Авторефераты по всем темам >>
Авторефераты по физике
На правах рукописи
Ли Киын САМОСОПРЯЖЕННЫЕ
ГАМИЛЬТОНИАНЫ ДИРАКА С СИНГУЛЯРНЫМИ ВНЕШНИМИ ПОТЕНЦИАЛАМИ В 2+1 ИЗМЕРЕНИЯХ
01.04.02 - теоретическая физика А в т о р е ф е р а т диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук
Москва, 2012
Работа выполнена на кафедре теоретической физики физического факультета Московского государственного университета имени М.В. Ломоносова.
Научный консультант: Доктор физико-математических наук, профессор В. Р. Халилов
Официальные оппоненты: Доктор физико-математических наук, профессор кафедры квантовой теории и физики высоких энергий МГУ имени М.В. Ломоносова В. И. Денисов Доктор физико-математических наук, профессор кафедры информационных технологий и телекоммуникаций Российского государственного торгово-экономического университета В. Н. Родионов
Ведущая организация: Институт физики высоких энергий (ФГБУ ГН - ИФВЭ), г. Протвино
Защита диссертации состоится У20Ф декабря 2012 года в 15:30 часов на заседании диссертационного совета Д 501.002.10 МГУ имени М.В. Ломоносова по адресу: 119991, г. Москва, ГСП-1, Ленинские Горы, МГУ, физический факультет, Северная физическая аудитория.
С диссертацией можно ознакомиться в Фундаментальной библиотеке МГУ имени М.В. Ломоносова (Ломоносовский проспект, д. 27).
Автореферат разослан У29Ф октября 2012 г.
Ученый секретарь диссертационного совета Д 501.002.10, доктор физико-математических наук П. А. Поляков
ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ
Актуальность темы исследования.
Интерес к физическим явлениям в квантовых системах релятивистских фермионов в присутствии интенсивных внешних полей в пространствах пониженных размерностей вызван возможностью применения этих моделей для изучения эффекта Ааpонова-Бома, квантового эффекта Холла, высокотемпературной сверхпроводимости, а также физических процессов в присутствии космических струн.
Новый интерес к различным эффектам в двумерных квантовых системах появился после успешного получения монослоя графита (графена).
При низких энергиях динамика электрона в графене описывается двухкомпонентным уравнением Дирака для фермионов с нулевой массой, поэтому электроны в графене дают интересные реализации квантовой электродинамики в 2+1 измерениях. В то же время Уэффективная постоянная тонкой структурыФ в графене велика, и появляется новая возможность изучения квантовой электродинамики в режиме сильной связи. Отметим также, что высокая подвижность носителей заряда графена делает его весьма перспективным материалом для современной электроники, спинтроники, оптоэлектроники и т.д.
Известно, что при изучении уравнения Дирака с сингулярными внешними потенциалами возникает проблема полноты некоторых найденных наборов точных решений уравнения Дирака. Дело в том, что гамильтониан Дирака с сингулярными внешними потенциалами требует дополнительного доопределения для того, чтобы его можно было трактовать как самосопряженный квантово-механический оператор. В этом случае существует целое семейство самосопряженных гамильтонианов, поэтому сначала необходимо найти все самосопряженные расширения данного симметрического оператора и затем выделить корректный самосопряженный гамильтониан с помощью физически приемлемых граничных условий в точке сингулярности гамильтониана.
Необходимость доопределения видна на примере задачи о движении электрона в сильном кулоновском поле. Действительно, в кулоновском поле, заданном 4-векторным потенциалом A0(r) = a/(e0r), A = 0, a > (e = -e0 0 - заряд электрона), энергия электрона в основном состоянии < Eg = m 1 - a2 обращается в нуль при a = 1, а при a > 1 интерпретация этой формулы как энергии электрона теряет смысл. Дираковский гамильтониан в сильном кулоновском поле точечного заряда (при a > 1) становится неэрмитовым в источнике, и возникает необходимость доопределения гамильтониана. В литературе для построения самосопряженных расширений гамильтониана обычно используется метод физической регуляризации, в которой вместо точечного источника рассматривается потенциал, обрезанный на малом расстоянии R, что соответствует учету конечных размеров источника поля.
Диссертационная работа посвящена квантово-механическому описанию движения массивных и безмассовых электрически заряженных фермионов в двумерных кулоновских (векторном и скалярном) и Ааронова-Бома потенциалах. Для этого построены все самосопряженные гамильтонианы Дирака в кулоновских и Ааронова-Бома потенциалах в 2+1 измерениях с помощью так называемого метода асимметрии форм (Б.Л. Воронова, Д.М.
