Авторефераты по всем темам >>
Авторефераты по физике
Работа выполнена в Институте прикладной физики РАН, г. Нижний Новгород.
На правах рукописи
Официальные оппоненты:
доктор физико-мaтемaтических наук
, Кравцов Николай Владимирович Павел Александрович Хандохин доктор физико-мaтемaтических наук, Мельников Леонид Аркадьевич доктор физико-мaтемaтических наук, Хазанов Ефим Аркадьевич НИЗКОЧАСТОТНАЯ ДИНАМИКА ЛАЗЕРОВ С ИНЕРЦИОННОЙ АКТИВНОЙ СРЕДОЙ
Ведущая организация:
Федеральное государственное унитарное предприятие научно-исследовательский институт "Полюс" (г. Москва) 01.04.21- лазерная физика
Защита состоится " " 2007 года в 14.00 на заседании
Автореферат диссертационного совета Д 002.0диссертации на соискание ученой степени в Институте прикладной физики РАН (603950, г. Нижний Новгород, ул. Ульянова, 46) доктора физико-математических наук
С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Института прикладной физики РАН Автореферат разослан "____" ____________ 2007 г.
Нижний Новгород - 20
Ученый секретарь диссертационного совета д. ф.-м. н., профессор Ю.В. Чугунов
Актуальность темы. В настоящее время лазеры уверенно вошли в нашу невзаимным эффектам. Измерение фазовой невзаимности и, в частности, вращения повседневную жизнь. С ними мы встречаемся почти на каждом шагу, очень часто и не успешно осуществляется с помощью газовых лазеров. Делается это методом сбивания подозревая об этом (лазерные проигрыватели, принтеры, компьютеры). Требования к встречных волн, которые имеют примерно равные амплитуды и разные, вследствие параметрам лазерной генерации могут быть самыми разными, и одно из них - это фазовой невзаимности, частоты. Использование для этих целей твердотельных стабильность характеристик излучения. Серьезным препятствием на пути получения кольцевых лазеров затруднительно, главным образом, тем, что очень сложно стабильного излучения твердотельных лазеров является их резонансная организовать требуемый режим с не синхронизированными и близкими по амплитуде чувствительность к внешним возмущениям на частотах релаксационных колебаний. волнами. Однако спектр релаксационных колебаний твердотельного лазера в Для таких лазеров характерно большое время релаксации инверсии населенности по различных динамических режимах содержит информацию о фазовой невзаимности сравнению с временем затухания поля в резонаторе, что приводит к появлению резонатора: либо разность частот, специфичных для кольцевого лазера в режиме релаксационных колебаний (низкочастотных динамических мод), характеризующих бегущей волны, равна разности частот встречных мод [9*], либо частота поведение системы при возмущении стационарного состояния, и является автомодуляционных колебаний определенным образом зависит от скорости вращения предпосылкой его дестабилизации и развития нестационарных режимов генерации. В резонатора лазера [5*-8*]. В связи с этим вопросы извлечения этой информации по связи с этим изучение релаксационных колебаний твердотельных лазеров, спектрам релаксационных колебаний в различных режимах требуют проведения представляет существенный интерес при исследовании их динамического поведения, дальнейших исследований.
флуктуационных свойств и вопросов стабилизации параметров лазерного излучения. Поляризационная (векторная) степень свободы обеспечивает появление Динамические характеристики многомодовых лазеров определяются не новых свойств, которые способствуют решению различных фундаментальных и только соотношением релаксационных констант, но также и характером межмодового прикладных задач. В частности, изучение векторных лазеров привлекательно с точки взаимодействия. Существует два типа взаимодействий между лазерными модами в зрения их потенциального применения в телекоммуникациях, создании оптических активной среде: чисто энергетическое, через насыщение активной среды полями компьютеров, засекречивании данных передаваемых по волоконно-опическим линиям отдельных мод [1*-4*], и фазочувствительное, через рассеяние полей мод на связи, спектроскопии, доплеровских измерителях скорости, виброметрии и т.д. С индуцированных ими колебаниях инверсии. В зависимости от степени поляризационным типом межмодового взаимодействия мы сталкиваемся при превалирования того или иного типа взаимодействия реализуются различные системы исследовании низкочастотной динамики волоконных лазеров. В первых же работах низкочастотных динамических мод и различные виды их связи с оптическими П. Глорье c сотрудниками, посвященных исследованию противофазной динамики модами. Примером проявления фазочувствительного взаимодействия является ортогонально поляризованных мод волоконного лазера с резонатором типа Фабридинамика двунаправленного кольцевого лазера [5*-7*]. Его оптические моды - Перо, были обнаружены релаксационные колебания, отражающие взаимодействие бегущие навстречу друг другу волны - вырождены по частоте и вследствие этого всех оптических мод одной поляризации как целого со всей группой мод эффективно взаимодействуют через наведенную их совместным действием решетку ортогональной поляризации [10*]. В работах [11*,23] были обнаружены аналогичные инверсии. В таких лазерах возможна реализация различных стационарных режимов, поляризационные эффекты в Nd:YAG лазерах с резонатором Фабри-Перо.
каждый из которых характеризуется своим набором релаксационных колебаний. В Наблюдаемая на эксперименте поляризационная динамика также требовала своего этом случае нет однозначного соответствия между числом динамических и теоретического объяснения.
оптических мод, и связь между ними не прямая. Так, режим квазиоднонаправленной Таким образом, многомодовые лазеры с инерционной активной средой генерации характеризуется тремя типами релаксационных колебаний. Два из них проявляют нетривиальную связь низкочастотных динамических мод и оптических обусловлены фазочувствительным взаимодействием встречных волн и проявляют мод, обусловленную особенностями межмодового взаимодействия. Эта связь делает сильную зависимость от фазовой невзаимности резонатора: разность частот этих указанные лазеры интересными объектами исследований в области нелинейной релаксационных колебаний совпадает с фазовой невзаимностью, т.е. с разностью динамики и открывает возможности решения практически важных обратных задач, частот оптических мод. понимаемых как извлечение информации о параметрах лазера и отдельных Кольцевому лазеру присущ еще один тип межмодового взаимодействия, не внутрирезонаторных элементов по его динамическому поведению.
связанный с активной средой - линейная связь мод через обратное рассеяние на микронеоднородностях оптических элементов резонатора. Если эта связь достаточно велика, то режим квазиоднонаправленной генерации становится неустойчивым, и устанавливается автомодуляционный режим квазисинусоидальных противофазных колебаний интенсивностей встречных волн. В работах группы Н.В. Кравцова [5*-8*] и в наших работах [14,23] было показано теоретически и экспериментально наличие двух типов релаксационных колебаний в этом режиме, которые ведут себя во многом аналогично релаксационным колебаниям квазиоднонаправленного режима. Однако за фазовое взаимодействие в этом случае отвечает только одно релаксационное колебание, которое совместно с автомодуляционными колебаниями проявляет чувствительность к фазовой невзаимности резонатора. Одним из важных в прикладном аспекте свойств кольцевых лазеров является их чувствительность к 3 Цель работы 7) Предсказан теоретически и обнаружен экспериментально эффект поляризационной (угловой) анизотропии усиления наводимой в активной Целью диссертационной работы является исследование низкочастотной динамики среде Nd:YAG лазера линейно поляризованным излучением накачки.
многомодовых лазеров с инерционной активной средой и физических факторов, влияющих на конкурентное взаимодействие мод, в том числе 8) Экспериментально показано, что возникновение нестационарной генерации при внутрирезонаторном удвоении частоты в условиях фазового - влияние неоднородного распределения ненасыщенного усиления на динамику синхронизма 2-го рода происходит благодаря потери устойчивости на многомодового твердотельного лазера с резонатором Фабри-Перо;
частоте одного из поляризационных релаксационных колебаний через бифуркацию Андронова-Хопфа.
- изучение релаксационных колебаний многомодовых лазеров и способов воздействия на них;
9) Предложена модель многомодового твердотельного лазера, адекватно описывающая низкочастотную динамику биполяризационного лазера с - исследование низкочастотной динамики биполяризационных твердотельных линейно поляризованной накачкой, включая внутрирезонаторное удвоение лазеров;
частоты.
- изучение эффекта взаимодействия релаксационных колебаний твердотельного кольцевого лазера в режиме бегущей волны и особенностей Научное и практическое значение диссертации автомодуляционных режимов генерации;
Важными с практической точки зрения являются вопросы повышения - исследование низкочастотной динамики полупроводниковых лазеров с стабильности излучения лазеров, включая мощные многомодовые лазеры с кольцевым и линейным резонаторами.
внутрирезонаторным удвоением частоты. Другая практически важная проблема Ч разработка методов извлечения информации о параметрах лазера и отдельных Научную новизну проделанной работы характеризуют следующие основные внутрирезонаторных элементов по его динамическому поведению - так называемые результаты:
обратные задачи динамики лазеров. Для решения этих задач требуются новые идеи, основывающиеся на современных концепциях нелинейной динамики. Ярким 1) Обнаружен эффект исчезновения низкочастотных релаксационных примером решения обратных задач динамики лазеров может служить возможность колебаний при числе мод, превышающем некоторое критическое значение, определения по низкочастотным релаксационным колебаниям твердотельного зависящее от параметров многомодового твердотельного лазера с кольцевого лазера (ТКЛ), а также по частоте автомодуляционных колебаний и по резонатором Фабри-Перо;
интенсивностям встречных волн различных параметров резонансной системы 2) Предложен и экспериментально апробирован метод воздействия на (обратное рассеяние, ширину моды резонатора и его фазовую невзаимность). Большое релаксационные колебания многомодовых лазеров с помощью значение имеет то, что эти параметры определяются в условиях генерации, поскольку дифференциальной оптоэлектронной обратной связи;
в холодном резонаторе они могут иметь совершенно иные значения.
