Авторефераты по всем темам >>
Авторефераты по разное
На правах рукописи
Починка Ольга Витальевна
ГЛОБАЛЬНАЯ ДИНАМИКА КАСКАДОВ МОРСА-СМЕЙЛА НА 3-МНОГООБРАЗИЯХ
Специальность 01.01.02 - дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление Диссертация на соискание ученой степени доктора физико-математических наук
Научный консультант: доктор физико-математических наук, профессор Гринес В. З.
НИЖНИЙ НОВГОРОД, 2011
Работа выполнена на кафедре теории функций Нижегородского государственного университета им. Н.И.Лобачевского Научный консультант:
Доктор физико-математических наук, профессор В.З. Гринес (Нижний Новгород)
Официальные оппоненты:
доктор физико-математических наук, профессор А.Ю. Жиров (пгт. Монино Щелоковского р-на Московской обл.) доктор физико-математических наук, профессор С.Ю. Пилюгин (г. СанктПетербург) доктор физико-математических наук, профессор Е.А. Сатаев (г. Обнинск Московской обл.)
Ведущая организация:
Математический институт им. В.А. Стеклова Российской академии наук
Защита состоится 22 декабря 2011 г. в 14 часов 30 минут на заседании диссертационного совета Д 212.166.06 в Нижегородском государственном университете имени Н. И. Лобачевского по адресу: 603950, г. Нижний Новгород, пр. Гагарина, 23, корп. 2, конференц-зал.
С диссертацией можно ознакомиться в фундаментальной библиотеке Нижегородского Государственного университета им. Н.И. Лобачевского (603950, г. Нижний Новгород, пр. Гагарина, 23) С текстом автореферата можно ознакомиться на официальном сайте Нижегородского Государственного университета им. Н.И. Лобачевского
Автореферат разослан 7 октября 2011 г.
Ученый секретарь диссертационного совета (В.И. Лукьянов)
Общая характеристика работы
Предмет исследования. Настоящая диссертация лежит в русле современных проблем качественной теории динамических систем, восходящих к классическим работам А. Пуанкаре, A.M. Ляпунова, И. Бендиксона, Дж. Биркгофа и ее тематика является традиционной для Нижегородской школы теории нелинейных колебаний, основанной академиком А.А. Андроновым. Диссертация посвящена актуальным вопросам исследования структурно устойчивых динамических систем с конечным неблуждаюшим множеством на 3-многообразиях. Среди решаемых в диссертации проблем первостепенное место занимает топологическая классификация таких каскадов и, тесно связанные с ней проблемы глобальной динамики, среди которых основное место занимает проблема существования гладкой (глобальной) функции Ляпунова, свойства которой наиболее тесно связаны с динамикой системы и проблема включения каскада в топологический поток. Содержание диссертации охватывает исследования автора, начатые в 1999 году.
Актуальность темы. Динамические системы, исследуемые в диссертации являются моделями, адекватно описывающими многочисленные процессы с регулярным поведением в естествознании и технике. Как оказалось, несмотря на отсутствие хаотического поведения траекторий, динамика блуждающих траекторий таких систем может быть весьма сложной, что связано как с возможностью существования гетероклинических пересечений инвариантных многообразий, так и с возможностью дикого вложения последних в несущее пространство. Это приводит к необходимости введения принципиально новых типов топологических инвариантов, контролирующих тонкие свойства систем, которые различают классы топологической сопряженности.
На пути построения таких инвариантов возникают актуальные проблемы глобальной динамики, тесно связанные с существованием глобальных функций Ляпунова с прогнозируемыми свойствами и условиями включения каскада в топологический поток.
Диссертация является логическим продолжением результатов выдающихся математиков Нижегородской школы динамических систем, основанной А.А. Андроновым.
Отправной точкой исследований диссертации является понятие грубой системы (системы дифференциальных уравнений в ограниченной части плоскости, не меняющей своих качественных свойств при малых изменениях правых частей), введенное в 19году А.А. Андроновым и Л.С. Понтрягиным в работе УГрубые системы // Докл. АН СССP. 1937. Т. 14. № 5. 247Ц250.Ф, где они также указали необходимые и достаточные условия для того, чтобы система была грубой. В этом же году Е.А. Леонтович и А.Г.
Майеp1 сформулировали утверждение о том, что для некоторого класса дифференциальных уравнений, по аналогии с грубыми системами, существует конечное число траекторий, полностью определяющих качественную структуру разбиения фазового пространства на траектории. В 1939 году А.Г. Майер2 ввел понятие грубого преобразования окружности в окружность и установил возможные типы таких преобразоваЛеонтович Е.А., Майеp А.Г. О траекториях, определяющих качественную структуру разбиения сферы на траектории // Докл. АН СССP. 1937. Т. 14. № 5. 251Ц257.
Майеp А.Г. Грубое преобразование окружности в окружность // Уч. Зап. ГГУ. 1939. Гоpький.
Изд-во ГГУ. вып. 12. 215Ц229.
ний. В 1955 году в pаботе Е.А. Леонтович и А.Г. Майеpа3 были найдены необходимые и достаточные условия топологической эквивалентности потоков с конечным числом особых траекторий на плоскости и двумерной сфере. Обобщением этих результатов явилась топологическая классификация грубых потоков на поверхностях, полученная M. Пейкшото4.
Фундаментом для этого явились идеи А. Пуанкаpе и И. Бендиксона, связанные с выделением тех тpаектоpий, взаимное расположение которых однозначно задает качественную структуру разбиения фазового пространства динамической системы на траектории. Тот факт, что грубые потоки имеют лишь конечное число гиперболических состояний равновесия, конечное число замкнутых гиперболических траекторий и не содержат сепаратрис, соединяющих седловые состояния равновесия, а также незамкнутых устойчивых по Пуассону траекторий позволил свести задачу топологической классификации грубых потоков на поверхностях к комбинаторной проблеме.
Утверждение об отсутствии сепаратрис, соединяющих седловые состояния равновесия, было доказано в основополагающей работе Андронова и Понтрягина, отсутствие же незамкнутых устойчивых по Пуассону траекторий у грубых потоков на плоскости и сфере непосредственно следует из топологии этих многообразий, а для потоков на ориентируемых поверхностях большего рода этот нетривиальный факт был доказан вначале А.Г. Майером для грубых потоков без состояния равновесия на двумерном торе, а затем М. Пейкшото5 для грубых потоков на ориентируемых поверхностях любого рода.
У потоков (каскадов) на многообpазиях pазмеpности большей двух (соответственно, большей единицы) возможно наличие гомоклинических траекторий. А. Пуанкаре6 обнаружил сложную структуру множества траекторий, принадлежащих ее окрестности, затем Д. Биркгоф7 исследовал двумерные сохраняющие площадь отображения и доказал наличие бесконечного множества периодических орбит в окрестности гомоклинической точки. Принципиальным примером, пролившим свет на отличие структурно устойчивых потоков (каскадов) на многообразиях размерности большей двух (большей единицы) от структурно устойчивых потоков на поверхностях, явился структурно устойчивый диффеоморфизм двумерной сферы, обладающий бесконечным множеством периодических орбит. Этот пример был построен С. Смейломв 1961 году и получил название Уподкова СмейлаФ. Второе важнейшее открытие сделал Д.В. Аносов9 в 1962 году, установив структурную устойчивость геодезического потока на римановом многообразии отрицательной кривизны. Затем он ввел и доказал структурную устойчивость чрезвычайно важного класса систем, названных им У-системами и получивших позднее название потоков и диффеоморфизмов Аносова.
еонтович Е.А., Майеp А.Г. О схеме, определяющей топологическую структуру разбиения на траектории // Докл. АН СССP. 1955. Т. 103. № 4. 557Ц560.
Peixoto M. On the>
Peixoto M. Structural stability on two-dimensional manifolds // Тороlоgy. 1962. V. 1. № 2. 101Ц120.
Peixoto M. Structural stability on two-dimensional manifolds (a further remarks) // Тороlоgy. 1963.
V. 2. № 2. 179Ц180.
H. Pоincare. Les methodes nouvells de la mecanique celeste, III. Paris. 1899.
G. Birkhoff. On the periodic motions of dynamics // Acta math. 1927. V. 50. 359Ц379.
Смейл C. Структурно устойчивый дифференцируемый гомеоморфизм с бесконечным числом периодических точек // Тезисы доклада на симпозиуме по нелинейным колебаниям. 1961. Киев.
Институт математики АН УССP. 1Ц3; или Труды международного симпозиума по нелинейным колебаниям. 1963. Киев. Изд-во АН УССP. Т. II. 365Ц366.
Аносов Д.В. Грубость геодезических потоков на компактных римановых многообразиях отрицательной кривизны // Докл. АН СССР. 1962. T. 145. № 4. 707Ц709.
Обобщая это понятие, С. Смейл10 ввел в рассмотрение класс систем (систем, удовлетворяющих аксиоме А) с гиперболической структурой неблуждающего множества, являющегося замыканием множества периодических точек. Неблуждающее множество систем из этого класса допускает разложение на конечное число замкнутых инвариантных базисных множеств, на каждом из которых система действует транзитивно. Динамика системы на нетривиальном базисном множестве (не являющемся периодической орбитой или неподвижной точкой) сходна с поведением диффеоморфизма на неблуждающем множестве в примере Уподкова СмейлаФ.
Следует отметить, что первоначально, по аналогии с двумерной ситуацией, С.
Смейл11 в 1960 году выделил в качестве претендента на множество всех структурно устойчивых потоков на многообразиях размерности большей двух класс потоков с конечным множеством гиперболических состояний равновесия, замкнутых траекторий и трансверсальным пересечением устойчивых и неустойчивых многообразий этих траекторий. Позже С. Смейлом и Ж. Палисом12 было доказано, что эти потоки действительно являются структурно устойчивыми, но уже в 1962 году сам же С. Смейл понял, что они не исчерпывают множества всех структурно устойчивых потоков (достаточно рассмотреть поток, являющийся надстройкой над диффеоморфизмом Уподкова СмейлаФ, который является структурно устойчивым потоком со счетным множеством периодических движений). Однако, в силу важности таких потоков, как с точки зрения приложений так и в силу того, что эти потоки обладают свойствами глубокой взаимосвязи динамики с топологией фазового пространства (в частности, для них имеют место неравенства Морса, установленные С. Смейлом) класс таких потоков подвергся весьма пристальному изучению, получив специальное название потоков Морса-Смейла. Чуть позже по аналогии с потоками был выделен класс дискретных динамических систем Морса-Смейла, для которых неблуждающее множество гиперболично и конечно, а устойчивые и неустойчивые многообразия различных периодических точек пересекаются трансверсально.
