Авторефераты по всем темам >>
Авторефераты по разное
На правах рукописи
Пугачев Олег Всеволодович
ФОРМЫ ДИРИХЛЕ И ЕМКОСТИ, СВЯЗАННЫЕ С БЕСКОНЕЧНОМЕРНЫМИ ВЕРОЯТНОСТНЫМИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯМИ
01.01.05 теория вероятностей и математическая статистика
АВТОРЕФЕРАТ
диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук
Москва 2009
Работа выполнена в МГТУ имени Н.Э.Баумана.
Официальные оппоненты:
доктор физико-математических наук, профессор И.В. Павлов, доктор физико-математических наук, профессор А.В. Угланов, доктор физико-математических наук, профессор В.В. Ульянов
Ведущая организация:
Владимирский государственный гуманитарный университет
Защита состоится " " 2009 г. в 14 часов на заседании диссертационного совета Д.002.022.01 при Математическом институте им. В.А. Стеклова по адресу: 119991 Москва, ул. Губкина, д. 8, 9-й этаж, конференц-зал.
С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Математического института им. В.А. Стеклова.
Автореферат разослан " " 2009 г.
Ученый секретарь диссертационного совета Д.002.022.при Математическом институте им. В.А. Стеклова доктор физико-математических наук, профессор В.А. Ватутин
ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ
Актуальность темы. Основная тематика этой работы связана с аналитическими проблемами теории бесконечномерных вероятностных распределений, привлекающими аппарат теории емкостей и форм Дирихле для изучения распределений случайных процессов, функционалов от них, а также сходимости случайных процессов. Это направление, активно развивающееся в последние два десятилетия, в идейном отношении восходит к классическим работам Ю.В. Прохорова1 и Г. Шоке2, отличительной особенностью которых явился синтез аналитического и топологического подходов. В последующие годы развитие аналитического направления привело к созданию двух важных областей в теории бесконечномерных вероятностных распределений теории дифференцируемых мер С.В. Фомина3 и исчисления Маллявэна4. Первой из них посвящены фундаментальные труды5,6,7,8,9,10. Второй также посвящен целый ряд монографий, из которых особо отметим книги11,12,13,10. Связи между теорией дифференцируемых мер и исчислением Маллявэна подробно исследованы в работах14,8,10 и книгах15,10. В данной диссертации существенно используются идеи и методы теории дифференцируемых мер и исчисления Маллявэна. Более того, часть основных результатов диссертации, относящихся к построению поверхностных мер для бесконечномерных 1Прохоров Ю.В. Сходимость случайных процессов и предельные теоремы теории вероятностей.
Теория вероятн. и ее примен., 1956, т. 1, в. 2, 177Ц238.
2Choquet G. Theory of capacities. Ann. Inst. Fourier (Grenoble), 1955, v. 5, 131Ц295.
3Фомин С.В. Дифференцируемые меры в линейных пространствах. Тезисы кратких научн. сообщ. Международного конгресса математиков: Секция 5, 78Ц79. Изд-во МГУ, М., 1966.
4Malliavin P. Stochastic calculus of variation and hypoelliptic operators. Proc. Intern. Symp. on Stoch.
Diff. Eq. (Res. Inst. Math. Sci., Kyoto Univ., Kyoto, 1976), 195Ц263. Wiley, New York - Chichester - Brisbane, 1978.
5Авербух В.И., Смолянов О.Г., Фомин С.В. Обобщенные функции и дифференциальные уравнения в линейных пространствах. Тр. Моск. мат. об-ва, 1971, т. 24, 133Ц174.
6Скороход А.В. Интегрирование в гильбертовом пространстве. Наука, М., 1975.
7Далецкий Ю.Л., Фомин С.В. Меры и дифференциальные уравнения в бесконечномерных пространствах. Наука, М., 1983.
8Богачев В.И., Смолянов О.Г. Аналитические свойства бесконечномерных распределений. Успехи мат. наук, 1990, т. 45, N 3, 3Ц83.
9Uglanov A.V. Integration on infinite-dimensional surfaces and its applications. Kluwer Academic Publ., Dordrecht, 2000.
10Богачев В.И. Дифференцируемые меры и исчисление Маллявэна. РХД, МоскваЦИжевск, 2008.
11Bell D. The Malliavin calculus. Wiley and Sons, N.-Y., 1987.
12Malliavin P. Stochastic analysis. Springer-Verlag, Berlin, 1997.
13Nualart D. The Malliavin calculus and related topics. 2nd ed. Springer-Verlag, Berlin, 2006.
14Bogachev V.I. Differential properties of measures on infinite dimensional spaces and the Malliavin calculus. Acta Univ. Carolinae, Math. et Phys., 1989, v. 30, N 2, 9Ц30.
15Богачев В.И. Гауссовские меры. Наука, М., 1997.
вероятностных распределений, дает решения задач на стыке этих двух областей.
Первая общая конструкция поверхностной меры на бесконечномерном пространстве была предложена А.В. Скороходом6. А.В. Угланов существенно модифицировал эту конструкцию и построил общую теорию поверхностного интегрирования на бесконечномерных пространствах (см.16,9), а также получил важные приложения этой теории к решению бесконечномерных дифференциальных уравнений с частными производными. Однако метод А.В. Угланова требует топологических ограничений на рассматриваемые поверхности (типа непрерывности некоторых производных). Для гауссовских мер эти ограничения удалось снять в работе17 с помощью исчисления Маллявэна. В.И. Богачев18 предложил схему построения поверхностных мер для негауссовских гладких мер с использованием исчисления Маллявэна. Этот подход был развит автором, что позволило снять топологические ограничения и для общих дифференцируемых мер и построить поверхностные меры на множествах уровня соболевских функций. От этих функций не требуется даже непрерывность (таковы типичные функции, появляющиеся в теории случайных процессов и задаваемые с помощью стохастических интегралов).
Построение и исследование поверхностных мер в бесконечномерных пространствах, причем не только линейных, но и в пространствах конфигураций, входит в круг основных целей диссертации.
В описанной проблематике существенную роль играет изучение емкостей, порожденных классами Соболева относительно бесконечномерных вероятностных распределений. Их исследование важно и для многих других вопросов теории бесконечномерных вероятностных распределений и теории случайных процессов. В последние три десятилетия емкости, связанные с классами Соболева на бесконечномерных пространствах или с весовыми классами Соболева на конечномерных пространствах, исследуются весьма интенсивно19,20,10,12,15. В геометрической теории 16Угланов А.В. Поверхностные интегралы в банаховом пространстве. Мат. сб., 1979, т. 110, N 2, 189Ц217.
17Airault H., Malliavin P. Intgration gometrique sur lТespaces de Wiener. Bull. Sci. Math. (2), 1988, v. 112, N 1, 3Ц52.
18Bogachev V.I. Smooth measures, the Malliavin calculus and approximation in infinite dimensional spaces. Acta Univ. Carolinae, Math. et Phys., 1990, v. 31, N 2, 9Ц23.
19Ma Z.M., Rckner M. An introduction to the theory of (non-symmetric) Dirichlet forms. Springer, Berlin, 1992.
20Fukushima M., Oshima Y., Takeda M. Dirichlet forms and symmetric Markov processes. De Gruyter, Berlin - New York, 1994.
