда, Ленинграда, Минска, Институтах Математики Азербайджана, Украины, Белоруссии, на семинаре профессора Карлесона в Шведской Королевской Технической Школе (Стокгольм), на Воронежских Зимних Школах по функциональному анализу и Крымских Осенних Школах по спектральной теории; по ним были прочитаны курсы лекций в Афинском университете и в Банаховом центре института математики Польской АН.
Опубликованность результатов. По теме диссертации опубликована монография и 31 статья в научных журналах. Все результаты дисGary Weiss, The Fuglede commutativity theorem modulo the Hilbert-Schmidt>
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из шести глав (включая Введение), заключения и списка используемых источников. Список насчитывает 260 наименований. Полный объем диссертации составляет 264 страницы, в том числе список используемых источников занимает 20 страниц.
ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ.
Первая глава диссертации носит вводный характер и содержит, кроме общей характеристики работы, обзор литературы по теме диссертации.
Операторно алгебраические системы, рассматриваемые во второй главе диссертации Ч это алгебры, полугруппы и алгебры Ли операторов в произвольных банаховых пространствах. Спектральные методы их исследования взаимодействуют с триангуляционными, то есть с методами теории инвариантных подпространств. Накладываются неизбежные в такой общности ограничения компактности (некоторых) операторов системы. Основные результаты формулируются в терминах структуры инвариантных подпространств и могут быть переформулированы как утверждения об одномерности неприводимых блоков.
Пусть A Ч нормированная алгебра. Для ограниченного подмножества M A, положим M = sup{ a : a M}. Будем писать MN = {ab : a M, b N} для M, N A; соответственно определяются степени подмножеств.
1/n Определение. Число (M) = inf Mn называется (совместным) n спектральным радиусом множества M.
Множество M называется квазинильпотентным, если (M) = 0. Далее, множество называется конечно (компактно) квазинильпотентным, если все его конечные (предкомпактные) подмножества квазинильпотентны. Квазинильпотентность множества Ч важное и удобное свойство, прежде всего потому, что линейная оболочка квазинильпотентного множества состоит из квазинильпотентных операторов. Квазинильпотентные компактные операторы называются вольтерровыми.
Теорема 2.3.11. Пусть A Ч замкнутая подалгебра в B(X ) и A Ч ее коммутант. Тогда K(X ) rad A rad B, где B Ч замкнутая алгебра, порожденная A A.
Замкнутое подпространство Y в X называется гиперинвариантным относительно M B(X ) если оно инвариантно относительно всех операторов из M и всех операторов из коммутанта M.
Следствие 2.3.12. Пусть A Ч замкнутая подалгебра в B(X ). Если K(X ) rad A = 0, то A имеет нетривиальное гиперинвариантное под пространство.
Существенным спектральным радиусом e(M) множества операторов M называется совместный спектральный радиус его образа в алгебре Калкина.
Теорема 2.4.10. Пусть M Ч предкомпактное множество ограниченных операторов с e(M) < (M) = 1. Если полугруппа SG(M) не ограничена, то M имеет нетривиальное гиперинвариантное подпространство. Если же SG(M) ограничена, то она содержит ненулевой идемпотент конечного ранга.
Оператор T называется оператором основного типа, если (T ) = e(T ).
Теорема 2.8.4. Пусть G Ч полугруппа в B(X ). Допустим, что G содержит ненулевой двусторонний полугрупповой идеал J, состоящий из операторов основного типа, а также группу {exp(tT ) : t R}, где T Ч некоторый ненулевой вольтерров оператор. Тогда G имеет нетривиальное инвариантное подпространство.
Напомним, что нормированная алгебра Ли Ч это алгебра Ли, являющаяся нормированным пространством, причем [a, b] a b, где Ч некоторая константа. В нормированных ассоциативных алгебрах произведение Ли вводится формулой [a, b] = ab - ba, в этом случае = 2. Всякому элементу a L, соответствует ограниченный оператор ad a на L, определенный формулой (ad a)(b) = [a, b], для всех b L.
Нормированная алгебра Ли L называется энгелевой, если все операторы ad a, a L, квазинильпотентны.
Теоремы типа Кемпбелла - Хаусдорфа позволяют применять результаты об асимптотике операторных полугрупп к исследованию операторных алгебр Ли.
Теорема 2.9.4. Пусть L Ч энгелева алгебра и : L B(X ) Ч ограниченный Ли-гомоморфизм. Если равномерное замыкание алгебры Ли L содержит ненулевой компактный оператор, то L имеет нетривиальное гиперинвариантное подпространство.
Следствие 2.9.5. Всякая энгелева подалгебра Ли L в K(X ) триангулируема (и потому, замкнутая подалгебра в B(X ), порожденная L, коммутативна по модулю радикала Джекобсона).
Этот результат решает, в частности, вопросы, поставленные Войтыньским.
В третьей главе диссертации изучаются общие свойства отображения Lat, сопоставляющего ультраслабо замкнутой алгебре операторов A ее решетку инвариантных подпространств Lat(A). Прежде всего, нас интересуют критерии непрерывности отображения Lat и условия, при выполнении которых решетка подпространств попадает в его образ (является рефлексивной, в общепринятой сейчас терминологии, идущей от Халмоша ).
Чтобы придать в данном контексте точный смысл термину "непрерывность напомним общее понятие структуры сходимости на множестве 2X всех подмножеств некоторого топологического пространства X. Для любой сети {A} подмножеств X, обозначим через lim inf A множество всех точек x X, являющихся пределами сетей {x} с x A, а через lim sup A множество всех предельных точек таких сетей. Будем говорить, что сеть подмножеств {A} пространства X стремится к множеству A 2X и записывать это в виде A = lim A, если lim inf A = lim sup A = A.
Совокупность всех замкнутых подпространств гильбертова пространства естественно отождествляется с совокупностью ортопроекторов и на нее можно перенести топологию сильной сходимости операторов. В алгебре всех операторов мы рассматриваем сходимость в ультраслабой топологии. Теперь (частичную) непрерывность отображения Lat можно охарактеризовать как справедливость равенства lat(lim A) = lim(lat A) (1) для всех (соответственно, для некоторых выделенных) сетей {A} ультраслабо замкнутых унитальных операторных алгебр.
Особую важность имеют сети, направленные по убыванию или по возрастанию. Они всегда сходятся Ч к пересечению или, соответственно, замыканию объединения своих элементов.
