Авторефераты по всем темам >>
Авторефераты по разным специальностям
На рукописи а правах р и Будный К Александр Кирилл А рович М РОВАНИ МОДЕЙС ЭЛЕКТРО ТНЫХ МОДЕЛИР ИЕ ВЗАИМ СТВИЯ Э ОМАГНИТ В ОПТИЧЕ ОДНОРО И НЕСФЕ КИМИ ВОЛН С О ЕСКИ НЕО ОДНЫМИ ЕРИЧЕСК Ч ЦАМИ ЧАСТИ - Сп ость 05.1 Математи оделирование, чис пециально 13.18 - М ическое мо сленные методы лексы про ы и компл ограмм А ФЕРАТ АВТОРЕФ диссе на соискан ой степен ертации н ние учено ни канд изико-мат ских наукдидата фи тематичес к М 2 Москва - 2012 г.
Работа выполнена в ФГБОУ ВПО Московском государственном технологическом университете СТАНКИН.
Научный консультант: доктор физико-математических наук, профессор Уварова Людмила Александровна
Официальные оппоненты: Кривенко Ирина Валерьевна кандидат физико-математических наук, ФГБОУ ВПО Тверской государственный технический университет, доцент кафедры Теплофизика Бычков Владимир Львович, доктор физико-математических наук, старший научный сотрудник, ФГОУ ВПО Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова, ведущий научный сотрудник
Ведущая организация: ФГАОУ ВПО Северный (Арктический) федеральный университет имени М. В. Ломоносова
Защита состоится л28 мая 2012 г. в 12 часов на заседании диссертационного совета Д 212.142.03 при ФГБОУ ВПО Московском государственном технологическом университете СТАНКИН по адресу:
127055, Москва, Вадковский переулок, д. 3а.
С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ФГБОУ ВПО Московского государственного технологического университета СТАНКИН.
Автореферат разослан л28 апреля 2012 г.
Ученый секретарь диссертационного совета, к.т.н., доц. Семячкова Е.Г.
Общая характеристика работы
Актуальность темы. В настоящее время во многих физических областях и приложениях представляется актуальным изучение взаимодействия электромагнитного излучения с дисперсными частицами, т. е. частицами, размеры которых меньше или сопоставимы с длиной волны света. В частности, особый интерес представляет исследования процесса поглощения электромагнитного излучения такими частицами, результаты которых находят применение в ряде прикладных задач, возникающих в таких направлениях, как физика атмосферы, атмосферная оптика, электродинамика, физика космоса, биофизика клетки, оптика аэрозолей.
Присутствующие в атмосфере малые частицы, аэрозоли, играют важную роль в системе климата Земли благодаря взаимодействию с солнечной и земной радиацией через процессы рассеивания и поглощения, которые приводят к изменению запаса радиации Земли. В связи с этим прикладными задачами в оптике аэрозолей и физике атмосферы являются обнаружение частиц, измерение их размеров и получение распределения их внутренней энергии, а, следовательно, и температуры. Это позволяет изучать их оптические, микрофизические свойства и проводить оценку химического состава (показателя преломления) и, таким образом, изучать их свойства рассеяния и поглощения для возможности воздействия на них.
Результаты таких исследований находят свое применение, например, при создании и оптимизации каналов просветления в атмосфере посредством интенсивного лазерного излучения на атмосферные аэрозоли. При данном воздействии возникает разогрев частиц, их испарение и тепловой взрыв.
Подобные практические применения результатов исследований актуальны при решении, например, проблемы загрязнения окружающей среды промышленными аэрозолями или последствиями вулканической активности на сейсмически активных территориях планеты.
Результаты изучения процесса поглощения электромагнитного излучения дисперсными частицами актуальны также в биофизике клетки и медицине. В медицине, например, практическое применение результатов используется в технологии, получившей название лазерного пинцета.
Это возможность перемещать клетку только при помощи узкого пучка света.