меры и стохастическом анализе часто возникает потребность в более тонкой характеристике малости множества, чем сама мера. Важным примером такой характеристики является емкость. Свойства соболевских емкостей на бесконечномерных пространствах рассматривались в ряде работ как для гауссовских, так и для некоторых негауссовских мер21,12,22,10, однако для общих дифференцируемых мер до сих пор имелись лишь отдельные результаты, а случай пространства конфигураций ранее вообще не исследовался.
Одной из наиболее принципиальных и просто формулируемых (но, как правило, трудных) проблем в связи с емкостями, порожденными классами Соболева по вероятностным мерам, является проблема их плотности, т.е. существования компактов со сколь угодно малыми емкостями дополнений. Эта проблема весьма актуальна и в стохастическом анализе, и в теории меры. В отличие от радоновских мер, общие емкости даже на очень простых пространствах (например, на прямой) отнюдь не всегда плотны, несмотря на то, что по известной теореме Шоке внутренне компактно регулярны. Это связано с неаддитивностью большинства емкостей. Во многих случаях плотность емкости ответственна за существование диффузии. Вопрос о плотности классических соболевских емкостей на Rn решен положительно, см., например23,24. В бесконечномерном случае появляется широкое разнообразие пространств, мер и определений соболевских классов. Данная проблема рассматривалась в работах25,15. Плотность емкостей C1,2 важна при построении диффузионных процессов. Кроме того, плотность емкостей, порожденных классами r,p W, является существенной деталью конструкции поверхностных мер на бесконечномерных пространствах и многообразиях, развитой в третьей главе диссертации. С вероятностной точки зрения, оценки емкости различных множеств важны для понимания поведения диффузионных процессов, например, возможности попадания в эти множества. Бесконечномерные пространства обладают заметной спецификой при изучении соболевских емкостей.
21Fukushima M. Basic properties of Brownian motion and a capacity on the Wiener space, J. Math.
Soc. Japan, 1984, v. 36, N 1, 161Ц176.
22Kusuoka S. Dirichlet forms and diffusion processes on Banach spaces, J. Fac. Sci. Univ. Tokyo, Sec.1A, 1982, v. 29, N 1, 79Ц95.
23Гольдштейн В.М., Решетняк Ю.Г. Введение в теорию функций с обобщенными производными и квазиконформные отображения. Москва, ДНаукаФ, 1983.
24Мазья В.Г. Пространства С.Л.Соболева. Л: Изд-во ЛГУ, 1985.
25Rckner M., Schmuland B. Tightness of general C1,p capacities on Banach space, J. Funct. Anal., 1992, v. 108, N 1, 1Ц12.
Один из важнейших объектов в этих исследованиях формы Дирихле. Этот аналитический объект тесно связан с целым спектром вероятностных понятий и проблем, относящихся к сходимости случайных процессов. Замыкаемости и сходимости форм Дирихле и свойствам связанных с ними диффузионных процессов и классов Соболева посвящено множество исследований, из которых особенно важны работы26,27,28,29,30,31. В частности, проблема замыкаемости квадратичных форм возникает в стохастическом анализе, в теории дифференциальных операторов и теории пространств Соболева32,19. Чтобы градиентная квадратичная форма Дирихле вида E(f) = f 2d могла быть ассоциирована с некоторым диффузионным процессом, необходима ее замыкаемость. В случае, когда вероятностная мера на Rd задана дифференцируемой (в соболевском смысле) плотностью, существует диффузионный процесс t, удовлетворяющий стохастическому дифференциальному уравнению (t) dt = 2 dwt + dt (t) и имеющий стационарное распределение = dx. Генератор L переход ной полугруппы этой диффузии имеет вид Lf = f +, f. Квадра тичная форма этого оператора на области C0 (Rd) в L2() есть форма Дирихле E(f). Оказывается, что форма Дирихле E(f) может быть замыкаемой и для мер с недифференцируемыми плотностями. Таким способом строятся диффузии с сингулярными коэффициентами сноса. На многих пространствах типа фракталов такой способ построения является основным даже для наиболее простых диффузий, например, броуновского движения. Этому направлению принадлежит один из основных результатов первой главы диссертации, который дает решение 26Жиков В.В., Козлов С.М., Олейник О.А. Усреднение дифференциальных операторов. М.: Наука, 1993.
27Жиков В.В. О весовых соболевских пространствах. Мат. сборник, 1998, т. 189, N 8, 27Ц58.
28Mosco U. Composite media and Dirichlet forms, J. Funct. Anal., 1994, v. 123, 368Ц421.
29Кириллов А.И. Бесконечномерный анализ и квантовая теория как исчисления семимартингалов. Успехи мат. наук, 1994, т. 49, N 3, 43Ц92.
30Kuwae K., Shioya T. Convergence of spectral structures: a functional analytic theory and its applications to spectral geometry. Comm. Anal. Geom., 2003, v. 11, N 4, 599Ц673.
31Kolesnikov A.V. Mosco convergence of Dirichlet forms in infinite dimensions with changing reference measures. J. Funct. Anal., 2006, v. 230, 382Ц418.
32Albeverio S., Rckner M.>
долго стоявшей проблемы существования такой замыкаемой градиентной формы Дирихле на плоскости, что частные формы не являются замыкаемыми.
Наконец, еще одно активно развивающееся современное направление в теории бесконечномерных вероятностных распределений, к которому относится ряд основных результатов данной диссертации, связано с изучением пространств конфигураций, т.e. пространств локально конечных наборов точек из данного фазового пространства, например, риманова многообразия. Пространства конфигураций возникают во многих теоретических и прикладных задачах. На них строятся меры, представляющие собой различные обобщения распределения Пуассона33. На пространствах конфигураций имеется естественная и очень интересная структура бесконечномерного многообразия. Этому направлению посвящено много исследований, см., например, работы34,35,36,37,38,39,40,41,42. В диссертации строятся соболевские классы любых порядков на пространстве конфигураций с мерой Пуассона; изучается проблема плотности порожденных ими емкостей. Кроме того, оцениваются емкости различных порядков для множества конфигураций, имеющих кратные точки. Эти вопросы ранее не изучались.
Последняя группа результатов связана с преобразованиями мер на пространствах конфигураций. Квазиинвариантность гауссовских и некоторых других бесконечномерных распределений относительно нелинейных преобразований функциональных пространств изучалась многими авторами, начиная с классических работ Камерона и Мартина, Маруямы, 33Кингман Дж. Пуассоновские процессы. МЦНМО, М., 2007.
34Вершик A.M., Гельфанд И.M., Граев M.И. Представления групп диффеоморфизмов, Успехи мат. наук, 1975, т. 30, N 6, 1Ц50.
35Исмагилов Р.С. Унитарные представления группы диффеоморфизмов пространства Rn, n > 2, Maт. Сборник, 1975, т. 98, 55Ц71.
36Смородина Н.В. Формула ОстроградскогоЦГаусса для пространства конфигураций. Теория вероятн. и ее примен., 1990, т. 35, N 4, 725Ц736.
37Давыдов Ю.А., Лифшиц М.А., Смородина Н.В. Локальные свойства распределений стохастических функционалов. Физматлит, М., 1995.
38Privault N. Girsanov theorem for anticipative shifts on Poisson space. Probab. Theory Relat. Fields, 1996, v. 104, 61Ц76.
39Albeverio S., Kondratiev Yu.G., Rckner M. Analysis and geometry on configuration spaces, J.
