Авторефераты по всем темам >>
Авторефераты по физике
На правах рукописи
Пономаренко Владимир Иванович
ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНАЯ РЕАЛИЗАЦИЯ, РЕКОНСТРУКЦИЯ И ИССЛЕДОВАНИЕ МОДЕЛЕЙ НЕЛИНЕЙНОЙ ДИНАМИКИ (СИСТЕМЫ С ДИСКРЕТНЫМ ВРЕМЕНЕМ И ЗАДЕРЖКОЙ)
01.04.03 - Радиофизика
АВТОРЕФЕРАТ
диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук
Саратов - 2008
Работа выполнена в Саратовском государственном университете имени Н.Г. Чернышевского и в Саратовском филиале Института радиотехники и электроники им. В.А. Котельникова РАН
Научный консультант: д.ф.-м.н., профессор Безручко Борис Петрович
Официальные оппоненты:
д.ф.-м.н., профессор Лоскутов Александр Юрьевич д.ф.-м.н., профессор Анищенко Вадим Семенович д.ф.-м.н., профессор Некоркин Владимир Исаакович
Ведущая организация: Нижегородский государственный университет им.
Н.И. Лобачевского
Защита состоится 3 октября 2008 г. в 15.30 на заседании диссертационного совета Д 212.243.01 в Саратовском госуниверситете им.
Н.Г. Чернышевского (410012, г. Саратов, ул. Астраханская, 83), ауд.34, корп.3.
С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Саратовского госуниверситета.
Автореферат разослан л_________________ 2008 года.
Ученый секретарь диссертационного совета Аникин В.М.
.
ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ
Актуальность работы. Становление современной нелинейной динамики было связано как с формированием базовых теоретических концепций и разработкой эталонных математических моделей, так и с большим объемом экспериментальных исследований. Так, результаты анализа математических моделей (систем дифференциальных уравнений Лоренца, Ресслера, а также дискретных отображений) легли в основу теории динамического хаоса и определили направление экспериментальных исследований нелинейных и хаотических феноменов в реальных ситуациях, применительно к объектам различной природы. В свою очередь, наблюдение сложных электрических колебаний, механических движений тел, колебательных химических реакций, гидродинамических течений, эволюционных тенденций в ансамблях живых организмов и других природных явлений, а также процессов в искусственных объектах, стимулировали последовательное развитие нелинейной теории. Среди систем, созданных человеком, основным полигоном для изучения феноменов нелинейной динамики стали радиофизические и электронные системы. Это произошло благодаря разнообразию их конструкций и наблюдаемых явлений, свойств и возможностей управления ими. Важным достоинством является также развитая измерительная база. Изучение сложных автоколебаний радиофизических систем с небольшим числом степеней свободы [Кияшко С.В., Пиковский А.С., Рабинович М.И., Анищенко В.С., Астахов В.В., Дмитриев А.С., Кислов В.Я., Некоркин В.И., Chua L.O.] не только обеспечило развитие фундаментальных представлений о поведении конечномерных нелинейных систем, но и продемонстрировало их прикладные возможности. Электронные СВЧ генераторы на основе лампы с бегущей волной [Кислов В.Я., Залогин Н.Н., Мясин Е.А.] и лампа с обратной волной [Безручко Б.П., Кузнецов С.П., Трубецков Д.И.] наряду с гидродинамическими системами сыграли важную роль при изучении нелинейных эффектов и хаоса в распределенных системах.
Материальной основой для данной диссертации стал комплекс лабораторных макетов радиофизических колебательных систем различной степени сложности, сконструированных автором. В ней представлены результаты экспериментального построения и исследования оригинальных физических моделей со свойствами, акцентированными на проявление ряда нелинейных феноменов с целью демонстрации их существования и специфики проявления в реальном мире. Необходимость проведения такой работы диктуется не только целями поиска, но и определяется тем, что аналитически или численно исследуются системы, функционирующие по законам логики, а наблюдение предсказанных эффектов в эксперименте, даже специально поставленном, придает найденному статус лреально существующего. Это в первую очередь касается динамических систем с дискретным временем, широко используемых при исследовании нелинейных явлений. Эксперимент не только позволяет придать результатам компьютерных исследований физическое толкование, но и расширяет имеющиеся представления за счет дополнительных данных и специфических деталей. С другой стороны, если изучение объ екта аналитическими или численными методами затруднено, как, например, для рассматриваемых в работе бесконечномерных систем с запаздыванием, физический эксперимент представляет собой наиболее подходящий, а зачастую и единственно возможный, инструмент изучения.
Сказанное обосновывает актуальность тематики диссертационной работы, в которой методами радиофизики рассматриваются фундаментальные проблемы нелинейной динамики (такие как хаос, хаотическая синхронизация, реконструкция нелинейных моделей), а о практической значимости говорит выбор объектов (в частности, системы с запаздыванием) и их приложение к решению востребованных задач как радиофизики, так и смежных областей знаний.
Классы задач, решаемых в диссертации, фактически перечислены в ее названии. Первым (и основным) направлением работы является реализация на радиотехнической базе максимально простых физических моделей, демонстрирующих основные феномены нелинейной динамики и изучение особенностей их проявления в конкретных ситуациях. Это необходимо для создания опорных представлений, позволяющих разобраться в сложнейшей картине хитросплетений нелинейных колебательных режимов объектов различной природы. Примером служат лкарты режимов, помогающие ориентироваться в лморе возможных реальных ситуаций. Такие карты необходимы даже в сравнительно простых случаях: например, уже одиночный нелинейный колебательный контур под внешним гармоническим воздействием - наиболее доступный и популярный колебательный радиотехнический объект - демонстрирует столь сложную зависимость движений от нескольких управляющих параметров, что без опорных карт целенаправленный выбор колебательного режима становится проблемой.
Другое направление работы - эмпирическое моделирование в нелинейной динамике - отражено в названии диссертации словом лреконструкция.
Речь идет о построении математических моделей по временным рядам экспериментально наблюдаемых величин. Реконструкция в целом - важная междисциплинарная проблема, которая составляет лсердцевину теории обработки сигналов и имеет большое значение для физики, биологии, геофизики, медицины, техники. Ранее она развивалась в основном в рамках математической статистики и была известна под названием лидентификация систем. На современном этапе подходы к ее решению развиваются в рамках нелинейной динамики [Анищенко В.С., Безручко Б.П., Вадивасова Т.Е., Кузнецов С.П., Лоскутов А.Ю., Смирнов Д.А., Фейгин А.М., Abarbanel H.D.I., Parlitz U., Voss H.]. Значимость исследований в этом направлении определяется тем, что создание моделей многих практически важных систем, особенно живых, на основе первых принципов затруднительно или пока вообще невозможно.
Единственным путем математического описания способа функционирования объекта является конструирование модельной системы уравнений по данным экспериментального наблюдения - реконструкция по временным рядам или другим множествам данных. Повсеместное использование в измерительных приборах аналого-цифровых преобразователей и распространение высоко производительной вычислительной техники существенно расширило базу и увеличило возможности такого моделирования. Если раньше речь шла об аппроксимации экспериментальных точек простыми функциями, то теперь - о реконструкции систем нелинейных дифференциальных и разностных уравнений.
Однако, как показывает опыт 90-х годов, использование стандартных подходов зачастую неэффективно. Достижение успеха моделирования по временным рядам становится более реальным лишь при отказе от претензий на разработку единого для всех объектов универсального алгоритма. Необходимо создание набора специальных технологий реконструкции выделенных достаточно узких классов объектов. Такой подход подразумевает использование априорной информации о структуре и свойствах системы (или хотя бы предположение о том, к какому классу относится исследуемая система) и как следствие, создание таких технологий реконструкции, которые позволят использовать в работе не интуитивные догадки, а определенный алгоритм. Эта идеология всесторонне анализируется, а ее плодотворность демонстрируется в диссертации применительно к системам с задержкой, которые широко представлены в природе и технике, а их математические модели успешно применяются во многих разделах физики, биологии и химии. Уравнения Маккея-Гласса, Икеды и генератора с запаздывающей обратной связью стали эталонами систем с запаздыванием [Кислов В.Я., Ланда П.С., Glass L., Hale J.K., Ikeda K., Mackey M.].