Для сетей, направленных по возрастанию, равенство (1) тривиальным образом выполнено. С убывающими сетями ситуация более интересна и сложна.
Теорема 3.4.1. Существует убывающая последовательность слабо замкнутых алгебр An, таких что nLatAn отличается от lat(nAn).
W. Wojtyski, Banach-Lie algebras of compact operators, Stud. Math. 49 (1977), 263-2P.R. Halmos, Reflexive lattices of subspaces, J. London Math. Soc. (2) 4(1971), 257-263.
Таким образом для "непрерывности" нужны специальные ограничения. Исследование этого вопроса опирается на изучение некоторых операторно геометрических свойств решеток подпространств. Для дальнейшего особенно важны свойства решеток, связанные со свойствами их тензорных произведений на другие решетки подпространств.
Пусть K Ч сепарабельное гильбертово пространство и P Ч решетка всех проекторов в K. Мы будем говорить, что решетка подпространств L обладает свойством (p), если решетка P L рефлексивна.
Теорема 3.3.9. Пусть M1 и M2 Ч алгебры фон Неймана, хотя бы одна из которых инъективна. Если N1 и N2 Ч их решетки проекторов, то решетка N1 N2 рефлексивна.
Tеорему 3.3.9 можно переформулировать следующим образом: если одна из алгебр фон Неймана M1, M2 инъективна, то lat(M1 M2) = lat M1 lat M2. (2) Эквивалентность вытекает из того, что для любых алгебр фон Неймана справедливо двойственное утверждение:
alg(N1 N2) = alg N1 alg Nкоторое есть не что иное, как вариант теоремы Tомиты о коммутанте тензорного произведения.
Следствие 3.3.10. Всякая решетка фон Неймана (то есть, решетка проекторов алгебры фон Неймана) обладает свойством (p).
Определение. Если L Ч решетка подпространств, положим Lt = {P : I P P L}.
Будем говорить, что L тензорно замкнута, или обладает свойством (t), если L = Lt.
Нетрудно доказать, что всякая рефлексивная решетка тензорно замкнута. Следующее, до некоторой степени обратное, утверждение дает основу для получения дальнейших результатов о рефлексивности решеток.
Теорема 3.3.14. Тензорно замкнутая решетка со свойством (p) является рефлексивной.
Напомним, что состояние на B(K) Ч это положительный линейный функционал единичной нормы. Обозначим через E(B(K)) множество всех нормальных состояний на B(K). Для каждого E(B(K)) пусть L : B(K)B(H) - B(H) Ч (единственное) ультраслабо непрерывное отображение со свойством L(A B) = (A)B, A B(K), B B(H) (правое срезовое отображение).
Пусть (L) = {T B(H) : 0 T I, Es(T ) L, s [0, 1]}, (здесь Es(T ) Ч спектральный проектор оператора T, соответствующий интервалу [s, 1]).
Обозначим через conv L слабо замкнутую выпуклую оболочку решетки L.
Определение. Будем говорить, что решетка подпространств L обладает свойством (c) (свойством (c )), если L(P L) conv L (соответственно L(P L) (L)) для каждого нормального состояния на B(H).
Теорема 3.3.16. (c ) (c) (t).
Теорема 3.3.17. Всякая решетка фон Неймана обладает свойством (c ).
Теперь мы переходим к вопросу о достаточных условиях непрерывности Lat. Символ {A} будет использоваться для обозначения сети унитальных (то есть, содержащих единичный оператор) ультраслабо замкнутых алгебр.
Теорема 3.5.13. Пусть все алгебры A, , содержатся в некоторой алгебре операторов M, коммутант которой содержит две изометрии с взаимно ортогональными образами, и пусть A = lim A. Тогда lat A = lim lat A.
Применяя результаты о тензорных произведениях решеток, получим следующий результат:
Теорема 3.5.15. Пусть A, , рефлексивные алгебры операторов, такие что их решетки инвариантных подпространств lat A обладают свойствами (c ) и (p). Если A = lim A, то lat A = lim lat A.
Напомним, что алгеброй Арвесона называется ультраслабо замкнутая подалгебра в B(H), содержащая максимальную абелеву самосопряженную подалгебру алгебры B(H).
Следствие 3.5.16. Пусть A, Ч алгебры фон Неймана, или алгебры Арвесона. Если A = lim A, то lat A = lim lat A.
Условие s lat(A) = lat A можно рассматривать и как информацию о свойствах объединения направленной по возрастанию сети решеток подпространств. В частности, данное равенство (в тех случаях, когда оно справедливо) означает, что такое объединение Ч рефлексивная решетка.
Будем говорить, что некоторое свойство, которым может обладать решетка подпространств, является строго аппроксимативным, если условие, что все решетки L из направленной по возрастанию сети им обладают, влечет выполнение этого свойства для замкнутой решетки подпространств, порожденной их объединением.
Теорема 3.6.1. Свойство (p) строго аппроксимативно.
Как следствие, отсюда получается, что свойством (p) обладает всякая коммутативная решетка (сокращенно, CSL), тензорное произведение произвольной CSL на произвольную решетку фон Неймана и, еще шире, любая решетка подпространств, порожденная CSL и коммутирующей с ней решеткой фон Неймана.
Следующая теорема содержит, как очень специальный случай, теорему Арвесона о рефлексивности коммутативных решеток (и тем самым проясняет общеоператорный смысл этого замечательного результата).
Она существенно используется в доказательствах результатов последующих глав.
Теорема 3.6.4. Пусть {L} Ч направленная по возрастанию сеть решеток подпространств, обладающих свойствами (p) и (c), и пусть L Ч решетка подпространств, порожденная их объединением. Тогда L рефлексивна.
В четвертой главе диссертации начато изучение masa-бимодулей, то есть, операторных бимодулей над максимальными абелевыми симметричными подалгебрами (сокращенно, masa) алгебры B(H) всех ограниченных операторов в гильбертовом пространстве H.