Основной результат диссертации состоит в нахождении полной системы топологических инвариантов для сохраняющих ориентацию диффеоморфизмов МорсаСмейла, заданных на гладких замкнутых ориентируемых 3-многообразиях. Как уже было упомянуто это направление имеет большую предысторию, которую идейно можно описать следующим образом.
Класс эквивалентности потока Морса-Смейла на окружности однозначно определяется числом его неподвижных точек. Для каскадов на окружности полный топологический инвариант содержится в работе А.Г. Майера 1939 года и состоит из числа периодических орбит и числа вращения Пуанкаре. В 1955 году Е.А. Леонтович и А.Г. Майер в качестве полного топологического инварианта ввели схему потока с конечным числом особых траекторий на двумерной сфере. В 1971 году М. Пейкшото формализовал понятие схемы Леонтович-Майера и доказал, что для потока на произвольной поверхности полным топологическим инвариантом является класс изоморфности ориентируемого графа, вершины которого находятся во взаимно однозначном соответствии с состояниями равновесия и замкнутыми траекториями, а Smale S. Differentiable dynamical systems // Bull. Amer. Math. Soc. 1967. V. 73. № 6. 747Ц8(Пер. на рус. яз.: Смейл С. Дифференцируемые динамические системы // Успехи мат. наук. 1970.
Т. 25. № 1. 113Ц185.) Smale S. Morse inequalities for a dynamical systems. Bull. Am. math. Soc. 1960. V. 66. 43Ц49.
[Русский перевод: сб. Математика. 1967. T. 11. No 4. 79Ц87.] Palis J. On Morse-Smale dynamical systems // Topology. 1969. V. 8. № 4. 385Ц404.
Palis J., Smale S. Structural stability Theorems // Proceedings of the Institute on Global Analysis.
American Math. Society. 1970. V. 14. 223Ц231 (Пер. на рус. яз. Теоремы структурной устойчивости // Математика. 1969. Т. 13. № 2. 145Ц155.) ребра соответствуют некоторым компонентами связности инвариантных многообразий состояний равновесия и замкнутых траекторий, при этом изоморфность графов включает в себя сохранение выделенных специальным образом подграфов13.
Хотя неблуждающее множество систем Моpса-Смейла состоит из конечного множества периодических траекторий, блуждающее множество потока (каскада) на многообразии размерности большей двух (большей единицы) устроено, вообще говоря, значительно сложнее, чем в соответствующих динамических системах на многообразиях меньшей размерности. Это связано с возможностью пересечения устойчивых и неустойчивых многообразий седловых периодических тpаектоpий. Так в работе В. Афраймовича и Л. П. Шильникова14 доказано, что ограничение потоков МоpсаСмейла на замыкание множества гетероклинических траекторий сопряжено с надстройкой над топологической марковской цепью. Однако, для диффеоморфизмов поверхностей с конечным числом гетероклинических орбит, инварианта, подобного графу Пейкшото и оснащенного информацией о гетероклинических пересечениях, оказалось достаточно для описания полного топологического инварианта (А.Н. Безденежных, В.З. Гринес15). Аналогично для потоков с конечным числом особых траекторий на 3-многообразиях в качестве полного топологического инварианта вновь использовались конструкции, подобные схеме Леонтович-Майера и фазовой диаграмме С. Смейла (С.Ю. Пилюгин16, Я.Л. Уманский17). Классификационные результаты на языке графов Пейкшото и диаграмм Смейла имеются и в размерности n > 3: для потоков на сфере Sn, в предположении, что эти потоки не имеют замкнутых траекторий и гетероклинических пересечений (С.Ю. Пилюгин); для градиентно-подобных диффеоморфизмов на Mn, все седловые точки которого имеют индекс Морса, равный единице (Гринес В.З., Гуревич E.Я., Медведев В.С.18).
Таким образом, для всех упомянутых выше систем Морса-Смейла основным моментом для выделения класса топологической сопряженности (эквивалентности) являлось указание асимптотического направления инвариантных многообразий неподвижных точек и периодических орбит. Благодаря работам Д. Пикстона19, Х. Бонатти и В.З. Гринеса20 стало ясно, что этой информации недостаточно для классифиВ работе УОшемков А.А., Шарко В.В. О классификации потоков МорсаЦСмейла на двумерных многообразиях // Матем. Сборник. 1998. Т.189. No. 8. 93Ц140. Ф была замечена неточность инварианта Пейкшото, связанная с тем, что изоморфизм графов не различает неэквивалентного расслоения на траектории областей ограниченных двумя периодическими орбитами.
Афpаймович В. С., Шильников Л. П. Об особых множествах систем Моpса-Смейла // Труды ММО. 1973. T. 28. 181Ц214.
Безденежных А.Н., Гринес В.З. Динамические свойства и топологическая классификация градиентноподобных диффеоморфизмов на двумерных многообразиях // Методы качественной теории дифференц. уравнений. Межвуз. темат. сб. научн. тр. под ред. Е.А. Лентович-Андроновой.
Горький. Часть 1. 1985. 22Ц38; Часть 2. 1987. 24Ц32.
Гринес В.З. Топологическая классификация диффеоморфизмов Моpса-Смейла с конечным множеством гетероклинических тpаектоpий на поверхностях // Матем. заметки. 1993. Т. 54. вып. 3.
3Ц17.
Пилюгин С.Ю. Фазовые диаграммы, определяющие системы Морса-Смейла без периодических траекторий на сферах// Дифференциальные уравнения. 1978. Т. 14. № 2. 245-254.
Уманский Я.Л. Необходимые и достаточные условия топологической эквивалентности трехмерных динамических систем Морса-Смейла с конечным числом особых траекторий // Мат. сб.
1990. Т. 181. № 2. 212Ц239.
Гринес В.З., Гуревич Е.Я. О диффеоморфизмах Морса-Смейла на многообразиях размерности большей трех // Доклады академии наук. 2007. Т. 416. No 1. 15Ц17.
Гринес В.З., Гуревич E.Я., Медведев В.С. Граф Пейкшото диффеоморфизмов МорсаСмейла на многообразиях размерности большей трех // Труды математического института им.
В.А. Стеклова. 2008. Т. 261. 61Ц86.
Pixton D. Wild unstable manifolds // Topology. 1977. V. 16. № 2. 167Ц172.
Bonatti Ch., Grines V. Knots as topological invariant for gradient-like diffeomorphisms of the кации каскадов Морса-Смейла на 3-многообразиях. Причиной столь неожиданного эффекта оказалась возможность УдикогоФ поведения сепаратрис седловых точек. А именно, как выяснилось, замыкание сепаратрисы может отличаться от самой сепаратрисы всего одной точкой, но не являться при этом даже топологическим подмногообразием. Впервые диффеоморфизм с дикими сепаратрисами был построен Д. Пикстоном в 1977 году. Он использовал кривую Артина-Фокса для реализации инвариантных многообразий седловой неподвижной точки. Как показали Х. Бонатти и В.З. Гринес, в классе диффеоморфизмов Морса-Смейла трехмерной сферы с неблуждающим множеством, состоящим из четырех неподвижных точек: седла, одного источника и двух стоков, существует счетное множество топологически несопряженных. При этом полным топологическим инвариантом является тип вложения сепаратрис седловой неподвижной точки.
Эффективным инструментом, позволяющим различать тип вложения сепаратрисы является переход к пространству орбит части блуждающего множества, содержащего эту сепаратрису. При этом структура пространства блуждающих орбит является необходимой информацией в топологическом инварианте наряду с информацией об асимптотическом направлении инвариантных многообразий седловых периодических точек. Этой идеей связан цикл работ по топологической классификации диффеоморфизмов Морса-Смейла на 3-многообразиях российских и французских математиков Х. Бонатти, В.З. Гринеса, В.С. Медведева, Е. Пеку, О.В. Починки. В упомянутой серии работ была решена задача топологической классификации диффеоморфизмов Морса-Смейла на 3-многообразиях, не имеющих либо гетероклинических точек, либо гетероклинических орбит. Основным результатом настоящей диссертации является полная топологическая классификация произвольных сохраняющих ориентацию диффеоморфизмов Морса-Смейла на замкнутых ориентируемых 3-многообразиях.
Дикое вложение сепаратрис седловых точек создает препятствие к включению диффеоморфизма Морса-Смейла f MS(Mn) в поток, то есть к существованию топологического потока Xt на Mn такого, что f является сдвигом на единицу времени вдоль траекторий потока Xt. Из работ Ж. Палиса и С. Смейла, в которых доказана структурная устойчивость диффеоморфизмов Морса-Смейла, следует, что для любого многообразия Mn существует открытое в Diff1(Mn) множество диффеоморфизмов Морса-Смейла, включающихся в топологический поток. В работе Ж. Палиса также найдены необходимые условия включения диффеоморфизма f Морса-Смейла в топологических поток. Там же показано, что при n = 2 эти условия являются достаточными и поставлена задача обобщения этого результата на случай большей размерности. В настоящей диссертации разработана методика построения каскадов Морса-Смейла на 3-многообразиях, удовлетворяющих всем условиям Палиса, но не включающихся ни в какой топологический поток.
Эффект дикого заузливания сепаратрис был использован Д. Пикстоном в качестве контраргумента к утверждению о существовании энергетической функции Морса у любого каскада Морса-Смейла. Энергетическая функция динамической системы это гладкая функция Ляпунова (функция, убывающая вдоль траекторий системы вне цепно рекуррентного множества и постоянная на цепных компонентах), не имеющая критических точек, отличных от цепно рекуррентного множества. К. Конли21 в 1978 году доказал существование непрерывной функции Ляпунова у любой sphere S3 // Journal of Dynamical and Control Systems (Plenum Press, New York and London). 2000.
V. 6. № 4. 579Ц602.
C. Conley. Isolated Invariant Sets and Morse Index // CBMS Regional Conference Series in Math.
1978. V. 38.
динамической системы и этот результат получил название фундаментальной теоремы динамических систем. В основе теоремы К. Конли лежит теория глобальных аттракторов и репеллеров, последовательное выделение которых позволяет построить непрерывную функцию Ляпунова. В настоящей диссертации для произвольных каскадов Морса-Смейла на n-многообразиях (n 1) построена гладкая функция Ляпунова. Построенная функция является функцией Морса и ее регулярные линии уровня трансверсальны инвариантным многообразиям периодической точки в некоторой ее окрестности. Автором доказано, что такие функции, названные функциями Морса-Ляпунова, являются типичными среди гладких функций Ляпунова для диффеоморфизма Морса-Смейла f : Mn Mn.
