Авторефераты по всем темам >>
Авторефераты по разное
Математический институт им. В.А.Стеклова Российская Академия Наук На правах рукописи
УДК 512.543, 512.544
АТАБЕКЯН Варужан Сергеевич О подгруппах и автоморфизмах свободных бернсайдовых групп
01.01.06 - Математическая логика, алгебра и теория чисел А в т о р е ф е р а т диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук
Москва - 2010
Работа выполнена на кафедре алгебры и геометрии Ереванского государственного университета.
Научный консультант академик РАН С.И.Адян
Официальные оппоненты:
доктор физико-математических наук, профессор В.С.Губа, доктор физико-математических наук И.Г.Лысенок, член-корр. РАН, доктор физ.-мат. наук А.Л.Семенов.
Ведущая организация:
Московский государственный университет им. М.В.Ломоносова
Защита состоится 21 апреля 2011 года в 14 часов на заседании диссертационного совета Д 002.022.03 при Математическом институте имени В.А.Стеклова по адресу: 119991, г. Москва, ул. Губкина, д. 8.
С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке МИАН.
Автореферат разослан... января 2011 года.
Ученый секретарь совета Д 002.022.доктор физико-математических наук Н.П.Долбилин
Общая характеристика работы
Целью работы является исследование структуры подгрупп свободных периодических групп достаточно большого нечетного периода и периодических произведений групп. Изучаются также автоморфизмы свободных периодических групп.
Актуальность темы исследования. В диссертации исследуются свободные периодические группы нечетного периода, которые также называются свободными бернсайдовыми группами.
Свободная бернсайдова группа B(m, n) периода n и ранга m имеет следующее задание B(m, n) = a1, a2,..., am | Xn = 1, где X пробегает множество всех слов в алфавите {a1, a1,..., a1}.
1 2 m Группа B(m, n) есть факторгруппа свободной группы Fm ранга m n по нормальной подгруппе Fm, порожденной всевозможными n-ми степенями элементов из Fm. Любая периодическая группа периода n с m порождающими является факторгруппой группы B(m, n). В известной проблеме Бернсайда о периодических группах ставился вопрос: будет ли конечной всякая конечно порожденная группа, удовлетворяющая данному тождественному соотношению вида xn = 1 (см. [1])? Проблема Бернсайда привлекала внимание выдающихся алгебраистов многих стран в силу естественности и максимальной простоты своей постановки. Положительный ответ на вопрос Бернсайда до сих пор получен только для значений n 4 и n = 6. Сам Бернсайд в статье [1] доказал конечность групп B(m, n) для любого числа порождающих m и n 3, а также конечность B(2, 4). В работе [2] И. Н. Санов доказал конечность при n = 4 для любых m. В 1958 году Маршалл Холл в работе [3] доказал конечность для n = 6 и любых m.
В 1968 году П. С. Новиков и С. И. Адян в совместной работе [4] впервые опубликовали отрицательное решение проблемы Бернсайда. В этих статьях было доказано, что для любого нечетного периода n 43и любого числа порождающих m > 1 свободная периодическая группа B(m, n) бесконечна.
В 1975 году вышла монография С. И. Адяна [5], в которой такой же результат был доказан для любых нечетных периодов n 665 и любого числа порождающих m > 1.
Так как свободная бернсайдова группа B(m, n) является факторгруппой групп B(m, nk) при любых k > 1, то из этого результата непосредственно вытекает бесконечность бернсайдовых групп B(m, n) для m > и любых периодов, которые имеют нечетный делитель 665.
Число n = 665 до сих пор остается наименьшим значением периода, для которого доказана бесконечность групп B(m, n). В частности, открыт вопрос о бесконечности группы B(2, 5).
Для решения проблемы Бернсайда в работе [4] была построена теория преобразований периодических слов, в которой дана классификация периодических и приведенных слов в группе B(m, n) для каждого нечетного n 4381. В монографии [5] эта теория была усовершенствована и распространена на все нечетные периоды n 665.
Характерной особенностью созданной теории является то, что в ней большое число взаимосвязанных утверждений доказывается совместной индукцией по натуральному параметру , называемому рангом.
В результате индуктивного доказательства получается задание группы B(m, n) с помощью некоторой бесконечной системы определяющих соотношений, классифицированных по рангам. Изложенный в работах [4], [5] подход заключается в том, что, начиная со свободной группы Fm = B(m, n, 0), последовательно добавляются определяющие соотношения вида An = 1: сначала для всех элементарных периодов ранга 1, затем для всех элементарных периодов ранга 2 и т. д. При этом элементарные периоды ранга , так же, как и все сопутствующие им понятия для ранга , определяются на базе отношения равенства слов в уже построенной группе B(m, n, - 1).