Ранее были получены строгие решения задач о нахождения внутреннего поля частиц однородного состава, но реальные частицы являются оптически неоднородными, то есть их диэлектрическая проницаемость и проводимость внутри них являются переменными.
В связи с этим становится актуальным развитие полученных ранее решений для случая такой неоднородности.
Кроме того, представляет интерес случай, когда вещество частицы, на которую воздействуют электромагнитным излучением, имеет неположительные диэлектрическую проницаемость и проводимость [1], которые в общем случае также могут быть непостоянными для всей частицы. В случае, когда 0, частицы становятся визуально невидимыми, и результаты исследования в данном направлении могут быть актуальны в военно-промышленной сфере.
Целью диссертационной работы является построение математических моделей для расчета внутреннего поля оптически неоднородных несферических частиц и их коллективов, комплексная диэлектрическая проницаемость которых зависит от координаты, и проведение вычислительных экспериментов на основе построенных моделей.
Научная новизна работы заключается в:
1. установлении функциональных связей между параметрами неоднородных несферических частиц и характеристиками электромагнитного излучения;
2. построении моделей взаимодействия электромагнитного излучения с неоднородными несферическими частицами на основе принципа Гюйгенса-Пуанкаре;
3. решении задачи математического моделирования взаимодействия электромагнитного излучения с оптически неоднородными несферическими частицами асимптотическими и численными методами с использованием потенциалов Дебая;
4. разработанных алгоритмах расчета внутреннего поля неоднородной несферической частицы;
5. создании комплекса программ для проведения вычислительного эксперимента по расчету внутреннего поля неоднородной несферической частицы.
Обоснованность и достоверность полученных результатов подтверждаются фундаментальными теоретическими положениями, такими как электромагнитная теория Максвелла, теория Ми, теория специальных функций, а также переходом полученных решений в предельном случае сферической однородной частицы в известное ранее решение.
Теоретическая ценность работы заключается в том, что предложенный математический метод может быть обобщен на случай рассмотрения примитивов в виде цилиндров или других частиц простых конфигураций, а также рассмотрения агломератов с нелинейными оптическими свойствами.
Практическая ценность работы заключается в том, что результаты могут использоваться для проведения расчетов внутренних полей и поглощенной энергии в неоднородных несферических частицах, для решения различных задач физики дисперсных систем, электродинамики, теплофизики, акустики, а также внедрены в учебный процесс для подготовки бакалавров по направлению 231300 Прикладная математика.
Апробация работы.
Результаты работы обсуждались и докладывались на следующих научных конференциях:
- Международная научная конференция GAeF Meeting 2008 on "Light Scattering: Mie and More - Commemorating 100 years Mie's 19publications, г. Карлсруэ, Германия, 2008г.;
- 1-я международная научная конференция The Modeling of Nonlinear Processes and Systems, в ФГБОУ ВПО МГТУ Станкин, г.Москва, 2008 г.;
- 16-я международная научная конференция Математика.
Компьютер. Образование, в Институте Биофизики РАН, г. Пущино, 2009 г.;
- 17 - я международная научная конференция Математика.
Компьютер. Образование в ОИЯИ, г. Дубна, 2010 г.;
- 2-я международная научная конференция The Modeling of Nonlinear Processes and Systems, в ФГБОУ ВПО МГТУ Станкин, г. Москва, 2011г.
Положения, выносимые на защиту:
- метод определения внутреннего электромагнитного поля для оптически неоднородных несферических дисперсных частиц, основанный на принципе Гюйгенса-Пуанкаре;
- построенные математические модели взаимодействия электромагнитных волн с неоднородными несферическими частицами;
- разработанные алгоритмы и решения поставленной задачи аналитическим и численным методами.
Публикации.
По теме исследования опубликовано 9 научных работ и 2 из них в периодических научных изданиях, рекомендованных в ВАК.