Первые результаты по построению энергетической функции принадлежат С.
Смейлу22, который в 1961 году доказал существование энергетической функции Морса у градиентно-подобного потока (потока Морса-Смейла без замкнутых траекторий). К. Мейер23 в 1968 году обобщил этот результат и построил энергетическую функцию Морса-Ботта для потока Морса-Смейла. Работа К. Мейера индуцировала M. Шуба24 и Ф. Такенса25 на выдвижение гипотезы о том, что энергетической функцией Морса обладают любые диффеоморфизмы Морса-Смейла. Первый результат в этом направлении принадлежит Д. Пикстону, который в 1977 году построил энергетическую функцию Морса для диффеоморфизмов Морса-Смейла на поверхностях.
Там же он сконструировал, упоминавшийся выше как пример Пикстона, диффеоморфизм на 3-сфере, не обладающий энергетической функцией, и доказал, что такой эффект в этом примере связан с диким вложением сепаратрис седловых точек.
В настоящей диссертации найдены условия существования энергетической функции у любого диффеоморфизма Морса-Смейла f : M3 M3. Оказалось, что эти условия связаны с типом вложения одномерных аттракторов и репеллеров, состоящих из замыканий инвариантных многообразий седловых периодических точек.
Факт существования функции Ляпунова и отсутствия энергетической функции приводит к понятию функции Ляпунова с минимальным числом критических точек, которая в диссертации названа квази-энергетической. Выделен содержательный класс каскадов Морса-Смейла на 3-многообразиях, не обладающих энергетической функцией, для которых построена квази-энергетическая функция.
Цель работы. Работа направлена на решение актуальных проблем, связанных с глобальным исследованием важного класса структурно устойчивых дискретных динамических систем на 3-многообразиях с конечным неблуждаюшим множеством.
Приоритетной целью работы является получение полной системы топологических инвариантов, которые однозначно определяют класс топологической сопряженности и допускают реализацию, позволяющую моделировать системы с прогнозируемыми свойствами. Топологическая классификация неразрывно связана с исследованием глобальной динамики системы и вложения в объемлющее многообразие сепаратрис ее седловых периодических точек. Поэтому целью диссертации является также каноническое описание глобальной динамики произвольного каскада Морса-Смейла, нахождение критериев ручного вложения сепаратрис, а также выявление препятствий включению каскадов в поток. Одним из эффективных инструментов исследования глобальной динамики динамической системы является функция Ляпунова.
Smale S. On gradient dynamical systems // Ann. Math. 1961. 199Ц206.
K. R. Meyer. Energy functions for Morse-Smale systems // Amer. J. Math. 1968. V. 90. 1031Ц1040.
M. Shub. Morse-Smale diffeomorphism are unipotent on gomology // Dynamical Systems. 1973.
489Ц491. (M. Peixoto, ed.). Academic Press, New York.
F. Takens. Tolerance stability // Dynamical Systems. Warwick. 1974 (A. Manning, ed.). 293Ц304.
Springer, Berlin-Heidelberg-New York. 1975.
Целью диссертации является построение гладкой функции Ляпунова для каскадов Морса-Смейла, свойства которой тесно связаны с динамикой системы. А именно, нахождение необходимых и достаточных условий существования и построение энергетической функции, то есть функции Ляпунова, множество критических точек которой совпадает с неблуждающим множеством диффеоморфизма, а также построение квази-энергетической функции, то есть функций Ляпунова с минимальным числом критических точек.
Методы исследования. В диссертации разработаны новые методы исследования динамических систем Морса-Смейла, основанные на применении классических методов качественной теории, алгебраической топологии и дифференциальной геометрии. Они позволяют описать топологические инварианты, появляющиеся в результате представления динамики произвольного диффеоморфизма Морса-Смейла в виде аттрактор-репеллер и исследовать характеристическое пространство блуждающих орбит, вместе с вложенными в него проекциями двумерных сепаратрис седловых периодических точек, образующими нетривиальные геометрические объекты гетероклинические ламинации. Для решения проблемы реализации каскадов МорсаСмейла эффективно используется, разработанный в диссертации метод перестройки замкнутых 3-многообразий вдоль существенно вложенных подмногообразий. При построении гладких функций Ляпунова существенно применяется теория Морса и методы сферических перестроек.
Научная новизна. Диссертация посвящена развитию важного направления в теоpии динамических систем на многообразиях нахождению и исследованию топологических инвариантов, определяющих глобальное поведение тpаектоpий каскадов на гладких замкнутых оpиентиpуемых 3-многообразиях. Все полученные в диссертации результаты являются новыми и коротко могут быть сформулированы следующим образом:
1. Введены и изучены новые топологические инварианты диффеоморфизмов, принадлежащих классу MS(M3) сохраняющих ориентацию диффеоморфизмов Морса-Смейла, заданных на замкнутых ориентируемых 3-многообразиях M3. Построение инвариантов основано на представлении глобальной динамики диффеоморфизма f MS(M3) в виде Уисточник - стокФ, где под источником и стоком понимаются дуальные репеллер и аттрактор. Предъявлены все возможные такие представления и связанные с ними пространства орбит (характеристические пространства), принадлежащих дополнению к аттрактору и репеллеру, вместе с вложенными в них образами сепаратрис седловых периодических точек в силу естественной проекции.
2. Для диффеоморфизмов класса MS(M3) получены критерии ручного вложения сепаратрис седловых точек в окрестности узловой точки. Введена операция перестройки характеристических пространств вдоль тора и бутылки Клейна, с помощью которой изучается топология трехмерных характеристических пространств, в частности доказано, что каждая компонента связности такого пространства является простым многообразием, фундаментальная группа которого допускает эпиморфизм в группу Z. Исследованы препятствия включению таких диффеоморфизмов в топологический поток. Разработана методика построения каскадов Морса-Смейла на 3-многообразиях, удовлетворяющих необходимым условиям Палиса включения в топологический поток, но не включающихся ни в какой топологический поток.
3. Для каскада f MS(M3) доказано существование согласованной системы окрестностей, являющейся одним из основных технических инструментов топологической классификации. Построение такой системы использует структуру изученных в диссертации характеристических пространств. Свойства построенной в диссертации системы принципиально отличаются в окрестности гетероклинических кривых от свойств трубчатых семейств Ж. Палиса и С. Смейла, используемых ими при доказательстве структурной устойчивости диффеоморфизмов Морса-Смейла.
4. Найдены необходимые и достаточные условия топологической сопряженности каскадов класса MS(M3). А именно, введено понятие схемы Sf диффеоморфизма f MS(M3), которая содержит информацию о периодических данных каскада, топологии вложения и пересечения в фазовом пространстве двумерных инвариантных многообразий седловых периодических точек. Для этого использовано характеристическое пространство, соответствующее одномерному аттрактору-репеллеру и введенное в диссертации понятие гетероклинической ламинации, являющейся компактным объединением попарно непересекающихся торов и бутылок Клейна с конечным, пустым или счетным множеством выколотых точек. Доказано, что диффеоморфизмы f, f MS(M3) топологически сопряжены тогда и только тогда, когда их схемы Sf, Sf эквивалентны.
5. Решена проблема реализации. На основе свойств схемы Sf выделено множество S абстрактных схем, содержащее схемы всех диффеоморфизмов из MS(M3).
По каждой абстрактной схеме S S построен диффеоморфизм fS MS(M3), схема которого эквивалентна данной. Решение этой проблемы позволяет моделировать структурно устойчивые динамические системы с прогнозируемыми свойствами.
6. Для произвольного диффеоморфизма из класса MS(Mn) построена гладкая функция Ляпунова, являющаяся функцией Морса, что явлется существенным усилением фундаментальной теоремы динамических систем для каскадов Морса-Смейла.
7. Доказано, что необходимые и достаточные условия существования энергетической функции (функции Ляпунова, не имеющей критических точек, отличных от периодических) у диффеоморфизма f MS(M3) связаны с типом вложения одномерных аттракторов и репеллеров. Получен критерий существования динамически упорядоченной энергетической функции для диффеоморфизмов класса MS(S3), не имеющих гетероклинических кривых. Выделен содержательный класс каскадов Морса-Смейла на 3-многообразиях, не обладающих энергетической функцией, для которых построена квази-энергетическая функция (функция Ляпунова с минимальным числом критических точек).
Теоретическая и практическая значимость. Работа носит теоретический характер. Полученные в ней результаты и разработанные методы могут быть применены в теории гладких динамических систем при исследовании конкретных трехмерных неавтономных периодических по времени систем дифференциальных уравнений, а также четырехмерных потоков, с помощью изучения отображения последования на секущей к траекториям потока. В частности, эти результаты могут найти применение в исследованиях, проводимых в Математическом Институте им. В,А. Стеклова РАН, Петербургском отделении Математического Института РАН, Московском Государственном Университете им М.В. Ломоносова, Нижегородском Государственном Университете им. Н.И. Лобачевского, НИИ прикладной математики и кибернетики ННГУ, других высших учебных заведениях и научных центрах.
Апробация работы. По теме диссертации были сделаны следующие доклады на международных конференциях:
Х на международных конференциях по дифференциальным уравнениям и динамическим системам (Суздаль 2000, 2002, 2004, 2008, 2010);
Х на международной конференции, посвященной столетию А. А. Андронова (Нижний Новгород 2001);
Х на международных конференциях УДифференциальные уравнения и их приложенияФ (Саpанск 2002 - 2010);
Х на международной конференции, посвященной столетию А. Н. Колмогорова (Москва 2003);
Х на объединенной международной научной конференции УНовая геометрия природыФ (Казань 2003);
Х на международной конференции УДинамика, бифуркация и хаосФ (Н. Новгород 2005);
Х на международной конференции УТихонов-100Ф (Москва 2006);
Х на международной конференции УDynamics, Topology and ComputationsФ (Bedlewo (Poland) 2006);
Х на международной конференции, посвященной И.Г. Петровскому (Москва 2006, 2007, 2011);
Х на интернациональном конгрессе УNonlinear Dynamical Analysis-2007Ф (СанктПитербург 2007);
Х на международной конференции УLaminations and Group Actions in DynamicsФ (Москва 2007);
Х на международной конференции УDifferential Equations and TopologyФ, посвященной Л.С. Понтрягину (Москва 2009).