Создание твердотельных лазеров с полупроводниковой накачкой позволило 3) Предложена и обоснована модель многомодового твердотельного лазера с провести детальное исследование их поляризационных свойств. В произвольной неоднородностью накачки вдоль резонатора Фабри-Перо, противоположность "скалярным" лазерам, в излучении которых все генерируемые хорошо описывающая экспериментальные данные;
моды имеют одинаковое фиксированное состояние поляризации, "векторные" лазеры позволяют эволюционировать своим поляризационным состояниям почти свободно, 4) Обнаружен эффект взаимодействия релаксационных колебаний что значительно сказывается на их динамическом поведении. Недавние исследования твердотельного кольцевого лазера в режиме бегущей волны;
показали, что векторные лазеры могут демонстрировать сложную нелинейную 5) Показана взаимная связь релаксационных колебаний твердотельного динамику там, где в скалярных аналогах она строго запрещена [12*]. К тому же, кольцевого лазера в различных динамических режимах: в режиме бегущей поляризационная (векторная) степень свободы обеспечивает появление новых волны, в режиме квази-синусоидальных противофазных колебаний свойств, которые способствуют решению различных фундаментальных и прикладных интенсивностей встречных волн и в режиме низкочастотных переключений задач. В частности, изучение особенностей генерации "векторных" лазеров направления генерации;
привлекательно с точки зрения их потенциального применения в телекоммуникациях, создании оптических компьютеров, засекречивании данных, спектроскопии, 6) Экспериментально обнаружены новые типы релаксационных колебаний, доплеровских измерителях скорости, виброметрии [13*], оптико-микроволновых проявляющиеся в противофазных осцилляциях интенсивностей системах, и т.д. Все это показывает важность проблемы исследования влияния ортогонально поляризованных мод биполяризационных лазеров с поляризационных (векторных) степеней свободы на динамику лазерной генерации инерционной активной средой;
[14*].
5 Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения и Положения выносимые на защиту списка литературы.
1) При заданном наборе параметров твердотельного лазера (добротность Общий объем составляет 305 страниц, включая 152 рисунка и список литературы из резонатора, превышение над порогом) существует такое критическое число 203 наименований.
генерируемых мод, превышение которого приводит к исчезновению низкочастотных релаксационных колебаний и связанной с ними Краткое содержание работы противофазной динамики.
Во Введении обосновывается актуальность темы исследований, 2) Дифференциальная оптоэлектронная обратная связь позволяет управлять формулируется цель работы и кратко излагается ее содержание.
степенью устойчивости стационарного многомодового режима генерации Глава 1 посвящена обоснованию базовых уравнений многомодового твердотельного лазера.
биполяризационного твердотельного лазера, учитывающих фазочувствительное 3) Неоднородное распределение ненасыщенного усиления вдоль резонатора взаимодействие мод для любых типов резонаторов и произвольного распределения многомодового лазера с резонатором Фабри-Перо способно модифицировать активной среды в резонаторе. При этом не накладываются какие-либо ограничения на как оптический спектр генерации лазера, так и спектр релаксационных времена релаксации поляризации T2, инверсии населенностей T1 и поля в резонаторе колебаний.
Tc. Полученная система уравнений пригодна для анализа динамики лазеров класса С 4) Линейная связь встречных волн, фазовая невзаимность резонатора и тонкая по классификации Арекки [15*]. Проведение процедуры адиабатического исключения структура линии усиления оказывают ключевое влияние на динамическое поляризации, как самой быстрой переменной, приводит к многомодовой модели поведение кольцевого лазера на алюмоиттриевом гранате с неодимом и на лазеров класса В (с инерционной активной средой), применимой к описанию спектр релаксационных колебаний.
динамики твердотельных лазеров. Показано, как из общей модели лазера класса С 5) Лазеры на изотропных активных средах способны генерировать получается хорошо известная модель Лоренца-Хакена (модель лазера с однородно одновременно на ортогонально поляризованных модах, соотношением ушириной линией усиления, с пространственно однородным распределением интенсивностей которых можно управлять ориентацией линейно активной среды вдоль резонатора лазера, с линейно поляризованными и одинаково поляризованной лазерной накачки.
ориентированными дипольными моментами активных центров - простейшая 6) Биполяризационным лазерам с инерционной активной средой присущи скалярная модель одномодового лазера бегущей волны) [16*,6,7]. На основе этой противофазные релаксационные колебания, играющие важную роль в модели проанализированы условия возникновения неустойчивости, установления динамике лазеров с внутрирезонаторным удвоением частоты в условиях Раби осцилляций и связь этих осцилляций с релаксационными колебаниями в фазового синхронизма второго типа.
различных динамических классах лазеров. На плоскости параметров (G2=T1/T2, Апробация работы. Диссертация выполнена в ИПФ РАН. Ее результаты G=T1/Tc) наглядно продемонстрированы области реализации лазеров различных опубликованы в работах [1-36] (из них 27 статей в отечественных и зарубежных динамических классов.
реферируемых журналах, 1 препринте ИПФ РАН, 8 статьях в сборниках трудов Глава 2 посвящена исследованию низкочастотной динамики многомодовых международных конференций) и 36 тезисах докладов на международных монополяризационных лазеров с однородно уширенной и пространственно конференциях и симпозиумах. однородной активной средой, полностью заполняющей резонатор лазера в режиме Представленные в диссертации научные результаты обсуждались на свободной генерации и с применением оптоэлектронной обратной связи. В таких семинарах ИПФ РАН, научной сессии совета РАН по Нелинейной Динамике. лазерах единственным существенным нелинейным эффектом является насыщение Материалы диссертации докладывались на следующих конференциях: активной среды, которое вследствие пространственной неоднородности полей мод Всесоюзных конференциях "Оптика Лазеров", Ленинград (1987,1990); приводит к образованию решеток инверсии населенностей. Динамика излучения этих Международных конференциях "Оптика Лазеров", С.Петербург (1995, 1998, 2000, лазеров хорошо описывается в балансном приближении, при котором учитывается 2003, 2006); Международных конференциях по Когерентной и Нелинейной Оптике только энергетическое взаимодействие мод через активную среду не зависящее от фаз (Минск 1988, Ленинград 1991, С.Петербург 1995, Москва 1998, Минск 2001, полей лазерных мод.
С.Петербург 2005); Международных Европейских конференциях по Лазерам и В параграфе 2.1 на примере одномодовых лазеров представлена методика Электрооптике (CLEO/Europe) (Амстердам, 1994, Гамбург, 1996, Глазго, 1998, Ницца, исследования устойчивости стационарного состояния, основанная на анализе корней 2000); Международных конференциях по Поляризационным Эффектам в Лазерах и характеристического уравнения. Установлено, что число комплексно сопряженных Спектроскопии (PELS) (Торонто, 1997, Саутгемптон, 2000); Международной корней в одномодовом случае, описывающих релаксационные колебания, не зависит конференции УProgress in Nonlinear ScienceФ (Нижний Новгород, 2002); от типа резонатора. Появление мелкомасштабной неоднородности разности Международном симпозиуме УАктуальные проблемы физики нелинейных волнФ населенностей в лазере стоячей волны приводит лишь к появлению в (NWP-2003), Нижний Новгород-Москва-Нижний Новгород, 2003; Российско- характеристическом уравнении дополнительного отрицательного корня.
Немецком лазерном симпозиуме (RGLS-2005, Нижний Новгород, 2005); Ситуация кардинально меняется с появлением в генерации новых мод при Международной конференции УCoherent Control of the Fundamental Processes in Optics росте превышения накачки над порогом генерации (параграф 2.2). В лазерах с and X-ray-OpticsФ (Нижний Новгород-Казань-Нижний Новгород, 2006) однородно уширинной линией усиления благодаря пространственно неоднородному 7 выжиганию инверсии населенностей возможна генерация на нескольких продольных мод. Наглядное представление о характере релаксационных мод в стационарном модах. Процесс появления в генерации новых мод сопровождается появлением новых состоянии дают собственные вектора линеаризованной системы. Их удается найти релаксационных колебаний, отвечающих за противофазную динамику оптических численными методами. Особенности проявления релаксационных колебаний мод. Низкочастотная динамика такого лазера описывается известной моделью Танга изучались также путем расчета передаточных функций (отклика в интенсивностях Статца и ДеМарса (ТСД). Она получается из базовой модели, представленной в отдельных мод и в суммарной интенсивности на малую модуляцию потерь) [26]. В первой главе, при соответствующих упрощениях: в генерации участвуют продольные отклике суммарной интенсивности наблюдается единственный резонансный пик на моды с одинаковой поляризацией в силу предположения об одинаковой ориентации частоте синфазных релаксационных колебаний. Низкочастотные релаксационные всех активных центров; частота межмодового интервала значительно превышает колебания проявляются только в передаточных функциях отдельных мод.
