Авторефераты по всем темам >>
Авторефераты по педагогике
На правах рукописи
УДК: 378.016:51 Иванов
Игорь Анатольевич МОДЕЛЬ ОБУЧЕНИЯ АЛГЕБРЕ И НАЧАЛАМ АНАЛИЗА ДЛЯ ПРОФИЛЕЙ ЕСТЕСТВЕННОНАУЧНОГО НАПРАВЛЕНИЯ НА ОСНОВЕ ЛОГИКИ ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ
13.00.02 - Теория и методика обучения и воспитания (математика, уровень общего образования)
Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора педагогических наук
Санкт-Петербург 2011
Работа выполнена на кафедре методики обучения математике государственного образовательного учреждения высшего профессионального образования УРоссийский государственный педагогический университет им. А. И.
ГерценаФ
Научный консультант: доктор педагогических наук, профессор Владимир Викторович Орлов
Официальные оппоненты: доктор педагогических наук, профессор Александр Григорьевич Мордкович доктор педагогических наук, профессор Нелли Владимировна Седова доктор физико-математических наук, профессор Николай Алексеевич Широков
Ведущая организация: Московский педагогический государственный университет
Защита состоится 21 апреля 2011 года в 11 часов на заседании Совета Д 212.199.03 по защите докторских и кандидатских диссертаций в Российском государственном педагогическом университете имени А. И. Герцена по адресу: 191186, г. Санкт-Петербург, наб. р. Мойки, д. 48, корп. 1, ауд. 237.
С диссертацией можно ознакомиться в Фундаментальной библиотеке им. императрицы Марии Фдоровны Российского государственного педагогического университета имени А. И. Герцена.
Автореферат разослан л____ __________ 2011 года.
Ученый секретарь Совета Д 212.199.03, д.п.н., профессор И.В. Симонова
ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ
Актуальность темы исследования. Современный этап развития отечественного среднего образования направлен, как отмечается в Концепции модернизации российского образования до 2010 г., на создание условий для самореализации ученика в учебном процессе и формирование его готовности быть субъектом продуктивной деятельности в течение своего жизненного цикла. В Федеральном государственном образовательном стандарте общего образования, основывающегося на этих документах, сформулированы принципиальные положения, в соответствии с которыми под образовательными результатами понимаются УприращенияФ в личностных ресурсах учеников. Эти УприращенияФ должны будут использоваться при решении проблем, актуальных для личности, общества и государства. По сравнению с предыдущими этапами функционирования системы образования очевиден парадигмальный сдвиг от предметноцентрированной модели образования к модели вариативного, Уличностно центрированного образованияФ.
Для достижения целей образования в новой образовательной парадигме ставится задача Уформирования компетентности выпускников школы как интегрального качества личностиФ, при этом приоритет отдается формированию универсальных учебных действий в образовательном процессе. В Проекте (2010 г.) Федерального государственного образовательного стандарта среднего (полного) общего образования, разработанного Институтом стратегических исследований в образовании РАО (Л.П. Кезина, А.М. Кондаков) указывается, что требования к предметным результатам освоения курса математики на профильном уровне должны включать требования к результатам освоения курса на базовом уровне и дополнительно отражать:
владение опытом построения и использования моделей, проведения экспериментов и статистической обработки данных с помощью компьютера, интерпретации результатов, получаемых в ходе моделирования реальных процессов; умение оценивать числовые параметры моделируемых объектов и процессов, пользоваться базами данных и справочными системами.
Образование реализует две основные функции: образование с помощью предмета, направленное на развитие учащихся, и собственно предметное образование как основа будущей профессиональной подготовки. Международные мониторинговые исследования уровня математической подготовки российских школьников (например, PIRLS, TIMSS) фиксируют достаточно высокий уровень предметной математической подготовки учеников и весьма скромные результаты применения полученных математических знания в реальных ситуациях. Эти умения связаны: 1) с переработкой учебной информации; 2) с выполнением рассуждений и их аргументацией; 3) с умением решать проблемы в процессе коммуникативного взаимодействия. Вместе с тем, невысокий уровень развития прикладных умений вполне закономерен, т.к. традиции обучения математике в советской школе всегда связывались с обучением в логике теоретической математики, несмотря на то, что в методической науке всегда актуальными были исследования, связанные с решением проблемы прикладной направленности обучения математике, причем на каждом этапе развития науки и техники ставилась задача усиления этой направленности по сравнению с предыдущими этапами. При этом имело место противоречие системного характера - проблема Уреализации и усиления прикладной направленности обучения математикеФ и формирования Уприкладных умений и навыковФ решалась при доминирующей в обучении логике теоретической математики. Кроме этого, обобщение результатов анализа философской, психолого-педагогической, методической литературы, диссертационных исследований, современного состояния практики применения знаний для решения практических проблем учащимися при обучении алгебре и началам анализа в профилях естественнонаучного направления (ЕНН) дат возможность выделить дополнительно ряд противоречий:
- между теоретическим и прикладным аспектами математики как науки и несбалансированным представительством их дидактических проекций в обучении алгебре и началам анализа в школе: в настоящее время обучение алгебре и началам анализа осуществляется преимущественно в логике теоретической математики;
- между форматом подготовки выпускника современной школы в логике теоретической математики и потребностями высшей школы в выпускнике, подготовка которого позволяет формировать у него достаточно высокий уровень культуры прикладного математического исследования, т.е., прежде всего, умений по составлению и анализу математических моделей, а также интерпретации полученных результатов;
- между достаточно большим числом методических теоретических и практических исследований по вопросам прикладной направленности обучения математике в школе и методики ее реализации и стабильно невысокой результативностью применения результатов этих исследований в практике обучения алгебре и началам анализа;
- между отсутствием целостной теоретической концепции обучения алгебре и началам анализа в профильных классах естественнонаучного направления и наличием практической потребности в научно обоснованной модели, учитывающей специфику обучения в классах данного направления и оптимально сочетающей теоретическую и прикладную составляющие школьной математики.
Одним из эффективных средств преодоления указанных противоречий и достижения целей современного образования является профильное обучение, идея которого в России имеет давнюю историю, и возвращение к которому в настоящее время, на наш взгляд, объясняется следующими причинами: 1) профильное обучение является средством реализации ведущей деятельности старшеклассника (учебно-профессиональной), выполняет профориентационную функцию, что позволяет ученику сделать выбор сферы будущей профессиональной деятельности более осознанным; 2) оно выполняет пропедевтическую функцию, знакомя ученика с теми знаниями по ряду предметов, которые ему предстоит осваивать в высшей школе; 3) у ученика имеется возможность овладеть на школьном этапе обучения некоторыми предпрофессиональными умениями и навыками, такими как построение и исследование математических моделей; построение и реализация вычислительных алгоритмов; проведение приближенных вычислений; умение интерпретировать полученные решения.
Указанные выше противоречия и результаты анализа научно - методических исследований по проблемам обучения алгебре и началам анализа в старшей профильной школе являются основной причиной исследования путей совершенствования обучения алгебре и началам анализа в профильных классах ЕНН, определяют актуальность исследования и дают возможность сформулировать проблему исследования и его объект.
Проблема исследования: поиск средств и способов обучения алгебре и началам анализа на профильном уровне, реализующих во взаимосвязи теоретический и прикладной аспекты математики.
Объект исследования: процесс обучения алгебре и началам анализа в старших классах на профильном уровне.
В настоящее время в старшей школе выделяются профили, в которых математика изучается на базовом или на профильном уровне. Наше исследование посвящено проектированию и разработке модели обучения алгебре и началам анализа для профильных классов естественнонаучного направления.
Под профильными классами естественнонаучного направления мы понимаем классы, в которых в качестве ведущего профильного предмета выступают физика, химия, биология, география, т.е. это классы физико-химического, химико - биологического, географического профиля и т.д.
Существенные различия в математической подготовке учеников профилей ЕНН и учеников других профилей определяются, прежде всего, отношением к математике как к инструменту их будущей профессиональной деятельности: для учеников профилей ЕНН математика - основное средство, которое будет использоваться ими для решения широкого круга профессиональных задач, в отличие от учеников других профилей. Это требует определенного уровня сформированности прикладных умений и навыков с последующим переходом к соответствующему уровню умений и навыков построения, исследования и интерпретации математических моделей.
В рамках философии системного подхода (Э.Г. Винограй, Ю.А. Гастев, И.В. Прангишвили и др.) математика как наука трактуется как система, элементами которой являются две подсистемы - теоретическая математика и прикладная математика со своими математическими объектами как элементами указанных подсистем. Эти подсистемы диалектически сосуществуют.
Отношения между элементами подсистем определяются применяемой логикой. При этом логика прикладной математики (И.И. Блехман, А.Д. Мышкис, Я.Г. Пановко) существенно отличается от логики теоретической математики.
В настоящее время это обстоятельство в процессе обучения алгебре и началам анализа в профилях ЕНН не учитывается, что ведет к формированию у учеников неправильных представлений о математике как науке и, в дальнейшем, к снижению эффективности профессиональной подготовки студентов вузов соответствующего направления, поэтому актуальным является исследование возможности проектирования модели обучения алгебре и началам анализа, свободной от указанных выше недостатков системного характера. В этой связи предметом исследования является модель обучения алгебре и началам анализа для профилей естественнонаучного направления на основе логики прикладной математики.
Таким образом, целью данного исследования становится теоретическое обоснование, разработка и описание модели обучения алгебре и началам анализа в профилях естественнонаучного направления на основе логики прикладной математики, а также механизмов ее реализации.
В наиболее общем виде мы определили цель изучения алгебры и начал анализа как развитие ученика в процессе деятельности по освоению предметного содержания и изучению закономерностей окружающего мира. Выявление и преобразование опыта ученика, освоение им содержания предмета возможно только при его активной предметной деятельности. С.Л. Рубинштейн писал, что Упопытки учителя внести в ребенка познание и нравственные нормы, минуя собственную деятельность ребенка по овладению ими, подрывают... самые основы здорового умственного и нравственного развития ребенка, воспитания его личностных свойств и качествФ. Эта идея отражена и в концепции школьного математического образования: УОзнакомление школьников с математикой как специфической формой познания мира требует отказа от сложившейся практики школьного математического курса как безупречной в логическом и структурном отношении последовательности готовых результатов и сведений. Лучшие традиции преподавания математики предполагают такую методическую систему, при которой здание математики создается на глазах у учащихся и с их посильным участиемФ.
Гипотеза исследования состоит в следующем: если реализовать построенную на разработанных теоретических положениях модель обучения алгебре и началам анализа в профилях естественнонаучного направления на основе логики прикладной математики, то это будет способствовать:
- эффективному и осознанному освоению учебного материала, отражающего диалектический характер взаимодействия теоретической и прикладной составляющих науки математики, и, следовательно, повышению качества базовых знаний, а также повышению результативности обучения ведущим профильным предметам (физика, химия, биология, и др.);
- формированию устойчивой мотивации выбора профессии и формированию предпрофессиональных умений и навыков за счет вовлечения ученика в систематическую деятельность по применению метода математического моделирования и использованию информационных технологий;
- росту умственного развития ученика средствами предмета алгебры и начал анализа, следствием чего будет развитие личностных функций ученика: самостоятельности, рефлексивности, способности к самоорганизации, самообразованию, общению.
Таким образом, конкретными задачами исследования, определяемыми его предметом и целью, стали следующие.
1. Исследование истории развития математической науки в контексте использования логики прикладной математики при решении практических задач в ходе исторического развития общества и выявление ее влияния на эволюцию фундаментальных математических понятий и формирование математических теорий, а также истории математического образования с позиции выявления реализации прикладной направленности обучения математике.
2. Анализ истории развития профильного образования в стране в контексте проблемы нашего исследования.
3. Выявление характерных особенностей логики прикладной математики и исследование понятий Урациональная логикаФ и Урациональное утверждениеФ (установление типологии, способов их использования; разработка методики изучения материала учебного предмета с применением рациональных рассуждений).
4. Выявление психолого-педагогических основ построения модели обучения алгебре и началам анализа в профилях естественнонаучного направления на основе логики прикладной математики.
5. Разработка принципов построения модели обучения алгебре и началам анализа в профилях естественнонаучного направления на основе логики прикладной математики, а также методических и содержательно - технологических требований, обеспечивающих организацию изучения учебного материала и личностное развитие ученика.
6. Развитие в методике математики представлений о математическом моделировании в контексте обучения алгебре и началам анализа в профилях ЕНН, разработка методики обучения математическому моделированию с учетом применения логики прикладной математики.
7. Разработка методики реализации модели обучения алгебре и началам анализа в профилях естественнонаучного направления на основе логики прикладной математики.
8. Экспериментальная проверка эффективности созданной модели обучения и интерпретация полученных экспериментальных результатов.
Источником исследования являются научные разработки в области педагогики, психологии, философии образования, математики, теории и методики обучения математике, посвященные проблемам фундаментальных основ математики и методики обучения математике, т.е. теоретико - методологическую основу исследования составляют:
- исследования по истории математики и математического образования (В.В. Бобынин, Н. Бурбаки, И.Г. Башмакова, М.Е. Ващенко-Захарченко, Ф.
Клейн, Ю.М. Колягин, Т.С. Полякова, К.А. Рыбников, О.А. Саввина, А.П.
Юшкевич и др.);
- работы по методологическим основам математики и методологии математического образования (Ж. Адамар, А.Д. Александров, В.И. Арнольд, М.И. Башмаков, Г.Вейль, Д. Гильберт, Б.В. Гнеденко, М. Клайн, Ф. Клейн, А.Н. Колмогоров, Л.Д. Кудрявцев, А.Г. Мордкович, Д. Пойа, М.М. Постников, А. Пуанкаре, В.А. Садовничий, Г.И. Саранцев, В.М. Тихомиров, Г.
Фройденталь, А.Я. Хинчин и др.);
- теория деятельностного подхода в образовании и теория развивающего обучения (Л.С. Выготский, В.В. Давыдов, О.Б. Епишева, Л.В. Занков, В.П.
Зинченко, А.Н. Леонтьев, Е.И. Лященко, А.А. Столяр, З.И. Слепкань, Н.Ф.
Талызина, Д.Б. Эльконин и др.);
- работы по проблемам методов обучения и организации учебной деятельности (Ю.К. Бабанский, Н.В. Бордовская, Т.В. Габай, П.Я. Гальперин, С.И. Гессен, В.В. Давыдов, В.К. Дьяченко, Л.Б. Ительсон, Е.Н. КабановаМеллер, В.В. Краевский, И.С. Якиманская и др.);
- исследования по проблемам системного подхода в целом и его применение к анализу педагогического процесса (В.Г. Афанасьев, И.В. Блауберг, В.И. Егорченко, Л.С. Капкаева, В.И. Крупич, В.С. Леднев, В.М. Монахов, И.В. Прангишвили, Г.И. Саранцев, И.Л. Тимофеева, А.И. Уемов, И.З. Цехмистро, В.И. Штанько, П.Г. Щедровицкий, Э.Г. Юдин и др.);
- исследования по проблемам: психологии познания (Б.Г. Ананьев, Дж.