Пусть D1 и D2 Ч masa в гильбертовых пространствах H1 и H2. Подпространство U B(H1, H2) называется бимодулем над D1, D2, если D2UD1 U. Бимодули над masa образуют широкий класс операторно алгебраических систем, обладающий богатой внутренней структурой и тесно связанный с различными областями функционального анализа - теорией операторных алгебр, теорией инвариантных подпространств, теорией меры, динамическими системами, спектральным синтезом, линейными операторными уравнениями. Его важным подклассом является класс алгебр Арвесона, содержащий, в свою очередь, класс CSL-алгебр (теория которых традиционно рассматривается как "несимметрическая" альтернатива теории алгебр фон Неймана).
Для masa-бимодулей имеется естественный аналог понятия решетки инвариантных подпространств Ч бирешетка бимодуля. Дадим, вначале, общее определение Подмножество S P(H1) P(H2) называется бирешеткой, если Х (0, 0), (0, 1), (1, 0) S;
Х (P1, Q1), (P2, Q2) S (P1 P2, Q1 Q2), (P1 P2, Q1 Q2) S.
юбое множество U операторов из B(H1, H2) определяет сильно замкнутую бирешетку Bil U = {(P, Q) P(H1) P(H2) | QT P = 0 для любого T U}.
Обратно, имея подмножество F P(H1) P(H2), мы полагаем M(F) = {T B(H1, H2) | QT P = 0 для любых (P, Q) F}.
Нетрудно доказать, что пространства вида M(F) Ч это, в точности, операторно рефлексивные операторные пространства; они характеризуются равенством U = M(Bil U). Аналогично, бирешетки вида Bil U характеризуются равенством S = Bil M(S) и тоже называются рефлексивными.
Пусть R1 B(H1), R2 B(H2) Ч алгебры фон Неймана. Бирешетка S называется R1 R2-бирешеткой если Sl = PR и Sr = PR.
1 Далее, если S является R1 R2-бирешеткой, то M(S) Ч R 1 R 2бимодуль. Обратно, для R 1R 2-бимодуля U мы рассматриваем R1R2бирешетку BilR,R2U = (Bil U) (R1 R2).
Если выбор R1, R2 очевиден, то мы пишем Bil U вместо BilR,R2U.
Бирешетка S называется коммутативной, если коммутативны ее проекции на обе компоненты.
Следующий результат Ч бирешеточная версия теоремы о рефлексивности коммутативных решеток.
Теорема 4.1.2. Если S Ч коммутативная бирешетка, то (Bil M(S)) (Sl Sr) = S.
Мы получили, в частности, что BilD,D2M(S) = S, для любой D1D2бирешетки S, где Di Ч masa. Таким образом, коммутативные бирешетки Ч это бирешетки masa-бимодулей; вопрос об их структуре и о том, в какой мере они характеризуют бимодули, является для нас основным.
В дальнейшем мы считаем, что D1, D2 фиксированы и, для любого U B(H1, H2), термин bil U означает BilD,D2U.
Коммутативные бирешетки, действующие в сепарабельном пространстве, имеют удобную координатную реализацию.
Пусть (X, ), (Y, ) Ч пространствa с мерой, H1 = L2(X, ), H2 = L2(Y, ), D1, D2 Ч алгебры фон Неймана операторов умножения на функции из L(X, ), L(Y, ). Тогда PD состоит из операторов умноi жения на характеристические функции борелевских множеств. Мы будем обозначать через PU и QV проекторы, соответствующие множествам U X и V Y.
Нам понадобится конструкция, объединяющая понятия топологического и измеримого пространств.
Псевдотопологическим пространством называется множество T, в котором выделено семейство E подмножеств, содержащее пустое множество, все T и замкнутое относительно формирования конечных пересечений и счетных объединений.
Подмножества, входящие в E, называются псевдооткрытыми, их дополнения Ч псевдозамкнутыми.
Исходя из пары пространств с мерами, можно построить специальную псевдотопологию, , на их прямом произведении.
Пусть (X, ), (Y, ) Ч пространства с мерами (для простоты, стандартными). Подмножество E прямого произведения X Y называется маргинально нулевым, если E (AY )(XB), где (A) = 0 = (B).
Два множества маргинально эквивалентны, если их симметрическая разность является маргинально нулевым множеством.
Назовем -открытыми все множества, маргинально эквивалентные счетным объединениям измеримых прямоугольников (то есть, множеств вида A B, где A X, B Y измеримы).
Фиксируя в пространстве XY псевдозамкнутое подмножество E, рассмотрим множество SE всех пар проекторов (PU, QV ), таких что E UV Ч маргинально нулевое множество.
Теорема 4.3.2. SE Ч замкнутая бирешетка. Обратно, для любой замкнутой D1 D2-бирешетки S существует единственное, с точностью до маргинальной эквивалентности, псевдозамкнутое множество E X Y, такое что S = SE.
Будем говорить, что псевдозамкнутое множество E несет оператор T, если QV T PU = 0 для любого прямоугольника UV, не пересекающего E. Носитель оператора T (или семейства операторов F) - это наименьшее, с точностью до маргинальной эквивалентности, псевдозамкнутое множество, на котором сосредоточен T (все операторы из F).
Носитель будет обозначаться supp T (соответственно, supp F). Из определения сразу следует, что, для любого псевдозамкнутого множества E, бимодуль M(SE) состоит из всех операторов, носители которых содержатся в E. Мы далее будем обозначать его через Mmax(E), чтобы подчеркнуть тот факт, что он является наибольшим из бимодулей с носителем E. Теорема о рефлексивности бирешеток показывает, что отображения E SE и S M(S) устанавливают естественные биекции между множеством классов эквивалентности псевдозамкнутых подмножеств в XY, множеством (сильно замкнутых) бирешеток в D1D2 и множеством рефлексивных (D1D2)-бимодулей. Естественность, в данном случае, означает согласованность с отображениями U Bil(U) и S MS.
Особо отметим следующий частный случай этого результата:
Следствие 4.3.3. Пусть E Ч псевдозамкнутое множество. Для того, чтобы существовал ненулевой оператор, сосредоточенный на E, необходимо и достаточно, чтобы E не было маргинально нулевым.
Для замкнутых подмножеств произведений компактов следствие 4.3.3 ("теорема о нулях") было получено Арвесоном (1). Там же был поставлен вопрос о справедливости этого результата для всех борелевских подмножеств (если считать пространства X,Y компактными, а меры , Ч регулярными борелевскими). Ответ на него оказывается следующим.