Кроме задач создания различных моделей и их исследования, перечисленных в названии работы, большое внимание уделяется обсуждению возможных приложений разработанных методик. Выбор для этого областей радиофизики и физиологии обоснован тем, что:
- современная радиофизика все больше обращается к использованию сложных сигналов (шумоподобных, с широким спектром частот, с изменяющимися параметрами). С практической точки зрения важными являются проблемы построения сверхширокополосных систем связи с хаотической несущей и алгоритмы извлечения замаскированной информации [Дмитриев А.С., Панас А.И., Hasler M.]. Сложное и даже хаотическое поведение типично и для нелинейных колебательных систем различной природы. В этих условиях получили расширение и новое толкование некоторые базовые понятия радиофизики. Так, понятие фазы, очевидное для гармонических сигналов (аргумент гармонической функции), получило расширенное толкование и несколько способов определения (преобразование Гильберта, вейвлетпреобразование, и др.). Весьма востребованы результаты рассмотрения закономерностей изменения фазы сигналов - исследование фазовой динамики, например для диагностики связей колебательных систем по записям их хаотических (или зашумленных периодических) временных реализаций. Так как фаза колебаний наиболее чувствительна к воздействию на автоколебательную систему, эти методы обладают большой чувствительностью (лспособны на преддиагностику). Расширенное толкование получили представления о синхронизации - ранее за этим термином стояло затягивание частоты автоге нератора под воздействие внешнего гармонического сигнала или выравнивание частот двух взаимодействующих генераторов. Теперь совпадение частот для систем с периодическим поведением рассматривается лишь как частный случай синхронизации. Это понятие расширено на системы со сложным поведением, и применительно к ним используются представления о полной, фазовой, обобщенной, лаг-синхронизации, и др. [Анищенко В.С., Афраймович В.С., Пиковский А.С., Розенблюм М.Г., Рульков Н.С., Шалфеев В.Д., Caroll T.L., Pecora L.M., Abarbanel H.]. Предлагаются также количественные меры для оценки таких типов поведения. Эти обстоятельства требуют проведения работы по иллюстрации возможностей новых мер при анализе реальных систем, их адаптации к специфике практически важных объектов, внедрению в практику. Синхронизация является важнейшим фундаментальным явлением, и ее изучение дает дополнительную информацию о структуре исследуемой системы и ее месте среди других взаимодействующих систем;
- способность к синхронизации внешним сигналом говорит о том, что мы имеем дело с автоколебательной системой и в соответствии с этим можем выбирать вид реконструируемой модели. Если обнаруживается синхронизация между различными подсистемами, то можно предполагать наличие связи между ними, что также дает дополнительную информацию о структуре системы. Еще одна возможность получить дополнительную информацию о той или иной стороне исследуемой системы - поставить специальный эксперимент. В диссертационной работе предложена методика воздействия на систему различными сигналами и анализа отклика на них. Развивается методика определения синхронизации между реальными системами при помощи управления частотой одной из систем. Такая методика позволяет определить наличие связи между отдельными подсистемами (или элементами полной системы) и, следовательно, определить глобальную структуру всей системы в целом;
- в последние годы развиваемые в работе методы становятся все более востребованными в медицине и физиологии для решения задач диагностики состояния функциональных систем организма. При этом востребованность представленных в диссертации подходов определяется двумя моментами. Вопервых, рассматриваемые модели отражают механизмы функционирования живых систем, например, наличие запаздывающих связей между элементами типично для организмов, а разработанные методики реконструкции уравнений с запаздывающим аргументом расширяют арсенал средств исследователя-физиолога. Во-вторых, радиофизические макеты систем со сложной динамикой позволяют реализовывать эталонные ситуации с контролируемыми параметрами, физический смысл которых понятен. Так, например, различные способы связи автогенераторов могут быть реализованы через элементы с заданными свойствами, подключаемые в различные точки схемы. Это направление актуально в настоящее время, когда активно внедряются новые меры оценки характера взаимодействия (связанности) элементов организма по записям снимаемых с них сигналов, характера и степени синхронизованности движений в его функциональных системах. Трудности решения этих задач определяется сложностью, часто хаотичностью, обрабатываемых сигналов, их нестационарностью и зашумленностью.
Таким образом, тематика диссертационной работы лежит в русле фундаментальных проблем современной радиофизики, в таких ее направлениях, как теория колебаний и нелинейная динамика, а также решения актуальных прикладных задач. Развиваемые в ней подходы представляют интерес и для других важных научных направлений, в частности, для климатологии, биологии, физиологии, медицины. Целесообразность выбора места работы определяется тем, что для перехода от фундаментальных представлений в область приложений необходим этап физического и численного эксперимента на моделях и макетах, отражающих специфику процессов в реальных объектах.
Дальнейшее исследование возможностей рассматриваемых подходов в приложении к реальным системам позволит, кроме непосредственного позитивного выхода, наметить пути совершенствования моделей, методики и технологий работы со сложными сигналами и нелинейными системами.
Цель работы состоит:
Х в экспериментальной реализации и исследовании сложной динамики систем с запаздывающей обратной связью и систем с дискретным временем;
Х в разработке технологии оценки параметров и реконструкции модельных уравнений с запаздыванием по экспериментальным временным рядам, развитии практики реконструкции уравнений систем с задержкой;
Х в разработке новых методов диагностики синхронизации и количественной меры уровня синхронизации в автоколебательных системах.
Научная новизна:
1. впервые проведены экспериментальные исследования генератора с запаздывающей обратной связью в широком диапазоне соотношений времени задержки ко времени инерции фильтра и показан универсальный характер изменения значений параметра неравновесности, при которых происходят последовательные удвоения периода и переход к хаосу;
2. впервые реализованы и исследованы радиотехнические схемы, моделирующие поведение комплексного аналитического отображения и связанных отображений с пороговой связью;
3. впервые реализован и исследован генератор Ван-дер-Поля с модуляцией параметров и запаздывающей обратной связью, в котором наблюдается странный аттрактор, обладающий свойствами гиперболического;
4. впервые предложена методика обработки временного ряда, основанная на подсчете статистики экстремумов и позволяющая определить время задержки системы, описываемой уравнением с задержкой первого порядка;
5. разработан комплекс методик для оценки по временному ряду параметров системы с задержкой;
6. разработана методика определения параметров связи по временному ряду взаимодействующих систем с задержкой;
7. поставлен эксперимент, демонстрирующий синхронизацию основных ритмов сердечно-сосудистой системы с дыханием при изменении частоты дыхания.
Теоретическая и практическая значимость работы Комплекс проведенных экспериментальных исследований радиофизических моделей устанавливает реальное существование ряда нелинейных явлений, обнаруженных на абстрактных моделях. Экспериментальное исследование двух связанных отображений, эквивалентных комплексному квадратичному отображению, демонстрирует наличие феноменов комплексной аналитической динамики в физической реальности. Разработанная неавтономная система с задержкой, обладающая странным аттрактором с гиперболическими свойствами, дает возможность исследовать гиперболические аттракторы в радиофизическом эксперименте. С практической точки зрения, отсутствие в гиперболическом аттракторе устойчивых орбит высоких периодов позволяет считать их перспективными для создания генераторов хаоса. Методы реконструкции и оценки параметров систем с запаздыванием, разрабатываемые в диссертационной работе, применимы во многих областях науки - радиофизике, оптике, физиологии, биофизике и др. В практическом плане идеи реконструкции систем с задержкой демонстрируют недостаточную скрытность систем передачи информации, основанных на синхронном хаотическом отклике. Методы диагностики синхронизации, предложенные в работе, применимы к системам самой различной природы, что обеспечивает их широкую применимость на практике. Результаты исследований использованы в учебном процессе на факультете нелинейных процессов и факультете нано- и биомедицинских технологий Саратовского государственного университета.
Совместно с НИИ кардиологии получены свидетельства об официальной регистрации программ, предназначенных для исследования синхронизованности ритмов сердечно-сосудистой системы.
Достоверность научных результатов основана на соответствии выводов экспериментальных исследований и численного анализа моделей, на соответствии с результатами, которые в некоторых случаях могут быть получены и другими методами, на сравнении результатов анализа временных рядов и систем, генерирующих временные ряды, а также на воспроизводимости экспериментов.
Результаты и положения, выносимые на защиту 1. Разработан и экспериментально исследован комплекс радиотехнических моделей с запаздыванием и дискретным временем, демонстрирующих основные феномены нелинейной динамики.
2. Нелинейная система, содержащая генератор Ван-дер-Поля, управляющий параметр которого подвергается медленному изменению с периодом T, и петлю нелинейной запаздывающей связи, сигнал в которой модулируется с частотой, близкой к частоте автоколебаний генератора Вандер-Поля, при значениях времени задержки порядка 3/4Т, может генери ровать хаотические колебания, аттрактор которых по структуре близок к гиперболическому.
3. Экспериментальная модель дискретной системы в виде двух связанных особым образом логистических отображений демонстрирует конфигурацию бассейнов притяжения в виде множества Мандельброта, характерного для комплексного квадратичного отображения.
4. В хаотическом временном ряде систем с запаздыванием первого порядка и систем более высокого порядка при малых по сравнению со временем задержки временах инерционности отсутствуют экстремумы, расстояние между которыми равно времени задержки.
5. Итерирование одномерного отображения в обратном времени для оценки параметров методом наименьших квадратов при умеренных уровнях добавленного шума повышает точность определения управляющих параметров по сравнению с итерированием в прямом времени.
6. Разработана методика оценки связи, основанная на реконструкции уравнений связанных систем, преимуществом которой является возможность оценки связи при наличии синхронизации.
7. Разработан комплекс методик, позволяющих оценить время задержки, время инерционности и порядок фильтра в цепи обратной связи генераторов с запаздыванием, демонстрирующих периодическое поведение.
8. Методика, основанная на изменении частоты внешнего воздействия на автоколебательную систему и анализе разности фаз колебаний воздействия и системы позволяет различить ситуации наличия фазовой синхронизации и аддитивного сложения колебаний воздействия и системы.
Работа выполнялась в рамках НИР, проводимых по планам ИРЭ РАН, Отделения информатики, вычислительной техники и автоматизации Российской Академии Наук, при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (гранты 96-02-16755, 99-02-17735, 00-02-17441, 02-02-17578, 03-02-17593, 05-02-16305, 06-02-16619, 07-02-00747), программы РАН Фундаментальные науки - медицине, а также Американского фонда гражданских исследований и разработок (CRDF, грант REC-006). Результаты работы использовались при чтении курсов и проведении практических занятий со студентами специализации Теория колебаний и волн на кафедре электроники, колебаний и волн и на базовой кафедре динамического моделирования и биомедицинской инженерии Саратовского государственного университета.
Апробация работы и публикации.