Развитая в фундаментальных работах [4], [5] теория открыла путь к решению и других важных проблем теории групп, которые долгое время оставались открытыми. Подробный обзор результатов, полученных в этом направлении, содержится в недавно опубликованной обзорной статье [6].
Результаты о свободных бернсайдовых группах, полученные на базе этой теории, показывают, что группы B(m, n) обладают многими свойствами, аналогичными свойствам абсолютно свободных групп. Как установлено С. И. Адяном в [5], при m > 1 и любом нечетном n 665 верны следующие утверждения:
Х Центр группы B(m, n) тривиален.
Х Всякая коммутативная или конечная подгруппа группы B(m, n) является циклической.
Х Для любого конечного m > 1 группа B(m, n) имеет показательный рост.
Х При m > 65 и n 665 (а также при любом m > 1 и нечетном n = ks, где k 665 и s > 1) группа B(m, n) не удовлетворяет условиям минимальности и максимальности для нормальных подгрупп.
Х Группа B(2, n) содержит изоморфные копии свободных периодических групп B(m, n) любого конечного ранга m 1.
В работе [7] В. Л. Ширванян доказал вложимость свободной группы B(, n) бесконечного ранга в группу B(3, n), а значит, в силу теоремы С. И. Адяна, и в группу B(2, n).
Некоторые усиления этих результатов изложены в главах 1,2 и 4 диссертации.
В работе С. И. Адяна [8] было доказано, что при m > 1 и нечетных n 665 группа B(m, n) является неаменабельной и случайные блуждания на этих группах невозвратны (решение проблемы Г. Кестена). Заметим, что группы B(m, n) - первые примеры неаменабельных групп, удовлетворяющие нетривиальному тождеству (а именно, тождеству xn = 1).
В главе 2 диссертации доказывается, что все конечно порожденные бесконечные подгруппы группы B(m, n) при n 1003 обладают свойством равномерной неаменабельнсти, которое является естественным усилением понятия неаменабельности и было введено в 2005 году в работе [9].
Наряду с исследованием свойств бернсайдовых групп B(m, n), в монографии [5] построенная теория была применена для решения других известных проблем теории групп. В частности, в ней изложено отрицательное решение проблемы конечного базиса для групп и положительное решение известной проблемы Конторовича о существовании конечно порожденных некоммутативных аналогов аддитивной группы рациональных чисел.
В работе [10] (см. также [11]) С. И. Адян установил, что созданная теория может быть использована для построения новой операции умножения групп, обладающей основными свойствами классических операций свободного и прямого произведений групп. Такая операция строится для каждого нечетного n 665 и называется n-периодическим произведением. Этой работой открылись новые возможности в теории периодических групп. В ней показано, что теория Новикова-Адяна может быть использована для построения и изучения факторизаций свободных произведений по специально выбранным соотношениям вида Xn = 1. Именно построение теории на базе свободных произведений позволяет ввести понятие n-периодического произведения групп. Исследованию некоторых свойств периодических произведений и их приложениям посвящена третья глава диссертации.
Существенный прогресс в исследованиях бесконечных периодических групп был достигнут в работах А. Ю. Ольшанского [12] - [15].
Х В работах [12], [13] построены первые примеры бесконечных неабелевых групп, любая собственная подгруппа которых - циклическая группа (решение ряда известных проблем: проблемы О. Ю. Шмидта о существовании квазиконечных групп, отличных от квазициклических групп Cp, проблемы Р. Бэра о существовании н етеровой группы, не являющейся почти полициклической, проблемы С. Н. Черникова о существовании артиновой группы, не являющейся почти абелевой).
Х В работе [14] было изложено более короткое доказательство теоремы Новикова-Адяна для нечетных n > 1010 с привлечением диаграмм ван Кампена - геометрической интерпретации выводимости соотношений в группе из определяющих ее соотношений.
Х В работе [15] для любого простого числа n > 1078 построена бесконечная 2-порожденная группа, все собственные подгруппы которой - циклические группы порядка n (решение проблемы А. Тарского).
В работе [16] последный результат был распространен на любые нечетные периоды n > 1078. В 1991 году С. И. Адян и И. Г. Лысенок усилили результаты указанных работ [15] и [16]. В их совместной работе [17] для любого нечетного числа n 1003 была построена бесконечная 2-порожденная группа, каждая собственная подгруппа которой содержится в некоторой циклической подгруппе порядка n. Результаты этой работы используются в главе 4 для доказательства некоторых аппроксимационных свойств свободных бернсайдовых групп и для построения бесконечных убывающих и возрастающих цепочек нормальных подгрупп при любых m > 1 и n 1003.