Теорема 4.5.5. Пусть , Ч регулярные борелевские меры на хаусдорфовых пространствах X, Y и пусть E Ч универсально емкостное подмножество в XY. Для того, чтобы существовал оператор, сосредоточенный на E, необходимо и достаточно, чтобы множество E не было маргинально нулевым. В частности, это справедливо для всех множеств из прямого произведения B(X)B(Y ) борелевских алгебр.
Так как для метризуемых компактов прямое произведение борелевских алгебр совпадает с борелевской алгеброй прямого произведения, то в этом случае ответ на сформулированный выше вопрос Арвесона положителен. В диссертации строится пример, показывающий, что в общем случае ответ отрицателен. Получена, также, количественная (минимаксная) форма теоремы о нулях.
Далее рассматривается вопрос о несущих множествах для операторов специальных классов. Очевидно, что множество E несет ненулевой оператор Гильберта - Шмидта тогда и только тогда, когда его мера не равна нулю. Далее, E несет ненулевой ядерный оператор тогда и только тогда, когда оно содержит прямоугольник ненулевой меры. Это утверждение, несмотря на простоту формулировки, уже далеко не очевидно.
Для общих шэттеновских идеалов вопрос связан с тонкими проблемами теории исключительных множеств. В диссертации строится пример псевдозамкнутого множества, несущего оператор из пересечения всех идеалов Cp с p > 1, но не несущего ненулевых ядерных операторов.
Приведем также несколько результатов о структуре masa-бимодулей, содержащих операторы специальных классов.
Известно (см (2), теорема 23.16), что всякий оператор конечного ранга в CSL-алгебре принадлежит замыканию по операторной норме ее ранг-один подпространства (линейной оболочки операторов ранга 1). Оказывается, что этот результат допускает усиления различного характера: CSL-алгебру можно заменить замкнутым по норме masaбимодулем и, что наиболее важно, операторную норму Ч следовой.
Теорема 4.4.2. Всякий оператор конечного ранга из замкнутого по операторной норме masa-бимодуля M принадлежит замыканию по следовой норме ранг-один подпространства в M.
Строятся примеры, показывающие, что теорема 3.4.2 не обобщается на ядерные операторы из M. Точно так же, предположение о замкнутости M по операторной норме существенно и не может быть ослаблено до замкнутости по следовой норме.
Теорема 4.4.19. Существует транзитивный бимодуль операторов конечного ранга, не плотный (по соответствующей норме) ни в одном из Шэттеновских идеалов Cp, 1 p < .
Следующий результат положительно решает проблему слабой операторной плотности ранг-один пространства для masa-бимодулей.
Следствие 4.4.5. Ранг-один подпространство строго рефлексивного masa-бимодуля M плотно в M в слабой операторной топологии.
Построен пример, показывающий, что ультраслабой плотности может не быть. Это неожиданно еще и потому, что в случае алгебр ситуация совсем иная. Пример используется в главе 5 для решения вопроса о реализуемости эффекта несинтезируемости в классе слабо замкнутых алгебр.
Пятая глава диссертации посвящена исследованию вопроса о возможности восстановления masa-бимодуля по его бирешетке. Эта задача идейно близка задачам спектрального синтеза функций на ЛКАГ; мы называем разработанный для ее решения аппарат теорией операторного синтеза.
Далее считаем фиксированными masa D1 и D2 в гильбертовых пространствах H1, H2 и рассматриваем D1D2-бирешетки и D1 D2бимодули. В частности, bil U, для любого U B(H1, H2), означает BilD,D2U.
Пусть S Ч D1 D2-бирешетка, сonv S Ч ее замкнутая выпуклая оболочка в D1 D2.
Будем говорить, что D1D2-бирешетка, S, является синтезируемой, если существует ровно один ультраслабо замкнутый D1 D2-бимодуль, бирешетка которого равна S. Следующий результат, положительно решающий проблему Дэвидсона (2), устанавливает синтезируемость бирешетки T riv = {(P, Q) : P = 0 или Q = 0} Теорема 5.1.5. Пусть H, K Ч гильбертовы пространства, D1 B(H), D2 B(K) Ч коммутативные алгебры фон Неймана. Тогда B(H, K) Ч единственный транзитивный ультраслабо замкнутый (D1, D2)-бимодуль.
Для произвольной D1D2-бирешетки S мы рассматриваем все ультраслабо замкнутые D1 D2-бимодули U, такие что bil U = S. Ясно, что среди них есть наибольший Ч M(S). Задача состоит в том, чтобы выделить и, по возможности, эффективно охарактеризовать наименьший.
Фиксируя нормальное состояние на B(l2), рассмотрим "срезовый" оператор L : B(l2H1, l2H2) B(H1, H2)}, определенный равенством L(A B) = (A)B. Положим FS = {(A, B) | (L(A), L(B)) сonv S для любого }, S = {(P, Q) FS | P, Q Ч проекторы} и M0(S) = {X B(H1, H2) | 1 X M(S)}, где 1 Ч тождественный оператор на l2. Тогда M0(S) является ультраслабо замкнутым D1 D2-бимодулем, содержащимся в M(S).
Теорема 5.1.9. Пусть S Ч произвольная D1 D2-бирешетка. Тогда M0(S) Ч наименьший из ультраслабо замкнутых D1 D2-бимодулей с бирешеткой S.
Из этого результата немедленно получается ответ на поставленный в (1) вопрос о существовании наименьшей ультраслабо замкнутой алгебры Арвесона с данной решеткой:
Следствие 5.1.10. Если L Ч произвольная CSL, то существует наименьший элемент в классе всех ультраслабо замкнутых алгебр A, для которых lat A = L и L A.
Ограничимся теперь рассмотрением сепарабельных пространств. Как уже отмечалось, в этом случае коммутативные бирешетки соответствуют псевдозамкнутым подмножествам прямого произведения пространств с мерами. Мы будем называть множества, соответствующие синтезируемым бирешеткам, множествами операторного синтеза, или множествами операторного -синтеза, когда потребуется уточнить, о каких мерах идет речь.
В диссертации получен ряд результатов, устанавливающих и использующих тот факт, что условие синтезируемости имеет, как и в классическом случае спектрального синтеза на ЛКАГ, аппроксимационный характер. Вот один из них:
Теорема 5.2.17. Пусть (X, ), (Y, ), (X1, 1) и (Y1, 1) Ч стандартные борелевские пространства с мерами, а : X X1, : Y Y1 Ч борелевские отображения. Пусть меры , абсолютно непрерывны относительно мер 1 и 1, соответственно. Если борелевское множество E1 X1 Y1 является (1 1)-синтезируемым, то ( )-1(E1) также ( )-синтезируемо.