Основные материалы работы представлялись на зимних школахсеминарах по электронике СВЧ и радиофизике (Саратов, 1993, 1996), на конференциях Нелинейные колебания механических систем (Нижний Новгород, 1993, 1996, 1999, 2002, 2005), Международной конференции по нелинейной динамике и хаосу (Саратов, 1996), научной международной конференции Проблемы фундаментальной физики (Москва, 1996), 5th International Specialist Workshop on Nonlinear Dynamics of Electronic System (NDESТ97, Moskow, 1997), международной школе Хаотические автоколебания и образование структур (ХАОС, Саратов, 1998, 2001, 2004, 2007), International Symposium on Nonlinear Theory and its Applications (NOLTA'98, Crans-Montana, Switzerland, 1998), 6th International Specialist Workshop on Nonlinear Dynamics of Electronic Systems (NDES'98, Budapest, Hungary, 1998), European Interdisciplinary School on Nonlinear Dynamics for System and Signal Analysis EUROATTRACTOR'2000, Warsaw, 2000), 9th Workshop on Nonlinear Dynamics of Electronic Systems (NDES-2001 Delft, The Netherlands, 2001), международной межвузовской конференции Современные проблемы электроники и радиофизики СВЧ (Саратов, 2001), 265 WE-Heraeus-Seminar Synchronization in Physics and Neurosciences, 2001, Bad Honnef, Germany, International conference Synchronization of chaotic and stochastic oscillations (Saratov, 2002), Topical Problems of Nonlinear Wave Physics (Nizhny Novgorod, Russia, 2003, 2005), International Conference European Dynamics Days, (Palma de Mallorca, Spain, 2003, 2004), X Всероссийской школесеминаре Физика и применение микроволн (Звенигород, 2005), конференции Фундаментальные проблемы физики (Казань, 2005), конференции Наноэлектроника, нанофотоника, нелинейная физика (Саратов, 2006, 2007), научной школе Нелинейные волны (Нижний Новгород, 2006, 2008), на научных семинарах кафедры электроники, колебаний и волн, базовой кафедры динамического моделирования и биомедицинской инженерии СГУ, лаборатории динамического моделирования и диагностики СФ ИРЭ РАН.
Основное содержание работы
изложено в 140 публикациях (46 статей в журналах, 94 тезисов докладов и статей в сборниках).
ичный вклад соискателя. В работах с соавторами соискателю принадлежит ведущая роль в постановке задач, объяснении и интерпретации рассматриваемых процессов и явлений. Соискатель разработал и изготовил экспериментальные радиофизические устройства, использованные в экспериментальных исследованиях, непосредственно участвовал в проведении физиологических экспериментов, составлении программ численной обработки сигналов, осуществлял научное руководство исследованиями. Результаты по исследованию генераторов с запаздыванием получены в соавторстве с Кузнецовым С.П.; результаты по реконструкции систем с задержкой - в соавторстве с Безручко Б.П., Прохоровым М.Д., Караваевым А.С.; результаты по разработке методики исследования синхронизации - совместно с Прохоровым М.Д., Короновским А.А., Храмовым А.Е.
Структура и объем работы.
Работа состоит из введения, семи глав, списка литературы и заключения. Общий объем составляет 400 стр., в том числе 84 стр. рисунков. Список литературы содержит 323 наименования.
КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ
Во введении дана общая характеристика работы, обоснована ее актуальность, описана ее новизна и практическая значимость, сформулирована цель исследования. Приведены основные положения и результаты, выносимые на защиту, а также сведения о публикациях и апробации работы.
В первой главе описаны такие базовые модели нелинейной динамики, системы со сложным поведением, как генератор с RC-фильтром и генератор с задержкой в цепи обратной связи, а также оригинальные модели, построенные автором - модель генератора на вакуумном микротриоде и генератор гиперболического хаоса с линией задержки.
Исследован неавтономный автогенератор с RC-фильтром, построено разбиение плоскости параметров ламплитуда - частота внешнего воздействия на характерные режимы. Определены принципы моделирования автоколебательных систем с запаздывающей обратной связью, предложена схема и построен автогенератор с цифровой линией задержки. Проведено экспериментальное исследование автогенератора с задержкой в зависимости от управляющих параметров - времени задержки и параметров фильтра.
Предложена схема автогенератора на вакуумном микротриоде. Проведено численное моделирование уравнения автогенератора и экспериментальное исследование модели на операционных усилителях. Показано, что неавтономная модель автогенератора на вакуумном микротриоде может демонстрировать не только периодическое, но и хаотическое поведение. Приведены результаты экспериментального исследования плоскости параметров ламплитуда-частота внешнего воздействия.
Разработана принципиальная схема и проведены исследования неавтономной нелинейной системы с запаздыванием, которая является примером бесконечномерной системы, с гиперболическим странным аттрактором (рис.1). Система построена на базе осциллятора Ван-дер-Поля с дополнительной запаздывающей обратной связью. Модель описывается уравнением - ( Acos(2 t T ) - x2 )x + 0 x = x(t - T )x(t - T )cos0t, x (1) где x - динамическая переменная, - параметр дополнительной обратной связи, A - амплитуда дополнительного воздействия, T - период медленных колебаний внешнего воздействия, 0 - частота автоколебаний генератора Ван-Дер-Поля.
Параметр, ответственный за возбуждение автоколебаний, медленно изменяется во времени, совершая колебания периода T, причем на одном полупериоде этого процесса осциллятор находится в режиме генерации колебаний, а на втором под порогом генерации. Возбуждение осциллятора при наступлении очередной стадии генерации обеспечивается приходом сигнала по цепи запаздывающей обратной связи. В этой цепи сигнал подвергается квадратичному преобразованию на нелинейном элементе и дифференцированию посредством стандартной дифференцирующей цепочки. Далее, сигнал проходит через линию задержки, которая вносит запаздывание на время T0=3T/4.
После прохождения через нелинейный квадратичный элемент и смешения со вспомогательным сигналом частоты 0, он воздействует на осциллятор.
Предполагается, чтоT = 2 N/0, где N - целое число. Благодаря выбору T0=3T/4, сигнал, испущенный в момент достижения максимальной величины параметра возбуждения, поступит в осциллятор как раз к началу оче редной стадии активности, обеспечивая затравку для начала генерации. Продемонстрировано присутствие хаоса и то обстоятельство, что отображение для фазы сигнала на периоде T принадлежит к тому же топологическому классу, что и отображение Бернулли.
(а) (б) (в) Рис. 1. Схема экспериментального устройства на базе неавтономного осциллятора Вандер-Поля с дополнительной запаздывающей обратной связью (а), итерационная диаграмма для фаз, полученная в эксперименте (б) и стробоскопическое сечение фазового портре та аттрактора в проекции на плоскость переменных (U,U ) (в).
Результаты экспериментов демонстрируют ожидаемый вид отображения для фазовой переменной (рис.1б) и портрет странного аттрактора в стробоскопическом сечении (рис.1в).
Во второй главе разработан принцип построения экспериментальных схем, математическими моделями которых являются дискретные отображения с хаотическим поведением. Предложены и реализованы радиотехнические схемы, отражающие поведение логистического отображения, комплексного аналитического отображения, а также системы отображений с пороговой связью. Приведены также результаты их экспериментальных исследований.
Исследование дискретных отображений проводится методами численного моделирования и экспериментального исследования радиотехнических моделей, динамика которых описывается теми же дискретными отображениями. Экспериментальный способ изучения дискретных систем имеет ряд преимуществ. Именно при проведении натурного эксперимента появляется возможность исследования систем в реальном времени, что иногда позволяет существенно сократить трудоемкость проводимых исследований. Так, натурный эксперимент оказывает неоценимую услугу при исследовании систем с большим числом мультистабильных состояний. Кроме того, в экспериментальной системе существенными являются внутренние и внешние шумы и неидентичность отдельных подсистем, что приводит к лотсеиванию режимов, неустойчивых по отношению к подобным возмущениям. Более того, совпадение результатов натурного и численного экспериментов позволяют с большей степенью доверия относиться к полученным результатам.
Радиотехническая схема, математической моделью которой является логистическое отображение, демонстрирует в эксперименте наличие последовательности бифуркаций удвоения периода и переход к хаосу, а также наличие окон периодичности в закритической области.
а) б) Рис. 2. Конфигурации множеств, возникающих на плоскости параметров нелинейности (U1, U2) при значениях параметра связи =0.1 (а) и =0.5 (б ). Штриховкой обозначена область со сложной динамикой, цифрами - периодические колебания соответствующего периода.
Для комплексного квадратичного отображения, являющегося обобщением на комплексный случай обычного квадратичного отображения, показано, что при помощи замены переменных его можно свести к двум квадратичным отображениям, связанным специфическим образом. Разработана радиотехническая схема, математической моделью которой является комплексное квадратичное отображение. В зависимости от величины параметра связи разбиение плоскости управляющих параметров на области характерных режимов (карта режимов) может принимать вид топологически различающихся структур. На рис. 2 представлены варианты экспериментально полученных разбиений плоскости параметров при значениях параметра связи =0.1 (ромбовидная форма) и =0.5 (структура, подобная множеству Мандельброта).
Показано, что экспериментально полученные карты динамических режимов на плоскости параметров качественно совпадает с видом карт динамических режимов, полученных в численном эксперименте. Наиболее интересна структура, сходная с множеством Мандельброта. Она представлена на рис. 2б. Серым закрашены области, в которых радиотехническая схема демонстрирует динамику, характерную для конечных решений в численном эксперименте. Белым цветом обозначены области, в которых наблюдается переходной процесс, приводящий к значениям напряжений, являющихся предельными для проводимого эксперимента (аналогично лубеганию на бесконечность в численном эксперименте). Были получены изображения большой кардиоиды множества Мандельброта и лепестков с периодами 2, 3, 4, 5, 8, 9. При движении по диагонали можно наблюдать последовательность бифуркаций удвоения периода и переход к хаосу. Возможны и другие последовательности бифуркаций - утроения, учетверения, и т.д. периода. Лепестки более высоких периодов и тонкую фрактальную структуру множества Мандельброта не удается наблюдать из-за погрешностей эксперимента.
Исследованы два связанных логистических отображения с новым типом связи - пороговой связью.
xn+1 = xn(a - xn s sgn( yn - ys )), (2) yn+1 = yn(a - yn s sgn(xn - xs )).