Структура и объем работы. Работа состоит из введения, трех глав, выводов, списка литературы и двух приложений. Работа содержит 1страниц машинописного текста.
Краткое содержание работы.
Во введении раскрывается актуальность научных исследований по взаимодействию электромагнитного излучения с малыми неоднородными несферическими частицами.
В первой главе дан обзор по современным методам решения задач дифракции, представляющих собой внешнюю или внутреннюю граничную задачу для уравнения Гельмгольца, и, в частности, о методах расчета внутреннего поля дисперсных частиц.
Раскрываются преимущества и недостатки методов в их применении для конкретных видов частиц, на основе чего можно сделать выводы об эффективности тех или иных методов. На сегодняшний день существующие методы достаточно разнообразны в силу разнообразия встречающихся на практике задач, и они часто призваны взаимно дополнять друг друга на различных этапах решения конкретной задачи.
В частности, в данной работе при решении задачи математического моделирования использовались методы интегрального уравнения и Тматриц.
Во второй главе строится математическая модель взаимодействия электромагнитных волн с оптически неоднородными несферическими частицами.
В более ранних исследованиях рассматривались только однородные несферические частицы. В качестве примера можно привести работы Петерсона, Строма[2,3], Мищенко[4]. Метод для оптически неоднородных частиц ранее описан не был.
В данной работе рассмотрено решение задачи о взаимодействии электромагнитного излучения с неоднородной несферической частицей, с двухслойной и многослойной частицей, с системами из двух частиц и из N частиц с применением принципа Гюйгенса-Пуанкаре[5].
При рассмотрении одиночной частицы ограничения, накладываемые на ее поверхность, заключаются в следующем:
1. Внутри поверхности S должна существовать такая точка, что если в качестве нее выбрать начало сферической системы координат, то радиус-вектор выходящий из данной точки и с концом на S,, должен представлять непрерывную функцию от сферических, углов и.
2. Начало системы координат должно совпадать с центром двух концентрических сфер, одна из которых вписана в частицу, а другая описана около нее.
3. Поверхность S должна являться кусочно-гладкой, чтобы удовлетворять условиям теоремы Гаусса.
Рис. 1. Геометрическая модель для одиночной частицы и ее электромагнитные характеристики., - вектора электрического и магнитного полей,, - диэлектрическая и магнитная проницаемости, постоянные для внешней среды и переменные для частицы, - волновое число в вакууме, и, где - длина волны падающего излучения.
Аналогичные величины, относящиеся к частице, имеют индекс л1.
Волновое число внутри частицы представляет собой функцию от радиуса, - вектор нормали на поверхности S При рассмотрении N - слойных частиц вводятся дополнительные ограничения на ее геометрию, заключающиеся в том, чтобы все сферы, вписанные и описанные около поверхностей i-х слоев, 1, были концентрическими. При построении математической модели центр данных сфер выбирается за начало системы координат.
Принцип Гюйгенса-Пуанкаре для области среды, содержащей источник, порождающий излучение и содержащийся в объеме, записывается в виде:
| | r внутри, | | / / для снаружи (1) где - падающее поле,, - диэлектрическая и магнитная проницаемости среды (для вакуума полагаем 1), S Цповерхность, ограничивающая объем, - вектор нормали к данной поверхности, направленный внутрь объема, и - тангенциальные | | поля на поверхности S, - функция Грина для уравнения Гельмгольца для среды, характеризующейся волновым числом, - радиус - вектор с концом на поверхности S.
Поле вне частицы является суперпозицией падающего и рассеянного полей и, т. е.:
, которые раскладываются в бесконечные ряды:
, 2, а, 2, б где и образуют полное множество решений уравнения Гельмгольца 0 и / 2 1 ! cos cos 4 1 ! (4) где - сферическая функция Ханкеля, cos - присоединенные функции Лежандра. Функции получаются из заменой на сферические функции Бесселя.