Андерсон, Дж. Брунер, Л.С. Выготский и др.); психологии мышления (С.В.
Маланов, А.М. Матюшкин, Н.А. Менчинская, О.К. Тихомиров и др.); психологии познавательно-поисковых процессов и концепции учебной мотивации (Н.А. Бакшаева, А.А. Вербицкий, В.К. Вилюнас, Е.П. Ильин, А.К. Маркова, Р.С. Немов, Ж. Пиаже, К. Роджерс, М.А. Родионов, С.Л. Рубинштейн и др.);
- психолого-педагогические исследования, раскрывающие представления о субъекте и его жизненной активности (Е.Д. Божович, Г. Клаус, Л.А.
Коростылева, А.Н. Леонтьев, Д.А. Леонтьев, Н.С. Подходова, И.С. Якиманская и др.);
- исследования по внедрению различных подходов в практику обучения математике (Э.К. Брейтигам, В.И. Горбачев, В.А. Гусев, О.Б. Епишева, Т.А.
Иванова, В.В. Орлов, Н.С. Подходова, Н.Л. Стефанова, В.А. Тестов, В.М.
Туркина и др.);
- работы по проблемам совершенствования методик обучения компонентам школьного математического образования (Я.И. Груденов, В.А. Гусев, В.А. Далингер, Т.Е. Демидова, Ю.М. Колягин, Е.И. Лященко, А.Г. Мордкович, В.В. Орлов, Н.С. Подходова, Г.И. Саранцев, Н.Л. Стефанова, А.В. Ястребов и др.);
- концепции гуманизации и гуманитаризации математического образования (Г.В. Дорофеев, Т.А. Иванова, Т.Н. Миракова, А.Х. Назиев, Г.И. Саранцев и др.);
- работы по проблемам совершенствования школьных учебников (Е.Б.
Арутюнян, А.Л. Вернер, М.Б.Волович, Г.Г. Граник, В.А. Гусев, Л.А. Концевая, А.Г. Мордкович, В.В. Орлов, Н.С. Подходова и др.);
- концепции дифференциации и индивидуализации обучения математике (М.И. Башмаков, В.Г. Болтянский, Г.Д. Глейзер, В.А. Гусев, Л.Н. Журбенко, Е.Е. Семенов, И.М. Смирнова, М.В. Ткачева, Р.А. Утеева, В.В. Фирсов и др.);
- исследования по различным аспектам реализации прикладной направленности обучения математике (В.Г. Болтянский, Н.Я. Виленкин, Э.Г. Готман, В.А. Гусев, В.А. Далингер, Г.В. Дорофеев, М.И. Зайкин, Н.И. Зильберберг, И.А. Иванов, Е.С. Канин, Ю.М. Колягин, В.И. Крупич, А.А. Максютин, В.И. Мишин, В.М. Монахов, А.Г. Мордкович, Е.Н. Перевощикова, Д. Пойа, Я.П. Понарин, Н.Х. Розов, В.И. Рыжик, А.Д. Семушин, А.А. Столяр, Л.М.
Фридман, Р.Г. Хазанкин, И.И. Чучаев, И.Ф. Шарыгин, А.Ю. Эвнин, П.М.
Эрдниев и др.).
В исследовании использовались следующие методы исследования: анализ психолого-педагогической, исторической и методической литературы, научной и учебной литературы по алгебре и началам анализа школьного и вузовского курсов, программ и учебников по математике XX-XXI веков; теоретическое исследование проблемы; анализ собственного опыта преподавания курсов алгебры и начал анализа, физики, астрономии и информатики в средней школе, а также математических курсов в высшей школе по различным программам и учебникам (с 1987 года по настоящее время), анализ уроков учителей и студентов; беседы с учащимися, студентами и учителями, их анкетирование, тестирование; экспериментальная работа, обработка результатов педагогического эксперимента и их анализ.
На защиту выносятся следующие положения.
1. Исторически развитие математики и математического образования происходит во взаимосвязи и взаимодействии их теоретической и прикладной составляющих. В теоретической математике используется формальная логика, а в прикладной - рациональная. В настоящее время использование только логики теоретической математики в школьном курсе сдерживает его развитие, а выделенная в стандарте профильного обучения математике его направленность на формирование умения моделировать как универсального учебного действия требует привлечения логики прикладной математики. Таким образом, для профильных классов естественнонаучного направления должна использоваться такая модель обучения, в которой реализуются во взаимосвязи теоретическая и прикладная составляющие математики, что делает целесообразным использование при построении модели обучения не только логики теоретической математики, но и логики прикладной математики.
2. Разработанная концепция модели обучения алгебре и началам анализа, состоящая в рассмотрении модели с позиций системного подхода с явным выделением в ее составе модели ученика, модели учителя, модели учебного предмета, модели методики реализации; отражении в модели в диалектическом единстве теоретической и прикладной составляющих математики как научной системы с постепенным усилением роли последней; понимании обучения алгебре и началам анализа как содержательно и логически завершенной ступени непрерывного математического образования, направленного не только на завершение изучения учащимися ведущих содержательнометодических линий модели курса алгебры и начал анализа, но и на успешное продолжение математического образования в высшей школе в выбранной области деятельности; отборе содержания модели курса на базе стандарта профильного обучения алгебре и началам анализа с учетом исторического опыта изучения математики в отечественной школе и необходимости использования полученных знаний и опыта деятельности для освоения смежных учебных предметов на профильном уровне и подготовки к получению профессионального образования позволяют сконструировать модель, которая учитывает дуализм целей обучения математике на профильном уровне, реализует обучение на основе логики прикладной математики, направлена на реализацию общеобразовательной и предпрофессиональной подготовки в области математики и способствует повышению качества знаний по ведущим профильным предметам (по физике, химии, биологии и др.).
3. Модель обучения алгебре и началам анализа для профилей естественнонаучного направления на основе логики прикладной математики является открытой системой. Эта модель, содержащая в качестве структурных компонентов, модели ученика, учителя и двухядерную модель учебного курса алгебры и начал анализа, дает возможность строить различные варианты методики обучения алгебре и началам анализа в профилях ЕНН. Предложенная функциональная модель обучения отражает основной принцип функционирования модели обучения как системы - принцип отрицательной обратной связи.
4. Выделенные нами и используемые в модели обучения типы рациональных утверждений (утверждения, содержащие некорректно определенные понятия; утверждения, допускающие применение понятий вне рамок их первоначального определения; допускающие изменение статуса понятия в зависимости от контекста; основанные на интуиции; основанные на индукции;
распространяющие результаты локального исследования на нелокальные случаи; основанные на аналогии; уточняемые в процессе исследования; рабочие гипотезы; феноменологические законы и полуэмпирические закономерности; утверждения, основанные на эксперименте), включение в ее содержательный блок новых разделов (УЭлементы теории погрешностейФ, УЭлементы математического моделированияФ, УЭлементы численных методовФ) и разработанная методика изучения математического содержания позволяют эффективно использовать возможности рациональной логики для реализации прикладной направленности школьного курса математики и подготовки к продолжению математического образования в высшей школе. Это позволяет осуществлять эффективное обучение методу математического моделирования как одному из основных методов познания закономерностей окружающего мира в естественнонаучных областях знания.
Научная новизна результатов исследования заключается в следующем:
Впервые в методике обучения математике решена задача построения модели обучения (интегрирующей теоретическую и прикладную составляющие математики) алгебре и началам анализа для профильных классов естественнонаучного направления на основе логики прикладной математики. Для этого:
1. Определена специфика обучения алгебре и началам анализа учащихся профилей ЕНН, которая состоит в следующем: ориентация учеников на преимущественное усвоение математических знаний и способов действий, необходимых для успешного освоения алгебры и начал анализа и ведущих профильных предметов, для осуществления математического моделирования, что является основой для продолжения математического образования в высшей школе; снижение уровня логической строгости изложения учебного материала.
2. Сформулирована концепция построения модели обучения алгебре и началам анализа в профилях естественнонаучного направления на основе логики прикладной математики, разработаны структурные, содержательные и технологические требования к ее компонентам.
3. Разработана модель обучения алгебре и началам анализа в профилях естественнонаучного направления на основе логики прикладной математики, являющаяся основой для построения других моделей обучения алгебре и началам анализа в различных профилях и для построения моделей обучения другим предметам.
4. В качестве подсистемы в модели обучения алгебре и началам анализа в профилях естественнонаучного направления на основе логики прикладной математики разработана двухядерная модель курса алгебры и начал анализа, реализующая пропедевтику содержания математических курсов высшей школы.
5. Выделен метод математического моделирования в качестве основного структурного элемента в модели обучения алгебре и началам анализа в профилях естественнонаучного направления на основе логики прикладной математики, что позволит обеспечить формирование учебно-познавательной компетенции учеников.
6. Уточнены технологические схемы введения понятий и проведения обоснований в логике прикладной математики.
7. Определены типы рациональных утверждений, используемые при построении реальных математических моделей, а также из них выделены те типы, которые используются в курсе алгебры и начал анализа в профилях естественнонаучного направления.
Теоретическая значимость исследования заключается в следующем:
- обоснована целесообразность построения модели обучения алгебре и началам анализа для профилей естественнонаучного направления, отличной от существующей модели обучения математике на профильном уровне, на основе логики прикладной математики, в рамках которой обучение алгебре и началам анализа рассматривается как ступень непрерывного математического образования. В этой модели в качестве ведущей деятельности учителя выделяется деятельность по обучению математическому моделированию.
- разработана концепция построения модели обучения алгебре и началам анализа для профилей естественнонаучного направления, реализующего в единстве теоретический и прикладной аспекты математики как науки, что также позволяет целостно подойти к построению моделей обучения различным учебным предметам на профильном уровне;
- уточнен и дополнен понятийный аппарат теории и методики обучения математике: предложены определения понятий Умодель обучения алгебре и началам анализаФ, Умодель обучения алгебре и началам анализа в профилях естественнонаучного направленияФ, Умодель курса алгебры и начал анализаФ в рамках системного подхода; показана возможность классификации моделей обучения в общем случае;
- обосновано использование различных типов рациональных утверждений как основы построения технологических схем обучения компонентам математического содержания и математического моделирования;
- обоснована целесообразность включения в профильный курс алгебры и начал анализа для профилей естественнонаучного направления новых математических разделов.
Практическая значимость исследования состоит в разработке учебных материалов для изучения профильного курса алгебры и начал анализа и методики их использования для классов ЕНН, а также в разработке методики изучения новых разделов курса; курса по выбору для студентов математических факультетов педагогических вузов, направленного на подготовку будущих учителей к обучению математике на основе логики прикладной математики и материалов для организации и проведения курсов повышения квалификации учителей.
Достоверность разработанных положений и полученных результатов исследования обеспечивается корректностью исходных методологических позиций; адекватным анализом проблемы, основанном на основных положениях современной дидактики; достаточной базой эксперимента; использованием статистических методов обработки экспериментальных данных; репрезентативностью выборки; устойчивой повторяемостью результатов при проведении экспериментальных исследований.
Апробация результатов исследования. Результаты исследования докладывались на международных конференциях УГерценовские чтенияФ (Санкт-Петербург, 1994 - 1999, 2003-2009), на межвузовской конференции, посвященной 105-летию со дня рождения В.М. Брадиса (Тверь, 1995), на научной межрегиональной конференции УПроблемы гуманизации математического образования в школе и вузеФ (Саранск, 1995), на Всероссийских семинарах преподавателей математики университетов и педагогических вузов (Орск, 1995; Санкт-Петербург, 1996; Саратов, 2005; Киров, 2006), на 2-й международной научно-методической конференции УПроектирование инновационных процессов в социокультурной и образовательной сферахФ (Сочи, 1999), на международном семинара под эгидой ЮНЕСКО в рамках работы BSTEN ФКультурное наследие, туризм и устойчивое развитие стран Черноморского бассейнаФ (Сочи, 2004), на Всероссийской научно-практической конференции УНаука и высшая школа - профильному обучениюФ (СанктПетербург, 2006), а также на заседаниях методологического семинара кафедры методики обучения математике РГПУ им. А.И. Герцена (СанктПетербург, 2004-2009), кафедры общей математики СГУТиКД (Сочи, 20042009), на заседаниях методического объединения учителей математики ряда школ г. Сочи (2003-2009).
Результаты исследования внедрены в ряде школ города Сочи и СанктПетербурга, в системе повышения квалификации учителей г. Сочи, а также при организации и проведении лекционных, практических, лабораторных занятий и в процессе педагогической практики студентов факультета информационных технологий и математики СГУТиКД.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы, приложений, схем, рисунков, таблиц и диаграмм.
ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ
Во введении обоснована актуальность темы диссертации, сформулированы цель, объект, предмет, гипотеза и задачи, определены научная новизна, теоретическая и практическая значимость исследования, данные об апробации и внедрении, положения, выносимые на защиту.
В первой главе УМетодологические основы построения модели обучения алгебре и началам анализа в профилях естественнонаучного направленияФ рассматриваются: - вопросы, связанные с формализацией понятия Умодели обучения алгебре и началам анализаФ как стратегической основы теоретического обоснования проектируемой модели обучения алгебре и началам анализа в профилях ЕНН и ее компонентов (п. 1.1); - историческая ретроспектива развития математической науки как гносеологическая основа для обоснования введения в школьный курс алгебры и начал анализа элементов логики прикладной математики (п. 1.2); - различные аспекты логики прикладной математики в аксиологическом контексте для проектирования содержания обучения для профильных классов ЕНН (п. 1.3).
Формализация понятия Умодель обучения алгебре и началам анализаФ является для нашего исследования основополагающим актом, т.к. из множества нарративных формулировок определения понятия УобучениеФ, предлагаемых исследователями, для достижения целей исследования требуется сформулировать определение понятия, из которого будут следовать возможности модели как эффективного средства редуцирования Рис. 1 обучения, которое сообразно обучению в рамках системы образования, соответствует социальному заказу общества (Рис. 1).
Для описания понятий Умодель обученияФ и Умодель обучения алгебре и началам анализаФ нами предварительно рассматриваются подходы разных исследователей к определениям и определения понятий УсистемаФ, УобучениеФ и УмодельФ. Обобщая подходы к определению понятия УсистемаФ и к анализу признаков, характерных для любого подхода к определению понятия системы, приведенные в работах ряда исследователей (А.Н. Аверьянов, В.Г.
