Авторефераты по всем темам >>
Авторефераты по техническим специальностям
МОСКОВСКИЙ АВИАЦИОННЫЙ ИНСТИТУТ (ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ) Битюков Юрий Иванович ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ НАМОТКИ И ВЫКЛАДКИ КОНСТРУКЦИЙ ИЗ ВОЛОКНИСТЫХ КОМПОЗИЦИОННЫХ МАТЕРИАЛОВ
Специальность 05.01.01 - Инженерная геометрия и компьютерная графика
Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора технических наук
Москва-2010
Работа выполнена в Государственном образовательном учреждении высшего профессионального образования УМосковский авиационный институт (Государственный технический университет)Ф.
Научный консультант: доктор технических наук, профессор Денискин Юрий Иванович Официальные доктор технических наук, профессор оппоненты: Иванов Геннадий Сергеевич доктор технических наук, профессор Панчук Константин Леонидович доктор технических наук, профессор Блинов Виктор Николаевич
Ведущая организация: ЗАО "Научно-методический центр НОРМА", г. Москва
Защита диссертации состоится 11 февраля 2011 г. в 1400 ч. на заседании регионального диссертационного совета ДМ 212.250.03 при Государственном образовательном учреждении высшего профессионального образования УСибирская государственная автомобильно-дорожная академияФ по адресу: 644080, г. Омск, пр. Мира, 5, зал заседаний.
С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Государственного образовательного учреждения высшего профессионального образования УСибирская государственная автомобильно-дорожная академияФ.
Отзывы на автореферат направлять по адресу: 644080, г. Омск, пр. Мира 5, тел., факс: (3812) 65-03-23, e-mail: Arkhipenko_m@sibadi.org Автореферат разослан ___________2010 г.
Ученый секретарь регионального диссертационного совета ДМ 212.250.03, кандидат технических наук М.Ю. Архипенко
ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ
Актуальность темы исследований. Совершенствование и разработка новых конструкций, применяемых в авиастроении, ракетно-космической технике, энергетике, машиностроении и других отраслях промышленности, в значительной мере связаны с использованием композиционных материалов.
Композиционные материалы обладают свойствами и особенностями, отличающимися от свойств традиционных конструкционных материалов и в совокупности открывающими широкие возможности как для совершенствования существующих, так и для разработки новых конструкций и технологических процессов.
Композиционные материалы обеспечивают оптимальные физико - механические характеристики: легкость, прочность, антикоррозийность, кислотостойкость. Эти материалы представляют собой неоднородный сплошной материал, состоящий из двух или более компонентов. Среди таких компонентов можно выделить армирующие элементы, обеспечивающие необходимые механические характеристики, и матрицу или связующее, обеспечивающую совместную работу армирующих элементов. Удельная прочность композиционных материалов в 4Ц5 раз превышает удельную прочность стали, алюминиевых и титановых сплавов. Композиционные материалы характеризуются также низкой теплопроводностью, высокой термостойкостью, хорошими технологическими, электроизоляционными, антикоррозийными свойствами и сравнительно малым удельным весом. Все это демонстрирует преимущества физико-механических свойств конструкционных материалов из композиционных материалов перед металлическими. Другими важными преимуществами технологии изготовления конструкций из композиционных материалов являются простота достижения аэродинамических свойств и заданного теоретического контура внешнего обвода летательного аппарата, возможность получать монолитные конструкции без швов и скреплений. Все вышеперечисленное делает актуальной задачу применения композиционных материалов в авиастроении.
В настоящее время одним из самых совершенных методов изготовления высокопрочных армированных оболочек из композиционных материалов является технологический процесс намотки непрерывными волокнами в направлении действия силы, осуществляемый с помощью специальных многокоординатных намоточных станков с числовым программным управлением. В этом методе лента, образованная системой нитей или сформированная из тканей, пропитывается полимерным связующим и подается на вращающуюся оправку, имеющую конфигурацию внутренней поверхности изделия. После получения необходимой толщины и структуры оболочки производится полимеризация, окончательное отверждение связующего.
Оправка может быть удалена или использована как часть конструкции. В родственном намотке процессе автоматизированной выкладки, осуществляемом также на станках с числовым программным управлением, на поверхность оправки, как правило, с помощью прижимных устройств укладывается достаточно широкая лента, составленная из однонаправленных волокон, нитей, куски которой отрезаются с помощью специального устройства до или после укладки.
Намоточный процесс имеет ряд особенностей. Точность процесса намотки и получение оболочки, удовлетворяющей требуемым геометрическим и прочностным характеристикам, прежде всего, зависят от качества отработки расчетных траекторий, точности укладки ленты на поверхность оправки и создания на раскладчике ленты намоточного станка нужного натяжения.
Поэтому для разработки управляющих программ для намоточных станков требуется наличие полной математической модели, описывающей процесс укладки лент на поверхность оправки с соблюдением целого комплекса условий.
До появления геометрической модели В.А. Калинина, Г.Р. Бороха, В.И.
Якунина, Н.Н. Беляковой рассматривались поверхности вращения и нитевые модели, в которых не учитывалась реальная структура ленты. Сейчас существует теория намотки нитью поверхностей вращения. Помимо геометрической модели укладки нити на поверхность вращения, в этой теории существуют правила перехода от кривой на поверхности к непосредственному движению нитераскладывающего механизма станка, существуют способы выбора начальных условий для геодезической кривой, определяющей рисунок укладки, так, чтобы укладка нити на поверхность была бы равномерной. Для поверхностей вращения существует программный комплекс CADWIN, реализующий алгоритм расчета траекторий намотки.
Следует отметить, что сейчас гораздо чаще методом намотки изготавливаются конструкции, не являющиеся поверхностями вращения.
Поэтому стали появляться попытки приспособить результаты, полученные для поверхностей вращения на случай оправок произвольной формы. В работах В.А. Калинина, Г.Р. Бороха, В.И. Якунина, Н.Н. Беляковой, Т.В. Аюшеева была разработана геометрическая модель процесса намотки, учитывающая реальную структуру ленты, а в работах Т.В. Аюшеева рассмотрено так же применение систем технического зрения к повышению точности реализации процесса намотки. Модель обладает рядом существенных недостатков и ограничений.
Она предназначена для анализа схемы укладки ленты постоянной ширины (препрега) по заданной кривой на поверхности. В ее рамках не учитывалась толщина ленты, расчет параметров, характеризующих схему укладки ленты, крайне затруднителен из-за того, что параметрическое представление кривых, по которым укладываются нити ленты, не могут быть найдены точно.
Компьютерная реализация данной модели затруднительна из-за того, что поверхности всегда задавались различными способами. Для расчета характеристик схемы укладки необходима поверхность класса C2. Поэтому, если оправка состояла из нескольких частей, которые определялись различными параметрическими представлениями, то необходимо, во-первых, гладко склеить эти части (методов гладкого склеивания поверхностей в модели не было предусмотрено), во-вторых, каким-то образом согласовать параметризацию на разных кусках. Помимо всего перечисленного, модель не приспособлена к анализу схемы укладки ленты (и моделированию укладки) переменной ширины (ровницы). С такой укладкой мы сталкиваемся, когда нити собираются в ленту непосредственно перед укладкой (метод УмокройФ намотки) и ширину ленты можно изменять за счет различной ориентации нитераскладывающего механизма. Этой возможностью пользуются для устранения нахлестов лент.
Из сказанного вытекает, что проблема геометрического моделирования процессов намотки и выкладки является по-прежнему актуальной. Важно отметить, что моделирование процессов намотки и выкладки решает не только технологические задачи, но и дает ответ о возможности реализации спроектированной конструкции по рассчитанной схеме армирования и возможности получения требуемых ее функциональных характеристик.
На основании анализа многочисленных научных и прикладных отечественных и зарубежных публикаций определены объект, предмет, цель и поставлены теоретические и прикладные задачи диссертационного исследования.
Объектом диссертационного исследования является теория геометрического моделирования технологических процессов намотки и выкладки конструкций из волокнистых композиционных материалов с полимерной матрицей.
Предметом диссертационного исследования является математический аппарат для геометрического моделирования технологических процессов намотки и выкладки сложных конструкций из волокнистых композиционных материалов, на базе которого возможно создание обобщенных геометрических моделей указанных процессов, получения численного анализа схемы армирования, решения различных задач оптимизации, возникающих при укладке ленты.
Целью диссертационной работы является разработка комплексного подхода к решению проблемы повышения качества и эффективности изготовления сложных конструкций из композиционных материалов на основе применения обобщенных геометрических моделей технологических процессов намотки и выкладки.