Гитмана, И.В. Тютина), восходящего к теории самосопряженных расширений Дж. фон Неймана для симметрических операторов. Спектры самосопряженных радиальных гамильтонианов находятся методом направляющих функционалов Крейна для симметрических дифференциальных операторов.
Целью диссертационной работы является 1. Построение самосопряженных гамильтонианов Дирака в кулоновских (векторном и скалярном) и Ааронова-Бома потенциалах в 2+1 измерениях с учетом спина фермиона. Исследование спектров связанных состояний фермиона в зависимости от параметра самосопряженного расширения, спина частицы и параметров поля в физически интересных случаях.
2. Построение самосопряженных гамильтонианов Дирака в векторном кулоновском и Ааронова-Бома потенциалах в 2+1 измерениях с учетом спина частицы и их спектральный анализ. Изучение спектров связанных состояний фермиона в физически интересных случаях. Исследование спектра гамильтониана в области сверхкритических зарядов, когда низшее энергетическое состояние фермиона пересекает границу нижнего континуума энергий, а вакуум квантовой электродинамики перестраивается.
3. Доказательство существования связанного состояния фермиона в поле Ааронова-Бома в области значений параметра самосопряженного расширения 2 > > . Исследование рассеяния релятивистских фермионов потенциалом Ааронова-Бома в 2+1 измерениях с учетом взаимодействия спина фермиона с магнитным полем при различных значениях параметра самосопряженного расширения. Решение задачи рассеяния спин-поляризованных электронов на тонком магнитном соленоиде в плоскости перпендикулярной оси соленоида в реалистическом случае трех пространственных измерений. Получение выражений для амплитуды и сечения рассеяния с определенными значениями проекции спина в начальном и конечном состояниях.
4. Построение самосопряженных дираковских гамильтонианов для фермиона нулевой массы в графене. Получение и изучение волновых функции виртуальных связанных состояний, спектра энергий и времени жизни этих состояний. Исследование локальной плотности состояний как функций энергии и параметров задачи.
Научная новизна работы состоит в том, что в ней впервые:
1. решена задача о квантово-механическом описании движения заряженного массивного фермиона в двумерных кулоновских и Ааронова-Бома потенциалах. Найдены все самосопряженные дираковские гамильтонианы в указанных полях с учетом спина фермиона. Получены уравнения, неявно определяющие спектры энергий, и построены собственные функции для всех самосопряженных дираковских гамильтонианов 2. построены полные наборы решений уравнения Дирака, и исследованы спектры самосопряженного гамильтониана Дирака массивного заряженного фермиона в кулоновском (векторном) и Ааронова-Бома потенциалах в 2+1 измерениях с учетом спина частицы, зависящие от параметра самосопряженного расширения;
3. построены полные наборы решений уравнения Дирака, и исследованы спектры самосопряженного гамильтониана Дирака массивного заряженного фермиона в кулоновском (скалярном) и Ааронова-Бома потенциалах в 2+1 измерениях с учетом спина частицы, зависящие от параметра самосопряженного расширения;
4. получено выражение для амплитуды и сечения рассеяния релятивистских фермионов на потенциале Ааронова-Бома при произвольном значении параметра самосопряженного расширения, что позволило исследовать физически неэквивалентные случаи задачи в соответствующем двумерном пространстве. Показано, что связанные состояния, которые возникают вследствие взаимодействия спинового магнитного момента фермиона с магнитным полем бесконечно тонкого соленоида, оказывают влияние на состояния рассеяния;
5. построены самосопряженные дираковские гамильтонианы для фермиона нулевой массы в кулоновских и Ааронова-Бома потенциалах в 2+1 измерениях. Показано, что при сверхкритических значениях заряда кулоновского поля в системе возникает бесконечное число виртуальных (квазистационарных) связанных состояний. Экспериментально проверяемой физической величиной является локальная плотность состояний (ЛПС) как функция энергии и параметров задачи; ЛПС исследованы как аналитически, так и графически. Показано, что значение спина фермиона и параметра самосопряженного расширения может существенно влиять на ЛПС.
Практическая ценность диссертации.
Х Теоретические результаты, полученные в диссертационной работе могут быть использованы для описания фермиона в однослойном и двухслойном графене с кулоновской примесью в поле тонкого соленоида, а также для исследования влияния спина частицы и параметра самосопряженного расширения на спектр энергий и другие физические величины упомянутых систем.
