Авторефераты по всем темам >>
Авторефераты по техническим специальностям
На правах рукописи
ИВАНОВ СЕРГЕЙ АЛЕКСАНДРОВИЧ
ЧИСЛЕННЫЙ АНАЛИЗ ДЕФОРМИРОВАНИЯ И УСТОЙЧИВОСТИ ПЛАСТИН И ПОЛОГИХ ОБОЛОЧЕК С УЧЕТОМ БОЛЬШИХ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ И НЕЛИНЕЙНОЙ РАБОТЫ МАТЕРИАЛА
Специальность 05.23.17 - Строительная механика
АВТОРЕФЕРАТ
диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук
Москва 2012
Работа выполнена в ОАО НИ - Строительство - Центральном научно-исследовательском институте строительных конструкций им.В.А.Кучеренко (ЦНИИСК им.В.А.Кучеренко)
Научный консультант: доктор технических наук, профессор Трушин Сергей Иванович
Официальные оппоненты: Косицын Сергей Борисович доктор технических наук, профессор, ФГБОУ ВПО Московский государственный университет путей сообщения, заведующий кафедрой Теоретическая механика Клейн Владимир Георгиевич кандидат технических наук, доцент, ФГБОУ ВПО Московский автомобильно-дорожный государственный технический университет (МАДИ), профессор кафедры строительной механики
Ведущая организация: ФГБОУ ВПО Российский университет дружбы народов
Защита состоится л28 июня 2012 года в 12:00 час. на заседании диссертационного совета Д 212.138.12 при ФГБОУ ВПО Московский государственный строительный университет по адресу: 129337, г. Москва, Ярославское шоссе, д. 26, ауд. No 9 Открытая сеть.
С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ФГБОУ ВПО Московский государственный строительный университет.
Автореферат разослан л______ __________ 2012 г.
Ученый секретарь диссертационного совета Анохин Николай Николаевич
ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ
Актуальность темы В связи с применением в практике строительства оболочечных конструкций и использованием конструкционных материалов, обладающих пластическими свойствами, важным вопросом является разработка эффективных численных методик расчета пространственных систем на прочность и устойчивость в нелинейной постановке с оценкой предельных и бифуркационных нагрузок.
При расчете несущих конструкций реальных сооружений требуется оценка их структурной устойчивости при выключении из работы отдельных элементов или опорных связей. В этом случае при изменении конструктивной схемы оболочки в ней, как правило, возникают большие перемещения, а также пластические деформации. В связи с этим вопросы разработки численных методик и алгоритмов решения задач деформирования и устойчивости тонкостенных пространственных конструкций с учетом геометрической и физической нелинейностей являются актуальными.
Цели работы 1. Построить базовую математическую модель тонких и средней толщины пластин и оболочек с учетом геометрической и физической нелинейностей, ориентированную на численную реализацию решения.
2. Разработать численные методики решения задач устойчивости в геометрически и физически нелинейной постановке на базе вариационноразностного подхода и метода продолжения по параметру.
3. Создать алгоритмы решения задачи устойчивости и реализовать разработанные алгоритмы в виде программного обеспечения для ЭВМ.
4. Выполнить расчеты пластин и оболочек на различные виды воздействий.
Научная новизна работы 1. Получен вариант энергетического функционала Лагранжа теории пластин и оболочек с учетом деформаций поперечного сдвига, геометрической нелинейности и физической нелинейности по теории малых упругопластических деформаций.
2. Разработана методика решения геометрически и физически нелинейной задачи на основе вариационно-разностного подхода с использованием метода продолжения решения по параметру.
3. Решен ряд задач расчета гибких тонкостенных пространственных конструкций при различных видах воздействий в физически линейной и физически нелинейной постановках.
4. Выполнены расчеты пологих нелинейно деформируемых цилиндрических оболочек при выключении из работы отдельных опорных связей.
Достоверность результатов В основе методики лежат корректные математические модели и методы решения нелинейных задач. Решение ряда тестовых задач дает хорошее совпадение полученных численных результатов с расчетными данными других авторов. Достоверность результатов подтверждается также анализом сходимости численных решений при различной густоте разностной сетки.
Практическая ценность работы Разработано программное обеспечение для ЭВМ на языке FORTRAN 90/95, позволяющее выполнять расчет изотропных пластин и оболочек при различных видах статического и кинематического воздействия с учетом деформаций поперечного сдвига, геометрической нелинейности и неупругой работы материала.
Апробация работы Основные результаты работы докладывались или опубликованы в трудах и тезисах докладов научно-технических конференций:
- Международная научно-практическая конференция Инженерные системы-2009 (РУДН, Москва, 2009 г.);
- 23-я международная конференция BEM&FEM-2009 (Санкт-Петербург, 2009 г.);
- Международная научно-практическая конференция Инженерные системы-2010 (РУДН, Москва, 2010 г.);
- Научная сессия Актуальные вопросы исследований и проектирования пространственных конструкций с применением физического и компьютерного моделирования (НИИЖБ, Москва, 2011);
- Научный семинар кафедры строительной механики МГСУ (Москва, 2011 г.).