Funct. Anal. 1998, v. 154, N 2, 444Ц500.
40Tsilevich N., Vershik A., Yor M. An infinite-dimensional analogue of the Lebesgue measure and distinguished properties of the gamma process. J. Funct. Anal, 2001, v. 185, N 1. 274Ц296.
41Albeverio S., Smorodina N.V. A distributional approach to multiple stochastic integrals and transformations of the Poisson measure. Acta Appl. Math., 2006, v. 94, 1Ц19.
42Смородина Н.В. Кратные стохастические интегралы и ДнепуассоновскиеФ трансформации гамма-меры. Зап. научн. семин. ПОМИ РАН, 2005, т. 328, 191Ц220.
Прохорова, Скорохода, Гирсанова. Обзор этих исследований и современное состояние вопроса можно найти в книгах15,43. В работах34,35 установлена квазиинвариантность меры Пуассона относительно преобразований конфигураций на многообразии M, порожденных диффеоморфизмами самого M. В работе38 получено обобщение теоремы Гирсанова на пуассоновские процессы, вероятностное пространство которых изоморфно пространству конфигураций на [0; +) с мерой Пуассона. В работах41,получены достаточные условия квазиинвариантности меры Пуассона при преобразованиях конфигураций на многообразии вида S [0; +), сдвигающих точки вдоль второго сомножителя. В диссертации получены формулы преобразования мер на пространствах конфигураций на конечномерных многообразиях под действием отображений значительно более общего вида.
Цель работы. Исследование замыкаемости градиентных форм Дирихле и получение условий слабой сходимости конечномерных распределений сингулярных диффузионных процессов в терминах порожденных ими форм Дирихле. Доказательство плотности соболевских емкостей, связанных с бесконечномерными вероятностными распределениями, и построение поверхностных мер на множествах уровня соболевских функций относительно таких распределений. Исследование емкостей и поверхностных мер на пространствах конфигураций с пуассоновскими распределениями. Нахождение условий абсолютной непрерывности пуассоновских распределений относительно нелокальных преобразований.
Научная новизна. Основные результаты диссертации являются новыми и заключаются в следующем:
1. Решена долго стоявшая проблема теории форм Дирихле: построена мера на R2, для которой градиентная квадратичная форма замыкаема, но частные квадратичные формы не замыкаемы. При построении использован новый положительный результат, дающий достаточное условие замыкаемости форм Дирихле относительно сужений меры Лебега на множества.
2. Получены новые достаточные условия сходимости Моско конечномерных и бесконечномерных форм Дирихле. Это дает эффективно проверяемые условия слабой сходимости конечномерных распределений диффузионных процессов.
3. Доказана плотность емкостей, порожденных классами Соболева различных порядков в широком классе локально выпуклых пространств, а также в пространствах конфигураций.
43stnel A.S., Zakai M. Transformation of measure on Wiener space. Springer, Berlin, 2000.
4. Получены достаточные условия нулевой емкости множества конфигураций, имеющих кратные точки.
5. Результаты о соболевских емкостях применены для построения поверхностных мер на множествах уровня соболевских функций, порожденных бесконечномерными вероятностными распределениями, а также поверхностных мер на пространствах конфигураций.
6. Доказана квазиинвариантность мер Пуассона для широкого класса нелокальных преобразований пространств конфигураций.
Методы исследования. В работе применяются методы теории бесконечномерных вероятностных распределений, в частности, теория слабой сходимости мер, теория дифференцируемых мер, теория форм Дирихле, а также исчисление Маллявэна. Используются методы функционального анализа, в том числе, теория соболевских классов и емкостей. Кроме того, используется ряд оригинальных конструкций автора.
Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Ее методы и результаты могут быть использованы в теории случайных процессов, теории вероятностей, теории дифференциальных уравнений с частными производными на бесконечномерном пространстве, математической физике, геометрической теории меры.
Результаты диссертации могут найти применение в исследованиях, проводимых в МГУ им. М.В. Ломоносова, МИАН им. В.А. Стеклова, ПОМИ РАН им. В.А. Стеклова, С.-ПГУ, НГУ, ИМ СО РАН, МГТУ им. Н.Э. Баумана, ДВН - РАН.
Апробация диссертации. Результаты диссертации докладывались и обсуждались на международном семинаре Бесконечномерный стохастический анализ, посвященном 95-летию со дня рождения А.Н. Колмогорова (МГУ, 1998), на научно-исследовательском семинаре Бесконечномерный анализ и стохастика под руководством профессора В.И. Богачева в МГУ (1998Ц2009 гг.), на семинаре Бесконечномерный стохастический анализ в университете г. Билефельда (2001 - 2006 гг.), в Уорикском университете (2002 г.), в Бристольском университете (2002 г.), на Международной конференции по дифференциальным уравнениям и динамическим системам (Суздаль, 2008 г.), на семинаре Отдела теории вероятностей и математической статистики Математического института РАН имени В.А. Стеклова (2008 г.), на семинаре Теория дифференцируемых функций многих переменных и ее приложения под руководством академика С.М. Никольского и члена-корреспондента РАН Л.Д. Кудрявцева в Математическом институте РАН имени В.А. Стеклова (2008 г.), на международной конференции, посвященной 100-летию со дня рождения С.Л.Соболева (Новосибирск, 2008 г.), во Владимирском Гуманитарном университете (2009 г.) и на международной конференции Стохастический анализ и случайные динамические системы, посвященной 100-летию Н.Н. Боголюбова (Львов, 2009 г.).
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах автора, список которых приведен в конце.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, включающих 18 разделов, и списка литературы из 135 наименований. Общий объем диссертации составляет 202 страницы.
КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ Глава 1.
Основные результаты этой главы дают решение проблемы существования замыкаемой градиентной формы Дирихле на плоскости, для которой частные формы не замыкаемы. Для этого используется новое достаточное условие замыкаемости формы Дирихле, порожденной сужением меры Лебега на компакт. Кроме того, найдены эффективно проверяемые условия сходимости по Моско форм Дирихле в терминах сходимости стационарных распределений, что дает условие слабой сходимости конечномерных распределений процессов.
Пусть X локально выпуклое пространство с положительной радоновской мерой ; H X - гильбертово подпространство, вложенное в X непрерывно. Если функция g является -интегрируемой, то через g обозначим меру с плотностью РадонаЦНикодима g относительно .
В конечномерном случае пусть C := C0 (X) класс гладких функций с компактными носителями в X; в бесконечномерном случае пусть C := FC(X) класс гладких цилиндрических функций вида f(x) = u(l1(x),..., lm(x)), lj X, u C0 (Rm), m N.
Для функции f C определен градиент Hf вдоль H.
Определение 1.1. Пусть E квадратичная формa нa множестве D L2(X, ). Говорят, что форма (E, D) зaмыкaемa, если для всякой последовaтельности функций fn D, тaкой, что fn - 0 и Ln E(fn - fm) - 0, выполнено E(fn) - 0.
m,n n В одномерном случае имеется простой критерий замыкаемости градиентной формы Дирихле, однако уже в двумерном случае проблема оказывается существенно более сложной и до сих пор не решена. Более лет остается открытой и гипотеза Фукушимы, что необходимым условием замыкаемости формы E(f) = f 2d, D = C, (1.1) является абсолютная непрерывность . Эффективно проверяемым достаточным условием оказалась замыкаемость частных форм Дирихле f Ex (f) = d, D = C.
i xi Однако долгое время оставался открытым вопрос о необходимости этого условия. Было неизвестно, существует ли такая мера нa плоскости, что формa (1.1) зaмыкaемa, a формa Ex не зaмыкaемa. В данной главе получен положительный ответ на этот вопрос.