Рассмотрена математическая модель для многослойной частицы, состоящей из N последовательно включенных друг в друга поверхностей, 1, 2, Е,, и каждая среда, заключенная между поверхностями и, характеризуется переменными значениями волнового числа, диэлектрической и магнитной проницаемостями и, электрическими и магнитными полями и.
Разложение в ряд векторов электрического и магнитного поля между поверхностями и, 1, 1имеют вид:
, 5, а , 1, 1, 5, б Рис. 2. Геометрическая модель для двухслойной частицы где - с концом на поверхности, - на поверхности.
Внутри поверхности разложения данных векторов имеют вид:
, 6, а 6, б где и образуют полное множество решений уравнений Гельмгольца 0 Падающее поле предполагается известным, и коэффициенты разложения в ряд внутренних полей выражаются через коэффициенты ряда падающего поля линейным образом. Для коэффициентов поля и между поверхностями и имеем:
,, 2, Е,,, 2, Е,,, 2, Е,,, 1, 2, Е,,,,,,,, где другие комбинации Re или Out в качестве первого аргумента соответствуют в формуле для, функциям или соответственно, а комбинации Reg или Out в качестве второго аргумента соответствуют функциям или .
Индексы л21 и л11 в выражении (10) означают, что из матрицы выбираются элементы с соответствующими номерами строк и столбцов.
Таким образом, математическая модель для случая одной и двух частиц является частным случаем общей модели при N = 1 и N = 2, соответственно.
Ранее были получены точные решения задач о взаомодейтсвии поля с со сложными моделями сферических частиц. В качестве примера можно привести работы Розенберга[6], в которойрассматривается точное решение задачи для многослойной сферической частицы, состоящей из последовательно включенных друг в друга неконцентрических шаров, а также работы Колобовой и Кривенко[7].
Для модели из N частиц, произвольно расположенных друг относительно друга, центр системы координат выбирается в центре сферы наименьшего радиуса, содержащей внутри себя все частицы, и коэффициенты разложения в ряд внутренних полей определяются из системы уравнений:
,,, 1, где коэффициенты, и, являются неперестановочными. Решение ищется методом Оре [2], и в результате для коэффициентов получаются следующие выражения:
Рис. 3. Геометрическая модель для двух частиц, 1,, 1,,,, 1,,,, и для нечетных N,,,,,,, а для четных, соответственно:
,,, Таким образом, используя данные математические модели для многоcлойной частицы и для системы из N частиц, можно строить модели для сложных частиц с различными случаями включения неоднородностей.
В третьей главе рассматривается аналитическое и численное решения задачи о нахождении векторов электрического и магнитного полей внутри одиночной частицы, когда ее диэлектрическая проницаемостьявляется функцией расстояния от ее центра.
Использование зависимости от радиуса интересно с точки зрения реальных систем, а также позволяет использовать потенциалы Дебая[8].
В случае рассмотрения неоднородных частиц метод потенциалов Дебая применим, когда выполнено одно из следующих условий:
0, 0, 0, [14] где, - сферические координаты,,,,, - линейно независимые - и -компоненты векторов электрического поля, т. е.
Для получения аналитического решения использовался метод возмущений. В этом случае квадрат волнового числа представляется в виде:
, где - безразмерный параметр, и, - с диэлектрическая проницаемость в центре частицы.
Зависимость от является симметричной сферической зависимостью, то есть при фиксированном значение является постоянным на сегменте сферы радиуса, ограниченном поверхностью частицы. Метод возмущений ограничен тем, что 1.
Поле внутри частицы представляется в виде:
,, где / 2 1 ! 4 1 ! cos cos Неизвестная функция находится из решения уравнения Гельмгольца для электрического П и магнитного П потенциалов Дебая, через которые могут быть выражены компоненты электрического и магнитного векторов П П 0, Решение уравнения ищется в виде: П П П, где П удовлетворяет уравнению Гельмгольца П П 0, с постоянными и.
