Авторефераты по всем темам >>
Авторефераты по разное
На правах рукописи
Степанов Родион Александрович
ГЕНЕРАЦИЯ МАГНИТНЫХ ПОЛЕЙ ТУРБУЛЕНТНЫМИ ПОТОКАМИ ПРОВОДЯЩЕЙ СРЕДЫ
01.02.05 Ч Механика жидкости, газа и плазмы
АВТОРЕФЕРАТ
диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук
Пермь 2009
Работа выполнена в Институте механики сплошных сред Уральского отделения Российской академии наук
Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор, член-корреспондент РАН Суржиков С. Т.
доктор физико-математических наук, профессор Любимов Д. В.
доктор физико-математических наук Решетняк М. Ю.
Ведущая организация: Научно-исследовательский вычислительный центр МГУ
Защита состоится 19 ноября 2009 г. в 11 ч. 00 мин. на заседании диссертационного совета Д 004.012.01 Института механики сплошных сред УрО РАН по адресу: 614013, г. Пермь, ул. Ак. Королева, 1,
С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института механики сплошных сред УрО РАН.
Автореферат разослан " " 2009 г.
Ученый секретарь Березин И. К.
диссертационного совета
ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ
Объект исследования и актуальность проблемы.
Магнитные поля существуют не только у компактных астрофизических объектов, таких как планеты и звезды, они также наблюдаются повсюду во Вселенной, в межзвездном пространстве, и могут быть свойственны галактикам и галактическим кластерам. Речь идет о магнитном поле, возникающем в процессе эволюции системы, которая имеет в своем составе сплошную электропроводящую среду, такую как жидкий металл или плазма. Описание генерации космических магнитных полей остается важнейшей фундаментальной проблемой магнитной гидродинамики.
Большой интерес к этой проблеме объясняется особой ролью магнитных полей в формировании ионосферы Земли, изменениях солнечной активности, звездообразовании в галактических дисках и многих других процессах и явлениях. Затрагиваемый круг проблем находится в очень широком диапазоне: от проектирования жидкостных систем охлаждения ядерных реакторов до создания космологических теорий Вселенной.
Происхождение и эволюция космических магнитных полей в основном объясняется теорией динамо, систематическое изложение которой можно найти в монографиях Паркера и Моффата. Важной особенностью магнитногидродинамических (МГД) систем, в которых возможно самовозбуждение магнитного поля, является турбулентный характер движения проводящей среды. Именно турбулентность совместно с факторами открытых границ системы и существенной трехмерности явления динамо делает задачу не решаемой в общей постановке. Фундаментальным шагом в развитии науки о природе магнитных полей гидродинамических систем послужило создание теории среднего поля в электродинамике (Краузе и Рэдлер). Аналогично подходу Рейнольдса в гидродинамике магнитное поле раскладывалось на крупномасштабную составляющую, которая описывалась уравнениями для осредненных переменных, и мелкомасштабную составляющую, влияние которой учитывалось через эффективные турбулентные коэффициенты. В результате такого подхода был открыт так называемый -эффект - механизм генерации крупномасштабного поля за счет мелкомасштабной МГД-турбулентности. В последние десятилетия был достигнут значительный прогресс в построении теоретических моделей динамо, прямом численном моделировании, экспериментальном подтверждении основ теории динамо и интерпретации астрофизических наблюдений. Одновременно с этим обозначился ряд трудностей применения теории среднего поля для решения определенного круга проблем.
На начальных этапах построения теории особое внимание привлекало изучение условий возникновения динамо-эффекта, а именно влияние параметров системы на порог генерации. Среднее поле скорости способно самостоятельно вызвать неустойчивость крупномасштабного магнитного поля без учета турбулентности. Однако количественная оценка критических характеристик в значительной степени зависит от всех деталей задачи. Наиболее актуальна эта трудность возникает при планировании, проведении и анализе результатов динамо-экспериментов.
Генерация магнитного поля за счет -эффекта является далеко не единственным механизмом. Неоднородность турбулентности совместно с общим вращением и сдвиговыми средними потоками среды также дает вклад в среднюю турбулентную электродвижущую силу. Для определения доминирующего механизма необходим анализ всех даже самых экзотических возможностей. При равных вкладах двух механизмов они могу приводить к усилению или же ослаблению друг друга. Тогда на передний план может выйти изначально более слабый эффект, который и будет определять условия генерации и структуру магнитного поля.
Использование результатов теории среднего поля при построении динамомоделей разнообразных космических объектов требует соответствующих количественных оценок турбулентных коэффициентов. Даже в самых простых случаях необходимо знать статистические характеристики мелкомасштабного поля. Как правило, колмогоровские представления о развитой гидродинамической турбулентности обобщаются на случай МГД.
Однако в реальности магнитное поле, обладая собственным интегралом движения - магнитной спиральностью, делает процессы переноса энергии и спиральности по спектру значительно более сложными для анализа. Экспериментальная верификация соотношений теории среднего поля наряду с возможностями численного моделирования МГД турбулентности является актуальной задачей.
По мере того как теория динамо продвигалась от решения задач об условиях возникновения динамо-процесса к задачам о заключительном состоянии, стало понятно, что необходимо учитывать обратное действие крупномасштабного магнитного поля на мелкомасштабные поля. Возникшая трудность описания насыщения генерации и стабилизации магнитного поля обусловлена существенной нелинейностью этих процессов.
Если воздействие магнитного поля на среднее поле скорости может быть определено в рамках уравнений среднего поля, то для описания воздействия на мелкомасштабное поле необходимо введение мелкомасштабных переменных и их динамической связи с крупномасштабными. Таким образом, актуальной проблемой является построение самосогласованных определяющих соотношений, которые позволят сформулировать адекватную математическую модель динамо-процесса.
Использование теоретических результатов для объяснения характера и структуры магнитных полей в реальных астрофизических объектах предполагает наличие достоверных наблюдательных данных. Однако измерение космических магнитных полей в большинстве случаев возможно только косвенным путем. К примеру, сравнительный анализ существующих работ по интерпретации данных наблюдений магнитного поля нашей Галактики показывает расхождения не только в количественных оценках, но и в выводах относительно общей геометрической структуры. В получаемых результатах определяющую роль играет выбор данных и техники обработки. Для проведения объективного анализа необходимо использовать методы, которые не содержат большого числа подгоночных параметров и позволяют получать результаты, устойчивые к вариации данных наблюдений. Очевидно, что развитие методов и подходов обработки наблюдательных данных и их интерпретации должно идти встречным курсом с развитием теории.
Цель работы состоит в формировании самосогласованных представлений об условиях и характере процессов генерации магнитных полей в условиях турбулентности с использованием единой основы - построение теоретических и численных моделей, интерпретация экспериментальных измерений и астрофизических наблюдений.