Публикации По теме работы имеется 9 публикаций.
На защиту выносятся 1. Численная методика решения задач устойчивости нелинейно деформируемых оболочек из неупругих материалов.
2. Результаты исследования устойчивости и напряженнодеформированного состояния оболочек с учетом геометрической и физической нелинейностей.
3. Анализ влияния геометрических характеристик, граничных условий и начальных несовершенств на устойчивость оболочек из неупругих материалов.
4. Результаты исследования напряженно-деформированного состояния оболочек из упругопластического материала при сложном нагружении.
Объем работы Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы из 112 наименований. Общий объем диссертации составляет 1страницы, в текст включены 77 рисунков и 7 таблиц.
СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ
Во введении обосновывается актуальность темы диссертации, сформулированы цели и задачи работы, изложены основные положения, которые выносятся на защиту.
В первой главе приводится обзор литературы по теории и численным методам расчета оболочек, а также по методам решения нелинейных задач.
Основы геометрически нелинейной теории оболочек были заложены работой Маргерра, хотя идейные вопросы этой теории обсуждались еще раньше в работах Навье, С. П. Тимошенко и Бицено по прощелкиванию стержней и сферического купола.
Теории оболочек и методам расчета тонкостенных конструкций посвящено большое число работ, среди которых можно отметить работы А.А. Амосова, В.З. Власова, А.С. Вольмира, К.З. Галимова, А.Л. Гольденвейзера, Э.И.
Григолюка, В.Н.Иванова, В.В.Карпова, Н.В.Колкунова, С.Н.Кривошапко, И.Е.Милейковского, Х.М. Муштари, В.В. Новожилова, А.Р. Ржаницына, В.А.Смирнова, Л.Ю.Ступишина, С.П. Тимошенко, В.В.Шугаева и др.
Рассмотрены численные методы решения задач строительной механики, такие как метод конечных разностей, метод конечных элементов, метод граничных элементов, вариационно-разностный метод. Отмечаются их достоинства и недостатки. Вопросы построения и реализации данных численных методов рассмотрены в работах Н.П.Абовского, П.А.Акимова, А.М. Белостоцкого Д.В. Вайнберга, Р.Ф.Габбасова, А.Б. Золотова, С.Б.Косицына, Г.А. Мануйлова, В.А. Постнова, В.И. Прокопьева, Л.А. Розина, В.Н. Сидорова, С.И.Трушина, Н.Н. Шапошникова, В.Л. Якушева, К.-Ю. Бате, Е.Вилсона, Р.
Галлагера, О.Зенкевича, Р. Клафа и других авторов.
Применение в рамках перечисленных методов исходных нелинейных геометрических и физических соотношений приводит к системе нелинейных алгебраических уравнений. Наиболее эффективным методом решения таких задач является метод продолжения решения по параметру, который рассматривался В.З.Власовым, И.И.Воровичем, В.В. Петровым, В.И.Шалашилиным, М.Крисфилдом, Э.Риксом и другими.
Во второй главе приведен вывод геометрических соотношений с учетом больших перемещений и деформаций поперечного сдвига, физических соотношений теории оболочек для неупругих материалов с применением теории малых упругопластических деформаций, а также функционала Лагранжа теории изотропных оболочек в физически нелинейной постановке.
Оболочка рассматривается в системе ортогональных криволинейных координат 1, 2, z, при этом оси 1 и 2 совпадают с линиями главных кривизн. Исходные нелинейные геометрические соотношения имеют вид:
11(1, 2, z ) = e11 (1, 2 ) + z11(1, 2 );
22(1, 2, z ) = e22 (1, 2 ) + z22(1, 2 );
12(1, 2, z ) = e12 (1, 2 ) + z12(1, 2 ); (1) 13(1, 2, z ) = e13 (1, 2 ) ; 23(1, 2, z ) = e23 (1, 2 ), где e11, e22, e12, e13, e23 - деформации срединной поверхности оболочки, которые для пологой оболочки в декартовой системе координат x, y запишутся следующим образом:
2 u 1 1 w v 1 1 w u v w w e11 w ; e22 w ; e12 ;
x R1 2 x y R2 2 y y x x y (2) 1 2 2 1 w w 11 ; 22 ; 12 ; e13 1; e23 2, x y x y x y где u и v - тангенциальные перемещения в срединной поверхности оболочки;
w - нормальные перемещения; 1 и 2 - углы поворота поперечного сечения соответственно в плоскостях xz и yz; R1 и R2 - радиусы кривизны соответственно в плоскостях xz и yz.