ширину полосы моды холодного резонатора, что позволяет пренебречь быстро Численными методами найдены собственные вектора системы и прослежена осциллирующими членами, отвечающими за межмодовые биения. Аналитически зависимость собственных значений от управляющих параметров. Выявлены найдено стационарное состояние в этой модели при произвольном числе мод. закономерности в поведении собственных векторов низкочастотных динамических Линеаризация системы уравнений возле найденного стационарного состояния мод как при симметричном оптическом спектре, так и при нарушении симметрии, приводит к характеристическому уравнению 2K+1-го порядка, K комплексно- когда релаксационные колебания уже нельзя подразделять на скомпенсированные и сопряженных корней которого описывают релаксационные колебания (рис.1), нескомпенсированные. При несимметричном расположении оптических мод (рис.1) присущие твердотельному лазеру в этом стационарном состоянии (K - число увеличение накачки приводит к поочередному вступлению в генерацию мод, генерируемых мод). сопровождающемуся появлением новых релаксационных колебаний. В том случае, (a) когда интенсивности мод далеки от вырождения, каждой моде можно однозначно приписать свое релаксационное колебание. При этом более интенсивной моде будет соответствовать более высокочастотное релаксационное колебание.
Рис.1 Поведение частот (a) и Ранее было принято считать, что число релаксационных колебаний декрементов (б) релаксационных совпадает с числом лазерных мод. В параграфе 2.2 показано, что число колебаний и интенсивностей мод релаксационных колебаний многомодового лазера не является постоянным и может 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0 2.2 2.4 2.6 2.(в) от параметра накачки A при A принимать значения от нуля до числа генерируемых мод. Число релаксационных (б) несимметричном расположении 0.колебаний зависит также от таких лазерных параметров, как уровень накачки и мод. Приведена также -0.скорость затухания поля в резонаторе. Так, при K>Ksup, где зависимость действительного -1.корня характеристического -1.Ksup = 2G(A -1)/ A2, (1) 2K+-2.0 уравнения 2K +1.
-2.остается только один тип синфазных релаксационных колебаний (рис. 2,3).
На врезке рис.1в приведена 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0 2.2 2.4 2.6 2.A (a) форма оптического спектра при (a) (в) А=3. R 0.R Параметр накачки A равен 0.отношению мощности накачки к ее пороговому значению 0.L 0.A A 0 1 2 A 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0 2.2 2.4 2.6 2.8 0 1 (б) (б) Все релаксационные колебания делятся на две категории. Первая R R L L+ представлена единственным релаксационным колебанием, частота которого является -1 L+ -наивысшей в спектре собственных частот динамических мод. Оно соответствует синфазным колебаниям интенсивностей всех мод, благодаря чему всегда -2 -L- Lпредставлено в интегральной интенсивности выходного излучения и имеет место в одномодовой модели. Остальные релаксационные колебания, принадлежат -3 -A A 0 1 противофазной динамике, вызванной конкуренцией мод. Релаксационные моды 0 1 Рис.2. Зависимости релаксационных Рис.3. Зависимости релаксационных второй категории подразделяются на скомпенсированные и нескомпенсированные.
частот (а) и декрементов затухания частот (а) и декрементов затухания (б) Скомпенсированные релаксационные моды существуют только при равенстве (б) от параметра накачки в случае от параметра накачки в случае линейных коэффициентов усиления симметрично расположенных оптических мод.
плоского контура усиления (число плоского контура усиления (К = 51).
Такие релаксационные колебания не представлены в суммарной интенсивности мод К = 50).
излучения, и в их существовании можно убедиться только по динамике отдельных 9 Частоты Декременты Интенсивности , , , , Тот факт, что каждой лазерной моде соответствует своя динамическая мода уменьшению общего прилегающего фона, включая и небольшие пики на соседних (релаксационное колебание), нашел подтверждение в исследованиях многомодового релаксационных частотах. Подобная закономерность наблюдается при выборе любой твердотельного лазера с дифференциальной оптоэлектронной обратной связью [12], другой моды, используемой для обратной связи (рис.4б). При этом более слабой по которым посвящен параграф 2.3. Из всего многообразия видов оптоэлектронной интенсивности моде соответствует более низкочастотное релаксационное колебание.
обратной связи выделяется обратная связь, в которой управляющий сигнал Предлагаемые в диссертации комбинации сигналов обратной связи пропорционален производной от интенсивности выходного излучения. Среди важных позволяют получить почти любые динамические режимы. Отмечается возможность свойств такой дифференциальной обратной связи в первую очередь является внесение подавления синфазного релаксационного колебания с помощью отрицательной обратной связи по суммарной интенсивности. В противоположность этому, дополнительного фазового сдвига / 2 по отношению к изменениям интенсивности увеличение коэффициента селективной обратной связи приводит к нестабильности и, излучения. Во-вторых, поскольку такой сигнал исчезает в случае устойчивой в конечном счете, к хаосу по двум сценариям. Первый путь состоит из бифуркации стационарной генерации, постольку дифференциальная обратная связь, не изменяет Хопфа с последующим переходом низкочастотных регулярных колебаний к стационарное состояние. В силу указанных свойств она оказывает воздействие только хаотическим колебаниям через квазипериодичность. По второму сценарию на его устойчивость. В аспекте математического исследования устойчивости хаотические пульсации устанавливались сразу после суперкритической бифуркации генерации дифференциальная обратная связь изменяет реальные части корней Хопфа, но в этом случае временные масштабы соответствовали высокочастотным характеристического уравнения, соответствующего стационарному состоянию. В релаксационным колебаниям.
параграфе 2.3 представлено детальное теоретическое и экспериментальное Глава 3 посвящена исследованию лазеров, у которых межмодовый интервал исследование релаксационных резонансов многомодовых лазеров класса В с обратной сравним или заметно меньше полосы моды. В этом случае на поведение лазера связью, пропорциональной производной от суммарной интенсивности и оказывает существенное влияние интерференционное взаимодействие мод, интенсивности заданной моды, и управляющей мощностью лазера накачки:
обусловленное их рассеянием на решетках инверсии населенностей, наведенных d dI совместным действием полей разных мод. При моделировании динамики таких A = A0 + I + , (2) tot p d d лазеров необходимо учитывать это фазочувствительное взаимодействие. Последствия p этого взаимодействия были исследованы на примере двухмодовой модели лазера, где Htot и H, (=1,2,Е,K) - коэффициенты обратной связи по суммарной модами которого являются стоячие волны [10]. Особый интерес представляет вопрос интенсивности и по отдельным модам соответственно. При увеличении коэффициента о влиянии фазочувствительного взаимодействия на динамические характеристики селективной обратной связи, например по четвертой моде (самой слабой при кольцевых лазеров, к которым простой балансный подход не применим вовсе, рассматриваемой 4-х модовой генерации), форма передаточной функции претерпевает поскольку модами являются бегущие волны, каждая из которых равномерно значительные изменения в процессе приближения параметра H4 к бифуркационному насыщает активную среду. По этой причине теория двунаправленного ТКЛ сразу значению (рис. 4а). Ширина резонансного пика на частоте уменьшается, а строится с учетом фазочувствительного взаимодействия встречных волн на совместно амплитуда этого пика резко возрастает, о чем можно судить по созданной ими единственной решетке [1]. В зависимости от линейной связи 4 встречных волн и от отстройки частоты генерации от центра линии усиления в ТКЛ может реализоваться либо режим бегущей волны, либо один из двух видов Рис.4. Отклик суммарной 3.автомодуляционных режимов, присущих этим лазерам. В параграфе 3.2 приводятся интенсивности на (a) 2.0 результаты исследования низкочастотной динамики ТКЛ. Пункт 3.2.1 посвящен модуляцию накачки при эффекту взаимодействия релаксационных колебаний в режиме бегущей волны. В этом комбинированной обратной 1.режиме наблюдается три типа релаксационных колебаний (рис.5):
связи Htot=-0.015:
(а) H4= -0.01 (1), 0.03 (2), 0.(а) 0 10 20 30 0.06 (3), 0.073 (4); 4 3 (б), H1,2,3,4=0.0 (1), 3.00 H2=0.032, H1,3,4=0 (2);
Рис.5. Зависимость частот H3=0.038, H1,2,4=0 (3);
релаксационных колебаний (а) и (б) 020 2.H4=0.073, H1,2,3=0 (4).
декрементов затухания (6) от фазовой (б) невзаимности резонатора в ТКЛ.
1.00 c G=7000, A=2.
G = 5000, А = 1.2, = 0.
0.-0 10 20 30 частота модуляции 020 11 Частоты накачки (отн.ед.) накачки (отн.ед.) отклик на модуляцию отклик на модуляцию Декременты обычные синфазные колебания на частоте и специфичные для ТКЛ выделение доминирующей волны, время пребывания которой в положении сильной превышает половину периода. Одновременно пропадает симметрия в частотной релаксационные колебания на частотах и. Обнаружено, что при B A динамике. Частота генерации оказывается ближе к центру линии в те отрезки определенных параметрах лазера, когда, либо, наблюдаются B A A времени, когда сильной является доминирующая волна (сплошная линия). Причем эффекты отталкивания и затягивания релаксационных частот; захват декрементов частотные скачки удовлетворяют соотношению - B = c. Важным A затухания. В этих областях пространства параметров, где наблюдается сильное обстоятельством является то, что частотные скачки в точности совпадают с взаимодействие релаксационных колебаний, устойчивость режима бегущей волны частотами специфичных для кольцевого лазера релаксационных колебаний и A снижается, и наиболее вероятно появление режимов динамического хаоса.
в режиме бегущей волны. Релаксационные процессы в этом автомодуляционном В п. 3.2.2 обсуждается проблема адекватного описания режима B низкочастотных переключений направления генерации (автомодуляционного режима режиме представлены теми же типами релаксационных колебаний, которые присущи второго рода), и обоснована необходимость перехода к модели ТКЛ, учитывающей ТКЛ в режиме бегущей волны.
