Авторефераты по всем темам >>
Авторефераты по разным специальностям
На правах рукописи
Филиппов Константин Анатольевич
Группы с условиями насыщенности
01.01.06 Ч математическая логика, алгебра и теория чисел
Автореферат диссертации на соискание учёной степени доктора физико-математических наук
Екатеринбург - 2012
Работа выполнена в ФГБОУ ВПО УКрасноярский государственный аграрный университетФ.
Научный консультант: доктор физико-математических наук, профессор, Сучков Николай Михайлович.
Официальные оппоненты: Зенков Виктор Иванович, доктор физико-математических наук, профессор, Институт математики и механики УрО РАН, ведущий научный сотрудник отдела алгебры и топологии Казарин Лев Сергеевич, доктор физико-математических наук, профессор, ГОУ ВПО УЯрославский государственный университет им. П. Г. ДемидоваФ, зав. кафедрой алгебры и математической логики Антонов Владимир Алексеевич, доктор физико-математических наук, профессор, ФГБОУ ВПО УЮжно-Уральский государственный университетФ, профессор кафедры общей математики
Ведущая организация: Институт математики им. С.Л. Соболева СО РАН.
Защита состоится 30 октября 2012 г. в 15:00 на заседании диссертационного совета Д 004.006.03 в Институте математики и механики УрО РАН по адресу:
г. Екатеринбург, ул. С. Ковалевской, д. 16.
С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института математики и механики УрО РАН по адресу: г. Екатеринбург, ул. С. Ковалевской, д. 16.
Автореферат разослан У Ф 20 г.
Учёный секретарь диссертационного совета Белоусов И. Н.
Общая характеристика работы
Актуальность темы. В теории бесконечных групп значительное место занимают исследования бесконечных групп с различными условиями конечности, т.е. групп, которые по своему определению наделяются теми или иными свойствами конечных групп. Результаты исследований, представленные в данной работе, связаны с условием насыщенности группы заданным множеством групп.
Группа G насыщена группами из множества групп R, если любая конечная подгруппа K из G содержится в подгруппе группы G, изоморфной некоторой группе из R.
Понятие насыщенности впервые появилось и оформилось в работах А.К.
Шлёпкина [21Ц29] и было обусловлено следующим обстоятельством.
При изучении групп с различными условиями минимальности (для всех подгрупп, абелевых подгрупп, примарных подгрупп и т.п.), как правило, необходимо было установить строение некоторой периодической группы с заданной системой конечных простых неабелевых подгрупп. Анализ этой системы подгрупп приводил в большинстве случаев к тому, что такая группа оказывалась локально конечной. Поэтому естественно было рассмотреть произвольную группу, содержащую данное множество конечных простых неабелевых подгрупп, в качестве самостоятельного условия конечности.
Как оказалось, УнасыщенностьФ является естественным обобщением понятия покрытия группы. Понятие покрытия появилось в начале 60-х годов в работах П.Г. Конторовича [5, 6]. В конце 60-х годов П.Г. Конторович, А.С. Пекелис и А.И. Старостин стали рассматривать покрытия в классах бесконечных групп [8]. Некоторый обзор результатов, полученных в данном направлении, можно найти в [8]. В начале 80-х годов В.В. Беляев [2] и независимо А.В. Боровик [3], С. Томас [36], Б. Хартли и Г. Шют [33] доказали следующую теорему:
Если локально конечная группа G обладает локальным покрытием, состоящим из множества подгрупп лиева типа, ранги которых ограничены в совокупности, то и сама G является группой лиева типа конечного ранга.
Напомним понятие локального покрытия. Множество M подгрупп группы G называется локальным покрытием, если G = X и для любых XM X, Y M найдется такой элемент Z M, что X Z и Y Z. Если группа обладает локальным покрытием, состоящим из некоторого множества конечных групп, то она, очевидно, локально конечна, а для групп, насыщенных тем же множеством групп, это не всегда справедливо. Конструкция периодических произведений С.И. Адяна [1] позволяет строить периодические группы, насыщенные конечными множествами групп, содержащими любые конечные наборы групп нечётного порядка. Подобными свойствами обладают и примеры групп А.Ю. Ольшанского (см. [16Ц18]). И.Г. Лысёнок [11] и С.В. Иванов [31] показали, что группы B(m, n) при достаточно больших чётных n насыщены прямыми произведениями групп диэдра. Бесконечная локально конечная группа не может быть насыщена группами из конечного множества. То же самое справедливо и для групп Шункова с бесконечным числом элементов конечного порядка, так как они обладают бесконечными локально конечными подгруппами [22].
