Авторефераты по всем темам >>
Авторефераты по разным специальностям
ФГБОУ ВПО "Омский государственный университет имени Ф. М. Достоевского" На правах рукописи
Ерофеев Степан Юрьевич
Группы унитреугольных автоморфизмов относительно свободных групп и алгебраические схемы построения односторонних функций
01.01.06 - математическая логика, алгебра и теория чисел
АВТОРЕФЕРАТ
диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук
Омск - 2012
Работа выполнена на кафедре информационных систем института математики и информационных технологий ФГБОУ ВПО Омский государственный университет имени Ф. М. Достоевского.
Научный консультант: доктор физико-математических наук, профессор Виталий Анатольевич Романьков
Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор Романовский Николай Семёнович;
кандидат физико-математических наук, Трейер Александр Викторович
Ведущая организация: ФГБОУ ВПО Новосибирский государственный технический университет
Защита состоится 6 декабря 2012 года в 1400 часов на заседании диссертационного со вета ДМ 212.179.07 при Омском государственном университете им. Ф. М. Достоевского, расположенном по адресу: 644099 Омск, ул. Певцова, 13, к. 15.
С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Омского государственного университе та им. Ф. М. Достоевского.
Автореферат разослан ноября 2012 года.
Учёный секретарь диссертационного совета А. М. Семенов
Общая характеристика работы
Постановка задачи и актуальность темы диссертации.
Настоящая диссертация посвящена двум основным темам:
1. Исследование вопроса линейности и структуры группы унитреугольных автоморфизмов относительно свободных групп.
2. Построение новых конструкций возможно односторонних функций на основе алгоритмической неразрешимости проблемы эндоморфной свон димости в группах и Диофантовой проблемы.
Группа унитреугольных автоморфизмов. Группам автоморфизмов отн носительно свободных групп как конечных, так и бесконечного, рангов посвян щено немало работ. См., например, обзоры [7, 12, 22].
Обозначим через Fn свободную группу ранга n с базисом Xn = {x1,..., xn}, через F свободную группу бесконечного счетного ранга с базисом X = 0 {x1, x2,...}, группа F рассматривается как объединение F = Fn. Такн 0 0 n=же обозначим через Gn относительно свободную группу ранга n некоторого многообразия групп C, через G относительно свободную группу бесконечн ного счетного ранга многообразия C.
Отметим известные результаты о линейности групп автоморфизмов и их подгрупп относительно свободных групп конечного ранга. Почти нильн потентной называется группа, допускающая нильпотентную подгруппу кон нечного индекса.
Крамер в работе [16] доказал линейность группы AutF2.
Форманек и Прочези в работе [14] доказали, что при n 3 группа AutFn не линейна.
Ауслендер и Баумслаг в работе [11] доказали, что группа автоморфизмов любой конечно порожденной почти нильпотентной группы линейна. Более тон го, голоморф такой группы (значит и ее группа автоморфизмов) допускают точное представление матрицами над кольцом целых чисел Z. Отсюда слен дует в частности, что группы автоморфизмов относительно свободных групп конечного ранга почти нильпотентных многообразий групп допускают точное представление матрицами.
Ольшанский в работе [20] доказал, что если относительно свободная групн па Gn не свободна и не почти нильпотентна, то ее группа автоморфизмов AutGn не линейна. В этой же работе отмечалось, что близкие по формулин ровке результаты содержатся в статьях [2, 4]. Однако, обе эти статьи содержат неточности в формулировках и существенные ошибки в доказательствах.
Заметим также, что группа автоморфизмов AutG для любого нетрин виального многообразия C содержит подгруппу, определяемую всеми подстан новками бесконечного счетного множества свободных порождающих Y, кон торая изоморфна группе подстановок S. Последняя, как хорошо известно, нелинейна.
Никакие из приведенных работ не дают представление о линейности дон статочно естественной подгруппы унитрегольных автоморфизмов.
Новые конструкции возможно односторонних функций. Односторонн ние (в другой терминологии однонаправленные) функции являются неотъемн лемой частью криптографических схем и протоколов. Теоретически их сун ществование при формальном определении до сих пор не установлено. В то же время, односторонние функции являются основным инструментом во мнон гих разделах и приложениях криптографии, в частности, они применяются в электронных подписях, протоколах аутентификации, алгоритмах генерации псевдослучайных последовательностей и т.п. Конечно, используемые с укан занной целью функции можно назвать только возможно односторонними.