Задачи диссертационной работы состоят в:
а) определении зависимости порога генерации магнитного поля в среднем винтовом потоке проводящей жидкости, организованном в тороидальном канале, от проводимости окружающей среды и пространственно-временных характеристик среднего поля скорости;
б) выводе соотношений теории среднего поля для турбулентной электродвижущей силы, возникающей в условиях общего вращения и произвольного тензора градиента среднего поля скорости;
в) исследовании характера совместного действия генерационных механизмов винтового поля скорости и мелкомасштабной турбелентности;
г) развитии аппарата каскадных моделей МГД турбулентности с целью описания динамики мелкомасштабных кинетических и магнитных полей, потоков энергии по спектру, роли нелокальных взаимодействий, а также нелинейных сценариев насыщения мелкомасштабного динамо;
д) построении и численном анализе комбинированной модели динамо, описывающей взаимодействие крупномасштабных и мелкомасштабных полей;
е) разработке методов обработки и интерпретации наблюдательных данных галактических магнитных полей;
ж) планировании и теоретическом подготовке экспериментальных исследований элементов динамо, компьютерной обработке проведенных измерений и их физической оценке;
Методы исследований. Основу используемых математических моделей составляют уравнения магнитной гидродинамики. Влияние мелкомасштабной турбулентности на эволюцию крупномасштабного магнитного поля описывается через турбулентную электродвижущую силу. Турбулентные эффекты устанавливаются в рамках теории среднего поля с помощью корреляционного анализа в приближении второго порядка.
Определяющие соотношения обратной реакции крупномасштабных полей на свойства мелкомасштабных переменных получены из "первых принципов" - законов сохранения для МГД системы. Динамика мелкомасштабных полей в широком спектральном диапазоне описана с использованием каскадных моделей турбулентности. Решения поставленных задач были получены численно. Ресурсозатратные расчеты выполнены на многопроцессорных вычислительных комплексах. Основным математическим методом обработки данных экспериментальных измерений и астрофизических наблюдений является спектрально-временной анализ сигналов, базирующийся на непрерывном прямом и обратном вейвлетпреобразовании.
Научная новизна заключается в следующем:
а) получены характеристики винтового динамо в замкнутом канале с учетом основных факторов, влияющих на генерацию;
б) впервые получено полное аналитическое выражение для средней турбулентной электродвижущей силы, возникающей при наличие общего вращения и произвольного сдвигового среднего потока в условиях однородной и неоднородной турбулентности;
в) впервые показан характер изменения критического значение магнитного числа Рейнольдса при малых значениях магнитного числа Прандтля и нелокальный характер взаимодействий структур различных масштабов при больших значениях магнитного числа Прандтля. Предложено феноменологическое описание процесса насыщения мелкомасштабного динамо;
г) построена новая комбинированная модель 2- и -динамо, описывающие динамическое взаимодействие крупномасштабных и мелкомасштабных полей на основе "первых принципов" магнитной гидродинамики;
д) разработаны и применены новые методы обработки и подходы к интерпретации наблюдательных данных;
е) впервые получены экспериментальные результаты генерации магнитных полей в турбулентных потоках проводящих металлов, согласующиеся с положениями теории среднего поля;
Обоснованность и достоверность полученных в работе результатов обеспечена строгой математической постановкой задач, применением математически обоснованных методов решения, проверкой численных алгоритмов на задачах имеющих точные решения, детальным анализом тестовых примеров, сравнением с результатами, полученными другими авторами.
Научно-практическое значение полученных результатов. Все решенные задачи являются фрагментами единого методологического подхода к описанию процесса генерации магнитного поля в турбулентной многомасштабной среде. Предложенные методы моделирования динамо процессов могут использоваться для широкого круга задач. Проведен комплекс вычислительных работ, результаты которых обосновывают возможность проведения уникального динамо-эксперимента в винтовом потоке в тороидальном канале. Предложенные методы обработки данных и их интерпретаций могут применяться для анализа хаотического поведения различных систем.
Апробация работы. По теме диссертации опубликовано 48 печатных работ, в том числе 26 статей в изданиях, рекомендованных ВАК, 21 - в прочих научных изданиях и в трудах международных и российских научных конференций, а также получен 1 патент РФ. Основные результаты диссертации изложены в работах [1-28], список которых приведен в конце автореферата.
Результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на российских и международных конференциях: "European Turbulence Conference" (2004, 2007); "Зимняя школа по механике сплошных сред" (1995, 1997, 1999, 2003, 2005, 2007, 2009); "Fundamental and applied MHD" (2000, 2002, 2005, 2008); VIII Всероссийский съезд по теоретической и прикладной механике (2001), "Mode Conversion, Coherent Structures and Turbulence" (2004).
На защиту выносятся теоретические положения, связанные с разработкой новых математических моделей генерации магнитных полей в условиях турбулентности, а также методы обработки экспериментальных и наблюдательных данных и результаты их интерпретации.
ичный вклад автора. Автору диссертации принадлежит разработка математических моделей рассматриваемых явлений, выбор и отладка численных алгоритмов решения задач. Лично автором или при его непосредственном участии поставлены задачи диссертации, определены методы решения, получены основные теоретические и экспериментальные результаты, а также выполнена их интерпретация. Из работ в соавторстве на защиту выносятся результаты, в получении которых автор принимал непосредственное участие. Личным достижением автора является последовательное проведение комплексного исследования, включающего теоретические, численные и экспериментальные работы, направленные на решение поставленных задач. Выводы по диссертации сделаны лично автором.
Связь исследований с научными программами. Работы по тематике диссертации проводились при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проекты 99-01-00362-а, 01-0196482-р-урал-а, 03-02-04031-ННИО-а, 06-01-00234-а, 07-01-92160-НЦНИа, 07-01-96007-р-урал-а), Американского фонда гражданских исследований и развития (грант молодым ученым №Y2-P-09-02), Программы поддержки молодых ученых (грант Президента РФ MK-4338.2007.1), Фонда содействия отечественной науке.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, шести глав и заключения. Список использованных источников содержит 240 наименований. Общий объем диссертации составляет 340 страниц, включая 7 таблиц и 54 рисунка, которые размещены по месту ссылок внутри основного текста.
СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ
Во введении обосновывается актуальность работы, излагаются цели и методы исследования, указывается научная новизна, а также структура диссертации.
Первая глава диссертации содержит решения ряда задач, составляющих теоретическую основу динамо-эксперимента, предложенного Денисовым и др. Идея эксперимента заключается в создании винтового течения жидкого натрия в замкнутом тороидальном канале, которое обеспечит возбуждение магнитного поля. Необходимая интенсивность потока получается за счет резкого торможения предварительно раскрученного канала. Винтовая структура навязывается в результате прохождения натрия под действием сил инерции через жестко установленные внутри канала диверторы. Для экспериментальной реализации вопрос о величине порога возникновения эффекта имеет принципиальное значение.
Количественные оценки критических параметров, которые можно найти из точного решения задачи Пономоренко (динамо-прототип), неприменимы в силу существенных отличий в условиях эксперимента, а именно в электрических и магнитных свойствах окружающей среды и в характере винтового потока. На первом этапе были проведены расчеты порога генерации магнитного поля и характерные времена роста в одномерной постановке, в которых учитывались конечная толщина стенки, повышенная проводимость стенки относительно натрия и турбулентный профиль течения [1].