Показано, что поведение новой системы существенным образом отличается от поведения логистических отображений с традиционными типами связей. Построены карты режимов и приведены фазовые портреты, полученные в численном и физическом эксперименте.
Экспериментально реализована схема двухуровневого управления хаосом в колебательном контуре с полупроводниковым диодом. В этом случае управляющий параметр может принимать только два возможных значения в отличие от традиционного способа управления хаосом в схеме, предложенной Оттом, Гребоджи и Йорком. Показана принципиальная возможность стабилизации периодической орбиты периода 2. Дискретная схема управления хорошо работает для экспериментальных систем. Ее преимуществами по отношению к методам с непрерывным изменением управляющего параметра является предельная простота сравнения опорного и реального сигналов и простота конструкции усилителя возбуждения.
В третьей главе разрабатываются методики реконструкции и оценки параметров модельных уравнений по экспериментальным временным рядам.
История вопроса (см. ссылку 7 и литературу в ней) говорит о том, использование при реконструкции модельных уравнений по временным рядам универсальных методик, не учитывающих особенностей объекта, как правило, не приводит к успеху. На хороший результат обычно можно рассчитывать лишь при использовании специальных технологий реконструкции для достаточно узких классов объектов и конкретных ситуаций. Целесообразный объем затрат на разработку таких технологий определяется фундаментальной и практической значимостью моделируемых объектов и ситуаций. Это оправдано тем, что системы с задержкой представлены очень широко как в живой, так и в неживой природе. Несколько технических приложений разработанного подхода представлены и в этой главе, и в главах 5,6 диссертации. В качестве еще одного примера плодотворности специального подхода в данной главе представлен оригинальный метод оценки параметров одномерных отображений.
Системы с задержкой обычно моделируются дифференциальными уравнениями с запаздывающим аргументом. Такие модели успешно применяются во многих разделах физики, биологии и химии. В более или менее общем случае эти системы описываются бесконечномерным уравнением с запаздывающим аргументом:
n x(n)(t) + n-1x(n-1)(t) + + 1x(t) = f x(t), x(t -1), x(t -2 )...x(t -m ), (3) ( ) где x(t) Ч состояние системы в момент времени t, x(t) - первая производная по времени, x(k)(t) - производные по времени порядка k, f Ч нелинейная функция, 1 Цm Ч время запаздывания, 1Цn Ч параметры, характеризующие инерционность системы.
В простейшем случае уравнения первого порядка с одним временем задержки (3) является математической моделью колебательной системы, представляемой кольцом из трех идеализированных элементов: нелинейного, задержки и инерционного (см. рис. 3а). Уравнение первого порядка имеет следующий вид:
0x(t) = -x(t) + f x(t -0) (4) ( ) В радиофизическом варианте генератор с запаздывающей обратной связью представляет собой систему, состоящую из замкнутых в кольцо нелинейного усилителя с передаточной нелинейной функцией f, линии задержки на время 0, и фильтра низких частот, определяющего величину параметра 0.
Для этого уравнения предложена технология оценки 0, f и 0 по временному ряду.
(а) (б) Рис. 3. Радиофизическая модель системы с запаздыванием (а). Число N пар экстремумов в реализации уравнения (4) при > 0, удаленных друг от друга на время ; в зависимости от величины . N() имеет четкий минимум при времени, соответствующем времени запаздывания системы. Положение максимума определяется величиной параметра 0 (б).
Узловым моментом предложенной методики стало обнаружение и осознание типичности того, что во временной реализации системы (4) с задержкой 0 при >0 практически отсутствуют экстремумы, удаленные друг от друга на 0. Таким образом, на графике N(), представляющем собой зависимость числа N расстояний между экстремумами временного ряда, разделенных временем , при =0 наблюдается минимум, соответствующий истинному времени задержки в системе. Характерная конфигурация на графике N() в окрестности = 0, представленная на рис. 3б, дублируется при больших , в окрестностях =20, 30, Е. Положение максимума зависимости N() определяется величиной параметра инерционности.
Опираясь на описанную особенность, удалось разработать процедуру оценки параметра инерционности 0, заключающуюся в следующем. Перепишем уравнение (4) в следующем виде:
0x(t) + x(t) = f x(t -0) (5) ( ) Таким образом, точки временного ряда на плоскости (x(t -0),0x(t) + x(t)) при правильном выборе параметра инерционности ложатся на нелинейную функцию f. Поскольку заранее величина 0 неизвест на, предложено строить зависимости 0x(t) + x(t) от x(t -0) для различных значений , добиваясь наиболее компактного, близкого к однозначному, рас положения точек на плоскости x(t -0),0x(t) + x(t). При отсутствии шумов ( ) такая ситуация возможна лишь при = 0. В качестве количественного критерия однозначности при таком поиске 0 по аналогии с другими работами [Bnner M.J., Popp M.] использовалась минимальная длина линии L(), со единяющей точки на плоскости x(t -0),0x(t) + x(t), упорядоченные по ве( ) личине координаты x(t -0). Минимум зависимости L() будет наблюдаться при = 0, а построенное при этом значении множество точек на плоскости x(t ( -0),0x(t) + x(t) воспроизведет нелинейную функцию, которую при не) обходимости можно аппроксимировать полиномом.
Возможности метода продемонстрированы на примерах систем Икеды, Маккея-Гласса, в радиотехническом эксперименте на примере генератора с запаздывающей обратной связью. Качественно вид зависимости N() сохраняется даже при наличии умеренного шума.
Проведена реконструкция уравнения кольцевой системы с запаздыванием по различным динамическим переменным. Показано, что если наблюдаемая переменная снимается со входа фильтра (см. рис.3), то для оценки времени задержки можно использовать ту же самую процедуру нахождения минимума зависимости N(), а для оценки остальных параметров системы необходимо отфильтровать наблюдаемую переменную, подбирая параметры фильтра таким образом, чтобы зависимость f x(t -0) от u t -0 (где ( ) ( ) u t -0 Ч сигнал на выходе фильтра, сдвинутый на время 0) получилась ( ) наиболее близкой к однозначной.
Установлено, что для систем с запаздыванием более высокого порядка вид зависимости N() также сохраняется, но при достаточно малых значениях параметра инерционности по сравнению с временем задержки. Для систем с запаздыванием, имеющих два и более времен задержки показано, что в зависимости N() имеются локальные минимумы, соответствующие временам задержки в системе.
Описание возможностей предложенной методики реконструкции систем с запаздыванием завершается примером оценки параметров для более сложной системы двух уравнений, описывающих динамику одномодового полупроводникового лазера (уравнение Ланга-Кобаяши).
Разработан новый метод оценки параметров одномерного отображения вида:
xn+1 = f (xn,a), (6) где x - переменная, n - дискретное время, a - вектор параметров. Метод основан на использовании обратных итераций модельного отображения при оценке целевой функции. Единственная ляпуновская экспонента одномерного отображения в этом случае становится отрицательной и таким образом, чувствительность орбит отображения в обратном времени к начальным условиям исчезает, и можно ожидать меньшего числа локальных минимумов целевой функции, что облегчает оценку параметра. Показано, что оценка параметров одномерного отображения в обратном времени во многих случаях является более точной и быстрой, чем разновидности оценки параметра в прямом времени.
В четвертой главе предложены методы определения коэффициентов связи двух генераторов при априорном знании структуры уравнений систем, а также способ восстановления уравнений систем с задержкой под внешним воздействием и связанных систем с задержкой. Проведено глобальное моделирование связанных систем как при наличии подробной информации о механизме функционирования каждой из них, так и при наличии лишь информации о том, что система может быть описана уравнением с задержкой. Такой подход не претендует на выявление очень слабой связи (в отличие от анализа динамики фаз), но позволяет определить не только направление, но и характер связи, причем он работоспособен и при анализе режима синхронизации.
Разработана экспериментальная установка для исследования системы двух автогенераторов с хаотическим поведением, связанных двунаправленной, однонаправленной и нулевой связью. Автогенераторы построены по одинаковой схеме и содержат RC-фильтр низких частот первого порядка (элемент 1 на рис.4), RLC-фильтр - колебательный контур (2) - и нелинейный элемент (3), замкнутые в кольцо. Для осуществления взаимодействия в схемы генераторов введены суммирующие усилители . Усилители с регулируемыми коэффициентами усиления и служат для регулировки лсилы взаимодействия.
Исследуемая система описывается следующей системой уравнений:
C1U1 = (Uout -U1 -Uout ) R1, C1U1 = (Uout -U1 - Uout ) R1, C2Uin = I2, C2Uin = I2, (7) L2 = U1 -Uin - R2I2, L I2 = U1 -Uin - R2I2, Эта структура уравнений служит опорой при эмпирическом моделировании. Показано, что величина связи, а также ее направление могут быть определены из анализа коэффициентов моделей, полученных в результате проведения их оценки по временному ряду.
Рис.4. Блок-схема экспериментальной установки. R1=1кОм, C1=C2=0.022 мкФ, R2=60 Ом, L=6 мГн, B = 0.2 В-1. Параметры генератора 2 - такие же (с точностью 10 %). A и A - параметры нелинейности генератора 1 и генератора 2, соответственно. - суммирующие усилители, и - коэффициенты связи.
В численном и физическом эксперименте исследованы системы с задержкой под внешним воздействием. Показано, что для системы с задержкой X под произвольным воздействием со стороны произвольной системы Y существует возможность реконструкции уравнения с задержкой. Рассмотрены различные случаи в воздействия системы Y на систему X (см. рис. 5). В этих различных случаях динамика системы X описывается одним из уравнений:
I: 0x(t) =-x(t) + f x(t -0) + ky y(t -0), (8) ( ) II: 0x(t) =-x(t) + f x(t -0) + ky y(t), (9) ( ) III: 0x(t) =-x(t) + f x(t -0) + ky y(t), (10) ( ) где y(t) Ч состояние системы Y в момент времени t, а ky Ч коэффициент связи, характеризующий величину воздействия Y на X.