Одно из наиболее важных следствий теоремы 5.2.17 относится к множествам конечной ширины.
Пусть fi и gi, i = 1,..., n Ч борелевские отображения стандартных борелевских пространств (X, ) и (Y, ) в упорядоченное стандартное борелевское пространство (Z, ). Тогда множество E = {(x, y) | fi(x) gi(y), i = 1,..., n} называется множеством ширины n.
Теорема 5.2.20. Всякое множество конечной ширины операторно синтезируемо.
Арвесон (1) определяет решетки конечной ширины как решетки подпространств, порожденные конечным числом гнезд (линейно упорядоченных решеток). Им доказано, что все решетки конечной ширины синтезируемы. Это эквивалентно утверждению теоремы 5.2.20 для множеств, являющихся графиками порядков.
В той же работе (стр.487) поставлен вопрос о синтезируемости решетки, порожденной объединением синтезируемой решетки и решетки конечной ширины. Ответ на него оказывается отрицательным:
Теорема 5.2.21. Существуют синтезируемая решетка L1 и решетка конечной ширины L2, для которых решетка L1 L2 не синтезируема.
Далее рассматривается связь операторного синтеза со спектральным синтезом в алгебре Варопулоса.
Пусть A Ч унитальная полупростая регулярная коммутативная банахова алгебра со спектром (пространством максимальных идеалов) K.
Мы будем отождествлять A с подалгеброй алгебры C(K). Для замкнутого множества E X, положим IA(E) = {a A : a(t) = 0 при t E} IA(E) = {a A : a(t) = 0 в окрестности E} и JA(E) = IA(E).
Говорят, что E Ч множество спектрального синтеза для A, если IA(E) = JA(E).
Интересующая нас банахова алгебра Ч это проективное тензор ное произведение V (X, Y ) = C(X)C(Y ), где X и Y Ч компактные пространства. Заметим, что спектр V (X, Y ) совпадает с XY. Пусть M(X), M(Y ) Ч пространства конечных борелевских мер на X и Y соответственно.
Теорема 5.4.1. Если замкнутое множество E X Y является множеством синтеза для любой пары мер (, ), M(X), M(Y ), то E Ч множество спектрального синтеза для V (X, Y ).
Теорема 5.4.1 дает возможность получать спектральные результаты за счет операторной техники. Так, применяя теорему 5.2.17, получаем Следствие 5.4.2. Пусть i : X Z и i : Y Z, i = 1,..., n Ч непрерывные отображения компактных метрических пространств X и Y в упорядоченное метрическое пространство Z. Тогда множество E = {(x, y) | i(x) i(y), i = 1,..., n} синтезируемо для алгебры V (X, Y ).
Отсюда немедленно вытекает тонкая теорема Друри о синтезируемости "нетреугольных" множеств (см. ).
В диссертации построен пример, показывающий, что прямое обращение теоремы 5.4.1 неверно. Таким образом, множества универсального (независимого от выбора мер) операторного синтеза образуют более узкий класс, чем множества спектрального синтеза. Изучается вопрос о том, какие из известных классов синтезируемых множеств входят в S.W.Drury, On non-triangular sets in tensor algebras. Studia Math. 34 (1970), 253Ц2этот класс. Рассматривается, также, класс операторно Диткинских множеств и операторная версия проблемы синтезируемости объединений.
В шестой главе диссертации рассматривается индивидульный операторный синтез для элементов алгебры Варопулоса и его приложения к проблемам теории линейных операторных уравнений.
Пусть A Ч полупростая, регулярная коммутативная банахова алгебра с единицей, и пусть KA Ч ее спектр (пространство характеров).
Элемент a A называется синтезируемым (или допускающим спектральный синтез), если он является пределом последовательности элементов, обращающихся в нуль в окрестностях множества null(a) его нулей.
Пусть M Ч модуль над A; для любого x M мы обозначаем через Supp(x) множество нулей его аннулятора в A.
Будем говорить, что элемент a A является синтезируемым относительно A-модуля M, если a x = 0 для любого x M, такого что Supp(x) null(a).
Пусть X, Y Ч компактные пространства и V (X, Y ) = C(X)C(Y ).
Для любых M(X), M(Y ), положим H1 = L2(X, ), H2 = L2(Y, ).
Полагая, для F (x, y) = fn(x)gn(y) V (X, Y ) и T B(H1, H2), n= F T = Mg T Mf (3) n n n=мы задаем структуру V (X, Y )-модуля на B(H1, H2).
Мы говорим, что функция F V (X, Y ) является операторно синтезируемой (относительно мер (, )), если она синтезируема относительно V (X, Y )-модуля B(H1, H2).
Следующее утверждение можно рассматривать как локальный вариант теоремы 5.5.1. Однако, в отличие от последней, оно является "двусторонним".
Теорема 6.2.4. Функция F V (X, Y ) допускает спектральный синтез, если и только если она операторно синтезируема при любом выборе конечных мер на X, Y.
Исследование уравнений вида (3) является частью общей теории линейных операторных уравнений (X) := BkXAk = 0 (4) kK где {Ak}kK = A, {Bk}kK = B Ч конечные или счетные семейства операторов, удовлетворяющие условию ||Ak||2 < , ||Bk||2 < kK kK . Если A, B Ч коммутативные семейства нормальных операторов, то говорят, что (4) Ч линейное уравнение с нормальными коэффициентами.
Для F V (X, Y ), пусть F Ч оператор X F X на B(H1, H2), соответствующий структуре V (X, Y )-модуля. Это оператор умножения с коммутирующими нормальными коэффициентами и его ядро ker F является пространством решений однородного линейного операторного уравнения. Пусть, как обычно, E (0) Ч 0-спектральное подпространF ство для F :
E (0) = {T B(H1, H2) | ||n (T )||1/n 0, n }.
F F Следствие 6.2.7. Следующие условия эквивалентны:
(a) F V (X, Y ) операторно синтезируема;
(b) ker F = E (0).