тонкую структуру линии усиления и объясняющей этот режим. Найдено Пункт 3.2.4 посвящен исследованию особенностей низкочастотной стационарное решение модифицированной модели ТКЛ, ориентированной на динамики ТКЛ в автомодуляционном режиме квазисинусоидальных противофазных конкретную активную среду - алюмоиттриевый гранат с неодимом, и учитывающей колебаний интенсивностей встречных волн (автомодуляционный режим I-го рода).
инейную связь встречных волн, а так же фазовую и амплитудную невзаимности Релаксационные колебания, как переходный процесс от возмущенного состояния к резонатора. Проанализированы условия возникновения автомодуляционного режима устойчивому режиму генерации, присущи и автомодуляционным режимам с генерации второго рода. На основе этой модели получено объяснение постоянными во времени параметрами (частотой и амплитудой колебаний).
наблюдающейся на эксперименте чувствительности спектра флуктуаций Приводятся результаты экспериментального исследования характеристик излучения интенсивности в режиме бегущей волны к знаку фазовой невзаимности резонатора:
ТКЛ в автомодуляционном режиме, включая свойства релаксационных колебаний, при смене знака резонансный пик на частоте исчезает, но появляется резонансный при изменении таких параметров, как уровень накачки А=Рнак/Рпор, температура A лазерного кристалла и величина магнитного поля. Наложение магнитного поля на пик на частоте другого специфичного для ТКЛ релаксационного колебания.
B активный кристалл при эллиптических собственных поляризациях встречных волн В пункте 3.2.3 обсуждаются особенности спектра релаксационных позволяет создавать фазовую невзаимность (имитировать вращение ТКЛ) за счет колебаний и частотной динамики в автомодуляционном режиме второго рода. В эффекта Фарадея в матрице алюмоиттриевого граната. Экспериментальные отсутствие фазовой невзаимности резонатора при смене направления бегущей волны результаты получены на моноблочном кольцевом Nd:YAG лазере с неплоским частотные скачки встречных волн и одинаковы, и при этом частота генерации A B контуром резонатора. Накачка осуществлялась полупроводниковым лазером на длине сохраняется. В тот момент, когда волна становится сильной, она вытесняет волны = 810 нм. В режиме свободной генерации реализуется автомодуляционный конкурирующую встречную волну на позицию, расположенную дальше от режим I-го рода. Из-за неплоской конфигурации резонатора встречные волны центра линии. Разность частот обеих волн равна до тех пор, пока слабая волна A оказываются эллиптически поляризованными. При этом имеется разность азимутов между большими осями эллипсов поляризаций встречных волн, которая составляла не достигнет минимума по интенсивности. В этот момент частота последней ~10. В спектре флуктуаций мощности излучения наряду с интенсивными изменяется на (в отсутствие фазовой невзаимности A + B A = B ), и слабая резонансными пиками на частоте релаксационных колебаний и на частоте волна оказывается ближе к центру линии, чем сильная. Обе волны равноправны и каждая из них остается на положении сильной ровно половину периода автомодуляционных колебаний имеются слабые спектральные компоненты на m автомодуляции. Введение фазовой невзаимности (рис.6) влечет за собой c частотах m 1 и на частоте дополнительного низкочастотного релаксационного (а) колебания. Отношение релаксационных частот 1 / 2 равнялось 1,6 и практически не зависело от А. Наложение магнитного поля Н на активную среду приводит к изменению средних интенсивностей встречных волн, частоты и глубины модуляции, и амплитуды релаксационного пика на этой частоте.
Рис.6. Поведение интенсивностей (а) и (б) Создана модель ТКЛ, учитывающая взаимодействие двух неколлинеарных частот (б) встречных волн в эллиптически поляризованных встречных мод, проведено исследование спектров автомодуляционном режиме второго релаксационных колебаний в двух режимах работы лазера. В режиме рода при = 0, с= 31, G=5000, = 0.однонаправленной генерации (когда интенсивность одной волны значительно меньше и A = 4.
интенсивности другой волны) использовалась традиционная процедура линейного анализа устойчивости, позволяющая находить частоты и декременты релаксационных колебаний. Для поиска релаксационных частот в квазисинусоидальном автомодуляционном режиме проводилось численное интегрирование уравнений ТКЛ 13 со случайными источниками, моделирующими спонтанное излучение или аналогичны соответствующим результатам, полученным для ТКЛ с отстройкой технические флуктуации в системе. По спектрам флуктуаций интенсивностей мод частоты резонатора от центра линии генерации, причем роль отстройки выполняет выявлялись резонансные свойства системы. Расчеты велись при параметрах системы, параметр . Так же как и в ТКЛ, в кольцевом полупроводниковом лазере существует соответствующих условиям эксперимента. Найдено, что отношение релаксационных критическое значение -фактора, выше которого режим бегущей волны становится частот составляло величину 1,6, в полном согласии с экспериментом.
1 / 2 неустойчивым через хопфовскую бифуркацию с характеристической частотой, равной одному из специфичных релаксационных колебаний. На рис.7 отмечен критический Исследование влияния коэффициента линейной связи на переход от режима бегущей коэффициент диффузии волны к автомодуляционному режиму позволил выявить связь между релаксационными колебаниями в этих режимах. Установлено, что релаксационные (, (3) dcr) = G(A -1) / 2 - A колебания автомодуляционного режима на частотах и сами автоколебания на 1, (1) соответствующий смене знака декремента : при режим однонаправленной частоте переходят соответственно в релаксационные колебания на частотах d < dcr m 1, A генерации становится неустойчивым, и устанавливаются либо автомодуляционные в режиме бегущей волны, когда коэффициент линейной связи встречных B и A колебания, либо режим двунаправленной генерации. Внесение фазовой невзаимности волн становится меньше некоторого бифуркационного значения.
снимает вырождение с частот специфических релаксационных колебаний, как и в Пункт 3.3 посвящен теоретическому исследованию динамики ТКЛ. Двухволновому режиму, в отличие от режима бегущей волны, присущи только полупроводниковых кольцевых лазеров. Специфические особенности два типа релаксационных колебаний. Первое - это основное релаксационное полупроводниковой активной среды учитываются путем введения в представленные в колебание с частотой которая слабо зависит от управляющих параметров , 1 1, разделе 3.2.1 уравнения ТКЛ дополнительных членов, содержащих коэффициент d. Второе релаксационное колебание на частоте отвечает за противофазные диффузии носителей d, и фактора неизохронности , характеризующего асимметрию линии усиления полупроводника и несовпадение ее максимума с нулем колебания интенсивностей встречных волн. Общим для обоих стационарных режимов дисперсионной кривой. Показано, что диффузия активных центров, и -фактор является уменьшение частоты релаксационных колебаний, обусловленных фазовым оказывают заметное воздействие на динамику кольцевого лазера с инерционной взаимодействием мод, при увеличении коэффициента диффузии. Наиболее заметно активной средой. В дополнение к режиму однонаправленной генерации появляется это проявляется в двухволновом режиме: при некотором коэффициенте диффузии режим стационарной двунаправленной генерации. Диффузия и неизохронность, исчезает релаксационное колебание на частоте и связанная с ним противофазная управляя амплитудой и фазой решетки инверсии населенностей, обеспечивают динамика встречных волн.
многообразие режимов генерации - от подавления одной из волн и однонаправленной В параграфе 3.4 приводятся результаты численного исследования генерации через нестационарные двухмодовые режемы к стационарной генерации особенностей низкочастотной динамики двухмодового лазера с резонатором Фабридвух волн с равными интенсивностями. Сглаживание пространственной Перо с учетом фазочувствительного взаимодействия мод в условиях, когда неоднородности инверсии проявляется не только в смене динамических режимов, но межмодовый интервал сравним с шириной моды резонатора. В этом случае при и в поведении релаксационных колебаний, присущих стационарным режимам. В переходе от интегро-дифференциальных уравнений к уравнениям в обыкновенных режиме бегущей волны система обладает тремя типами релаксационных колебаний, производных появляются два новых типа решеток инверсии населенностей, как и в ТКЛ (рис.7). Отличие заключается только в сильной зависимости записанных совместным действием полей разных продольных мод: мелкомасштабная специфичных релаксационных колебаний и от диффузии и фактора B + A решетка с масштабом неоднородности порядка длины волны и Dнеизохронности. Результаты анализа устойчивости режима бегущей волны крупномасштабная решетка с масштабом неоднородности порядка длины Dрезонатора. Для изучения влияния решеток на динамику такого лазера в модель были 1введены дополнительные факторы, управляющие параметрами решеток: диффузия Рис.7. Зависимости частот (а) и (а) возбуждений и -фактор Генри. Такая модификация модели позволила применить декрементов (б) релаксационных колебаний от коэффициента диффузии ее к описанию динамики полупроводникового двухмодового лазера [10]. При для стационарного состояния, диффузионной длине значительно короче длины резонатора L диффузия носителей соответствующего однонаправленной 0 100 200 300 4оказывает существенное воздействие только на мелкомасштабные решетки не генерации, в отсутствии фазовой отражаясь на крупномасштабной решетке.
Dневзаимности для двух значений -50 В параграфе 3.5 подводятся итоги исследования фазочувствительного фактора: = 0 (сплошные линии), (б) взаимодействия мод в лазерах класса В. Подчеркивается, что фазочувствительное = 0.2 (пунктирные линии). G=5000, -1A=4. взаимодействие мод приводит к более богатой низкочастотной динамике по -1 сравнению с чисто энергетическим взаимодействием независимо от типа резонатора.