По теме диссертации были также сделаны следующие доклады:
Х на семинарах кафедры высшей математики Нижегородской Сельскохозяйственной академии (2002 - 2011 руководитель проф. В. З. Гринес);
Х на научном семинаре отдела дифференциальных уравнений МИАН (2003, 2008, 2011, руководитель акад. Д. В. Аносов и проф. Ю. С. Ильяшенко);
Х на научном семинаре МГУ по теории динамических систем (2003, руководители акад. Д. В. Аносов и проф. А. М. Степин);
Х на научном семинаpе отдела дифференциальных уравнений НИИ прикладной математики и кибернетики при Нижегородском государственном университете (2003, 2008, руководитель проф. Л. П. Шильников);
Х на научном семинаре МГУ по динамическим системам (2004, руководитель проф. Ю. С. Ильяшенко);
Х на научном семинаре кафедры дифференциальных уравнений механикоматематического факультета ННГУ (2009 - 2011, pуководители проф. Л. М.
ерман и проф. А. Д. Морозов);
Х на научном семинаре кафедры теории функций механико-математического факультета ННГУ (2008 - 2011, руководитель проф. М. О. Сумин).
Структура и объем диссертации. Основные главы диссертации предваряются введением, общей характеристикой работы и заканчиваются списком литературы. Содержание диссертации изложено в четырех главах. Первая глава диссертации посвящена детальному изучению свойств диффеоморфизмов из класса MS(Mn), состоящего из сохраняющих ориентацию диффеоморфизмов Морса-Смейла f, заданных на замкнутых ориентируемых n-многообразиях Mn, n 1. Изучается вложение и асимптотическое поведение инвариантных многообразий периодических точек и структура их пространств орбит. Описывается общая концепция изучения динамики диффеоморфизмов Морса-Смейла, которая во многих случаях позволяет решить проблему топологической классификации и реализации диффеоморфизмов МорсаСмейла. Во второй главе диссертации сформулированы и доказаны критерии ручного вложения как одномерных так и двумерных сепаратрис седловых точек диффеоморфизма f MS(M3) в бассейн стока (источника). Введено понятие перестройки трехмерных характеристических пространств вдоль гладко вложенных в нее торов и бутылок Клейна, позволяющее изучать топологию трехмерных характеристических пространств. Разработана методика построения каскадов Морса-Смейла на 3многообразиях, удовлетворяющих всем условиям Палиса, но не включающихся ни в какой топологический поток. В третьей главе приводится полная топологическая классификация (включая реализацию) каскадов Морса-Смейла на 3-многообразиях.
Значительная часть третьей главы посвящена построению согласованной системы окрестностей, являющейся существенным техническим моментом при построении сопрягающего гомеоморфизма и реализации. В четвертой главе для диффеоморфизмов Морса-Смейла на 3-многообразиях вводится понятие функции Ляпунова, энергетической и квази-энергетической функции. Устанавливается факт существования функции Морса-Ляпунова для любого диффеоморфизма f MS(Mn) и типичность в пространстве функций Ляпунова для f. Доказываются необходимые и достаточные условия существования динамически упорядоченной энергетической функции для диффеоморфизмов класса MS(M3). Для содержательного класса каскадов Морса-Смейла на 3-многообразиях, не обладающих энергетической функцией, строится квази-энергетическая функция.
Объем диссертации 235 страниц, количество рисунков 43, наименований литературы 94. Основные утверждения диссертации составляют теоремы 1.3, 2.2, 2.3, 3.1, 3.4, 3.5, 4.1, 4.4 и 4.7.
Публикации. Всего по теме диссеpтации автоpом опубликовано 18 pабот, из них 11 в изданиях, рекомендованных ВАК (см. список публикаций ниже). Все основные pезультаты диссеpтации являются новыми и пpинадлежат автоpу. В работах, выполненных с В.З. Гринесом и Ф. Лауденбахом, диссертанту принадлежат формулировки и доказательства результатов, включенных в диссертацию, В.З. Гринес являлся научным консультантом, Ф. Лауденбах осуществлял консультации по топологическим вопросам.
Финансовая поддержка. Диссертация выполнена при финансовой поддержке грантов РФФИ 05-01-00501-а, 08-01-00547-а, 08-01-064-д, 11-01-12056-офи-м, гранта 9686.2006.1 Президента РФ ведущим научным школам и гранта правительства Российской Федерации 11.G34.31.0039.
Краткое содержание и основные результаты Определение 1.1. Диффеоморфизм f : Mn Mn, заданный на гладком замкнутом (компактном без края) связном n-многообразии (n 1) Mn называется диффеоморфизмом Морса-Смейла, если 1) неблуждающее множество f конечно и гиперболично;
s u 2) многообразия Wp, Wq пересекаются трансверсально для любых периодических точек p, q.
В настоящей диссертации рассматривается класс MS(Mn) сохраняющих ориентацию диффеоморфизмов Морса-Смейла f : Mn Mn, заданных на ориентируемых многообразиях Mn. В первой главе приводятся с доказательством необходимые для топологической классификации свойства диффеоморфизмов Морса-Смейла и описываются конструкции, которые будут использоваться для введения топологических инвариантов.
Пусть f MS(Mn). Согласно определению 1.1, неблуждающее множество f диффеоморфизма f состоит из конечного числа периодических точек (f = P erf).
Гиперболическая структура множества f приводит к существованию у каждой пеs риодической точки p f периода mp инвариантных многообразий: устойчивого Wp u и неустойчивого Wp, определяемых в топологических терминах следующим образом:
s p Wp = {x Mn : lim d(fnm (x), p) = 0}, n+ u p Wp = {x Mn : lim d(f-nm (x), p) = 0}, n+ s u где d метрика на Mn. При этом dim Wp = n - qp (dim Wp = qp), где qp число f mp отрицательных собственных значений матрицы Якоби |p (индекс Морса). Даx u s лее для любого подмножества P f будем обозначать через WP (WP ) объединение неустойчивых (устойчивых) многообразий всех точек из множества P. Компонента s u связности s (u) множества Wp \ p (dim Wp \ p) называется сепаратрисой точки p.
p p p u Число p, равное +1, если отображение fm |W сохраняет ориентацию и равное -1, p p u если отображение fm |W меняет ориентацию, называется типом ориентации точки p p. Тройка чисел (mp, qp, p) = (mO, qO, O ) называется периодическими данными p p p точки p (орбиты Op).
Точка p называется седлом, если 0 < qp < n и называется узлом в противном случае, при этом p называется стоком (источником), если qp = 0 (qp = n). Поскольку диффеоморфизм f сохраняет ориентацию, то для узловых точек тип ориентации всегда равен +1, тогда как для седловых точек допустимы оба типа ориентации.
Для q {0,..., n} обозначим через q множество периодических точек с индексом Морса q и через kf число периодических орбит диффеоморфизма f MS(Mn).
Динамические свойства и топологический тип диффеоморфизмов Морса Смейла во многом определяются свойствами вложения и взаимного расположения инвариантных многообразий периодических точек. Особую роль в этих вопросах играет исследование асимптотических свойств инвариантных многообразий седловых периодических точек. Согласно С. Смейлу имеет место следующее утверждение.
Утверждение 1.13. Пусть f MS(Mn). Тогда u (1) Mn = Wp ;
pf u (2) Wp является гладким подмногообразием многообразия Mn, диффеоморфным u Rdim Wp для любой периодической точки p f;
u (3) cl(u) \ (u p) = Wr для любой неустойчивой (устойчивой) сепаp p s rf :uWr = p ратрисы u (s) периодической точки p f.
p p u Согласно пункту (2) утверждения 1.13, Wp является гладким qpподмногообразием многообразия Mn для любой периодической точки p дифu u u феоморфизма f MS(Mn). Тогда отображение f|W : WO WO является p p Op диффеоморфизмом. Более того, класс топологической сопряженности диффеоморp u физма fm |W полностью определяется индексом Морса qp и типом ориентации p p точки p. Именно, согласно теореме о локальной топологической классификации p гиперболических неподвижных точек диффеоморфизма отображение fm локально сопряжено в точке p линейному диффеоморфизму aq,p : Rn Rn, заданному p xqp+1 xqp+2 xn формулой aq,p(x1,..., xn) = (p 2x1, 2x2,..., 2xq, p ,,..., ).
p p 2 2 В дальнейшем будем называть отображение aq, : Rn Rn каноническим диффеоморфизмом. Кроме того, будем обозначать через au, as ограничения канонического q, q, диффеоморфизма на Ox1... xq, Oxq+1... xn и называть диффеоморфизмы au, as q, q, каноническим растяжением, каноническим сжатием, соответственно.
Предложение 1.1. Пусть f MS(Mn). Тогда для любой периодической точки u u p u p f диффеоморфизм fm |W : Wp Wp топологически сопряжен с каноничеp u u p p ским растяжением au : Rq Rq посредством гомеоморфизма u : Wp WO, qp,p p который является диффеоморфизмом всюду, кроме точки p.
В случае, когда периодическая точка диффеоморфизма f MS(Mn) является седловой, информативным становится не только вложение в оъемлющее пространство ее инвариантных многообразий, но и вложение f-инвариантной окрестности ее орбиты.
t Для q {1,..., n - 1}, t (0, 1] положим Nq = {(x1,..., xn) Rn : (x2 +... + 1 t x2)(x2 +... + x2) < t} и Nq = Nq. Заметим, что множество Nq является инвариq q+1 n антным относительно канонического диффеоморфизма aq,, имеющего единственную неподвижную седловую точку в начале координат O с неустойчивым многообразием u s WO = Ox1... xq и устойчивым многообразием WO = Oxq+1... xn.
Определение 1.2. Пусть f MS(Mn). Окрестность N седловой точки f назовем линеаризующей, если существует гомеоморфизм : N Nq, сопрягающий диффеоморфизм fm |N c каноническим диффеоморфизмом aq,|N.
q m- Окрестность NO = fk(N), оснащенную отображением O, составлен k=ным из гомеоморфизмов f-k : fk(N) Nn,q, k = 0,..., m - 1, будем называть линеаризующей окрестностью орбиты O.
Предложение 1.2. Любая седловая точка (орбита) диффеоморфизма f MS(Mn) обладает линеаризующей окрестностью.