В связи с приведенной выше теоремой о локально конечных группах возник следующий вопрос, поставленный А.К. Шлёпкиным и вошедший в Коуровскую тетрадь [12] под номером 14.101:
Верно ли, что периодическая группа, насыщенная конечными простыми группами лиева типа, ранги которых ограничены в совокупности, сама является простой группой лиева типа конечного ранга? Решением вопросов, связанных с понятием УнасыщенностиФ, посвящены работы Б. Амберга, Л.С. Казарина, А.А. Кузнецова, Д.В. Лыткиной, В.Д. Мазурова, Д.Н. Панюшкина, А.Г. Рубашкина, А.И. Созутова, Л.Р. Тухватуллиной, А.К. Шлёпкина (см. обзор [39]). При этом в качестве групп насыщающего множества рассматривались не только простые группы. К направлению УнасыщенностиФ относится и настоящая диссертационная работа.
Цель диссертации. Настоящая диссертация посвящена изучению периодических групп и групп Шункова, насыщенных различными множествами конечных групп, а также изучению групп периода 5.
Методы исследования. В работе используются методы локального анализа конечных групп, адаптированные к исследованию периодических групп.
Кроме того, используются компьютерные вычисления для установления строения некоторых групп.
Научная новизна и практическая ценность. Все основные результаты диссертации являются новыми. Работа носит теоретический характер. Результаты работы могут быть использованы как в дальнейших исследованиях групп, насыщенных тем или иным множеством групп, так и в других вопросах теории групп. Они могут быть включены в спецкурсы для студентов и аспирантов, специализирующихся в области алгебры.
Апробация диссертации. Результаты диссертации в период с 2005 по 2011 год были представлены на международных конференциях в Екатеринбурге, Красноярске, Нальчике, Новосибирске. В частности, на международной конференции по алгебре и геометрии, посвященной 80-летию со дня рождения А.И. Старостина (Екатеринбург, 2011), автором был сделан пленарный доклад по теме диссертации. Результаты работы неоднократно докладывались на семинарах КрасГАУ УМатематические системыФ, СФУ УГородской алгебраический семинарФ и семинаре отдела алгебры и топологии ИММ УрО РАН. Основные результаты опубликованы с полными доказательствами в работах [37, 46Ц51] и принадлежат лично диссертанту.
Основные результаты диссертации состоят в следующем:
1. Доказано существование периодической части в группах Шункова, насыщенных группами вида L2(q) (соответственно, SL2(q)), установлен её изоморфизм с группой L2(Q) (соответственно, SL2(Q)) над подходящим локально конечным полем Q (теоремы 2.4.1, 2.5.1).
2. Доказано, что периодическая группа Шункова, насыщенная множеством простых трёхмерных унитарных групп U3(q) над конечными полями, изоморфна группе U3(Q) над подходящим локально конечным полем Q (теорема 3.6.1).
3. Доказано, что если периодическая группа G насыщена конечными простыми неабелевыми группами и в любой её конечной 2-подгруппе K все инволюции лежат в центре K, то G изоморфна одной из следующих групп: J1, L2(Q), Re(Q), U3(Q), Sz(Q) для подходящего локально конечного поля Q (теорема 3.7.1).
4. Установлено строение периодической группы Шункова G, насыщенной прямыми произведениями X Y, где X принадлежит множеству групп вида L2(pn), Sz(22m+1), Re(32s+1) и содержит элемент фиксированного простого порядка и нечетным порядком его централизатора, а Y принадлежит некоторому множеству конечных 2-групп. Доказано, что G = R O2(G), где R изоморфна одной из групп L2(F ), Sz(P ), Re(E) для подходящих локально конечных полей F, P, E (теорема 4.4.1).
5. Получено описание централизатора инволютивного автоморфизма универсальной конечной бернсайдовой группы периода 5 с двумя образующими: B0(2, 5) = x, y, переставляющего её образующие. Доказано, что его порядок равен 517; 3 Ч минимальное число порождающих, ступени нильпотентности и разрешимости равны 6 и 3 соответственно; получено коммутаторное представление и найдены соотношения для базисных коммутаторов (теорема 5.2.1).
6. Вычислен диаметр Кэли и получена функция роста для подгруппы H = xy, yx группы B0(2, 5) = x, y (теорема 5.4.1).
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [37Ц76], из них 16 работ опубликованы в изданиях из перечня ВАК.
Структура и объём работы. Диссертация состоит из введения, 5 глав и списка литературы. Она изложена на 121 страницах текста, набраного в редакционно-издательской системе latex, библиография содержит 98 наименований.
Содержание работы Диссертация разбита на главы, которые в свою очередь подразделяются на параграфы. Нумерация всех результатов (теорем, лемм, следствий), а также определений, предложений и таблиц сквозная внутри параграфа и состоит из трёх цифр: первая - номер главы, вторая - номер параграфа и третья - порядковый номер внутри параграфа.
Введение В данном разделе приведена характеристика результатов работы.
Глава 1. Известные факты В главе 1 приведены известные определения и факты, использующиеся далее в доказательстве основных результатов диссертации (главы 2Ч5).
Часть из них приведена с доказательствами.
Глава 2. Группы, насыщенные L2(q) и центральными расширениями группы порядка 2 при помощи L2(q) В данной главе исследованы группы Шункова, а также периодические группы, насыщенные центральными расширениями группы Z2 при помощи L2(K), где K - конечное поле.