Глава 4 посвящена исследованию динамики твердотельных лазеров с -2d 0 100 200 3неоднородным распределением ненасыщенного усиления вдоль резонатора.
15 Частоты Декременты Исходными остаются общепринятые интегро-дифференциальные уравнения Танга, для случая l/L=1. Показано, что существует такой набор значений фактора заполнения Статца и ДеМарса, которые имеют вид: и уровня накачки, при котором спектр частот релаксационных колебаний весьма L близок к тому, который наблюдается при полном заполнении резонатора активной d Ik ( ) (4) = GIk ( )gk n(z, ) (z)d z -1 - k , средой. Обсуждается влияние скрытой асимметрии усиления на проявление k d 0 скомпенсированных релаксационных колебаний в передаточных функциях для суммарной интенсивности.
n(z, ) (5) = A(z) - n(z, )[1 + g (z)I ( )].
j j j В параграфе 4.3 приводятся результаты экспериментального исследования Переменными системы уравнений (4), (5) являются интенсивности мод, зависящие многомодового Nd:YAG лазера с продольной накачкой. Неоднородное распределение только от времени, и инверсия населенностей, которая зависит еще и от ненасыщенной инверсии, обусловлено экспоненциальным затуханием пучка накачки пространственных координат; поэтому в уравнении для инверсии населенностей (5) в активной среде и частичным заполнением резонатора активной средой. Наличие используется знак частной производной. В предыдущих главах рассматривалась этих факторов может приводить к довольно существенным изменениям в оптическом идеализированная ситуация, когда активная среда полностью заполняет резонатор, а спектре излучения лазера. Показано, что уменьшение фактора заполнения резонатора накачка пространственно однородна, что обеспечивает равномерное распределение активной средой с 0.32 до 0.22 приводит к прорежению оптического спектра: число ненасыщенного усиления вдоль резонатора. На практике в подавляющем подавленных мод между соседними генерирующими модами увеличивается с 1 - 2 до большинстве случаев эти условия не выполняется. В параграфе 4.1 проводится 2 - 3 соответственно. Приводятся результаты численных расчетов, произведенных с обоснование и вывод балансных уравнений многомодового твердотельного лазера с помощью полученной в п.4.1 модели, при значениях параметров совпадающих с произвольным видом продольной неоднородности ненасыщенного усиления. Из экспериментальными. Продемонстрировано качественное согласие численных уравнения (5) можно найти, что в стационарном состоянии насыщенное результатов и экспериментальных данных.
распределение инверсной населенности пропорционально ненасыщенному усилению В параграфе 4.4 подводятся итоги теоретического и экспериментального A(z) = A0(z): исследования влияния неоднородного распределения ненасыщенного усиления на -2 спектр генерации лазера и спектр релаксационных колебаний. Проводится сравнение. (6) n(z) = A0 (z)[1+ g (z)I ] j j j с расчетами, проведенными по предложенной в работе [17*] модели, учитывающей Здесь сомножитель (z) не зависит от времени и определяется только геометрией насыщение крупномасштабных решеток инверсии населенностей и имеющей задачи (размерами кристалла, изменением накачки вдоль кристалла и т.д.) и отвечает большую размерность. Расчет показал, что интенсивности мод совпадают, а за медленные изменения инверсии населенностей вдоль оси резонатора. Введем расхождение в амплитудах решеток инверсии населенностей составляют единицы новую динамическую переменную, выделив ненасыщенный профиль D(z, ) процентов. Это показывает оправданность выбранного приближения для расчета усиления в виде отдельного не зависящего от времени сомножителя: стационарных состояний. Расчеты показывают, что наблюдаемый на эксперименте эффект прорежения оптического спектра наиболее точно описывается при. (7) n(z, ) = (z)D(z, ) совместном учете обоих механизмов неоднородного распределения ненасыщенного Она отвечает за эффект насыщения инверсии населенностей генерируемым полем.
усиления вдоль резонатора: частичного заполнения резонатора активной средой и Представляя отдельные сомножители в (7) в виде Фурье разложений по быстро экспоненциального затухания накачки в активной среде.
осциллирующим собственным пространственным функциям резонатора для (z) k Глава 5 посвящена экспериментальному и теоретическому исследованию D(z, ) и по медленно осциллирующим крупномасштабным собственным функциям динамики генерации твердотельных биполяризационных лазеров. Во введении к этой для получаем балансную систему уравнений многомодового лазера класса В с главе 5.1 дается краткий обзор работ, посвященных этой проблеме.
(z) Биполяризационный режим работы был обнаружен как в миниатюрных неоднородным распределением накачки вдоль резонатора. Полученная система твердотельных лазерах на алюмоиттриевом гранате [18*], так и в волоконных лазерах уравнений по размерности совпадает с моделью Танга Статца ДеМарса. Рассмотрен [19*] с оптической линейно поляризованной накачкой. При этом в волоконных конкретный вид продольной неоднородности ненасыщенного усиления, лазерах наблюдался эффект наведенной анизотропии усиления.
обусловленный экспоненциальным затуханием накачки вдоль кристалла, не В параграфе 5.2 рассмотрены условия проявления эффекта наведенной полностью заполняющего резонатор лазера, что соответствует нашим лазером накачки анизотропии усиления в квазиизотропных активных средах.
экспериментальным условиям.
Ответственные за усиление когерентного излучения в волоконных лазерах примесные В параграфе 4.2 рассматривается влияние частичного заполнения резонатора ионы Nd располагаются случайным образом в матрице стекла. В силу этого (длины L) активной средой (длиной l) на динамику многомодовой генерации.
Распределение дипольных моментов по их ориентациям в волоконном лазере, поПоказано, что при l/L<1 из-за конкуренции мод интенсивность генерирующей моды видимому, всегда с большой степенью точности можно считать равновероятным на центре линии, где имеет место наибольшее ненасыщенное усиление, может [20*]. В твердотельных лазерах на основе кристаллов в отличие от волоконных оказаться меньше интенсивностей ближайших к ней боковых мод. Этот эффект лазеров активные центры в кристаллической ячейке занимают вполне определенные наблюдался в экспериментах с Nd:YAG лазером [28]. Исследования показали, что в положения. Тем не менее, разброс по ориентациям дипольных моментов как этих условиях порядок чередования скомпенсированных и нескомпенсированных поглощающего, так и излучающего переходов в кристалле Nd:YAG (в общем случае релаксационных колебаний отличается от описанной во второй главе закономерности 17 они ориентированы по шести направлениям) несколько сближает их с волоконными усиления линейно поляризованным излучением накачки учитывался лазерами. Определенную специфику в поляризационную динамику как волоконных феноменологически путем введения неоднородного по азимуту распределения лазеров, так и лазеров на кристаллах, привносит использование лазерной накачки. активных диполей с максимумом, совпадающим с направлением поляризации Накачка работающих по четырехуровневой схеме лазеров на ионах Nd накачки.
Параграф 5.4.1 посвящен экспериментальному и теоретическому осуществляется когерентным поляризованным лазерным излучением на = 0.81 мкм.
исследованию влияния поляризации излучения лазера накачки на динамические и Поскольку вероятность возбуждения активных ионов увеличивается с ростом флуктуационные характеристики излучения многомодового Nd:YAG лазера со слабо проекции вектора дипольного момента поглощающего перехода на направление анизотропным резонатором Фабри-Перо [23]. Все результаты по поляризационной вектора поля накачки, распределение возбужденных ионов Nd оказывается динамике, полученные с Nd:YAG лазером, являются новыми и наблюдались впервые неоднородным по азимутальному углу, и усиление слабого сигнала на частоте в наших экспериментах. В условиях нашего эксперимента УсупермодыФ разделялись рабочего перехода может зависеть от состояния поляризации сигнального поля на сильную и слабую. Эффект наведенной анизотропии усиления проявляется в [19*,20*]. Аналогичные результаты известны для лазеров на красителях [21*]. В силу зависимости порогов генерации ортогонально поляризованных мод от ориентации этого, при использовании поляризованного излучения накачки в лазерах наблюдается эффект наведенной анизотропии усиления. Ясно, что в лазерах с ламповой накачкой, поляризации накачки p (рис.8). Проявление эффекта наведенной анизотропии также как и при накачке неполяризованным излучением полупроводникового лазера с волоконным выходом, этот эффект не возникает.
Рис.8. Поведение 1.С самого начала изучения волоконных лазеров была обнаружена их порогов генерации способность одновременно генерировать на ортогонально поляризованных модах. В УсупермодФ многомодового каждой поляризованной компоненте излучения генерируется огромное число Nd:YAG лазера от продольных мод. Будем называть УсупермодойФ [10*] всю совокупность одинаково ориентации поляризованных генерируемых лазером мод, отличающихся пространственной 1.поляризации структурой поля и, следовательно, частотой. В параграфе 5.3 изложены результаты накачки.
экспериментального исследования поляризационной динамики волоконного лазера на 0 45 90 135 180 p /примесных ионах Nd, генерирующего на двух ортогонально поляризованных УсупермодахФ, и проведено сопоставление теоретических выводов с усиления в активном элементе наблюдалось не только в режиме лазерной генерации, экспериментальными результатами. Обнаружено, что изменение ориентации но и в спонтанном излучении активного кристалла, когда он находился вне поляризации излучения накачки приводит к противофазному изменению резонатора. В этом случае выходное зеркало резонатора отсутствовало, а интенсивностей УсупермодФ. Пороги генерации УсупермодФ оказались практически фотоприемник располагался по оси кристалла. При вращении полуволновой одинаковыми и не зависели от ориентации плоскости поляризации излучения пластинки, управлявшей ориентацией плоскости поляризации накачки, наблюдалось накачки. Однако отношение интенсивностей УсупермодФ изменялось в широких синхронное вращение азимутов максимума и минимума интенсивности спонтанного пределах. В спектре флуктуаций интенсивностей УсупермодФ наряду с излучения. Отношение минимума к максимуму в среднем было равно 0.7.