Теорема 1.2. На плоскости существует вероятностная мера , для которой полная градиентная форма Дирихле замыкаема, а частная форма Ex нет.
Здесь получен также и положительный результат - новое достаточное условие замыкаемости формы (1.1) для специального класса мер на Rn, а также достаточное условие продолжения соболевских классов, близкое к результатам Жикова44,45. Обозначим через n меру Лебега на Rn.
Теорема 1.3. Предположим, что открытые множества Q Rd и G\G0, где G0 G Rd, имеют локально липшицевы границы. Возьмем счетное семейство преобрaзовaний подобия Tk пространства Rd, для которых Tk(G) Q и Tk(G) Tj(G) = при k = j. Положим S := Q\ Tk(G0). (1.2) k=Тогда квадратичная формa E (f) = |f|2 dn, f C, S 1,p замыкаема в L2(n |S), а соболевские классы W (S), p 1, корректно определены.
44Жиков В.В. Усреднение функционалов вариационного исчисления в теории упругости, Изв.
АН СССР, Сер. матем, 1986, т. 50, N 4, 675Ц711.
45Жиков В.В. Асимптотические задачи, связанные с уравнением теплопроводности в перфорированных областях, Матем. сб, 1990, т. 181, N 10, 1283Ц1305.
Решение упомянутой проблемы было получено автором при помощи теоремы 1.3, примененной к плоскости R2 и G := (-3; 3)2, G0 := (-2; 2)2.
В качестве меры можно взять сужение меры Лебегa нa некоторый компакт вида (1.2). Можно видоизменить эту меру так, чтобы ее носитель совпадал со всей плоскостью R2. Полученный результат обобщается также на d-мерное пространство.
Теорема 1.4. Пусть d N, d 2. Существует мера с полным носителем на Rd, такая, что квадратичная форма вида d f Eh,...,hd(f) = hk d, h1,..., hd 0, xk k=замыкаема в L2() в том и только том случае, если h1 ... hd > 0.
Пусть n, радоновские положительные меры на X.
Определение 1.5. (i) Будем говорить, что последовательность функций fn L2(n) слабо сходится к функции f L2(), если fn(x)(x)n(dx) f(x)(x)(dx) C.
(ii) Последовательность функций fn L2(n) сильно сходится к функции f L2(), если она сходится к f слабо и при этом выполнено соотношение fn L2(n) f.
L2() Сходимость Моско была введена в работе28. Ее роль состоит в том, что сходимость Моско квадратичных форм на L2() эквивалентна сильной сходимости порожденных ими диффузионных полугрупп; из нее также вытекает слабая сходимость конечномерных распределений диффузионных процессов, соответствующих этим полугруппам. Важное продвижение было получено в работax27,30, где рассматривались квадратичные формы на последовательности гильбертовых пространств. Следующее определение сходимости Моско соответствует именно этому более общему случаю.
Определение 1.6. Последовательность квадратичных форм En на пространствах L2(n) сходится по Моско к квадратичной форме E на L2(), если выполнены следующие два условия:
(M1) для всякой последовательности функций fn L2(n), слабо сходящейся к f L2(), выполнено неравенство lim En(fn) E(f);
n (M2) для всякой функции f L2() найдется последовательность fn L2(n), сильно сходящаяся к f, такая, что En(fn) E(f).
Пусть = C([0, ), X) - пространство всех непрерывных траекторий в локально выпуклом пространстве X. Рассмотрим в X марковский диффузионный процесс {, Xt, Ft, Px, x X}, (1.3) имеющий вероятностную или неотрицательную -конечную стационарную меру на X. Данный диффузионный процесс порождает на L2() полугруппу {Tt}t0, у которой генератор L имеет область D(L). С генератором полугруппы ассоциирована неотрицательно определенная квадратичная форма (E, D(E)), где D(E) = D(L), заданная соотношением E(f, g) = -(f, Lg)L () f, g D(E).
Пусть еще имеется последовательность диффузионных процессов n {, Xn,t, Fn,t, Px, x X}, n N, (1.4) со стационарными мерами n, квадратичными формами En и полугруппами {Tn,t}. Рассмотрим на распределения n P := Px (dx), P := Px n(dx).
n Cходимость Моско En E влечет слабую сходимость конечномерных распределений (Xn,t,..., Xn,t ) к распределениям (Xt,..., Xt ).
1 k 1 k В работе27 показано, что формы Дирихле En на L2(n), ассоциированные с марковскими процессами (1.4), сходятся по Моско к форме E на L2(), ассоциированной с (1.3), в точности тогда, когда для всякой последовательности функций fn L2(n), сильно сходящейся к f L2(), функции Tn,tfn сильно сходятся к Ttf при каждом t > 0.
Будем говорить, что мера на локально выпуклом пространстве X локально дифференцируема вдоль вектора h X в смысле Скорохода, если меры ((+th)-)/t локально слабо сходятся (т.e. сходятся интегралы от функций из C0(X)) к некоторой знакопеременной мере, обозначаемой через dh. Мера называется локально дифференцируемой вдоль вектора h X в смысле Фомина, если меры (( + th) - )/t сходятся к dh на каждом предкомпактном борелевском множестве.
В случае мер на Rd локальная дифференцируемость по Скороходу вдоль d линейно независимых векторов означает, что частные производные в смысле обобщенных функций задаются локально ограниченными мерами. Локальная дифференцируемость Фомина равносильна тому, что 1, = dx, где Wloc (Rd).
Пусть H X линейное подпространство. В случае X = Rd пусть оно наделено евклидовой нормой, не обязательно совпадающей с нормой из Rd. Если же X бесконечномерное локально выпуклое пространство, то предположим, что H - гильбертово пространство (конечномерное или бесконечномерное сепарабельное), непрерывно вложенное в X.
Пусть неотрицательная радоновская мера на локально выпуклом пространстве X; квадратичная форма определена для функций C формулой E() = |H|2d.
Норму на пространстве C зададим формулой := + E().
E L2() 1,Соболевским классом WH () называется пополнение класса C по норме в L2().
E Следующие теоремы дают новые достаточные условия сходимости Моско градиентных квадратичных форм. Отметим, что здесь на меры не накладываются условия ограниченности снизу (типа существования плотности c локально интегрируемой -1), поэтому полученные здесь результаты применимы и к диффузиям, стационарные меры которых имеют пустоты.
Теорема 1.7. Пусть меры n, на локально выпуклом пространстве X неотрицательны и конечны (в случае X = Rd локально конечны, причем для некоторого > 0 выполнена оценка |x| R eR для всех R > 0); пусть n и n - слабо (в случае X = Rd n локально слабо). Рассмотрим квадратичные формы En(f) = |Hf(x)|2n(dx), (1.5) для которых D(En) таковы, что C плотно в D(En) по норме .
En Пусть E(f) = |Hf(x)|2(dx), (1.6) где H сепарабельное гильбертово пространство, непрерывно вложенное в X. Если форма E замкнута, то En E по Моско.