Рис. 5. Блок-схема системы X с запаздывающей обратной связью. Элементы, обозначенные 0, f, и 0 обеспечивают, соответственно задержку, нелинейное и инерционное преобразования колебаний в системе. Римскими цифрами IЦIII отмечены точки, в которых внешнее воздействие системы Y может подаваться на систему X.
Предложен метод, позволяющий по временным реализациям колебаний в системах X и Y восстановить систему с запаздыванием X, определить точку подключения (различить ситуации, описываемые уравнениями (8) - (10)) и величину связи. Показано, что для оценки по наблюдаемой реализации x(t) времени задержки 0 можно воспользоваться методом, предложенным в главе 3. Этот метод определения времени задержки применим в том случае, если на систему X действует система Y, при условии, что внешнее воздействие не приводит к появлению большого числа дополнительных экстремумов во временной реализации колебаний системы X.
Для определения параметра 0 и функции f системы X, а также коэффициента связи ky, предложен метод, использующий временные реализации обеих наблюдаемых переменных x(t) и y(t). Суть метода состоит в следующем. Предположим сначала, что нам известен способ воздействия Y на X, то есть, известна структура уравнения, описывающего динамику системы с запаздыванием под внешним воздействием, и эта структура соответствует случаю I, описываемому уравнением (8). При этом переменная системы Y вводится в кольцо обратной связи системы X после инерционного элемента. Из уравнения (8) следует, что если построить на плоскости множество точек с координатами x(t -0) + ky y(t -0),0x(t) + x(t), то оно воспроизведет функ( ) цию f. Поскольку заранее величины 0 и ky неизвестны, будем строить зави симости x(t) + x(t) от x(t -0) + ky(t -0) для различных значений и k, добиваясь однозначной зависимости на плоскости x(t ( -0) + ky(t -0), x(t) + x(t), которая возможна лишь при = 0, k=ky. В ) качестве количественного критерия однозначности при таком поиске 0 и ky использовалась минимальная длина линии L(, k), соединяющей точки на этой плоскости, упорядоченные по величине абсциссы. Минимум L(, k) наблюдается при = 0, k=ky, а построенная при этих значениях зависимость x(t) + x(t) от x(t -0) + ky(t -0) воспроизводит нелинейную функцию, которую при необходимости можно аппроксимировать полиномом. Предложенный подход использует все точки временных рядов, что позволяет по коротким реализациям восстанавливать параметры и нелинейную функцию.
Аналогичным образом можно восстановить нелинейную функцию f и параметры 0 и ky систем, описываемых уравнениями (9) и (10), строя соот ветственно зависимости x(t) + x(t) от x(t -0) + ky(t) и x(t) + x(t) - ky(t) от x(t -0) для различных значений и k. Если априорно неизвестно, в какой именно точке, I, II или III, осуществляется воздействие Y на X, нужно провести реконструкцию каждого из трех модельных уравнений (8)Ц(10). В этом случае на единственно правильную из трех возможных структур модельного уравнения укажет однозначность восстановленной нелинейной функции и, следовательно, наиболее низкое из трех полученных значений Lmin(, k). Таким образом, метод позволяет не только восстановить по временным рядам параметры системы с запаздыванием под внешним воздействием, но и определить вид модельного уравнения.
Работоспособность метода продемонстрирована для случаев, когда система с запаздыванием X описывается уравнением Маккея-Гласса, а внешнее воздействие системы Y является гармоническим или хаотическим.
По сравнению с другими методами определения связи между системами по временным рядам [Пиковский А.С., Розенблюм М.Г.], предложенная процедура имеет ряд преимуществ. В отличие от индексов направленности, она применима к синхронизованным системам и позволяет определять величину связи, а не только ее направление, даже в случае связи принципиально различных систем. Для оценки устойчивости работы метода по отношению к возмущениям, он был применен к зашумленным данным. Метод оказывается более критичным к шуму в системе с запаздыванием. Он еще остается работоспособным при уровнях шума в системе X порядка 10%. Уровень шума в системе Y, может быть при этом в несколько раз выше.
Проведены подробные исследования систем с запаздыванием, связанных различными способами.
В случае, когда способы воздействия системы X1 на X2 и воздействия Xна X1 совпадают, динамика связанных систем описывается одним из следующих уравнений 1, 2x1, 2(t) =-x1, 2(t) + f1, 2 x1, 2(t -1, 2) + k2,1x2,1(t -1, 2), (11) ( ) 1,2x1,2(t) =-x1,2(t) + f1,2 x1,2(t -1,2) + k2,1x2,1(t) ( ), (12) 1,2x1,2(t) =-x1,2(t) + f1,2 x1,2(t -1,2) + k2,1x2,1(t) ( ), (13) где k1,2 Ч коэффициенты связи, характеризующие величину воздействия Xна X2 и X2 на X1, соответственно.
Показано, что и в этом случае при оценке времени задержки методика, описанная для одиночной системы с задержкой, может быть успешно применена. Условие применимости состоит в том, что воздействие со стороны второй системы не приводит к появлению большого числа дополнительных экстремумов во временной реализации колебаний системы X1. Такой метод определения времени запаздывания также обладает высоким быстродействием, поскольку использует только операции сравнения и сложения, не требуя вычисления каких-либо мер сложности движения или ошибки аппроксимации данных.
Для определения параметра и функции f1 системы X1, а также коэффициента связи k2, предложен метод, использующий временные реализации обеих наблюдаемых переменных x1(t) и x2(t). Суть метода заключается в следующем. Предположим сначала, что нам известен способ воздействия X2 на X1, то есть, известна структура уравнения, описывающего динамику системы с запаздыванием X1. В качестве примера рассмотрим случай, описываемый уравнением (11), при котором переменная системы X2 вводится в кольцо обратной связи системы X1 перед элементом, обеспечивающим задержку. Запишем уравнение (11) для системы X1 в виде 1x1(t) + x1(t) = f1 x1(t -1) + k2x2(t -1). (14) ( ) Из уравнения (11) следует, что если построить на плоскости множество точек с координатами x1(t -1) + k2x2(t -1),1x1(t) + x1(t), то оно воспроизведет ( ) функцию f1. Поскольку заранее величины и k2 неизвестны, будем строить зависимости x1(t) + x1(t) от x1(t -1) + kx2(t -1) для различных значений и k, добиваясь однозначной зависимости на плоскости x1(t ( -1) + kx2(t -1), x1(t) + x1(t), которая возможна лишь при =, k=k2. В ) качестве количественного критерия однозначности при таком поиске и kбудем использовать минимальную длину линии L(, k), соединяющей точки на этой плоскости, упорядоченные по величине абсциссы. Минимум Lmin(, k) будет наблюдаться при =, k=k2, а построенная при этих значениях зави симость 1x1(t) + x1(t) от x1(t -1) + k2x2(t -1) воспроизведет нелинейную функцию, которую при необходимости можно аппроксимировать.
Аналогичным образом можно восстановить нелинейную функцию f1 и параметры и k2 системы X1, описываемой уравнением (12) или (13), строя соответственно зависимости x1(t) + x1(t) от x1(t -1) + k2x2(t) и x1(t) + x1(t) - k2x2(t) от x1(t -1) для различных значений и k. Если априорно не известно, в какой именно точке, I, II или III, осуществляется воздействие X2 на X1, нужно провести реконструкцию каждого из трех модельных уравнений (11)Ц(13) системы X1 и определить для каждого из трех случаев Lmin(, k). Однозначность восстановленной нелинейной функции может наблюдаться только при правильном выборе модельного уравнения, вид которого определяет пространство вложения, в которое траектория движения системы с запаздыванием проецируется из ее бесконечномерного фазового пространства. Следовательно, правильному выбору модели будет соответствовать наиболее низкое из трех полученных значений Lmin(, k). Таким образом, метод позволяет не только восстановить по временным рядам параметры связанных системы с запаздыванием, но и определить вид модельного уравнения.
Восстановление системы с запаздыванием X2 по временным рядам переменных x2(t) и x1(t) проводится аналогично описанному выше способу восстановления системы X1. Метод позволяет восстановить параметры , и 2 нелинейную функцию f2 системы X2, а также определить коэффициент связи k1 и способ воздействия X1 на X2. Установив вид связи между системами, и зная значения обоих коэффициентов связи k1 и k2, можно судить о характере взаимодействия между системами с запаздыванием X1 и X2.
Генераторы с запаздыванием хорошо подходят для построения схем связи с нелинейным подмешиванием сигнала. Основная идея состоит в следующем. В передатчике, представляющем собой генератор с запаздывающей обратной связью, добавляется информационный сигнал. В приемнике, представляющем собой копию передатчика, информационный сигнал выделяется из общего сигнала несущей [Волковский А.Р., Рульков Н.С.].
Показано, что, несмотря на возможную высокую размерность аттрактора несущей, выделение информационного сигнала сторонним наблюдателем возможно в случае, если известно, что передатчик описывается уравнением с запаздыванием 1-го порядка.
Основная идея состоит в том, что по временному ряду можно оценить параметры передатчика и построить приемную схему (или соответствующий алгоритм обработки), с помощью которой можно выделить информационный сигнал. Выделение информационного сигнала проводилось в численном эксперименте на примере синусоидального и частотно модулированного сигнала, подмешанного в хаотический сигнал системы Маккея-Гласса.
Рис. 6. Гармонический сигнал на входе передатчика при A = 0.25 В, fc = 27 Гц (a) и его спектр мощности (b). Сигнал в канале связи при 0 = 54.7 мс, RC = 0 = 4.215 мс (c) и его спектр мощности (d).