высокочастотным синфазным релаксационным колебанием на частоте 1, присущим Вращение плоскости поляризации накачки приводило к противофазному изменению интенсивностей УсупермодФ с периодом, равным 180 (рис.9). Зависимость всем типам лазеров с инерционной активной средой, были обнаружены еще два типа 0.низкочастотных релаксационных колебаний на частотах и, которые 2 совершаются в каждой УсупермодеФ в противофазе друг к другу.
0.Экспериментально проводилось исследование влияния комбинированной Рис.9. Поведение интенсивностей оптоэлектронной дифференциальной обратной связи на поляризационную динамику УсупермодФ I1 и I2 многомодового генерации волоконного лазера. Была показана возможность возбуждения Nd:YAG лазера от ориентации 0.поляризации накачки.
незатухающих низкочастотных колебаний точно так же, как в многомодовом лазере, p описанном во второй главе.
0.Для описания особенностей низкочастотной поляризационной динамики двухмодовые балансные модели не подходят, поскольку не могут дать третьего релаксационного колебания на частоте. Предложена модель, учитывающая 0.фазочувствительное взаимодействие двух ортогонально поляризованных мод. Она позволила описать все основные особенности динамики волоконных лазеров, 0.0 90 180 270 3генерирующих две ортогонально поляризованные УсупермодыФ. При этом принималось во внимание, что собственные моды волоконного резонатора в общем случае являются эллиптически поляризованными. Эффект наведенной анизотропии 19 Интенсивности поляризационных мод, отн.ед.
интенсивностей УсупермодФ от ориентации поляризации накачки свидетельствовало о излучения лазера накачки на динамические и флуктуационные характеристики наличии наведенной анизотропии усиления. В спектрах флуктуаций интенсивностей излучения Nd:YAG микрочип лазера с резонатором типа Фабри-Перо [31]. Все экспериментальные результаты хорошо интерпретируются в рамках модели, УсупермодФ (рис.10) наряду с высокочастотным пиком на частоте, учитывающей фазочувствительное взаимодействие ортогонально поляризованных соответствующем основномурелаксационному колебанию, присутствуют два мод. Экспериментально наблюдаемое влияние ориентации поляризации излучения низкочастотных релаксационных пика на частотах. Отсутствие 2, накачки на анизотропию усиления также хорошо описывается предложенной низкочастотных пиков в спектре моделью. Коэффициенты, характеризующие эффект наведенной анизотропии 3 -80 усиления линейно поляризованным излучением накачки, могут быть получены при -согласовании экспериментальных результатов с теорией.
I2 (a) -1Исследование микрочип лазеров с малой фазовой анизотропией резонатора -1Рис.10. Пример спектров показало, что спектры флуктуаций поляризационных мод в биполяризационном 0 30 60 90 120 1флуктуаций интенсивностей режиме содержат, как правило, по три резонансных пика на частотах релаксационных -УсупермодФ I1 (а), I2 (б) и -колебаний и, демонстрируя полное сходство с многомодовыми Nd:YAG I1 (б) суммарной интенсивности Itot (в) 1, 2 -1многомодового Nd:YAG лазера. и волоконными лазерами. Наличие фазовой анизотропии резонатора (благодаря -1остаточному двулучепреломлению) приводит к исчезновению релаксационного 0 30 60 90 120 1-колебания на частоте и к появлению сигнала биений на частоте. Поведение 2 beat -I tot (в) -100 интенсивностей ортогонально поляризованных мод при изменении ориентации -1поляризации накачки в микрочип лазерах качественно совпадает с поведением 0 30 60 90 120 1УсупермодФ многомодовых лазеров. Измерения показывают, что частоты Частота (kГц) релаксационных колебаний слабо зависят от ориентации поляризации накачки.
флуктуаций суммарной интенсивности свидетельствует о противофазном характере Обнаруженные низкочастотные релаксационные колебания на частотах малых колебаний интенсивностей ортогонально поляризованных УсупермодФ на и играют важную роль в динамике биполяризационных твердотельных лазеров.
частотах. Проявление эффекта наведенной анизотропии усиления в 2, Особенно ярко это проявляется в биполяризационных лазерах с внутрирезонаторным активном элементе наблюдалось также в спонтанном излучении активного элемента, удвоением частоты в условиях фазового синхронизма 2-го типа.
когда он находился вне резонатора.
В параграфе 5.5 приведены результаты экспериментального исследования Для адекватной интерпретации экспериментальных результатов, низкочастотной динамики твердотельного лазера с внутрирезонаторным удвоением полученных при изучении биполяризационной генерации многомодового Nd:YAG частоты в условиях фазового синхронизма 2-го типа. Эффективность нелинейного лазера, был использован модифицированный вариант модели лазера класса B с двумя преобразования управлялась температурой нелинейного кристалла КТР. Оптические ортогонально поляризованными модами. Изменения в этой модели коснулись оси нелинейного элемента ориентировались точно параллельно ориентациям феноменологически введенного выражения для функции распределения активных поляризационных мод лазера. Преобразование частоты происходило при участии мод, диполей по ориентациям. В развитие идей Касперсона [21*] был предложен имеющих ортогональные поляризации. Процесс контролировался по оптическому последовательный квантово-механический подход к выводу функции углового спектру как на фундаментальной длине волны 1064 нм в обеих поляризациях, так и на распределения активных центров под воздействием линейно поляризованного удвоенной частоте в диапазоне 532 нм. Зарегистрирован эффект прорежения спектра, излучения накачки.
обусловленный частичным заполнением резонатора активной средой (см. главу 4).
Несмотря на хорошее качественное согласие, не приходится надеяться на Исследованы условия перехода от стабильного режима генерации к хаотическому.
детальное соответствие теоретических результатов на основе двухмодовых моделей и Эксперимент показал, что внутрирезонаторное суммирование частот экспериментальных исследований многомодовых лазеров, поскольку последние уменьшает скорость затухания поляризационных релаксационных колебаний. При генерируют большое количество ортогонально поляризованных мод с различными высокой эффективности нелинейного преобразования частоты и высоком уровне частотами, взаимодействующими друг с другом через посредство пространственных накачки малые затухающие колебания на частотах поляризационных релаксационных решеток инверсии населенностей. Поэтому важно провести экспериментальное колебаний трансформируются в незатухающие колебания, свидетельствуя о наличии исследование взаимодействия двух ортогонально поляризованных мод с одинаковой бифуркации Хопфа (рис.11). Этот результат можно считать первым пространственной структурой поля. Для этой цели хорошо подходит излучение экспериментальным наблюдением бифуркации Хопфа, существование которой в этом микрочип лазера, который имеет настолько короткий резонатор, что в полосу процессе было предсказано (с помощью численного моделирования) еще в работах усиления попадает не более двух ортогонально поляризованных мод с одинаковой [22*]. Экспериментально показано, что бифуркация Хопфа происходит на частоте пространственной структурой поля. Это делает такие лазеры хорошим объектом для поляризационного релаксационного колебания, отражая факт взаимодействия исследования чисто поляризационного взаимодействия мод. Параграф 5.4.2 посвящен поляризационных мод. В противоположность результатам [22*] из эксперимента экспериментальному и теоретическому исследованию влияния поляризации 21 Спектры флуктуаций интенсивности (отн.ед.) следует, что бифуркация Хопфа имеет суперкритический характер, т.е. возникает не обусловленные пространственным выжиганием инверсии населенностей и как резкий переход от стабильной генерации к колебательному режиму, а как отражающие противофазную динамику генерации всех мод внутри одной ФсупермодыФ, и поляризационные релаксационные колебания на частотах 10.(а) xy xy Вт-, обусловленные выжиганием инверсии населенностей и 2, 3 + i2 3 + i p p и отвечающие за противофазную динамику между ортогонально поляризованными 8.Рис.11. Спектры флуктуаций модами.
интенсивности излучения Интенсивности ортогонально поляризованных ФсупермодФ изменяются в одной из поляризационных мод (б) противофазе с изменением ориентации поляризации накачки аналогично тому, Вт-1 при фиксированном уровне p 6.накачки А=3.25, но различных как это наблюдалось в случае двухмодовой модели биполяризационного лазера. При эффективностях нелинейного этом релаксационные частоты остаются практически постоянными. В отсутствие преобразования частоты:
4.внутрирезонаторного нелинейного преобразования частоты ( = 0 ) все декременты а) = 4 Вт-1, (в) затухания также остаются почти постоянными. Включение процесса преобразования Вт-б) = 50 Вт-1, ( 0 ) приводит к появлению зависимости от декрементов 1,2,3, в то p 2.в) = 80 Вт-1. время как остальные декременты остаются практически независимыми от ориентации поляризации накачки.
Особое место в группе поляризационных релаксационных колебаний 0.занимают релаксационные колебания { }. Они ответственны за 2, 3, 2, 0.00 4.00 8.00 12.частота (кГц) непрерывное возрастание амплитуды колебаний с уровня шумов. Дальнейшее противофазные колебания суммарных интенсивностей ортогонально поляризованных увеличение эффективности преобразования и уровня накачки приводит к мод и наблюдаются в спектрах флуктуаций полных интенсивностей ФсупермодФ в хаотической динамике. Эти результаты важны как для понимания физических виде резонансных пиков на частотах. Физическое содержание колебаний 2,процессов, управляющих динамикой многомодового лазера с внутрирезонаторным { } не зависит от числа K мод, генерирующих в каждой УсупермодеФ, и 2, 3, 2, удвоением частоты, так и для совершенствования методов получения стабильной генерации.