Произвольная группа называется группой Шункова, если в каждом ее сечении по конечной подгруппе любая пара сопряженных элементов простого порядка порождает конечную подгруппу. Подчеркнём, что группа Шункова, порождённая элементами конечных порядков, не обязана быть периодической. Примеры таких смешанных групп существуют уже в классе разрешимых групп [20]. Поэтому для групп Шункова актуален вопрос о расположениях её элементов конечных порядков, в частности, составляют ли они характеристическую подгруппу T (G) Ч периодическую часть? Под периодической частью T (G) группы G понимается подгруппа, порожденная всеми элементами конечных порядков из G, при условии, что она периодическая.
Основными результатами этой главы являются следующие две теоремы.
Пусть I означает множество индексов, K Ч конечное поле для любого I. Пусть R = {L2(K)| I} и N = {SL2(K)| I}. Отметим, что для различных и характеристики полей K и K могут быть различными.
Теорема 2.4.1. Группа Шункова G, насыщенная группами из множества R, обладает периодической частью T (G), изоморфной простой группе L2(P ) над подходящим локально конечным полем P.
Теорема 2.5.1. Группа Шункова G, насыщенная группами из множества N, обладает периодической частью T (G), изоморфной группе SL2(P ) над подходящим локально конечным полем P.
Данные результаты являются авторскими и опубликованы в [46].
Отметим, что эти результаты дополняют следующие две теоремы, полученные в работе [44] совместно с А.Г. Рубашкиным.
Теорема 2.1.1. Периодическая группа G, насыщенная группами из множества R, изоморфна простой группе L2(P ) над подходящим локально конечным полем P.
Теорема 2.2.1. Периодическая группа G, насыщенная группами из множества N, изоморфна группе SL2(P ) над подходящим локально конечным полем P.
Глава 3. Группы, насыщенные конечными простыми неабелевыми группами В данной главе продолжены исследования по частичному решению вопроса 14.101 из Коуровской тетради, упомянутому выше. Изучаются группы Шункова и произвольные периодические группы, насыщенные конечными простыми неабелевыми группами.
Теорема 3.3.1. Периодическая группа, насыщенная некоторым множеством групп вида L2(pm), Sz(22n+1), изоморфна L2(P ) или Sz(Q) для подходящих локально конечных полей P, Q.
Данный результат опубликован в [62].
В приводимых ниже теоремах изучаются бесконечные периодические группы и периодические группы Шункова, насыщенные конечными простыми трёхмерными унитарными группами.
Теорема 3.4.1. Пусть бесконечная периодическая группа G насыщена группами из множества = {U3(q)}, где q Ч степени числа 2. Тогда G изоморфна группе U3(Q) над локально конечным полем Q характеристики 2.
Отказаться от условия, что q Ч степени числа 2, в теореме 3.4.1 для периодических групп пока не удалось. Но для периодических групп Шункова это сделано.
Основными результатами этой главы являются две следующие теоремы 3.6.1, 3.7.1, опубликованые в [48, 49] и доказанные автором лично.
Пусть N - множество всех простых трёхмерных унитарных групп U3(q) над конечными полями.
Теорема 3.6.1. Периодическая группа Шункова, насыщенная группами из N, локально конечна и изоморфна U3(Q) для некоторого локально конечного поля Q.
В теореме 2 из [19] доказывается, что бесконечная периодическая группа G с абелевыми силовскими 2-подгруппами, насыщенная конечными простыми группами, локально конечна и изоморфна либо Re(P ), либо L2(Q) над подходящими локально конечными полями P и Q.
Следующая теорема имеет более общий характер.
Теорема 3.7.1. Пусть периодическая группа G насыщена конечными простыми неабелевыми группами и в любой её конечной 2-подгруппе K все инволюции лежат в центре K. Тогда G изоморфна одной из следующих групп:
J1, L2(Q), Re(Q), U3(Q), Sz(Q) для подходящего локально конечного поля Q.
Глава 4. Группы, насыщенные прямыми произведениями различных групп А.Г. Рубашкин и А.К. Шлёпкин [28] рассматривали периодические группы, насыщенные группами диэдра. Как оказалось, такие группы ограниченного периода локально конечны. Б. Амберг и Л.С. Казарин [30] показали, что произвольная периодические группа (без ограничения на период), насыщенная группами диэдра, локально конечна. Отметим, что это неверно, если насыщающее множество состоит из прямых произведений групп диэдра (даже ограниченного периода). А именно, как отмечалось выше, И. Г.
ысёнок [11] и С.В. Иванов [31] показали, что группы B(m, n) для достаточно большого чётного периода n насыщены прямыми произведениями групп диэдра, взятых в конечном числе (причём число множителей может быть сколь угодно большим). Таким образом, актуальным становится изучение групп насыщенных прямыми произведениями различных групп.
Сформулируем основной результат данной главы.