В физическом эксперименте в качестве передатчика использована кольцевая система с задержкой, описываемая уравнением 1-го порядка (4).
На рис. 6 приведены временные ряды и спектры синусоидального сигнала, подмешиваемого в передатчике и сигнала на выходе передатчика. Уровень несущей передатчика значительно превышает уровень информационного сигнала, что обеспечивает скрытность передачи информации по отношению к стандартным способам приема. Тем не менее, этот сигнал можно выделить в приемнике с использованием методики, разработанной для систем с задержкой.
На рис. 7 представлены результаты выделения гармонического сигнала в случае, когда параметры передатчика неизвестны.
Рис. 7. Выделенный гармонический сигнал (a) и его спектр мощности (b).
В пятой главе разрабатываются методы оценки параметров систем с задержкой по периодическому временному ряду. Дело в том, что в хаотическом режиме движение более разнообразно и в типичном случае охватывает более широкую область фазового пространства, чем в периодическом режиме. В определенном смысле это дает возможность более точно проанализировать систему и адекватно ее реконструировать. Движение на периодическом аттракторе более однообразно, и не позволяет проследить поведение системы в различных ситуациях. Так, если движение периодическое, экстремумы расположены регулярным образом. При этом классическая для хаотического режима картина, представленная на рис. 3б, вырождается в набор пиков, у которого отсутствует ярко выраженный минимум. Следовательно, методика, предложенная в главе 3, не дает возможности оценить время задержки в системе.
Задача оценки времени задержки автоколебательной системы по периодическому временному ряду часто возникает в реальных задачах. Например, близки к периодическим колебания артериального давления в сердечнососудистой системе человека, характеризуемой наличием запаздывающих обратных связей, и колебания многих других физиологических систем. В данной главе предлагается ряд методов определения параметров систем с запаздыванием, совершающих периодические колебания:
- метод подбора параметров;
- метод анализа отклика на слабое воздействие;
- метод определения параметров систем с запаздыванием по переходным процессам.
Методы были апробированы в численном эксперименте на уравнении генератора с запаздывающей обратной связью вида (5) с различными видами нелинейности.
Описанная методика была апробирована на исследовании системы медленной регуляции кровяного давления, которая демонстрирует колебания, близкие к периодическим. Математическая модель этой системы была предложена ранее [Ringwood J.V., Malpas S.C.]. Она представляет собой систему с задержкой, описываемую дифференциальным уравнением первого порядка вида (4), в котором динамическая переменная характеризует среднее артериальное давление. Задержка обусловлена распространением сигнала в петле обратной связи, артериальные барорецепторы вносят инерционность, а нелинейная функция определяется соотношением вида:
c c f (x) = -, (15) 1+ a expb( x+x*) 1+ a exp-b( x+x*) где параметры a, b, c, и x* определяют вид нелинейной характеристики. Такой вид функции получен в результате аппроксимации зависимостей уровня симпатической нервной активности от изменения среднего артериального давления в более ранних исследованиях [Sato T., Kawada T.].
Развиваются модельные представления о системе регуляции артериального давления с частотой около 0.1 Гц. Предложена усовершенствованная модель системы регуляции артериального давления в виде неавтономной автоколебательной системы с задержкой 1-го порядка, учитывающая влияние дыхательной активности.
Проведена реконструкция модели медленной регуляции артериального давления по временному ряду. Приводятся результаты оценки параметров.
В шестой главе проводится анализ синхронизации систем по временным рядам. Разработан анализ синхронизации системы внешним воздействием с изменяющейся частотой. Такое исследование является частным случаем общей постановки задачи об исследовании синхронизации между системами по временным рядам. Его можно провести далеко не всегда, но в случае, когда это удается, результаты могут дать более точное представление о системе, в отличие от традиционного способа изучения синхронизации. В частности, в некоторых случаях такой эксперимент дает возможность при наблюдении сложного сигнала от двух систем отличить случай активного взаимодействия систем от случая просачивания сигнала одной системы в другую.
Обработка данных производится методами вейвлет-анализа. Преимущество такой обработки в том, что комплексное вейвлет-преобразование дает информацию о частотном составе колебаний и о фазе для выбранного частотного диапазона. Вейвлет-преобразование применяется в качестве инструмента исследования синхронизации двух сигналов, один из которых изменяет частоту по линейному закону в зависимости от времени.
Использован новый подход к анализу синхронизации колебаний [Короновский А.А., Храмов А.Е.], называемый синхронизацией временных масштабов и основанный на введении непрерывного множества фаз, которое определяется с помощью непрерывного вейвлетного преобразования временного ряда x(t).
W (s,t0) = x(t) (t)dt, (16) s,t - где (t) - вейвлетная функция, получающаяся из материнского вейвлета s,t0(t):
1 t - t s,t (t) = 0 . (17) s s Временной масштаб s определяет ширину вейвлета (t), t0 - временs,tной сдвиг вейвлетной функции вдоль оси времени (звездочкой обозначено комплексное сопряжение). Следует отметить, что при проведении вейвлетного анализа понятие лвременной масштаб, как правило, используется вместо понятия лчастота, традиционного для ФурьеЦпреобразования.
В качестве материнского вейвлета используется Морлет-вейвлет 0(t) = exp( j)exp(-2 2). Выбор значения параметра вейвлета 0 = 2 обеспечивает соотношение s=1/f между временным масштабом s вейвлетного преобразования и частотой f преобразования Фурье.
Вейвлетный спектр W (s,t0) = W (s,t0) exp js(t0) (18) [ ] характеризует поведение системы на каждом временном масштабе s в любой момент времени t0. Модуль величины W характеризует наличие и интенсивность временного масштаба s в момент времени t0. Для визуализации трехмерных вейвлетных поверхностей W (s,t0) обычно используют их проекции на плоскость (s, t0). Интенсивность окраски на пропорциональна абсолютной величине коэффициентов W (s,t0).
Исследована модель асимметричного генератора Ван-дер-Поля под внешним периодическим воздействием с изменяющейся частотой:
- (1- x - x2 )x + 0 x = K sin((t)), x (19) где параметры =1.0 и 0 = 0.24, а K и - амплитуда и фаза внешнего воздействия, соответственно. Фаза (t) = 2[(a + bt /T )t] определяет линейное изменение частоты внешнего воздействия от времени:
L = 2 (0.03 + (0.2 - 0.03)t /T ) (20) где t - текущее время, T=1800 - время расчета.
Для сравнения синхронизации колебаний со случаем лпросачивания сигнала, проводился анализ суммарного сигнала вида:
x(t) = x(t) + R sin( (t)), (21) где x(t) - сигнал автономного генератора Ван-дер-Поля, а Rsin((t)) - внешнее воздействие с изменяющейся частотой.
Анализировались временные ряды самого генератора и внешнего воздействия. Показано, что отличие между случаем синхронизации сигнала генератора, богатым гармониками основной частоты, внешним сигналом, и случаем простого просачивания сигнала можно отслеживать по вейвлетному спектру мощности, сравнивая динамику масштабов, соответствующих основной частоте и ее гармоникам. В случае эффекта лпросачивания какиелибо изменения динамики масштаба, частота которого близка к частоте внешнего сигнала, не приводят к изменению динамики других характерных масштабов. В случае синхронизации характерный излом в вейвлетном спектре наблюдается на всех характерных масштабах.
Кроме того, в данной главе предложен метод, основанный на непрерывном вейвлетном преобразовании, который позволяет диагностировать наличие синхронизации колебаний генератора внешним воздействием с изменяющейся частотой по одноканальным данным (скалярным временным рядам). Показано, что внутри областей синхронизации при линейном изменении частоты воздействия разность фаз, вычисленных в моменты времени, разделенные временем , изменяется по закону, близкому к линейному в зависимости от t и . При фиксированном разность фаз ведет себя как 0(t) t.
Эффективность методов демонстрируется на примере асимметричного генератора Ван-дер-Поля в численном эксперименте, и для генератора с запаздыванием в радиотехническом эксперименте.
Уравнение радиотехнического генератора с запаздыванием под внешним воздействием записывается следующим образом:
RCU =-U (t) + F(U (t - )) + Asin( fext (t)t), (22) где x(t) - динамическая переменная, представляющая собой временную зависимость напряжения на выходе исследуемого генератора, RC=0.46 мс характеризует инерционные свойства генератора, F - нелинейная функция, =1.мс - время задержки, A - амплитуда внешнего сигнала. Параметры исследуемого генератора выбраны такими, что в нем реализуется периодический режим (период колебаний T=3.7 мс примерно равен двум временам задержки ). Было проведено четыре эксперимента при различных амплитудах воздействия. Переменная частота fext внешнего воздействия определяется по следующей формуле:
w fext (t) = 10U (t) / 2, (23) где частота измеряется в Гц, =220 Гц, управляющее напряжение Uw(t) изменяется линейно в пределах Uw от 0 до 1.6 В в течении 800 мс. Из формулы (23) следует, что частота внешнего воздействия меняется в пределах от 2до 1000Hz по степенному закону.
На рис. 8 представлен вейвлетный спектр мощности сигнала автогенератора с запаздыванием под внешним воздействием с изменяющейся частотой. Видно, что в этом случае наблюдается классическая картина захвата частоты генератора внешним сигналом, что выражается в появлении изломов вблизи моментов времени ts и t2s (отмечены на рисунке стрелками), когда частота внешнего сигнала близка к частоте автономного генератора или ее второй гармонике. Данный излом отражает эффект затягивания частоты генератора внешним сигналом и затем, при большой расстройке возвращение частоты колебаний генератора (а также ее гармоник) к собственной автономной частоте. При этом в области захвата частоты наблюдается рост амплитуды соответствующих коэффициентов вейвлетного спектра, которое хорошо согласуется с известным эффектом увеличения амплитуды колебаний в клюве синхронизации. На рис.9 показаны рассчитанные разности фаз 0(t) с использованием временного сдвига =0.66 ms для различных амплитуд внешнего воздействия A. Хорошо видно, что на зависимостях разностей фаз от времени наблюдаются ярко выраженные области монотонного изменения разности фаз (отмечены стрелками на рис.9), которые соответствуют близости частоты внешнего воздействия частоте автономных колебаний и ее гармоникам, т.е. различным режимам синхронизации автоколебаний генератора с запаздывающей обратной связью.