F Теорема 6.2.4 и следствие 6.2.7 сводят доказательство синтезируемости элемента алгебры Варопулоса к чисто операторной задаче. Ее решению, то есть, сравнению 0-спектрального подпространства и ядра для различных классов операторов умножения посвящена значительная часть этой главы. И обратно, результаты о спектральном или операторном синтезе имеют непосредственное применение к линейным операторным уравнениям. Так, например, полученная в предыдущей главе информация об условиях глобального операторного синтеза сразу влечет Следствие 6.3.4. Если псевдозамкнутое множество E X Y является множеством операторного синтеза, то любой оператор, сосредоточенный на E, удовлетворяет всем операторным уравнениям F T = 0, таким что F V (X, Y ) обращается в нуль на E.
В частности, справедливо Следствие 6.3.7. Пусть fi, gi, 1 i n, Ч борелевские функции на стандартных борелевских пространствах (X, ), (Y, ). Если T B(L2(X), L2(Y )) удовлетворяет операторным уравнениям Mf T = T Mg, 1 i n, i i то F T = 0, для любой функции F V (X, Y ), исчезающей на {(x, y) | fi(x) = gi(y), 1 i n}.
Частным случаем следствия 6.3.7 является известная теорема Фуглида-Патнэма об эквивалентности уравнений AT = T B и AT = T B, где A, B Ч ограниченные нормальные операторы. Естественно возникает вопрос о том, распространяется ли этот результат на уравнеn n ния вида BiT Ai = 0 и Bi T A = 0, где {Ai}1in and {Bi}1in i=1 i=1 i Ч коммутативные семейства нормальных операторов. В диссертации показано, что эта задача, поставленная Гарри Вейссом, имеет отрицательное решение. Основная идея контрпримера основана на связи индивидуального и глобального синтеза.
В работе устанавливаются различные достаточные условия эквивалентности уравнений рассмотренного вида, а также более общих. Здесь многое основано на технике, позволяющей сводить исследование к операторам умножения в идеале операторов Гильберта - Шмидта. Мы начнем с общего подхода, позволяющего связывать пространства решений "одинаковых" уравнений в различных топологических векторных пространствах.
Пусть X и Y Ч топологические векторные пространства, : X Y Ч непрерывное вложение с плотным образом, а S и T Ч операторы, действующие в X и Y, соответственно, сплетаемые отображением :
T = S. В этом случае мы говорим, что дано сплетение (, S, T ).
Сеть линейных отображений F : Y X называется аппроксимативным обратным сплетением, (AII), для сплетения (, S, T ) если F 1X, F 1Y и FT - SF 0X в топологии простой сходимости. Если последнее условие заменить условием ограниченности сети FT - SF 0X, то F называется аппроксимативным обратным полусплетением (AIS).
Несмотря на общность ситуации, здесь удается получить нетривиальные результаты, оказывающиеся полезными в конкретных приложениях. Приведем некоторые примеры.
Обозначим через -1 операцию взятия полного прообраза относительно отображения : -1(M) = {x X | (x) M} для любого M Y (не обязательно M (X )). Как обычно, образ отображения X обозначается через Im X.
Теорема 6.4.1. Если сплетения (, Si, Ti), 1 i n, имеют общее AII, то -1( Im Ti) Im Si.
i i Пусть H Ч гильбертово пространство, рассматриваемое со слабой топологией.
Gary Weiss, The Fuglede commutativity theorem modulo the Hilbert-Schmidt>
Теорема 6.4.4. Пусть сплетает пары Si, Ti (i = 1, 2). Пусть X Ч банахово пространство со слабой топологией и ||S2x|| ||S1x||, для любого x X. Если (, S1, T1) имеет AII, то -1 -T1 (Im ) T2 (Im ) и ||-1T2y|| ||-1T1y|| (5) -при каждом y T1 (Im ).
Обозначим через X пространство антилинейных функционалов на X, снабженное *-слабой топологией (в частности, H = H). Сопряженный оператор (на X или между X и Y) определяется обычным образом. В частности, сопряженный к оператору на H имеет обычный смысл.
Пусть : H Y сплетает операторы S, S с T1, T2. Пусть {F} : Y H Ч аппроксимативное обратное сплетение для (, S, T1). Оно называется -аппроксимативным обратным сплетением (-AII) для упоря доченной пары ((, S, T1), (, S, T2)), если {FF} Ч AII для сплетения (, T1, T2). Аналогично определяется -аппроксимативное обратное полусплетение (-AIS).
Теорема 6.4.9. (i) Если пара ((, S, T1), (, S, T2)) имеет -AIS, то -(Im T1) T2 ((Y)) (H).
(ii) Если ((, S, T1), (, S, T2)) имеет -AII, то ||-1(T1y)||2 = ()-1(T2T1y), y для любого y (T2T1)-1((Y)).
Следствие 6.4.10. Если ((, S, T1), (, S, T2)) имеет -AIS, то Im T1 ker T2 = {0}.
Мы применяем результаты об (AII) в ситуации, когда X, Y Ч симметрично нормированные идеалы операторов в гильбертовом пространстве H (наиболее важные случаи: X = C1, Y = Cp, либо X = C2, Y = B(H)) а операторы T, S Ч сужения на эти идеалы оператора умножения (4). В качестве берется соответствующее "тождественное" вложение, а для существования (AII) или (AIS) нужно, чтобы выполнялись условия полудиагональности.
Семейство {Xk}kK называется полудиагональным относительно сн идеала J, если существует последовательность конечномерных проекторов Pn, такая что Pn s 1 и supn kK [Pn, Xk] < . Если J J = Cp, 1 p , мы пишем просто p-полудиагонально. Очевидно, что если p1 < p2, то каждое p1-полудиагональное семейство является p2-полудиагональным. В частности, 1-полудиагональность Ч наиболее сильное из таких условий, а C-полудиагональность Ч наиболее слабое. Так, любое конечное семейство операторов C-полудиагонально.
В диссертации получен ряд достаточных условий полудиагональности, в частности, показано, что семейство коммутирующих нормальных операторов Cp-полудиагонально, если размерность Хаусдорфа совместного спектра не превосходит p и что любое конечное семейство взвешенных сдвигов 1-полудиагонально. Другие примеры можно построить с помощью результатов Войкулеску и А.М.Вершика.
Перейдем к конкретным приложениям теории аппроксимативных сплетений.