Х Полученные выражения для амплитуды и сечения рассеяния спинполяризованных электронов на тонком магнитном соленоиде в плоскости перпендикулярной оси соленоида для случая трех пространственных измерений могут быть применены для описания фермионов в поле космической струны в 3+1 измерениях.
Апробация диссертации.
Основные результаты, вошедшие в диссертацию, докладывались на XVIII международной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых УЛомоносовЦ2011Ф (МГУ, Москва, 2011) и на научном семинаре кафедры теоретической физики МГУ имени М.В. Ломоносова.
Публикации.
Основные результаты диссертации изложены в 4 опубликованных работах, список которых приводится в конце автореферата.
Структура и объем диссертации.
Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, двух приложений и списка цитируемой литературы, содержащего 101 наименований. Диссертация содержит 20 рисунков. Общий объем 102 страниц.
СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ Во Введении обоснована актуальность темы диссертации, сформулированы цели и задачи исследования, а также излагается краткое содержание работы. В конце введения представлен список публикаций, в которых изложены основные результаты исследований.
Глава 1. Сингулярный дираковский гамильтониан в кулоновских и Ааронова-Бома потенциалах в 2+1 измерениях посвящена изложению основных сведений и формул, поясняющих постановку задачи, приведены выражения для общего и частного решений радиальных уравнений Дирака. Здесь же изложена математически строгая процедура построения самосопряженных расширений дираковского гамильтониана в кулоновских и Ааронова-Бома потенциалах и процедура их спектрального анализа.
Радиальное уравнение Дирака в кулоновских (векторном и скалярном):
A0(r)=a/(e0r), Ar =0, A = 0, U(r) = -b/r и Ааронова-Бома потенциалах:
A0 = 0, Ar = 0, A = B/r, для дублета F (r) можно записать как f1(r) hF (r) = EF (r), F (r) =, (1) f2(r) где r = x2 + y2, = arctg(y/x), E - энергия фермиона и h - радиальный гамильтониан d a b h = is2 + 1 - + 3 m -. (2) dr r r r Здесь = l + + s/2, = e0B и l = 0, 1, 2,... - целое число, s = - спин фермиона, m и e = -e0 < 0 - масса и заряд фермиона, a и b - положительные постоянные, i - матрицы Паули.
Ввиду громоздкости общего решения уравнения (1), в автореферате мы их не приводим, отсылая к тексту диссертации. Здесь же приведем только некоторые частные решения уравнения (1), которые будут использоваться в дальнейшем. Такими решениями являются + + U1(r; E) = Y (r, s, E)| =s, U2(r; E) = Y (r, s, E)| =-s, (3) s s где дублет s (mr) s 0 m + E Y (r, s, E)= +(r, s, E)+ -(r, s, E) u, (4) m 2 - E (ss + )/(a + b) u=, = m2 - E2, s = 2 - (a2 - b2)s (5) и (r, s, E) - линейная комбинация вырожденной гипергеометрической (p)nxn функции (p, q; x) =, (p)n = p(p + 1)...(p + n - 1). В дальнейшем (q)nn! n=мы будем обозначать 2 + - (a2 b2) , при - b2 ||, a s = (6) i (a2 - b2) - 2 i, при a2 - b2 > ||.
Мы будем различать так называемые дифференциальные выражения и операторы k и будем называть k оператором, ассоциированным с дифференциальным выражением . Пусть H = L2(0, ) гильбертово пространство дублетов F (r) и G(r) со скалярным произведением Ж (F, G) = F (r)G(r)dr = [f1(r)g1(r) + f2(r)g2(r)]dr, (7) 0 так что L2(0, ) = L2(0, ) L2(0, ).
Оператор h будет симметрическим операторм, если для любых дублетов F (r) и G(r) GЖ(r)hF (r)rdr = [hG(r)]ЖF (r)rdr. (8) 0 Область определения сопряженного оператора D(h) представляет собой так называемую естественную область для дифференциального выраже ния h. Оказывается, что для любого дублета F (r) из области определения сопряженного оператора D(h) lim F (r) = 0, поэтому, интегрируя по чаr стям выражение (8), можно получить граничное условие lim GЖ(r)i2F (r) = 0. (9) rЕсли условие (9) удовлетворяется для любых дублетов из D(h), то h является симметрическим и поэтому самосопряженным оператором. Если условие (9) не удовлетворяется, самосопряженный оператор h = hЖ находится как сужение оператора h на так называемую максимальную область D(h) D(h). Для дублета F (r) условие (9) принимает следующий вид Ж (F (r)i2F (r))|r=0 = (f1f2 - f2f1)|r=0 = 0, (10) откуда видно, что условие выполнения (10) определяется асимптотическим поведением дублета F (r) при r 0.