Рис.8. Вейвлетный спектр мощности W (s, t0) сигнала, порождаемого генератором с задержкой, синхронизируемым внешней силой с изменяющейся частотой.
Из рис.9 хорошо видно, что с ростом амплитуды внешнего воздействия область монотонного изменения разности фаз расширяется, что соответствует расширению области синхронизации генератора с увеличением интенсивности воздействия. Отметим также, что несмотря на то, что закон изменения частоты далек от линейного, при малых амплитудах внешнего воздействия разность фаз 0(t) изменяется практически линейно с течением времени в области клюва синхронизации. При большой амплитуде внешнего воздействия A=2V, когда ширина клюва синхронизации становится достаточно большой, характер изменения разности фаз в области клюва синхронизации начинает отклоняться от линейного. Вместе с тем изменение разности фаз 0(t) остается монотонным, что позволяет легко диагностировать режим синхронизации и определить границы клюва синхронизации.
Рис. 9. Динамика разности фаз 0(t) на временном масштабе s0, соответствующем первой гармонике частоты f0=270 Hz автономных колебаний генератора с запаздывающей обратной связью. Различные зависимости соответствуют различной амплитуде A внешнего воздействия с переменной частотой: 1 - A=0.5 V; 2 - 1 V; 3 - 1.5 V; 4 - 2 V. Мгновенные фазы определялись с помощью вейвлетного преобразования с материнским Морлевейвлетом с = 2. Временной сдвиг был выбран равным =0.66 ms В седьмой главе проведены исследования синхронизации между тремя различными ритмами сердечно-сосудистой системы. К этим ритмам относятся: основной сердечный ритм, ритм дыхания и ритм медленной регуляции кровяного давления с частотой около 0.1 Гц. Проводился анализ экспериментальных временных рядов электрокардиограмм, пульсограмм и записей дыхания. Исследована синхронизация трех ритмов при различных режимах дыхания: произвольном, с постоянной частотой и с переменной частотой для различных групп испытуемых. Продемонстрировано наличие у здоровых людей областей синхронизации между основным сердечным ритмом и дыханием, а также между дыханием и ритмом медленной регуляции кровяного давления с частотой около 0.1 Гц. Между этими тремя ритмами наблюдается фазовая синхронизация с различными соотношениями n:m при различных режимах дыхания. В экспериментах с фиксированной частотой дыхания длительность участков синхронизации между дыханием и сердцебиениями и между дыханием и ритмом медленной регуляции кровяного давления с частотой около 0.1 Гц в среднем была больше, чем в экспериментах с произвольным дыханием. Отмечено также, что в ходе одного эксперимента могут наблюдаться различные порядки синхронизации. В эксперименте с изменяющейся частотой дыхания убедительно продемонстрировано наличие синхронизации между дыханием и ритмом медленной регуляции кровяного давления с частотой около 0.1 Гц.
Эволюция фазы во времени определяется различными способами (преобразование Гильберта с последующей фильтрацией, эмпирическая декомпозиция мод, вейвлетное преобразование). Продемонстрирована возможность выделения фаз трех основных ритмов сердечно-сосудистой системы по многоканальным временным рядам (электрокардиограмма и дыхание), а также по одноканальным временным рядам (один канал электрокардиограммы).
Показано, что результаты исследования синхронизации между тремя основ ными ритмами сердечно-сосудистой системы, полученные в случаях многоканальных и одноканальных данных, качественно совпадают.
Проведено выделение ритма с частотой 0.1 Гц из различных временных рядов - R-R интервалов и ряда кровяного давления (пульсограммы). Показано, что для здоровых людей синхронизация между этими ритмами высокая, в то время как для больных ишемической болезнью сердца уровень синхронизации между этими ритмами значительно ниже. Для количественной оценки уровня синхронизации введена новая мера, названная суммарным процентом синхронизации. Расчеты суммарного процента синхронизации для этих больных в первые 3-5 дней с момента наступления инфаркта миокарда и на третьей неделе лечения показал, что суммарный процент синхронизации, рассчитанный на третьей неделе, увеличивается по сравнению с первой неделей заболевания в среднем примерно в 1.5 раза. Показано, что суммарный процент синхронизации между ритмами с частотой 0.1 Гц, выделенными из R-R интервалов и ряда пульсограммы, может быть использован в качестве диагностического признака для контроля эффективности лечения.
Для оценки суммарного процента фазовой синхронизации созданы и зарегистрированы два программных продукта, которые используются в Саратовском НИИ кардиологии и Нижегородской государственной медицинской академии для диагностики состояния больных, перенесших инфаркт миокарда, а также для разработки новых методов медицинской диагностики.
Основные результаты и выводы 1. Впервые предложена радиотехническая модель автогенератора на вакуумном микротриоде. В численном и физическом эксперименте исследованы одиночный автогенератор, генератор под внешним гармоническим воздействием и связанные автогенераторы. Показано, что в неавтономной системе могут наблюдаться хаотические колебания.
2. Разработана принципиальная схема и проведены исследования неавтономной нелинейной системы с запаздыванием, которая является примером бесконечномерной системы, с гиперболическим странным аттрактором. Система построена на базе осциллятора Ван-дер-Поля с дополнительной запаздывающей обратной связью.
3. Экспериментально исследованы модели одиночных и связанных дискретных отображений. Впервые исследованы в эксперименте отображения с новым, пороговым типом связи.
4. Создана и исследована радиотехническая схема, математической моделью которой является комплексное квадратичное отображение. Впервые показано, что в экспериментальной системе возможно наблюдение эффектов комплексной аналитической динамики.
5. Предложен метод оценки параметров одномерного отображения в хаотическом режиме с добавлением шума, основанный на рассмотрении итераций отображения в обратном времени. Показано, что такой метод дает выигрыш в скорости и точности оценки параметров.
6. Показано, что в хаотических временных реализациях автоколебательных систем с запаздыванием, описываемых дифференциальными урав нением первого порядка, количество расстояний между экстремумами во временном ряде в зависимости от расстояния между экстремумами имеет минимум, соответствующий времени задержки. Разработана методика оценки времени задержки по хаотическому временному ряду.
Установлено, что для систем с запаздыванием более высокого порядка с увеличением отношения времени инерционности фильтра ко времени задержки минимум зависимости смещается в сторону меньших значений.
7. Предложена методика оценки взаимодействия связанных кольцевых систем с двунаправленной, однонаправленной или нулевой связью по экспериментальным временным рядам. Методика основана на глобальной реконструкции уравнений по экспериментальным временным рядам при наличии подробной информации о механизме функционирования каждой из них (известна структура уравнений, определяющих динамику систем).
8. Предложена методика реконструкции систем с задержкой под внешним воздействием и связанных систем с задержкой. Методика позволяет оценить параметры систем с задержкой и коэффициенты связи.
9. Предложен метод диагностики синхронизации автоколебаний внешним сигналом, основанный на анализе отклика при изменении частоты внешнего воздействия.
10. Показано, что суммарный процент синхронизации между ритмами с частотой 0.1 Гц, выделенными из временных рядов RR-интервалов и пульсограмм пациентов может служить в качестве диагностического признака при контроле эффективности лечения.
Список основных публикаций по теме диссертации 1. Безручко Б.П., Кузнецов С.П., Каменский В.Ю., Пономаренко В.И.
Экспериментальное подтверждение закономерностей универсальности и подобия для модели генератора с запаздывающей обратной связью// Письма в ЖТФ. - 1988. - Т.14, вып.11. - С.1014-1019.
2. Астахов В.В., Безручко Б.П., Пономаренко В.И. Формирование мультистабильности, классификация изомеров и их эволюция в связанных фейгенбаумовских системах// Изв.вузов, Радиофизика. - 1991. - Т.34, №1. - С.35-39.
3. Астахов В.В., Безручко Б.П., Пономаренко В.И., Селезнев Е.П. Мультистабильность в системе радиотехнических осцилляторов с емкостной связью// Радиотехника и электроника. - 1991. - Т.36, №11. - С.2167- 2170.
4. Пономаренко В.И., Трубецков Д.И. Сложная динамика радиотехнической модели-аналога генератора на вакуумном микротриоде// ДАН. - 1994. - Т.337, №5. - С.602-604.
5. Трубецков Д.И., Пономаренко В.И., Короновский А.А. Динамика сис тем с квадратичной нелинейностью и пороговой связью// Письма в ЖТФ. - 1996. - Т.22, №19. - С.60-64.
6. Trubetskov D.I., Mchedlova E.S., Anfinogentov V.G., Ponomarenko V.I., Ryskin N.M. Nonlinear waves, chaos and patterns in microwave electronic devices// Chaos. - 1996. - Vol.6, No.3. - P.358-367.
7. Короновский А.А., Пономаренко В.И., Трубецков Д.И. Колебания в системе двух модельных автогенераторов на вакуумных микротриодах с однонаправленной связью// Письма в ЖТФ. - 1997. - Т.23, вып.18. - С.55-61.
8. Короновский А.А., Пономаренко В.И., Трубецков Д.И. Динамика отображений с пороговым типом связи// Прикладная нелинейная динамика. - 1997. - Т.5, №2-3. - С.63-71.