В работе (3) Г.Вейсс доказал, что если A Ч нормальный оператор, X C2 и [A, X] C1, то tr([A, X]) = 0. Следующий результат развивает это утверждение сразу в нескольких направлениях (идеал операторов Гильберта - Шмидта заменяется произвольным Шэттеновским, оператор Ч семейством операторов, условие нормальности снимается).
Предложение 6.6.1. Пусть p (1, ]. Если семейство операторов n {Ak}n p/(p - 1)-полудиагонально, Xk Cp и [Ak, Xk] C1, то k=1 k=n tr( [Ak, Xk]) = 0.
k=Вейсс ставит вопрос о возможности ослабить в его теореме условие X C2 до условия компактности X. В диссертации построен пример, показывающий, что его нельзя ослабить даже до условия X >0C2+.
Отсюда можно вывести и ответ на другой вопрос Вейсса (поставленный в той же работе):
Следствие 6.6.6. Существуют нормальный оператор A и компактный оператор X, такие что [A, X] C1, [A, X] C1.
/ Следующий результат, относящийся уже к теории функций, также дает ответы на вопросы Вейсса (3).
Следствие 6.6.4. (i) Если fk Lip1/2([0, 1]), 1 k n, то не существует функций Fk L2([0, 1]2), удовлетворяющих условию n (fk(x) - fk(y))Fk(x, y) = 1. (6) k=(ii) При n = 2 то же верно, если fk непрерывны и вещественнозначны.
(iii) Условие вещественнозначности в (ii) опустить нельзя.
Известная проблема существования оператора A, для которого образ внутреннего дифференцирования X [A, X] имеет нетривиальное пересечение с коммутантом сопряженного оператора A, может быть переформулирована в контексте общих операторов умножения как вопрос о справедливости равенства ker = ker . (7) Отметим, что (7) представляется правильным вариантом "некоммутативной теоремы Фуглида". В самом деле, теорема Фуглида может рассматриваться как аналог, для нормальных внутренних дифференцирований, равенства ker A = ker A, справедливого для любого нормального оператора A. В этом же смысле, равенство (7) является аналогом равенства ker AA = ker A, справедливого для всех операторов. Ясно, что если (7) верно и коммутирует с , то из (7) сразу следует фор мула ker = ker = ker . Таким образом "некоммутативная теорема Фуглида если она справедлива, является широким обобщением классической. С другой стороны, то же рассуждение показывает, что в полной общности равенство (7) не может быть справедливым, поскольку, как мы знаем, существуют операторы умножения с коммутирующими нор мальными коэффициентами, для которых ker = ker . Тем не менее, как показывает следующий результат, равенство (7) выполняется для широкого класса операторов умножения.
Теорема 6.7.1. Если коэффициентное семейство {Ak}kK оператора 1-полудиагонально, то равенство (7) справедливо.
Условимся писать ||X||2 = , если X C2. В этих обозначениях / известная теорема Фуглида - Вейсса (7) означает справедливость равенства ||AX - XB||2 = ||AX - XB||для любых нормальных операторов A, B и любого оператора X. Следующая теорема переносит этот результат на гипонормальные операторы, то есть, такие операторы A, для которых [A, A] Теорема 6.7.3. Пусть A B(H) Ч гипонормальный оператор конечной кратности, и пусть B B(H) таков, что B гипонормален. Тогда для каждого X B(H) ||AX - XB||2 ||AX - XB||2.
Очевидно, что "теорема Фуглида как коммутативная, так и общая, для произвольного верна в C2 и, следовательно, в Cp, при p 2. Следующий результат показывает, что при всех p > 2 для справедливости такого рода утверждений необходимы ограничения на коэффициентные семейства.
Предложение 6.7.8. Для любого p > 2, существует оператор умножения с коммутирующими нормальными коэффициентами, такой что уравнения (X) = 0 и (X) = 0 не эквивалентны в Cp.
Далее изучается спектральная структура операторов умножения с коммутирующими нормальными коэффициентами. Мы приведем лишь оценку подъема asc , оператора (он определяется как наименьшее натуральное число n, для которого ker n = ker n+1).
Следствие 6.8.4. Если размерность спектра левого коэффициентного семейства не превосходит 2n, то asc n.
Теперь мы можем вернуться к теме, заявленной ранее, и применить имеющиеся результаты для получения критерия синтезируемости функций в алгебре Варопулоса V (X, Y ).
Теорема 6.9.1. Пусть F = fi gi V (X, Y ). Рассмотрим отобi=ражение f : X l2, заданное формулой f(x) = (f1(x), f2(x),...). Если dim f(X) 2, то F допускает спектральный синтез.
Заметим, что если dim X = 1 (или 2) и fi Lip1/2(X) (соответственно, fi Lip(X)), причем липшицевы константы Ci суммируемы, то из доказанной теоремы вытекает, что функция F (x, y) = fi(x)gi(y) доi пускает спектральный синтез в V (X, Y ).
k Теорема 6.9.2. Пусть F (x, y) = fi(x)gi(y) V (X, Y ). Обознаi=чим через m наименьшее целое число, большее или равное dim f(X), где f : X Ck Ч отображение x (f1(x),..., fk(x)). Тогда послеj довательность замкнутых идеалов Jj = F V (X, Y ) алгебры V (X, Y ) стабилизируется на шаге с номером n m. Более того, для любого j банахова модуля M над V (X, Y ), последовательность подмодулей F M стабилизируется на некотором шаге n m.
В заключение, свяжем обсуждаемую проблематику с гармоническим анализом и обыкновенными дифференциальными уравнениями.
Будем обозначать символом F преобразование Фурье (действующее в любом из рассматриваемых ниже пространств обычных или обобщенных функций). Пусть D Ч пространство бесконечно дифференцируемых функций с компактным носителем на Rn, D Ч сопряженное пространство (распределений), FL1(Rn) Ч алгебра Фурье, P M(Rn) Ч пространство, сопряженное к FL1(Rn) (пространство псевдомер), Ч свертка двух функций из D. Вложение P M D позволяет рассматривать распределение p D, для любого многочлена p от n переменных и любой псевдомеры .
Следствие 6.9.3. Пусть p Ч многочлен от двух переменных, тогда для псевдомеры P M(R2) включение supp p-1(0) эквивалентно условию p = 0.