Относительно общей теории односторонних функций см. монографии [15, 21, 23]. В работах Л. Левина [3, 17] приведена универсальная функция, кон торая автоматически является односторонней, если существует хотя бы одна односторонняя функция. Такие функции названы полными односторонними функциями. Для их построения Л. Левин использовал нумерацию всех ман шин Тьюринга [17] и комбинаторный тайлинг [3]. Отсюда видно, что такое построение имеет чисто теоретическое значение. В работе А. Кожевникова, С. Николенко [1] приведены другие примеры полных односторонних функн ций.
Новые конструкции односторонних функций, предложенные в диссертан ции, относятся к "криптографии основанной на группах"("group-based cryptography") Ч современному направлению, возникшему на рубеже 20-го и 21-го столетий. Основными объектами в нем являются абстрактные бескон нечные группы, а основной целью Ч построение на этих группах криптогран фических схем и протоколов. Исследования ведутся методами теории групп, теории сложности и теории вычислений. Современное состояние полученных в этой области результатов отражено в монографиях [18, 19].
Научная новизна. Все результаты являются новыми, носят теоретичен ский характер и могут найти применения в дальнейших исследованиях.
Основные результаты диссертации.
1. Исследована структура групп унитреугольных автоморфизмов относин тельно сводобных групп многообразий.
2. Исследован вопрос о линейности, то есть точной представимости матрин цами над полем, групп унитреугольных автоморфизмов относительно свободных групп конечного ранга собственных многообразий групп.
3. Изучен вопрос о возможных оценках длины обратного автоморфизма -1 через длину автоморфизма в свободных абелевых и абсолютно свободных группах.
4. Доказана диофантовость дискретного логарифма и найдено его явное диофантово представление.
5. Предложены схемы построения двушагово односторонних функций на основе неразрешимости Диофантовой проблемы, рассмотрены предпон сылки криптостойкости данных схем.
6. Предложена схема построения возможно односторонних функций на осн нове неразрешимости проблемы эндоморфной сводимости в группах, в качестве приложения приведена схема аутентификации с нулевым разн глашением пользователей в системе.
Методы исследования. Методы, используемые автором для доказан тельства результатов, опираются на теорию групп, теорию сложности и теон рию вычислений.
Апробация результатов. Основные результаты диссертации докладын вались на алгебраическом семинаре кафедры алгебры Омского государственн ного университета им. Ф.М. Достоевского, были представлены на сибирском научном школе-семинаре с международным участием "Компьютерная безн опасность и криптография"(Томск, 2011 г.), на Международной конференции по алгебре и математической логике "Мальцевские чтения"(Новосибирск, 2011 г.).
Публикации. По теме диссертации опубликованы работы [24Ц27]. Рабон ты [26, 27] выполнены в соавторстве с В.А. Романьковым.
Структура диссертации. Диссертация состоит из оглавления, введен ния, трех глав и списка литературы, который включает 72 наименования.
Объем диссертации 65 страниц.
Содержание работы Первая глава посвящена описанию структуры группы унитреугольных автоморфизмов относительно свободной группы конечного ранга произвольн ного многообразия групп и исследованию вопроса линейности данной группы.
Мы определяем естественную подгруппу UT AutGn группы AutGn, котон рую мы называем группой унитреугольных автоморфизмов. Нас интересуют вопрос о ее структуре и точной представимости матрицами над полем, то есть линейности. Также мы вводим естественное понятие длины автоморфизма и рассматриваем вопрос оценки длины обратного автоморфизма через длину данного автоморфизма.
Определение 1. Унитреугольным автоморфизмом группы Gn относительн но базиса Yn, называется любой автоморфизм , задаваемый отображением вида:
: y1 y1, yi uiyi для i = 2,..., n, (1) где ui = ui(y1,..., yi-1) произвольный элемент группы Gi-1.
Определение 2. Длина l() автоморфизма группы Gn, определяется следующим образом n l() = |(yi)|, (2) i=где |g| означает наименьшую длину записи элемента g группы Gn в базисе Yn.
В первой главе диссертации доказывается следующая структурная теон рема.