Решение радиального уравнения Дирака (1), представимо в виде F (r) = c1U1(r) + c2U2(r) + I1(r) + I2(r), (11) где c1 и c2 - некоторые константы, I1(r) и I2(r) - выражены через интегралы от тензорных произведений частных решений уравнения (1). В диссертации показывается, что асимптотическое поведение дублета F (r) при r определяется двумя первыми членами F (r) и тем самым существенно за+ висит от значения s.
+ + Представим s в форме q = 2 - (s )2 и введем + + qu = 2 - 1/4 s = 1/2, qc = || s = 0. (12) Величина q играет роль некоторого эффективного заряда. Анализ асимп+ тотического поведения дублета F (r) при r 0 в зависимости от s естественным образом выделяет четыре области эффективного заряда q:
+ Х Первая некритическая область 0 < q qu s = 1/2;
+ Х Вторая некритическая область qu < q < qc 0 < s = < 1/2;
+ Х Область критических эффективных зарядов q = qc = || s = = 0;
+ Х Область сверхкритических эффективных зарядов q > qc s = i.
В первой некритической области эффективных зарядов только функция U1(r)r квадратично интегрируема в точке r = 0, а интегралы I1(r)r1/и I2(r)r1/2. Для принадлежности дублета F (r) гильбертову пространству L2(0, ) необходимо, чтобы c2 = 0:
F (r) = c1U1(r) + I1(r) + I2(r) = O(r1/2) 0, r 0, (13) тогда F D(h) и удовлетворяет условию (10). Это означает, что в первой некритической области эффективных зарядов оператор h является существенно самосопряженным: h = hЖ. Область его определения D(h) есть пространство абсолютно непрерывных дублетов F (r), исчезающих в точке r = 0; дублет hF (r) также принадлежит L2(0, ).
Оказывается, что неединственность самосопряженного гамильтониана Дирака проявляется уже во второй некритической области эффективных зарядов. Переход от второй некритической к критической и сверкхритической области не приводит к качественному изменению в математическом описании системы. Поэтому здесь приведем только результаты из диссертации для второй некритической области эффективных зарядов.
В этой области при r 0 обе функции U1(r)r и U2(r)r- квадратично интегрируемы в точке r = 0, а интегралы I1(r)r1/2 и I2(r)r1/2, поэтому дублет F D(h) ведет себя при r 0 как F (r) = c1(mr)u+ + c2(mr)-u- + O(r1/2). (14) Однако дублет с таким поведением не удовлетворяет условию (10). Это означает, что оператор h не является симметрическим, и необходимо построить нетривиальные самосопряженные расширения исходного симметрического оператора.
Условие (10) будет удовлетворяться, если положить c2 = -c1, где = tan(/2) и 0 2. Угол параметризует самосопряженные расширения h исходного симметрического оператора, которые различны для разных за исключением двух эквивалентных значений: = 0 и = 2.
Следовательно, в области 0 < 1/2 можно определить однопараметрическое U(1)-семейство самосопряженных операторов h h с областью определения D F (r) : F (r) абсолютно непрерывны в области (0, ), F, hF L2(0, ), D = h: F (r) = c[(mr)u+ - (mr)-u-] + O(r1/2), r 0, || < , F (r) = c(mr)-u- + O(r1/2), r 0, = , hF = hF, где c - произвольная постоянная. Проделав подобный анализ в остальных областях эффективного заряда, можно установить, что при любых значениях q самосопряженные расширения гамильтониана Дирака являются однопараметрическими.
В разделе 1.4 на примере первой некритической области эффективных зарядов изложена процедура нахождения спектра самосопряженных дираковских гамильтонианов с помощью метода направляющих функционалов Крейна. Дискретный спектр энергий в области малых зарядов q < qu определяется выражением En,l ab z2 - b2 ab = + -, (15) m z2 + a2 z2 + a2 z2 + aгде z = n + + (1 - s)/2 и n = 0, 1, 2,..., s = 1 для > 0, а также n = 1, 2,..., s = 1 и n = 0, 1, 2,..., s = -1 для < 0. Магнитный поток влияет на спектр энергий фермиона через величину , которая входит в .