Теоретические и прикладные задачи исследований. К ним отнесены задачи, решение которых позволяет достичь и показать практическую полезность поставленной цели:
разработать новый математический аппарат для геометрического моделирования технологических процессов намотки и выкладки конструкций из волокнистых композиционных материалов с однонаправленными волокнами, который позволяет создать обобщенную геометрическую модель указанных процессов, и предоставляет практические удобные инструменты для анализа и коррекции схемы армирования:
o найти разложение кубического интерполяционного сплайна по базисным сплайнам на равномерной сетке с явно выписанными коэффициентами разложения, для различных краевых условий;
o дать конструктивное доказательство возможности введения на гладкой поверхности новой системы координат, удовлетворяющей двум условиям: функции, связывающие новые координаты точки поверхности и ее криволинейные координаты, допускают явное, конечное задание; эти функции сколь угодно близки в смысле нормы в C2 к функциям, связывающим полугеодезические координаты точки и ее криволинейные координаты;
o разработать численный метод нахождения значения функции, которая в каждой точке поверхности определяет число лент, накрывающих эту точку;
o сформулировать и дать конструктивное доказательство теоремы о возможности единообразного описания поверхностей технологических оправок класса C2, являющихся поверхностями зависимых сечений;
разработать теоретические основы геометрического моделирования укладки ленты переменной ширины на поверхность с помощью явно заданного отображения прямоугольника в пространство, которые обобщают существующие теоретические результаты по геометрическому моделированию технологического процесса намотки;
разработать теоретические основы геометрического моделирования многослойной намотки и выкладки, где будет учтено изменение формы поверхности в соответствии с толщиной ленты;
разработать методики анализа схемы укладки ленты, на предмет равновесности нитей ленты и ее прилегания к поверхности;
формализовать проблему выбора закона изменения ширины ленты, с целью уменьшения зон нахлестов лент и предложить численный алгоритм решения этой проблемы;
описать закон движения нитераскладывающего механизма намоточного станка по заданному рисунку укладки ленты, учитывающий ее реальное расположение на поверхности;
разработать на базе построенных геометрических моделей и методик компьютерную модель процессов намотки и выкладки, позволяющую дать качественный анализ выбираемой схемы укладки ленты, решать различные задачи оптимизации, возникающие при укладке ленты, получать закон движения нитераскладывающего механизма, учитывающий реальную структуру ленты.
Методы исследования. Поставленные в работе теоретические задачи решаются методами дифференциальной и вычислительной геометрий.
Применяется аппарат математического анализа, теория дифференциальных уравнений, теория матриц, теория уравнений в конечных разностях, методы функционального анализа, методы вычислительной математики. Для построения компьютерной модели использовалось программное обеспечение MathCad v.11 компании PTC и среда программирования MVC 6.0 (Microsoft Visual C++ версия 6.0).
Научная новизна работы:
найдено разложение кубического интерполяционного сплайна по базисным сплайнам на равномерной сетке с явно заданным коэффициентами разложения для различных краевых условий;
дано конструктивное доказательство возможности введения на гладкой поверхности новой системы координат, удовлетворяющей двум условиям:
функции, связывающие новые координаты точки поверхности и ее криволинейные координаты, допускают явное, конечное задание; эти функции сколь угодно близки в смысле нормы в C2 к функциям, связывающим полугеодезические координаты точки и ее криволинейные координаты;
разработан численный метод нахождения значения функции, которая в каждой точке поверхности определяет число лент, накрывающих эту точку;
дано конструктивное доказательство теоремы о возможности единообразного описания поверхностей технологических оправок класса C2, являющихся поверхностями зависимых сечений;
разработаны теоретические основы геометрического моделирования укладки ленты переменной ширины на поверхность с помощью явно заданного отображения прямоугольника в пространство, обобщающие существующие разработки по моделированию процесса намотки;
разработаны методики анализа схемы укладки ленты, на предмет равновесности нитей ленты и ее прилегания к поверхности;
формализована проблема выбора закона изменения ширины ленты, из соображений уменьшения зон нахлестов лент и предложен численный алгоритм решения этой проблемы;
разработаны теоретические основы геометрического моделирования многослойной намотки и выкладки, в которых учитывается изменение формы поверхности в соответствии с толщиной ленты;
описан закон движения нитераскладывающего механизма намоточного станка по заданному рисунку укладки ленты, учитывающий ее реальное расположение на поверхности;
разработаны компьютерные модели процессов намотки и выкладки сложных конструкций из композиционных материалов, в рамках которых можно получить детальный анализ схемы армирования на предмет возможности получения конструкции по данной схеме методом намотки или выкладки.
Ценность основных научных результатов. Ценность диссертации определяется научной новизной полученных результатов. Новизна научных результатов заключается в разработке нового математического аппарата предназначенного для геометрического моделирования технологических процессов намотки и выкладки конструкций из композиционных материалов с однонаправленными волокнами, предоставляющего простой и эффективный инструментарий для решения разнообразных проблем, возникающих при анализе и коррекции схем армирования.
Практическая полезность результатов исследований. Разработанные в диссертации геометрические модели технологических процессов намотки и выкладки, а также разработанные на базе этих моделей компьютерные модели указанных процессов позволяют детально исследовать схемы армирования, получать законы движения исполнительных механизмов станков с числовым программным управлением. Разработанные методики расчета параметров, характеризующих схему армирования, позволяют предопределять возможность получения изделия методом намотки или выкладки по данной схеме и корректировать эту схему для достижения такой возможности. Все это позволяет существенно снизить затраты при создании опытных образцов конструкций за счет отработки схемы армирования с использованием компьютерной модели, вследствие экономии дорогостоящих композиционных материалов. Разработанный математический аппарат позволяет ставить и решать различные задачи оптимизации, возникающие при укладке ленты, например, в рамках компьютерной модели решается задача выбора закона изменения ширины ленты, из условия уменьшения зон нахлестов лент.
Реализация результатов работы. Математическая модель технологического процесса выкладки и методики построения поверхностей оправок были использованы для анализа схемы армирования при изготовлении методом выкладки лопатки перспективного двигателя нового поколения в ОАО НИАТ. Математическая модель намотки и методики расчета параметров, характеризующих процесс намотки, были внедрены на ОАО Туполев.
Методика моделирования поверхностей по точечному каркасу сечений была внедрена на предприятии ОАО ОКБ Сухого.
Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на следующих конференциях:
VII-Всероссийской конференции по компьютерной геометрии и графике, Нижний Новгород, 1997 год;
Конференции в Зеленограде: Проблемы методологии и методики применения компьютерных технологий в дисциплинах начертательной геометрии и инженерной графики, 1995 год;
Конференции в Улан-Уде Роль геометрии в искусственном интеллекте и системах автоматизированного проектирования, 1996 год;
Научно-методический семинар по организации Всероссийского конкурса учащихся и студентов по черчению и компьютерной графике:
Совершенствование учащихся и студентов в области графики, конструирования и стандартизации, 1997 год;
V Всероссийской научной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых Технологии Microsoft в теории и практике программирования, 2008 год.
II Всероссийской научно-практической студенческой школе-семинаре Компьютерный инжиринг в промышленности и вузах, посвященной 80летию МАИ, г. Кременки, Вятичи, 20-21 ноября, 2009 год.
Публикации. Результаты теоретических и прикладных исследований были опубликованы в 16 научных статьях из перечня ВАК и одной монографии.
На защиту выносятся следующие результаты:
конструктивное доказательство теоремы о возможности введения на гладкой поверхности системы координат близкой к полугеодезической, для которой функции, связывающие новые координаты точки поверхности и ее криволинейные координаты допускают явное задание;
теоретические основы геометрического моделирования многослойной намотки и выкладки конструкций из волокнистых композиционных материалов с однонаправленными волокнами;
конструктивное доказательство возможности единообразного описания поверхностей технологических оправок, являющихся поверхностями зависимых сечений;
численный метод нахождения значения функции, определяющей в каждой точке поверхности число лент, накрывающих эту точку;
методология анализа схемы укладки ленты на поверхность оправки и численный метод выбора закона изменения ширины ленты, обеспечивающий уменьшение зон нахлестов ленты в процессе ее укладки на поверхность;
компьютерные модели технологических процессов намотки и выкладки Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, семи глав, заключения, списка используемой литературы и двух приложений. Работа содержит 332 страницы из них 48 страниц приложений, рисунка, 10 таблиц и 219 наименований используемых литературных источников.
СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ
Во введении обоснована актуальность темы диссертационной работы, сформулированы цели и задачи исследований, отмечены научная новизна и практическая значимость результатов.
Первая глава посвящена обзору существующего математического и программного обеспечения технологических процессов намотки и выкладки.
Выявлена одна из моделей, наиболее точно учитывающая реальную структуру ленты. В главе отмечены ограничения и недостатки существующих моделей.
Показана необходимость построения нового математического аппарата для геометрического моделирования укладки ленты, который позволил бы создать обобщенную геометрическую модель процесса намотки, и устранил существующие ограничения и недостатки.
Во второй главе строится математический аппарат для геометрического моделирования технологических процессов намотки и выкладки конструкций из волокнистых композиционных материалов с однонаправленными волокнами. В частности, дается конструктивное доказательство возможности введения на гладкой поверхности системы координат близкой к полугеодезической системе, но, для которой функции, связывающие новые координаты точки и ее криволинейные координаты допускают явное задание.
Построение введется на основе получения разложения кубического сплайна по базисным сплайнам с явно выписанными коэффициентами разложения. В этой же главе предлагается моделировать ленту на поверхности с помощью явно заданного гладкого отображения прямоугольника в пространство и строится функция, значение которой в каждой точке поверхности равно числу лент, накрывающих эту точку.