Так как зависит только от, то после разделения переменных в уравнении Гельмгольца получим уравнение относительно функции от радиуса:
0, решение которого ищется в виде. Здесь удовлетворяет уравнению 0, получающегося из уравнения (22) при разделении в нем переменных.
Решение для n-го члена ряда имеет вид:
2 где /2 ,.
Коэффициенты внутреннего поля выражаются через коэффициенты внешнего поля:
, где, и В данной работе исследована зависимость квадрата волнового числа от r вида. Примеры расчетов полей приведены на рис. 4.
Кроме метода возмущения, применялся также метод Вентцеля - Крамерса - Бриллюэна, который позволяет находить решение уравнения для случая квадрата волнового числа вида без ограничения на.
Ищется решение уравнения 0, где, и на не накладывается никаких ограничений.
Асимптотическое решение имеет вид:
Ф Ф, где Ф, /2 ln, 8 С, Анализ полученного решения показал, что в зависимости от функции имеет место суперпозиция периодического и монотонного решений в слое при 1 (если 0) или 1 (если 0). Величины,, зависят от вида функциональной зависимости. В однородной частице такое качественное изменение решения Ф возникает только в одной гармонике при фиксированных,.
Для получения численного решения радиальной составляющей функций, используемых в развитом выше подходе решения задачи взаимодействия с неоднородными частицами, использовался метод конечных разностей. Ищется решение уравнения для области внутри частицы:
2 1 0, Далее приведены расчетные формулы на примере - является квадратом волнового числа внутри частицы).
( Обозначим,. Тогда:
2 1 0 Функция для области вне частицы удовлетворяет уравнению:
2 1 0 а) б) Рис. 4. Распределение модулей векторов а) электрического поля, б) магнитного поля внутри частицы с радиусом вписанной в нее сферы 10 м для длины волны падающего излучения 3 10 м Частица рассматривается относительно координатной оси с началом в ближайшей к частице точке, в правой части окрестности которой рассеянное поле является бесконечно малой функцией. Отрезок 0,, где - координата центра частицы, делится на N равных частей длины, концы которых являются узлами схемы, и каждый из них имеет координату, 0,, где i - его номер.
Функции, удовлетворяющие уравнению для области внутри частицы обозначены через, и решение уравнений ищется методом прогонки по формулам сквозного счета:
, 0,1,2, Е 36, а, 1, 2, Е, 36, б где - наименьший номер из ближайших к частице узлов, и прогоночные параметры выражаются по формулам:
2 2 1 2 2 1 1, 2, Е 37, а 2 2 1 2 2 1 2, 3, Е, 37, б Функции и связаны соотношением:
Из граничных условий следует, что 0, 0, 39, а 0, 39, б 1 39, в 1 u - падающее поле.
Сначала вычисляются коэффициенты,,,, 1, 2, Е, а затем, и,, 2, 3, Е,1.
На основании приведенных расчетов показано, что зависимость заметно влияет на зависимость и внутри агломерата и, соответственно, на поглощенную электромагнитную энергию.
Анализ полученных решений также показал, что зависимость может также проводить к более однородному распределению поля в частице или в ее части. К такому выравниванию приводит также случай, когда 0 в какой-либо части агломерата. Изменение фундаментальных функций, по которым идет разложение полей по сравнению с однородной частицей приводит также к изменению положений резонансов.
Развитый подход в некоторых случаях может быть распространен на агломераты с диэлектрической проницаемостью, зависящей от поля (нелинейные системы). Это может быть сделано асимптотическими методами в случае слабой нелинейности, а также в тех случаях, когда удается получить точные решения для соответтсвующей сферической частицы. Такие решения могут быть, например, получены, когда внутри частицы 0. Такое условие позволяет получить решение нелинейного уравнения Гельмгольца, а также является дополнительным условием на компоненты электрического вектора.