Афанасьев, Г. Бергман, Дистефано, К. Уотт, И. Миллер, В.Ю. Крылов, Э.Г.
Юдин и др.), мы пришли к следующей трактовке определения понятия УсистемаФ (в теоретико-множественном смысле), принятого в нашем исследовании: УсистемаФ - непустое конечное множество A элементов с заданным множеством R отношений между элементами множества A и внешней средой, а также характеризуемого целью P, реализуемой системой S, и обеспечивающей функционирование системы S в пространстве и во времени для преодоления противоречия, определяемого целью. В этом случае можно написать S={A, R, P}.
Рассматривая различные трактовки понятия УобучениеФ, принятые в научно-педагогических исследованиях (Ю.К. Бабанский, П.И. Пидкасистый и др.), мы выделили в определениях, во-первых, идеальные элементы - знания, умения, навыки, компетенции, личностные характеристики и т.д. и материальные элементы - учитель, ученик, процесс, т.е. формирование, взаимодействие, общение, и т.д. Под понятием УпроцессФ в синергетическом смысле понимается последовательная смена состояний Li системы S. Анализируя определения понятия УобучениеУ с позиций системного подхода, сформулируем определение этого понятия на теоретико-множественном языке.
По нашему мнению, термин Усистема обученияФ более точен, чем термин УобучениеФ, поэтому в исследовании приводится определение понятия Усистема обученияФ, и, далее, для краткости, употребляется термин-синоним УобучениеФ. Таким образом, для формулировки определения понятия УобучениеУ нам требуется указать три компонента: A - множество элементов, R - множество отношений, P - цель системы S. Элементы множеств A, R, P определены в подходах к определению понятия обучение, в которых в качестве материальных элементов присутствуют ученик (обучаемый, обучающийся и т.д., а также ученики - Pi), учитель (преподаватель, обучающий и т.д. - T), а в качестве идеального элемента фигурирует предмет изучения (учебная дисциплина - Sb), т.е. множество A определено следующим образом A={Pi, T, Sb}. В множество R отношений, заданных на множестве A, включим методы обучения M, средства обучения Sr, формы обучения F, и т.д. т.е. R={M, Sr, FЕ}. При наличии конкретной цели обучения P (формирование знаний, умений, навыков по предмету - Pz; или формирование компетенций - Pk; и т.д.) система обучения S будет функционировать в пространстве-времени. Таким образом, под системой обучения (предмету) будем понимать множество S={A, R, P}, где множества A, R, P имеют вид: A={Pi, T, Sb}, R={M, Sr, FЕ}, P={Pz; Pk,...}. На основе такого определения понятия обучения появляется возможность классификации систем обучений (обучения): в качестве основы классификации выбирается один из компонентов (A, R или P), или их набор, например, по методам обучения - проблемное обучение, по целям - развивающая личностно ориентированное и т.д. (Рис. 2).
Система обучения S цель P Элементы А Отношения R Pz (формирование ЗУН) Pi (ученик) M (методы обучения) Pk (формирование компе- T (учитель) Sr (средства обучения) тентностей)Е S b (предмет) Е F (формы обучения)... ЕЕ Е Рис. В настоящее время методологический аппарат моделирования как метода познания достаточно хорошо развит: 1) существует достаточно ФустойчивоеФ определение понятия модель (А.И. Бочкин, Ю.А. Гастев, А.Г. Гейн, Е.И.
ященко, Н.В. Макарова, Н.Л. Стефанова, Н.С. Подходова и др.) и понятия моделирования; 2) имеются разнообразные классификаций целей моделирования; 3) определены назначения моделей; 4) существуют развитые типологии и классификации моделей; 5) вполне определены этапы моделирования.
В исследовании принят следующий подход к трактовке понятия модели, который является обобщением подходов, сложившихся на современном этапе практики научных исследований в области моделирования как методологии познания. Опираясь на определения понятия модели в философии (Новейший философский словарь / Сост. А.А. Грицанов. - Мн.: Изд-во В.М. Скакун, 1998), в методике обучения математике (Е.И. Лященко, Н.Л. Стефанова, Н.С. Подходова и др.), и, разделяя, по существу, точку зрения Ю.А. Гастева (Гомоморфизмы и модели. - М.: Наука, 1975), для целей нашего исследования примем следующее определение понятия модели. Моделью M будем называть систему S, в которой одной из целей P является замещение, представление, интерпретация или исследование.
Используя определение понятий модель и обучение, как соответствующих систем, сформулируем определение понятия модели обучения как системы, в которой элементами A, R, P являются следующие множества A={mPi, mT, mSb}, R={mM, mSr, mFЕ}, P={mPz; mPk,...}, где mPi - модель ученика, mT - модель учителя, mSb - модель учебного предмета (курса); mM - модель метода (методов) обучения, mSr - модель средств обучения, mF - модель форм организации учебного процесса, P={ mPz; mPk,...} - модель целей обучения. С помощью предложенного подхода можно сформулировать определение модели обучения любой дисциплине. Полагая, например, что mSb - модель учебного предмета УАлгебра и начала анализаФ, получим определение понятия модель обучения алгебре и началам анализа.
Конкретизируя элементы множеств A={mPi, mT, Sb}, R={mM, Sr, mFЕ} и P={Pz; Pk,...} применительно к обучению алгебре и началам анализа в профилях ЕНН, получаем определение понятия и следующую модель обучения алгебре и началам анализа в профилях естественнонаучного направления (Рис. 3). Таким образом, для ее разработки требуется описание модели ученика mPi, модели курса алгебры и начал анализа mSb и модели учителя mT, что, фактически, определяет направления нашего исследования.
Модель обучения алгебре и началам анализа в профилях естественнонаучного направления mPl (развитие лично- mPi (модель ученика класса mM (методы обучения) сти средствами пред- профилей ЕНН) mSr (средства обучения) мета) mT (модель учителя) mF (формы обучения) mPz (формирование mSb (модель курса алгебры Е ЗУН) и начал анализа для проmPk (формирование филей ЕНН) компетентностей)Е Рис....
Будем полагать, что модели методов обучения mM, форм организации учебного процесса mF, средств обучения mSr и т.д. уже имеются и выбираются учителем в соответствие с конкретными условиями и целями осуществления учебного процесса. Аналогичное замечание можно сделать и относительно целей Pn, сформулированных к процессу обучения.
Конкретизируем состав моделей mT, mPi, mSb, образующих множество A. Модель ученика представим в виде: mPi={Pie, Pir, Pip}, где Pie - описание типологических характеристик ученика класса профиля ЕНН (используются личностные и компетентностные модели ученика). Будем полагать, что кроме личностных характеристик ученика, характеризующего его онтологический статус, включены типологические характеристики ученика как модели соответствующих характеристик человека, склонного к естественнонаучной деятельности; Pir - отношения между типологическими характеристиками ученика (структура личности ученика); Pip - цели (целевые установки) ученика. Будем полагать, что деятельность по работе с математическими моделями (ученика, как обучающегося этой деятельности) является ведущей деятельностью в модели обучения алгебре и началам анализа в профилях ЕНН.
Модель учителя mT ={Te, Tr, Tp}, где Te - типологические характеристики учителя, как личности и профессионала, работающего в профильных классах ЕНН; Tr, - отношения между типологическими характеристиками учителя (структура личности учителя), Tp - цели (целевые установки) учителя. Ведущей деятельностью учителя при работе в профильных классах естественнонаучного направления является деятельность по обучению учащихся методу математического моделирования.
Учебный предмет УАлгебра и начала анализаФ реализуется через модель курса алгебры и начал анализа в профилях ЕНН mSb={Sbs, Sbl, Sbp}, где Sbs - содержание обучения для профилей ЕНН, в частности, в дополнение к базовому содержанию, содержание, характерное для прикладной математики (например, элементы теории погрешностей или элементы математического моделирования); Sbl - отношения между компонентами содержания обучения, в частности, определяемые логикой прикладной математики; Sbp - цель (цели), для достижения которых разрабатывается модель курса алгебры и начал анализа для профильных классов.
Определим структурно-содержательную модель курса алгебры и начал для профилей ЕНН (кратко назовем Rk -моделью). В качестве элементов модели курса выберем содержание обучения (курса); в качестве отношений - логику прикладной математики; в качестве целей P - цели курса алгебры и начал анализа в профилях ЕНН. Таким образом, построена структурная модель курса алгебры и начал анализа для профилей естественнонаучного направления на основе логики прикладной математики Rk (Рис. 4). Вместе с так определенной моделью курса mSb (обозначим ее Rk), получаем модель обучения алгебре и началам анализа для профилей естественнонаучного направления в логике прикладной математики. Назовем такую модель обучения рациональной моделью обучения (кратко, R-моделью).
Модель курса алгебры и начал анализа для профилей ЕНН - Rk цели курса содержание обучения логика прикладной математики Sbp Sbs Sbl Рис. Обоснование использования в R-модели элементов логики прикладной математики (п. 1.2) начинается с анализа гносеологических корней прикладной математики на основе исторической ретроспективы развития математической науки, который дает возможность увидеть диалектическое единство двух ее ветвей - теоретической математики и прикладной математики, объективно существующих и оказывающих влияние на все составляющие математической науки (прежде всего, содержание и применяемая логика), при этом определяющее значение имеет использование так называемых рациональных рассуждений (т.е., в соответствие с предварительным определением, рассуждения, основывающиеся на эмпирике или разуме, и не имеющие строгой логической основы). Развитие математических знаний исследовано в пространственно-временном континууме, начиная с математики древности (до I в. н.э.) и заканчивая математикой нового времени (XVIII-XIX вв.), начиная с математики Древнего Египта, Вавилона, стран Азии и заканчивая странами Европы. В Древнем Египте и Вавилоне показан прикладной характер математической науки: счет чисел, операции с дробями; делимость чисел, прогрессии; вычисление площадей и объемов, исчисление времени; решение геодезических и астрономических задач. Существенно, что одно из первых упоминаний о приближенных вычислениях, как характерных УпредставителяхФ рациональных рассуждений, широко используемых в прикладной математике, встречается у древних вавилонян: им принадлежит разработка техники приближенных вычислений квадратных корней.
Теоретическая математика, возникшая впервые в Древней Греции, отличалась от прикладной математики дедуктивным способом построения теории. Такой способ построения теории считается одной из важнейших характерных черт математики как науки, при этом понимается именно теоретическая математика, а не прикладная. Далее рассматривается роль рациональных рассуждений в истории математики средневекового периода. Ими пользовались Леонардо Пизанский (Фибоначчи), Томас Брадвардин, Ричард Суайнсхед, Николя Орем для описания свойств пространства и времени, формирования понятий мгновенной скорости и ускорения, исследования логических проблем бесконечности и др. Таким образом, можно отметить, что, в средневековом этапе развития математики рациональные рассуждения, вопервых, - средство построения достаточно эффективных УобъяснительныхФ математических моделей, и, во-вторых, инструмент для подготовительной работы по целенаправленному поэтапному формированию фундаментальных математических понятий и зарождению исчислений, т.е., рациональные рассуждения - та логическая основа, на которой происходит формирование, эволюция, и, далее, уже на основе логики теоретической математики окончательное оформление фундаментальных математических понятий и математических теорий. Таким образом, подавляющее число фундаментальных понятий математики, в том числе и те, которые рассматриваются в школьном курсе алгебры и начал анализа, возникло на основе рациональной логики, затем уточнялось, конкретизировалось и окончательно оформлялось в логике теоретической математики. Это позволяет использовать элементы логики прикладной математики при введении соответствующих понятий в школьном курсе алгебры и начал анализа в профилях ЕНН в соответствии с принципом историзма в обучении. Формой организации учебной деятельности ученика может быть самостоятельная познавательная деятельность, связанная с историей математики.
В п. 1.3 приводится обоснование возможности использования логики прикладной математики как основного элемента R-модели в контексте изучения взаимосвязи прикладной и теоретической математики. Различными аспектами этой проблемы занимались известные математики и методисты: А.Д.
Александров, А.Н. Колмогоров, Б.В. Гнеденко, Л.Д. Кудрявцев, П.С. Александров, М.В. Келдыш, Л.В. Канторович, С.А. Соболев, А.Д. Мышкис, И.И.
Блехман, Я.Г. Пановко, Н.А. Терешин, В.В. Фирсов и др. Важным выводом является, во-первых, тезис относительно УравноправияФ теоретического и прикладного направлений математики, по крайней мере, в обучении математике в профилях ЕНН, как основы формирования у учеников этих классов элементов Уприкладного математического мышленияФ, и, во-вторых, установление необходимости учета в обучении математике факта принципиально разного подхода к одним и тем же математическим понятиям в теоретической и прикладной математике, т.е. различие в подходах к понятиям УсуществованияФ, Упроцесс решенияФ, числа, функции, проблеме бесконечности (И.И. Блехман и др.). Эти различия должны демонстрироваться в R-модели.
На основе проведенного в работе анализа исторических и содержательных аспектов теоретической и прикладной математики приводится описание понятий Урациональное утверждениеФ и Урациональная логикаФ (т.к. УточноеФ определение рассматриваемых понятий на современном этапе пока не представляется возможным). И.И. Блехман, А.Д. Мышкис и Я.Г. Пановко придерживаются следующего подхода к определению понятия рациональное рассуждение. УСложное рациональное рассуждение или система таких рассуждений могут иметь весьма неоднородную структуру. Такое рассуждение может включать физические соображения, ссылки на интуицию, различные более или менее правдоподобные упрощения, решения математических задач и ссылки на теоремы на чисто дедуктивном уровне, вычисления...Ф. Для построения R-модели мы предлагаем, во-первых, рассматривать понятие рационального утверждения, как единичную составляющую рационального рассуждения, а, во-вторых, под рациональным рассуждением понимать любую последовательность утверждений, в том числе и рациональных, если имеет место нарушение хотя бы одного из правил вывода, принятых в формальной логике. Придавая вероятностный смысл истинностному значению простого утверждения, можно проиллюстрировать особенность рационального рассуждения следующим образом. УПусть рациональное рассуждение A состоит из n указанных выше компонентов Ai, (i=1; n) со степенью достоверности (вероin ятностью) pi и имеет конъюнктивную структуру, т.е. A Ai, тогда степень iдостоверности рассуждения А может быть представлена следующим обраin pA pi зом: Ф (И.И. Блехман). В такой трактовке рационального рассужде iния дедуктивные рассуждения представляют собой предельный случай рациональных рассуждений и степень их достоверности принимается равной единице. Очевидно, что в школьной математике существует стремление к тому, чтобы все pi =1 - это логика теоретической математики. Однако в практике обучения математике реализация этого принципа все равно невозможна (хотя бы потому, что школьный предмет математики - Удидактическая проекция математики как наукиФ), особенно при обучении построению математических моделей.