Пусть на отрезке a;b задано разбиение : a x0 x1 ... xn b.
Обозначим Sm, линейное пространство сплайнов степени m дефекта с узлами на сетке . Элементами этого пространства являются функции sm, x, удовлетворяющие условиям: 1) s Cm a;b ; 2) на каждом отрезке m, xi; xi1, i 0,1,..., n 1 функция sm, x является многочленом степени m.
Известно, что размерность пространства Sm, равна m 1 n 1.
Всюду в дальнейшем мы будем рассматривать пространство S , так как нас 3,будут интересовать поверхности дважды непрерывно дифференцируемые.
В пространстве Sm,1 существует базис, состоящий из финитных функций Nm1,i x, называемых B - сплайнами. Расширим сетку , добавив дополнительно точки x ... x a; b xn1 ... xnm. Тогда функции m Nm,i x можно определить следующим соотношением 1, x xi1, xi ;
xi x x xim Nm,i x Nm1,i x Nm1,i1 x, N1,i x xi xim1 xi1 xim 0, x xi1, xi.
В пространстве S базис составляют функции N4,1 x, N4,2 x,..., N4,n3 x.
3,Пусть f C1 a;b. Обозначим fi f xi, i 0,1,..., n. Тогда, как известно, в пространстве S можно найти единственную функцию s3,1 x, 3,удовлетворяющую условиям:
s3,1 xi fi, i 0,1,..., n; s3,1 x0 f x0 ; s3,1 xn f xn.
Оказывается, что, если сетка равномерная, то этот сплайн можно выписать в явном виде, а именно, имеет место теорема.
Теорема 1. Если расширенная сетка равномерная, то сплайн s3,1 x можно nпредставить в виде: s3,1 x N4,i1 x, где числа i определяются i iравенствами:
n 1 b a j,1 3 f0 f x0 6 j,i fi1 j n1 n n 1 n ib a n1 j,n 1 3 fn f xn , j 1, 2,...,n 1;
n b a b a 0 2 2 f x0 ; n2 n 2 f xn, n n а j,i, n - это следующие вспомогательные функции целых nнеотрицательных аргументов:
i j k i, j 1 mi n i, j 1 k ma x(i, j), i, j 1,...,k;
k 2 k 1 k 2, k 3 ;
1, k 0;
2, k 1;
7, k 2;
26, k 3;
k 97, k 4;
k k k 1 k 2 3 2 3 2 3 2 , k 5.
3 2 Рассмотрим теперь другой вид условий, накладываемых на сплайн s3,1 x, которые возникают при интерполяции периодических функций. Это условия вида q q s3,1 xi fi, i 0,1,...,n; s3,1 x0 s3,1 xn, q 0,1, 2.
Оказывается, что и такой сплайн можно выписать в явном виде.
Теорема 2. Если f0 fn, то сплайн s3,1 x можно представить в виде:
n s3,1 x N4,i2 x, x a;b, где числа i определяются равенствами i i n i i 1, j f, i 0,1,..., n 1; , n1, 1, n j1 n 0 1 n n jа n, i, j вспомогательные функции целых неотрицательных аргументов:
n n n 2 A n 1 A n 2 1 n 4;
2 , i1 n 1 A n i 1 A i 2, j 1;
i j n i, j 1 4 A j 2 A n i A j 3 A n i i 1,2,...,n;
(1)n A i j 1 A j 2 A n i 1, 1 j i;
0, n 1;
1, n 0;
4, 1;
15,n n 2;
A n n1 n 2 3 2 3 , n 3.
2 Пусть в пространстве фиксирована декартова система координат Oxyz и гладкая поверхность класса C2 задана параметрическим представлением r u,v x u,v i y u,v j z u,v k, u,v . Пусть гладкая a1;b1 2;b2 a кривая на поверхности, заданная параметрическим представлением : r t r u t,v t, t t0 ;t1 , 0. Эта кривая будет определять нам схему укладки ленты. При выполнении условий, наложенных на вектор - функцию, определяющую поверхность, каждая точка этой поверхности является заведомо обыкновенной и поэтому для любой гладкой кривой на поверхности существует (если ограничиться достаточно малым ее куском) полугеодезическая система координат, в которую данная кривая входит в качестве координатной линии. Таким образом, существует число d 0 такое, что полугеодезическую систему координат можно ввести на куске поверхности Ud P, где Ud P - шар с центром в точке P и радиусом d. Напомним P способ построения такой системы координат. В каждой точке M t кривой берем направление на поверхности, ортогональное к направлению и проводим через эту точку в этом направлении геодезическую линию (что всегда можно сделать и притом единственным образом). Отложим на геодезической дугу длины (снабжая знаком в зависимости от того, в какую сторону от * отложена дуга). В результате мы приходим в некоторую точку M uП;vП на поверхности, положение которой вполне определяется значениями t и (система координат u t, v на поверхности является * полугеодезической). Точка M определяется также параметрами uП;vП. Следовательно, uП,vП есть функции от параметров t и :
u t,, vП t,.
П В существующей модели намотки, которая была разработана только для укладки препрега (ленты постоянной ширины), укладка нити Рисунок 1 - Построение множества точек, ленты, находящейся от средней нити принадлежащих координатным линиям на расстоянии , d / 2;d / 2, полугеодезической системы координат на гладкой поверхности осуществляется по кривой r (t) r uП t,,vП t,. Так как выписать эти функции в общем случае не возможно, мы построим функции U t,, V t, близкие к ним, но которые допускают явное задание. Иначе говоря, необходимо разработать методологию введения на поверхности системы координат близкой к полугеодезической, но для которой функции связи новых координат с криволинейными координатами можно выписать в явном виде. Эти функции связи и дадут нам искомое отображение прямоугольника в пространство, с помощью которого и можно смоделировать укладку ленты на поверхность.
Будем предполагать, что функции uK,vK C2 t0 K,t1 K и при любом t K,t1 K точка uK (t),vK (t) принадлежит множеству a1;b1 a2;b2, tследовательно, кривая не проходит через точки границы поверхности. Тогда всегда можно найти прямоугольник K K ;t1 K , d 0, на котором t0 d;d будут определены функции uП t,, vП t,. Рассмотрим равномерную сетку t : 0 t0 1 ... T t1, i t0 h i, i 0,1,...,T, h t1 t0 T на отрезке t0;t1. Причем, значение T выберем так, чтобы выполнялось неравенство h . Положим 0 ih, T i 0 i T h, i 1,2,.... Из каждой i точки Qi x uK (i ),vK (i ) ; y uK (i ),vK (i ) ; z uK (i ),vK (i ), i 1,0,1,...,T,T 1, строим две возможные геодезические i и i, перпендикулярные кривой (рис. 1).
Пусть параметрические представления геодезических линий имеют вид i : i s r u (s),vi (s), s 0,d / 2 П, d / 2 П d, П 0;
i i : i s r u(s),v(s), s 0,d / 2 П.
i i Здесь через s обозначена переменная длина дуги геодезических линий.
Рассмотрим равномерную сетку s : s0 0 s1 ... sI d / 2, sj hs j, j 0,1,..., I, hs d (2 I) I на отрезке 0; d / 2. Причем значение выберем так, чтобы выполнялось неравенство hs . Введем следующие обозначения:
sI i i I h, i 1, 2,...;
s uij ui s, vij vi s, j I 1, I,..., 1;
j j uij ui sj, vij vi sj, j 0,1,..., I, I 1.
и построим на прямоугольнике t0;t1 d / 2;d / 2 функции U , s, V , s, удовлетворяющие условиям:
U i, s uij; V i, s vij, j I,..., 1, i 0,1,...,T;
j j U i, sj uij; V i, sj vij, j 1,..., I, i 0,1,...,T; (1) U ,0 uK ; V ,0 vK , t0;t1.
Для начала построим функции U : t0;t1 R, V : t0;t1 R, j I 1, I,..., 2, 1,1, 2,..., I, I j j такие, что U i u, Vj i vi j, i 0,1,...,T. Мы определим эти функции j i j следующими равенствами:
T 2 T U N ; V N , t0 ;t1, j ij 4,i 1 j ij 4,ii 0 iгде В-сплайны построены на расширенной равномерной сетке 0 t0 1 ... T t1 T 1 T 2 T 3.
3 2 Для нахождения величин ij и потребуем, чтобы выполнялись ij равенства (1) и граничные условия j 1, j 1, j 1, j U t0 , U t1 ;
u1, u uT uT j j 2h 2h j 1, j 1, j 1, j Vj t0 , Vj t1 ;
v1, v vT vT 2h 2h На основании теоремы 1, коэффициенты ij, ij могут быть найдены по следующим формулам:
T 1 1 ij T 1 i,1 3u0, j u1, j u 6 i, p up1, j 1, j T T 1 2 p 1 1 T 1 i,T 1 3uT, j uT 1, j uT 1, j i 1, 2,...,T 1;
, 2 u1, j u ; uT 1, j uT 1, j ;
0, j 2, j 1, j T 2, j T, j T 1 1 ij T 1 i,1 3v0, j v1, j v 6 i, p vp1, j 1, j T T 1 2 p 1 1 T 1 i,T 1 3vT, j vT 1, j vT 1, j i 1, 2,...,T 1;
, 2 v1, j v ; vT 1, j vT 1, j.