Теорема 1.8. Пусть на Rd заданы неотрицательные локально конечные меры и n, n N. Пусть меры n локально дифференцируемы по Скороходу по всем векторам h H Rd, а мера локально дифферен цируема по Фомину по всем векторам h H, причем h L2 ().
loc Предположим, что n и dhn dh локально по вариации. Рассмотрим квадратичные формы (1.5), для которых D(En) таковы, что C плотно в D(En) по норме . Пусть для формы (1.6) имеет место En 1,равенство D(E) = WH (). Тогда En E по Моско.
Теорема 1.9. Пусть на локально выпуклом пространстве X задана радоновская вероятностная мера , такая, что гильбертово пространство H() = h X : h L2(), h = h L2() (1.7) H() плотно в X. Пусть H H() гильбертовo подпространствo с той же нормой и радоновские меры n 0 дифференцируемы по Скороходу по всем векторам h H, причем n и dhn dh по вариации.
Рассмотрим квадратичные формы (1.5). Пусть D(En) таковы, что C плотно в D(En) по норме , а для формы (1.6) имеет место равенEn 1,ство D(E) = WH (). Тогда En E по Моско.
Применим теорему 1.9 к случаю, когда меры и n абсолютно непрерывны относительно некоторой гауссовской меры.
Теорема 1.10. Пусть радоновская гауссовская мера на локально выпуклом пространстве X, такая, что ее пространство Камерона - Мартина H() плотно в X, H H() гильбертовo подпространствo с той же нормой.
1,Пусть 0, n 0 входят в L1(), причем 0 WH()(), а функции n имеют обобщенные производные по всем векторам h H, являющиеся мерами dhn. Предположим, что n 0 в L1+() и dhn h0 по вариации. Рассмотрим квадратичные формы En(f) = |Hf(x)|2n(x)(dx), где D(En) таковы, что C плотно в D(En) по норме . Пусть En 1,E(f) = |Hf(x)|20(x)(dx), D(E) = WH (0 ).
Тогда En E по Моско.
Следствие 1.11. Если выполнены условия одной из теорем 1.7 1.10 и, кроме того, формы En замкнуты, то (i) для всякой последовательности функций fn L2(n), сильно сходящейся к f L2(), функции Tn,tfn сильно сходятся к Ttf при t > 0;
(ii) конечномерные распределения диффузионных процессов, ассоциированных с En, слабо сходятся к конечномерным распределениям диффузионного процесса, ассоциированного с E.
В конечномерном случае полученные результаты означают, что для слабой сходимости конечномерных распределений диффузий, заданных градиентными формами Дирихле, достаточна сходимость их стационарных распределений на шарах по соболевской норме.
Глава 2.
Основные результаты этой главы состоят в доказательстве ряда важных свойств емкостей, порожденных классами Соболева на бесконечномерных пространствах (локально выпуклых или пространствах конфигураций).
Пусть X локально выпуклое пространство, в которое непрерывно и плотно вложено сепарабельное гильбертово пространство H со скалярным произведением ; и нормой | |. Это дает непрерывное отображение jH : X H, где jH(l); h = l(h).
Если функция f дифференцируема в точке x в каком-либо смысле, то ковектору f (x) X соответствует вектор Hf(x) = jH(f (x)), называемый градиентом функции f вдоль H.
Обозначим через H(H, H) = H2 класс операторов ГильбертаЦШмидта из H в H. По индукции определяются классы операторов Гильберта - Шмидта порядков n 2: Hn = H H, Hn-1. Eстественно положить H0 = R, H1 = H. Cоответствующие нормы равны T =... T (em,..., em ) Hn 1 n-H m1=1 mn-1=и не зависят от выбора ортонормированного базиса {em} в H.
Пусть радоновская вероятностная борелевская мера на X, имеющая полный носитель. Будем предполагать, что jH(X) H(), где H() гильбертово пространство, определенное в (1.7).
Определение 2.1. Мера на X дифференцируема вдоль векторного поля v : X X, если существует функция v L1(), называемая дивергенцией векторного поля v, такая, что для всякой функции из FC(X) выполнено равенство b v(x)(dx) = - (x)v(x)(dx), где v(x) = (x)(v(x)).
Определение 2.2. Функция f Lp() входит в пространство Соболеr,p ва W (), если существует последовательность функций fn FC, b сходящаяся к f в Lp() и фундаментальная по норме , где r,p r k f = f + Hf Lp(,Hk).
r,p Lp() k=m m При 1 m k предел в Lp(, Hm) функций H fn обозначим через H f и будем называть соболевским градиентом m-го порядка функции f.
Определение 2.3. Пусть неотрицательная борелевская мера на топологическом пространстве X. Пусть F некоторое линейное пространство -измеримых функций, снабженное нормой , причем функции из F, совпадающие почти всюду по мере , обладают равными нормами. Емкость, порожденная F, определяется так: для всякого открытого множества U X положим CF(U) = inf f : f F, f 0 на X, f 1 на U -почти всюду ;
для произвольного множества A X положим CF(A) = inf CF(U) : A U, U - открытое.
Функция f на X называется CF-квазинепрерывной, если существуют замкнутые множества Qn, такие, что f |Q непрерывна при каждом n, и n CF(X\Qn) < 1/n. Известно, что для всякой функции f F существует CF-квазинепрерывная -версия.
Емкость CF называется плотной, если для всякого > 0 найдется компакт K X, такой, что CF(X\K) < .
Согласно классической теореме Шоке, всякая емкость Шоке C на суслинском пространстве X (например, на полном сепарабельном метрическом пространстве) внутренне компактно регулярна, т.е. для всякого борелевского множества B верно равенство C(B) = sup{C(K): K - компакт в B}.
Однако, в отличие от случая мер, из этого не следует плотность, даже если X = R1 или X = (0, 1).
Будем говорить, что H удовлетворяет условию (T1), если существует центрированная радоновская гауссовская мера на X с H H().
Теорема 2.4. Пусть X локально выпуклое пространство с радоновской вероятностной мерой . Пусть для всякого > 0 существует метризуемый компакт K X с (X\K) < . Предположим, что сепарабельное гильбертово пространство H X удовлетворяет услоr,p вию (T1). Тогда емкость Cr,p = CW () плотна при всех p [1; +), r,p r N, при которых соболевский класс W () корректно определен.
Перейдем к соболевским функциям и емкостям в пространствах конфигураций. Пусть M некомпактное связное гладкое полное риманово k многообразие размерности d. Через M обозначим градиент k-го порядка на M, определенный в терминах связности ЛевиЦЧивиты.
Определение 2.5. Пространство конфигураций (с кратными точка ми) = M на многообразии M есть пространство мер на M, принимающих значения в Z+ {+}, таких, что для всякого компакта K M имеем (K) < .
Обозначим через w0 топологию на , порожденную функциями ви да , := (x)(dx), где C0(M). В пространстве существует метрика , задающая топологию w0, такая, что с метрикой является полным и сепарабельным.
Определение 2.6. Пусть многообразие M наделено -конечной локально конечной мерой . Вероятностная мера на пространстве конфи гураций = M называется пуассоновской мерой с интенсивностью , если для любого конечного набора непересекающихся ограниченных борелевских множеств A1,...,An M имеем n i (Ai)m i : |(Ai)| = mi, i = 1,..., n = e-(A ).
mi! i=Далее мы будем предполагать, что мера имеет плотность относи 1,тельно риманова объема на M, причем Wloc (M).