Все уровни энергии, за исключением основного (низшего) уровня, дважды вырождены по s. Основное состояние фермиона в рассматриваемой конфигурации полей не вырождено; это состояние с n = 0, s = 1 для > 0, что при заданном заряде e = -e0 < 0 означает > 0 (B > 0), т.е. s > 0.
В основном состоянии, как в состоянии с наименьшей энергией, потенциальная энергия взаимодействия спинового магнитного момента фермиона с магнитным полем, задаваемая выражением -s(r)/r, должна быть минимальной, поэтому s > 0. Если представить магнитный поток в форме = [] + N + , где [] N - целое число ( ) и 1 > 0, то N = 0, 1, 2,... для > 0. Для > 0 основное состояние фермиона (т.е.
частицы с зарядом e) есть состояние с s = 1 и энергией Eg ab ( + 1/2)2 - a2 ab = + -. (16) m ( + 1/2)2 + b2 ( + 1/2)2 + b2 ( + 1/2)2 + bСпектр сгущается в точке E = m, и его асимптотический вид при n дается нерелятивистской формулой m(a + b)n = m - En =. (17) 2nЭта формула совпадает с формулой, описывающей нерелятивистский дискретный спектр энергий связанных состояний фермиона в чисто кулоновском векторном потенциале a/r, в которую вместо a входит сумма a + b.
Глава 2. Самосопряженные расширения гамильтониана Дирака в векторном кулоновском и Ааронова-Бома потенциалах в 2+измерениях посвящена анализу движения заряженного фермиона в двумерном векторном кулоновском и Ааронова-Бома потенциалах, построению всех самосопряженных гамильтонианов для этих комбинации полей и анализу их спектров.
В первой некритической области эффективных зарядов дискретный спектр энергий частиц определяется формулой (15), где нужно положить b = 0. Спектр сгущается в точке E = m, и его асимптотический вид при n дается нерелятивистской формулой man = m - En =. (18) 2nВо второй некритической области эффективных зарядов уравнение для дискретного спектра энергий принимает вид (2) (- + (1 - s)/2 - aE/) (2)-2[ + a(m + E)/ + s] =-. (19) (-2) ( + (1 - s)/2 - aE/) m-2[ + a(m + E)/ - s] Спектр также сгущается в точке E = m и описывается той же асимптотической формулой (18), не зависящей от . Уже в этой области эффективных зарядов при 0 < 1 основное состояние фермионов может достичь границы нижнего континуума энергий E = -m при значениях :
(2)( + s) = - (2a)-2. (20) (-2)( - s) В области эффективных зарядов qu < q < qc низший уровень энергии электрона может достичь границы нижнего континуума энергий, но при этом не погружается в нижний континуум.
В области критических эффективных зарядов q = qc дискретный спектр энергий определяется уравнением 2 1 - s aE sa(m + E) ln + - - + 2C + = -, (21) m 2 2 + a(m + E) где C = 0.57721 - постоянная Эйлера. Спектр сгущается в точке E = m и описывается асимптотической формулой (18). Низший уровень энергии достигает границы нижнего континуума энергий при -0 ln 2a + 2C, но = не пересекает границу нижнего континуума энергий E = -m.
В сверхкритической области эффективных зарядов условие существования дискретного спектра энергий связанных состояний фермионов определяется формулой (2i)(-i + (1 - s)/2 - aE/)(2)-2i (-2i)(i + (1 - s)/2 - aE/)m-2i + a(m + E)/ + is = e-2i+2in. (22) + a(m + E)/ - is Как и в предыдущем случае, точка E = m является точкой сгущения спектра, и при n 1 спектр описывается асимптотической формулой (18).
+ Случай s = i = i a2 - 2 существенно отличается от других областей эффективного заряда тем, что при сверхкритических зарядах низший уровень фермиона достигает границы нижнего континуума энергий -m при любых (а не при определенных или фиксированных) значениях параметра самосопряженного расширения (в сверхкритической области эффективных зарядов 0 ). Рассматриваемая квантовая система становится более стабильной в присутствии магнитного потока Ааронова-Бома который входит в через величину .
Глава 3. Самосопряженные расширения гамильтониана Дирака в скалярном кулоновском и Ааронова-Бома потенциалах в 2+измерениях посвящена описанию движения заряженного фермиона в двумерном скалярном кулоновском и Ааронова-Бома потенциалах. Построены все самосопряженные гамильтонианы для этих комбинации полей, и проанализированы их спектры. Здесь также рассматривается задача рассеяния релятивистских фермионов потенциалом Ааронова-Бома в 2+1 измерениях, и изучается влияние параметра самосопряженного расширения и спина фермиона на амплитуду и сечение рассеяния.