Пусть p - фиксированное простое нечётное число. Множество Xp состоит из групп вида L = M Q, где Q - конечная 2-группа, а M - группа из множества Yp, которое является объединением следующих трёх множеств: A = {Sz(22k+1)|k I N}, B = {Re(32m+1)|m J N} и C = {L2(ps)|s K N, p T D - множество всех простых чисел} и при этом, каждая группа M Yp содержит элемент a порядка p, для которого CM (a) не содержит инволюций.
Теорема 4.4.1. Если периодическая группа Шункова G насыщена группами из множества Xp, то все её элементы конечных нечетных порядков порождают в G локально конечную подгруппу R, изоморфную одной из групп L2(F ), Re(P ), Sz(E) для подходящих локально конечных полей F, P, E и G = R O2(G).
Данный результат опубликован в [50].
Глава 5. Группы, насыщенные конечными группами периода Свободной бернсайдовой группой периода n с m образующими называn n ется группа B(m, n) = Fm/Fm, где Fm Ч свободная группа ранга m и Fm Ч ее подгруппа, порожденная всеми n-ми степенями элементов из Fm.
Универсальной конечной бернсайдовой группой периода n с m образующими называется группа B0(m, n) = Fm/U(m, n), где U(m, n) Ч пересечение всех нормальных подгрупп N Fm, для которых Fm/N Ч конечная группа периода n. А.И. Кострикин показал, что B0(m, n) конечна, если n - простое число [7]. Е.И. Зельманов обобщил эту теорему А.И. Кострикина на случай, когда n Ч степень простого числа [4]. Отсюда и из результатов Ф. Холла и Г. Хигмэна с использованием классификации конечных простых групп вытекает конечность B0(m, n) для произвольных m и n [32].
Поскольку B(2, 5) является УнаименьшейФ из бернсайдовых групп, для которых не решён вопрос об их конечности, любые сведения о ней и, в частности, о B0(2, 5), интересны. А.И. Кострикин установил границы для порядка группы B0(2, 5): 531 | B0(2, 5) | 534 [7]. В 1974 г. Хавас, Уолл и Уэмсли в [34] при помощи компьютерных вычислений нашли определяющие соотношения, определили точный порядок группы B0(2, 5), который равен 534, и ступень нильпотентности данной группы, она равна 12. В нашей работе эти соотношения используются для исследования строения централизаторов автоморфизмов B0(2, 5).
Рассмотрим автоморфизм группы B0(2, 5) = x, y, действующий на образующих следующим образом: x = x-1, y = y-1.
Пусть CB (2,5)() Ч централизатор автоморфизма в B0(2, 5). Обозначим CB (2,5)() через C.
Теорема 5.1.1. Для C имеют место следующие утверждения:
1. |C| = 516.
2. C = X x5, где x5 - центр группы B0(2, 5), X = x1, x2, x3, x - группа со следующими свойствами:
a. X имеет нормальную абелеву подгруппу H2 и |H2| = 511.
b. X/H2 = x1H2 x2H2 x3H2 x4H2.
c. |X| = 515.
3. 5 Ч минимальное число порождающих C.
4. Ступени разрешимости и нильпотентности для C равны 2 и 4 соответственно.
5. Получено коммутаторное представление и найдены соотношения для базисных коммутаторов X = x1, x2, x3, x4.
Коммутаторы веса 1: 1 = x1, 2 = x2, 3 = x3, 4 = x4.
Коммутаторы веса 2:
5 = [2, 1], 6 = [3, 1], 7 = [4, 1], 8 = [4, 2], 9 = [4, 3].
Коммутаторы веса 3:
10 = [4, 1, 4], 11 = [4, 2, 4], 12 = [4, 3, 4].
Коммутаторы веса 4:
13 = [4, 1, 4, 4] = h9, 14 = [4, 2, 4, 4] = h10, 15 = [4, 3, 4, 4] = h11.
Ниже приведены нетривиальные соотношения для базисных коммутаторов:
[2, 1] = 5, [3, 1] = 6, [3, 2] = 54 64 102 114 122 133 143 15, [4, 1] = 7, [4, 2] = 8, [4, 3] = 9, [5, 4] = 132, [6, 4] = 144, [7, 2] = 13, [7, 3] = 142, [7, 4] = 10, [8, 1] = 134, [8, 3] = 15, [8, 4] = 11, [9, 1] = 143, [9, 2] = 154, [9, 4] = 12, [10, 4] = 13, [11, 4] = 14, [12, 4] = 15.
Данный результат был получен в равном соавторстве с А.А. Кузнецовым и опубликован в [38].
Основными результатами этой главы являются две следующие теоремы, опубликованные в [37, 47].
Рассмотрим автоморфизм группы B0(2, 5) = x, y, переставляющий её образующие.
Пусть CB (2,5)() Ч централизатор автоморфизма в B0(2, 5). Обозначим CB (2,5)() через C.
Теорема 5.2.1. Для C имеют место следующие утверждения:
1. |C| = 517.
2. Ступени нильпотентности и разрешимости для C равны 6 и 3 соответственно.
3. 3 Ч минимальное число порождающих C.
4. Получено коммутаторное представление и найдены соотношения для базисных коммутаторов C = k1, k2, k3.