Функция f : R называется гладкой цилиндрической (обозначение:
f FC = FC()), если она имеет вид b b f() = u( 1, ,... n, ), j C0 (M), u Cb (Rn), n N.
n Пусть T Mn такое тензорное расслоение над Mn, что слой в точке n (x1,..., xn) Mn имеет вид (T Mn)(x,...,xn) = Tx M Tx M. Обозна1 1 n n чим через [, ]n риманово скалярное произведение в слое (T Mn)(x,...,xn), заданное формулой n v1 vn, w1 wn n = (vj, wj)T M.
xj j=Через || обозначим соответствующую норму |v| = [v, v]n. Касательное n тензорное пространство n-го порядка T в точке есть пространn ство сечений T Mn, для которых конечна следующая норма:
1/ Y = Y (x1,..., xn) 2(dx1) (dxn).
n T Mn n Oбозначим через Lp(, T ) пространство -измеримых сечений F тенn n зорного расслоения T , F () T , наделенное нормой 1/p F = F () p (d).
p n T Векторное поле V C0 (M, T M) порождает группу диффеоморфизмов V {t }tR многообразия M, которые поднимаются в пространство по V правилу: если = kix, то t () = kiV.
(xi) i i i t n Определение 2.7. Градиентом сечения F расслоения T , где n Z+, n+ называется сечение F расслоения T , определенное таким образом: для всякого v TxM, x supp , выполнено равенство F ()(x, x1,..., xn), (v v1 vn) = n+d = F t() t(x1),..., t(xn), t(v1) t(vn).
dt t=0 n Здесь t поток диффеоморфизмов, порожденный гладким векторным полем Vx на M c Vx(x) = v, таким, что t в окрестности точки x сдвигает точки вдоль геодезических с постоянной скоростью; Vx = вне некоторой окрестности точки x, не содержащей других точек конфигурации . Через t(v) T (x)M обозначен результат параллельного t переноса вектора v TxM вдоль траектории t.
В случае n = 0 мы имеем то же самое определение градиента скалярной функции, что и в работе39. Применяя определение 2.7 несколько раз, мы можем определить градиенты высших порядков k для скалярных функций, векторных и тензорных полей на .
n Будем говорить, что сечение F расслоения T принадлежит классу n FC(T ) гладких цилиндрических тензорных полей n-го порядка, если b оно имеет следующий вид:
F ()(x1,..., xn) = = Fk,...,km(x1,..., xn) 1{x =...=xk1} 1{x, I I =...=xn} 1 1 k1+...+km-1+k1+...+km=n N,...,km k1,...,km где ki N, Fk,...,km(x1,..., xn) = k ()wj (x1,..., xn), 1 j=1 j k1,...,km 1 n N N, k,...,km FC, wj C0 (Mn, T Mn). Индексы ki никак j b не связаны с кратностями точек конфигурации. Они появляются в силу того, что, например, производная цилиндрического векторного поля не может быть записана как линейная комбинация гладких тензорных полей 2 порядка на M 2, умноженных на цилиндрические функции. Имеет n n+ место включение FC(T ) FC(T ). Для гладких цилиндb b n рических сечений T , n = 0, 1,..., соболевские нормы , r N, r,p p 1, определены следующим образом:
r F := kF () p.
r,p k=Гладкие цилиндрические сечения имеют конечные соболевские нормы любых порядков.
n Определение 2.8. Сечение F Lp(, T ) принадлежит соболевскому r,p n классу W (T ), если существует последовательность гладких цилинn n дрических сечений Fm расслоения T , сходящаяся к F по Lp(, T )норме, и при этом {Fm} последовательность Коши по норме .
r,p При k = 1,..., r градиентом k-го порядка сечения F считается предел n+k в Lp(, T ) соответствующих градиентов сечений Fm.
r,p n Градиенты от 1-го до r-го порядка от функций класса W (T ) опреr,p r,p делены корректно. Будем обозначать W := W (T ) пространство соболевских скалярных функций.
Зафиксируем точку a M и обозначим через Ur открытую r-окрестность a в метрике M. Предположим, что выполнено следующее услоr вие: существуют такие функции n C0(M) со значениями в [0; 1], что n |U = 1, supp n Un+1, и такие числа k 1, что n k sup sup Mn(x) k k = 1, 2,..., r. (2.1) n xM В случае r = 1 это условие выполнено всегда. В общем случае условие (2.1) является дополнительным ограничением на M. Пространство Rd и d-мерное пространство Лобачевского удовлетворяют условию (2.1) при всех r N.
Теорема 2.9. Пусть условие (2.1) выполняется для некоторого натуr,p рального r. Тогда емкость Cr,p, порожденная классом Соболева W на , плотна при всяком p 1.
Пространство = M конфигураций без кратных точек есть = : ({x}) 1 x M.
Известно, что если не имеет атомов, то (\) = 0. Метрическое пространство (, ) не является полным. Однако пространство с топологией w0 будет полным по другой метрике 1, задающей ту же топологию.
В работе найдены следующие условия компактности в пространствах конфигураций.
Теорема 2.10. (i) Множество Q предкомпактно в топологии wв точности тогда, когда для всякого компакта A M имеем sup (A) < . (2.2) Q (ii) Множество Q предкомпактно в топологии w0 в точности тогда, когда для всякого компакта A M выполнено (2.2) и inf min distM(x, y) > 0.
Q x,yAsupp Возникает такой вопрос: будет ли та или иная соболевская емкость обращаться в нуль на множестве \ конфигураций с кратными точками? В этом направлении получен следующий результат.
Теорема 2.11. Пусть пространствo конфигураций на Rd или на dмерном пространстве Лобачевского с пуассоновской мерой, порожденной локально конечной мерой , имеющей плотность относительно d-мерной меры Лебега (или относительно римановского объема), та 1,кую, что Wloc и L2. Тогда при всяких r N и p [1; d/r) loc мы имеем Cr,p(\) = 0, а емкость Cr,p плотна также в .
Глава 3.
Основные результаты этой главы связаны с построением поверхностных мер на множествах уровня соболевских функций на бесконечномерных пространствах с вероятностными мерами (локально выпуклых или пространствах конфигураций). Принципиальное новшество состоит в том, что не накладывается каких-либо условий непрерывности на функции, задающие поверхности. Значение этого результата понятно из того, что многие типичные функционалы от случайных процессов не являются непрерывными. Таковы, например, функционалы, задаваемые посредством стохастических интегралов или решений стохастических уравнений. Скажем, простейший стохастический интеграл Винера F (w) = (t) dwt от неслучайной функции имеет непрерывную на C[0, 1] версию лишь тогда, когда функция имеет ограниченную вариацию, хотя F линейная функция и входит во все классы Соболева. С помощью кратных стохастических интегралов можно построить примеры соболевских функций, которые нельзя сделать непрерывными, сузив на какое-либо множество полной меры.
В этой же главе получен ряд новых результатов об эквивалентных преобразованиях мер на пространствах конфигураций. Эти преобразования не являются локальными.
Пусть X локально выпуклое пространство; радоновская вероятностная мера; H сепарабельное гильбертово пространство, непрерывно вложенное в X. Предположим, что H удовлетворяет условию (T1) и что jH(X) H().