9. Безручко Б.П., Иванов Р.Н., Пономаренко В.И. Двухуровневое управление хаосом в нелинейных осцилляторах// Письма в ЖТФ. - 1999. - Т.25, вып.4. - С.61-67.
10. Bezruchko B.P., Karavaev A.S., Ponomarenko V.I., Prokhorov M.D. Reconstruction of time-delay systems from chaotic time series// Physical Review E. - 2001. - Vol.64. - 056216.
11. Isaeva O.B., Kuznetsov S.P., Ponomarenko V.I. Mandelbrot set in coupled logistic maps and in electronic experiment// Physical Review E. - 2001. - Vol.64. - 055201(R).
12. Караваев А.С., Пономаренко В.И., Прохоров М.Д. Восстановление моделей скалярных систем с запаздыванием по временным рядам// Письма в ЖТФ. - 2001. - Т.27, вып.10. - С.43Ц51.
13. Безручко Б.П., Иванов Р.Н., Пономаренко В.И., Селезнев Е.П., Экспериментальное исследование бифуркаций в системах с быстро меняющимся параметром// Письма в ЖТФ. - 2002. - Т.29, вып.11. - С.58-65.
14. Пономаренко В.И., Прохоров М.Д. Выделение информационной компоненты хаотического сигнала системы с запаздыванием// Письма в ЖТФ. - 2002. - Т.28, вып.16. - С.37Ц44.
15. Ponomarenko V.I., Prokhorov M.D. Extracting information masked by the chaotic signal of a time-delay system// Phys. Rev. E. - 2002. - V.66. - 026215.
16. Bezruchko B., Ponomarenko V., Rosenblum M.G., Pikovsky A.S. Characterizing direction of coupling from experimental observations// Chaos. - 2003. - V.13, No.1. - P. 179-184.
17. Prokhorov M.D., Ponomarenko V.I., Gridnev V.I., Bodrov M.B., Bespyatov A.B. Synchronization between main rhythmic processes in the human cardiovascular system// Phys. Rev. E. - 2003. - V.68. - 041913.
18. Ponomarenko V.I., Prokhorov M.D., Karavaev A.S., Seleznev Ye.P., Dikanev T.V. Recovery of dynamical models of time-delay systems from time series// Изв. ВУЗов. Прикладная нелинейная динамика. - 2003. - Т.11, №.3. - С.56-66.
19. Bespyatov A.B., Bodrov M.B., Gridnev V.I., Ponomarenko V.I., Prokhorov M.D. Experimental observation of synchronization between rhythms of cardiovascular system// Nonlin. Phen. in Compl. Syst. - 2003. - V.6, No.4. - P.885Ц893.
20. Dikanev T., Smirnov D., Ponomarenko V. and Bezruchko B. Three subproblems of global model reconstruction from time series and their peculiarities// Изв. ВУЗов. Прикладная нелинейная динамика. - 2003. - Т.11, №.3. - С.165-178.
21. Прохоров М.Д., Пономаренко В.И., Караваев А.С. Восстановление уравнений систем с запаздыванием под внешним воздействием по временным рядам// Письма в ЖТФ. - 2004. - Т.30, вып.2. - С.81Ц88.
22. Пономаренко В.И., Прохоров М.Д. Реконструкция уравнений систем с двумя временами запаздывания по временным рядам// Письма в ЖТФ.
- 2004. - Т.30, вып.22. - С.23Ц30.
23. Пономаренко В.И., Гриднев В.И., Прохоров М.Д., Беспятов А.Б., Бодров М.Б., Караваев А.С. Синхронизация сердцебиения и ритма регуляции сосудистого тонуса с дыханием// Биомедицинские технологии и радиоэлектроника. - 2004. - №8-9. - С.40-51.
24. Пономаренко В.И., Прохоров М.Д. Кодирование и извлечение информации, замаскированной хаотическим сигналом системы с запаздыванием// Радиотехника и электроника. - 2004. - Т.49, №9. - С.1098-1104.
25. Ponomarenko V.I., Prokhorov M.D., Bespyatov A.B., Bodrov M.B., Gridnev V.I. Deriving main rhythms of the human cardiovascular system from the heartbeat time series and detecting their synchronization// Chaos, Solitons and Fractals. - 2005. - Vol 23. - P.1429Ц1438.
26. Пономаренко В.И., Прохоров М.Д. Восстановление уравнений связанных систем с запаздыванием по временным рядам// Письма в ЖТФ. - 2005. - Т.31, вып.2. - С.41Ц48.
27. Смирнов Д.А., Власкин В.С., Пономаренко В.И. Метод оценки параметров одномерных отображений по хаотическим временным рядам// Письма в ЖТФ. - 2005. - Т.31, вып.2. - С.18-26.
28. Пономаренко В.И., Прохоров М.Д. Определение параметров уравнения Икеды по зашумленному временному ряду// Письма в ЖТФ. - 2005. - Т.31, вып.6. - С.73-78.
29. Smirnov D.A., Vlaskin V.S., Ponomarenko V.I. Estimation of parameters in one-dimensional maps from noisy chaotic time series// Physics Letters A. - 2005. - V.336. - P.448-458.
30. Пономаренко В.И., Прохоров М.Д., Караваев А.С., Безручко Б.П. Определение параметров систем с запаздывающей обратной связью по хаотическим временным реализациям// ЖЭТФ. - 2005. - Т.127, вып.3. - С.515-527.
31. Prokhorov M.D., Ponomarenko V.I., Karavaev A.S., Bezruchko B.P. Reconstruction of time-delayed feedback systems from time series// Physica D. - 2005. - V. 203, No.3-4. - P. 209-223.
32. Prokhorov M.D., Ponomarenko V.I. Estimation of coupling between timedelay systems from time series// Phys. Rev. E. - 2005. - V. 72. - 016210.
33. Пономаренко В.И., Прохоров М.Д., Корюкин И.В. Определение параметров полупроводникового лазера с оптической обратной связью по временным рядам// Письма в ЖТФ. - 2005. - Т.31, вып.21. - С. 79Ц86.
34. Прохоров М.Д., Бодров М.Б., Пономаренко В.И., Гриднев В.И., Беспятов А.Б. Исследование синхронизации между ритмами сердечнососудистой системы человека по последовательностям R-Rинтервалов// Биофизика. - 2005. - Т.50, вып. 5. - С. 914-919.
35. Hramov A.E., Koronovskii A.A., Ponomarenko V.I., Prokhorov M.D. Detecting synchronization of self-sustained oscillators by external driving with varying frequency// Phys. Rev. E. - 2006. - Vol. 73. - 026208.
36. Короновский А.А., Пономаренко В.И., Прохоров М.Д., Храмов А.Е.
Изучение синхронизации автоколебаний по унивариантным данным при изменении частоты внешнего воздействия с использованием вейвлетного анализа// Письма в ЖТФ. - 2006. - Т.32, вып.11. - C.81Ц88.
37. Пономаренко В.И., Прохоров М.Д. Оценка порядка и реконструкция модельного уравнения системы с запаздыванием// Письма в ЖТФ. - 2006. - Т.32, вып.17. - С.73Ц80.
38. Караваев А.С., Пономаренко В.И., Прохоров М.Д., Гриднев В.И., Киселев А.Р., Безручко Б.П., Посненкова О.М., Струнина А.Н., Шварц В.А.
Методика реконструкции модели системы симпатической барорефлекторной регуляции артериального давления по экспериментальным временным рядам. - Технологии живых систем. - 2007. - Т.4, №4. - С.3441.
39. Короновский А.А., Пономаренко В.И., Прохоров М.Д., Храмов А.Е.
Диагностика синхронизации автоколебательных систем при изменении частоты внешнего воздействия с использованием вейвлетного анализа// Радиотехника и электроника. - 2007. - Т.52, №.5. - С. 581-592.
40. Киселев А.Р., Беспятов А.Б., Колижирина О.М., Гриднев В.И., Пономаренко В.И., Прохоров М.Д., Довгалевский П.Я. Внутренняя синхронизация основных 0.1Гц-частотных ритмов в системе вегетативного управления сердечно-сосудистой системой// Физиология человека. - 2007. - Т.33, №.2. - C.69Ц75.
41. Короновский А.А., Пономаренко В.И., Прохоров М.Д., Храмов А.Е.
Метод исследования синхронизации автоколебаний по унивариантным данным с использованием непрерывного вейвлетного анализа// ЖТФ. - 2007. - Т.77, вып.9. - С.6-17.
42. Hramov A.E., Koronovskii A.A., Ponomarenko V.I., Prokhorov M.D. Detection of synchronization from univariate data using wavelet transform// Phys. Rev. E. - 2007. - V. 75. - 056207.
43. Prokhorov M.D., Ponomarenko V.I., Karavaev A.S., Bezruchko B.P. Recovery of dynamical models of time-delay systems from time series: Application to chaotic communication // Nonlinear Phenomena Research Perspectives, edited by C.W. Wang, Nova Science Publishers, New York. - 2007. - P.7Ц53.
44. Prokhorov M.D., Ponomarenko V.I. Encryption and decryption of information in chaotic communication systems governed by delay-differential equations. Chaos, Solitons & Fractals. - 2008. - V. 35, No.5. - Р.871-877.
45. Прохоров М.Д., Пономаренко В.И. Восстановление модельных уравнений цепочек связанных систем с запаздыванием по временным рядам // Письма в ЖТФ. - 2008. - Т.34, вып.8. - С.29-35.
46. Безручко Б.П., Пономаренко В.И., Прохоров М.Д., Смирнов Д.А., Тасс П.А. Моделирование и диагностика взаимодействия нелинейных колебательных систем по хаотическим временным рядам (приложения в нейрофизиологии) // УФН. - 2008. - Т.178, №3. - С.323-329.