Следствие 6.9.4. Пространство всех ограниченных решений уравнения p(i, i )u = 0 в R2 полностью определяется многообразием x1 xнулей многочлена p в R2.
СПИСОК ОПУБЛИКОВАННЫХ РАБОТ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ СТАТЬИ В НАУЧНЫХ ЖУРНАЛАХ 1. Логинов А.И., Шульман В.С. Инвариантные подпространства операторных алгебр// Итоги науки и техники, Математический анализ Ч Том 26, 65Ц145, 148, Академия Наук СССР, ВИНИТИ, Москва, 1988.
2. Шульман В.С. "Гнездовые алгебры"К.Р.Дэвидсона и обзор современного состояния вопроса // Алгебра и анализ Ч том 2, вып. 3, 236-255, 193. Шульман В.С. Теорема Фуглида-Патнэма и рефлексивность // Докл. АН СССР Ч 210 (1973), 543Ц544.
4. Шульман В.С. Операторы умножения в C-алгебрах и проблема рефлексивности алгебр, содержащих m.a.s.a.// Функциональный анализ и его приложения Ч 8 (1974), вып. 1, 92Ц93.
5. Шульман В.С. Операторные алгебры со строго циклическими векторами// Математические заметки Ч 16 (1974), 253Ц257.
6. Шульман В.С. Линейные операторные уравнения с обобщенноскалярными коэффициентами// Доклады АН СССР Ч 225 (1975), вып. 1, 56Ц58.
7. Шульман В.С. Одна теорема о неподвижной точке // Функциональный анализ и его приложения Ч 13 (1979), вып. 1, 88Ц89.
8. Шульман В.С. О неподвижных точках дробно-линейных преобразований// Функциональный анализ и его приложения Ч 14 (1980), вып. 2, 93Ц94.
9. Шульман В.С. Линейные операторные уравнения с нормальными коэффициентами// Доклады АН СССР Ч 270 (1983), вып. 5, 1070 - 1073.
10. Шульман В.С. Модули над операторными алгебрами // Функциональный анализ и его приложения Ч 17 (1983), вып. 2, 94Ц95.
11. Шульман В.С. Об инвариантных подпространствах вольтерровых операторов // Функциональный анализ и его приложения Ч (1984), вып. 2, 85Ц86.
12. Шульман В.С. Операторы умножения и следы коммутаторов // Исследования по линейным операторам и теории функций, XIII. Записки Научных семинаров ЛОМИ Ч 135 (1984), 182Ц194.
13. Шульман В.С. Сплетения и линейные операторные уравнения // Доклады АН СССР Ч 301 (1988), вып. 1, 57Ц14. Шульман В.С. Решетки проекторов в гильбертовом пространстве // Функциональный анализ и его приложения Ч 23 (1989), вып.
2, 86-87.
15. Шульман В.С. Операторы умножения и спектральный синтез // Доклады Академии Наук СССР Ч 313 (1990), вып. 5, 1047-1051.
16. Шульман В.С. Спектральный синтез и теорема ФуглидаПатнэма-Розенблюма // Теория функций и функциональный анализ Ч вып. 54 (1990), 25-36.
17. Шульман В.С. Факторизация вполне положительных коциклов и ГНС-конструкция для представлений в пространстве Понтрягина // Функциональный анализ и его приложения Ч 31 (1997), вып. 3, 91Ц18. Shulman, V. S. Invariant subspaces and spectral mapping theorems // Functional analysis and operator theory (Warsaw, 1992), Banach Center Publ. Ч vol.30, 313Ц325 Ч Polish Acad. Sci., Warsaw, 1994.
19. Shulman, V. S. Operators preserving ideals in C*-algebras // Studia Math. Ч 109 (1994), no. 1, 67Ц72.
20. Shulman, Victor Some remarks on the Fuglede-Weiss theorem // Bull. London Math. Soc. Ч 28 (1996), no. 4, 385Ц392.
21. Haydon, Richard; Shulman, Victor On a measure-theoretic problem of Arveson // Proc. Amer. Math. Soc. Ч 124 (1996), no. 2, 497Ц503.
22. Erdos, J. A.; Katavolos, A.; Shulman, V. S. Rank one subspaces of bimodules over maximal abelian selfadjoint algebras// J. Funct. Anal. Ч 157 (1998), no. 2, 554Ц587.
22. Shulman, Victor S.; Turovskii, Yuri V. Joint spectral radius, operator semigroups, and a problem of W. Wojtyski// J. Funct. Anal. Ч 177 (2000), no. 2, 383Ц441.
23. Shulman, V. S. On representations of limit relations // Methods Funct. Anal. Topology Ч 7 (2001), no. 4, 85Ц86.
24. Kissin, E.; Shulman, V. S. On the range inclusion of normal derivations: variations on a theme by Johnson, Williams and Fong // Proc. London Math. Soc. (3) Ч 83 (2001), no. 1, 176Ц198.
25. Shulman V.S., Todorov I.G. On subspace lattices. II. Continuity of Lat // Journal of Operator Theor. Ч 52(2004), 1-16.
26. Shulman, Victor; Turowska, Lyudmila Operator synthesis. I.
Synthetic sets, bilattices and tensor algebras // J. Funct. Anal. Ч 2(2004), no. 2, 293Ц331.
27. Shulman Victor; Turowska, Lyudmila Operator synthesis. II.
Individual synthesis and linear operator equations // J. Reine Angew.
Math. Ч 590 (2006), 143Ц187.
28. Shulman Victor; Turowska, Lyudmila Beurling-Pollard type theorems // J. London Math. Soc. Ч 75 (2007), 330Ц342.
29. Shulman, Victor S.; Turovskii, Yurii V. Invariant subspaces of operator Lie algebras and Lie algebras with compact adjoint action // J.
Funct. Anal. Ч 223 (2005), no. 2, 425Ц508.
30. Kissin, E.; Shulman, V. S.>
Operator-differentiable functions // Integral Equations Operator Theory Ч 49 (2004), no. 2, 165Ц210.
31. Bresar, M.; Kissin, E.; Shulman, V.S. Lie ideals: from pure algebra to C*-algebras// J. Reine Angew. Math. Ч 623(2008), 73-121.
МОНОГРАФИЯ:
Kissin E., Shulman V.S. Representations on Krein spaces and derivations of C-algebras. Ч London: Longman, 1997. Ч 602 p.