В приложении приведены подробные выводы формул для получения математических моделей, а также структура программы, проводящей вычисления по алгоритму для одиночной частицы.
Структура программного комплекса:
Алгоритм для проведения расчетов состоит из следующих шагов:
1. Задание функциональной зависимости диэлектрической проницаемости.
2. а) Описание функций - решений уравнения Гельмгольца для области внутри частицы, полученные асимптотическим методом.
б) Описание функций - решений уравнения Гельмгольца для области внутри частицы, полученные численным методом.
3. Задание геометрической модели частицы (частиц).
4. Использование функций-решений уравнения Гельмгольца для вычисления элементов матрицы, связывающей коэффициенты разложения в ряд падающего поля с коэффициентами внутреннего поля.
5. Вычисление обратной матрицы, связывающей коэффициенты внутреннего поля с коэффициентами падающего поля.
6. Вычисление коэффициентов внутреннего поля.
7. Расчет внутреннего поля.
ОСНОВНЫЕ ВЫВОДЫ 1. Решена актуальная научная задача математического моделирования процесса взаимодействия электромагнитного излучения с оптически неоднородными несферическими частицами, имеющая важное значение для решения широкого круга задач физики дисперсных систем.
2. Установлены функциональные связи между параметрами неоднородных несферических частиц и характеристиками электромагнитного излучения.
3. Построены модели взаимодействия электромагнитного излучения с оптически неоднородными несферическими частицами и их системами, в основе которых лежат принцип Гюйгенса-Пуанкаре и решение уравнения Гельмгольца с переменной диэлектрической проницаемостью для потенциалов Дебая. Модели позволяют рассматривать взаимодействие электромагнитного излучения с неоднородными несферическими частицами при различных характеристиках и условиях.
4. Для анализа моделей и получения решений разработан метод определения внутреннего электромагнитного поля для оптически неоднородных несферических дисперсных частиц, особенностью которого является применение принципа Гюйгенса-Пуанкаре.
5. Разработаны алгоритмы расчета внутреннего поля неоднородной несферической частицы с использованием методов возмущений, Вентцеля - Крамерса - Бриллюэна, а также численными методами для получения фундаментальных функций.
6. На основе алгоритма разработан программный комплекс для расчёта внутреннего поля неоднородной частицы. Проведены вычислительные эксперименты для частиц различных размеров и с различными оптическими характеристиками. Проведённые эксперименты показали, что при определённых условиях зависимость диэлектрической проницаемости от координаты приводит к более однородному распределению поля в частице по сравнению со случаем постоянного коэффициента преломления.
7. Результаты диссертационной работы могут быть использованы в таких отраслях промышленности как нанотехнология, химические технологии, при решении научных и практических задач физики аэрозолей, атмосферной оптики, экологии и др. Результаты диссертации рекомендуются для использования в учебном процессе для подготовки студентов по направлению 231300 Прикладная математика.
СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ 1. R. W. Ziolkowski, E. Heyman. Wave propagation in media having negative permittivity and permeability. Phys. Rev. E 64, 056625 (2001).
2. Peterson and Strm, Phys. Rev. D8, 3661 (1973).
3. Peterson and Strm, Phys. Rev. D10, 2670 (1974).
4. M. I. Mishchenco, L. D. Travis, D. W. Mackowski. T-matrix computation of light scattering by nonspherical particles: a review. J. Quantitative Spectrosc. Radiat. Transfer, No 5, 1996.
5. P. C. Waterman, Phys. Rev. D3, 825 (1971) 6. Розенберг В. И. Рассеяние и ослабление электромагнитного излучения атмосферными частицами. Л.: Гидрометиздат, 1972. 420 с.
7. Кривенко И. В. Взаимодействие электромагнитного излучения с дисперсной системой, автореферат диссертации. Тверь, 1997.
8. Борн М., Вольф Э. Основы оптики. М.: Наука, 1970. 850 с.