На втором этапе были изучены свойства процесса генерации в нестационарном и неоднородном вдоль канала течении. Дело в том, что поток становится винтовым по мере прохождения жидкости через дивертор, так что фронт завихренности распространяется в процессе торможения тора. Исследование этой проблемы потребовало решения уравнения индукции в трехмерной постановке B = [(U + ln r) B - B], t где B - вектор магнитной индукции, U - вектор скорости, 0 и r - коэффициенты магнитной проницаемости вакуума и относительной магнитной проницаемости среды, - коэффициент магнитной диффузии, связанный с электрической проводимостью соотношением = (0r)-1.
Слагаемое ln r даёт эффект, называемый "парамагнитной накачкой", который выталкивает магнитное поле в область с б ольшей проницаемостью. Уравнение индукции дополняются вакуумными граничным условиями. Параметризация поля скорости была выполнена на основе экспериментальных измерений, подробно изложенных в [1].
Численное решение поставленной задачи было получено с использованием оригинального пакета программ, реализующего конечно-разностный метод. Интегрирование по времени выполнялось с использованием явной схемы Рунге-Кутта-Фельтберга с коэффициентами Кэша-Карпа 5-го порядка точности с адаптивным выбором шага. Пространственные производные аппроксимировались центральными разностями 6-го порядка точности. Расчетная схема была распараллелена, что позволило эффективно использовать многопроцессорные кластеры. Результаты расчетов представлены на рис. 1, где показана зависимость среднеквадратичного значения магнитного поля от времени для "оптимистического" и "пессимистического" режима течения. "Оптимистический" режим предполагает, что течение во всем канале соответствует течению, измеренному экспериментально в области за дивертором. "Пессимистический" режим соответствует менее закрученному потоку входящему в дивертор.
Такая неопределенность поля скорости была обусловлена ограниченными техническими возможностями измерений. Тем не менее на основе рассмотрения простой модели был предложен наиболее реалистичный вид зависимости потока от времени и координат [1], в соответствии с которым рост магнитного поля обозначен на рис. 1 как "z-dependent". На начальном этапе магнитное поле затухает, а начиная с момент 0.1 s результирующая мода перестраивается и в дальнейшем достаточно быстро нарастает. При медленном торможении коэффициент усиления поля заметно падает (рис. 1, справа).
Формирование динамо-волны в цилиндрической геометрии показано на рис. 2, где изоповерхности магнитного поля |B| даны для восьми различных моментов времени. Отметим, что со временем начальная доминирующая мода с азимутальным волновым числом m = 1 и продольным волновым числом k = 0 (затухающая медленнее остальных) трансформируется в моду с k = 1 и так далее до моды с k = 3. Зависимость коэффициента роста магнитного поля от начальных условий и другие характеристики для различных режимов течения и параметров стенки канала представлены в работе [2]. Расчеты подтверждают предварительные благоприятные оценки, что планируемый динамо-эксперимент может быть осуществлен; ожидаемый коэффициент роста может составить Run 1 Run optimistic optimistic z-dependent z-dependent 104 1pessimistic pessimistic 102 1100 110-2 10-0.0 0.5 1.0 1.5 0.0 0.5 1.0 1.t [s] t [s] Рисунок 1: Изменение относительного среднеквадратичного значения магнитного поля со временем для Tb = 0.1 s (Run1) и Tb = 0.2 s (Run3).
Рисунок 2: Структура магнитного поля в различные моменты времени. Слева направо, соответствует временам 0,0, 0.05, 0.1, 0.15, 0.2, 0.3, 0.4 и 0.5 s; время торможения Tb = 0.1 s. Изоповерхности представляют собой постоянные уровни магнитного поля (Bz > 0, Bz < 0), линии визуализируют силовые линии. Дивертор расположен внизу и в его направлении движется общий поток.
103 или больше. Так, например, увеличение магнитной проницаемости добавлением ферромагнитных частиц в жидкий натрий может повысить коэффициент усиления, но это не принципиально для реализации динамо.
Заключительным этапом было численное моделирование динамо в криволинейном канале. Исследования генерации магнитного поля при винтовом движении в торе показали, что в пределе тонкого тора задача сводится к хорошо изученному случаю винтового динамо в цилиндре. В толстом торе становятся существенными два фактора: дискретность спектра возбуждаемых волновых мод, приводящая к немонотонности нейтральной кривой, и кривизна области генерации, нарушающая симметрии генерируемого магнитного поля [3]. Благодаря этому в толrms rms rms rms B ( t )/ B (0) B ( t )/ B (0) стом торе появляется принципиально новое для винтового динамо решение: возникает "глобальное"магнитное поле, не затухающее на внешней оси тора и имеющее масштаб максимального геометрического размера тора. Важен также вывод о возможности понижения порога генерации магнитного поля в толстом торе за счет изменения параметра закрутки потока.
Были рассмотрены возможности по созданию винтового потока без использования диверторов, которые в значительной степени тормозят поток и ограничивают время наблюдения динамо-эффекта. Показано, что течение в канале эллиптического сечения, замкнутом по листу Мёбиуса не имеет принципиальных отличий в динамо-процессе, но может дать больший коэффициент усиления за счет однородности и меньшей скорости затухания течения [4].
Во второй главе дан вывод общего выражения турбулентной электродвижущей силы, возникающей в винтовом потоке при наличии фоновой неоднородной турбулентности. Исследуется влияние пульсаций b = B - B, u = U - U на генерацию среднего магнитного поля B при наличии среднего потока U. Применяя правила осреднения Рейнольдса, получаем уравнение индукции для среднего поля tB - (U B + E) - 2B = 0, где E - электродвижущая сила, возникающая благодаря пульсациям скорости и магнитного поля, E = u B.
Именно определение зависимости E от средних полей и статистических свойств турбулентности представляет основную задачу теории среднего поля в электродинамике (Краузе и Рэдлер). Стандартно полагаем, что E в выбранной точке зависит от компонент B и их пространственных производных в этой точке. Тогда E может быть представлено в форме Ei = aij Bj + bijk Bj/xk, где компоненты тензоров aij и bijk есть осреднённые величины, зависящие от U и u. Разложение на симметричные и кососимметричные части позволяет выделить основные группы слагаемых в следующим виде:
E = - B - B - ( B) - ( B) - : (B)(s), где и - симметричные тензоры второго ранга, и - векторы и - тензор третьего ранга, (B)(s) = (Bj/xk+Bk/xj) - симметричная jk часть тензора градиента B. Слагаемое с описывает -эффект, который обычно вызывает динамо-эффект, а слагаемое с имеет смысл эффективной турбулентной скорости переноса магнитного поля. Слагаемые с и могут интерпретироваться, как введение турбулентной магнитной диффузии, которая также в общем случае анизотропна. Слагаемое с не имеет особо выделенной роли, но необходимо для полноты разложения.