Теорема 1.2.1. Пусть Gn относительно свободная группа ранга n 2 прон извольного многообразия групп C. Тогда группа Un = UT AutGn унитреугольн ных автоморфизмов группы Gn допускает нормальный ряд 1 = N0 N1 ... Nn-1 = Un, (3) в котором факторы изоморфны относительно свободным группам многообн разия C, а именно:
Ni/Ni-1 Gn-i для i = 1,..., n - 1. (4) Более того, факторы данного ряда отщепляются, поэтому группа Un есть произведение непересекающихся подгрупп (n) (2) Un = Un ... Un Gn-1 ... G1, (5) (i) где подгруппа Un Gi-1 состоит из однострочных унитреугольных автон морфизмов, соответствующих yi, то есть унитреугольных автоморфизн мов тождественных на всех базисных элементах yl кроме, возможно, yi.
В частности, группа Un принадлежит многообразию Cn-1.
Также в этой главе доказываются две теоремы о линейности групп унитн реугольных автоморфизмов относительно свободных групп.
Теорема 1.2.2. Пусть Gn относительно свободная группа ранга n 2 прон извольного многообразия групп C. Тогда верны следующие утверждения:
Группа U1 тривиальна, группа U2 циклическая порядка равного экспон ненте многообразия C. Эти группы допускают точное представление матн рицами.
При n 3, если группа Gn-1 нильпотентна, то и группа Un нильпон тентна.
Почти нильпотентность группы Gn-1 влечет существование точной матричной представимости группы Un над кольцом целых чисел Z.
Теорема 1.2.3. Пусть Gn относительно свободная группа ранга n 3 прон извольного нетривиального многообразия C групп отличного от многообран зия всех групп. Тогда, если группа Gn-1 не почти нильпотентна, то группа Un = UT AutGn унитреугольных автоморфизмов группы Gn не допускает точного представления матрицами над полем.
Таким образом утверждения приведенных теорем 1.2.2 и 1.2.3 дают исн черпывающую информацию о линейности групп унитреугольных автоморн физмов относительно свободных групп конечного ранга собственных многон образий групп, что дополняет известные результаты А. Ю. Ольшанского [20] о точной матричной представимости полных групп автоморфизмов AutGn.
Относительно длины автоморфизмов получены следующие результаты.
Теорема 1.3.1. Пусть An Ч свободная абелева группа ранга n. Тогда для любого автоморфизма AutAn выполнено неравенство l(-1) l()n-1, причем степень n - 1 понизить нельзя.
Пусть Fn Ч абсолютно свободная группа ранга n. Тогда для любого унитреугольного автоморфизма UAutFn выполнено неравенство l(-1) l()n-1, причем степень n - 1 понизить нельзя.
Во второй главе приводятся основные определения и теоремы из обзоров [6, 13], касающиеся неразрешимости Диофантовой проблемы. Далее привон дятся известные результаты, о связанных с Диофантовой проблемой вопрон сах, которые понадобятся в дальнейшем.
Третья глава посвящена построению функций, на основе неразрешимон сти Диофантовой проблемы и неразрешимости проблемы эндоморфной свон димости в группах, которые могут рассматриваться в качестве кандидатов в односторонние функции.
В параграфе 3.1 приводятся определения слабо и сильно односторонних функций. Цель параграфа 3.2 Ч дать представление дискретного логарифма как диофантова множества. Тогда проблема нахождения дискретного логан рифма будет эквивалентна проблеме нахождения решения соответствующен го диофантова многочлена. Заметим, что данное представление может быть основанием протоколов разделения ключа, аутентификации, цифровой подн писи и т. п. Кроме того, оно может быть использовано с целью организации атаки на дискретный логарифм.
Рассмотрим следующую систему диофантовых уравнений:
x2 - (a2 - 1)y2 = 1, u2 - (a2 - 1)v2 = 1, s2 - (b2 - 1)t2 = 1, v2 = ry2, b = 1 + 4yo, b = a + qu, s = x + cu, t = k + 4(d - 1)y, x - y(a - n) - m)2 = (f - 1)2(2an - n2 - 1)2, (6) m + g = 2an - n2 - 1, y = k + e - 1, a2 - (w2 - 1)(w - 1)2z2 = 1, w = n + h, w = k + l, m = i + pj.