Коммутаторы веса 1: 1 = k1, 2 = k2, 3 = k3.
Коммутаторы веса 2: 4 = [2, 1], 5 = [3, 1], 6 = [3, 2].
Коммутаторы веса 3: 7 = [4, 1], 8 = [4, 2], 9 = [5, 1].
Коммутаторы веса 4: 10 = [7, 1], 11 = [7, 2], 12 = [8, 2], 13 = [9, 1].
Коммутаторы веса 5: 14 = [10, 2], 15 = [11, 2].
Коммутаторы веса 6: 16 = [14, 1], 17 = [14, 2].
Нетривиальные соотношения для базисных коммутаторов:
[2, 1] = 4, [3, 1] = 5, [3, 2] = 6, [4, 1] = 7, [4, 2] = 8, [4, 3] = 72 83 102 122 14 152 162 17, [5, 1] = 9, [5, 2] = 74 83 92 103 11 123 13 144 152 163 173, [5, 3] = 72 84 93 113 133 144 15 16, [5, 4] = 143 16 172, [6, 1] = 72 92 10 11 12 13 144 163 174, [6, 2] = 73 83 94 103 114 123 134 144 153 164 174, [6, 3] = 73 84 9102 114 122 134 14153 163 17, [6, 4] = 14164 174, [6, 5] = 144 164 17, [7, 1] = 10, [7, 2] = 11, [7, 3] = 102 113 142 154 16 173, [7, 4] = 14 16 174, [7, 5] = 143 163 172, [7, 6] = 143 163 172, [8, 1] = 1114152173, [8, 2] = 12, [8, 3] = 11212314215162173, [8, 4] = 152, [8, 5] = 15 16 172, [8, 6] = 15 162 174, [8, 7] = 162 174, [9, 1] = 13, [9, 2] = 104113132144154162, [9, 3] = 102114133143154162172, [9, 4] = 143 16 172, [9, 5] = 144 163 17, [9, 6] = 144 163 17, [9, 8] = 164 173, [10, 1] = 16, [10, 2] = 14, [10, 3] = 143 164 173, [10, 4] = 16, [10, 5] = 163, [10, 6] = 163, [11, 1] = 142 164 174, [11, 2] = 15, [11, 3] = 144 153, [11, 4] = 162, [11, 5] = 16, [11, 6] = 16, [12, 1] = 153 17, [12, 2] = 16, [12, 3] = 15 163 173, [12, 4] = 164, [12, 5] = 162, [12, 6] = 162, [13, 1] = 164, [13, 2] = 143 16173, [13, 3] = 144 162 173, [13, 4] = 163, [13, 5] = 164, [13, 6] = 164, [14, 1] = 16, [14, 2] = 17, [14, 3] = 162 173, [15, 1] = 162 172, [15, 2] = 162, [15, 3] = 174.
Рассмотрим в B0(2, 5) = x, y подгруппу H0 = h1, h2, где h1 = xy, h2 = yx. В [9] вычислены порядок группы H0, который равен 514, и коммутаторные соотношения данной группы. Изучение структуры группы B0(2, 5) затруднено из-за её большого порядка. Приводимая ниже теорема позволяет изучать структуру группы B0(2, 5), используя группу H0, которая имеет существенно меньший порядок.
Теорема 5.4.1. Диаметр Кэли группы H0 относительно порождающих {h1, h2} равен 45.
Функция роста группы H0 приведена в таблице 1, её график изображен на рисунке, а в таблице 2 приведена часть элементов максимальной длины 45 в формате минимальных слов, где h1 соответствует символ 0, а hсоответствует символ 1.
Таблица 1: Функция роста Длина Элементы Длина Элементы Длина Элементы 0 1 16 37254 32 56180141 2 17 70751 33 77904432 4 18 134224 34 93605523 8 19 254321 35 95433694 16 20 481252 36 83133215 30 21 909349 37 61824846 58 22 1714866 38 36760477 112 23 3226931 39 15189428 214 24 6055431 40 3489819 410 25 11319139 41 3181210 784 26 21039700 42 69111 1495 27 38795471 43 812 2847 28 70686385 44 313 5417 29 126432849 45 114 10303 30 219647100 Всего 6103515615 19602 31 3642018Таблица 2: Фрагмент массива элементов максимальной длины 1 00001000100111000101000011110011100110101002 00001000100101110000110111100010011010001103 00001000010011001100010101110011000100111014 00001000010101011010011001010111000101100015 00001000010111000101111001101000110110001006 00001000010111001101001000111101010001100107 00001000010101001110011101100110000101001018 00001000010100101100010011010110011100110019 0000100001000110111001011100110001100110100Рис. 1: График функции роста.
Доказательство теорем 5.1.1, 5.2.1, 5.3.1 и 5.4.1 проводилось с использованием компьютерных вычислений, которые были проведены с использованием суперкомпьютера Сибирского федерального университета (СФУ).
В заключение автор выражает глубокую признательность своему научному консультанту профессору Н.М. Сучкову за помощь в работе и внимание с его стороны.
Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (коды проектов 10-01-00509-а, 09-01-00717-а) и аналитической ведомственной целевой программы УРазвитие научного потенциала высшей школыФ (проект 2.1.1/3023).
Библиография 1. С. И. Адян, Периодические произведения групп, Теория чисел, математический анализ и их приложения, Сборник статей. Посвящается академику Ивану Матвеевичу Виноградову к его восьмидесятипятилетию, Тр. МИАН СССР, 142 (1976), 3Ц21.
2. В. В. Беляев, Локально конечные группы Шевалле, в сб.: Исследования по теории групп, Свердловск, УН - АН СССР, 1984, 39Ч50.
3. А. В. Боровик, Вложения конечных групп Шевалле и периодические линейные группы, Сиб. мат. журнал, 24, № 6 (1983), 26Ч35.
4. Е. И. Зельманов, Решение ослабленной проблемы Бернсайда для 2групп, Матем. сб., 182, № 4 (1991), 568Ч592.
5. П. Г. Конторович, Инвариантно покрываемые группы, Матем. сб.,8(50), № 3 (1940), 423Ц436.
6. П. Г. Конторович, Инвариантно покрываемые группы II, Матем. сб., 28(70), № 1 (1951), 79Ц88.
7. А. И. Кострикин, Решение ослабленной проблемы Бернсайда для показателя 5, Изв. АН. СССР. Сер. матем, 19, №3 (1955), 233Ц244.
8. П. Г. Конторович, А. С. Пекелис, А. И. Старостин, Структурные вопросы теории групп, Матем. зап. Уральск. ун-та., 3 (1961), 3Ц50.
9. А.А.Кузнецов, Об одной подгруппе бернсайдовой группы B0(2, 5),Тр.
ИММ УрО РАН, 17, № 4 (2011), 176Ц180.
10. А. Г. Курош, Теория групп, Москва, Наука, 1967.
11. И. Г. Лысёнок, Бесконечные бернсайдовы группы четного периода, Изв.
РАН. Сер. матем., 60, №3 (1996), 3Ц224.
12. В. Д. Мазуров, Е.И. Хухро, Коуровская тетрадь. Нерешенные вопросы теории групп. Издание 16-е, Новосибирск, ИМ СО РАН, 2010.
13. П. С. Новиков, С. И. Адян, О бесконечных периодических группах. I, Изв. АН СССР, Сер. матем., 32, № 1 (1968), 212Ч244.
14. П. С. Новиков, С. И. Адян, О бесконечных периодических группах. II, Изв. АН СССР, Сер. матем., 32, № 2 (1968), 251Ч524.
15. П. С. Новиков, С. И. Адян, О бесконечных периодических группах. III, Изв. АН СССР, Сер. матем., 32, № 3 (1968), 709Ч731.
16. А. Ю. Ольшанский, Бесконечные группы с циклическими подгруппами, ДАН СССР, 245, № 4 (1979), 785Ч787.
17. А. Ю. Ольшанский, Бесконечная группа с подгруппами простых порядков, Изв. АН СССР, Сер. матем., 44, № 2 (1980), 309Ч321.
18. А. Ю. Ольшанский, Группы ограниченного периода с подгруппами простых порядков, Алгебра и логика, 21, № 5 (1982), 553Ч618.
19. А. И. Созутов, А. К. Шлёпкин, О некоторых группах с конечной инволюцией, насыщенных конечными простыми подгруппами, Мат. заметки, 72, № 3 (2002), 433Ч447.
20. А. А. Череп, О множестве элементов конечного порядка в бипримитивно конечной группе, Алгебра и логика, 26, №4 (1987), 518Ц521.
21. А. К. Шлёпкин, Сопряженно бипримитивно конечные группы, содержащие конечные неразрешимые подгруппы, III межд. конф. по алгебре, тезиы докладов, Красноярск, 1993.
22. А. К. Шлёпкин, О некоторых периодических группах, насыщенных конечными простыми группами, Мат. труды, 1, № 1 (1998), 129Ч138.
23. А. К. Шлёпкин, О сопряжённо бипримитивно конечных группах, насыщенных конечными простыми подгруппами, Алгебра и логика, 37, № 2 (1998), 224Ч245.
24. А. К. Шлёпкин, О сопряжённо бипримитивно конечных группах, насыщенных конечными простыми подгруппами U3(2n), Алгебра и логика, 37, № 5 (1998), 606Ч615.
25. А. К. Шлёпкин, О периодической части некоторых групп Шункова, Алгебра и логика, 38, № 1 (1999), 96Ц125.
26. А. К. Шлёпкин, Группы Шункова с дополнительными ограничениями, Дис. док. физ.-мат. наук, Красноярск, 1998.
27. А. К. Шлёпкин, А. Г. Рубашкин, О некоторых периодических группах, насыщенных конечными простыми группами, Математические системы, 2 (2004), 96Ч100.
28. А. К. Шлёпкин, А. Г. Рубашкин, Об одном классе периодических групп, Алгебра и логика, 44, № 1 (2005), 114Ч125.