При расчете тонкостенных пространственных конструкций в нелинейной постановке с использованием вариационно-разностного метода возникает необходимость построения матриц вторых производных дискретного аналога исходного функционала. В связи с этим для формулировки краевой задачи записаны исходные геометрические соотношения, связывающие приращения деформаций с приращениями перемещений. При выводе зависимостей между усилиями и деформациями для описания поведения материала используется теория малых упругопластических деформаций. При этом полагается, что зависимость между интенсивностью деформаций и интенсивностью напряжений изначально задана и одинакова для всех точек оболочки.
Напряженное состояние оболочки характеризуется внутренними погонными усилиями N11, N22, N12,M11,M22,M12,Q13,Q23, которые определяются по формулам:
N11 B11(1, 2)e11B12(1, 2)e22C11(1, 2)11C12(1, 2)22;
N22 B21(1, 2)e11B22(1, 2)e22C21(1, 2)11C22(1, 2)22;
N12 B33(1, 2)e12C33(1, 2)12;
M11 C11(1, 2)e11C12(1, 2)e22D11(1, 2)11D12(1, 2)22; (3) M22 C21(1, 2)e11C22(1, 2)e22D21(1, 2)11D22(1, 2)22;
M12 C33(1, 2)e12D33(1, 2)12;
Q13 B33(1, 2)e13; Q23 B33(1, 2)e23.
Коэффициенты, входящие в (3), имеют следующий вид:
h / 2 h / i 1 i B11(1,2) B22(1,2) dz ; B12(1,2) B21(1,2) dz ;
i i 1 2 1 h / 2 h / h / 2 h / i z i z C11(1,2) C22(1,2) dz; C12(1,2) C21(1,2) dz;
i i 1 2 1 h / 2 h / h / 2 h/ i 1 i z B33(1,2) (4) / i 2(1 ) dz ; C33(1,2) / 2 i 2(1 ) dz ;
h 2 h h / 2 h / i z2 i zD11(1,2) dz ;
/ i 1 2 dz ; D12(1,2) D21(1, 2) i 1 h 2 h/ h / i zD33(1,2) / i 2(1 ) dz, h где h - толщина оболочки; i - интенсивность деформаций; i - интенсивность напряжений; - коэффициент Пуассона; z - координата по нормали к срединной поверхности.
Представим полные деформации оболочки как суммы упругих и пластических деформаций:
e p p e p e p p 11 11 11; 22 e 22; 12 12 12; 13 13 13; 23 e 23, (5) 22 где деформации с индексом e - упругие, а с индексом p - пластические. Записывая теперь выражение для полной потенциальной энергии оболочки с учетом соотношений (3), (4) и (5), получим:
p (u) N, d N,d q,u d, (6) где N (N11N22N12M11M22M12Q13Q23)T - вектор усилий, вычисляемых по формулам (3); (e11e22e12112212e13e23)T - вектор деформаций срединной поверхности; q (q1q2qzm1m2)T - вектор внешней нагрузки;
u (u v w 1 2 )T - вектор обобщенных перемещений, а вектор p p p p p p p p p N (N11N22N12M11M22M12Q13Q23)T содержит особые величины, вычисляющиеся по формулам:
h / 2 h / 2 h / Ec p p Ec p p Ec p p p p N11 11 22dz ; N22 22 11dz ; N12 12 dz ;
1 2 1 2 2(1 ) h / 2 h / 2 h / h / 2 h / 2 h / Ecz Ecz Ecz p p p p p p p p M11 11 22dz ; M22 22 11dz ; M12 12 dz ;
1 2 1 2 2(1 ) h / 2 h / 2 h / h / 2 h / Ec p Ec p p p Q13 13 dz ; Q23 23 dz, (7) 2(1 ) 2(1 ) h / 2 h / где Ec i /i - секущий модуль упругости.
Уравнениями Эйлера функционала (6) являются уравнения равновесия в перемещениях (система уравнений десятого порядка).
В третьей главе приведены описания численных методик решения задач устойчивости с учетом физической нелинейности, а также результаты решения тестовых задач.
Алгоритм формирования разрешающих уравнений ВРМ включает в себя следующие основные этапы:
1. Область изменения независимых переменных разбивается на элементарные ячейки.
2. Значения искомой функции, доставляющей стационарное значение функционалу энергии, и ее производные в каждой ячейке приближенно задаются через значения функции в узловых точках.
3. Интегралы по ячейкам заменяются приближенными квадратурными формулами.
4. Для скалярной функции векторного аргумента, которая является дискретным аналогом исходного функционала, записывается необходимое условие стационарности. При фиксированном значении параметра нагрузки оно дает систему нелинейных алгебраических уравнений, представляющих собой уравнения Эйлера.