Турбулентные пульсации u в винтовом потоке отличаются от однородных изотропных зеркально симметричных вследствие влияния силы Кориолиса, вызванной общим вращением , наличия градиента поля скорости U и градиента интенсивности турбулентности g = (U2)-1U2.
Используя стандартные в электродинамике среднего поля соображения симметрии, получаем () () (W E = -1 (g )B - 2 (( B)g + (g B)) - 1 )(g W )B (W ^ -2 )((W B)g + (g B)W ) - (D)(g, D) B -((0)g + ()g + (W )g W + (D)g D) B - (0) B -(D)D ( B) - (() + (W )W ) ( B) ^ -(() + (W )W ) (B)(s) - (D) (D) : (B)(s), где Dij = (Ui/xj + Uj/xi), W = U, ijk = Dlk + Dlj, ^ ijl ikl () () (W ij = ( Dlj + Dli)gm. Коэффициенты 1, 2, 1 ), и (D) ^ ilm jlm определяются через u, но не зависят от среднего поля скорости. C использованием корреляционного приближения второго порядка выведены соотношения в общем виде для получения количественных оценок эффективных коэффициентов. Определены асимптотические значения турбулентных коэффициентов в пределах слабо и сильно проводящей среды. Процедуры и результаты вычисления коэффициентов подробно изложены в [5], где также проведен сравнительный анализ с известными результатами.
Для определение влияния турбулентности на винтовое динамо в диссертации проведен расчет критического магнитного числа Рейнольдса RU, определенного по параметрам среднего потока U, в зависимости от его турбулентного аналога Ru0 (интенсивности турбулентности) и от параметра q (отношение корреляционного масштаба турбулентности к радиусу канала).
Винтовое поле скорости U имеет в цилиндрической системе координат (r, , z) вид U = (0, (r)r, uz(r)).
52.10.10.47.10.10.42.110 0.1 0.2 0.3 0.4 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.RuRu* Рисунок 3: RU в зависимости от Ru0 для различных (отношение корреляционного масштаба турбулентности к радиусу сечения канала) с учётом (слева) и без учёта проводящей стенки (справа).
Для конкретизации E переходим в систему отсчета, движущуюся со скоростью U в рассматриваемой выделенной точке r = r0. Ненулевыми компонентами W остаются W = -dUz/dr и Wz = rd/dr, а D имеет r ненулевые Dr = Dr = d/dr и Drz = Dzr = dUz/dr. В контек2 сте планируемого динамо-эксперимента предполагается, что g является радиальным вектором, что приводит к следующей структуре 0 1 = 1 0 2 0 () (W Слагаемые 1 и 1 ) исчезают, а не нулевыми остаются 1 dUz 1 dU () (W (W 1 = -(2 ) - (D)) g, 2 = (2 ) - (D)) g + 2 g .
2 dr 2 dr Таким образом среднее магнитное поле в направлении z не генерирует электродвижущей силы в направлении или z, а значит, и не даёт эффекта в стандартном понимании.
Влияние турбулентности исследовано численно в терминах , , , и -эффекта. На рис. 3 показано изменение критического числа Рейнольдса с учетом всех турбулентных слагаемых E. При ряде предположений, сделанных относительно свойств турбулентности, ожидаемых в динамоэксперименте, Rm** может меняться лишь в пределах одного процента.
Однако при более высокой интенсивности турбулентности эффект становиться более значимым. Детальный анализ влияния каждого эффекта в отдельности выполнен в работе [6]. Ряд теоретических оценок удалось сопоставить с результатами экспериментов с винтовым потоком жидкого галлия [7]. Несмотря на эту особенность, -эффект способен поддерживать динамо процесс в некоторой степени. Две составляющих -эффекта U U R R (0) и (D) работают в противоположных направлениях: (0) приводит к дополнительной магнитной диффузии и увеличивает порог генерации, а (D) создает анизотропию и существенно усиливает винтовое динамо.
Аналогично -эффект поддерживает динамо-процесс, а -эффект противодействует ему. Против винтового динамо всегда работает и -эффект.
Известно, что () и ()-эффекты в сочетании с интенсивным вращением приводят к генерации магнитного поля, называемой J-динамо (Рэдлер, 1969). Однако в случае винтового динамо показано, что комбинация этих двух механизмов не усиливает динамо-процесс.
В третьей главе исследуются свойства МГД турбулентности c использованием каскадных моделей. Основная идея каскадных моделей турбулентности состоит в построении цепочки обыкновенных дифференциальных уравнений, описывающих процессы спектрального переноса энергии в развитой турбулентности. В случае МГД турбулентности задача состоит в том, чтобы сохранить для каждой октавы волновых чисел kn < |k| < kn+1, kn = 2n только пару комплексных переменных Un и Bn, характеризующих пульсации скорости и магнитного поля в соответствующих масштабах, и записать для этих переменных систему уравнений, сохраняющую "базовые" свойства исходных уравнений магнитной гидродинамики. Под базовыми свойствами понимается тип нелинейности и законы сохранения, которым исходные уравнения удовлетворяют в бездиссипативном пределе. Аппарат каскадных моделей начал развиваться с задач о гидродинамической турбулентности и за последнее десятилетие был применен для исследования конвективной и магнитогидродинамической турбулентности.
В диссертации предлагается рад шагов по устранению недостатков ранее известных каскадных моделей с целью описания нелокальных взаимодействий и спиральности полей. Математическая формулировка разработанной нелокальной каскадной модели для МГД случая заключается в следующей системе обыкновенных дифференциальных уравнений Un = ikn [Qn(U, U, a) - Qn(B, B, a)] - Re-1knUn + Fn, n = ikn [Qn(U, B, b) - Qn(B, U, b)] - Rm-1knBn, где N * * Qn(X, Y, c) = Tm[c1 Xn+mYn+m+1 + c2 Xn-mYn+1 + c3 Xn-m-1Yn-1] m m m m=представляет нелинейное взаимодействие мод с различным номером оболочки n, Fn - турбулентная сила действующая в масштабе n = 0. Оптимальным отношением толщин двух соседних оболочек является золотое сечение = (1 + 5)/2. При N = 1 получается локальная МГД каскадная модель, использованная в [8]. Дополнительные нелокальные взаимодействия при N 2 соответствуют взаимодействиям всех возможных триад, включающих моды из различных оболочек. Выражения для кинетической энергии EU и спиральности HU, магнитной энергии EB и спиральности HB, а также перекрестной спиральности HC имеют вид 1 EU = |Un|2, HU = (-1)nkn|Un|2 n n 1 -EB = |Bn|2, HB = (-1)nkn |Bn|2 n n * * HC = (UnBn + BnUn).
n В бездиссипативном пределе ( = = 0) полная энергия E = EU + EB, магнитная и перекрестная спиральности должны сохраняться ( = B = C = 0). Это позволяет однозначно определить коэффициенты ai и bi :
m m -km+1 - (-1)m km - (-1)m a1 = km + km+1 a2 = a3 = m m m km km+b1 = (-1)m+1 b2 = 1 b3 = -1.
m m m В частном случае чистой гидродинамики (Bn = 0), коэффициенты ai m будут удовлетворять условиям сохранения кинетической энергии и спи ральности (EU = U = 0). Коэффициент Tm = km-1/( + 1) зависит только от m, а является свободным параметром и определяет степень интенсивности нелокальных взаимодействий.