29. А. К. Шлёпкин, А. Г. Рубашкин, О группах, насыщенных конечным множеством групп, Сиб. мат. журнал, 45, № 6 (2004), 1397Ч1400.
30. B. Amberg, L. S. Kazarin, On periodic groups saturated by dihedral subgroups, Proceedings Ischia Group Theory Conference, 2010.
31. S. V. Ivanov, The free Burnside groups of sufficiently large exponents, Int.
J. of Algebra and Computation, 4 (1994), 1Ц308.
32. P. Hall, G. Higman, On the p-length of p-soluble groups and reduction theorems for BurnsideТs problem, Proc. London Math. Soc., 6, No. (1956), 1Ч42.
33. B. Hartley, G. Shute, Monomorphisms and direct limits of finite groups of Lie type, The Quaterly Journal of Mathematics Oxford, Ser. 2, 35, No. 137 (1984), 49Ч71.
34. G. Havas, G. Wall, J. Wamsley, The two generator restricted Burnside group of exponent five Bull. Austral. Math. Soc., 10 (1974), 459Ц470.
35. B. Huppert, Endliche Gruppen. I., Springer Verlag, 1979.
36. S. Thomas, The>
Math, 41 (1983), 103Ч116.
Работы автора по теме диссертации, опубликованные в изданиях из перечня ВАК 37. А. А. Кузнецов, К. А. Филиппов, Об одном инволютивном автоморфизме бернсайдовой группы B0(2, 5), Сиб. журнал индустр. мат., 13, № 3(43) (2010), 68Ц75.
38. А. А. Кузнецов, К. А. Филиппов, Об одном автоморфизме порядка 2 бернсайдовой группы B0(2, 5), Влад. мат. журнал, 12, № 4 (2010), 44Ц49.
39. А. А. Кузнецов, К. А. Филиппов, Группы, насыщенные заданным множеством групп, Сибирские электронные математические известия, (2011), 230Ч246.
40. Д. В. Лыткина, Л. Р. Тухватуллина, К. А. Филиппов, О периодических группах, насыщенных конечным множеством конечных простых групп, Сиб. мат. журнал, 49, № 2 (2008), 395Ч400.
41. Д. В. Лыткина, Л. Р. Тухватуллина, К. А. Филиппов, Периодические группы, насыщенные конечными простыми группами U3(2m), Алгебра и логика, 47, № 3 (2008), 288Ч306.
42. Д. Н. Панюшкин, Л. Р. Тухватуллина, К. А. Филиппов, О периодической группе Шункова, насыщенной центральными расширениями конечных 2-групп посредством группы L2(5), Вестник НГУ. Математика, механика, информатика, 10, № 1 (2010), 88Ц92.
43. Д. Н. Панюшкин, Л. Р. Тухватуллина, К. А. Филиппов, О группе Шункова, насыщенной центральными расширениями циклических групп посредством проективных специальных линейных групп, Тр. ИММ УрО РАН, 6, № 2 (2010), 177Ц185.
44. А. Г. Рубашкин, К. А. Филиппов, О периодических группах, насыщенных группами L2(pn), Сиб. мат. журнал, 46, № 6 (2005), 1388Ц1392.
45. К. А. Филиппов, О централизаторах автоморфизмов бернсайдовой группы B0(2, 5), Сиб. электр. мат. известия, 9 (2012), 185Ц189.
46. К. А. Филиппов, О периодической части группы Шункова, насыщенной L2(pn), Вестник СибГАУ, 1(41) (2012), 67Ц72.
47. К. А. Филиппов, О диаметре Кэли одной подгруппы группы B0(2, 5), Вестник СибГАУ, 1(41) (2012), 234Ц236.
48. К. А. Филиппов, О периодических группах Шункова насыщенной простыми трёхмерными унитарными группами, Вестник СибГАУ, 2(42) (2012), 78Ц80.
49. К. А. Филиппов, О периодических группах, насыщенных конечными простыми группами, Сиб. мат. журнал, 53, № 2 (2012), 430Ц438.
50. К. А. Филиппов, О прямых произведениях конечных групп в группах Шункова, Вестник КрасГАУ, 4 (2012), 56Ц62.
51. К. А. Филиппов, О группах Шункова с одним условием насыщенности, Журнал СФУ. Математика и физика, 5, № 3, 430Ц436.
Прочие работы автора по теме диссертации 52. А. А. Кузнецов, К. А. Филиппов, О локальной конечности периодических групп, насыщенных группами диэдра, Математические системы, (2005), 34Ц35.
53. А. А. Кузнецов, Д. А. Кузьмин, Д. В. Лыткина, Л. Р. Тухватуллина, К. А. Филиппов, Компьютерные алгоритмы теоретикомножественного анализа сложных алгебраических систем.
Монография, Красноярск, КрасГАУ, 2009.
54. А. А. Кузнецов, Д. В. Лыткина, Л. Р. Тухватуллина, К. А. Филиппов, Группы с условием насыщенности. Монография, Красноярск, КрасГАУ, 2010.