Согласно пункту (1) утверждения 1.13, инвариантные многообразия периодических точек диффеоморфизма f MS(Mn) являются подмногообразиями многообразия Mn. Тем не менее, замыкание инвариантного многообразия седловой точки может иметь сложную топологическую структуру. Это явление может иметь как динамическую, так и чисто топологичекую природу. Первый случай соответствует ситуации, когда сепаратриса седловой точки участвует в гетероклинических пересечениях.
Определение 1.3. Если 1, 2 различные периодические седловые точки дифs u s u феоморфизма f MS(Mn), для которых W W = , то пересечение W W 1 2 1 называется гетероклиническим. При этом:
s u s u Х в случае dim(W W ) > 0, компонента связности пересечения W W 1 2 1 s u называется гетероклиническим многообразием, а в случае dim(W W ) = 1, 1 гетероклинической кривой;
s u s u Х в случае dim(W W ) = 0, пересечение W W является счетным мно1 2 1 жеством и каждая точка этого множества называется гетероклинической точкой, а орбита гетероклинической точки называется гетероклинической орбитой.
Определение 1.4. Диффеоморфизм f MS(Mn) называется градиентноs u подобным, если из условия W W = для различных точек 1, 2 f следует, 1 u u что dim W < dim W.
1 Геометрическая интерпретацию последнего определения состоит в том, что диффеоморфизм f MS(Mn) является градиентно-подобным тогда и только тогда, когда он не имеет гетероклинических точек.
Согласно пункту (3) утверждения 1.13, замыкание сепаратрисы седловой точки, участвующей в гетероклиническом пересечении, не имеет структуры топологического многообразия. Напротив, замыкание сепаратрисы седловой точки, не имеющей гетероклинических пересечений, является топологически вложенным многообразием. Именно, имеет место следующее утверждение.
Предложение 1.4. Пусть f MS(Mn) и седловая точка f такая, что неустойчивая сепаратриса u не имеет гетероклинических пересечений. Тогда cl(u) \ (u ) = {}, где стоковая периодическая точка. При этом, если q = 1, то cl(u) есть топологически вложенная дуга в Mn, если q 2, то cl(u) есть топологически вложенная в Mn сфера Sq.
По пункту (2) утверждения 1.13, u гладкое подмногообразие многообразия Mn. Однако, многообразие cl(u) может оказаться диким в точке .
Определение 1.5. Cепаратрису u седловой точки , не участвующую в гете роклинических пересечениях, будем называть ручной или ручно вложенной в Mn, если замыкание cl(u) является подмногообразием многообразия Mn, в противном случае будем называть сепаратрису u дикой или дико вложенной в Mn.
Определение 1.6. Диффеоморфизм f MS(Mn) называется диффеоморфизмом Уисточник-стокФ или Усеверный полюс-южный полюсФ, если его неблуждающее множество состоит из одного стока и одного источника.
Предложение 1.9. Если диффеоморфизм f MS(Mn) не имеет седловых точек, то 1) f диффеоморфизмом Уисточник-стокФ;
2) пространство блуждающих орбит диффеоморфизма f гомеоморфно Sn-1 S1;
3) все диффеоморфизмы Уисточник-стокФ топологически сопряжены между собой при фиксированном n и многообразие Mn гомеоморфно n-мерной сфере Sn.
Как следует из предложения 1.9, диффеоморфизмы Уисточник-стокФ имеют тривиальную динамику: все точки, отличные от неподвижных точек, являются блуждающими и движутся под действием диффеоморфизма от источника к стоку. Топологическая сопряженность всех таких диффеоморфизмов следует из гомеоморфности их пространств блуждающих орбит. При изучении более сложных диффеоморфизмов Морса-Смейла удается представить динамику диффеоморфизма в аналогичном виде, но под УисточникомФ и УстокомФ уже понимаются, по возможности просто устроенные (с топологической точки зрения), инвариантные замкнутые множества, одно из которых A является притягивающим, а другое R отталкивающим множеством.
Если пространство орбит V = V/f, где V = Mn \ (A R), поддается описанию, то это создает предпосылки для решения задачи топологической классификации в рамках данного класса диффеоморфизмов.
Поскольку диффеоморфизм f MS(Mn) является структурно устойчивым и его базисные множества совпадают с периодическими орбитами, то на множестве периодических орбит существует отношение порядка, согласованное с отношением частичного порядка :
s u Op Or WO WO = .
p r Определение 1.7. Нумерацию периодических орбит O1,..., Ok диффеоморфизf ма f MS(Mn) назовем динамической, если она удовлетоворяет следующим условиям:
1) если qO < qO, то i < j;
i j 2) если qO < qO, то Oi Oj.
i j Предложение 1.10. Для любого диффеоморфизма f MS(Mn) существует динамическая нумерация периодических орбит.
Для каждой периодической орбиты Oi положим mi = mO, qi = qO, i = O, i i i s u Wis = WO и Wiu = WO.
i i Для i = 1,..., kf - 1 положим kf i Ai = Wju, Ri = Wjs, Vi = Mn \ (Ai Ri).
j=1 j=i+ Положим Vi = Vi/f и обозначим через p : Vi Vi естественную проекцию. Будем i называть многообразие Vi характеристическим многообразием и его пространство орбит Vi характеристическим пространством. Заметим, что характеристическое i пространство Vi не является связным в общем случае. Обозначим через Vi1,..., Vir компоненты связности пространства Vi.
Теорема 1.3. Пусть f MS(Mn). Тогда 1) множество Ai (Ri) является аттрактором (репеллером) диффеоморфизма f kf i и имеет захватывающую окрестность Mi Wjs (Mi Wju) такую, что j=1 j=i+Mi \ int f(Mi) (Mi \ int f-1(Mi)) является фундаментальной областью ограничения диффеоморфизма f на Vi;
2) проекция p : Vi Vi является накрытием, индуцирующим структуру гладi кого замкнутого n-многообразия на пространстве орбит Vi и отображение i, со стоящее из нетривиальных гомоморфизмов : 1(Vij) Z, j = 1,..., ri;
Vij 3) если dim Ai (n - 2) (dim Ri (n - 2)), то репеллер Ri (аттрактор Ai) является связным и, если dim (Ai Ri) (n - 2), то многообразия Vi, Vi связны и отображение : 1(Vi) Z является эпиморфизмом.
i Тем самым, для выбранной нумерации периодических орбит диффеоморфизма f MS(Mn) мы предъявляем kf - 1 различных представлений диффеоморфизма f в виде Уисточник-стокФ.
Пpинципиальное отличие диффеоморфизмов Морса-Смейла, заданных на трехмерных многообразиях по сpавнению с аналогичными потоками или диффеоморфизмами на двумерных многообразиях обусловлено возможностью дикого вложения сепаратрис седловых точек. Во второй главе сформулированы и доказаны критерии ручного вложения как одномерных так и двумерных сепаратрис. Оказывается, что тип вложения одномерной (двумерной) сепаратрисы полностью определяется классом эквивалентности соответствующего ей узла (тора) в многообразии S2 S1. Кроме того, устанавливается, что необходимым условием включения градиентно-подобного диффеоморфизма в топологический поток на 3-многообразии является ручная вложенность пучков одномерных сепаратрис. Приводятся примеры диких пучков и конструкция градиентно-подобного каскада Морса-Смейла на сфере S3 по любому пучку одномерных дуг, инвариантному относительно канонического сжатия.
Пусть V замкнутое гладкое ориентируемое 3-многообразие, фундаментальная группа которого допускает нетривиальный гомоморфизм : 1(V ) Z. Далее под V обозначением (V, ) будем понимать многообразие V, оснащенное гомоморфизмом V .
V Определение 2.1. Многообразия (V, ) и (V, ) назовем эквивалентными, V V если существует гомеоморфизм : V V такой, что = .
V V Определение 2.2. Гладкие подмногообразия (V, ) и (V, ) назовем V V эквивалентными, если существует гомеоморфизм : V V, осуществляющий эквивалентность многообразий (V, ) и (V, ) и переводящий в .
V V Определение 2.3. Гладкое подмногообразие (V, ) назовем V V существенным, если (i (1())) = 0, где i : V отображение включения.
V Проиллюстрируем данные определения на примере многообразия S2 S1.
Представим многообразие S2 S1 как пространство орбит (R3 \ O)/as. Есте3,+ственная проекция ps : R3 \ O S2 S1 является накрытием и индуцирует эпиS2S морфизм s : 1(S2 S1) Z. Положим 0 = ps (Ox+), 0 = ps (Ox1x2)), где S2S1 S2S1 S2S Ox+. Тогда 0 (0) s -существенный узел (тор) в многообразии (S2 S1, s ).
S2S1 S2S Определение 2.4. Узел (тор) () в многообразии (S2 S1, s ) назовем три S2S виальным, если он эквивалентен узлу (тору) 0 (0).
Предложение 2.3. Узел (тор ) в многообразии (S2 S1, s ) являет S2Sся тривиальным, если и только если существует его трубчатая окрестность N() (N()) в многообразии S2 S1 такая, что многообразие (S2 S1) \ N() ((S2 S1) \ N()) гомеоморфно заполненному тору (паре заполненных торов).
Заметим, что понятие тривиального узла (тора) и предложение 2.3 очевидным образом переносятся на любое многообразие (V, ), эквивалентное многообразию V (S2 S1, s ).
S2SПусть f MS(M3) и седловая точка f такая, что неустойчивая сепаратриса u не участвует в гетероклинических пересечениях. Тогда, по предложению 1.4, cl(u) \ (u ) = {}, где стоковая точка и cl(u) является топологически вложенной дугой (сферой) для q = 1 (q = 2). Однако, многообразие cl(u) может оказаться диким в точке , то есть замыкание cl(u) не является подмногообразием многообразия M3.
Теорема 2.1. Пусть f MS(M3), стоковая точка и u одномерная (двумерная) сепаратриса седла такая, что cl(u) = u . Сепаратриса u является ручно вложенной в M3 тогда и только тогда, когда существует гладкий s 3-шар D W, содержащий и такой, что сепаратриса u пересекает D в единственной точке (по единственной окружности).
s s s s f Положим = (W \ )/fm. Обозначим через p : W \ естественную s s проекцию, которая является накрытием и индуцирует эпиморфизм : 1() s s Z. Положим u = p (u). Тогда многообразие (, ) эквивалентно многообразию s s (S2 S1, s ) и пространство орбит u является -существенным узлом, если s S2Sq = 1 или тором, если q = 2.