0, j 2, j 1, j T 2, j T, j Положим U0 uK , V0 vK , . Определим теперь функции t0;t1 U , s, V , s следующими равенствами:
2I 2 2I U , s i N4,i1 s ; V , s i N4,i1 s ; ; s K, i0 iгде В-сплайны построены на равномерной сетке s s s s0 d / 2 s1 ... s ... s2I d / 2 s2I 1 s2I 2 s2I 3, 3 2 1 I si d / 2 i h, i 3,..., 2I 3.
s Функции и мы найдем из условий:
i i U , sj U ; V , sj VjI , j 0,1,...,2I;
jI U U UI 1 UI 1 ;
I 1 I D0,1U , s0 ; D0,1U , s2I 2hs 2hs V V VI 1 VI 1 ; D0,1V , s2 I 1 I D0,1V , s0 .
I 2hs 2hs 1 2 1 2 1 D, f u,v f u v На Здесь через обозначена частная производная.
основании теоремы 1, функции и могут быть найдены по i i следующим формулам:
1 1 i 2I 1 i,1 3U U U I I 1 I 1 2I 1 2 2I 6 i, p U 2I 1 I pp1 2I 1 i,2I 1 3UI UI 1 UI 1 i 1, 2,..., 2I 1;
, 2 U U ; V V ;
0 2 I 1 I 1 0 2 I 1 I U UI 1 ; VI 1 VI 1 .
2I 2 2I I 1 2 I 2 2 I 1 1 i 2I 1 i,1 3V V V I I 1 I 1 2I 1 2 2I 6 i, p V 2I 1 I pp1 2 I 1 i, 2I 1 3VI VI 1 VI 1 i 1,2,..., 2I 1;
, 2 Итак, на этом заканчивается построение функций U , s, V , s, удовлетворяющих условиям (1).
Теорема 3. При соблюдении неравенства h hs между шагами сеток, можно выбрать последовательность сеток и получить последовательности функций Um ,s, Vm ,s, которые будут удовлетворять условиям , lim U uП C 0; lim Vm vП C k k m m m если u, v Ck , k 0,1, 2.
Как известно, если функции uП, vП C1 , то на прямоугольнике K u,v якобиан J , s отличен от нуля. Следовательно, в силу его , s непрерывности, он на прямоугольнике сохраняет знак и достигает своих наибольшего Jmax и наименьшего Jmin значений. Итак, возможны следующие случаи Jmin J , s Jmax 0, , s , или 0 Jmin J , s Jmax, , s .
Поэтому всегда можно выбрать номер m, для которого якобиан Um,Vm Jm , s отличен от нуля на прямоугольнике . Итак, отображение , s , s Um , s,Vm , s взаимно однозначно и вектор функция , s r Um , s,Vm , s, , s определяет кусок поверхности . При этом одно семейство координатных линий (=const) близко к геодезическим линиям, а угол между координатными линиями различных семейств, близок к /2 (и эти свойства можно обеспечить с любой наперед заданной точностью). Таким образом, мы построили на поверхности систему координат (,s) близкую к полугеодезической системе.
До сих пор, рассматриваемые поверхности были произвольными гладкими, поверхностями класса C2. Сейчас мы сужаем класс рассматриваемых поверхностей. Обозначим COz множество дважды непрерывно дифференцируемых поверхностей зависимых сечений с переменной образующей, которые формируются следующим образом: образующей служит плоская замкнутая гладкая дважды непрерывно дифференцируемая кривая; при своем движении и изменении кривая остается гладкой, дважды непрерывно дифференцируемой кривой, лежащей в плоскости параллельной координатной плоскости Oxy; однопараметрическое множество плоскостей образующих в пространстве: z z v, v a2;b2, причем функция z v дважды непрерывно дифференцируема и строго монотонна на указанном отрезке. Параметрическое представление такой поверхности можно записать в виде:
r u,v x u,v i y u,v j z v k, u .
a1;b1, v 2;b2 a При выполнении условий, наложенных на вектор-функцию, выполняются , 1, 1 2 равенства D r a1 0,v D r b1 0,v, для любого v и любых a2;b2 1,2 0,1,2, 1 2 2. Поэтому, очевидно, данную вектор-функцию можно считать определенной на множестве R .
a2;b2 Заметим, что лента представляет собой замкнутую, односвязную, плоскую область. При укладке ленты на поверхность мы каждой ее точке ставим в соответствие единственную точку поверхности. Таким образом, укладку ленты на поверхность можно рассматривать как отображение замкнутой, плоской, односвязной области в трехмерное Евклидово пространство. Причем, так как область односвязна, то можно считать, что отображение определено на прямоугольнике. Пусть W : t0;t1 d / 2;d / 2 R3 - указанное отображение, моделирующее ленту на поверхности. Для того чтобы учесть толщину ленты в геометрической модели намотки и научиться изменять форму поверхности технологической оправки в соответствии с толщиной ленты, необходимо научиться определять для каждой точки поверхности оправки сколько лент лежит над этой точкой. Для достижения этой цели строится отображение NW : (здесь через N обозначено a1;b1 N a2;b2 множество натуральных чисел), значение которого в точке u,v a1;b1 a2;b2 равно числу элементов во множестве W P, OP r u,v. Такая функция сама по себе представляет собой удобный инструмент для анализа зазоров и нахлестов лент; выбора оптимального закона изменения ширины ленты из соображений уменьшения нахлестов лент при намотке ровницей (лента переменной ширины), ну и конечно, она играет важнейшую роль при моделировании многослойной намотки и выкладки.
Зафиксируем произвольное значение v* из отрезка. Тогда, u - a2;b2 линия, соответствующая этому значению, есть линия пересечения поверхности и плоскости z z*. Введем в рассмотрение следующие вспомогательные функции: : R3 R, x, y, z z ; 0 W , d / 2 z*, z z z W ,d / 2 z*, t0;t1. Например, методом дихотомии находим 1 z корни t0 00 01 ... 0 p t1 ; t0 10 11 ... 1q t1, соответственно, уравнений 0 0; 1 0. Расположим все корни по не убыванию их значений:
t0 ,0 ,1 ... , , ... ,pq , t1.
0 1 j j j1 j1 pq pq1 pqЗдесь индекс принимает одно из значений 0 или 1. Будем последовательно j t0;,0 ,рассматривать промежутки: 0 ; 1 ;,1 ,Е, 0 0 , ;,pq1 ,pq1;t1 pq1 , pq2 . Каждому из них поставим в pq pq pq1 pq соответствие четыре числа , l,u1, u2 l 0,1,..., p q 2 по следующему l l l правилу.
Если t0 ,0, то положим 0, если t0 ,0, то положим 0 0 sign 0 0 ,0 2 ; sign 1 0 ,0 t t 0 0 .
0 Если , ,, то положим 2, если , ,, то положим j1 jj j j1 j1 j j j1 j sign 0 , , 2 ; sign 1 , , j1 j1 .
j j j1 j1 j j j1 j Если t1 ,pq1, то положим 0, если t1 ,pq1, то положим pq2 pqpq1 pq sign 0 1 ,pq1 2 ; sign 1 1 ,pq1 t t pq2 pq2 .
pq1 pqДва числа , характеризуют расположение ленты относительно выбранного j j сечения. Некоторые из примеров такого расположения ленты приведены на рисунке 2.
Рисунок 2 - Примеры расположения ленты относительно сечения Теперь определим значения u1, u2, l 0,1,..., p q 2 следующими l l равенствами:
1, 0 0 0, или 0 0 1, или 0 0 1;
u1 , U t0,0* 0 1;
1, 0 0, или 0 1, или 0 1;
0 0 U d 0 0 1, 0 0;
, 0 , u2 d U , 1, 0 1, 0 , 0 * где - корень уравнения W t0, z*, d 2; d 2. Для l 1, 2,..., p q 0 z положим 1, l l 1;
d U , , , l 2, l 2, l1 0, или l l 1, l1 0;
l1 lu1 l d U , 1, l1 1;
, , l 2, l 2, l1 1, или l l l1 l 1, l 1;
l U d l 2, l 2, l 0, или l l 1, l 0;
, l, , l u2 l d U , 2, l 1, или l l 1, l 1.
l, , l 2, l l Наконец для l p q 2 положим 1, 0, или pq2 1;
pq2 pq2 pq d U , 1, 0;
, , pq2 pq2 pqpq1 pqu1 pq2 d U , pq2 1, 1;
, pq2 pqpq1, pq 1, pq2 pq2 0, или pq2 pq2 1;
u2 pq, pqU t1,1* pq2 1, где 1* - корень уравнения W t1, z*, d 2; d 2. Обозначим через z x - характеристическую функцию множества E, т.е. функцию, равную 1 на E множестве E и нулю вне этого множества. Тогда значение NW u,v* для любого u может быть найдено по формуле:
a1;b1 pq2 NW u,v* u j b1 a1.
min u1,u2 ; max u1,u2 k k k k k 0 j В этой формуле учтено продолжение вектор-функции r u,v на множество R . При этом необходимо заметить, что во внутренней сумме только a2;b2 конечное число слагаемых отлично от нуля.