55. А. А. Кузнецов, И. В. Сабодах, Л. Р. Тухватуллина, К. А. Филиппов, Т. А. Ширяева, Алгоритмы компьютерных вычислений в группах.
Монография, Красноярск, КрасГАУ, 2011.
56. А. А. Кузнецов, И. В. Сабодах, Л. Р. Тухватуллина, К. А. Филиппов, А. А. Шлёпкин, А. К. Шлёпкин, Группы с условием примарной минимальности. Монография, Красноярск, КрасГАУ, 2011.
57. Д. В. Лыткина, К. А. Филиппов, О периодических группах, насыщенных L2(q) и её центральными расширениями, Математические системы, 5 (2006), 35Ч45.
58. Д. В. Лыткина, Л. Р. Тухватуллина, К. А. Филиппов, О периодических группах, насыщенных группой L3(11), Математические системы, 6 (2007), 84Ч88.
59. Д. В. Лыткина, Л. Р. Тухватуллина, К. А. Филиппов, О периодических группах, насыщенных группой L3(27), Математические системы, 6 (2007), 89Ч92.
60. Д. В. Лыткина, Л. Р. Тухватуллина, К. А. Филиппов, О периодических группах, насыщенных группами из конечного множества линейных групп размерности 3, Математические системы, 6 (2007), 93Ч98.
61. А. Г. Рубашкин, К. А. Филиппов, О группах Шункова, насыщенных конечными простыми Z-группами,Математические системы, 3 (2005), 72Ц79.
62. К. А. Филиппов, Группы Цассенхауза с бесконечной силовской 2 - подгруппой, Математические системы, 4 (2005), 109Ц110.
63. К. А. Филиппов, О группах Шункова, насыщенных L2(2n) Z2, Математические системы, 4 (2005), 111Ц115.
64. К. А. Филиппов, О периодических группах с конечной силовской 2 - подгруппой, насыщенных конечными простыми Z-группами, Вестнику КрасГАУ, 5 (2005), 89Ц95.
65. А. А. Кузнецов, К. А. Филиппов, О локальной конечности периодических групп, насыщенных группами диэдра, Студент и научнотехнический прогресс: Математика: Мат-лы XLII междунар. науч.студен. конф., Новосибирск: НГУ, 2004.
66. А. А. Кузнецов, К. А. Филиппов, А. К. Шлёпкин, Об одном инволютивном автоморфизме группы B0(2, 5), Тезисы международной конференции Мальцевские чтения, Новосибирск, 2010.
67. Д. В. Лыткина, Л. Р. Тухватуллина, К. А. Филиппов, О периодических группах, насыщенных группами L4(2n). Международная алгебраическая конференция, посвящённая 100-летию со дня рождения А. Г. Куроша, тезисы докладов, Москва, 2008.
68. Д. В. Лыткина, К. А. Филиппов, О периодических группах, насыщенных центральными расширениями линейных групп размерности 2, Материалы XLIV МСНК Студент и научно-технический прогресс.
Математика. Новосибирск: НГУ, 2006.
69. Д. В. Лыткина, К. А. Филиппов, О периодических группах, насыщенных её центральными расширениями, Тезисы международной конференции Мальцевские чтения, Новосибирск, 2006.
70. А. И. Созутов, А. А. Дуж, К. А. Филиппов, О группах Шункова с одним условием насыщенности, Международная конференция Алгебра, логика и приложения, Красноярск, 2010.
71. А. И. Созутов, А. А. Дуж, К. А. Филиппов, О группах Шункова с одним условием насыщенности, Материалы всеросийской конференции, посвящённой 100-летию со дня рождения С. Л. Эдельмана, Красноярск, 2010.
72. Л. Р. Тухватуллина, К. А. Филиппов, О периодических группах, насыщенных группами L3(3n). Международная конференция Алгебра и её приложения, тезисы докладов, Красноярск, 2007.
73. К. А. Филиппов, О периодических группах, насыщенных группами Цассенхауза, Мат-лы регион. науч.-техн. конф., Красноярск: КрасГАСА, 2005.
74. К. А. Филиппов, О периодических группах насыщенных L2(2n) Z2, Международная алгебраическая конференция: К 100-летию со дня рождения П.Г. Конторовича и 70-летию Л.Н. Шеврина, Екатеринбург, 2005.
75. К. А. Филиппов, О периодической части в группе Шункова, Тезисы международной конференции Мальцевские чтения, Новосибирск, 2011.
76. К. А. Филиппов О периодической группе Шункова, насыщенной простыми трёхмерными унитарными группами, Тезисы Международной конференции УАлгебра и линейная оптимизацияФ, посвящённой 100-летию со дня рождения С.Н. Черникова, Екатеринбург, 2012.
Подписано в печать 28.12.12. Формат 60 841 1 уч.-изд. л., заказ №, тираж 120 экз.
Изд-во КрасГАУ, 660049, Красноярск, пр. Мира,
Авторефераты по всем темам >>
Авторефераты по разным специальностям