Статистически стационарные численные решения каскадных уравнений позволяют определить спектральное распределение энергии в развитой МГД-турбулентности при различных значениях чисел Рейнольдса (см. Рис. 4, справа). Была установлена зависимость порога генерации мелкомасштабного магнитного поля от Pm (см. Рис. 4, слева). Выход критического значение Rm на постоянное значение было невозможно показать методами прямого численного моделирования. Основываясь только на данных роста порога генерации при Pm > 10-2 можно было сделать неверное предположение об отсутствии мелкомасштабного динамо при малых числах Pm. Применение новой каскадной модели показано, 37. 2 4 32. 27. 0 2 4 6 0 1 2 3 4 5 6 log10Pm 1 log10k Рисунок 4: Слева: зависимость порога генерации от Pm-1. Справа: спектр энергии кинетического и магнитного поля при Pm = 10-2.
что генерация магнитного поля при больших числах Pm характеризуется особой ролью нелокальных взаимодействий мод различных масштабов [17].
Исследован линейный режим экспоненциального роста энергии магнитного поля и последующий нелинейный режим насыщения процесса генерации при малых значениях магнитного числа Прандтля. Насыщение наблюдается сначала в мелких масштабах, а затем в крупных, аналогично обратному каскаду. Полученные решения хорошо совпадают с предлагаемыми аналитическими соотношениями, полученными из феноменологического описания процесса [15]. Развитый аппарат каскадных моделей позволил исследовать МГД-турбулентность, стационарно поддерживаемой внешней силой, которая наряду с энергией вносит в поток заданное количество перекрестной спиральности. Показано, что перекрестная спиральность препятствует каскадному переносу энергии и приводит к накоплению энергии в системе. Это накопление происходит до тех пор, пока интенсификация вихрей не компенсирует падающую эффективность нелинейных взаимодействий [13].
Четвертая глава просвещена разработке комбинированных моделей динамо, состоящих из уравнений среднего поля, каскадных уравнений МГД турбулентности и соотношений, определяющих сопряжение крупно- и мелкомасштабных полей. Построение комбинированных моделей стало развитием идей каскадно-сеточного подхода. Конкретный вид модели динамо определяется структурой уравнений генерации крупномасштабного поля. Одним из самых простых случаев считается модель 2-динамо, которая может быть записана в терминах полоидальной BP и тороидальной BT составляющих крупномасштабного магнитного поля Rm log E в виде dtBP = ikLBT - BP, dtBT = -ikLBP - BT, где - коэффициент -эффекта, а Ч эффективный коэффициент диффузии турбулентной среды, kL Ч волновое число, определяющее макромасштаб L. Также рассмотренная в диссертации модель -динамо, описывающая генерацию магнитного поля в тонком галактическом диске, представляет собой систему уравнении частных производных 2 tAT = sin(z)kLBT + kLzzAT, 2 tBT = -GzAT + kLzzBT.
где G - мера дифференциального вращения галактического диска, AT - тороидальная компонента векторного потенциала магнитного поля, z - координата поперек диска.
Ключевой момент комбинированной модели состоит в том, чтобы связать уравнения среднего поля с каскадными уравнениями, описывающими динамику мелкомасштабных полей. Это сопряжение удается построить, исходя из тех же законов сохранения, на основе которых построены каскадные модели. Конечно, конкретная разработка искомого сопряжения зависит от специфики рассматриваемой задачи, однако ряд возникающих при этом проблем носит общий характер. Считается, что коэффициент можно рассматривать как сумму двух составляющих u и b.
Первая составляющая в уравнениях среднего поля обычно оценивается с использованием спиральности мелкомасштабного поля следующим образом u -
Вторая компонента связана с токовой спиральностью b
Эти оценки содержат множитель , который имеет размерность времени. Предполагая, что определяется временем оборота вихря соответствующего масштаба, можно вычислить по каскадным переменным следующим образом u = n(-1)nkn|un|2 = (-1)n|un|, n n b = (-1)n|bn|.
n Диффузия крупномасштабного магнитного поля описывается коэффициентом , который может быть оценен как < v2 >.
В терминах каскадных переменных это соответствует выражению - = kn |un| + Rm-1.
n Для определения обратной связи используется закон сохранения полной энергии, и магнитной спиральности. Так, изменение характеристик крупномасштабного магнитного поля за счет действия -эффекта, обусловленного мелкомасштабной турбулентностью масштаба (яруса) n, определяется следующим образом u u In = kL zAz(nB)dz, b b In = kL [zAz(nB) - kLn(zB)2 - kLnzzA)2]dz, h In = kL [nB2 - 2kLnzAzB]dz.
u In определяет прирост магнитной энергии за счет гидродинамического b h альфа-эффекта, In - за счет магнитного -эффекта, а In дает прирост магнитной спиральности за счет -эффекта. Приращения сохраняемых величин в крупномасштабном поле должны быть компенсированы их эквивалентной убылью в мелкомасштабной турбулентности, что обеспечивают силы вида u Inbn B fn = u*bn - unb* n n b b h h un(In + In-1 + In + In-1) B gn = -, для четных n ( + 1)(b*un - bnu*) n n b b h h un(In + In-1 - In - In-1) B gn = - для нечетных n, ( + 1)(b*un - bnu*) n n входящие в каскадные уравнения. При этом изменение перекрестной спиральности мелкомасштабной турбулентности равно нулю. Заметим, что дифференциальное вращение в моделях -динамо рассматривается как неисчерпаемый источник энергии и спиральности. Модель поз10 0.1 0.Er 0.001 E 0.0E 10 5 10 0 100 200 300 400 500 600 0 100 200 300 400 500 6t t Рисунок 5: Эволюция энергии тороидального (толстая линия) и полоидального (пунктир) магнитного поля в турбулентном галактическом диске (энергия турбулентных пульсаций показана тонкой черной линией). Из расчета исключены магнитный -эффект и контроль за балансом магнитной спиральности (левый рисунок). Учитывается магнитный -эффект и баланс магнитной спиральности (правый рисунок).
воляет проанализировать роль отдельных связей, отвечающих за взаимодействие крупномасштабного магнитного поля с мелкомасштабной турбулентностью. В первом случае ( Рис.5, слева) в расчет принимался только гидродинамический -эффект (b 0) и не учитывался баланс h магнитной спиральности ( In 0). В этом случае экспоненциальный рост крупномасштабного поля выходит на насыщение при t 150. Тороидальное поле непосредственно генерируется за счет очень сильного и стабильного механизма дифференциального вращения? и его энергия существенно превосходит энергию полоидального поля, а в ее изменениях отсутствуют быстрые вариации, обусловленные в полоидальном поле сильными флуктуациями турбулентности.