В 1989 году вышла в свет монография [18] А. Ю. Ольшанского, в которую вошли как результаты работ [12] - [15], так и решения ряда других важных старых задач теории групп, полученные на пути дальнейшего развития и приложения теории периодических групп.
Очень важным событием в исследовании бесконечных периодических групп явилась публикация работ С. В. Иванова и И. Г. Лысенка, в которых доказана бесконечность свободных бернсайдовых групп для всех периодов, начиная с некоторого. В работе С. В. Иванова [19] это доказано для всех n = 512k 248, а в работе И. Г. Лысенка [20] - для всех n = 16k 8000.
Методы исследования. В диссертации применяется теория Новикова-Адяна, созданная для исследования периодических групп, а также другие известные методы комбинаторной теории групп; в частности, используются различные модификации конструкций монстров Тарского.
Основные результаты.
Х Любая нециклическая подгруппа группы B(m, n) при нечетных n 1003 содержит подгруппу, изоморфную группе бесконечного ранга B(, n).
Х Все конечно порожденные подгруппы группы B(m, n) при нечетных n 1003 имеют равномерно экспоненциальный рост и равномерно неаменабельны.
Х Все собственные свободные n-периодические подгруппы группы B(m, n) при нечетных n 1003 не являются нормальными подгруппами как в самой группе, так и в любой строго промежуточной группе.
Х Если группа B(m, n) при нечетном n 1003 является нормальной подгруппой некоторой n-периодической группы G, то G есть прямое произведение подгруппы B(m, n) и ее централизатора в G.
Х При нечетных n 1003 все нормальные автоморфизмы группы B(m, n) являются внутренними. Подгруппа внутренних автоморфизмов Inn(B(m, n)) является максимальной среди тех подгрупп группы Aut(B(m, n)), в которых порядки элементов не превосходят n.
Х Получено необходимое и достаточное условие для того, чтобы в n n-периодическом произведении двух групп G1 G2 множитель Gявлялся НФ-подгруппой, т.е чтобы любая конгруэнция на ней была продолжаема до конгруэнции на всей группе.
Х Доказано, что для каждого нечетного n 1003 и m 2 группа B(m, n) не удовлетворяет условиям минимальности и максимальности для нормальных подгрупп.
Х При нечетных n 1003 и m > k 2 группа B(m, n) вполне аппроксимируется группой B(k, n).Показано также, что группа B(m, n) вполне аппроксимируется простыми группами, все собственные подгруппы которых циклические.
Все основные результаты диссертации являются новыми и опубликованы в научных статьях автора, список которых приведен в конце автореферата.
Работа носит теоретический характер. Ее результаты и методы могут быть использованы в исследованиях по свободным бернсайдовым группам и их подгруппам, группам автоморфизмов периодических групп, nпериодическим произведениям групп.
Полученные результаты докладывались на научноисследовательских семинарах в Московском государственном университете, в Математическом институте им. В.А.Стеклова РАН и на научно-исследовательском семинаре кафедры алгебры и геометрии Ереванского государственного университета.
Они были представлены на следующих международных конференциях:
Международная конференция по алгебре и логике, посвященная 75летию со дня рождения С.И.Адяна, Москва, МИАН, 5-10.02, (2006);
Международная конференция Combinatorial and Geometric Group Theory. Vanderbilt University, Nashville, TN, USA, May 5-10, (2006);
The First Int. Algebra and Geometry Conference. 16-20 May, 2007, Yerevan;
Международная алгебраическая конференция, посвященная 100-летию со дня рождения А.Г.Куроша, Москва, МГУ, 27.05-3.06, (2008);
Международная конференция, посвященная 100-летию со дня рождения А. И. Мальцева, Новосибирск, 24-28.08, (2009).
Содержание работы Диссертация состоит из введения и шести глав, списка обозначений и сокращений. Список литературы содержит 97 наименований.
Во введении дается обзор результатов, касающихся темы диссертации, рассмотрена история задач, сформулированы основные результаты.
В первой главе исследуется вопрос о возможности вложения свободной периодической группы B(, n) бесконечного ранга в подгруппы свободной группы B(2, n) ранга 2 нечетного периода n 1003. В разделе 1.1 приводятся необходимые определения. Рассматривается следующее отображение F2 F2 свободной группы F2 ранга 2, заданное на свободных порождающих b и c формулами (b) = cb9c, (c) = bc9b.