Теорема 2.2. Пусть f MS(M3), стоковая точка и u одномерная (двумерная) сепаратриса седла такая, что cl(u) = u . Сепаратриса u яв ляется ручно вложенной в M3 тогда и только тогда, когда узел (тор) u является s тривиальным в .
Определение 2.5. Будем говорить, что диффеоморфизм f MS(Mn) включается в топологический поток, если существует топологический поток Xt на Mn такой, что f является сдвигом на единицу времени вдоль траекторий потока Xt.
Пусть f MS(M3) градиентно-подобный диффеоморфизм. Тогда замыкание cl любой одномерной неустойчивой сепаратрисы седловой точки диффеоморфизма f гомеоморфно отрезку, который состоит из этой сепаратрисы и двух точек: и некоторого стока . Пусть L объединение неустойчивых одномерных сепаратрис s седловых точек, которые содержат в своих замыканиях. Поскольку W гомеоморфно R3 и множество L является объединением простых дуг с единственной общей точкой , то, по аналогии с пучком дуг в R3, мы назовем L пучком одномерных неустойчивых сепаратрис. Существуют различные типы as -инвариантных пучков 3,+дуг в R3: ручные, дикие и умеренно дикие.
Определение 2.6. Пучок неустойчивых одномерных сепаратрис L назовем s эквивалентным пучку Fk из k дуг в R3, если существует гомеоморфизм h : W R3 такой, что h(L ) = Fk.
Определение 2.7. Пучок неустойчивых одномерных сепаратрис L назовем ручным, если он эквивалентен стандартному (состоящему из прямолинейных лучей с общей точкой O) пучку дуг в R3.
Аналогично определяeтся ручной пучок устойчивых одномерных сепаратрис.
емма 2.5. Пусть градиентно-подобный диффеоморфизм f MS(M3) включается в топологический поток. Тогда все пучки его одномерных сепаратрис являются ручными.
Обозначим через Gk(S3), k 1 множество градиентно-подобных диффеоморфизмов f на 3-сфере таких, что множество f состоит из неподвижных точек, при этом 0 состоит из (k + 1)-го стока 0,..., k, 1 состоит из k седел 1,..., k, 2 = и 3 состоит из одного источника .Теорема 2.3. Пусть Fk as -инвариантный пучок дуг в R3 гладких всюду, 3,+кроме общей точки O. Тогда существует диффеоморфизм f Gk(S3), для котоFk рого пучок L 0 эквивалентен пучку Fk.
Из леммы 2.5, теоремы 2.2 и определения ручного пучка дуг получаем следующий факт.
Утверждение 2.2. Если пучок Fk в теореме 2.3 не является ручным (эквивалентным стандартному), то диффеоморфизм f не включается в топологический Fk поток.
Если k = 0, то f состоит в точности из одного стока и одного источника, все диффеоморфизмы с таким неблуждающим множеством включаются в топологический поток.
В третьей главе приводится полная топологическая классификация (включая реализацию) каскадов Морса-Смейла на 3-многообразиях с помощью топологического инварианта, названного схемой диффеоморфизма. В первом разделе для любого диффеоморфизма f MS(M3) доказывается существование согласованной системы окрестностей орбит седловых периодических точек диффеоморфизма МорсаСмейла, которое является ключевым техническим моментом при доказательстве классификационных результатов.
t Напомним, что для t (0, 1] мы положили N1 = {(x1, x2, x3) R3 : x2(x2 + x2) < 1 2 t t}, N2 = {(x1, x2, x3) R3 : (x2 + x2)x2 < t} и для q {1, 2} положили Nq = Nq.
1 2 u s Определим в окрестности N1 пару трансверсальных слоений F1, F1 следующим образом:
u F1 = {(x1, x2, x3) N1,2 : (x2, x3) = (c2, c3)}, (c2,c3)Ox2x s F1 = {(x1, x2, x3) N1,2 : x1 = c1}.
c1Oxu s Определим в окрестности N2 пару трансверсальных слоений F2, F2 следующим образом:
u F2 = {(x1, x2, x3) N1,2 : x3 = c3}, c3Ox s F2 = {(x1, x2, x3) N1,2 : (x1, x2) = (c1, c2)}.
(c1,c2)Ox1xt Заметим, что для q {1, 2}, множество Nq является инвариантным относительu s но канонического диффеоморфизма aq,, который переводит слои слоения Fq (Fq ) в слои этого же слоения. В силу предложения 1.2, любая седловая точка диффеоморфизма f MS(M3) обладает линеаризующей окрестностью N, оснащенной гомео морфизмом : N Nq, сопрягающим диффеоморфизм fm |N c каноническим u s диффеоморфизмом aq,|N. Слоения Fq, Fq индуцируют посредством гомеомор q u s физма -1, fm -инвариантные слоения F, F на линеаризующей окрестности N.
m- Линеаризующая окрестность NO = fk(N) орбиты O оснащена парой f k=m-1 m- u u s s инвариантных трансверсальных слоений FO = fk(F ), FO = fk(F) и k=0 k=отображением O, составленным из гомеоморфизмов f-k : fk(N) Nq, k = 0,..., m - 1.
Пусть O1,..., Ok динамическая нумерация периодических орбит диффеоморf физма f MS(M3) и седловые орбиты Ok +1,..., Ok оснащены линеаризующими 0 окрестностями NO,..., NO.
k0+1 ku s Х для любой седловой орбиты Oi положим Ni = NO, Fiu = FO, Fis = FO и i i i i = O ;
i t Х для любого t (0, 1) положим Nit = NO и Ni1 = Ni;
i u s Х для любой точки x Ni будем обозначать через Fi,x (Fi,x) единственный слой слоения Fiu (Fis), проходящий через точку x.
s u Для любого диффеоморфизма f MS(M3) множество H = W W либо 1 пусто, либо состоит из не более чем счетного множества гетероклинических кривых.
Если множество H не пусто, то существует его f-инвариантная окрестность N(H) M3, оснащенная f-инвариантным C1,1-слоением G, состоящим из двумерных дисков, трансверсальных H.
Определение 3.1. Пусть f MS(M3). Набор Nf линеаризующих окрестностей Nk +1,..., Nk седловых орбит диффеоморфизма f назовем согласованной cи0 стемой окрестностей, а слоения Fis, Fiu, G (i = k0 + 1,..., k2), согласованными, если выполняются следующие условия:
1) для любого i = k0 + 1,..., k2 слоения Fiu, Fis имеют класс гладкости C1,0;
2) если Wis Wiu = для i1 < i2, то Ni Ni = ;
1 1 3) если Wis Wiu = и qi = qi, то (Fis Ni ) Fis и (Fiu Ni ) Fiu для 1 2,x 1,x,x 2,x 1 2 2 1 1 x (Ni Ni );
1 4) если Wis Wiu = для i1 k1 < i2, то для любой точки x (Ni Nj N(H)) и 1 слоя Gx слоения G, проходящего через точку x, выполняются условия: Fis Gx =,x (Fis (Ni N(H)) и Fiu Gx = (Fiu (Ni N(H)).
,x 1,x,x 2 2 Теорема 3.1. Для любого диффеоморфизма f MS(M3) существует согласованная система окрестностей.
Во втором разделе доказывается, что класс эквивалентности схемы диффеоморфизма f MS(M3) является полным топологическим инвариантом.
Представим динамику произвольного диффеоморфизма Морса-Смейла f : M3 u M3 в виде Уисточник-стокФ следующим образом. Положим Af = 0 W, Rf = s 3 W и Vf = M3 \ (Af Rf). Тогда Af = Ak, Rf = Rk, Vf = Vk и из теоре1 1 мы 1.3 следует, что множество Af (Rf) является связным аттрактором (репеллером) диффеоморфизма f, множество Vf является связным характеристическим многооб разием. Кроме того, характеристическое пространство Vf = Vf/f является связным гладким замкнутым ориентируемым многообразием, на котором естественная про екция p : Vf Vf индуцирует эпиморфизм : 1(Vf) Z, ставящий в соответf f ствие гомотопическому классу [c] 1(Vf) замкнутой кривой c Vf целое число n такое, что поднятие кривой c на Vf соединяет точку x с точкой fn(x). В силу s предложения 3.1, многообразие Vf является простым. Положим s = p (W \ Af) f f u и u = p (W \ Rf). В силу предложения 3.2, множества s и u являются sf f f f ламинацией и u-ламинацией, соответственно, на многообразии (Vf, ). Из условия f трансверсальности пересечения инвариантных многообразий периодических точек диффеоморфизма Морса-Смейла следует, что ламинации s и u пересекаются f f трансверсально.
Определение 3.2. Набор Sf = (Vf, , s, u) назовем схемой диффеоморфизма f f f f MS(M3).
Определение 3.3. Схемы Sf и Sf диффеоморфизмов f, f MS(M3) назовем эквивалентными, если существует гомеоморфизм : Vf Vf со следующими свойствами:
1) = ;
f f 2) (s ) = s и (u) = u.
f f f f Теорема 3.2. Диффеоморфизмы Морса-Смейла f, f MS(M3) топологически сопряжены тогда и только тогда, когда их схемы эквивалентны.
В третьем разделе изучается топология трехмерных характеристических про странств Vi, i = 1,..., kf - 1, которая являются ключом к решению проблемы реализации. Заметим, что для i = 1,..., k0 многообразие Vi является объединением устойчивых многообразий стоков без стоков и, следовательно, каждая компонента связности многообразия Vi гомеоморфна S2 S1. Аналогично для i = k2,..., kf - каждая компонента связности многообразия Vi гомеоморфна S2 S1, поскольку многообразие Vi для таких i является объединением неустойчивых многообразий ис точников без источников. Для i = k0 + 1,..., k2 - 1 многообразие Vi имеет, вообще говоря, более сложную топологическую структуру, для понимания которой полезно следущее наблюдение: Vi = Vi-1 \ (Wiu \ Oi) (Wis \ Oi), то есть многообразие Vi получается из многообразия Vi-1 удалением из него множества Wiu \ Oi и добавлением к полученному многообразию множества Wis\Oi. Для того, чтобы описать соответству ющий переход от многообразия Vi-1 к многообразию Vi нам понадобится операция перестройки гладкого ориентируемого 3-многообразия V, фундаментальная группа которого допускает нетривиальный гомоморфизм : 1(V ) Z.