сохраняется в частном случае К=1, который описывается простейшей моделью Параграф 5.6 посвящен построению модели многомодового биполяризационного лазера. Введение нелинейных внутрирезонаторных потерь биполяризационного лазера. Хотя простейшая двухмодовая модель ( 0 ), обусловленных нелинейным преобразованием частоты во вторую гармонику, биполяризационного лазера качественно верно описывает результаты приводит к бифуркации Хопфа на частоте одного из релаксационных колебаний экспериментольного исследования реального многочастотного режима работы { } в зависимости от соотношения интенсивностей поляризационных 2, 3, 2, биполяризационного лазера, остается открытым вопрос о том, как изменяется мод. При большой разнице интенсивностей ФсупермодФ наблюдается субкритическая низкочастотная динамика генерации при увеличении числа генерирующих мод в составе каждой УсупермодыФ. В работе [32] отмечалось, что вступление в генерацию бифуркация Хопфа на частоте 3 (возникают колебания с конечной амплитудой).
новой моды иногда может сопровождаться появлением дополнительного Выравнивание интенсивностей приводит к суперкритической бифуркации Хопфа на резонансного пика в спектре флуктуаций интенсивности отдельной УсупермодыФ.
частоте 2. В этом случае при увеличении эффективности нелинейного Чтобы прояснить ситуацию, была предложена модель биполяризационного лазера преобразования флуктуации на частоте поляризационного релаксационного класса B, в которой каждая УсупермодаФ имеет одинаковое произвольное число (K) колебания 2 растут. В результате резонансный пик на частоте поляризационного мод. Взаимодействие мод, имеющих разные частоты (различные продольные индексы), описывается в рамках балансного приближения, рассмотренного в релаксационного колебания в спектре флуктуаций интенсивности излучения четвертой главе диссертации. Взаимодействие ортогонально поляризованных мод обужается и растет по амплитуде. При переходе бифуркационного значения эти одной частоты (с одинаковой продольной пространственной структурой поля) изменения сопровождаются появлением в спектре шумов большого числа гармоник описывается с учетом фазочувствительного взаимодействия в соответствии с поляризационной релаксационной частоты. Именно такой же характер развития подходом, использованным в параграфе 5.4. Полученная модель имеет размерность неустойчивости наблюдался и на эксперименте.
7К+3.
Дополнительной мотивацией создания модели многомодового Установлено, что все релаксационные колебания многомодового биполяризационного лазера послужили экспериментально обнаруженные биполяризационного лазера можно разбить на три группы. Эти группы образуют особенности оптического спектра биполяризационного лазера (параграф 5.5). Наряду синфазное релаксационное колебание на частоте 1 + i1, низкочастотные с прорежением оптического спектра, обусловленным неоднородным распределением усиления вдоль оси резонатора, была обнаружена генерация ортогонально x x y y релаксационные колебания на частотах и { }, sp + isp sp + i sp поляризованных мод на разных частотах. Предложенная модель, учитывающая 23 Спектр флуктуаций интенсивности ( dB) частичное заполнение активной средой резонатора лазера, позволила объяснить и эту Цитируемая литература особенность оптического спектра генерации ортогонально поляризованных мод. 1* C.L. Tang, H. Statz and G. DeMars, "Spectral output and spiking behavior of solid-state lasers", J. Appl. Phys. 34, 2289-2295 (1963).
2* H. Statz, C.L.Tang, J.M. Lavine, УSpectral output of semiconductor lasersФ, J. Appl. Phys.
В Заключении перечислены основные результаты диссертации.
35, 2581-2585 (1964).
3* Mandel P., Georgiou M., Otsuka K. and Pieroux D., УTransient and modulation dynamics 1) Обнаружен эффект исчезновения низкочастотных релаксационных колебаний of a multimode Fabry-Perot laserФ, Opt. Commun., v.100, P.341 (1993).
при числе мод, превышающем некоторое критическое значение, зависящее от 4* Pieroux D. and Mandel P., УTransient dynamics of a multimode laser: oscillation параметров многомодового твердотельного лазера с резонатором Фабри-Перо;
frequencies and decay ratesФ, Opt. Commun., v.107, P.245 (1994).
5* Н.В. Кравцов, Е.Г. Ларионцев, УАвтомодуляционные колебания и релаксационные 2) Предложен и экспериментально апробирован метод воздействия на процессы в твердотельных кольцевых лазерахФ, Квантовая электроника, т.21, 9релаксационные колебания многомодовых лазеров с инерционной активной (1994).
средой с помощью дифференциальной оптоэлектронной обратной связи;
6* Н.В. Кравцов, Е.Г. Ларионцев, УНевзаимные эффекты в кольцевых лазерахФ, Квантовая электроника, т.27, 98 (1999).
3) Предложена модель многомодового твердотельного лазера с произвольной 7* Н.В. Кравцов, Н.Н. Кравцов, УНелинейная динамика твердотельных кольцевых неоднородностью накачки вдоль резонатора Фабри-Перо, хорошо лазеровФ, Квантовая электроника, т.36, 192 (2006).
согласующаяся с экспериментом;
8* I.I. Zolotoverkh, N.V. Kravtsov, E.G. Lariontsev, A.A. Makarov, V.V. Firsov, 4) Обнаружен эффект взаимодействия релаксационных колебаний твердотельного УRelaxation oscillations in a self-modulated solid-state ring laserФ, Opt.Comm., v.113, p.249-258, (1994).
кольцевого лазера в режиме бегущей волны;
9* П.А. Хандохин, УНизкочастотные процессы в твердотельном кольцевом лазереФ Канд.
5) Показана взаимная связь релаксационных колебаний твердотельного Дисс., ИПФ АН СССР, Горький, 1986.
кольцевого лазера в различных динамических режимах: в режиме бегущей 10* S.Bielawski, D.Derozier, and P.Glorieux. Antiphase dynamics and polarization effects in волны, в режиме квази-синусоидальных противофазных колебаний the Nd-doped fiber laser. Phys.Rev.A, v.46, p.2811 (1992).
интенсивностей встречных волн и в режиме низкочастотных переключений 11* R. Dalgliesh, A.D. May, G. Stephan, УPolarization states of a single-mode (microchip) направления генерации; Nd:YAG laser - part II: Comparison of theory and experimentФ, IEEE Journal of Quantum Electronics, v.34, #8, p1493 (1998).
6) Экспериментально обнаружены новые типы релаксационных колебаний, 12* A. KulТminskii, Yu. Loiko, and A. Voitovich, УThe effect of the vectorial degree of проявляющиеся в противофазных осцилляциях интенсивностей ортогонально freedom on the dynamics of>
поляризованных мод биполяризационных лазеров с инерционной активной 13* J.W. Czarske, H. Mueller, УBirefringent Nd:YAG microchip laser used in heterodyne средой (волоконные и Nd:YAG лазеры);
vibrometryФ, Opt. Commun. v.114, 223 (1995).
14* The Special Issues of Quant. and Semicl. Opt. on УPolarization Effects in Lasers and 7) Предсказан теоретически и обнаружен экспериментально эффект SpectroscopyФ: 10, N1 (1998) and 3, N2 (2001).
поляризационной (угловой) анизотропии усиления наводимой в активной среде 15* F.T. Arecchi in: Instabilities and Chaos in Quantum Optics, eds F.T. Arecchi and R.G.
твердотельного лазера линейно поляризованным излучением накачки. Эффект Harrison (Springer, Berlin) p.9 (1987).
проявлялся в зависимости интенсивностей поляризационных мод от 16* L.M. Narducci, M. Sadiky, C.A. Lugiato, N.B. Abraham, УDynamics instabilities and ориентации поляризации пучка накачки;
pulsations in lasersФ, Opt.Commun., v.55, p.370 (1985).
17* D.Pieroux and P. Mandel, "On the rate equation approximation for free-running 8) Экспериментально показано, что возникновение нестационарной генерации multimode lasers", Quantum and Semiclassical Optics, 9, L17-L22 (1997).
при внутрирезонаторном удвоении частоты в условиях фазового синхронизма 18* A. Owyoung, P. Esherick, УStress-induced tuning of a diode-laser-excited monolithic 2-го рода происходит благодаря потери устойчивости на частоте одного из Nd:YAG laserФ, Opt.Lett., v.12, p.999 (1987).
поляризационных релаксационных колебаний через бифуркацию Андронова19* R. Leners, P.L. Francois, and G. Stephan. УSimultaneous effects of gain and loss Хопфа.
anisotropies on the thresholds of a bipolarization fibre laserФ. Opt.Lett., v.19, p.2(1994).
9) Предложена модель многомодового твердотельного лазера, адекватно 20* R. Leners, G. Stephan, УRate equations analysis of a multimode, bipolarization Nd3+ описывающая низкочастотную динамику биполяризационного лазера с doped fibre laserФ, Quantum and Semiclassical Optics, v.7, p.757 (1995).
инейно поляризованной накачкой, включая внутрирезонаторное удвоение 21* K.C. Reyzer, L.W. Casperson, УPolarization characteristics of dye-laser amplifiers II.
частоты.
Isotropic molecular distributionsФ, J.Appl.Phys., v.51, p.6083 (1980).
22* J.Wang and P.Mandel, УAntiphase dynamics of multimode intracavity second-harmonic generationФ, Phys. Rev. A, v.48, 671 (1993).