В разделах 1.2 - 1.4 исследуются свойства этого отображения. Совместной индукцией по натуральному параметру доказывается ряд вспомогательных лемм. При отображении удается точно описать образы опорных ядер, порождающих вхождений, минимальных и элементарных периодов, целых и элементарных слов и других основных понятий из главы I монографии [5] при всех нечетных n 665.
На основании доказанных в предыдущих разделах лемм в разделе 1.5 выводится следующее Предложение 1.1. Пусть свободная группа F2 ранга 2 задана порождающими b и c, n 665 - произвольное нечетное число и отобра жение F2 F2 - мономорфизм, заданный на порождающих формулами (b) = c b9c и (c) = b c9b.
Cлово A группы F является элементарным периодом некоторого ранга 1 тогда и только тогда, когда (A) является элементарным периодом ранга + 1.
Более того, для любого 0 имеют место следующие эквивалентности:
1. X R (X) R+1, 2. X K (X) K+1, 3. X L (X) L+1, 4. X M (X) M+1, 5. X A (X) A+1, 6. X M (X) M, +7. Род(E, D) Род((E), (D)).
Следствие 1.2. Пусть n 665 - произвольное нечетное число и n B(2, n) B(2, n) - эндоморфизм группы B(2, n), индуцированный мо номорфизмом F2 F2 свободной группы F2, заданный на свободных порождающих b и c группы F2 формулами (b) = c b9c и (c) = b c9b. Тогда n является мономорфизмом группы B(2, n).
Следствие 1.3. Для любого m > 1, 0 и нечетного n 665 группа B(m, n, ) содержит подгруппу, изоморфную абсолютно свободной группе F2 ранга 2.
В разделе 1.6 доказывается следующий основной результат.
Теорема 1.1. При нечетных n 1003 каждая нециклическая подгруппа группы B(2, n) содержит подгруппу, изоморфную группе бесконечного ранга B(, n).
Для указанных n теорема 1.1. дает положительный ответ на вопрос А.Ю.Ольшанского 8.53. б) из коуровской тетради [21]. При нечетных n 1003 из него вытекают также теоремы С.И.Адяна о цикличности абелевых и конечных подгрупп группы B(m, n), теорема о тривиальности центра группы B(m, n). Она усиливает также теорему о вложимости группы B(3, n) в группу B(2, n), а также теорему В.Л.Ширваняна о вложимости группы B(, n) в B(3, n).
Следствие 1.5. При m > 1 и нечетных n 1003 каждая нециклическая подгруппа H группы B(m, n) содержит бесконечно убывающую цепочку попарно различных вложенных подгрупп H H1 H2 ... Hi ..., где каждая подгруппа Hi изоморфна H.
Определение 1. Элементы u и v группы B(m, n) назовем независимыми, если они свободно порождают подгруппу, изоморфную группе B(2, n).
В первой теореме главы 2 утверждается, что существует такое числе L, что в каждом S-шаре радиуса L содержатся два независимых элемента группы B(m, n), где S - произвольное множество, порождающee нециклическую подгруппу группы B(m, n).
Теорема 2.1. Для любого m 2 и нечетного n 1003 существует такое число L < (57n)3, что для произвольного множества S, порождающего нециклическую подгруппу S группы B(m, n), можно найти таких два независимых элемента u, v S, длины которых относительно порождающего множества S удовлетворяют неравенствам |u|S < L и |v|S < L.
Теорема 2.1 позволяет исследовать вопрос о равномерной неаменабельности подгрупп группы B(m, n).
Пусть A - конечное подмножество группы G, a S - конечное порождающее множество группы G. Границей подмножества A относительно конечного порождающего множества S G называется множество S(A) {a A | ax A для некоторого x S1}.
/ Определение 2. Константой Ф елнера группы G относительно порождающего множества S называется число |S(A)| F lS(G) inf, A |A | где инфимум берется по всем конечным непустым подмножествам A G.
Известно (см. [22]), что группа аменабельна тогда и только тогда, когда F lS(G) = 0 для некоторого (а следовательно, для каждого) конечного порождающего множества S.
Группы B(m, n) - первые примеры неаменабельных групп, удовлетворяющие нетривиальному тождеству, а именно, тождеству xn = 1 (см.
[8]).
Определение 3. Число F l(G) inf F lS(G), где инфимум берется S по всевозможным конечным порождающим множествам S группы G, называется константой Фелнера группы G. Конечно порожденная группа называется равномерно неаменабельной, если F l(G) > 0.
Теорема 2.2. Для каждого нечетного числа n 1003 любая конечно порожденная нециклическая подгруппа свободной бернсайдовой группы B(m, n) - равномерно неаменабельная группа.