V Пусть +1 (V, ) -существенный тор и N(+1) V его трубчатая V V окрестность. Тогда многообразие N(+1)\+1 состоит из двух компонент связности, каждая из которых диффеоморфна многообразию int \ , где = D2 S1 и = ({O} S1) . Пусть меридиан заполненного тора и : (cl N(+1) \ +- +1) ( \ ) S0 диффеоморфизм, для которого ([ ( {1})]) = 0.
V + Определение 3.4. Будем говорить, что пространство V = (V \ +1) +1 + (int S0) получено перестройкой многообразия V вдоль тора +1.
Аналогичным образом вводится перестройка многообразия (V, ) вдоль V V существенной бутылки Клейна -1, основанная на том, что трубчатая окрестность N(-1) бутылки Клейна -1 без самой бутылки Клейна является связной и диффеоморфна многообразию int \ .
Дифференциальные структуры многообразий V \, {+1, -1} и индуциру ют посредством естественной проекции p : (V \)(int S0) V структуру гладкого ориентируемого 3-многообразия без края на пространстве V. Операция перестройки определена корректно, то есть не зависит (с точностью до диффеоморфизма) от выбора трубчатой окрестности N() поверхности и диффеоморфизма . Эпиморфизм индуцирует единственное отображение , состоящее из V V нетривиальных гомоморфизмов в группу Z на фундаментальной группе каждой компоненты связности многообразия и такое, что ([p (c)]) = ([c]) для любой V V V замкнутой кривой c (V \ ).
Положим (V, ) = (V, ) и будем называть множество = p ( V V S0) следом перестройки вдоль поверхности . Очевидно, что каждая компонента связности следа является -существенным узлом.
V Oперация перестройки вдоль -существенного тора или -существенной бутыл V V ки Клейна естественным образом обобщается на случай, когда многообразие V со1 r стоит из конечного числа компонент связности V,..., V и отображение состоит V 1 r из нетривиальных гомоморфизмов : 1(V ) Z,..., : 1(V ) Z, результат 1 r V V этой перестройки также обозначается через (V, ) = (V, ).
V V Предложение 3.1. Для любого диффеоморфизма f MS(M3) и номера i = k0 + 1,..., k1 многообразие (Vi-1, ) эквивалентно многообразию (Vi, ), а след s i-1 i i,i u перестройки эквивалентен многообразию i,i-1. Более того, каждая компо s i,i нента связности характеристического пространства Vi, i = 1,..., kf - 1 является простым многообразием.Утверждение о простоте каждой компоненты связности характеристического пространства Vi, i = 1,..., kf - 1 следует из работы УBonatti Ch., Paoluzzi L.// Topology. 2008. V. 47. P. 71Ц100Ф, где оно доказано методом, отличным от приведенного в настоящей диссертации.
Обобщим операцию перестройки следующим образом. Рассмотрим канонический диффеоморфизм a1, : R3 R3, заданный формулой a1,(x1, x2, x3) = ( 2x1, 1 s x2, x3) и каноническое сжатие as = a1,|W. Пространство орбит каноническо1, 2 2 O s s го сжатия 1, = (WO \ O)/as является тором при = +1 и бутылкой Клейна 1, при = -1. Множество N1 = {(x1, x2, x3) R3 : x2(x2 + x2) < 1} является a1,1 2 s u s s инвариантным, N1 = N1 \ WO и N1, = (N1 )/a1, является трубчатой окрестностью s s s поверхности 1,. Естественная проекция p : N1 N1, является накрытием, коs N1, s s u торое индуцирует эпиморфизм : 1(N1,) Z. Обозначим через F1,, F1, пару s N1, s трансверсальных слоений на N1,, слои которых являются проекциями относительно s u s p слоев слоений F1, F1, соответственно. Пусть X 1, не более, чем счетs N1, u ное множество точек и Z объединение всех слоев слоения F1,, проходящих через s s s s s s точки множества X. Положим 1,,X = 1, \ X, N1,,X = N1, \ Z, F1,,X = F1, \ Z u u и F1,,X = F1, \ Z.
Определение 3.5. Компактное множество s (V, ) назовем s V ламинацией, если оно состоит из конечного числа ns компонент линейной связs s ности 1,..., n, каждая из которых является гладким подмногообразием, при s i- s этом компонента 1 является замкнутым множеством и (cl is\is) cl js j=для i > 1. Более того, для каждого i = 1,..., ns существуют трубчатая окрестs s ность N(is) множества is, числа ms N, i {-1, +1}, множество Xis 1,s i i s и гомеоморфизм s : N(is) N1,,Xi со следующими свойствами:
s s i i s 1) s(is) = 1,,Xi и ([c]) = ms (s([c])) для любой замкнутой кривой s s s i i i V N i s 1,i c N(is);
s 2) для j < i и любого слоя D слоения F1,,Xi пересечение s(N(js) (s)-1(D)) s s j i i s либо пусто, либо является подмножеством слоя слоения F1,,Xj.
s s j Аналогичным образом определяется u-ламинация u (V, ) c помощью кано V нического диффеоморфизма a2, : R3 R3, заданный формулой a2,(x1, x2, x3) = u ( 2x1, 2x2, x3), канонического растяжения au = a2,|W, пространства ор2, 2 O u u бит канонического растяжения 2, = (WO \ O)/au и его трубчатой окрестности 2, u u u s N2, = (N2 )/a2,, где N2 = {(x1, x2, x3) R3 : (x2 + x2)x2 < 1} и N2 = N2 \ WO.
1 2 i s Предложение 3.2. Для i = k0 + 1,..., k1 множество s = j,i является i j=k0+ s-ламинацией на многообразии (Vi, i).
u Рассмотрим каноническое растяжение au = a1,|W. Пространство орбит канони1, O u u ческого растяжения 1, = (WO \ O)/au является парой узлов при = +1 и узлом 1, u u u при = -1. Множество N1, = (N1 )/a1, является трубчатой окрестностью 1,, u s u u где N1 = N1 \ WO. Естественная проекция p : N1 N1, является накрытием, u N1, которое индуцирует отображение , состоящее из нетривиальных гомоморфизмов u N1, в группу Z на фундаментальной группе каждой компоненты связности многообраu s s зия N1,). Обозначим через 1, слоение на N1,, слои которого являются проекциями s относительно p слоев слоения F1.
u N1, s s u u Определим диффеоморфизм 1, : N1, \ 1, N1, \ 1, формулой 1, = p (p |N \1,)-1.
s s u s N1, N1, 1, ns Пусть s = is s-ламинация на многообразии (V, ). Поскольку поверх V i=s ность 1 замкнута, то гомеоморфизм s можно считать диффеоморфизмом. Переs стройку многообразия (V, ) вдоль поверхности 1 посредством диффеоморфизма V = 1,s|N( )\1 назовем перестройкой вдоль первой поверхности s-ламинации.
s s s 1 s u Для i = 1,..., ns - 1 положим Wis = p (i+1 (1, Gs)), где Gs объединение s i i ns- s s слоев G слоения 1, таких, что p (s \ 1 ) p (G) = . Положим Ws = Wis.
s s 1 i= Множество Ws вновь является s-ламинацией на многообразии (V, ), которую s V мы будем называть производной от s-ламинации s.
Предложение 3.3. Для i = k0 + 2,..., k1 производная от s-ламинации s экi вивалентна ламинации s.
i-ns Определение 3.6. Пусть s = is s-ламинация на многообразии (V, ).
V i= Будем говорить, что многообразие V получено перестройкой многообразия V s вдоль s-ламинации s, если оно получено из V последовательным применением ns операций перестройки вдоль первых поверхностей производных ламинаций.
Обозначим через индуцированное этой операцией отображение, состоящее V s из нетривиальных гомоморфизмов в группу Z на каждой компоненте связности и положим (V, ) = (V, ). Аналогичным образом определяется перестройка s s V V s многообразия (V, ) вдоль u-ламинации u.
V Непосредственно из предложений 3.1 и 3.3 получаем следующий результат.
Теорема 3.3. Для i = k0 +1,..., k1 каждая компонента связности многообразия (Vi, i) диффеоморфна S2 S1.
s i Четвертый раздел посвящен решению проблемы реализации. Оно основывается на трех принципиальных взаимосвязанных фактах, касающихся схемы Sf и составляющих теорему 3.3 и предложения 3.1, 3.2. Оказывается, что выполнение этих трех необходимых свойств является достаточным условием, выделяющим множество S абстрактных схем, каждая из которых является схемой некоторого диффеоморфизма из MS(M3).
Определение 3.7. Набор S = (V, , s, u) называется абстрактной схемой, V если:
1) V простое многообразие, фундаментальная группа которого допускает эпи морфизм : 1(V ) Z;
V 2) s и u трансверсально пересекающиеся s-ламинация и u-ламинация, со ответственно, на многообразии (V, );
V 3) каждая компонента связности многообразия, полученного перестройкой мно гообразия V вдоль s-ламинации s (u-ламинации u) гомеоморфна S2 S1.
Теорема 3.5. Для любой абстрактной схемы S существует диффеоморфизм fS MS(M3), схема которого эквивалентна схеме S.
В четвертой главе для произвольных каскадов Морса-Смейла на n-многообразиях (n 1) построена гладкая функция Ляпунова. Более того, построенная функция является функцией Морса и ее регулярные линии уровня трансверсальны инвариантным многообразиям периодической точки в некоторой ее окрестности. Функция с такими свойствами, названа функцией Морса-Ляпунова. Доказано, что такие функции являются типичными среди гладких функций Ляпунова для диффеоморфизма Морса-Смейла f : Mn Mn. Далее вводится понятие динамически упорядоченной энергетической функции и исследуются условия ее существования для диффеоморфизма f MS(M3). Факт существования функции Ляпунова и отсутствия энергетической функции приводит к понятию функции Ляпунова с минимальным числом критических точек, которая в диссертации названа квази-энергетической. Выделен содержательный класс каскадов Морса-Смейла на 3-многообразиях, не обладающих энергетической функцией, для которых построена квази-энергетическая функция.
Поскольку неблуждающее множество диффеоморфизма f MS(Mn) конечно, то естественно искать его функцию Ляпунова в классе функций Морса, что приводит к следующему определению.
Определение 4.3. Функция Морса : Mn R называется функцией Ляпунова для f MS(Mn), если:
1) (f(x)) < (x) для любого x f;
2) (f(x)) = (x) для любого x f.