Теорема 3.2.2. Пусть даны n, i, p N, где p - простое. Тогда если система диофантовых уравнений (6) имеет решение в натуральных числах в оставн шихся аргументах, то nk i (mod p).
Верно и обратное, если nk i (mod p), для некоторого k N, то син стема (6) имеет решение в натуральных числах в оставшихся аргументах.
Причем если i 0 (mod p), то k k (mod p - 1), иначе k любое.
В параграфе 3.3 предлагаются схемы построения двушагово односторонн них функций на основе неразрешимости Диофантовой проблемы. Рассматрин ваются предпосылки криптостойкости предложенных схем.
Пусть F Z[x1,..., xn] диофантов многочлен. По любому диофантову многочлену F определяется функция F : Zn Z, F : (a1,..., an) F (a1,..., an). (7) Результаты, приведенные в главе 2, дают основания рассматривать функн цию F в качестве претендента в односторонние функции. Действительно, люн бое ее значение вычислимо за полиномиальное время от |a1| +... + |an|. В то же время, из-за неразрешимости 10-й проблемы Гильберта мы не можем указать полиномиальный по времени алгоритм, вычисляющий аргумент этой функции с заданным значением.
Более того, для повышения надежности, например, чтобы нивелировать выбор неподходящего многочлена, можно строить более стойкие схемы однон сторонних функций на основе функций вида (7).
В диссертации предложены 5 схем построения двушагово односторонних функций, рассмотрены предпосылки криптостойкости предложенных схем.
Здесь приведем для примера одну из этих схем.
Схема По любому набору диофантовых многочленов F Z[x1,..., xm], Pi Z[x1,..., xn] (i = 1,..., m) определяется функция H2 : (Zn)m Z. Для вычисления значений функции используется следуюн щий алгоритм.
Шаг 1. Найдем значения диофантовых многочленов Pi в точках xi1,..., xin.
P1(x11,..., x1n) = cP2(x21,..., x2n) = c2, (8).....................
Pm(xm1,..., xmn) = cm Шаг 2. Найдем двоичное представление значений ci.
ci = bi1 + 2 bi2 +... + 2k-1 bik, (9) где bij {0, 1} для любых i = 1,..., m, j = 1,..., k.
Для каждого значения ci, соответствующие бинарные векторы могут иметь разную длину, поэтому выполняется стандартная процедура вын равнивания. Длина k равна максимальной длине бинарного вектора из найденных векторов на данном шаге. Если для некоторого c c1,..., cm длина бинарного вектора меньше k, то вектор дополняется нулями спран ва, такое представление однозначно.
Шаг 3. Вычислим входной набор функции F. Для этого формируется строн ка чисел, выписыванием элементов bij, полученных в (9), по столбцам:
b11, b21,..., bm1, b12,..., bm2,..., b1k,..., bmk. Данная строка разбивается на m подстрок по k элементов. Разбиение на подстроки происходит без каких-либо перестановок элементов строго по порядку следования элен ментов в начальной строке. Пусть bi = bi,..., bik - i-ая подстрока из предложенного разбиения. Для каждой такой подстроки вычисляется 1 hi = bi + 2 bi +... + 2k-1 bik (i = 1,..., m). (10) Шаг 4. Значение односторонней функция H2 определяется так H2(X) = F (h,..., h ), (11) 1 m где последовательность h,..., h является упорядоченной по возрастан 1 m нию последовательностью h1,..., hm.
В параграфе 3.4 предлагается новый кандидат на роль односторонней функции. В качестве платформы рассматривается бесконечная группа с разн решимой проблемой равенства и неразрешимой проблемой эндоморфной свон димости. Конкретное предложение Ч свободная метабелева группа достан точно большого ранга. Теоретическая база в данном случае дана в работе В. А. Романькова [9], где доказана соответствующая неразрешимость. Более точно, В. А. Романьков в работах [8, 9] ввел в рассмотрение интерпретацию диофантовых уравнений в свободных нильпотентных группах ступени 9 и в свободных метабелевых группах достаточно большого ранга, позволяющую перенести неразрешимость Диофантовой проблемы, доказанную Ю. В. Матин ясевичем [5], на неразрешимость проблемы эндоморфной сводимости в расн сматриваемых группах.