Предположим, что на область наложена сетка xi = x0 +ih1; yj = y0 +jh2 ; i=0, 1,..., n1; j=0, 1,..., n2 ; h=max (h1, h2), где h1, h2 - линейные размеры ячейки в направлении координатных осей.
Рассмотрим ячейку области с вершинами в точках (xi, yj), (xi+1, yj), (xi, yj+1), (xi+1, yj+1) и обозначим значения сеточных функций в этих точках u0, u1, u2, u3 соответственно. Функционал энергии J(u) может быть представлен в виде суммы интегралов по ячейкам сетки J . Для вычисления интеJ ij i, j грала Jij по ячейке используется его дискретный аналог Iij :
N 3 3 1 s s Iijh1h2 s f (xis, ys, m um, m um), (8) 1c s um, j h1 m0 m h2 ms mгде f - подынтегральная функция; N - число подсчетов функции по ячейке; um - значения искомых функций перемещений в узлах; c, , , - параметры схемы.
Для того, чтобы разностно-квадратурная аппроксимация (8) имела порядок относительной погрешности О(h2), параметры схемы должны удовлетворять дополнительным соотношениям. Для единственности решения дискретной задачи необходимо потребовать, чтобы аппроксимационная схема сохраняла свойство строгой выпуклости исходного функционала. Кроме того, в целях построения наиболее экономичных схем, желательно, чтобы число подсчетов подынтегральной функции было минимальным.
При N = 4 симметричная аппроксимационная схема, сохраняющая свойство строгой выпуклости, может быть представлена в виде:
h1h2 3 u1 u0 u2 u0 u3 u2 u3 uIij f 1 um, h1, h2 f 2 um, h1, h2 m m m0 m0 (9) 3 u1 u0 u3 u1 u3 u2 u2 u0 f 3 um, h1, h2 f 4 um, h1, h2 .
m m m0 m0 Далее представим уравнение равновесия оболочки в виде:
F(u, p) = W(u) - pQ = 0, (10) где W(u) - градиент потенциальной энергии деформации; Q - нормированный вектор узловых нагрузок.
Будем полагать, что все компоненты вектора перемещений и параметр нагрузки являются функциями некоторого параметра s и каждому значению этого параметра однозначно соответствует некоторое равновесное состояние u(s), p(s). При решении рассматриваемого класса задач наиболее целесообразным представляется подход, основанный на введении дополнительно к N уравнениям (10) N+1-го вспомогательного уравнения типа:
F0(u, p, s) = 0. (11) Наиболее целесообразно принять в качестве ведущего параметра длину дуги s кривой состояний равновесия рассматриваемой механической системы, задаваемую соотношением:
n s2 (12) u p2.
i iВ итерационных методах на каждом уровне нагружения m, которому соответствует значение параметра продолжения sm, искомые функции u(sm) и p(sm) находятся путем последовательных приближений к точному решению.
В качестве начального приближения обычно выбираются значения u(sm-1) и p(sm-1) с предыдущего шага нагружения. Одним из наиболее эффективных, с вычислительной точки зрения, методов решения рассматриваемого класса задач является метод Ньютона-Рафсона, численная процедура для которого может быть записана в виде:
2W (uk (sm))uk 1 Qpk 1 Qpk (sm) W (uk (sm)), (13) uk 1 uk kuk 1, где k - номер итерации; uk(sm), pk(sm) - значения искомых функций на итерации с номером k; uk+1 - значение искомой функции на итерации с номером k +1; uk+1, pk+1 - приращения функций на последующей итерации;
2W(uk(sm)) - матрица Гессе (матрица вторых производных) функции W(uk(sm)) ; W(uk(sm)) - градиент функции W(uk(sm)) ; k - итерационный параметр.
Эффективный численный алгоритм, обладающий высокой точностью и не накапливающий погрешность вычислений, может быть построен путем применения процедуры Рунге-Кутта четвертого порядка, сводящейся к последовательному решению систем уравнений:
2W(uk)uk = Qpk + Qpk - W(uk); (14) uk2+(pk)2 = s2.
При определении компонентов вектора градиента и коэффициентов матрицы Гессе используется подход, основанный на вычислении первых и вторых производных W(u) по своим явным выражениям.
В случае упругого материала коэффициенты матрицы Гессе и компоненты вектора градиента определяются на основе формул (3) и (4) без учета представлений (5), при этом деформационные характеристики материала - модуль упругости, коэффициент Пуассона - принимаются равными их начальным значениям и не изменяются. В случае же неупругого материала при вычислении интегралов в формулах (4) используется явная зависимость интенсивности напряжений от интенсивности деформаций в каждой точке оболочки. Для вычисления интегралов в разработанной методике используется формула трапеций с фиксированным шагом.