Подход к определению понятия Урациональная логикаФ предваряется анализом Уразличных логикФ, используемых на современном этапе развития науки и техники при описании реальных объектов: математическая, символическая, диалектическая, многозначная, деонтическая, вероятностная, конструктивная и т.д.). Рассмотрим подход к описанию понятия Урациональная логикаФ. Пусть имеется некоторое множество логик Lk, 1 k m k,m N,, применяемых при построении математических моделей некоторых явлений, процессов или объектов (объектов моделирования). Объединение всех таких логик Lk, k = 1; 2;Еm, m N назовем в рамках данного исследования рациоm R Lk k,m N нальной логикой R, т.е.,.
k Как видно из определения рациональной логики, математическая логика является подмножеством множества R. И, вообще, можно, естественным образом, вести речь о Удедуктивных компонентахФ рационального рассуждения.
Виды различных логик вместе с математической логикой образуют объем понятия Урациональная логикаФ. Типичными для рациональной логики являются рациональные утверждения и их совокупность - рациональные рассуждения. Нами разработана типология рациональных утверждений, используемая в R-модели (Рис. 5).
рациональные утверждения относительно понятий вид injustus вид desum (неправомерный) (малообоснованный) содержащие некор- основанные на интуиции используемые не докаректно определенные (ri1) занные дедуктивно понятия (rp1) оценки погрешности (rd1) и сходимость (rd1-1) основанные на индукции (ri2) допускающие применение понятий вне включающие решения рамок их первона- задач с недоказанными распространяющие речального определения теоремами о разрешимозультаты локального ис(rp2) сти (rd2) следования на нелокальные случаи (ri3) использующие поня- уточняемые в процессе тие Упрактической исследования (rd3) неверные в общем слубесконечностиФ (rp3) чае, но справедливые в реальных ситуациях (ri4) рабочие гипотезы (rd4) допускающие изменение статуса поняфеноменологические заутверждения, основантия в зависимости от коны и полуэмпириченые на аналогии (ri5) контекста (rp4) ские закономерности (rd5) основанные на эксперименте (rd6) Рис. физическом численном (rd6-1) (rd6-2) Рациональные утверждения применяются, прежде всего, в математическом моделировании. Выделение типов рациональных утверждений позволяет строить методику обучения построению математических моделей с учетом логики, применяемой при построении математических моделей в различных областях естественнонаучного знания. В работе приведены примеры применения указанных в схеме типов рациональных утверждений, используемых в прикладной математике, в процессе обучения в рамках R-модели.
В настоящее время усиление прикладной направленности обучения математике необходимо требует применения рациональных утверждений в школьной математике, причем не только в профильной, но и в базовой школе.
Исследование любой математической модели на наличие рациональных компонентов (их типов и Устепени рациональностиФ можно представить в виде схемы - рациональной диаграммы математической модели (РДММ), в которой каждая из УосейФ обозначает тип рационального утверждения, а количество Усплошных осейФ Уразмерность рационального пространстваФ.
Анализ этой диаграммы позволяет выявить (качественно) степень адекватности математической модели ее реальному прототипу. Очевидно, если УудалосьФ использовать только логику чистой математики, то схема вырождается в точку (начало координат), т.к. не имеет места ни одна из осей. В противоположном предельном варианте использования только рациональных компонентов схема будет содержать максимальное число осей с конкретными значениями вероятностей по этим осям: 0 < pi < 1, подсчитываемыми оценочно в зависимости от количества утrprdверждений и степени их УдостоверноrprdстиФ. Например, на схеме (Рис. 6) приrpведена рациональная диаграмма матеrdматической модели, описывающей rpдвижение сжимаемой вязкой жидкости уравнениями Навье-Стокса. В этой моrd3 riдели использовались рациональные утверждения типа rp1, ri2, ri4, ri5, rd4, rd5, rd6, rd2 ri2 которым соответствуют оси, изображенные сплошной линией. Эти типы rdriРис. 6 рациональных утверждений, как наиri5 riболее часто применяемые в процессе математического моделирования, используются в модели курса алгебры и начал анализа в рамках R-модели. Они выделены на основе анализа достаточно большого числа существующих математических моделей. Точками изображены рациональные утверждения, количество точек - число рациональных утверждений, положение точки на оси характеризует степень достоверности утверждения. Размерность рационального пространства равна 7. В данном случае важно провести сравнение таких диаграмм для разных случаев составления математических моделей для одного и того же объекта моделирования. Приведенные примеры построения математических моделей и работы с РДММ однозначно характеризуют дидактические возможности логики прикладной математики при проектировании и реализации содержания школьного предмета алгебры и начал анализа в R-модели, в котором математическое моделирование выступает, во-первых, как адекватное средство изучения закономерностей окружающего мира и, во-вторых, является эффективным средством реализации прикладной направленности обучения математике.
Во второй главе УПсихолого-педагогические основы построения модели обучения алгебре и началам анализа в профилях естественнонаучного направленияФ рассмотрены: - исторические предпосылки и современное состояние профильного обучения в России как средство осмысления вопросов профилизации обучения и развития представлений о возможностях профильного обучения как эффективного средства достижения целей обучения в современной профильной школе (п. 2.1); - модели личностно ориентированного обучения и обоснование выбора модели личностно ориентированного обучения, предлагаемой И.С. Якиманской, как наиболее адекватной модели обучения алгебре и началам анализа в профильных классах ЕНН, а также некоторые модели личности (п. 2.2); - психологические аспекты обучения в профильных классах и вопросы места и роли компетентностного подхода в модели обучения алгебре и началам анализа как психолого-педагогической основы функционирования модели обучения алгебре и началам анализа в профильных классах (п. 2.3, п. 2.4).
Для понимания функции профильного обучения при проектировании Rмодели в работе приведен краткий анализ развития профильного обучения в нашей стране и его современное состояние, начиная с открытия в 1701 г. в Москве школы математических и навигацких наук, положившей начало систематическому изучению в России математики в системе государственного образования, и, заканчивая основной идеей обновления старшей школы, выразившейся в виде соответствующей концепции образования в 2002 г, базировавшейся на идее развития личности средствами предмета, с существенным акцентом на реализацию инноваций, связанных с повышением степени индивидуализации образования, его эффективности и функциональности.
Инновационной формой организации школьного образования, соответствующей структуре образовательных и жизненных установок большинства старшеклассников, становится профильное обучение по базовым предметам в старшей школе, которое введено в России с 2005 года. Основной целью профилизации старшей школы является предоставление учащимся возможности спроектировать свое будущее и сформировать необходимые ресурсы для осуществления осознанного и подготовленного профессионального выбора. Достижение поставленной цели возможно при создании условий для существенной дифференциации содержания обучения старшеклассников.
Важным для нашего исследования является выделение из физикоматематического профиля собственно математического, предполагающего подготовку специалистов в области математики. Математика выступает в нем как профильный учебный предмет, представляющий по классификации Л.Я. Зориной систему научных знаний, тогда как для физиков в большей мере важна система научных способов действий. Аналогично и с информационно-технологическим профилем (ведущий профильный предмет - информатика). Здесь математика как профильная дисциплина выступает в большей мере как система научных знаний, чем способов действий, что не исключает необходимость последних как для математиков, так и для информатиков.
Определив интересующую нас группу профилей, рассмотрим цели изучения математики на профильном уровне, выделив среди них приоритетные для нашей группы профилей цели, а также подходы к конструированию содержания профильного курса математики.
Одной из приоритетных целей, кроме освоения содержания, необходимого для изучения математики и других дисциплин и ее применения в будущей профессиональной деятельности; развития ученика средствами математики, является формирование представлений об идеях и методах математики, о математике как универсальном языке науки, моделировании процессов и явлений, что в дальнейшем позволит продолжить образование в выбранной сфере и освоить избранную специальность на современном уровне. Достижению этой цели будет способствовать не только изучение традиционно сложившегося содержания предмета УАлгебра и начал анализаФ, но и такие разделы как УЭлементы теории погрешностейФ, УЭлементы теории вероятностей и математической статистикиФ, УЭлементы математического моделированияФ, УЭлементы численных методовФ. Введение этих новых разделов обусловлено, во-первых, логикой процесса обучения в R-модели, которая строится на основе логики прикладной математики, и на примере этих разделов особенности логики прикладной математики демонстрируются наиболее полно. Во-вторых, уровень развития современной науки и техники требует знакомства учеников любых профилей с основными понятиями этих дисциплин, т.к. эти понятия уже становятся элементом общей культуры человека.
В п. 2.2. диссертации рассматриваются существующие в педагогике модели личностно ориентированного обучения, которые используются при проектирования R-модели с позиций принятой на сегодняшний момент концепции личностно ориентированного обучения. В современной педагогике существует ряд концепций личностно ориентированного обучения. Представителями различных направлений в теории этого вопроса являются: Н.А. Алексеев, В. Белль, Е.В. Бондаревская, Р. Дрейвер, М.В. Кларин, С.В. Кульневич, А.В. Петровский, К. Роджерс, В.В. Сериков, А.П. Тряпицына, Ю.И. Турчанинова, В.Т. Фоменко, И.С. Якиманская, В.Я. Ляудис и др. Наиболее известной в психолого-педагогических исследованиях признается концепция личностно ориентированного обучения И.С. Якиманской, разработанная на основе анализа психологических аспектов образовательного процесса. Основа концепции - технология личностно ориентированного обучения, основной целью которой считается развитие индивидуальности ученика. Значимость субъектного опыта как некого ориентира при определении содержания образовательного процесса обосновывается с психологической точки зрения.
В качестве ведущего принципа формулируется принцип субъективности образования. Образовательный процесс считается личностно ориентированным, если выполнены следующие условия (Якиманская И.С.): 1) учебный материал, способы его предъявления учащимся должны способствовать выявлению содержания субъектного опыта ученика; 2) изложение знаний должно быть направлено не только на расширение их объема, структурирование, обобщение, но и на преобразование имеющегося опыта обучаемого;
необходимо регулярное согласование опыта ученика с научным содержанием вводимого знания; 3) создание условий для самообразования, саморазвития и самовыражения в процессе овладения новыми знаниями; 4) такая организация учебного материала, которая бы давала возможность ученику выбора заданий и решаемых задач; 5) стимулирование учащихся к самостоятельному выбору и применению значимых для них способов усвоения материала; 6) выделение в явном виде общелогических и специфических приемов учебной работы на конкретном учебном содержании с учетом индивидуальных особенностей учащихся; 7) обеспечение как результата, так и процесса учения, то есть трансформаций, осуществляемых учеником в процессе усвоения учебного материала; 8) образовательный процесс должен обеспечить построение учения, рефлексию, оценку учения как субъектной деятельности.
Кроме того, И.С. Якиманская полагает, что личностно ориентированное образование имеет целью обеспечение развития и саморазвития личности обучаемого, исходя из выявленных его индивидуальных особенностей, и предоставляет ему право выбора собственного пути развития и обучения.
Развитие при этом рассматривается не как простое приспособление к среде, а как развитие психической деятельности. В таком понимании личностно ориентированное образование является развивающим. По мнению И.С. Якиманской личностно ориентированная образовательная парадигма включает в себя: рационализацию учебной деятельности; создание комфортных и безопасных условий обучения; воспитание саморегулирующего поведения личности, УсознающегоФ человека; формирование системно-интегративного мышления;
обучение каждого на уровне его возможностей и способностей; адаптация учебного процесса к особенностям различных групп учащихся; развитие рационально-эмоциональной сферы личности.
Таким образом, на первый план из целей обученности и образованности выходит образованность, рассматриваемая как свойство личности, выражающееся в стремлении к самосовершенствованию (самопознанию, самоопределению, самореализации). Подводя итог, можно выделить общий элемент, присутствующий во всех концепциях личностно ориентированного образования: личностно ориентированное образование означает переход от науконаучения к логике культуры. В такой трактовке в исследовании понимается подход к личностно ориентированному обучению. В исследовании показано, что рациональная логика, используемая нами как основное средство при построении R-модели, в определенной мере УсоответствуетФ личностно ориентированной парадигме образования в психологическом контексте, разработанной И.С. Якиманской.
В п. 2.3 в качестве психологического обоснования R-модели рассмотрены психологические аспекты, связанные с представлениями о том, что ученики профилей ЕНН в большей мере выступают, прежде всего, УпотребителямиФ математического содержания - это обусловливает определенный формат взаимодействия ученика и математического содержания в R-модели. Нами учитывается, что ведущей деятельностью старшеклассников в обучении является учебно-профессиональная. Алгебра является предметом с ведущим компонентом Унаучные способы действийФ (по Л.Я. Зориной), и ученики ориентированы на усвоение знаний и способов действий, необходимых для успешного освоения математики и ведущих профильных предметов в школе, в частности для осуществления математического моделирования. Они рассматривают изучение учебного материала как основу для продолжения математического образования в высшей школе и успешной деятельности в выбранной профессиональной области.
Подготовка выпускника школы в R-модели обеспечивает реализацию компетентностного подхода, т.к. ключевые компетенции, выраженные в деятельности, коррелируют с умениями, которыми должен владеть специалист, применяющий математику для работы с математическими моделями (Рис. 7).
В третьей главе УПостроение модели обучения алгебре и началам анализа в профильных классах естественнонаучного направленияФ представлены: - анализ содержания учебников по математике для старшей профильной школы, позволивший выделить учебное содержание, ставшее основой общеобразовательного блока и, частично, общепрофильного блока в R-модели (п.
3.1); - концепция и принципы построения R-модели (п. 3.2 - 3.3); - методические аспекты применения метода математического моделирования в Rмодели (п. 3.4); - проектирование и разработка R-модели (п. 3.5).
В результате анализа содержания учебников по математике для старшей профильной школы мы пришли к выводам.
1. Сложилось достаточно устойчивое содержание обучения в старшей школе (его можно уже условно назвать каноническим), которое практически не изменилось за последние как минимум 15 лет, однако начинает просматриваться тенденция к сокращению в учебниках материала, относящегося к элементарной математике и усилению внутрипредметных связей, например, за счет рассмотрения общих подходов к решению уравнений и неравенств.
Все больший по объему занимает раздел, посвященный теории вероятностей и математической статистики. Содержательно и логически современные учебники восходят к учебникам алгебры и начал анализа А.Н. Колмогорова и выстроены в логике теоретической математики.
2. Содержание обучения, ориентированное на применения математики, по существу, носит формальный характер.