9. Ф. М. Морс, Г. Фешбах. Методы теоретической физики. Изд.
Иностранной литературы. Москва, 1960.
10. H. Honl, A. W. Maue, K. Westpfahl, Handbuch der Physik, Vol. 25/1, Springer, Berlin, (1961).
11. Абрамовиц М., Стиган И. Справочник по специальным функциям.
М.: Наука, 1979, 832 с.
12. Борен К., Хафмен Д. Поглощение и рассеяние света малыми частицами. - М.: Мир, 1986.
13. Uvarova L.A. Mathematical model for the heat mass transfer in the systems with the non nonlinear properties induced by the electromagnetic radiation// В кн.: УMathematical Models of Non-Linear Excitations, Transfer, dynamics, and Control in Condensed Systems and Other Media.
N. Y.:Kluwer Academic/ Plenum Publishers, 1999.
14. Уварова Л. А. Тепло - и массоперенос в оптически нелинейных дисперсных средах, автореферат диссертации. Санкт-Петербургский Государственный Университет, 1992 г.
Основные публикации по теме диссертации.
В рецензируемых периодических изданиях, рекомендованных в ВАК РФ:
1. Уварова Л.А., Будный К.А., Красикова Е.М. Математическое моделирование процессов переноса электромагнитных волн в нелинейных средах // Вестник МГТУ УСтанкинФ, № 4 (12), 2010.
2. Будный К. А. Расчет электромагнитного поля внутри системы из двух несферических частиц // Вестник МГТУ Станкин, № 4(17), 2011 г.
Другие публикации:
3. Budniy K. A. Comparison of the Electromagnetic Field in the Spherical Homogeneous and Inhomogeneous particles // Международная научная конференция GAeF Meeting 2008 on "Light Scattering: Mie and More - Commemorating 100 years Mie's 1908 publications.
4. Budniy K. A. Comparison of the Electromagnetic Field in the Spherical Homogeneous and Inhomogeneous particles // The Modeling of Nonlinear Processes and Systems - 2008. Сборник тезисов Международной научной конференции. - М.: МГУП, 2008. 59-60.
5. Будный К. А. Теория Ми и ее применение. Методы расчета характеристик рассеянного электромагнитного излучения на дисперсных частицах. Распределение электромагнитного поля внутри неоднородной сферической частицы // в кн.
Фундаментальные физико-математические проблемы и моделирование технико-технологических систем. /Материалы Международной научной конференции Моделирование нелинейных процессов и систем. Том 1. ЦМ.: Янус-К, 2009, стр. 7279.
6. Будный К. А. Теория Ми и ее применение. Методы расчета характеристик рассеянного электромагнитного излучения на дисперсных частицах. Распределение электромагнитного поля внутри неоднородной сферической частицы // 17 - я международная научная конференция Математика. Компьютер. Образование.
7. Будный К. А. Математическое моделирование взаимодействия электромагнитного излучения с гетерогенными частицами // Материалы XIII научной конференции МГТУ Станкин и Учебнонаучного центра математического моделирования МГТУ Станкин - ИММ РАН по математическому моделированию и информатике:
Сборник докладов. - М.: И - ГОУ ВПО МГТУ Станкин, 2010, стр. 22-24.
8. Будный К. А. Расчет электромагнитного поля внутри дисперсных систем // The Modeling of Nonlinear Processes and Systems - 2011.
Сборник тезисов второй международной научной конференции. - М.: Янус-К, 2011. 54-55.
9. Будный К. А. Расчет электромагнитного поля внутри несферических частиц с непостоянным показателем преломления // в кн.
Фундаментальные физико-математическое проблемы и моделирование технико-технологических систем. Материалы второй международной научной конференции Моделирование нелинейных процессов и систем - М.: Янус - К, 2011, стр. 91-98.
Авторефераты по всем темам >>
Авторефераты по разным специальностям