В разработанном численном алгоритме используется приближенная диаграмма работы материала, приведенная на рис. 1. При этом зависимость i i приравнивается к зависимости , а нелинейные ветви разгрузки материала приближенно заменяются линейно-упругой разгрузкой с начальным модулем упругости (участки BC, CD, DE на диаграмме на рис. 1).
F E B A C tg E D Рис. 1. Приближенная диаграмма работы материала.
Зависимость интенсивности напряжений от интенсивности деформаций задается таблично, затем аппроксимируется кубическими сплайнами для получения зависимости i f (i ), где f - кусочно-полиномиальная функция от i. Зависимость i f (i ) используется при вычислении интегралов в формулах (4), (7). Для этого оболочка разбивается по толщине на некоторое количество участков. Далее численный алгоритм для каждого элемента оболочки на одной итерации k представляет собой цикл подсчета интегралов в формулах (4) и (7) по толщине (по координате z) по формуле трапеций.
Цикл включает в себя следующие операции (для каждого узла j по толщине):
1) Вычисляются полные деформации (1). Затем вычисляется интенсивk ность деформаций на текущей итерации i и приращение интенсивности деk k kформаций i i i.
2) Вычисляется секущий модуль на предыдущей итерации. На первой итерации принимается начальный модуль упругости.
k 3) Проверяется знак i. В зависимости от него, а также от значения i и i на предыдущей итерации, определяется, в какой стадии нагружения или разгрузки находится материал в каждой точке оболочки, в соответствии с чем определяются i на текущей итерации. Если материал после активного нагружения переходит в стадию разгрузки, то выполняются следующие операции:
- вычисляются напряжения в данной точке оболочки по закону Гука, но с использованием секущего модуля с предыдущей итерации:
k1 k1 kEs k Es Es k k k k 11 (11 k ); k (k 11); 12 12; (15) 22 2(1 ) 1 2 1 2 k1 k1 kEs k Es i k k13 13; k k, где Es .
23 k2(1 ) 2(1 ) i - вычисляется пластическая часть деформаций.
1 p, k k p, k 11k 11 (11 k ); 22k k (k 11);
22 E0 E0 1 1 p, k k p, k k p, 12k 12 12 ; 13k 13 13; 23k k k. (16) G0 G0 G0 - вычисляется интенсивность напряжений на текущей итерации по формуле k k1 k i i E0i, (17) т.е. реализуется разгрузка материала по линейному закону, при этом модуль упругости материала принимается равным начальному E0.
При активном нагружении интенсивность напряжений вычисляется по k k формуле i f (i ), а при повторной догрузке после стадии разгрузки - по формуле (17). Момент перехода с линейной ветви диаграммы на нелинейную определяется в зависимости от значения i в момент начала разгрузки.
3) Вычисляется секущий модуль на текущей итерации и коэффициент Пуассона на текущей итерации.
4) Прибавка j-х слагаемых при вычислении интегралов в формулах (4) и (7).
В результате вышеприведенных вычислений формируется упругопластическая матрица DEP, содержащая коэффициенты при деформациях в правых T p частях (3), для одного элемента, и вектор N для того же элемента.
Поскольку N DEP, то функционал полной потенциальной энергии записывается в виде:
p (u) DEP,N, d q,u d. (18) 2 Разработанный алгоритм апробирован на следующих тестовых задачах:
задаче об изгибе прямоугольной пластины из упругопластического материала, задаче о пологой цилиндрической панели из упругопластического материала под действием равномерно распределенной нагрузки (схема оболочки приведена на рис. 2, а), а также осесимметричной задаче о цилиндрическом резервуаре с защемленной в уровне днища стенкой под действием гидростатического давления жидкости (рис. 2, б). На рис. 3 приведена диаграмма работы материала.
На рис. 4 приведены кривые равновесных состояний для прогибов wc в центральной точке изгибаемой пластины размерами в плане a b 1 м и толщиной h 0,05 м, при использовании длины дуги кривой равновесных состояний по схеме Крисфилда в качестве ведущего параметра. Сплошной линией показаны кривые, полученные с использованием метода НьютонаРафсона, штриховой линией - самокорректирующегося метода Рунге-Кутта.
При этом более тонкие линии соответствуют расчету с сеткой 4х4 элемента, более толстые - 16х16 элементов. Квадратами показаны значения, полученные при расчете методом конечных разностей с использованием теории Кирхгофа-Лява в работе А.И. Стрельбицкой, В.А. Колгадина и С.П. Матошко, треугольниками - полученные при расчете МКЭ в ПК Лира (сетка 16хэлементов). На рис. 5 приведены кривые равновесных состояний для прогибов wc в центральной точке оболочки при разной густоте сетки. Штриховой линией показаны кривые, соответствующие сетке элементов 4х4, штрихпунктирной - 8х8, сплошной - 16х16. В табл.1 приведено сравнение величин верхних критических нагрузок при различной густоте сетки, в табл.
2 - сравнение с результатами расчета методом конечных элементов.