25 Список работ по теме диссертации 18. Хандохин П.А., Ханин Я.И., УВзаимодействие релаксационных колебаний и неустойчивости в двунаправленном лазере класса В с невзаимным кольцевым 1. Khandokhin P.A., Khanin Ya.I., УInstabilities in a solid-state ring laserФ, JOSA B, резонаторомФ, Квантовая электроника, т.23, 36 (1996).
v.2, P.226 (1985).
19. P.A.Khandokhin, Ya.I.Khanin, I.V.Koryukin, P.Mandel, B.A.Nguen, УMultimode 2. А.С.Меллер, П.А.Хандохин, Я.И.Ханин "Теория естественных флуктуаций Fabry-Perot laser: Number of relaxation frequenciesФ, Известия ВУЗов интенсивности и частоты в многомодовых инжекционных лазерах" Квантовая Радиофизика, т.40, № 1-2, с.161 (1997).
электроника,т.13, стр.2278, 1986.
20. P.A. Khandokhin, P. Mandel, I.V. Koryukin, B.A. Nguyen, Ya.I. Khanin, 3. И.В.Корюкин, П.А.Хандохин, Я.И.Ханин, УПериодические и хаотические УDisappearance of relaxation oscillation frequencies in a multimode solid-state пульсации в одномодовом однородноуширенном лазере: трехуровневая laserФ, Phys. Lett. A, v.235, p.248 (1997).
модель и модель ЛоренцаФ, Препринт №161, ИПФ АН СССР, 1987.
21. P.A. Khandokhin, Ya.I. Khanin, N.D. Milovsky, E.Yu. Shirokov, S. Bielawski, 4. В.А. Парфенов, П.А. Хандохин, Я.И. Ханин, УНеустойчивости в D. Derozier, P. Glorieux, УPolarization dynamics of a fiber Fabry-Perot laser with одночастотном твердотельном кольцевом лазере и эффект регенеративного feedbackФ, Quantum and Semiclassical Optics, v.10, 97 (1998).
усиления шумов Ф, Квантовая электроника, т.15, 1985 (1988).
22. N.B. Abraham, P.A. Khandokhin, V.G. Zhislina, УRelaxation Oscillations in Solid 5. П.А.Хандохин, Я.И.Ханин, УХаотическая динамика Nd:YAG лазера с State Lasers with Derivative FeedbackФ Известия ВУЗов, Прикладная кольцевым резонаторомФ, Квантовая электроника, т.15, 1993 (1988).
Нелинейная Динамика, т.6, №4, с.86 (1998).
6. P.A.Khandokhin, Ya.I.Khanin, I.V.Koryukin, УBifurcations and chaos in the three23. P.A. Khandokhin, N.D. Milovsky, Yu.A. Mamaev, E.A. Ovchinnikov, E.Yu.
level model of a laser with coherent optical pumpingФ, Optics Communications, Shirokov, УPolarization dynamics of Nd:YAG laser with weakly anisotropic Fabryv.65, #5, p.367-372 (1988).
Perot cavityФ, Laser Optics'98: Solid State Lasers, Vladimir I. Ustyugov, Editor, 7. Корюкин И.В., Хандохин П.А., Ханин Я.И., УОдномодовый лазер с Proceedings of SPIE, v.3682, p.53-62, 1998.
когерентной накачкой и модель Лоренца: сходство и различияФ, Известия АН 24. П.А.Хандохин, Я.И.Ханин, Ю.А.Мамаев, Н.Д.Миловский, Е.Ю.Широков, СССР, сер. Физ., т.52, №6, с. 1081 (1988).
С.Белавски, Д. Дерозье, П. Глорио, Низкочастотная динамика лазера класса В 8. Корюкин И.В. Хандохин П.А., Ханин Я.И., УЧастотная динамика с двумя эллиптически поляризованными модами, Квантовая электроника, двунаправленного кольцевого лазера с невзаимным резонаторомФ, Квантовая т.25, №6, с.517 (1998).
электроника, т.17, 978 (1990).
25. Ю.А. Мамаев, Н.Д. Миловский, А.А. Туркин, П.А. Хандохин, Е.Ю. Широков, 9. Koryukin I.V., Khandokhin P.A., Khanin Ya.I., УDynamics of a solid-state ring УНизкочастотная динамика монолитного кольцевого Nd:YAG-лазера в laser with two-component gain lineФ, Optics Comms, v.81, 297 (1991).
магнитном полеФ, Квантовая электроника, т.27, №3, с.228 (1999).
10. Khandokhin P.A., Koryukin I.V., Khanin Ya.I. and Mandel P., УInfluence of carrier 26. P.A.Khandokhin, E.A.Ovchinnikov, E.Yu.Shirokov, УOptical spectrum of a soliddiffusion on the dynamics of a two-mode laserФ IEEE J. Quantum Electron., 31, state diode pumped Fabry-Perot laserФ, Phys.Rev.A, v.61, 053807-1 - 053807-647 (1995).
(2000).
11. Корюкин И.В., Хандохин П.А.,, Ханин Я.И. и Мандель П., УДинамика 27. Е.А. Овчинников, П.А. Хандохин, Е.Ю. Широков, "Спектр генерации кольцевого лазера с диффузией активных центровФ, Квантовая электроника, твердотельного лазера с неоднородным распределением накачки вдоль т.22, 1045 (1995).
резонатора Фабри-Перо", Квантовая электроника, т.30, с.23 (2000).
12. Khandokhin P.A., Khanin Ya.I., Celet J.-C., Dangoisse D. and Glorieux P., УLow 28. N.B. Abraham, L. Sekaric, L.L. Carson, V. Seccareccia, P.A. Khandokhin, Ya.I.
frequency relaxation oscillations in>
Relaxation Oscillations Spectra of Multimode LasersФ, Phys.Rev.A. v.62, 013810, 13. В.Г.Жислина, П.А.Хандохин, Я.И.Ханин, УКоррелированы ли источники 2000.
естественных флуктуаций в отдельных модах лазера?Ф, Изв.ВУЗов 29. Czeranowsky, V. Baev, G. Huber, P. Khandokhin, Ya. Khanin, I. Koryukin, E.
Радиофизика, т.XXXIX, N6, с.771 (1996).
Shirokov, Polarization dynamics of a Nd:YAG laser with intracavity second 14. V.M. Gelikonov, D.P. Stepanov, P.A. Khandokhin, A.A. Turkin, Yu.A. Mamaev, harmonic generation, Proceedings of the International Conference PROGRESS in E.Yu. Shirokov, УFluctuation and Dynamic Characteristics of Self-Modulation NONLINEAR SCIENCE, v.2, Frontiers of Nonlinear Physics, Ed. by A. G. Litvak regime in Solid-State Ring LaserФ, SPIE Proceed., 1996, v.2792, p.74.
, p.474-478, 2002.
15. I.V. Koryukin, P.A. Khandokhin, Ya.I. Khanin, P. Mandel, УGyroscopic 30. G.Bouwmans, B.Segard, P.Glorieux, N.Milovsky, P.Khandokhin, E.Shirokov, potensialities of semiconductor ring laserФ, SPIE Proceed., 1996, v.2792, p.94.
Phase sensitive effects in laser polarization dynamics: a test bench for YAG laser 16. N.D. Milovsky, Ya.I. Khanin, P.A. Khandokhin, S. Bielawski, D. Derozier, models, Proceedings of the International Conference PROGRESS in NONLINEAR P. Glorieux, УDynamics of>
2002.
17. Хандохин П.А., Ханин Я.И., УДинамика двунаправленного кольцевого лазера класса В с невзаимным резонатором: модель с двумя линиями усиленияФ, Квантовая электроника, 23, 29 (1996).
27 31. G.Bouwmans, B.Segard, P.Glorieux, N.Milovsky, P.Khandokhin, E.Shirokov, УPolarization dynamics of longitudinally monomode bipolarized microchip solidstate lasersФ, Известия ВУЗов Радиофизика, 2004, т.47, № 10-11, с.813-825, 2004.
32. C.Czeranowsky, V.M.Baev, G.Huber, P.A.Khandokhin, Ya.I.Khanin, I.V.Koryukin, E.Yu.Shirokov, УPolarization dynamics of intracavity frequencydoubled Nd:YAG lasersФ, Известия ВУЗов Радиофизика, 2004, т.47, № 10-11, с.807-812, 2004. (Radiophysics and Quantum Electronics, Vol.47, Nos10-11, p.729-742, 2004).
33. I. Ievlev, P. Khandokhin, E. Shirokov, ФPolarization dynamics of longitudinally monomode Nd:YAG microchip lasersФ, ICONO 2005: Nonlinear Space-Time Dynamics, Editors: Nikolai Rosanov, Stephano Trillo, Proceedings of SPIE v.6255, p.18-25, 2006.
34. P. Khandokhin, ФPolarization dynamics of multimode solid-state lasersФ, ICONO 2005: Nonlinear Space-Time Dynamics, Editors: Nikolai Rosanov, Stephano Trillo, Proceedings of SPIE v.6255, p.131-139, 2006.
35. И.В. Иевлев, П.А. Хандохин, Е.Ю. Широков, "Поляризационная динамика продольно-одномодовых Nd:YAG-лазеров со слабо анизотропным резонатором", Квантовая электроника, т.36 (3), 228 (2006).
36. П.А. Хандохин, "Моделирование динамики многомодового биполяризационного лазера класса В с внутрирезонаторным удвоением частоты ", Квантовая электроника, т.36, 1161 (2006).