Рис. Недостаточно внимания уделяется вопросам математического моделирования, как одного из основных методов познания окружающей действительности. Фактически, ученики не получают адекватного представления о математике и ее методах, включая методы прикладной математики. Это противоречит норме стандарта среднего (полного) общего образования по математике (профильный уровень), в соответствие с которой предполагается показать Уприменение математических методов для решения содержательных задач из различных областей науки и практики, интерпретацию результата, учет реальных ограниченийФ. Исключением являются учебники алгебры и начал анализа А.Г. Мордковича, в которых явным образом описана процедура математического моделирования, представленного в виде трехэтапной схемы.
3. За предшествующий период функционирования системы математического образования в стране была доказана высокая эффективность воздействия канонического содержания на результаты математического образования советского периода. Однако, как было отмечено выше, при изменившейся образовательной парадигме, приходится признать, что каноническое содержание образования вступило в противоречие с современными требованиями к содержанию образования и уровню подготовки выпускника школы. Преодоление этого противоречия требует конструирования новых подходов к отбору содержания модели профильного курса математики (включение разделов прикладной направленности, в частности), проведению обоснований (например, с использованием логики прикладной математики), освоения в рамках моделей курсов способов действий, характерных для предстоящей профессиональной деятельности.
В п. 3.2 на основе полученных выше выводов сформулирована концепция и принципы построения R-модели и модели курса алгебры и начал анализа, как подсистемы R-модели. Выделяя из процесса обучения когнитивный, праксеологический и аксиологический аспекты как одни из основных при формировании ключевых компетенций в процессе обучения, и, устанавливая между этими аспектами и общенаучными подходами к решению проблем обучения соответствия, получим следующую систему принципов, определяющую разработку и функционирование R-модели (Рис. 8).
аспекты аксиологический праксеологический когнитивный подходы проблемный компетентностный системный принципы - историзма - ориентации обучения - структурирования - соответствия теоре- на формирование струк- учебного материала тического и приклад- туры деятельности, аде- - системности знания ного аспектов мате- кватной структуре дея- - ориентации содержаматики в обучении тельности в естествен- ния обучения на будуЕ нонаучных областях щую профессиональную - самостоятельности деятельность учебно -познавательной - технологичности мадеятельности тематического содержа- комплексного развития ния компетентностей Е Рис. - личностного саморазвития Сказанное выше позволяет нам сформулировать теоретические положения, на основе которых проектируется R-модель.
Концепция построения R-модели состоит в следующем:
1. Проектирование R-модели осуществляется с позиций системного подхода с выделением в составе R-модели модели ученика, модели учителя, модели учебного предмета, модели методики реализации. Отношения между элементами модели задаются в виде графов.
2. R-модель проектируется как содержательно и логически завершенная ступень непрерывного математического образования, имеющая свои цели (развивающие, методические, цели изучения). В когнитивной области развивающими целями является развитие теоретического мышления на этапе формирования системы понятий и дивергентного мышления ученика.
Целями реализации R-модели является овладение навыками построения математических моделей и способами их исследования, что позволит успешно продолжить математическое образование в высшей школе в выбранной области деятельности. Методическими целями R-модели является не только завершение изучения учащимися ведущих содержательно-методических линий модели курса алгебры и начал анализа, но и подготовка к успешному продолжению математического образования в высшей школе в выбранной профессиональной области.
3. Проектируемая модель отражает диалектическое единство теоретической и прикладной составляющих науки математики как научной системы с постепенным усилением роли последней, что предполагает ее реализацию в логике прикладной математики.
4. Обучение алгебре и началам анализа в рамках R-модели рассматривается как ступень непрерывного математического образования учащегося.
5. R-модель проектируется как открытая система, допускающая взаимодействие своих элементов с внешней средой и последующим изменением их состояния.
Эти концептуальные положения определяют структурные, содержательные и технологические требования к модели курса алгебры и начал анализа как подсистемы R-модели.
1. Проектирование R-модели как ступени непрерывного математического образования и дуализм целей (завершение общеобразовательной математической подготовки и формирование готовности к продолжению математического образования в естественнонаучных областях знания) определяют, в свою очередь, содержательно-структурную модель курса алгебры и начал анализа как ее подсистемы. Модель курса, содержащая два ядра, обеспечивает базовую и профильную подготовку. Первое ядро - общеобразовательный блок, - содержит материал, позволяющий подготовить школьника к исследованию математических моделей различных типов и к изучению профильной части модели курса. Второе ядро составляет общепрофильное математическое содержание, объединяющее несколько блоков, характерных для прикладной математики (Рис. 9). Эта часть содержания модели курса содержит как общепредметный материал для профилей ЕНН, так и узкопрофильные модули (для будущих физиков, химиков, биологов, географов), реализуемых как рамках учебного предмета, так и через курсы по выбору.
Модель курса алгебры и начал анализа для профилей естественнонаучного направления Общеобразовательный матеОбщепрофильный материал риал Элементы Элементы теории веро- Элементы Элементы Элементы Элементы ал- теории по- ятностей и математи- численных математичегебры и сто- грешностей математиче- ческого методов ского аналихастики ской стати- моделироза стики вания Узкопрофильные модули Дополнительный материал Математи(берется из базового курса МатематиМатематиче- Математиче- ческие моалгебры и начал анализа: ме- ческие моские модели в ские модели в дели в разтод Крамера, мат. логика и дели в биофизике химии личных обт.д.) логии ластях Курсы или модули по выбору теоретического характера прикладной направленности Рис. 2. Содержание модели курса проектируется на базовых содержательных компонентах ныне действующей модели курса алгебры и начал анализа в соответствии со стандартом профильного обучения как альтернативное к существующим вариациям содержания ныне действующих курсов по широте применяемой в нем рациональной логики, что не противоречит обеспечению преемственности в интеллектуальном развитии ученика, вовлечению его в процесс изучения учебного предмета как субъекта образовательного процесса, выявлению и преобразованию его субъектного опыта.
3. Применение логики прикладной математики в рамках R-модели и ее направленность на обучение математическому моделированию обуславливают необходимость введения в содержание модели курса алгебры и начал анализа в профилях ЕНН новых разделов: УЭлементы теории погрешностейФ, УЭлементы математического моделированияФ, УЭлементы численных методовФ, УЭлементы теории вероятностейФ.
4. Изучение учебного материала, как в рамках общеобразовательного блока, так и общепрофильного блока, строится преимущественно с применением рациональной логики. Уровень строгости получаемых решений и обоснований связывается с логической и психологической эвиденцией, характерной для конкретного ученика. Усиление дедуктивного характера организации материала и уровня математической абстракции применяемого математического содержания, его изложение и интерпретация результатов происходят по мере возникновения в этом психологической потребности субъектов учебного процесса на основе более высокого уровня развития интеллектуальных способностей ученика.
5. Обоснования в рамках конструируемой нами R-модели осуществляются преимущественно в логике прикладной математики, что предполагает применение типичных для этой логики утверждений - рациональных утверждений.
6. R-модель предусматривает широкое привлечение средств информационных технологий как в целях получения решения конкретных задач и обоснований ряда утверждений, так и в работе по первичному формированию у ученика понятийного аппарата модели курса. Увеличение степени абстрактности понятийной системы происходит в ходе онтогенетического развития субъектного (ментального) опыта ученика. Усиливается прикладное значение R-модели (развитие общеучебных умений средствами и на материале алгебры и начал анализа, включение в содержание вопросов, используемых для изучения других предметов и продолжения образования, иллюстрация изученных закономерностей на материале этих дисциплин, использование полученных в ходе обучения умений, знаний и навыков при изучении других предметов, в частности, геометрии, физики, химии, экономики).
7. Процесс обучения организуется на позициях личностно ориентированного подхода, что предполагает выявление и преобразование субъектного опыта ученика, как в области математики, так и других профильных дисциплин (физики, химии, биологии, географии); множественность трактовок понятий, возможность выбора учеником уровня освоения понятий (прикладной или теоретический), способов обоснования (в логике теоретической или прикладной математики). Наличествует возможность и построение локальноиндивидуальной образовательной траектории через модели курсов по выбору. В R-модели предусматриваются различные виды самостоятельной деятельности учащихся (исследовательская, прикладная, историческая), возможность выбора приоритетных видов индивидуальной работы и различных источников знаний (самостоятельная деятельность, учебники, справочники, электронные обучающие программы), что требует изменение характера оценки деятельности ученика.
В п. 3.3 приведено содержание модели курса, отвечающее перечисленным выше концептуальным требованиям (названия основных разделов приведены на рис. 9). Существенной особенностью R-модели, как было показано выше, является широкое применение информационных технологий. Например, при изучении содержания общеобразовательного блока предлагается использование различных инструментальных сред. В исследовании базовой средой выбрана инструментальная среда Mathсad. В рамках R-модели возможно формирование учебно-познавательной компетенции. Например, вычисление определителей, установление по индукции (рациональное утверждение) свойств определителей, вычисление производных и интегралов - инструментальные среды позволяют существенно расширить возможности модели курса алгебры и начал анализа по формированию ключевых компетенций (Рис. 10). В рамках модели элективного курса УЭлементы операционного исчисленияФ система Mathсad позволяет находить прямое и обратное преобразование Лапласа, что дает возможность ученику развивать исследовательские умения.
Рис. Математическому как одному из ведущих методов познания окружающей действительности в R-модели отводится одно из центральных мест. Это связано с тем, что, 1) необходимость формирования умений, связанных с математическим моделированием, обозначена в ФГОС; 2) метод математического моделирования - основной метод, используемый в прикладной математике; 3) метод математического моделирования является эффективным способом освоения содержания образования.
В ходе исследования установлено, что сам процесс построения, исследования и интерпретации математических моделей в рамках рациональной логики реализует компетентностный подход. В этом смысле введение в содержание модели курса алгебры и начал анализа элементов математического моделирования как отдельного раздела содержания обучения как в базовой, так и профильной школах полностью соответствует целям общего образования в контексте стратегии модернизации содержания российского образования вообще и математического в частности.
В п. 3.4 описывается применение метода математического моделирования в R-модели как одного из ведущих методов познания окружающей действительности. Процессы построения математических моделей, их изучения и интерпретации ведут к развитию у учащихся всех мыслительных операций, что, несомненно, содействует их личностному росту и развитию различных компетенций. Умение осуществлять математическое моделирование в современных условиях развития общества можно отнести к общеучебных умениям, которые по результатам исследований Т.В. Шамардиной, составляют ядро учебно-познавательной компетентности. Составление и исследование математических моделей связано, прежде всего, с такой мыслительной операцией как абстрагирование (например, Е.Н. Кабанова-Меллер выделяет изолирующее, подчеркивающее и расчленяющее абстрагирование).
На основе анализа подходов к определению понятию математической модели и математического моделирования (А.Н. Боголюбов, А.Г. Свешников и В.В. Кравцов, А.А. Самарский, А.Н. Тихонов, М.А. Шубин. и др.) формулируется определение этого понятия в R-модели - как системы S с заданными целями Pn. Придерживаясь известной трехэлементной схемы (формализация, внутримодельное решение, интерпретация), в R-модели мы конкретизируем этап формализации: выбор переменных, описывающих процесс;
применение гипотез или законов, следующих из анализа рассматриваемого объекта моделирования, формулировка математической модели; установление типа математической модели.
Для построения методики обучения математическому моделированию предлагается следующая типология моделей. В качестве основы типологии выбираются следующие свойства модели: континуальность объекта моделирования, которая может Рис. быть непрерывной, смешанной или дискретной, т.е. K ={kn ; ks ; kd}. По типу линейности математических соотношений, образующих математическую модель, будем выделять соответственно линейные, смешанные и нелинейные математические модели: L = {ll; ls; ln} и по типу применяемых математических методов на этапе внутримодельного решения M = {mn; ms; md} - непрерывные, смешанные, дискретные. В этих условиях можно построить пространство (Рис. 11) математических моделей Pm и характеризовать конкретную модель вместе с методом ее исследования как точку этого пространства с тремя УкоординатамиФ k; l; m, принадлежащими соответственно множествам K, L, M. Тогда введем понятие тип математической модели как соответствующую упорядоченную тройку (k; l; m).
Так определенное понятие тип математической модели позволяет строить методику обучения элементам математического моделирования в R-модели.
Как видно из определения понятия тип математической модели можно выделить 27 типов математических моделей.
Для обучения математическому моделированию в R-модели определяющим является подход к математическому моделированию, сформулированный Е.И. Лященко, Н.Л. Стефановой и др., в соответствии с которым выделяются два вида математического моделирования: математическое моделирование в узком смысле (методы математики применяются только к математическим объектам) и математическое моделирование в широком смысле слова (методы математики применяются к исследованию объектов других наук и реальной действительности). R-модель как раз и нацелена на реализацию подхода к обучению математическому моделированию в широком смысле слова, в отличие от подходов к обучению математическому моделированию в узком смысле, что имеет место в современных моделях курса алгебры и начал анализа.
С учетом рассмотренных выше компонентов R-модели (п. 3.5), их содержания, структуры и функций, структурно-содержательная схема R-модели может быть представлена в следующем виде (Рис. 12). Обозначения, принятые на схеме модели приведены ниже.
ТП - элементы теории погрешностей ЧМ - элементы численных методов ТВ - элементы теории вероятностей mSb - модель курса ММ - элементы математического моделирования Мб, Мф, Мх, Мг - моделирование в биологии, физике, химии, географии соответственно КО - когнитивный опыт ИР - интеллекту- МКО - метакогнитивный опыт альное развитие ИО - интенциональный опыт ИС - интеллектуальные способности COO - социальнообусловленные особенности mPi - модель учеДСЛ - динамиче- ЛО - личный опыт ника ская структура ИОПР - индивидуальные особенности псиличности хического развития БОО - биологически обусловленные особенности КК - ключевые УПК - учебнопознавательные компетенции компетенции ИК - информационные компетенции mT - модель учи- К - компетенции учителя теля ММР - модель ме- ТО - технология обучения тодики реализа- ММ - математическое моделирование ции МТ - методические требования mSb ММР 5. обобщение ТО 4. контроль общеобразовательный материал общепрофильный материал М Т ММ ТП ТВ ЧМ 3. закрепление алг. м. ан. доп.
М Млличностное развитие матеты ты риал М 2. введение нов. информ.
ТВ Е Е Е М организация изучения 1. формулировка цели Мф Мх Мг учебного материала Мб ф М М б в узкопрофильные модули в хи гео ми гра и фи обучение математиче 1. формализация и скому моделированию курсы или модули по выбору 2. внутримодельное решение обучение рациональтеоретического характера прикладного характера ным рассуждениям 3. интерпретация ц е л и рациональная логика ММ IV ИС ц е л и ц е л и ц е л и III ИО ИР II M КО I КО ц е л и УПК 6. иметь опыт восприятия мираЕ IV БОО 5. презентовать рез-ты исследов.