а) б) Рис. 2. Схемы оболочек qz, кг/смi, кг/см2015105wc, см i 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.0 0.0005 0.001 0.0015 0.0Рис. 3. Диаграмма работы материала Рис. 4. Кривые равновесных состоя(зависимость i (i ) ). ний квадратной пластины.
qz, кг/смРис. 5. Кривые равновесных состояний цилиндрической оболочки.
Метод Ньютона-Рафсона.
wc, см 0 2 4 6 Табл. 1. Сравнение результатов расчета оболочки с использованием различных методов и при различной густоте сетки.
Метод Величина Сетка НьютонаРунге-Кутта Рафсона qz для 1-й пре- 4х4 2,636 2,78х8 2,899 3,0дельной точки, 16х16 2,981 3,1кг/смqz для 2-й пре- 4х4 0,8279 0,838х8 0,5588 0,55дельной точки, 16х16 0,5109 0,50кг/смwc для 1-й пре- 4х4 1,00 1,8х8 0,900 0,8дельной точки, 16х16 0,850 0,8см wc для 2-й пре- 4х4 4,50 4,8х8 4,60 4,дельной точки, 16х16 4,50 4,см Табл. 2. Сравнение результатов расчета вариационно-разностным методом и методом конечных элементов.
ВРМ, метод ВРМ, метод Ньютона- МКЭ, сетка Величина Рунге-Кутта, Рафсона, 8xсетка 8xсетка 8xqz для 1-й предель3,029 2,905 3,ной точки, кг/смwc для 1-й предельной 0,850 0,880 0,8точки, см Полученные результаты показывают, что сгущение сетки увеличивает ординату первой предельной точки и существенно сказывается на ветви устойчивых состояний после 2-й предельной точки. При этом сгущение сетки приводит к увеличению прогиба оболочки при одинаковых значениях параметра нагрузки. До достижения 2-й предельной точки разностноквадратурная схема быстро сходится уже при густоте сетки 8х8, однако использование даже грубой сетки 4х4 дает погрешность около 10%. Увеличение количества участков разбиения оболочки по толщине для проведения численного интегрирования практически не влияет на результат, при количестве участков разбиения более четырех. Значения предельной нагрузки для пологой цилиндрической оболочки из расчетов по ВРМ и МКЭ при одинаковой густоте сетки различаются не более чем на 10%, при этом МКЭ дает более высокое значение нагрузки, чем ВРМ.
В четвертой главе приведены результаты решения ряда задач исследования устойчивости оболочек из упругопластических материалов при различных геометрических характеристиках, граничных условиях и видах нагружения.
1. Исследована задача о пологой цилиндрической панели из упругопластического материала под равномерно распределенной нагрузкой (схема оболочки приведена на рис. 2, а). Работа материала описывается диаграммой, приведенной на рис. 3. В расчетах принято: E0 2,11011 Па; 0 0,3;
a b 1 м; h 0,01 м. Граничные условия соответствуют опиранию по контуру на абсолютно жесткие в своей плоскости и абсолютно гибкие из плоскости диафрагмы, т. е. приняты следующие условия: при x 0 и x a v 2 w 0 ; при y 0 и y b u 1 w 0. Кривые равновесных состояний оболочки при различных значениях кривизны k1 1/ R приведены на рис. 6. На рис. 7 приведены распределения интенсивностей напряжений (рис.
7, а - в верхней фибре, рис. 7, б - в нижней фибре панели) при достижении первой предельной точки (соответствующей верхней критической нагрузке).
Заштрихованные участки соответствуют значению i 2100 кг/см2, что соответствует площадке текучести материала.
qz, кг/смРис. 6. Кривые равновесных состояний оболочки при h = 0,01 м. Кривые 6 без значков - k1 = 0,2 м-1; квадрат - k1 = 0,3 м-1; треугольник - k1 = 0,4 м-1;
4 круг - k1 = 0,5 м-1. Сплошные линии - нелинейно-упругий материал, штриховые линии - упругий материал.
wc, см 0 2 4 6 8 100.0 100.80.0 80.60.0 60.40.0 40.20.0 20.0.0 0.0.0 20.0 40.0 60.0 80.0 100.0 0.0 20.0 40.0 60.0 80.0 100.x, см x, см а) б) Рис. 7. Распределение зон текучести (i т) в верхней (а) и нижней (б) фибрах оболочки при достижении 1-й предельной точки.
Из результатов расчета видно, что нелинейная работа материала значительно сказывается на величине нагрузки, соответствующей предельной точке, при увеличении кривизны оболочки. Степень снижения критической нагрузки при значении безразмерной кривизны 20Е50 составляет 1Е50% соответственно.