В присутствии только скалярного кулоновского и Ааронова-Бома потенциалов эффективный заряд q может принимать только некритические значения q < qc, и при = 0 дискретный спектр энергий определяется выражением (n + + (1 - s)/2)2 - bEn = m, n = 0, 1, 2... (23) (n + + (1 - s)/2)Спектр гамильтониана Дирака имеет две ветви энергий (частиц и античастиц), и эти ветви симметричны относительно горизонтальной прямой E = 0. Из соображений непрерывности, состояния частиц (античастиц) - это состояния, которые при бесконечно медленном выключении внешнего поля примыкают к границе непрерывного спектра E = m (соответственно к границе спектра E = -m). Известно, что в зарядово-симметричной теории в 1+1 измерениях, вследствие существования фермионных состояний с нулевой энергией, вакуум может приобретать дробный фермионный заряд. Однако в рассматриваемой здесь квантовой системе изолированные невырожденные решения уравнения Дирака (частицы и античастицы) с нулевой энергией не являются зарядово-сопряженными, поэтому дробный фермионный заряд не возникает.
В присутствии только потенциала Ааронова-Бома эффективный заряд q = qc = ||. При этом в области || 1/2 существуют только решения уравнения (1), принадлежащие к непрерывному спектру энергий. Если же 0 < || < 1/2, то условие существования дискретного спектра энергий связанных состояний фермионов принимает следующий вид (2||) (-|| + (1 - s)/2) (2)-2|| = -. (24) (-2||) (|| + (1 - s)/2) m-2|| Отсюда следует, что связанные состояния существуют только при отрицательных значениях (или 2 > > ). Из уравнения (24) можно получить, что при l + N = -1 и = > 0 связанные состояния будут существовать только при s = 1, что обусловлено дополнительным потенциалом взаимодействия спина с магнитным полем -s(r)/r, имеющего характер притяжения при s = 1 (s > 0). Таким образом, полезно переписать (24) для s = 1 в следующем виде 2-(2 - 1)(1/2 - ) m = -, (25) (1 - 2)(-1/2 + ) 2 m2 - Eи рассматривать только уровни энергии частицы. При адиабатическом увеличении параметра от 0 до 1 уровни энергии частиц, определенные формально уравнением (25), понижаются от E = m до E = -m, а уровни энергии античастиц поднимаются от E = -m до E = m, поэтому нет так называемого уровня Ферми EF, который отделяет состояния частиц и античастиц. Но из формулы (25) видно, что для = -1 (или = 3/2) можно ввести энергию Ферми EF = 0, определив состояния частиц как состояния с положительными энергиями E 0, а состояния античастиц как состояния с отрицательными энергиями E 0. При таком определении ветви энергий частиц и античастиц как функции пересекают в точке = 1/2 горизонталь E = 0 и симметричны по отношению к этой точке. Следовательно, при адиабатическом изменении параметра от 0 до 1/2 энергетическая щель между связанными состояниями частиц и античастиц исчезает, и задача о поведении уровней энергий связанных состояний при > 1/2 не может быть решена в рамках одночастичной квантовой механики.
В разделе 3.4 решается задача рассеяния фермионов на потенциале Ааронова-Бома, с учетом ориентации спина фермиона и параметра самосопряженного расширения. Амплитуда рассеяния определяется выражением (-1)ne-i[n+(1+s)/2] f() = eis/2 sin() - (eis + se-i) sin(/2), (26) 2k sin(/2) (1 + ) sin((1 + s)/4 - /2) где k = E2 - m2, tg(/2) = s и мы поло(1 - ) cos((1 + s)/4 - /2) жили = N + n + . Отсюда при = 0, ( = 0, ) можно получить сечение рассеяния в зависимости от , которое совпадает с известной формулой Ааронова-Бома (случаи = 0, эквивалентны) sin2() d = |f()|2d = d dAB. (27) 2k sin2(/2) Интересно, что связанные состояния явно проявляются в рассеянии фермиона. Действительно, при 0 сечение рассеяния при = -1 ( = 3/2) (1 + s)d = d (28) 2k обращается в нуль при s = -1, и оно изотропно и равно d = 2d/(k) при s = 1. Мы видим, что различные граничные условия, наложенные на спинорные волновые функции в источнике, приводят к неэквивалентным физическим случаям в соответствующем двумерном пространстве.