Если P - произвольная точка u-линии, задаваемая значением параметра u , то значение NW u,v* дает количество лент, которые накрывают a1;b1 точку P поверхности. По графику функции NW u,v* можно судить о наличии участков наложения лент и наличии участков, где лент совсем нет. Выбрав достаточно большое количество сечений поверхности и, построив для каждого сечения функцию NW u,v*, можно дать точную характеристику выбранной схемы намотки, касающуюся количества слоев, находящихся над данной точкой, в частности, наличие зазоров (характеризующихся нулевыми значениями функции) и нахлестов (характеризующихся значениями функции, превышающими некоторое заданное значение слоев).
Третья глава посвящена построению обобщенной геометрической модели технологического процесса намотки конструкций из волокнистых композиционных материалов. Пусть поверхность оправки принадлежит COz и гладкая кривая : rK t r uK t,vK t, t K ;t1 K , K 0 определяет tсхему укладки ленты на оправку. Согласно результатам главы 2, существует система координат на поверхности, обладающая следующими свойствами:
данная кривая является координатной линией этой системы; функции U t,, V t,, связывающие новые координаты t, точки поверхности и ее криволинейные координаты допускают явное задание и они сколь угодно близки к функциям, связывающим полугеодезические координаты точки и ее криволинейные координаты; функции U t,, V t, определены на прямоугольнике K . Используя такие функции, t0;t1 d / 2;d / 2, d моделировать укладку ленты переменной ширины мы будем с помощью векторЦфункции r U t,, V t,, t, K t, : t0 t t1, 1 t t, где положительные на отрезке функции 1 t и 2 t задают закон t0;t1 изменения ширины ленты. При этом 0 dmin 1 t 2 t d, 1 t, t d / 2.
Очевидно, что гомеоморфизм 2 s d t, H t, s 1 t 1 t 2 t 2 d задает отображение прямоугольника K d / 2;d / 2 на замкнутую t0;t1 область K t, : t0 t t1, 1 t 2 t. Поэтому положение ленты на оправке можно представить как образ множества K при отображении W : K R3, определенном формулой W : t, s P, OP r U H t, s,V H t, s, t, s K.
Итак, в нашей новой геометрической модели укладки ленты на технологическую оправку мы моделируем укладку нитей ленты по кривым : w t, s r U H t, s, V H t, s, t ;t1. При s d / 2 получаем крайние s t нити ленты. В частности, если 1 t t d / 2, то H - тождественное отображение, и мы получаем геометрическую модель укладки препрега ширины d, в которой укладка нитей ленты происходит по кривым близким к геодезическим параллелям кривой , задающей схему укладки, а средняя нить ленты ложится по самой этой кривой.
Заметим, что при укладке ровницей функция NW u,v зависит так же от самих функций 1 t,2 t. Выбор функций 1 t,2 t будем осуществлять из условия уменьшения зон нахлестов лент. Обозначим max t d 2, t .
t0;t1 Переводя на формальный математический язык, необходимо найти функции 1 t, t С2 t0;t1 так, чтобы NW u,v,1,2 dudv min;
a1;b1a 2;b 2 supp NW u,v : NW u,v,1,2 0 u,v : NW u,v,max,max 0.
Первое условие обеспечивает уменьшение зон нахлестов, а второе не допускает при этом образование зазоров. На рисунке 3 показан пример укладки ленты постоянной и переменной ширины.
а) б) Рисунок 3 - Укладка ровницы а) и препрега б) Пусть - коэффициент трения скольжения материала нити о материал поверхности. Равновесность положения нити на поверхности оправки характеризуется тангенсом угла геодезического отклонения кривой, по которой укладывается нить. Условие равновесности нити, уложенной по кривой , состоит в том, что во всех точках кривой выполняется неравенство s tg . Поэтому в рамках предложенной геометрической модели укладки ровницы, для равновесности всех нитей должно выполняться неравенство tg t, s , для всех t, s K.
Как известно, функция t, s определяется следующим равенством 2 L U H 2M U H V H N V H t t t t wt 3 cos t,s , 2 2 t wt E U H 2 F U H V H G V H , wt t t t t t,s где коэффициенты r, r r,r r, r u v u v u v L r, r, r, , u u u v vv , M , N r, r r,r r, r u v u v u v E (r, r ), F (r, r ), G (r, r ), u u u v v v вычислены в точке U H t, s, V H t, s (в выражениях для указанных коэффициентов круглыми скобками обозначено скалярное произведение векторов, а квадратными - векторное произведение).
При исследовании прилегания ленты к поверхности оправки, прежде всего, нужно исследовать наматываемость соответствующих кривых в нашей модели, т.е. принципиальную возможность для нити принять форму кривой на поверхности.
Теорема 4. Кривая t, s r U H t, s, V H t, s, t на поверхности t0;t1 наматываема тогда и только тогда, когда выполняется неравенство 2 L D1,0 U H 2MD1,0 U H D1,0 V H N D1,0 V H t,s для всех t .
t0;t1 Рассмотрим теперь задачу прилегания ленты к поверхности. Пусть длина ленты в свободном состоянии равна l0, а max - максимально возможное значение относительного удлинения нити ленты. Так как нить, соответствующая параметру s, укладывается по кривой w t, s, t , то t0;t1 длина нити l s после укладки будет равна длине этой кривой. Следовательно, относительное удлинение s нити равно l s l0 1 t s wt t,s dt 1.
l0 l0 tТеорема 5. Лента прилегает к поверхности оправки, принимая ее форму тогда и t1 только тогда, когда выполняются неравенства 0 wt t,s dt 1 max, для всех l0 tзначений s d / 2;d / 2.
С помощью приведенной оценки нельзя указать места на поверхности, где лента не прилегает к ней. Для этой цели рассмотрим функцию длины t ленты в свободном состоянии, которая была уложена с натяжением на поверхность по кривой : w t, s, t ;t1. Тогда t является строго s t монотонной функцией параметра t на отрезке. Определим функцию t0;t1 t+t w ,s dt t t, s lim 1.
t t t t Теорема 6. Если функция t принадлежит C ;t1 и нить, укладываемая по t кривой , прилегает к поверхности, то выполняется следующее неравенство s wt t, s 0 для всех t .
t,0 1 1 max t0;t1 wt t, При применении полученного результата на практике, для вычисления t, s можно приближенно положить t, s 0. Мы тем самым считаем, что лента при укладке деформируется равномерно по своей длине. Поэтому t t1 w d wt t s w d t0 t t t1 . Следовательно, t, s 1.
t t1 wt t w d t По отображению w, моделирующего укладку ленты, можно построить закон движения нитераскладывающего механизма. Пусть в пространстве фиксирована декартова система координат Oxyz, неподвижная относительно поверхности оправки. Мы найдем закон движения раскладчика относительно этой системы. Положение раскладывающей головки в пространстве в системе Oxyz будем описывать радиус-вектором r1 t одной из крайних точек A этой головки, а ее ориентацию в пространстве вектором p t, с началом в выбранной точке A и концом в другой крайней точке головки. При этом p t const (рисунок 4). Обозначим 1 - расстояние от точки A до точки схода крайней нити ленты, например, определяемой вектор - функцией w t, d / 2, t t1, с t0;
поверхности оправки. Это значение мы зафиксируем. Аналогично, пусть 2 t - расстояние от другой крайней точки раскладчика до точки схода второй крайней нити с поверхности. Его мы будем находить. Очевидно, имеют место равенства:
wt t, d / 2 wt t, d / r1 t = w t, d / 2 + 1; r1 t + p t = w t, d / 2 + t ;
wt t, d / 2 wt t, d / Рисунок 4 - Определение положения раскладывающей головки wt t, d / 2 wt t, d / Обозначим l1 t ; l2 t ; t w t, d / 2 w t, d / 2. Из wt t, d / 2 wt t, d / равенства p t находим 2 1 l1,l2 ,l2 2 2 2 1 l1,l2 1 ,l2 21 ,l1 ,l2 l1,l2 .
В третьей главе так же строится геометрическая модель родственного намотке технологического процесса выкладки. В процессе выкладки укладка лент осуществляется по семейству кривых i : ri t x ui (t),vi(t) i y ui(t),vi(t) j z vi(t) k; t ,1i , i 0,1,..., n.
0i Обозначим через d ширину ленты. Кривая определяет вектор-функцию i wi : ;1i d / 2;d / 2 R3, моделирующую укладку соответствующей ленты.
0i Тогда функция n S : d / 2; d / 2 R3, где S wi 0i;1i i0 0i ; 1i d /2;d /моделирует укладку всех лент на поверхность оправки. Каждая из вектор функций wi определяет функцию NW u,v, которая в точке поверхности равна i единице, если эта точка накрывается данной лентой и нулю - в противном n случае. Очевидно, что функция NS u,v u,v в точке поверхности равна NWi iчислу лент, накрывающих эту точку.