Пусть K счетное семейство компактов на X. Назовем K локализующим семейством r-го порядка, если выполнены такие условия:
1) K1, K2 K K3 K: K1 K2 K3, 2) (X\ K) = 0, KK 3) для каждого K K существует Cr,p-квазинепрерывная при всех r,p p 1 функция K W (), такая, что 0 K 1, K|K = 1, pи существует такой компакт K K, что K |X\K = 0. Семейство функций {K | K K} также будем называть локализующим порядка r.
Будем говорить, что функция f принадлежит локальному соболевскому r,p классу Wloc (), если существует локализующее семейство r-го порядка r,p функций {K}, такое, что f W () {K}. При этом производk k ные f в точке x K K определяются по формуле Hf(x) = H(Kf)(x), k = 1,... r.
Если мера сосредоточена на возрастающей последовательности абсолютно выпуклых компактов, представимых в виде счетного пересечения цилиндров, то имеется локализующее семейство всякого порядка r N r,p r,p и имеет место вложение W () Wloc (). В диссертации доказано, что r,p если f Wloc () и infKK Cr,p(X\K) = 0, то функция f имеет Cr,pквазинепрерывную -версию.
В следующей теореме о свойствах плотности индуцированной меры при отображении в прямую на функцию наложены более слабые условия гладкости, чем в работе17. Эта теорема играет важную роль при построении поверхностной меры на множествах уровня.
Теорема 3.1. Пусть радоновская вероятностная мерa на локально выпуклом пространстве X, пусть H сепарабельное гильбертово пространство, H H(). Пусть 2,p 0,p F Wloc (), |HF |-1 Lp () Wloc (), loc где p > 4, и для F и |HF |-1 существует общее локализующее семейство функций L 2-го порядка. Если для всякой L мера дифференцируема вдоль векторного поля HF, причем плотность меры d F () H -относительно меры принадлежит L2(), то мера () F имеет непрерывную плотность k (относительно меры Лебега) с ограниченной вариацией на R.
Теорема 3.2. Пусть X локально выпуклое пространство, и выполнены условия теоремы 3.1. Тогда однозначно определено семейство ра(a) доновских мер : L, a R, таких, что (a) (x) (dx) = k(a) FC(X).
b Эти меры обращаются в 0 на множествах нулевой емкости C1,r, где r удовлетворяет условию 4/p + 1/r < 1.
Определим поверхностную меру (a) на всей поверхности {F (x) = a}.
Пусть выполнены условия теоремы 3.2 и A B(X). Если A K при некотором K K (K локализующее семейство компактов 2-го порядка (a) для функции F ), и supp K K K, то положим (a)(A) = (A).
K Если A произвольно, то положим (a)(A) = sup (a)(B): B A; K K : B K.
Отметим простейшие свойства введенных мер.
Предложение 3.3. Функции (a) : B(X) [0; +] не зависят от выбора локализующих семейства компактов 2-го порядка K и являются радоновскими -конечными положительными мерами, конечными на компактах из K.
Для рассматриваемых поверхностных мер получено обобщение форму2,лы ОстроградскогоЦГаусса. Пусть функция F Wloc () является C1,6-квазинепрерывной и |HF |-1 L12 (); положим U := F (-; 0).
loc -Будем называть множество = F (0) поверхностью множества U. Если функция F и мера удовлетворяют условиям теоремы 3.1, то на мы имеем поверхностную меру (0). Определим нормированную поверхностную меру 0(dx) := |HF (x)|(0)(dx), 1,где для |HF |2 Wloc () выбрана C1,6-квазинепрерывная версия. Эта мера имеет конечную вариацию на каждом компакте K K. Внешней нормалью к поверхности будем называть вектор n(x) := |HF (x)|-1HF (x), x .
1,Тогда для всякого векторного поля u W (, H), имеющего компактный носитель supp u K K, такого, что существует u (см. определение 2.1), будет справедлива следующая формула ОстроградскогоЦГаусса:
u(x)(dx) = u(x), n(x) (0)(dx), (3.1) U где для функции u, n выбрана C1,6-квазинепрерывная версия.
Замечание 3.4. Если вместо принадлежности локальным соболевским 2,классам потребовать включения F W () и |HF |-1 L12(), то 1,формула (3.1) будет верна для векторных полей u W (, H) не только с компактными носителями.
Мера (0) не зависит от выбора функции F, задающей данные U и c точностью до множества нулевой емкости C1,6.
В этой же главе исcледуется абсолютная непрерывность образа меры Пуассона при отображении пространства конфигураций на прямую, затем строятся поверхностные меры, связанные с мерой Пуассона. При этом для функции F, задающей поверхность, мы рассматриваем градиенты только первого и второго порядка; затем рассматриваем альтернативное определение, использующее только первый градиент функции F.
Определение 3.5. Мера на дифференцируема вдоль векторного поля v : T , если существует функция v L1() (дивергенция поля v), такая, что для всех FC() выполнено равенство b v()(d) = - ()v()(d), где v() = (), v().
T 2,p Теорема 3.6. (i) Пусть F W такова, что существует вектор1,s ное поле V W T с дивергенцией V Ls(), и (V F )-1 1,r Lq(). Если g W (2 < r ), и положительные числа p, q, r, s удовлетворяют неравеству 1 2 1 + + + 1, (3.2) p q r s -то для меры (g)F можно выбрать абсолютно непрерывную плотность РадонаЦНикодима kg относительно меры Лебега на R, такую, что + Var kg = |kg(a)| da const(F, V ) g.
1,r - В частности, |kg(a)| const(F, V ) g для всех a R.
1,r 1,p (ii) Пусть функция F W такова, что существует векторное по ле V Ls(, T ) с дивергенцией V L s(), 1/p + 1/s 1. Тогда для 1,r s -всякой функции g W с r = мера V F F допускает абсо1+s лютно непрерывную плотность kg,V относительно меры Лебега на R, такую, что + Var kg,V = |kg,V (a)| da V + V g.
Ls Ls 1,r - В частности, |kg,V (a)| V + V g при всех a R.
Ls Ls 1,r 2,p 1,s Теорема 3.7. (i) Пусть F W и пусть поле V W T таково, что V Ls() и (V F )-1 Lq(). Пусть 2/p + 2/q + 2/s 1. Тогда существует такое семейство мер {a}aR, что справедливо следующее тождество:
f() a(d) = kf(a), a R, f FC.
b Кроме того, верна оценка a(A) const(F, V ) C1,r(A), A B(), где const(F, V ) положительное число, зависящее только от F и V, а число r удовлетворяет условию (3.2).
(ii) В ситуации предположения (ii) теоремы 3.6 существует такое семейство мер {a,V }aR, что f() a,V (d) = kf,V (a), a R, f FC;
b a(A) V + V C1,r(A), A B().
Ls Ls В виду теоремы 2.11, мы получаем такое следствие теоремы 3.7.
Следствие 3.8. Пусть выполнены условия теоремы 3.7(i). Eсли мы рассматриваем пространство конфигураций на Rd, где выполнено -условие d > 1 - 1/p - 2/q - 2/s, то мера a обращается в нуль на множестве конфигураций с кратными точками.
Естественно называть a и a,V поверхностными мерами на множествах {F = a}. Преимущество a по сравнению с a,V в том, что она не зависит от векторного поля V (требуется лишь существование подходящего V ).
С другой стороны, преимущество меры a,V в том, что для ее построения требуются лишь первые производные функции F.
Чтобы получить более геометрическое определение поверхностной меры (так, чтобы она не зависела даже от выбора F ), рассмотрим нормали зованные поверхностные меры a := |F | a, где для функции |F | выбрана C1,p-квазинепрерывная версия.