Во втором случае (Рис.5, справа) учитывается полный -эффект и строго контролируется баланс магнитной спиральности при взаимодействии турбулентности и крупномасштабного магнитного поля. В этом случае преобладание тороидального поля над полоидальным не столь выражено, а процесс генерации в целом становится менее устойчивым.
Накапливающаяся магнитная спиральность мелкомасштабного (турбулентного) магнитного поля может приводить в конце концов к заметной блокировке крупномасштабного динамо. Такую блокировку динамо называют "катастрофическим квенчингом". Состояние такого квенчинга наблюдается на интервале времени 300 < t < 400. Необходимость сброса магнитной спиральности приводит к кратковременным инверсиям полоидального поля, а при достаточной длительности инверсии и к изменению знака тороидального магнитного поля [20, 21].
Пятая глава содержит описание предложенных методов обработки и E E интерпретации наблюдений космических магнитных полей. Работа была направлена на решение фундаментальной проблемы определения крупномасштабной структуры магнитного поля нашей Галактики по данным астрофизических наблюдений. Наиболее достоверным индикатором магнитного поля в межзвездной среде является фарадеевская мера вращения поляризованного излучения некоторого радиоисточника внутри Галактики или за ее пределами. Фарадеевская мера RM дает интегральную оценку магнитного поля вдоль луча, направленного на радиоисточник, и определяется выражением S RM = K neB ds, где ne Ч плотность свободных электронов, S Ч расстояние до источника поляризованного излучения, в направлении которого и ведется интегрирование. Существует два типа источников: внегалактические (излучение проходит через всё магнитное поле нашей Галактики и расстояние до источника не играет роли, S = ) и внутригалактические (как правило, это пульсары, при рассмотрении которых учёт расстояния просто необходим). Обработка данных только внегалактических источников не позволяет полностью определить структуру галактического магнитного поля, так как реально для анализа имеется лишь двумерная проекция на сфере [9]. В свою очередь, наблюдательные данные фарадеевских мер пульсаров весьма немногочисленны, а их распределение по галактическому диску крайне неравномерно. Основную новизну исследования представляет собой идея развития и применения метода совместного анализа данных. Восстановление структуры трехмерного поля по таким проекционным данным представляет собой очень сложную задачу, разрешаемую только до определенной степени.
Процедура восстановления подинтегральной функции в выражении для RM отягощена рядом условий. Функция RM дискретна и известна только в точках расположения источников или на границе галактического диска. Источники разбросаны существенно нерегулярно по диску, а их низкая плотность распределения не позволяет провести простое осреднение. Данные сильно зашумлены как за счет ошибок измерений, так и наличием сильной турбулентной составляющей магнитного поля.
В диссертационной работе был разработан подход, так или иначе преодолевающий эти проблемы и позволяющий восстанавливать трехмерное поле по имеющимся на данный момент наблюдательным данным.
Комбинирование данных было выполнено за счет введения расстояния Рисунок 6: Совместное распределение данных фарадеевских мер вращения пульсаров (радиоисточники внутри Галактики) и внегалактических источников радиоизлучения с использованием Уоптической толщиныФ (вид с торца галактического диска вверху, вид в плоскости внизу). Источники с отрицательными RM обозначены пустыми кругами, с положительные Ч заполненными. Размер отражает величину RM.
между источниками не в килопарсеках, а в единицах дисперсионной меры, определяемой выражением S DM = n2 ds, e На рисунке 6 хорошо видно, как внегалактические источники покрывают поверхность эффективного галактического диска, а пульсары заполняют его. Это даёт бесспорные преимущества при дальнейшей обработке.
Метод анализа, который был развит в данной работе, основан на вейвлет-преобразовании и уже зарекомендовал себя как исключительно удобный инструмент, охватывающий весь спектр проблем, включающих распознавание образов, масштабный и корреляционный анализ [9].
Вейвлеты на данный момент являются одним из самых удобных инструментов анализа многомерных полей путем разделения пространственных структур с различными размерами. Особое значение имеет свойство вейвлет-преобразования, дающее возможность исследования дифференциальных характеристик анализируемых сигналов, не проводя дифференцирование самих сигналов Ч очень неустойчивой процедуры. Именно Рисунок 7: Результат восстановления крупномасштабных структур магнитного поля в галактической плоскости.
это свойство было положено в основу разработанной методики, которая подробно изложена в работе [10].
В дальнейшем представлялось целесообразным отдельно сформулировать задачу регуляризации операции дифференцирования зашумлённых данных на языке вейвлет-представления сигналов, которое позволяет естественным образом совместить преимущества работы в физическом пространстве и пространстве Фурье. В работе [11] подробно рассматриваются различные алгоритмы приближенного вычисления производной функции, заданной неточно. Алгоритм дифференцирования с использованием вейвлет-преобразования сравнивается с алгоритмом на основе преобразования Фурье и алгоритмами вычисления производной в физическом пространстве. Проведена численная оценка погрешности вычислений различных алгоритмов на модельных примерах.
В обработку были включены практически все данные RM, которые можно найти в опубликованных каталогах. На настоящий момент это порядка 1000 источников. В результате обработки удалось получить устойчивые к ошибкам измерений данные относительно глобальной структуры магнитного поля Галактики, что впервые позволило сделать ряд существенных выводов: оценить параметры спиральной структуры крупномасштабного магнитного поля, определить направление магнитного поля в спиральных рукавах, выявить наличие сдвига между рукавами ионизированного газа и магнитными рукавами. На рисунке 7 показан пример восстановления структуры крупномасштабного магнитного поля в плоскости галактического диска, получаемые в результате вейвлетРисунок 8: Анализ тестового сигнала, состоящего из регулярных спиральных структур и шума в виде ярких точечных источников (слева). Вариация угла закрутки спиралей по азимуту (справа).
обработки. Солнце расположено в начале координат. Линиями изображены оптические спиральные рукава. Хорошо видно, как магнитные рукава отклоняются от оптических. Область, где данных недостаточно для получения устойчивых результатов, остается белой. Результаты раздела подробно изложены в научных статьях [10, 11] Применение вейвлет-алгоритмов показало свою эффективность и при анализе спиральных рукавов внешних галактик. Диски галактик в большинстве случаев демонстрируют спиральную структуру в распределении звезд, газа, пыли и магнитного поля. Спиральные рукава наблюдаются как по интенсивности синхротронного радиоизлучения, так и по ориентации плоскости поляризации, связанной с крупномасштабным магнитным полем. Сравнение положение и ориентации различных спиральных компонент межзвездной среды может дать важную информацию о астрофизической связи газа, пыли и магнитного поля в галактиках. Также хотелось бы определить разделение различных на границах ударных волн и систематической сдвиг, ожидаемый в теории.
С использованием анизотропных вейвлетов была разработана техника изолирования вытянутой структуры в галактических изображениях, таких как спиральные рукава. Тестированию этой методики было уделено значительное внимание. На Рис. 8 показан тестовый сигнал и результат определения углов закрутки спиралей. Методика была применена к распределению газа CO, инфракрасного и радиоизлучения галактики М51, обладающей ярко выраженной спиральной структурой.