Четвертая глава посвящена проблеме единообразного описания поверхностей технологических оправок. Как известно, поверхности технологических оправок состоят обычно из нескольких частей, среди которых выделяют конструктивную часть - это собственно поверхность изделия и технологическую часть. Технологическая часть может состоять из поверхности законцовки, служащей для разворота ленты, и переходной поверхности между конструктивной частью и законцовкой. Все эти части поверхности могут задаваться различными параметрическими представлениями. Поэтому для моделирования укладки ленты на поверхность и расчета характеристик схемы укладки ленты необходимо части гладко склеить между собой. Кроме того необходимо согласовать параметризацию на различных частях. Наличие методологии единообразного описания поверхностей автоматически устраняет все эти проблемы, так как будет единое параметрическое представление на всю поверхность, задающее все ее части.
Рассмотрим, для начала, методику построения поверхности по точечному каркасу сечений. Такая поверхность определяется точками, задающими ее сечения, причем сечения лежат в параллельных плоскостях. Мы выберем декартову систему координат Oxyz так, что эти плоскости будут перпендикулярны оси Oz. Тогда множество точек сечений поверхности можно записать следующим образом Pi j xi j, yi j, z : i 0,1,...,n, j 0,1,...,k, OP OP n, j 0, j j .
j j По множествам точек Pi0 : i 0,1,...,n0, Pi1 : i 0,1,...,n1,..., Pik : i 0,1,...,nk построим семейство замкнутых кривых rj u, u . Фиксируя a1;b1 произвольное значение u , получаем набор точек Qj u, OQj rj u, по a1;b1 которому строим кривую R u,v. Ее параметрическое представление и определяет параметрическое представление искомой поверхности. Используя результаты теорем 1 и 2, параметрическое представление искомой поверхности k можно записать в виде R u,v u N4, j1 v, u,v ,b1 a2,b2 , где j a j k b2 a 1 u k 1 j,1 3r0 u R u, a2 6 j,i ri1 u j v k k 1 k i b2 a2 k 1 j,k 1 u Rv u,b2 , j 1, 2,..., k 1;
3rk k b2 a2 b2 a 0 u 2 u 2 R u, a2 ; k 2 u k u 2 R u,b2.
v v k k n j rj u N4,i 2 u ; j 0,1,..., k, u i j a1,b1 .
i n j i 1, s OP, i 0,1,..., nj 1;
i j n s1, j j n s j , , n 1, j 1, j.
n, j 0, j 1, j n 1, j j j j В это параметрическое представление входят две неизвестные вектор-функции R u, a2 и R u,b2, которые могут быть выбраны исходя из условий: дважды v v непрерывно дифференцируемы на и a1;b1 R a1 0,c R b1 0,c, 0,1,2, c a2,b2. В качестве таких функций v v можно выбрать, например, следующие:
r1 u r0 u rk1 u rk u Rv u,a2 ; Rv u,b2 v1 v0 vk 1 vk Таким образом, получено параметрическое представление поверхности задаваемой точечным каркасом сечений, причем это представление найдено в явном конечном виде. Отметим следующие простые свойства построенной поверхности, которые будут использоваться в дальнейшем.
Лемма 1. Если Rv u, a2,k и Rv u,b2, k не зависят от параметра u, то построенная поверхность принадлежит COz.
емма 2. Для точек Pij, i 0,1,..., nj 1, j 0,1,..., k поверхности выполняются следующие равенства:
i OP R a1 b1 a1,a2 b2 a2 , i 0,1,...,nj 1, j 0,1,...,k.
ij kj nj Как отмечалось выше, для компьютерного моделирования процессов намотки и выкладки желательно иметь единую модель поверхности, с которой и работать. Сделать это можно с помощью аппроксимации данной поверхности поверхностью, определяемой точечным каркасом сечений. Так как параметры характеризующие схему укладки ленты на поверхность выражаются через первые и вторые производные вектор - функции поверхности, то сколь угодно точная замена поверхности должна происходить в пространстве C2, иначе результаты анализа схемы, полученные для исходной поверхности и замененной, могут быть разные.
Теорема 7. Пусть r u,v x u,v i y u,v j z v k, u a1;b1 , v a 2;b2 параметрическое представление поверхности технологической оправки класса COz. Если для любого значения u D2,1r u,a2 D2,1r u,b2, и существуют, a1;b1 эти вектор-функции принадлежат C, тогда для последовательности a1;b1 равномерных сеток u : u u u u0 a1 u1 ... un b1 un1 un2 un3;
3 2 ui a i hu, i 3,..., n 3, hu b1 a1 / n;
: v v v v0 a v1 ... vk b2 vk 1 vk 2 vk3;
v 3 2 1 vj c j hv, j 0,1,..., k, hv b2 a / k; hu hv последовательность вектор-функций R u,v, построенных по точечным n, k каркасам Pi, j, OPi, j r ui,vj, i 0,1,..., n; j 0,1,..., k, сходится к r u,v в смысле нормы C2, т.е. lim D, r D, R 0, , 0,1,2, 2.
n,k hv 0 C ;b1a ;b a 1 2 В пятой главе строится геометрическая модель многослойной намотки, в которой учтено изменение поверхности оправки в соответствии с толщиной ленты h. Согласно теореме 7, поверхность , принадлежащую COz, можно сколь угодно точно аппроксимировать поверхностью, принадлежащую COz и, задаваемую точечным каркасом сечений. Модификацию поверхности , в соответствии с толщиной ленты, будем осуществлять путем перестройки точечного каркаса. Обозначим r u,v, q 0,1,... вектор-функцию, q определяющую поверхность технологической оправки после q перестроек исходной поверхности, параметрическое представление которой r0 u,v. Пусть ее точечный каркас представляет собой множество Piq, i 0,1,..., n; j 0,1,..., k.
j Обозначим mq u,v вектор нормали к поверхности, который направлен из области, ограниченной поверхностью и nq u,v i, mq u,v i j,mq u,v j.
i j Пусть ui a1 b1 a1 ; vj a2 b2 a2, i, j . Тогда, в силу леммы 2, имеет n k место равенство r ui,vj OPi q, i 0,1,..., n, j 0,1,..., k.
q j Заметим для начала, что лента укладывается на поверхность с натяжением. Поэтому, при укладке ленты на уже уложенные слои между поверхностью и лентой может возникнуть зазор. Для дальнейших построений удобно периодически с периодом T b1 a1 продолжить функцию NW на q множество R ;b. По точкам P, 0,1,..., n сечений построим новые a 2 2 q точки P в соответствии с правилом:
q OP rq u,v h NW u,v nq u,v nq u,v. Пусть t r t,v, t R. Из q q множества P, 0,1,..., n выберем подмножество точек q , обладающих свойством: NW u 1,v NW u,v P, s 0,1,...,, OPq OPq s 0 ' s s q или NW u,v NW u 1,v. Из полученного множества удалим те точки P, s s s для которых выполняются условия:
NW ,v NW u,v NW u 1,v или u s 1 s s NW ,v NW u,v NW u 1,v.
u s 1 s s q Пусть, s 0,1,..., полученное множество (заметим, что этим точкам P s соответствуют некоторые из локальных максимумов функции NW ) (рисунок 5).
Nw u,v u u s а) График функции Nw для выбранного сечения и найденные локальные q максимумы этой функции, соответствующие точкам P, s 0,1,..., s б) точки Pq, s 0,1,...,, s l Рисунок 5 - Построение множества, s 0,1,..., P s q Обозначим Qt точку с радиус-вектором t. Каждой точке P s поставим в соответствие упорядоченную пару, t действительных чисел t s s q q по следующему правилу: t t, прямые P Qt и P Qt являются s s s s s s касательными к кривой t. Пусть - это прямая, заданная представлением q : OP nq u,v, R.
q q Рассмотрим теперь пару точек P, P, s 0,1,..., 1. Если t t, то s s1 s1 s имеют место неравенства u t t u. В этом случае определим новые s1 s1 s s q q точки P, u u t как точки пересечения прямых и P Qt. Точки s s s s q q P, u u t мы определим как точки пересечения прямых и P Qt.
s1 s1 s s Наконец для значений , удовлетворяющих неравенству ts u ts1, положим q q P P.
q Рассмотрим теперь случай, когда t t. Точки P, u u u мы s1 s s sq q определим как точки пересечения прямых и P P (рисунок 6).
s sРисунок 6 - Смещение точек каркаса Итак, на этом заканчивается построение точек Pq. Обозначим их q q q q координаты x ; y ; z. По точкам P, 0,1,...,n 1, OP0q OP построим n1, сглаживающий замкнутый сплайн g fx i fy j z k, 0;1. Для этого мы задаем на отрезке 0;1 сетку 0 0 1 ... 1 и строим два n периодических сглаживающих сплайна fx w, fy w по множествам точек:
q q ; x, 0,1,..., n ; y, 0,1,...,n После построения сглаживающего ; .
q сплайна можно определить точки P1 сечений новой поверхности, например, q следующим равенством: OP1 g , 0,1,...,n. По найденным точкам строим поверхность r u,v, u,v . Моделирование следующего qa1;b1 a2;b q слоя осуществляется по описанной схеме, используя точки P1 и полученную поверхность.