Предложение 4.1. Пусть : Mn R функция Ляпунова для диффеоморфизма f MS(Mn). Тогда 1) - гладкая функция Ляпунова для f-1;
2) если p периодическая точка диффеоморфизма f, то (x) < (p) для любого u s x Wp \ p и (x) > (p) для любого x Wp \ p;
3) если p периодическая точка диффеоморфизма f, то p критическая точка функции ;
u 4) индекс критической точки p равен dim Wp.
В силу предложения 4.1, периодические точки диффеоморфизма f являются критическими точками функции Ляпунова , индекс в точке p f равен размерности u неустойчивого многообразия Wp. При этом любая периодическая точка p является u s максимумом ограничения на Wp и минимумом ограничения на Wp.
Предложение 4.2. Если периодическая точка p является невырожденным максимумом (минимумом) ограничения функции Ляпунова для диффеоморфизма f MS(Mn) на неустойчивое (устойчивое) инвариантное многообразие точки p, то это многообразие трансверсально ко всем регулярным множествам уровня в некоторой окрестности точки p.
окальное свойство, сформулированное в предложении 4.2, полезно для построения (глобальной) функции Ляпунова.
Определение 4.4. Функция Ляпунова : Mn R для диффеоморфизма f MS(Mn) называется функцией Морса-Ляпунова, если каждая периодическая точка p является невырожденным максимумом (соотв. минимумом) ограничения на u s неустойчивое (соотв. устойчивое) многообразие Wp (соотв. Wp ).
Функция Морса-Ляпунова существует в окрестности любой периодической орбиты диффеоморфизма f MS(Mn). Справедлив и факт существования глобальной функции Морса-Ляпунова для любого диффеоморфизма f MS(Mn).
Теорема 4.1. Для любого диффеоморфизма Морса-Смейла f MS(Mn) существует функция Морса-Ляпунова.
Теорема 4.2. Среди гладких функций Ляпунова для диффеоморфизма f MS(Mn) функции Морса-Ляпунова образуют открытое всюду плотное, а, следовательно, массивное множество в C-топологии.
Согласно предложению 1.10 существует динамическая нумерация орбит диффеоморфизма f: O1,..., Ok, используя которую, мы дадим следующее определение.
f Определение 4.5. Пусть орбиты диффеоморфизма f MS(Mn) имеют динамическую нумерацию: O1,..., Ok. Функцию Морса-Ляпунова для диффеоморфизf ма f назовем динамически упорядоченной, если (Oi) = i для i {1,..., kf}.
Построения в теореме 4.1 можно провести таким образом, что результирующая функция будет динамически упорядоченной функцией Морса-Ляпунова для диффеоморфизма f MS(Mn).
Пусть f MS(M3). Из теоремы 1.3 следует, что для каждого i = 1,..., k1 множеi u ство Ai = WO является аттрактором, то есть обладает захватывающей окрестноj j=стью Mi, где Mi компактное множество такое, что f(Mi) int Mi (Mi f-сжимаема) и fk(Mi) = Ai. Обозначим через ci число компонент связности аттрактора Ai, чеkрез ri число седловых точек и через si число стоковых точек в Ai. Положим gi = ci + ri - si.
Определение 4.6. Захватывающая окрестность Mi аттрактора Ai называется ручечной, если:
1) Mi состоит из ci компонент связности, каждая из которых является ручечным телом;
s 2) для каждой седловой точки Oi пересечение W Mi состоит в точности из одного двумерного диска.
Сумму g родов компонент связности Mi назовем родом ручечной окрестноMi сти.
Заметим, что для каждого i = 1,..., k0 число gi равно нулю, аттрактор Ai является нульмерным (так как состоит из ci стоковых точек) и обладает ручечной окрестностью Mi рода gi = 0, состоящей из ci попарно непересекающихся трехмерных шаров.
Для каждого i = k0 + 1,..., k1 аттрактор Ai содержит одномерную компоненту связности, в силу чего (допуская некоторую вольность) мы будем далее называть его одномерным.
Предложение 4.3. Каждый одномерный аттрактор Ai диффеоморфизма f MS(M3) обладает ручечной окрестностью Mi рода g gi.
Mi Определене 4.7. Ручечную окрестность Mi одномерного аттрактора Ai назовем тесной, если g = gi. Одномерный аттрактор Ai, обладающий тесной окрестMi ностью Mi назовем тесно вложенным.
По определению репеллер для диффеоморфизма f есть аттрактор для f-1. Кроме того, динамическая нумерация орбит O1,..., Ok диффеоморфизма f индуцирует f динамическую нумерацию орбит 1,..., k диффеоморфизма f-1 следующим обf разом: i = Ok -i. Тогда одномерный репеллер называется тесно вложенным, если f он является тесно вложенным одномерным аттрактором для f-1 относительно индуцированной динамической нумерации орбит.
Теорема 4.3. Если диффеоморфизм f MS(M3) обладает динамически упорядоченной энергетической функцией, то все его одномерные аттракторы и репеллеры являются тесно вложенными.
Определение 4.8. Тесная захватывающая окрестность Mi одномерного аттрактора Ai называется строго тесной, если Mi \ Ai диффеоморфно Mi (0, 1].
Одномерный аттрактор Ai, обладающий строго тесной окрестностью Mi называется строго тесно вложенным.
Теорема 4.4. Если все одномерные аттракторы и репеллеры диффеоморфизма f MS(M3) являются строго тесно вложенными, то f обладает динамически упорядоченной энергетической функцией.
В следующей теореме устанавливается критерий существования динамически упорядоченной энергетической функции для диффеоморфизма Морса-Смейла без гетероклинических кривых, заданного на сфере S3.
Теорема 4.5. Диффеоморфизм Морса-Смейла f : S3 S3 без гетероклинических кривых обладает динамически упорядоченной энергетической функцией тогда и только тогда, когда каждый его одномерный аттрактор и репеллер является тесно вложенным.
Определение 4.10. Назовем функцию Морса-Ляпунова : Mn R квазиэнергетической для диффеоморфизма Морса-Смейла f : Mn Mn, если она имеет наименьшее возможное число критических точек среди всех функций МорсаЛяпунова для f.
Обозначим через P класс (класс Пикстона) диффеоморфизмов Морса-Смейла f :
S3 S3, чье неблуждающее множество состоит в точности из четырех неподвижных точек: одного источника , одного седла и двух стоков 1 и 2. Для каждого целого числа k 0 обозначим через Pk множество диффеоморфизмов f P, для которых + аттрактор A3 обладает ручечной окрестностью P рода k, граница которой является поверхностью Хегора для S3.
В силу теоремы 4.5, любой диффеоморфизм f P0 обладает энергетической функцией, тогда как любой диффеоморфизм из класса Pk, k > 0, не имеет энергетической функции.
Теорема 4.7. Каждая квази-энергетическая функция диффеоморфизма f Pимеет в точности шесть критических точек.
Список публикаций [1] Pochinka O. On topological conjugacy of the simplest Morse-Smale diffeomorphisms with a finite number of heteroclinic orbits on S3 // Progress in nonlinear science. 2001.
V. 1. 338Ц345.
[2] Починка О.В. О топологической сопряженности простейших диффеоморфизмов Морса-Смейла с конечным числом гетероклинических орбит на многообразии S3 // Труды СВМО. 2002. Т. 3-4. No 1. 138Ц142.
[3] Починка О.В. Классификация неградиентноподобных диффеоморфизмов с конечным числом гетероклинических орбит на 3-многообразиях // Труды СВМО. 2003.
Т. 5. No 1. 104Ц109.
[4] Гринес В.З., Починка О.В. Структура предельного множества сепаратрис диффеоморфизмов Морса-Смейла на 3-многообразиях // Труды СВМО, 2004. Т. 6.
No 1, 32Ц39.
[5] Гринес В.З., Починка О.В. Классификация диффеоморфизмов Морса-Смейла с цепочкой из трех седел на 3-многообразиях // Труды СВМО. 2005. Т. 7. No 1. 59 - 65.
[6] Починка О.В. О связи диффеоморфизмов с пространствами орбит // Труды Всероссийской научной конференции УНелинейные колебания механических системФ.
2005. 186Ц188.
[7] Pochinka O.>
[8] Гринес В.З., Починка О.В. О существовании энергетической функции диффеоморфизмов Морса-Смейла на 3-многообразиях // Труды СВМО. 2007. Т. 9. No 1. 15Ц23.
[9] Гринес В.З., Лауденбах Ф., Починка О.В. Энергетическая функция для градиентно-подобных диффеоморфизмов на 3-многообразиях // ДАН. 2008. Т. 422.
No 3. 299Ц301.
[10] Pochinka О. Diffeomorphisms with mildly wild frame of separatrices // Universitatis Iagelonicae Acta Mathematica. Fasciculus XLVII. 2009. 149Ц154.
[11] Grines V., Laudenbach F., Pochinka O. Self-indexing function for Morse-Smale diffeomorphisms on 3-manifolds // Moscow Math. Journal. 2009. No 4. 801Ц821.
[12] Гринес В.З., Лауденбах Ф., Починка О.В. Квази-энергетическая функция для диффеоморфизмов с дикими сепаратрисами // Математические заметки. 2009.
Т. 86. No 2. 175Ц183.
[13] Grines V., Pochinka O. Energy Functions for Dynamical Systems // Regular and Chaotic Dynamics. 2010. V. 15. No. 2-3. 187Ц195.
[14] Grines V., Pochinka O. On topological>
[15] Починка О.В. Полный топологический инвариант для диффеоморфизмов Морса-Смейла на 3-многообразиях // Труды СВМО. 2011. Т. 13. No 2. 17Ц24.
[16] Гринес В.З., Лауденбах Ф., Починка О. О существовании энергетической функции для диффеоморфизмов Морса-Смейла на 3-многообразиях // ДАН. 2011.
Т. 440. No 1. 7Ц10.
[17] Починка О.В. Необходимые и достаточные условия топологической сопряженности каскадов Морса-Смейла на 3-многообразиях // Нелинейная динамика. 2011.
Т. 7. No 2. 227Ц238.
[18] Починка О.В. Классификация диффеоморфизмов Морса-Смейла на 3многообразиях // ДАН. 2011. Т. 440. No 6. 34Ц37.
Подписано в печать. Формат 60х84 1/Бумага офсетная. Печать офсетная.
Усл. печ. л. 1. Тир. 100. Зак. 600.
Типография Нижегородского госуниверситета 603000, Н. Новгород, ул. Б. Покровская,
Авторефераты по всем темам >>
Авторефераты по разное