Говорят, что в эффективно заданной группе G разрешима проблема энн доморфной сводимости, если существует алгоритм, определяющий по любой паре элементов g, f G, является ли f эндоморфным образом элемента g.
Общая схема построения односторонних функций на основе неразн решимости проблемы эндоморфной сводимости. Пусть G эффективн но заданная группа, в которой разрешима проблема равенства и неразрен шима проблема эндоморфной сводимости. Допустим, что нам необходимо построить на группе G одностороннюю функцию со значением также в G.
Как правило, эффективно заданные группы конечно порождены. Поэтому мы предполагаем, что в G существует конечное порождающее множество Xn = {x1,..., xn}. Произвольный элемент g группы G записывается как групн повое слово g = g(x1,..., xn) от фиксированных порождающих элементов.
Каждый эндоморфизм : G G однозначно определяется своими значен ниями на элементах порождающего множества Xn. Представляется перспекн тивным выбирать в качестве группы G свободную группу конечного ранга некоторого многообразия групп L. Тогда любое отображение : Xn G, где Xn Ч базис группы G (т.е. множество свободных порождающих группы G в многообразии L) однозначно определяет эндоморфизм : G G. Для его задания достаточно определить образы базисных элементов, записав их в виде групповых слов от этих элементов.
Определим функцию : G G, сопоставляющую элементам группы, записанным в нормальной форме, нормальные формы их значений относин тельно эндоморфизма . Для эффективности соответствующих вычислений необходимо, чтобы в группе G существовал эффективный алгоритм записи элемента в нормальной форме по его представлению в виде группового слова от порождающих элементов или в каком-то другом виде, отвечающем эффекн тивности задания группы G. Также необходима эффективная процедура вын числения нормальных форм обратного элемента и произведения элементов.
Если группа G удовлетворяет этим требованиям, то мы получаем эффективн но вычислимую функцию, определенную на множестве нормальных форм элементов группы G со значениями в этом же множестве. Если определить для элементов группы G некоторую функцию длины, например, ввести на ней словарную метрику, то не существует полиномиального алгоритма, огран ничивающего длину прообраза по длине образа для данной функции. Более того, никакая рекурсивная функция не даст такого ограничения. Не сущен ствует и других эффективных процедур, сводящих решение задачи поиска аргумента по значению функции к конечному полному перебору.
Как отмечалось выше, в диссертации предлагается использовать свободн ную метабелеву группу Mn в качестве платформы построения возможно однон сторонней функции. В работе [10] отмечено, что свободные метабелевы групн пы отвечают описанным требованиям. В параграфе 3.4 описан явный способ нахождения элементов g, f группы Mn, для которых неразрешима проблема эндоморфной сводимости.
Также в работе предлагается протокол аутентификации с нулевым разн глашением на основе построенной возможно односторонней функции.
Протокол аутентификации. В общих чертах протокол выглядит следуюн щим образом.
Установка. В качестве платформы используется свободная метабелева группа Mn. Абонент A фиксирует публичный элемент g и секретный эндон морфизм , вычисляет и публикует образ f = (g). Элементы g и f выбин раются таким образом, чтобы проблема эндоморфной сводимости для пары (g, f) была трудна. Это означает, что по f трудно вычислить эндоморфизм , переводящий g в f.
Алгоритм аутентификации.
1. В качестве сессионного ключа выбирается эндоморфизм , вычисляется элемент v = (f) и передается в систему C, в которой осуществляется аутентификация пользователя A.
2. Система C с равной вероятностью выбирает случайный бит и отсылает его A.
3. Если A получает 0, то он просто публикует , а C проверяет, что дейн ствительно v Ч образ f относительно . Если A получает 1, то он вын числяет композицию = , передает ее C, который проверяет спран ведливость равенства v = (g).
В диссертации также рассматриваются предпосылки криптостойкости данного протокола.
Автор выражает огромную благодарность своему научному руководитен лю Виталию Анатольевичу Романькову за постановку задач, понимание и постоянную помощь в ходе подготовки диссертации.
Цитированная литература 1. Кожевников А. А., Николенко С. И. О полных односторонних функцин ях // Проблемы передачи информации. 2009. Т. 45, № 2. С. 101Ц118.
2. Коробов А. А. Разделенные разности в теории дифференциально-разностн ных уравнений и в теории групп // Вестник Новосибирского гос. универн ситета, серия матем., мех., информ. 2006. Т. 6, № 3. С. 25Ц48.