Был установлен систематический сдвиг между рукавами CO, инфраРисунок 9: Положение рукавов различных компонент в плоскости галактики М51. Iи PI6 Ч полное и поляризованное радиоизлучение 6cm, ISO - 15m инфракрасное излучение.
красного и радиоизлучения протяженностью несколько килопарсек, а также вариации угла закрутки спирали порядка нескольких десятков градусов. На Рис. 9 показано положение рукавов различных компонент в галактической плоскости. Было обнаружено два типа рукавов поляризованного излучения: один расположен там же, где и рукав CO, с углом спирали близким к направлению магнитного поля, второй не всегда совпадает с рукавом CO и имеет угол закрутки спирали, отличный от направления магнитного поля. Смещения между положениями регулярного магнитного поля, плотного газа и разогретой пылью сравнимы с предсказаниями теории образования звезд. Подробное изложение методики результатов анализа представлено в работе [12].
Шестая глава содержит обсуждение экспериментальных результатов, направленных на прямое измерение средней турбулентной электродвижущей силы и индукционных механизмов динамо-цикла. Для изучения взаимодействия магнитных полей и нестационарных турбулентных спиральных потоков проводящей жидкости в ИМСС УрО РАН была создана и затем неоднократно модернизировалась специальная экспериментальная установка. Основная физическая идея, обеспечивающая возбуждение потоков Ч та же, что и в установке для планируемого динамоэксперимента - закон инерции: тороидальный канал с жидкостью расBb B Bb B I I U Tt Рисунок 10: Схема магнитных полей, возникающих в результате индукции продольной компонентой поля скорости (слева) и азимутальной компонентой (справа).
кручивается вокруг главной оси симметрии до больших накапливаемых жидкостью энергий и затем резко тормозится. В качестве рабочей жидкости был выбран сплав галлия, что обеспечило возможность проведения экспериментов при комнатной температуре канала. Достижимое значение магнитного числа Рейнольдса было порядка 1, но этого уже достаточно для проявления индукционных эффектов.
В первом цикле экспериментальных работ ставился о вопрос об индукционных механизмах, возникающих при внешнем наложенном магнитом поле. Обработка экспериментальных данных позволила воссоздать полую трехмерную структуру магнитного поля, индуцированного вокруг тороидального канала (Рис. 10). Было показано, что винтовое течение эффективно вытягивает магнитные силовые линии вдоль канала и частично поворачивает вокруг внутренней оси тора. Анализ нестационарного поведения индуцированного поля дал возможность проследить характер распространения фронта завихренности. Эта информация была использована при численном моделировании винтового динамо в главе 1.
Следующим этапом экспериментальных исследований была попытка получения -эффекта. С одной стороны крупномасштабное течение облает выраженной спиральностью и можно ожидать, что в результате каскада по спектру турбулентность тоже будет спиральной. В пользу этого говорили наблюдения за турбулентностью в винтовом потоке воды, где визуализация осуществлялась калероскопическими частицами. С другой стороны, из теоретического анализа турбулентной электродвижущей силы, проведенного в главе 2, следовало, что -эффект может возникать и без спиральной турбулентности. В результате эксперименталь0. 0.20 0. 0. 1.0. 0. 1. 0. 2. 0.2 0.1 0.0 0.1 0.2 30 35 40 45 50 t, s, s Рисунок 11: Слева: изменение сдвига фаз за вычетом деформационного вклада со временем при различных начальных частотах вращения тора (сверху вниз 55, 50, 45, 40 и 35 с-1). Резонансные частоты 166 Гц. Справа: зависимость максимального относительного отклонения проводимости металла в канале от начальной частоты вращения канала . Частота резонанса 166Гц (квадратики), 954Гц (кружки).
ных работ было обнаружено действие ЭДС в направлении наложеного поля, которое зависело от знака спиральности потока. Однако наблюдаемый эффект получил неожиданное объяснение. Характер зависимости от времени указывал на то, что эффект является результатом продольного градиента турбулентных пульсаций и завихренности, возникающих сразу после начала остановки канала и может быть представлен в виде E = (,W )gT (W or )B.
Последним шагом поисков турбулентных эффектов был эксперимент, где впервые были проведены прямые измерения эффективной проводимости (магнитной вязкости) в турбулентном потоке жидкого металла.
Пиковые значения числа Рейнольдса достигали значения Re 106, что соответствует магнитному числу Рейнольдса Rm 1. Проводимость металла в канале определялась по сдвигу фаз вынужденных гармонических колебаний в последовательном колебательном контуре, индуктивностью которого являлась намотанная на канал тороидальная катушка. Полученный эффект имел нестационарный характер также как и возбуждаемое течение, достигая максимум в момент полной остановки (Рис.11, слева). Зависимость от скорости вращения тора, показанная на Рис.11, справа, носит нелинейный характер. Максимальное отклонение эффективной проводимости турбулентной среды от омической проводимости металла составило порядка 1%. Полное описание условий экспериментов и полученных результатов всего цикла работ изложено в [7, 22Ц25].
ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ , а) В задаче о винтовом динамо установлена зависимость критических параметров от всех основных факторов, влияющих на процесс генерации: электрических и магнитных свойств среды и стенки канала, пространственно-временных свойств поля скорости и геометрии канала. Полученны оптимальные параметры экспериментальной установки для реализации винтового динамо.
б) В рамках теории среднего поля на основе корреляционного анализа определена полная структура средней турбулентной электродвижущей силы, возникающей при наличие общего вращения и произвольного сдвигового среднего поля скорости в условиях однородной и неоднородной турбулентности. Показано, что действия различных эффектов может носить конкурирующий характер.
в) Построены новые каскадные модели однородной и изотропной МГД турбулентности, с помощью которых получено детальное описание процессов переноса кинетической и магнитной энергии по спектру при больших значениях чисел Рейнольдса. Показано, что при малых значениях магнитного числа Прандтля, критическое значение магнитного числа Рейнольдса выходит на постоянное значение. При больших значениях магнитного числа Прандтля существенную роль играют нелокальные взаимодействия структур разных масштабов.
Предложен сценарий насыщения мелкомасштабного динамо. Выявлено, что перекрестная спиральность препятствует каскадному переносу энергии и приводит к накоплению энергии в системе.
г) Построены комбинированные модели 2- и -динамо, включающие в себя формирование крупномасштабного магнитного поля при участии мелкомасштабной турбулентности, описание динамической эволюции мелкомасштабных полей и обратного действия среднего магнитного поля на статистические свойства МГД-турбулентности.
Получено динамическое подавление составляющих -эффекта, приводящее к характерной стабилизации крупномасштабного магнитного поля.
д) На основе вейвлет-анализа разработан и применен метод определения структуры галактических магнитных полей по интегральным оценкам - фарадеевской меры вращения внегалактических радиоисточников совместно с данными по пульсарам. Проработан подход к оценке статистических свойств МГД турбулентности в межзвездной среде по распределениям поляризационных наблюдений.