В разделе 3.5 полученные результаты для амплитуды и сечения рассеяния обобщены на случай трех пространственных измерений, что имеет место в реальных физических экспериментах. Вектор z n можно положить направленным вдоль оси соленоида в трехмерном пространстве, тогда, рассматривая рассеяние электрона в плоскости xy, перпендикулярной оси соленоида, мы получим полное сечение в виде ( = 0, ) dAB d = {cos2(/2)(1 + s s) + sin2(/2)[(1 - s s) + 2(sn)(sn)] - sin (n[s s])}. (29) Скалярное произведение векторов a и b обозначено как a b или (ab), а векторное произведение векторов a и b обозначено как [a b]. Вектор n является трехмерным единичным вектором, перпендикулярным к плоскости рассеяния и s (s) характеризует трехмерный вектор спина электрона в начальном (конечном) состоянии.
Глава 4. Электрически заряженные фермионы нулевой массы в кулоновских и Ааронова-Бома потенциалах в 2+1 измерениях посвящена построению всех самосопряженных гамильтонианов Дирака для заряженного безмассового фермиона в кулоновских (векторном и скалярном) и Ааронова-Бома потенциалах в 2+1 измерениях и анализу их спектров. В конце главы исследованы локальные плотности состояний (ЛПС) как функции энергии и параметров задачи.
Особенностью энергетического спектра безмассового фермиона в графене, в присутствии кулоновских примесей, является наличие виртуальных (резонансных) связанных состояний. Эти состояния нетривиальны тем, что в безмассовом случае нет естественного масштаба длины, характеризующего область локализации связанных состояний, и что в области сверхкритических эффективных зарядов (q > qc) в системе имеется бесконечное число квазистационарных уровней, обусловленных дальнодействующим характером кулоновского потенциала.
Оказывается, что условие существования виртуальных связанных состояний имеет тот же самый вид, что и условие (22). В четвертой главе диссертации рассматриваются фермионы с нулевой массой (m = 0), поэтому выражение (22) становится существенно комплексным. Запишем E = |E|ei.
Спектр виртуальных связанных состояний определяются двумя уравнениями, одно из которых фиксирует параметры поля 1 |(-ia - i)| a + = - ln, (30) 2 2 |(-ia + i)| a - а второе нумерует уровни виртуальных связанных состояний s 2 ln(|E|/E0) = 2 - (1 + 2n) - 2C + arctg + 2 2 2j + - 2 arctg + arctg. (31) j j j2 + j=Здесь E0 - положительная константа, n = 0, 1, 2... и 0 .
При 1 энергетический спектр виртуальных связанных состояний определяется выражением En,,s =E0 cos() exp[-(1+2n)/2+/-(2C-s/(2a)+Re(1-ia))], (32) где теперь /2 - 1/2a + Im(ia) и (z) - логарифмическая производная гамма-функции. Мнимая часть En,,s определяет ширину виртуальных резонансных состояний или обратное время жизни (скорость распада). Спектр (32) имеет существенно особую точку при q = qc ( = 0). Из формулы (30) следует, что sin 0.2 cos при 1, поэтому ширина резонансных состояний исчезающе мала, следовательно, они практически являются связанными состояниями.
Экспериментально проверяемыми физическими величинами, например, с помощью метода сканирующей туннельной спектроскопии, являются ЛПС как функции энергии и параметров задачи. ЛПС на единицу площади определяется выражением |f1(r, E, l)|2 + |f2(r, E, l)|N(E, r) =. (33) 2r|Cl(E)|l=- Здесь f1(r, E, l)/Cl(E) и f2(r, E, l)/Cl(E) - дублеты, нормированные (на полуоси с мерой dr) путем наложения условия ортогональности по энергии, а Cl(E) является коэффициентом нормировки. Явные выражения ЛПС для различной области эффективных зарядов приведены в диссертации.
Оказывается, что ЛПС проявляют пики при низких положительных энергиях уже в докритической области эффективных зарядов q < qc (рис. 1), поскольку уже во второй некритической области допустимы и регулярные, и сингулярные (при r 0) решения уравнения Дирака. Видно также, что притягивающий кулоновский потенциал приводит к уменьшению спектрального веса в отрицательной области энергии и противоположное происходит в положительной области. Данный эффект проявляется сильнее вблизи кулоновского центра. На рис. 2 видно существование единственного резонанса в отрицательной области энергии вблизи E 0, когда 0, = /2, и только для значения спина s = 1, что хорошо согласуется с выражением (32). На рис. 3 изображены ЛПС при a = 4/3, = 0.1. Видно, что для положительной области энергии, ЛПС свойственно осциллирующее поведение, также здесь можно четко увидеть образование резонансов в ЛПС, которые непосредственно связаны с рождением позитронов в квантовой электродинамике.