3. Левин Л. А. Односторонние функции // Проблемы передачи информан ции. 2003. Т. 39, № 1. С. 103Ц117.
4. Матейко О. М., Тавгень А. И. Линейность групп автоморфизмов относин тельно свободных групп // Матем. заметки. 1995. Т. 58, № 3. С. 465Ц467.
5. Матиясевич Ю. В. Диофантовость перечислимых множеств // Докл. Акан демия наук СССР. 1970. Т. 191, № 2. С. 279Ц282.
6. Матиясевич Ю. В. Десятая проблема Гильберта. Москва: Наука, 1993.
7. Носков Г. А., Ремесленников В. Н., Романьков В. А. Бесконечные групн пы // Итоги науки и техники. Алгебра. Топология. Геометрия. 1979. Т. 17.
С. 65Ц158.
8. Романьков В. А. О неразрешимости проблемы эндоморфной сводимости в свободных нильпотентных группах и в свободных кольцах // Алгебра и логика. 1977. Т. 16, № 4. С. 457Ц471.
9. Романьков В. А. Об уравнениях в свободных метабелевых группах // Сиб. мат. журн. 1979. Т. 20, № 3. С. 671Ц673.
10. Романьков В. А. Диофантова криптография // Прикладная дискретная математика. 2012. № 2. С. 15Ц42.
11. Auslander L., Baumslag G. Automorphism groups of finitely generated nilpoн tent groups // Bull. Amer. Math. Soc. 1967. Vol. 73. P. 716Ц717.
12. Bachmuth S. Automorphisms of solvable groups I // Proceedings of Groups Ч St. Andrews. 1985. P. 1Ц14.
13. Davis M. HilbertТs tenth problem is unsolvable // Amer. Math. Monthly.
1973. Vol. 80, no. 3. P. 233Ц269.
14. Formanek E., Procesi C. The automorphism group of a free group is not linear // J. Algebra. 2002. Vol. 149. P. 494Ц499.
15. Goldreich O. Computational Complexity: Volume 1, Basic Tools. Cambridge:
Cambridge University Press, 2001.
16. Krammer D. The hypercenter of linear groups // Invent. Math. 2000. Vol.
142, no. 3. P. 451Ц586.
17. Levin L. A. One-way Functions and Pseudorandom Generators // Combinaн torica. 1987. Vol. 7, no. 4. P. 357Ц363.
18. Myasnikov A., Shpilrain V., Ushakov A. Group-based cryptography (Adн vanced Courses in Mathematics - CRM Barcelona). Birkhauser Basel, 2008.
19. Myasnikov A., Shpilrain V., Ushakov A. Non-commutative cryptography and complexity of group-theoretic problemsc (Amer. Math. Soc. Surveys and Monographs). Amer. Math. Soc., 2011.
20. Olshanskii A. Y. Linear automorphism groups of relatively free groups // Turk. J. Math. 2007. Vol. 31. P. 105Ц111.
21. Papadimitriou C. H. Foundations of Cryptography. Section 12.1: One-way functions. Addison Wesley, 1993. P. 279Ц298.
22. RomanТkov V. A. Automorphisms of groups // Acta Appl. Math. 1992.
Vol. 29. P. 241Ц280.
23. Sipser M. Introduction to the theory of computation. Section 10.6.3: One-way functions. PWS Publishing, 1997. P. 374Ц376.
Список публикаций 24. Ерофееев С. Ю. Диофантовость дискретного логарифма // Вестник Омн ского университета. 2010. № 4. С. 13Ц15.
25. Ерофееев С. Ю. Схемы построения двушагово односторонних функций // Вестник Омского университета. 2011. № 4. С. 15Ц18.
26. Ерофеев С. Ю., Романьков В. А. О группах унитреугольных автоморфизн мов относительно свободных групп // Сиб. мат. журн. 2012. Т. 53, № 5.
С. 991Ц1000.
27. Ерофеев С. Ю., Романьков В. А. О построении возможно односторонн них функций на основе алгоритмической неразрешимости проблемы эндон морфной сводимости в группах // Прикладная дискретная математика.
2012. № 3. С. 13Ц24.
Авторефераты по всем темам >>
Авторефераты по разным специальностям