е) Экспериментальные исследования на базе установки с жидким галлием показали согласованность измерений и положений теории среднего поля, измерены - и -эффекты. Эксперимент с наложенным внешним полем подтвердил работу основных индукционных механизмов винтового динамо, которое предполагается получить на б ольшей установке с жидким натрием.
СПИСОК ОСНОВНЫХ ПУБЛИКАЦИЙ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ Основные результаты прямого численного моделирования опубликованы в [1Ц4]. Теоретические положения и численные расчеты в рамках теории среднего поля представлены в [5, 6]. Исследование свойств мелкомасштабной МГД турбулентности с использованием каскадных моделей изложено в [8, 13Ц18]. Развитие каскадно-сеточных моделей и решение с их помощью их задачи многомасштабного динамо опубликовано в [19Ц21]. Разработка и применение методов анализа астрофизических наблюдений представлено в [9Ц12, 27, 28]. Постановка, реализация экспериментальных исследований и интерпретация их результатов, выбор и апробация схемы измерений представлено в [7, 22Ц26].
[1] Frick P., Noskov V., Denisov S., Khripchenko S., Sokoloff D., Stepanov R., Sukhanovsky A. Non-stanionary screw flow in a toroidal channel:
way to a laboratory dynamo experiment // Magnetohydrodynamics.
2002. 38, 1-2. 143Ц162.
[2] Dobler W., Frick P., Stepanov R. Screw dynamo in a time-dependent pipe flow // Physical Review E. V 2003. 67, 5. 056309Ц+.
[3] Степанов Р. А., Чупин А. В., Фрик П. Г. Винтовое МГД динамо в торе // Вычислительная механика сплошных сред. 2008. 1, 1. 109 - 117.
[4] Shukurov A., Stepanov R., Sokoloff D. Dynamo action in M flow obius // Physical Review E. VIII 2008. 78, 2. 025301Ц+.
[5] R K.-H., Stepanov R. Mean electromotive force due to turbulence adler of a conducting fluid in the presence of mean flow // Physical Review E. V 2006. 73, 5. 056311Ц+.
[6] R K.-H., Stepanov R. On the effects of turbulence on a screw adler dynamo // Geophysical and Astrophysical Fluid Dynamics. 2006. 100, 4Ц5. 379Ц395.
[7] Stepanov R., Volk R., Denisov S., Frick P., Noskov V., Pinton J.-F.
Induction, helicity, and alpha effect in a toroidal screw flow of liquid gallium // Physical Review E. IV 2006. 73, 4. 046310Ц+.
[8] Stepanov R., Plunian F. Fully developed turbulent dynamo at low magnetic Prandtl numbers // Journal of Turbulence. 2006. 7. 39Ц+.
[9] Frick P., Stepanov R., Shukurov A., Sokoloff D. Structures in the rotation measure sky // Monthly Notices of the Royal Astronomical Society. VIII 2001. 325. 649Ц664.
[10] Stepanov R., Frick P., Shukurov A., Sokoloff D. Wavelet tomography of the Galactic magnetic field. I. The method // Astronomy and Astrophysics. VIII 2002. 391. 361Ц368.
[11] Патрикеев И. А., Степанов Р. А., Фрик П. Г. Вейвлетрегуляризация операции дифференцирования сигналов с шумом // Вычислительные методы и программирование. 2005. 6. 35Ц42.
[12] Patrikeev I., Fletcher A., Stepanov R., Beck R., Berkhuijsen E. M., Frick P., Horellou C. Analysis of spiral arms using anisotropic wavelets:
gas, dust and magnetic fields in M51 // Astronomy and Astrophysics.
VIII 2006. 458. 441Ц452.
[13] Мизёва И. А., Степанов Р. А., Фрик П. Г. Влияние перекрестной спиральности на каскадные процессы в МГД-турбулентности // Доклады Академии Наук. 2009. 424, 4. 479 - 483.
[14] Степанов Р. А., Фрик П. Г., Шестаков А. В. О спектральных свойствах спиральной турбулентности // Известия АН. Механика жидкости и газа. 2009. 5. 33Ц43.
[15] Stepanov R., Plunian F. Phenomenology of Turbulent Dynamo Growth and Saturation // Astrophysical Journal. VI 2008. 680. 809Ц815.
[16] Frick P., Stepanov R., Rheinhardt M. Shell models for Hall effect induced magnetic turbulence // New Journal of Physics. VIII 2007.
9. 293Ц+.
[17] Plunian F., Stepanov R. A non-local shell model of hydrodynamic and magnetohydrodynamic turbulence // New Journal of Physics. VIII 2007.
9. 294Ц+.
[18] Степанов Р. А. Оптимизация методов численного интегрирования каскадных моделей // Вычислительные методы и программирование. 2002. 3. 176Ц179.
[19] Frick P., Stepanov R., Sokoloff D. Large- and small-scales interactions and quenching in alpha-square-dynamo // Physical Review E. 2006. 74.
066310Ц+.
[20] Stepanov R., Frick P., Sokoloff D. A multi-scale disk dynamo model // Astronomische Nachrichten. VI 2006. 327. 481Ц+.
[21] Степанов Р. А., Фрик П. Г., Д. Соколов Д. Сопряжение уравнений динамо средних полей и каскадной модели турбулентности на примере задачи галактического динамо // Вычислительная механика сплошных сред. 2008. 1, 4. 97 - 108.
[22] Денисов С. А., Носков В. И., Степанов Р. А., Фрик П. Г. Измерения эффективной проводимости турбулентной проводящей жидкости // Письма в ЖЭТФ. 2008. 88, 3. 198Ц202.
[23] Noskov V., Stepanov R., Denisov S., Frick P., Verhille G., Plihon N., Pinton J.-F. Dynamics of a turbulent spin-down flow inside a torus // Physics of Fluids. IV 2009. 21, 4. 045108Ц+.
[24] Frick P., Denisov S., Noskov V., Stepanov R. Direct measurement of effective electro conductivity of turbulent liquid metal // Astronomische Nachrichten. 2008. 329. 706Ц+.
[25] Noskov V., Denisov S., Frick P., Khripchenko S., Sokoloff D., Stepanov R. Magnetic field rotation in the screw gallium flow // The European Physical Journal B. X 2004. 41, 4. 561Ц568.
[26] Халилов Р. И., Степанов Р. А., Фрик П. Г., Хрипченко С. Ю. Электромагнитные измерения уровня жидкого металла в замтнутых объемах // Измерительная техника. 2007. 8. 41Ц44.
[27] Stepanov R., Arshakian T. G., Beck R., Frick P., Krause M. Magnetic field structures of galaxies derived from analysis of Faraday rotation measures, and perspectives for the SKA // Astronomy and Astrophysics.
III 2008. 480. 45Ц59.
[28] Мизёва И. А., Степанов Р. А., Фрик П. Г. Вейвлетные кросскорреляции двумерных полей // Вычислительные методы и программирование. 2006. 7. 172Ц179.