III ИОПР 4. выдвигать гипотезы, исп-ть мет.
II ЛО 3. задавать вопр., искать причинуЕ I СОО 2. планировать, организовыватьЕ ДСЛ 1. ставить цели б) профессиональные а) общекультурные КК компетенции компетенции К Рис. ИК mPi mT общепрофессиональные в области педагогической деятельности знание основных профильных дисциплин умения моделировать в Ушироком смыслеФ (в рациональной логике) учитывать специфику обучения математике в профильном вузе умения осуществлять межпредметные связи в области культурнопросветительской деятельности В соответствии с методологией системного подхода системообразующим элементом системы является цель - создание модели обучения, позволяющей разрабатывать конкретный учебно-методический комплекс предмета УАлгебра и начала анализаФ для профилей ЕНН. Эти цели взаимосвязаны с целями других систем, образующих модель обучения. Модель ученика mPi - представлена моделями: ИР - интеллектуальное развитие, отражающей учет уровня интеллектуального развития ученика (использована модель структуры интеллекта Холодной М.А.); ДСЛ - динамическая структура личности (модель К.К. Платонова); УПК - учебнопознавательные компетенции, как одни из основных компетенций, которые могут быть реализованы средствами учебного предмета УАлгебра и начала анализаФ; ИК - информационные компетенции - как компетенции, которые важны для учеников профилей ЕНН как средство разработки, анализа и интерпретации математических моделей. Модель учителя mT - представлена в виде компетентностной модели с указанием тех профессиональных компетенций, которые необходимы, по нашему мнению, для учителя, реализующего обучение алгебре и началам анализа в профилях ЕНН. Модель методики реализации модели обучения (ММР) включает ТО - технологию обучения, определяющую методику изучения математического содержания курса алгебры и начал анализа в профилях ЕНН; ММ - метод математического моделирования как основной метод, определяющий методику изучения содержания курса алгебры и начал анализа; МТ - методические требования к методике обучения в R-модели.
Нами разработана функциональная схема R-модели (Рис. 13).
Ext Pl, Pk Ri Zi Yi L(i)T L(i)P S3i S1i S2i X i Si mPi X i Yi mT mSb нет Z1i да RiТ stop Ri mSb X i mT Рис. 13.
Воспользуемся Укибернетическим подходомФ, т.е. опишем функционирование R-модели, используя представление об элементах системы как о неких Учерных ящикахФ (систем, в которых доступна входная и выходная информация, а внутреннее устройство может быть и неизвестно), о Увходных сигналахФ, Усостояниях компонентов системыФ, Упрямых и обратных связяхФ, УсумматореФ.
Для некоторого момента времени ti совокупность требований (содержательных, операционных и т.д.) к подготовке ученика представлена Увходным сигналомФ Yi, совокупность этих требований в реальном состоянии у ученика обозначена Xi. Для момента времени t0 (начало процесса обучения в Rмодели) имеет место УрассогласованиеФ S0, т.е. X0 не совпадает с Y0, следовательно, начинает функционировать R-модель (в противном случае, обучение не требуется). Для произвольного момента времени ti, рассогласование Si является Удвижущей силойФ учебного процесса. Анализируя это рассогласование Si учитель (представлен моделью mT), находящийся в УсостоянииФ L(i)T (имеются в виду его профессиональные качества, опыт, эмоциональное состояние, личностные характеристики и т.д.) интерпретирует это рассогласование и представляет его другом виде - S1i.
Применяя различные методы, формы и средства обучения mRi, учитель mT преобразует рассогласование S1i с помощью модели курса mSb и преобразует этот сигнал в S2i. Это - Увходной сигнаФ для ученика (учеников) mPi (представлен моделью mPi), находящегося в состоянии L(i)P (имеется в виду его субъектный опыт, эмоциональное состояние, личностные характеристики и т.д.). На схеме показано, что ученик mPi находится под воздействием сигнала Zi, идущего от блока Ext - внешняя среда и сигнала Z1i, предполагающего также самостоятельное изучение учебного материала учеником с помощью его личных методов, средств и форм обучения RТi. В результате этого воздействия ученик интерпретирует полученную информацию в виде S3i.
Учитель mT преобразует полученную информацию S3i в сигнал Xi, который УподаетсяФ на вход сумматора, сравнивается с сигналом Yi и процесс обучения в R-модели продолжается с учетом другого состояния L(i)P прежде всего, ученика mPi до окончания нормативного срока обучения.
Как видно, разработанная R-модель может стать основой для построения различных моделей обучения алгебре и началам анализа в других профилях, а также для построения моделей обучения другим предметам (физики, химии, биологии, географии).
В четвертой главе УМетодика реализации содержания модели курса алгебры и начал анализа в профильных классах естественнонаучного направленияФ рассмотрены: - методические требования, предъявляемые к реализации содержания модели курса алгебры и начал анализа обучения и методические особенности изучения математического содержания (понятий, утверждений и алгоритмов) в логике прикладной математики (п. 4.1-4.2); - элементы методики изучения общеобразовательного материала и общепрофильного материала в модели обучения алгебре и началам анализа в профилях ЕНН (п.
4.3-4.4); - педагогический эксперимент и интерпретация результатов педагогического эксперимента (п. 4.5).
На основе рассмотренных выше позиций системного подхода разработаны и сформулированы методические требования, предъявляемые к реализации содержания модели курса алгебры и начал анализа в профилях ЕНН.
Эти требования объединены в группы (Рис. 14).
Рис. 1. Требования, обеспечивающие организацию изучения учебного материала в R-модели:
теоретический материал представляется и изучается крупными блоками, что позволяет устанавливать более тесные внутрипредметные связи, рационально организовывать учебное время, способствовать более эффективному развитию логического мышления школьников на этапе Усистемы понятийФ';
отказ от излишней прочности освоения материала (исключение большого числа однотипных задач, возможности школьных электронных и печатных справочных материалов);
наличие избыточного для отдельных профилей математического содержания позволяет школьникам расширить возможности самостоятельной исследовательской деятельности в ведущем профильном предмете, проводить исследования на стыке учебных дисциплин и в экономико-предметной сфере;
часть учебного материала, в том числе и обязательного, представляется в задачах, что также стимулирует самостоятельную деятельность школьника.
2. Требования, обеспечивающие личностное развитие в условиях реализации разрабатываемой R-модели:
мотивация изучения компонентов математического содержания осуществляется, в основном, на сюжетах, связанных с будущей профессиональной деятельностью, а там, где это невозможно или нецелесообразно из-за сложности модели либо на сюжетах смежных дисциплин, либо на исторически значимых задачах истории математики, которые впервые решались средствами рациональной логики;
при изучении учебного материала реализуется уровневая дифференциация не только через задачи и возможность освоения дополнительного учебного материала, но и через овладение обоснованиями (на основе прикладной или теоретической логики), через выбор видов самостоятельной деятельности (репродуктивная, поисковая, исследовательская);
узкопрофильные модули и элективные курсы не являются единственным средством профильной дифференциации; первичное знакомство с математическим материалом, необходимым преимущественно для одной специализации, осуществляется в рамках основного курса;
при изучении учебного материала допускается отложенное оценивание результатов обучения и накопительная система оценки.
3. Требования, обеспечивающие организацию изучения метода математического моделирования в рамках R-модели:
изучение математического содержания осуществляется в контексте метода математического моделирования, которое по мере продвижения ученика по образовательной траектории становится его ведущей учебной деятельностью при освоении математического содержания;
одним из средств организации самостоятельной познавательной учебноисследовательской деятельности ученика выступает изучение математических моделей (варьирование допущений, при которых эта модель получена, исследование зависимости решения от значений исходных данных, получение прогноза);
широко используется вычислительная техника и соответствующее программное обеспечение.
4. Требования, обеспечивающие реализацию обучения рациональным рассуждениям в R-модели:
рациональная логика явно используется при изложении учебного материала (демонстрация допущений и пробелов в обоснованиях), что создает возможность перехода к более строгому изложению материала как к самостоятельной учебной задаче;
особое внимание уделяется формированию методологических знаний, структуре определений, обучению поиску обоснований, без чего невозможно обучение моделированию;
введение понятий, обучение утверждениям и правилам осуществляется преимущественно в логике конкретно-индуктивного подхода, как наиболее адекватному логике прикладной математики, с использованием примеров смежных дисциплин, изучаемых на профильном уровне (физика, химия, биология, география);
часть учебного материала, в том числе и обязательного, представляется без обоснований, с частичным обоснованием, с использованием идеи Уотложенного обоснованияФ.
Реализация методики обучения математике в R-модели имеет следующие особенности. В настоящее время накоплен значительный теоретический материал и практический опыт, связанные с методикой изучения понятий, теорем и правил. При построении методики работы с понятиями, теоремами и правилами мы, в целом, придерживаемся хорошо зарекомендовавшей себя традиционной методики изучения указанных компонентов содержания математического образования, предлагаемой Н.Л. Стефановой, Н.С. Подходовой и др. При работе с понятиями, утверждениями, алгоритмами в соответствии с общей методикой изучения теоретического материала предлагается реализовать четыре этапа: профессиональный, подготовительный, основной (обучающий) и этап закрепления (применения введенного теоретического материала при решении типовых задач). Кроме этого, подтвердили свою эффективность в обучении алгебре и началам анализа в профильных классах ЕНН технологические схемы обучения понятиям, математическим утверждениям и алгоритмам. В исследовании показано, что имеет место соответствие между этапами технологической схемы обучения и этапами метода математического моделирования, т.е. реализуя одну из технологических схем обучения, мы осуществляем обучение элементам математического моделирования. Ранее показано соответствие между видами деятельности, соответствующими математическому моделированию и видами деятельности, приводящими к формированию ключевых компетенций. В исследовании установлено соответствие между видами деятельности ученика при реализации технологической схемы обучения и видами деятельности, соответствующими реализации компетентностного подхода. Таким образом, установлены связи между методом математического моделирования, компетентностным подходом и технологической схемой обучения (Рис. 15).
Рис. Рассмотрим пример обучения математическому моделированию при построении математической мо l дели колебательного процесса (получение уравнений движения пружинного и математического маятников, h Рис. 16) в R-модели Для построения математической m модели предлагаем ученикам воспользоваться урав' L t L нением Лагранжа второго рода (приме Рис. чательно, что, для получения уравнений движения используется только одна операция - операция дифференцирования функции по разным переменным, и это несмотря на то, что изучение частных производных не предусмотрено программой - рациональная логика помогает УобойтиФ этот момент). Сделаем чертеж колебательной системы и выберем в качестве координаты угол отклонения маятника от положения равновесия - . Запишем выражение кинетической и потенциальной энергии математичеmvского маятника:,, тогда функция ЛагранT U mgh mgl 1 cos m L , T U 2 l2 mgl 1 cos жа имеет вид. В соответствии с уравнением Лагранжа составляем выражения для производных функции Лагранжа и получаем, окончательно, уравнение движения маятника:
g g 2 t sin 0 0 t 0 sin . Полагая, получим . Для малых l l t 0 углов получаем известное ученикам уравнение . Для пружинного маятника с жесткостью пружины k и телом массой m при обобщенной координате x (смещение от положения равновесия при горизонтальном движении) кинетическая и потенциальная энергии соответственно имеют вид m m k T v2 U k x2 L(x,v) T U v2 xи, и функция Лагранжа для этой системы.
2 2 Вычисляя требуемые производные, получаем искомое уравнение x 0 x 0, т.е. получение уравнения движения в этом случае оказывается наиболее УэффектнымФ. Аналогично получаются уравнения движения тела по наклонной плоскости и, как частный случай, уравнение свободного падения. В физике 10-11 классов эти уравнения выводятся на основе II закона Ньютона, при этом, как показывают исследования, относительно небольшой процент учащихся (10-15%) понимают, о чем идет речь, и могут хотя бы воспроизвести вывод этих уравнений. В случае применения уравнения Лагранжа второго рода число учащихся, осознанно оперирующих с уравнениями, увеличивается до 40-50%.
В рамках R-модели появляется возможность уточнить технологические схемы введения понятий и проведения обоснований в логике прикладной математики. Это уточнение связано с методическим аспектом изучения математического содержания (понятий, теорем, алгоритмов) алгебры и начал анализа - этапы технологических схем в R-модели получают толкование в логике прикладной математики и трактуются как соответствующие этапы математического моделирования.
Обучение математическому моделированию является ведущей деятельностью учителя в R-модели, т.к. метод математического моделирования является, во-первых, основным методом познания (на уровне методологии) закономерностей изучаемых профильных дисциплин, а, во-вторых, как показано было выше, позволяет реализовать компетентностный подход в обучении, а также связан с возможностью реализации личностно ориентированного подхода в обучении.
Педагогический эксперимент по определению возможности построения школьного курса математики и собственно его построение с привлечением логики рациональных рассуждений можно по времени разделить на два продолжительных этапа: I этап - с 1987 г. по 1997 г.; II этап - с 2004 г. по 2009 г. На первом этапе проверялась возможность фрагментарного включения в процесс обучения математике элементов рациональной логики в классах инженерно-физической направленности. На втором этапе опытноэкспериментальная работа проводилась уже с R-моделью.
Анкетирование, личные беседы с учителями математики и учениками, а также с преподавателями технических (МВТУ им. Н.Э. Баумана) и педагогических вузов Санкт-Петербурга (РГПУ им. А.И. Герцена), Москвы (МГПУ им. В.И. Ленина), Краснодара (КубГУ) и Сочи (школы № 1, 2, 4, 6, 7, 8, 10, 12, 13, 14 и др.) обнаружили заинтересованность перечисленных выше категорий участников учебного процесса в решении проблемы Уусиления прикладной направленности обучения математикеФ (а фактически, как стало ясно позже, решения проблемы обучения математическому моделированию).
На II этапе (с 2004 г. по 2008 г.) фактически проводился поисковый и формирующий фазы педагогического эксперимента. На первом этапе была установлена и экспериментально доказана принципиальная возможность введения в процесс обучения элементов рациональной логики для усиления прикладной направленности обучения математике. На втором этапе с использованием положительных итогов эксперимента первого этапа экспериментальной проверке подвергалась эффективность реализации целостного курса алгебры и начал анализа в классах естественнонаучного направления, уточнялась разработанная концепция, проводилась оценка экспериментальной работы и внедрялись результаты исследования.