2.0 2. a b 0.5 0.5 1.5 1. 0.25 0.25 1.0 1.a 0, 0 a 0, 0.5 0.0.0 0. 10 5 0 5 10 10 5 0 5 E E Рис. 1: ЛПС N(E, r) при a = 0.3, b = 0, = 0.1, s = 1. (a) r = 0.3, (b) r = 1; для сравнения на графиках приведена свободная плотность состояний при a = 0, = (штриховая линия).
N E,r N E,r 2.0 2. a b 0.5 0.5 1.5 1. 0.25 0.25 1.0 1.a 0, 0 a 0, 0.5 0.0.0 0. 10 5 0 5 10 10 5 0 5 E E Рис. 2: ЛПС N(E, r) при a = 0.40001, = 0.1, b = 0, r = 1. (a) s = 1, (b) s = -1.
2.0 2. a b 1.5 r 0.3 1.5 r 0.r 1 r 1.0 1.0.5 0.0.0 0. 10 5 0 5 10 10 5 0 5 E E Рис. 3: ЛПС N(E, r) при a = 4/3, = 0.1, b = 0, s = 1. (a) = 0.25, (b) = 0.5.
В Заключении сформулированы основные положения диссертации, выносимые на защиту:
1. Найдены все самосопряженные дираковские гамильтонианы в кулоновских (векторном и скалярном) и Ааронова-Бома потенциалах в 2+измерениях во всех четырех областях эффективного заряда. Проведен полный спектральный анализ полученных самосопряженных дираковских гамильтонианов для каждой области эффективных зарядов. Получены значения параметра самосопряженного расширения, при котором дискретный спектр энергий достигает границы нижнего континуума энергий E = -m. Показано, что эффективный заряд зависит от магнитного потока Ааронова-Бома и спина частицы.
2. Получены выражения для амплитуды и сечения рассеяния релятивистских фермионов потенциалом Ааронова-Бома, которые явно зависят от спина фермиона и параметра самосопряженного расширения.
Амплитуда и сечения рассеяния обобщены на случай трех пространственных измерений, откуда можно сделать вывод о том, что cпин N E,r N E,r N E,r N E,r электрона в начальном состоянии может влиять на процесс рассеяния, только если его проекция на плоскость рассеяния отлична от нуля.
3. Проведено математически строгое квантово-механическое описание движения фермиона нулевой массы в кулоновских и Ааронова-Бома потенциалах в 2+1 измерениях (случай графена). Для этого построены самосопряженные дираковские гамильтонианы в указанных полях, и проведен их спектральный анализ. Впервые выведены уравнения, определяющие Удискретный спектрФ и обратное Увремя жизниФ (скорость распада) квазистационарных состояний, и найдены решения этих уравнений в физически интересных случаях.
4. Получены аналитические выражения для ЛПС в зависимости от спина фермиона и параметра самосопряженного расширения. Анализ ЛПС показал, что спин фермиона и параметр самосопряженного расширения может существенно влиять на поведение ЛПС.
Основное содержание диссертации и результаты выполненных исследований опубликованы в следующих работах.
1. Khalilov V.R., Lee K.E. Bound fermion states in a vector 1/r and Aharonov-Bohm potentials in (2 + 1) dimensions // Mod. Phys. Lett. A.
2011. Vol. 26. P. 865.
2. Khalilov V.R., Lee K.E. Fermions in scalar Coulomb and Aharonov-Bohm potentials in 2 + 1 dimensions // J. Phys. A. 2011. Vol. 44. P.
205303.
3. Халилов В.Р., Ли Ки Ын. Дискретные спектры дираковского гамильтониана в кулоновских потенциалах и потенциалах Ааронова-Бома в 2 + 1 измерениях // Теоретическая и математическая физика.
2011. Т. 169. № 3. С. 368-390.
4. Khalilov V.R., Lee K.E., Mamsurov I.V. Spin-polarized fermions in an Aharonov-Bohm field // Mod. Phys. Lett. A. 2012. Vol. 27. P.
1250027.