При моделировании многослойной выкладки необходимо учесть тот факт, что ленты прижимаются к поверхности с помощью специальных валиков, q поэтому после построения точек P можно сразу строить сглаживающий q сплайн и определять точки P1, как точки этого сглаживающего сплайна.
Шестая глава посвящена описанию компьютерных моделей технологических процессов намотки и выкладки, разработанных на основе построенных геометрических моделей. Все программное обеспечение было разработано в среде MVC 6.0 (Microsoft Visual C++ версия 6.0). Кроме того, для подготовки поверхности технологической оправки был разработан документ MathCad. Компьютерные модели реализованы в двух программах GMWinding и GMSpread. Первая из них служит для моделирования процесса намотки, а вторая - для моделирования процесса выкладки. На рисунке 7 показаны возможности разработанных компьютерных моделей, предоставляемых пользователю.
Рисунок 7 - Возможности компьютерных моделей В седьмой главе рассматривается применение разработанных компьютерных и геометрических моделей к анализу схемы намотки реального изделия - лонжерона стабилизатора вертолета и выкладки вентиляторной лопатки авиадвигателя.
Поверхность лонжерона представляет собой носовую часть стабилизатора и задается непрерывным каркасом поперечных сечений. При этом само поперечное сечение стабилизатора определяется двумя семействами точек Qв : i 0,1,..., n и Qн : i 0,1,..., n, принадлежащих соответственно верхней и i i нижней дужкам сечения. Теоретический контур сечений стабилизатора определяется процентным заданием координат точек xi; yв и xi; yн i i xi относительно длины строительной хорды по формулам xi c ;
1 yi в yi н yв yi н i yв k 1 k 1 ; yн k 1 k 1 , где c - длина с с i i 100 100 2 100 100 z zстроительной хорды, коэффициент k определяется равенством: k 1, 2 z1 z z1, z0 - аппликаты начального и конечного сечений, а значения xi, yв, yi н i являются табличными. Для стабилизатора вертолета значения c, z1, zсоответственно равны 600 мм, 1045 мм, 0 мм.
На расстоянии h 200мм от носовой кромки стабилизатора по строительной хорде, профиль лонжерона стабилизатора имеет прямолинейный вертикальный участок. Для разворота ленты нам необходима технологическая часть оправки. Она состоит из переходной поверхности и поверхности законцовки. Законцовка будет представлять собой полусферу. Эти поверхности мы зададим с помощью точечных каркасов сечений, которые лежат в плоскостях, параллельных координатной плоскости Oxyz. В качестве области определения вектор - функции поверхности выберем квадрат 0;1 0;1.
На рисунке 8 а) показана поверхность технологической оправки и несколько уложенных на нее витков ленты. На рисунке 8 б) показан макет лонжерона, кривая намотки и две ее геодезические параллели. Как видно укладка нитей ленты происходит по геодезическим параллелям. Лента укладывалась по геодезической линии, которая выходила из точки поверхности с параметрами u=0,45; v=0,23 под углом 00 к сечению поверхности.
а) лонжерон и несколько витков ленты, полученные в компьютерной модели Кривая намотки Геодезическая параллель б) макет лонжерона, укладка нескольких витков ленты Рисунок 8 - Верификация модели укладки ленты Рисунок 9 - График функции t, Рисунок 10 - График функции tg t, Рассмотрим теперь пример анализа участка ленты длины 1500 мм. На рисунках 9 и 10 представлены графики функций t, и tg t,. Как видно из представленных графиков, нити ленты будут равновесны для коэффициентов трения 0,1 и будут прилегать к поверхности для значений max 0,025.
Рассмотрим теперь моделирование выкладки вентиляторной лопатки авиадвигателя. Вентиляторная лопатка задается шестнадцатью сечениями по точек в каждом. Лопатка работает в условиях сложнонапряжённого состояния.
Основными являются центробежные нагрузки в результате высоких скоростей вращения (порядка 4000 об/мин). Кроме того, на лопатку действуют аэродинамические нагрузки от набегающего потока воздуха, которые вызывают изгибные моменты и её кручение. Для противостояния растяжению от центробежных нагрузок и изгиба лопатку необходимо армировать углеродными волокнами, направленными вдоль оси Z (ось проходящая через ось вращения двигателя и перпендикулярная ей).
Основным требованием к крутильной стойкости является крутильная жёсткость лопатки, для чего необходимо армирование по направлениям 45 к оси Z. Расчёты также показывают, что на лопатку действуют высокие сдвиговые межслоевые нагрузки, которые в отдельных частях детали выше предельных для существующих отечественных углепластиков аэрокосмического назначения. В основном эта проблема будет решаться материаловедческими и технологическими разработками. Однако, для исключения дополнительных сдвиговых Рисунок 11 - Выбор начальных межслоевых нагрузок, армирующие условий для геодезических волокна должны располагаться по геодезическим линиям.
Семейство геодезических, соответствующих заданному слою, будем строить из точек заданной u-линии поверхности и двух vЦлиний (рисунок 11).
Расстоянием di между соседними геодезическими будем регулировать зазоры и нахлесты лент. Эти расстояния можно выбрать из решения задачи минимизации:
NS u,v, d1,..., dn1 dudv min, suppNS u,v,d1,...,dn1 a1;b1 a2;b2 .
a1;b1a 2 ;b 2 Первое условие гарантирует уменьшение зон нахлестов, а второе не допускает образования зазоров. На рисунке 12 а) показана выкладка четырех лент на макет лопатки и зоны нахлестов лент для выбранного сечения лопатки. На рисунке 12 б) показан график функции Nw u,v для выбранного сечения, а на рисунке 12 в) само сечение и зоны нахлестов, найденные в компьютерной модели. На рисунке 13 показано семейство геодезических для укладки первого слоя. Геодезические строились под углом 45 к оси Oz из сечения z 125. На рисунке 14 показана перестройка сечения z 175 поверхности после укладки трех слоев. Сплошной линией показан сглаживающий сплайн, пунктирной линией показано сечение поверхности, точки соответствуют P. На рисунке показана перестройка поверхности после укладки трех слоев. При укладке второго слоя геодезические строились из точек сечения z 26 под углом 900 к сечению. Третий слой укладывался аналогично первому.
а) макет лопатки, четыре ленты и зоны б) график функции Nw u,v для сечения нахлестов для сечения z=125 z=125, полученный в компьютерной модели в) сечение и зоны нахлестов, найденные в компьютерной модели Рисунок 12 - Верификация геометрической модели выкладки Рисунок 13 - Семейство Рисунок 14 - Перестройка Рисунок 15 - Многослойная геодезических сечения поверхности после выкладка (перестроенная (первый слой) укладки трех слоев поверхность) Толщина ленты была взята равной 0,4 мм. Видно, что есть самопересечение поверхности. Следовательно, есть участки на поверхности, где слои, выкладываемые на одну и другую части лопатки достигли друг друга.
Приложения содержат акты внедрения результатов автора и листинги программ, составляющих компьютерные модели.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ Интенсивное внедрение в авиастроение процессов намотки и выкладки при изготовлении конструкций сложной геометрической формы из композиционных материалов требует создания качественно новых, повышающих уровень точности управляющих программ для намоточных и выкладочных станков с ЧПУ.
На основании приведенных исследований процессов намотки и выкладки мы можем выделить следующие этапы в создании конструкций из волокнистых композиционных материалов:
Проектирование состава и структуры композиционного материала. Здесь осуществляется выбор самих волокон и полимерной основы;
Определение оптимальной схемы армирования, так как для волокнистых композиционных материалов характерна анизотропия механических свойств. В оптимальной схеме волокна должны располагаться в направлениях прилагаемой нагрузки;
Проектирование технологии производства изделия;
Технологическая отработка изделия с выпуском экспериментальных образцов. Проверка соответствия свойств опытных образцов изделия из армированного композита результатам выполненных расчетов и заданным техническим требованиям. Корректировка конструкции материала и изделия;
Последний этап является экспериментальным. Если изделие не получается изготовить по заданной схеме армирования, то идет корректировка этой схемы. При этом осуществляются затраты на производство оправок, расход дорогостоящих композитов. Поэтому большую помощь в прохождении последнего этапа оказывает компьютерная модель процесса, в рамках которой можно дать качественный анализ выбираемой схемы армирования на предмет возможности изготовить данное изделие методами намотки или выкладки, получить геометрические характеристики конечной конструкции. Создание такой модели позволило бы корректировать схему армирования не после создания опытных образцов, а до них. В свою очередь это экономит дорогостоящие композиционные материалы, нет расходов средств на изготовление технологических оправок. Только после получения удовлетворительных результатов в компьютерной модели можно переходить к созданию опытных образцов. Компьютерная модель позволит также получить и законы движения исполнительных органов станка. Для создания такой компьютерной модели необходима наиболее точная и наиболее полная геометрическая модель процессов намотки и выкладки, учитывающая реальную структуру ленты.
На сегодняшнее время существуют геометрические модели процессов намотки и выкладки, но они предназначены либо только для поверхностей вращения, либо обладают рядом существенных недостатков и ограничений, которые были указанные во введении.