Обучение учащихся по экспериментальным материалам в течение двух лет (2005-2006 г.г.) проводилось в С.-Петербурге: учителями Ж.Ю. Самохваловой (школа № 2) г. Гатчины, Е.П. Ватаф (школа № 149), Н.П. Григорьевой (школа №1 г. Гатчины), Орловым В.В. (школа № 179), Козловой Т.И (школа №179); в г. Сочи: Т.И. Збукаревой (школа № 12), Обуховой Е.А. (школа № 12), Магдесян А.И. (школа № 8). Апробация отдельных разделов курса осуществлялась в школах г. Сочи учителями Юдиным М.В. (школа № 13, 20г.), Казаровой Л.А (школа № 12, 2005 г.), Куминовой Н.В. (школа № 12, 20г.). В течение 2005-2006 г.г. на базе школы № 12 г. Сочи работал методический семинар для учителей, работавших по экспериментальным материалам.
В эксперименте участвовало 324 ученика. Кроме этого, отдельные разделы курса в ознакомительном порядке апробировались учителями различных школ г. Сочи. В этой работе участвовало 104 ученика. Для сопоставления результатов изучения алгебры и начал анализа учащимися классов, в которых проводилась экспериментальная работа, с результатами, достигаемыми при традиционном обучении, нами были выбраны контрольные классы, в которых ученики имели на начало экспериментальной работы (2005-2006 учебный год) близкие показатели развития (по Векслеру) и примерно тот же состав педагогов, ведущих основные предметы, что и в экспериментальных классах, поэтому с достаточной долей уверенности можно утверждать, что появившиеся различия в развитии произошли за счет реализуемой нами концепции. В эксперименте участвовало 9 классов, в которых обучались 2учеников. В контрольных классах - 121 ученик, в экспериментальных - 99 человек. Процесс освоения учениками содержания предмета мы отслеживали по результатам выполнения ими специально составленных контрольных работ. Статистическая обработка экспериментальных данных осуществлялась в соответствии с методикой обработки педагогического эксперимента с помощью двустороннего критерия 2 (в исследовании представлены результаты статистической обработки 4 контрольных работ). Во всех случаях, полученное значение статистики критерия было больше критического значения, и в соответствии с правилом принятия решения принималась альтернативная гипотеза о различиях в свойствах выборок на данном уровне значимости. В этой связи, далее, рассчитывались средние баллы и доверительные интервалы срезовых контрольных работ. В нашем случае по всем 4 контрольным работам с достоверностью P=0,95 мы констатируем, что разность между средними баллами, полученными учениками экспериментальных и контрольных классов существенна (т.е. не случайна), что подтверждает гипотезу исследования в части повышения качества базовых знаний по предмету.
Умение работать с математическими моделями проверялось в рамках тех же контрольных работ. Были выделены следующие прикладные умения, подлежащие проверке, как одни из наиболее важных для практики естественнонаучного исследования: - проводить рациональные рассуждения при построении математической модели; - строить вычислительный алгоритм задачи; - проводить приближенные вычисления; - проводить интерпретацию решения на рациональном уровне. Уровень сформированности этих умений определяется на основе анализа приведенных учеником решений задач и ответов к ним. Оценка количественных показателей эффективности педагогического воздействия разработанной системы прикладных задач на уровень сформированности каждого из контролируемых элементов определялась на основе методики, предложенной А.В. Усовой. В соответствии с этой методикой в качестве основных показателей эффективности принимаются:
- коэффициент полноты выполнения контролируемых элементов i n ki i где ki - число элементов, выполненных i-м учеником; n - число kп 100%, k n учащихся в группе; k - общее число контролируемых элементов;
- коэффициент успешности выполнения контролируемых элементов (r+kr срез к r срезу) kу .
kr Изменение динамики показателей сформированности прикладных умений приведено в таблице:
Таблица № Показатели сформированности прикладных умений срез 1 срез 1 Коэффициент выполнения контролируемых элементов, % 42,3 48,Коэффициент успешности выполнения контролируемых эле- 1,ментов Для принятия решения относительно справедливости гипотезы в части влиянии обучения в R-модели на развитие ученика (прежде всего умственного развития) средствами предмета в процессе его деятельности по освоению предметного содержания мы использовали тест структуры интеллекта Амтхауэра. Выбор тестов определен тем, что они позволяют оценить ряд характеристик умственного развития. Тесты знакомы школьным психологам, адаптированы для отечественной школы, статистически достоверны. Диагностику характеристик этого развития мы проводили с помощью тестирования, которое осуществлялось с участием школьных психологов. Для измерения уровня интеллектуального развития ученика нами использовались субтесты 1-8, результаты выполнения которых приведены в Таблице 2.
Таблица 1 2 3 4 5 6 7 ЭК И 0,62 0,61 0,85 0,61 0,47 0,63 0,63 0, и 0,05 0,05 0,05 0,05 0,05 0,05 0,05 0,КК И 0,50 0,47 0,62 0,54 0,36 0,46 0,48 0, к 0,08 0,08 0,08 0,08 0,08 0,08 0,08 0,Сравнение результатов позволяет утверждать, что разработанные нами в рамках предложенной концепции методические материалы оказали положительное влияние на развитие интеллектуальных способностей учащихся, комбинаторную составляющую, что имеет непосредственное отношение к развитию абстрактного мышления школьников. Представленные результаты экспериментальной работы и их статистическая обработка подтверждают гипотезу нашего исследования.
Включение субъектного опыта ученика в процесс изучения алгебры и начал анализа в R-модели предопределяется формулировками заданий, примеры которых были приведены в главе IV нашего исследования, а преобразование этого опыта мы отслеживали через решение учениками задач различными методами, через изменение приоритетного вида деятельности в сторону исследовательской, через ответы на вопросы: УЧто вы узнали нового о...?Ф, УЧто Вас заинтересовало...?Ф, УКак изменились ваши представления о...?Ф В исследовании показано, что учащиеся экспериментальных классов показали более высокий уровень освоения содержания профильных предметов (физика, химия) и более высокий уровень сформированности мотивации выбора профессии по сравнению с учениками контрольных классов.
Выводы, полученные в ходе исследования, заключаются в следующем:
1. Исторически развитие математики и математического образования происходит во взаимосвязи и взаимодействии их теоретической и прикладной составляющих. В периоды инновационного развития общества усиливается развитие прикладной математики, а в школьном математическом образовании - усиливается прикладная направленность обучения математики.
2. Потребности общества в решении проблем инновационного развития привели к возникновению профильного обучения, которое в России имеет более чем 300 летнюю историю. За этот период профильное обучение эволюционировало и в настоящее время изучение математики на профильном уровне уже невозможно без широкого внедрения в процесс обучения математике логики прикладной математики.
3. Логика прикладной математики в обучении связывается, прежде всего, с методом математического моделирования, который является основным методом исследования изучаемых закономерностей реальной действительности в рамках естественнонаучных дисциплин.
4. Применение логики прикладной математики влечет введение в содержание образования новых разделов из прикладной математики для более эффективного исследования математических моделей, например, таких как УЭлементы теории погрешностейФ, УЭлементы математического моделированияФ, ФЭлементы теории вероятностейФ, УЭлементы численных методовФ.
5. Применение рациональных утверждений при обучении алгебре и началам анализа в классах ЕНН позволяет повысить эффективность процесса построения математических моделей, способствует стимулированию исследовательскую деятельность ученика, что влечет повышение мотивации изучения учебного материала.
6. Применение информационных технологий позволяет обеспечить возможность самостоятельного продуктивного исследования математических моделей и способствует повышению уровня мотивации выбора будущей профессии.
7. Установлено, что обучение в профильных классах естественнонаучного направления должно рассматриваться как ступень непрерывного математического образования.
Обобщая содержание диссертации и автореферата, можно отметить следующие основные результаты, полученные в ходе исследования:
1. Обосновано, что при обучении алгебре и началам анализа в профилях ЕНН целесообразно использовать логику прикладной математики.
2. Сформулирована концепция и принципы построения модели обучения алгебре и началам анализа в профилях ЕНН на основе логики прикладной математики.
3. Разработана модель обучения алгебре и началам анализа в профилях ЕНН на основе логики прикладной математики (R-модель), которая может использоваться в широком спектре профилей при обучении алгебре и началам анализа.
4. Описаны типы рациональных утверждений, которые могут использоваться в R-модели и разработана методика их 5. Проведена типология математических моделей и разработана методика обучения математическому моделированию с применением рациональных утверждений.
6. Разработаны методические рекомендации по новым разделам курса алгебры и начал анализа для учеников классов ЕНН.
7. В ходе экспериментальной работы подтверждена гипотеза исследования и обосновано, что применение логики прикладной математики в обучении ведет к повышению качества базовых знаний, предпрофессиональных умений и навыков и повышению уровня мотивации выбора будущей профессии.
Полученные результаты позволяют заключить, что цель исследования достигнута, задачи решены, гипотеза исследования получила достаточное подтверждение.
Выполненное нами исследование поставило ряд новых теоретических и практических проблем, требующих решения. К теоретическим проблемам можно отнести разработку концепции самостоятельной модели курса прикладной математики для средней школы, в которой найдет отражение содержание вопросов дискретной математики, математического моделирования с применением информационных технологий. В практическом плане представляют интерес методические разработки учебных материалов, отражающих применение рациональной логики при обучении другим предметам, а также вопросы создания интерактивного прикладного программного обеспечения, позволяющего обучать ученика построению и исследованию математических моделей. Эти проблемы могут стать предметом новых исследований по теории и методике обучения математике в контексте рассматриваемой проблемы.
Основное содержание диссертации отражено в следующих публикациях.
Научные монографии 1. Иванов И.А., Стефанова Н.Л., Подходова Н.С. и др. Современная методическая система математического образования: коллективная монография. / Под ред. Н.Л. Стефановой, Н.С. Подходовой, В.И. Снегуровой - СПб.:
Изд-во РГПУ им. А.И. Герцена, 2009. (26 п. л./2 п. л. авт., всего 25 авт.).
2. Иванов И.А. Теоретические основы построения модели обучения алгебре и началам анализа для классов естественнонаучного направления (монография) СПб.: Изд-во РГПУ им. А.И. Герцена, 2010. (11 п.л.) Учебные и методические пособия 3. Иванов И.А., Подходова Н.С., Орлов В.В. Геометрическое моделирование окружающего мира (учебные материалы элективного курса) Элективные курсы в профильном обучении: Образовательная область УМатематикаФ / Министерство образования РФ - Национальный фонд подготовки кадров М.:
Вита-пресс, 2004. (0,2 п. л. /0,1 п. л. авт.) 4. Иванов И.А., Подходова Н.С., Орлов В.В. Обоснования в математике (От Евклида до компьютера) (учебные материалы элективного курса) Элективные курсы в профильном обучении: Образовательная область УМатематикаФ / Министерство образования РФ - Национальный фонд подготовки кадров М.: Вита-пресс, 2004. (0,24 п. л. /0,1 п. л. авт.) 5. Иванов И.А., Подходова Н.С., Стефанова Н.Л. и др. Методика и технология обучения математике. Курс лекций: пособие для вузов / под научн.
редакцией Н.Л. Стефановой, Н.С. Подходовой М.: Дрофа, 2005 (25 п.
./2,04п. л. авт., всего 9 авторов) 6. Иванов И.А. Подходова Н.С., Стефанова Н.Л. и др. Методика и технология обучения математике. Лабораторный практикум: пособие для вузов / под научн. редакцией В.В. Орлова М.: Дрофа, 2007. (21 п. л./0,6п. л. авт., всего 9 авторов) 7. Иванов И.А, Орлов В.В., Н.С. Подходова. Геометрическое моделирование окружающего мира: хрестоматия. М.: Дрофа, 2007 (11 п. л. /2,25 п. л. авт.).
8. Иванов И.А. Н.С. Подходова, Н.Л. Стефанова и др. Методика и технология обучения математике. Курс лекций: пособие для вузов / под научн. редакцией Н.Л. Стефановой, Н.С. Подходовой - 2-е изд., испр. и доп. М.: Дрофа, 2008. (25 п. л./2,04п. л. авт., всего 9 авторов) 9. Иванов И.А., Подходова Н.С., Орлов В.В. Геометрическое моделирование окружающего мира. 10Ц11 классы: учеб. пособие - М.: Дрофа, 2009 (п. л. /1,25 п. л. авт.) 10. Иванов И.А., Збукарева Т.И., Назаров В.М. и др. Методические рекомендации по педагогической практике для студентов 3-5 курсов математического факультета. - СПб.: Образование, 1998. - 22 с., С.1-17. (1 п. л. /0,6 п. л. авт.).
11. Иванов И.А. Выполнение курсовых и дипломных работ по математике: (Методические рекомендации) СПб.: Изд-во РГПУ им. А.И. Герцена, 2000. - 32 с. (2 п. л.).
12. Иванов И.А., Иванова М.Н. Практикум по применению экономикоматематических расчетов: учебно-методическое пособие Сочи: РИО СИМБиП, 2006. - 46 с., (2,88 п. л. /2,25 п. л. авт.).
13. Иванов И.А. Элементы операционного исчисления: методические рекомендации для учителя СПб.: Изд-во РГПУ им. А.И. Герцена, 2008. - 30 с.
(1,88 п. л.) 14. Иванов И.А. Комбинаторика и элементы теории вероятностей:
учебно-методическое пособие СПб.: Изд-во РГПУ им. А.И. Герцена, 2008. - 51 с. (3,19 п. л.) 15. Иванов И.А. Элементы теории погрешностей: учебно-методическое пособие СПб.: Изд-во РГПУ им. А.И. Герцена, 2009. - 20 с. (1,25 п. л.) 16. Иванов И.А. Элементы математического моделирования: учебнометодическое пособие СПб.: Изд-во РГПУ им. А.И. Герцена, 2010. - 30 с. (1,88 п. л.).
17. Иванов И.А., Боровский Е.Э., Краснов Н.Ф.. Расчет скачков уплотнения с использованием ЭВМ. Методические указания к курсовой работе по курсу УГидроаэродинамикаФ. М.: МВТУ им. Н.Э. Баумана, 1987. - 48 с., С.431. (0,58 п. л.) Публикации в изданиях, рекомендованных ВАК РФ 18. Иванов И.А. Преемственность прикладной направленности школьного курса математики и современных профильных математических курсов // Вестник Поморского университета: научный журнал. - Архангельск, ФПоморский государственный университет имени М.В. ЛомоносоваФ, Спецвыпуск 2006, Серия физиологические и психолого-педагогические науки. - 154 с. - С. 91-99. (0.95 п. л.).
19. Иванов И.А. Проектирование содержания математического образования в концепции личностно ориентированного обучения в полной (средней) школе // Экологический вестник научных центров Черноморского экономического сотрудничества: Научно-образовательный и прикладной журнал. - Краснодар, КубГУ, 2006. - 172 с. - С.60-61. (0.23 п. л.).