В работе получена версия формулы ОстроградскогоЦГаусса, обобщающая результаты36,37; формулы такого типа могут быть полезны при изучении краевых задач на пространствах конфигураций.
2,p Теорема 3.9. Пусть 6/p + 2/q + 2/s = 1 и функция F W является 1,s C1,p-квазинепрерывной. Пусть векторное поле V W T таково, что (i) V Ls(), (ii) (V F )-1 Lq().
1,p Пусть Y векторное поле класса W , T , для которого существует дивергенция Y. Тогда функция 1,p/ F (), Y () W T интегрируема по мере 0, и если для функции (F, Y ) выбрана C1,p/2квазинепрерывная версия, то вepна формула Y () (d) = (nF, Y )() 0(d), (3.3) -1 -F ((-;0)) F (0) где nF = |F |-1F. В частности, правая часть формулы (3.3) не за висит от выбора C1,p/2-квазинепрерывной версии (F, Y ).
Если имеется другая C1,p-квазинепрерывная функция F, удовлетворяющая условиям теоремы 3.9, и {F < 0} = {F < 0} и {F = 0} = {F = 0}, то мера 0 не изменится, если мы заменим функцию F функцией F.
В последнем разделе рассмотрена проблема квазиинвариантности меры Пуассона. Поскольку множество конфигураций c кратными точками имеет нулевую меру , мы будем рассматривать пространство конфи гураций без кратных точек. Следовательно, мы можем отождествлять конфигурации со счетными локально конечными подмножествами многообразия M.
Пусть f : R; зафиксируем 0 . Будем говорить, что функция f дифференцируема по точке x0 0, если отображение f0 : M R: x f (0\{x0}) {x} дифференцируемо в точке x0, т.e. существует x f() := Mf0(x0) Tx M. Соответственно, f называется непрерывно дифференцируемой по точке x0 0, если отображение Mf0 : M T M непрерывно в точке x0.
Мы будем рассматривать отображения вида T () = x + ()v(x) | x .
Для простейшего случая ( 1, носитель поля v компакт) известен следующий результат. Пусть F борелевское отображение M в себя, и существует ограниченная область M, такая, что F (x) = x при -x , и F . Если преобразование пространства задано в / -виде T () = {F (x) | x }, то T , и соответствующая плотность РадонаЦНикодима такова:
-1 -d T d F () = (x).
d d x В диссертации рассмотрен общий случай переменного множителя и векторного поля v, не обязательно имеющего компактный носитель.
Отрезок, соединяющий точки a и b, обозначим через [a, b].
Теорема 3.10. Пусть пространство конфигураций на Rd и мера Пуассона с интенсивностью = (x)dx, где > 0, C1(Rd).
Пусть отображение T : имеет вид T () = x + ()v(x) | x , где : [-1; 1] непрерывно дифференцируема по каждому x .
Пусть v липшицево с константой C < 1 векторное поле на Rd и supx |v(x)| = V < . Положим w(x) := v(x), где норма операторная. Предположим, что |v(x)| |x()| P := sup < 1.
1 - w(x) x Предположим также, что интеграл D() := Fq-1(x) e|v(x)| - 1 (dx), Rd где F(x) = (1 - w(x))-d exp sup, v, [x-v(x);x+v(x)] конечен при некоторых q > 1 и > 0. Тогда мера квазиинвариантна относительно отображения T, причем верна оценка D(0) -1 exp d T q .
d Lq() 1 - P Теперь рассмотрим преобразования конфигураций потоками, порожденными векторными полями. Обозначим через v(x) := v(x), (x) + div v(x) дивергенцию поля v относительно меры на римановом многообразии M.
Эта дивергенция заведомо существует, если поле локально липшицево.
Теорема 3.11. Пусть M связное некомпактное гладкое d-мерное риманово многообразие; v локально липшицево векторное поле на M.
Обозначим через {Ft}tR поток диффеоморфизмов M, порожденный полем v. Пусть преобразование Tt пространства имеет вид Tt() = Ft(x) | x .
Если при некотором фиксированном t > 0 и некоторой точке o M при некоторых q > 1, > 0 и > 1 конечен интеграл exp (q - 1) sup (-tv) + |v| min{; } - 1 (dx), + distM(o, x) M U|t|V (x) где u = max{u; 0}, то мы имеем Tt-1 , соответствующая + плотность равна t () = exp - v(F-s(x))ds t x и входит в класс Lq(), причем Lq() exp(K0,0/q).
t В работе приведены примеры, показывающие, что технические условия, накладываемые в двух предыдущих теоремах, существенны. Например, построено преобразование вида T () = x + f()v(x)| x , где v C0 (M, T M) и f FC(), которое переводит меру не в b эквивалентную, даже если v и Dv произвольно малы.
ПУБЛИКАЦИИ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ [1] Пугачев О.В. Формула ОстроградскогоЦГаусса в бесконечномерном пространстве. Матем. сб. 1998. Т. 189, N 5. С. 115Ц128.
[2] Pugachev O.V. Tightness of Sobolev capacities in infinite dimensional spaces. Inf. Dimen. Anal., Quantum Probab. and Relat. Top. 1999. V. 2, N 3. P. 427Ц440.
[3] Пугачев О.В. О замыкаемости классических форм Дирихле на плоскости. Докл. РАН. 2001. Т. 380, N 3. С. 315Ц318.
[4] Пугачев О.В. Пространство простых конфигураций является польским. Матем. заметки. 2002. Т. 71, N 4. С. 581Ц589.
[5] Богачев В.И., Пугачев О.В., Р М. Поверхностные меры и плотекнер ность соболевских емкостей на пространстве Пуассона. Докл. РАН. 2002.
Т. 386, N 1. С. 7Ц10. (О.В. Пугачевым получены теоремы 2, 3, 4, 5;
В.И. Богачевым получено следствие 1 и предложен ряд усовершенствований доказательств теорем 2 и 3; М. Р екнером получена теорема 1 и предложено несколько определений, использованных в работе).
[6] Bogachev V.I. Pugachev O.V., Rckner M. Surface measures and tightness of (r, p)-capacities on Poisson space. J. Funct. Anal. 2002. V. 196, N 1. P. 201 - 225. (О.В. Пугачевым получены теоремы 4.5, 5.3, 6.1 и следствие 5.6;
В.И. Богачевым получены лемма 3.4 и следствие 5.5; М. Р екнером получены леммы 3.5, 4.1 и предложен ряд конструкций из з2).
[7] Pugachev O.V. On closability of>
2004. V. 207, N 2. P. 330Ц343.
[8] Пугачев О.В. Соболевские емкости множества конфигураций с кратными точками в пространстве Пуассона. Матем. заметки. 2004. Т. 76, N 6. С. 874Ц882.
[9] Пугачев О.В. Емкости и поверхностные меры в локально выпуклых пространствах. Теория вероятн. и примен. 2008. Т. 53, N 1. С. 178Ц189.
[10] Пугачев О.В. Квазиинвариантность пуассоновских распределений относительно преобразований конфигураций. Докл. РАН. 2008. Т. 420, N 4. С. 455Ц458.
[11] Пугачев О.В. О сходимости Моско диффузионных форм Дирихле.
Теория вероятн. и примен. 2008. Т. 53, N 2, С. 277Ц292.