2. Исследовано поведение пологой цилиндрической панели из линейноупругого и упругопластического материалов при изменении граничных условий, моделирующем разрушение характерных опор конструкции. Схема панели приведена на рис. 8. Рассмотрено 3 варианта удаления опор: удаление опоры A, удаление опоры B и удаление обеих опор. На рис. 9 приведены за* висимости безразмерной критической нагрузки qcr qza / h / E0 от безраз* мерной кривизны k1 a2 /Rh для оболочки из упругопластического материала, работа которого описывается диаграммой, приведенной на рис. 4.
Сплошной линией показана кривая, соответствующая исходной схеме оболочки, квадратами - соответствующая опиранию по варианту 1, кругами - по варианту 2, крестами - по варианту 3.
Угловые опоры закрепляют горизонтальные и вертикальные перемещения оболочки, а также углы поворота, т. е. u v 1 2 w 0.
Граничные условия в остальных опорах v 2 w 0.
Для 4-х вариантов опирания оболочки (первый - основной, и 3 случая удаления различных опор) получены кривые равновесных состояний оболочки, зависимости верхней критической нагрузки от граничных условий и от геометрических характеристик оболочки. Приведенные результаты показывают, что при изначально принятой схеме опирания пологой цилиндрической панели на идеальные диафрагмы, закрепляющие горизонтальные смещения в углах, удаление угловой опоры значительно снижает величину верхней критической нагрузки для оболочки, как из упругого, так и из упругопластического материалов. Величина снижения критической нагрузки возрастает с увеличением кривизны панели.
y, см y, см qcr* 11k1* 20 30 40 50 Рис. 8. Схема цилиндрической Рис. 9. Зависимость верхней оболочки критической нагрузки от кривизны оболочки. Упругопластический материал.
3. Исследовано влияние малых начальных несовершенств на устойчивость пологой цилиндрической панели (рис. 2, а) из упругого и упругопластического материалов. Начальные несовершенства заданы в виде начальных 2x y перемещений, определяемых как w hsin sin , где 0,01. На a b рис. 10 приведены кривые равновесных состояний и изменения знаков определителя матрицы Гессе det G и параметра жесткости Sp UTQ, где вектор U определяется из решения уравнения 2W (uk (sm))U Q, для упругопластической оболочки. Точки, в которых меняет знак только det G, являются точками бифуркации решения (для оболочки без начальных несовершенств), одновременно det G и S - предельными точками. Сплошные кривые соотp ветствуют идеальной оболочке, штриховые - с начальными перемещениями.
На рис. 10 qz - величина равномерно распределенной нагрузки, wc - перемещение центральной точки оболочки по нормали. На рис. 11 приведены кривые для оболочки с начальными несовершенствами: сплошная кривая соответствует упругопластическому материалу, штриховая - упругому.
4. Исследовано поведение пологой упругопластической цилиндрической панели под действием равномерно распределенной нагрузки при пошаговом статическом приложении нагрузки и последующем ее снятии. Схема панели приведена на рис. 2, а, работа материала описывается диаграммой на рис. 3.
Приняты следующие условия: при x 0 и x a v 2 w 0 ; при y 0 и y b u 1 w 0. В расчетах принято: E0 2,11011 Па; 0 0,3; a b м; h 0,01 м. В качестве ведущего параметра использовались прогиб wc центрального узла оболочки и величина равномерно распределенной нагрузки qz. Для решения нелинейных уравнений использовался самокорректирующийся метод Рунге-Кутта.
Рис. 10. Кривые равновесных состояний Рис. 11. Кривые равновесных сои изменения знаков определителя матри- стояний оболочки с начальными цы Гессе и параметра жесткости. Упру- несимметричными прогибами.
гопластический материал На рис. 12 приведены кривые равновесных состояний оболочки с кривизной k1 0,15 м-1 при нагружении (кривая 1) и последующей разгрузке (кривая 2). Расчеты выполнены с использованием в качестве ведущего параметра прогиба центра оболочки и величины нагрузки. На рис. 13 приведено распределение остаточных прогибов оболочки после полного снятия нагрузки.
100.qz, кг/см1.2 80.A 60.0.40.0.4 20.wc, см 0.0.0 20.0 40.0 60.0 80.0 100.B x, см 0 1 Рис. 12. Кривые равновесных состояний Рис. 13. Остаточные прогибы обооболочки при h = 0,01 м и k1 = 0,15 м-1. лочки при полной разгрузке (q = 0).
5. С помощью разработанного алгоритма исследована осесимметричная задача о цилиндрическом резервуаре из упругопластического материала со стенкой, защемленной в уровне днища, при действии гидростатического давления жидкости (схема задачи приведена на рис. 2, б). Исследовано напряженно-деформированное состояние стенки в зоне краевого эффекта при возникновении и развитии пластических деформаций.