20. Иванов И.А. Дидактический потенциал рациональной логики в обучении математике // Экологический вестник научных центров Черноморского экономического сотрудничества: Научно-образовательный и прикладной журнал. - Краснодар, КубГУ, 2006. - 288 с. - С.274-275. (0.23 п. л.).
21. Иванов И.А. Концепция построения курса алгебры и начал анализа в классах естественнонаучного профиля в личностно ориентированном обучении // Известия Волгоградского государственного педагогического университета: научный журнал. № 6 (24). 2007. Серия Естественные и физикоматематические науки. - 122 с. - С. 64-68. (0,45 п. л.).
22. Иванов И.А. Построение содержания курса алгебры и начал анализа в классах естественнонаучного профиля в концепции личностно ориентированного обучения // Вестник Поморского университета: научный журнал. № 6. 2009. Серия Гуманитарные и социальные науки. - Архангельск, 2009. - 1с. - С. 150-157. (0,84 п.л.).
23. Иванов И.А. Историко-математический аспект применения рациональной логики в теоретической и прикладной математике // Образование и наука. Известия Уральского отделения Российской академии образования.
Журнал теоретических и прикладных исследований № 2 (59). 2009, - 148 с. - С. 22-27. (0,34 п. л.).
24. Иванов И.А. Некоторые аспекты профильного обучения в системе общего математического образования // Вестник Новгородского государственного университета им. Ярослава Мудрого: научно-теоретический и прикладной журнал. - № 53/2009. Серия УПедагогика. ПсихологияФ. - 86 с. С. 3134. (0,36 п. л.).
25. Иванов И.А. Исторические предпосылки использования логики рациональных рассуждений в школьном курсе математики для профильных классов естественнонаучного направления // Вестник Адыгейского государственного университета (серия Педагогика и психология). Выпуск 2 (60).
Майкоп, 2010. - 196 с. С. 89-93. (0,5 п. л.) 26. Иванов И.А. Модель курса алгебры и начал анализа для классов естественнонаучного направления // Известия РГПУ им. А.И. Герцена. № 136:
Научный журнал. - СПб., 2010. - 199 с. С. 153-162. (1,2 п. л.).
Статьи в журналахи сборниках научных трудов, материалы конференций 27. Иванов И.А., Коноплева Л.П. Ортогональные многочлены в куре математики для классов инженерно-физического профиля. // Прикладная математика (вопросы теории и методики преподавания). Сборник научных трудов. Сочи, 1996. -94 с., С.70-71. (0,12 п. л. /0,1 п. л. авт.) 28. Иванов И.А. Коноплева Л.П. Элементы операционного исчисления в курсе математики средней школы для классов инженерно-физического профиля \ Прикладная математика (вопросы теории и методики преподавания).
Сборник научных трудов. Сочи, 1996. -94 с., С.72-75. (0,24 п. л. /0,2 п. л. авт.) 29. Иванов И.А., Шипулин С.Н. Перспективы применения логики рациональных рассуждений в школьном курсе математики // Некоторые вопросы математики и методики ее преподавания. Сб. н. трудов. - Сочи: РИ - СГУТиКД, 1999. - 47 с.- С.45-46. (0,12 п. л. /0,1 п. л. авт.) 30. Иванов И.А. Некоторые подходы к решению проблемы прикладной направленности обучения // Проблемы и перспективы развития методики обучения математике. Сборник научных работ, представленных на 52-е Герценовские чтения. - СПб.: Образование, 1999.- 179 с., С.73-77. (0,24 п. л.) 31. Иванов И.А. Спецкурс УПрикладные задачи в школьном курсе математикиФ в методической подготовке студентов // Проблемы и перспективы развития методики обучения математике. Сборник научных работ, представленных на 52-е Герценовские чтения. - СПб.: Образование, 1999.- 179 с., С.106-107. (0,12 п. л.).
32. Иванов И.А. Элементы методики решения прикладных задач в рациональной логике. // Некоторые вопросы математики и методики ее преподавания: Сб. науч. труд. - СПб.: Изд-во РГПУ им. А.И. Герцена, 2000. Вып.
2. - 40 с. - С.35-37. (0,12 п. л.).
33. Иванов И.А.Связь гуманитарной и прикладной направленности обучения математике // Методические аспекты реализации гуманитарного потенциала математического образования: Сборник научных работ, представленных на 53 Герценовские чтения / Под ред. В.В. Орлова. - СПб.: Изд-во РГПУ им. А.И. Герцена, 2000. - 163 с.- C.92. (0,06 п. л.).
34. Иванов И.А. Збукарева Т.И. Организация педагогической практики на математическом факультете педагогического института // Педагогическая практика студентов в свете современных психолого-педагогических требований: Сборник науч.-метод. статей /Отв. ред. С.В. Воробьева, Ю.С. Тюнников.
- Сочи: РК - СГУТиКД. 2001. - 96 с., С. 69-76. (0,42 п. л. /0,36 п. л. авт.) 35. Иванов И.А. Динамические дидактические средства обучения и перспективы их использования в учебном процессе // Модернизация школьного математического образования и проблемы подготовки учителя математики:
Труды XXI Всероссийского семинара преподавателей математики университетов и пед. вузов /Под ред. В.В. Орлова. - СПб.: Изд-во РГПУ им. А.И. Герцена, 2002. 220 с., С.198-199. (0,12 п. л.).
36. Иванов И.А. Проблема прикладной направленности школьной математики и ее развитие в России в XX веке // Основные итоги становления предметных методик в XX веке и перспективы их развития. /Сборник научных трудов ФНепрерывное профессиональное образование. Опыт и проблемыФ. Вып. 2. (под научн. ред И.М. Титовой) - СПб.: УКульт-Инфо-ПрессФ, 2002. - 282 с., С.220-224. (0,24 п. л.).
37. Иванов И.А. Некоторые особенности проектирования базового содержания математического образования // Проблемы теории и практики обучения математике: Сборник научных работ, представленных на международную научную конференцию Ф55 Герценовские чтенияФ /Под ред. В.В. Орлова.
- СПб.: Изд-во РГПУ им. А.И. Герцена, 2002. - 246 с.- C.51-53. (0,18 п. л.).
38. Иванов И.А. Ермак Е.А., Орлов В.В. Элективные курсы для старшей школы и особенности их организации // Проблемы теории и практики обучения математике: Сборник научных работ, представленных на международную научную конференцию Ф56 Герценовские чтенияФ / Под ред. В.В. Орлова. - СПб.:
Изд-во РГПУ им. А.И. Герцена, 2003. - 279 с.- C.87-99. (0,72 п. л. /0,25 п. л. авт.).
39. Иванов И.А., Иванова М.Н. Элементы теории вероятностей и математической статистики в школьном курсе математики // Проблемы теории и практики обучения математике: Сборник научных работ, представленных на международную научную конференцию Ф56 Герценовские чтенияФ /Под ред. В.В. Орлова. - СПб.: Изд-во РГПУ им. А.И. Герцена, 2003. - 279 с.- C.213-214 (0,12 п. л. /0,1 п. л. авт.) 40. Иванов И.А. Исторический аспект проблемы прикладной направленности обучения математике в средней школе // Проблемы теории и практики обучения математике: Сборник научных работ, представленных на международную научную конференцию Ф57 Герценовские чтенияФ /Под ред. В.В. Орлова. - СПб.: Изд-во РГПУ им. А.И. Герцена, 2004. - 351 с.- C.14-18. (0,24 п. л.).
41. Иванов И.А. Прикладная направленность обучения математике в новой концепции математического образования // Проблемы теории и практики обучения математике: Сборник научных работ, представленных на международную научную конференцию Ф57 Герценовские чтенияФ /Под ред. В.В. Орлова. - СПб.: Изд-во РГПУ им. А.И. Герцена, 2004. - 351 с.- C.53-56. (0,24 п. л.).
42. Иванов И.А. Элементы математики как средство формирования алгоритмической культуры учащихся // Проблемы теории и практики обучения математике: Сборник научных работ, представленных на международную научную конференцию Ф57 Герценовские чтенияФ /Под ред. В.В. Орлова. - СПб.: Изд-во РГПУ им. А.И. Герцена, 2004. - 351 с.- C.115. (0,06 п. л.).
43. Иванов И.А. Иванова М.Н., Збукарева Т.И. Проблема прикладной направленности обучения математике в современной концепции математического образования // Обозрение прикладной и промышленной математики, том 11, выпуск 4 /Редактор Ю.В. Прохоров. - М.: ООО Редакция журнала ФОПиПМФ, 2004. - 974 с. - С.824 (0,06 п. л. /0,03 п. л. авт.) 44. Иванов И.А., В.В. Орлов. Реформа математического образования в России: вопросы без ответов // Проблемы теории и практики обучения математике: Сборник научных работ, представленных на Международную научную конференцию Ф58 Герценовские чтения Ф /Под ред. В.В. Орлова. - СПб.: Изд-во РГПУ им. А.И. Герцена, 2005. - 349 с.- C.122-127. (0,18 п. л. /0,12 п. л. авт.) 45. Иванов И.А. Некоторые теоретические аспекты проблемы профильного обучения // Проблемы теории и практики обучения математике: Сборник научных работ, представленных на международную научную конференцию Ф59 Герценовские чтения Ф - СПб.: Изд-во РГПУ им. А.И. Герцена, 2006.
- 281 с.- C.191Ц192. (0,12 п. л.).
46. Иванов И.А. Иванова М.Н.. О соответствии содержания школьного математического образования целям профильного обучения // Обозрение прикладной и промышленной математики, том 13, вып. 3 /Редактор Ю.В. Прохоров. - М.:
ООО Редакция журнала ФОПиПМФ, 2006. - 576 с. - С.495. (0,12 п. л. /0,1 п. л. авт.) 47. Иванов И.А., Орлов В.В. Реализация содержательных связей при обучении математике (статья на англ. языке) // Didactics of Mathematics 3 (7).
- Wroclaw: The Publishing House of the Wroclaw University of Economics, 2006, - 124 с. - С. 5-12. (0,24 п. л. /0,2 п. л. авт.) 48. Иванов И.А. Применение ортогональных многочленов в практических работах по курсу алгебры и начал анализа в классах инженернофизического профиля. // Актуальные проблемы преподавания математики в школе и вузе. Материалы межвузовской конференции, посвященной 105летию со дня рождения В.М. Брадиса. Тверь, 1995.-168 с., С.68-71. (0,24 п. л.).
49. Иванов И.А. Методика решения прикладных задач в рациональной логике // Проектирование инновационных процессов в социокультурной и образовательной сферах: Материалы. 2-й междунар. науч.-метод. конф., Сочи, 27-29 мая 1999 г. В 2 ч. Ч.2 /Отв. ред. Ю.С. Тюнников, Г.В Яковенко. - Сочи: РИ - СГУТиКД, 1999. - 214 с.: ил., табл. С.142-143. (0,06 п. л.).
50. Иванов И.А. Потенциал новых информационных технологий в профильной школе // Проблемы подготовки учителя математики к преподаванию в профильных классах: Материалы ХХV Всерос. семинара преподавателей математики ун-тов и педвузов. - Киров; М.: ВятГГУ, МГПУ, 2006. - 3с. - С.225. (0,06 п. л.).
51. Иванов И.А. Использование рациональной логики при решении задач в курсе математики в профильной средней школе // Наука и высшая школа - профильному обучению (материалы Всероссийской научнопрактической конференции 17-18 октября 2006 года): В 2 ч. Часть 2. - СПб., 2007, - 288 с. - С.264-271. (0,56 п. л.).
52. Иванов И.А. О некоторых проблемах дифференцированного обучения // Проблемы гуманизации математического образования в школе и вузе.
Тезисы докладов научной межрегиональной конференции. - Саранск, 1995.104 c., С.15. (0,06 п. л.).
53. Иванов И.А., Орлов В.В. О прикладной составляющей в подготовке учителя математики // Проблемы стандарта подготовки учителей математики в педагогических вузах. Тезисы докладов XIV Всероссийского семинара преподавателей математики педвузов. Орск, 1995.-168 с., С.60. (0,06 п. л.).
54. Иванов И.А. О прикладной составляющей в содержании обучения математике в инженерно-физических классах. // Школьное математическое образование: вопросы содержания и методов. Тезисы докладов на Герценовских чтениях. СПб.: Образование, 1995.- 57с., С.26. (0,06 п. л.).
55. Иванов И.А. О некоторых принципах построения системы прикладных задач для классов инженерно-физического профиля. // Гуманитарный потенциал математического образования в школе и педвузе. Тезисы докладов XV Всероссийского семинара преподавателей математики педвузов, посвященного 200-летию РГПУ им. А.И. Герцена. СПб.: Образование, 1996.-192 с., С.159. (0,06 п. л.).
56. Иванов И.А. О содержании спецкурса по методике реализации прикладной направленности обучения математике. // Сочетание общекультурной и предметной составляющих в общем математическом образовании учащихся и в профессиональной подготовке будущих учителей математики. Тезисы докладов на Герценовских чтениях. СПб.: Образование, 1997. - 80с., С.15. (0,06 п. л.).
57. Иванов И.А. Рациональные рассуждения в школьном курсе математики // Личностно ориентированный подход при обучении математике (Содержательный и процессуальный аспекты): Тезисы докладов 51 Герценовских чтений. СПб.: Образование, 1998.- 111 с., С.69. (0,06 п. л.).
58. Иванов И.А. Иванова М.Н. Некоторые пути оптимизации содержания и форм организации среднего (полного) общего математического образования // Теоретические, методологические и практические аспекты развития индустрии туризма на Азово-Черноморском побережье: Материалы междунар. семинара под эгидой ЮНЕСКО в рамках работы BSTEN ФКультурное наследие, туризм и устойчивое развитие стран Черноморского бассейнаФ - Сочи: СГУТиКД, 2004. 390 с.: ил. - С.321-324 (0,18 п. л. /0,14 п. л. авт.) 59. Иванов И.А. Влияние современных информационных технологий на процесс обучения математике // Современные проблемы школьного и вузовского математического образования: Тез. докл. XXIV Всерос. семинара преподавателей математики ун-тов и педвузов / Под ред. А.Г. Мордковича, И.К.
Кандауровой. - М.; Саратов: Ред.-изд. отдел Моск. гор. пед. ун-та, Изд-во Сарат. ун-та, 2005. - 236 с. - C.142-143. (0,12 п. л.).
60. Иванов И.А., Иванова М.Н. Числовые функции в профильном курсе математики // Проблемы подготовки учителя математики к преподаванию в профильных классах: Материалы ХХV Всерос. семинара преподавателей математики ун-тов и педвузов. - Киров; М.: ВятГГУ, МГПУ, 2006. - 300 с. - С.
226. (0,06 п. л. /0,04 п. л. авт.).