Данная диссертационная работа посвящена иному взгляду, отличному от существующих взглядов, на намотку и выкладку. Этот новый взгляд устранил недостатки и ограничения существующих моделей и открыл перспективы более детального и точного анализа схем армирования.
Итак, в диссертационной работе были получены следующие результаты:
1. Разработан новый математический аппарат для геометрического моделирования технологических процессов намотки и выкладки конструкций из волокнистых композиционных материалов.
a. Получено разложение кубического сплайна по базисным сплайнам на равномерной сетке с явно выписанными коэффициентами разложения;
b. Дано конструктивное доказательство возможности введения на гладкой поверхности системы координат сколь угодно близкой к полугеодазической системе, для которой функции, связывающие новые координаты и криволинейные допускают явное задание;
c. Построена функция, определенная в точках поверхности технологической оправки, значение которой в каждой точке равно числу лент, накрывающих эту точку.
2. Созданы теоретические основы геометрического моделирования технологических процессов намотки и выкладки, обобщающие все существующие методы моделирования этих процессов;
3. Дано конструктивное доказательство возможности единообразного описания технологических оправок, являющихся поверхностями зависимых сечений класса C2. Поверхности технологических оправок могут быть заданы различными параметрическими представлениями, могут состоять из нескольких отсеков. Поэтому наличие единообразного метода задания поверхностей существенно упрощает компьютерное моделирование процессов намотки и выкладки;
4. Разработаны теоретические основы геометрического моделирования многослойной намотки и выкладки, где учитывается толщина ленты и ее положение на поверхности;
5. Разработаны методики анализа схемы укладки ленты на поверхность на предмет равновесности ленты и ее прилегания к ней;
6. Формализована проблема выбора закона изменения ширины ленты (при мокрой намотке) из условия уменьшения зон нахлестов лент и дан численный метод решения этой проблемы;
7. Построен закон движения нетераскладывающего механизма, учитывающий реальную структуру ленты и ее положение на поверхности;
8. Разработаны компьютерные модели, служащие для качественного анализа выбираемой схемы укладки ленты на поверхность на предмет возможности изготовить изделие по данной схеме армирования. В рамках этой модели можно получить не только анализ схемы, но и увидеть опытный образец изделия таким, какой он будет после его изготовления на станке. Таким образом, мы можем контролировать качество изготавливаемого изделия еще до его производства на станке;
9. На предприятиях авиационной промышленности внедрены и включены в системы автоматизированной подготовки управляющих программ разработанные в диссертации методы и алгоритмы определения равновесности нитей ленты на поверхности, прилегания ленты к поверхности оправки. Использование компьютерных моделей на предприятиях авиационной промышленности доказало их эффективность в вопросах анализа и коррекции схем армирования еще до изготовления опытных образцов.
ПУБЛИКАЦИИ В изданиях, рекомендованных ВАК:
1. Битюков Ю.И., Калинин В.А., Токсанбаев М.С., Литвинов В.Б.
Создание модели поверхности вентиляторной лопатки для перспективного двигателя нового поколения // Авиационная промышленность. - 2007. - №2.
- С. 7-11.
2. Битюков Ю.И., Калинин В.А., Токсанбаев М.С., Литвинов В.Б.
Разработка схемы выкладки поверхности вентиляторной лопатки // Авиационная промышленность. - 2007. - № 3. - С. 10-17.
3. Битюков Ю.И., Калинин В.А., Токсанбаев М.С., Литвинов В.Б.
Проектирование и изготовление вентиляторной лопатки методом многослойной выкладки для перспективного двигателя нового поколения // Авиационная промышленность. - 2008. - №2. - С. 25-27.
4. Битюков Ю.И. Моделирование технологического процесса намотки с помощью гладкого отображения прямоугольника в пространство R3 // Авиационная промышленность. - 2008. - №2. - С. 35-41.
5. Битюков Ю.И. Об одной характеристике схемы армирования // Авиационная промышленность. - 2008. - №4. - С. 20-23.
6. Битюков Ю.И. Геометрическое моделирование технологического процесса выкладки // Полет. - 2008. - №10. - С. 36-41.
7. Битюков Ю.И. Создание математической модели многослойной выкладки // Полет. - 2009. - №3. - С. 44-48.
8. Битюков, Ю.И. О параметрах, характеризующих схему укладки ленты в процессе намотки // Вестник МАИ. - 2009. - Т16.- №5. - С. 274 - 281.
9. Битюков Ю.И. Денискин Ю.И. Геометрическое моделирование многослойной намотки // Электронный журнал Труды МАИ (раздел Машиноведение. Машиностроение). - 2010. - Выпуск № 37. - Режим доступа в журн.: www.mai.ru/science/trudy/ 10. Битюков Ю.И. Денискин Ю.И. Геометрическое и компьютерное моделирование технологического процесса намотки // Электронный журнал Труды МАИ (раздел Машиноведение. Машиностроение). 2010. - Выпуск № 37. - Режим доступа в журн.: www.mai.ru/science/trudy/ 11. Битюков Ю.И. Расчет характеристик схемы укладки ленты в процессе намотки оболочек из композиционных материалов при его геометрическом моделировании с помощью гладкого отображения прямоугольника в пространство // Омский научный вестник. - 2010. - №2(90). - С. 128-131.
12. Битюков Ю.И. Представление кубического сплайна в виде разложения по В-сплайнам на равномерной сетке с явно выписанными коэффициентами разложения // Естественные и технические науки. - 2010. - №3. - С. 304-308.
13. Битюков Ю.И. Технологический процесс выкладки конструкций из композиционных материалов и его компьютерное моделирование // Естественные и технические науки. - 2010. - №3. - С. 309-316.
14. Битюков Ю.И., Калинин В.А. Численный анализ схемы укладки ленты переменной ширины на технологическую оправку в процессе намотки конструкций из композиционных материалов //Механика композиционных материалов и конструкций.Ц2010.ЦТ.16.-№2.-С. 276-290.
15. Битюков Ю.И. Определение закона движения раскладывающей головки намоточного станка по заданному рисунку укладки ленты на технологическую оправку в процессе намотки конструкций из композиционных материалов //Научный вестник Новосибирского государственного технического университета. - 2010. - №3 (40). - С. 51-59.
16. Битюков Ю.И., Денискин Ю.И. Об инструментах обеспечения качества конструкций из композиционных материалов, изготавливаемых методом намотки и выкладки // Качество инновации образование. - 2010. - №8(63). - С. 51-55.
В других изданиях:
17. Битюков Ю.И. Введение в компьютерную геометрию. Курс лекций.ЦМ.:
МГСГИ, 2005. - 55 с.
18. Битюков Ю.И. Геометрическое моделирование технологических процессов намотки и выкладки. - М.: МАИ, 2007. - 88 с.: ил.
19. Битюков Ю. И. Геометрическое моделирование технологического процесса намотки с помощью гладкого отображения прямоугольника в пространство//Технологии Microsoft в теории и практике программирования.
Тезисы докладов V Всероссийской научной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых - Москва, 2008. - с. 84 - 86.
20. Битюков Ю.И. Гометрическое моделирование многослойной выкладки // Часть I. Материалы II Всероссийской студенческой научно-технической школы-семинара Аэрокосмическая декада. Часть II. Материалы II Всероссийской научно-практической студенческой школы-семинара Компьютерный инжиринг в промышленности и ВУЗах, посвященной 80ти летию МАИ.ЦМ.: Изд-во МАИ-ПРИНТ, 2009.Цс.53-57.
21. Битюков Ю. И. Моделирование поверхностей законцовок с использованием BЦсплайнов // Тезисы докладов VII-Всероссийской конференции по компьютерной геометрии и графике. - Нижний Новгород, 1997. - с 46 - 47.
22. Битюков Ю. И. Моделирование поверхностей по точечному каркасу сечений // Межвузовский сб. науч. тр./МГСГИ. - Москва, 2005.Цс.75-79.
23. Калинин В. А., Битюков Ю.И. Намотка лонжерона стабилизатора по линии откоса // Проблемы методологии и методики применения компьютерных технологий в дисциплинах начертательной геометрии и инженерной графики. Тезисы конференции / МГИЭТ-ТУ. - Зеленоград, 1995.
- С.96 - 98.
24. Калинин В. А., Битюков Ю.И. Способ моделирования поверхностей сплайнами без заданных производных в концевых точках // Роль геометрии в искусственном интеллекте и системах автоматизированного проектирования: доклады науч.-техн. конф./ ВСГТУ. - Улан-Удэ: 1996. - С.
130 - 133.
25. Калинин В.А., Битюков Ю.И. Разработка системы автоматизированного проектирования поверхностей законцовок для технологических оправок, используемых в процессе намотки//Совершенствование учащихся и студентов в области графики, конструирования и стандартизации. Научнометодический сборник докладов семинара по организации Всероссийского конкурса учащихся и студентов по черчению и компьютерной графике. - Саратов, 1997. - С. 130 - 131.
Авторефераты по всем темам >>
Авторефераты по техническим специальностям