6. С помощью разработанного алгоритма произведен расчет листового цилиндрического резервуара РВС-20000 м3 №32 ССН ЛПДС Самара, ранее y, см выполненного в ЛМК ЦНИИСК им. В. А. Кучеренко с использованием ПК Stark ES. Расчет произведен на действие полных расчетных нагрузок, включая ветровую нагрузку. Сопоставление полученных результатов показывает их достаточно хорошую согласованность, как в качественном, так и в количественном отношении.
7. С помощью разработанного алгоритма произведен расчет конструкций подземных баков дизтоплива у здания ДГС 2-й очереди Белоярской АЭС, ранее выполненного ЦНИИСК им. В. А. Кучеренко совместно с НИИЖБ с использованием ПК Stark ES. Расчет произведен на действие полных расчетных нагрузок. Оболочка имеет кольцевые ребра, которые были учтены при расчете по вариационно-разностному алгоритму. Получены кривая равновесных состояний оболочки, распределение усилий и перемещений.
ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ 1. Получен вариант функционала Лагранжа теории тонких и средней толщины оболочек с учетом геометрической нелинейности и физической нелинейности (нелинейно-упругий и упругопластический материал) при учете сдвиговых деформаций по толщине.
2. Разработан и реализован численный алгоритм решения задач устойчивости оболочек с применением полученной математической модели.
3. Исследовано поведение пологой цилиндрической панели из линейноупругого и упругопластического материалов под действием равномерно распределенной нагрузки при изменении геометрических характеристик оболочки, граничных условий, при наличии начальных несовершенств, при простом и сложном нагружении.
4. Получены оценки верхних критических нагрузок для пологой цилиндрической панели из упругопластического материала.
5. Получены распределения перемещений, внутренних усилий и интенсивностей напряжений для характерных состояний оболочки при статическом приложении нагрузки.
6. Сопоставление результатов расчета с результатами, полученными другими методами и в работах других авторов показало их достаточно хорошее совпадение.
7. С помощью разработанной методики выполнен расчет оболочечных конструкций реальных сооружений. Полученные результаты имеют хорошее схождение с результатами расчетов по сертифицированным конечноэлементным программных комплексам.
Основное содержание диссертации опубликовано в следующих работах:
Публикации в изданиях, рекомендованных ВАК России для кандидатских диссертаций:
1. Трушин С.И., Иванов С.А., Журавлева Т.А. Численные исследования нелинейно деформируемых металлических конструкций покрытия при сложном нагружении // Строительная механика и расчет сооружений, 2009, №2, с.
37-44.
2. Иванов С.А. Разработка и оценка численного алгоритма расчета на устойчивость нелинейно деформируемой пологой цилиндрической оболочки // Строительная механика инженерных конструкций и сооружений, 2010, №3, с. 41-47.
3. Трушин С.И., Иванов С.А. Численное исследование устойчивости пологой цилиндрической оболочки с учетом физической и геометрической нелинейностей при различных граничных условиях // Строительная механика и расчет сооружений, 2011, №5, с. 43-46.
4. Трушин С.И., Иванов С.А. Устойчивость цилиндрических оболочек из упругопластического материала в процессе статического нагружения и разгрузки // Промышленное и гражданское строительство, 2012, №3, с. 13-15.
5. Трушин С.И., Иванов С.А. Численный алгоритм расчета нелинейно деформируемых замкнутых цилиндрических оболочек с низкой сдвиговой жесткостью // Строительная механика и расчет сооружений, 2012, №2, с. 7679.
Публикации в других изданиях:
6. Иванов С.А. Расчет пластин с учетом физической и геометрической нелинейностей вариационно-разностным методом // Труды международной научно-практической конференции Инженерные системы - 2009. Москва, 6Ц9 апреля 2010 г. - М.: РУДН, 2009, т.II, с. 232-239.
7. Иванов С.А. Исследование устойчивости пологой цилиндрической оболочки с учетом физической и геометрической нелинейности вариационно-разностным методом // Математическое моделирование в механике деформируемых тел и конструкций. Методы граничных и конечных элементов.
Тезисы докладов 23-й Международной конференции, т.1, 2009. - СПб:
СПбГАСУ, с. 91-93.
8. Трушин С.И., Иванов С.А. Численное исследование устойчивости пологих оболочек с учетом больших перемещений и нелинейной работы материала // Инженерные системы - 2010: Международная научнопрактическая конференция: Тезисы докладов. Москва, 6Ц9 апреля 2010 г. - М.: РУДН, 2010, с. 74.
9. Иванов С. А. Численное исследование влияния граничных условий на устойчивость пологой цилиндрической оболочки // Актуальные вопросы исследований и проектирования пространственных конструкций с применением физического и компьютерного моделирования. Тезисы докладов научной сессии. 20 апреля 2011 г. - М.: НИИЖБ, 2011, с. 27-28.
Авторефераты по всем темам >>
Авторефераты по техническим специальностям