В частности справедливо Следствие 2.1. Для любого конечного m > 1 и нечетного n 10свободная бернсайдова группа B(m, n) - равномерно неаменабельная группа.
Доказательство свойства равномерной неаменабельности подгрупп группы B(m, n) опирается на теорему 2.1.
Утверждение следствия 2.1 при нечетных n > 1080 было доказано также Д.Осиным в работе [23].
Следствие 2.2. Для любого m > 1 и нечетного n 1003 любая конечно порожденная нециклическая подгруппа свободной бернсайдовой группы B(m, n) имеет равномерный экспоненциальный рост.
Последний результат при нечетных n 1003 дает положительный ответ на вопрос П. де ля Арпа [24]: имеют ли бесконечные свободные бернсайдовы группы B(m, n) равномерный экспоненциальный рост? Справедлива также Теорема 2.3. Для любого нечетного n 1039 существуют слова u(x, y), v(x, y) над групповым алфавитом {x, y} такие, что если a, b - любые два элемента, порождающие нециклическую подгруппу группы B(m, n), то для некоторого p элементы u(ap, b) и v(ap, b) независимы.
(причем p = 2k и 0 k 9).
Подобная гипотеза была сформулирована С.В.Ивановым в совместной с А.Ю.Ольшанским обзорной статье [25].
Слова u(x, y) и v(x, y), о существовании которых утверждается в формулировке теоремы 2.3, указаны в явном виде.
Следствие 2.6. Существует такой мономорфизм : B(2, n) B(2, n), что для любого эндоморфизма : B(2, n) B(2, n) с нециклическим образом найдется автоморфизм : B(2, n) B(2, n) такой, что - мономорфизм.
В главе 3 исследуются свойства n-периодических произведений групп и свободных бернсайдовых групп, связанные с так называемыми наследственно факторизуемыми подгруппами (НФ-подгруппами).
Определение 4. Подгруппа H группы G называется НФ-подгруппой, если для любой нормальной подгруппы NH группы H существует нормальная подгруппа NG группы G такая, что H NG = NH.
Понятие НФ-подгруппы было введено Б.Нейманом в работе [26], где указанные подгруппы названы E-подгруппами. В англоязычной литературе для НФ-подгруппы помимо E-подгруппы используются также названия CEP -подгруппa и Q-подгруппа (см. [27], [28]).
Из определений прямого и свободного произведения непосредственно следует, что произвольная группа G1 является НФ-подгруппой как прямого произведения G1 G2, так и свободного произведения G1 Gгрупп G1 и G2.
В разделе 3.2 главы 3 получены необходимые и достаточные условия n для того, чтобы множитель Gi n-периодического произведения Gi iI произвольного семейства групп {Gi}iI, введенного С.И.Адяном, являлся НФ-подгруппой.
Теорема 3.1. Множитель G1 n-периодического произведения n G1 G2 групп G1 и G2, где |G2| > 2, является НФ-подгруппой тогда и только тогда, когда любая нетривиальная нормальная подгруппа NG группы G1 содержит подгруппу Gn, порожденную всеми n-ми степенями элементов группы G1.
Теорема 3.2. Пусть в группе G1 содержится не более одной инn волюции. Тогда множитель G1 n-периодического произведения G1 G2, где |G2| = 1, является НФ-подгруппой тогда и только тогда, когда любая нетривиальная нормальная подгруппа NG группы G1 содержит подгруппу Gn.
Следствие 3.3. Любая группа G1 нечетного периода n 665 являn ется НФ-подгруппой n-периодического произведения G1 G2 для произвольной группы G2.
Следующая теорема об НФ-подгруппах свободной бернсайдовой группы B(m, n) является усилением теоремы 1.1.
Теорема 3.4. Для любого нечетного n 1003 свободная бернсайдова группа B(m, n) ранга 2 содержит НФ-подгруппу, изоморфную свободной бернсайдовой группе B(, n) счетного ранга.
Теорема 3.4 усиливает также теорему 1.2 совместной работы А.Ю.Ольшанского и М.В.Сапира [27], а также результаты работ Д.Сонкина [29] и С.В.Иванова [28].
Следствие 3.6. Для каждого нечетного n 1003 любая счетная группа периода n вкладывается в некоторую 2-порожденную группу периода n.
Следствие 3.6 усиливает соответствующий результат работы В.Oбразцова [30].
Определение 5. Счетная группа G называется SQ-универсальной для класса групп K, если всякая счетная группа из класса K изоморфно вложима в некоторую факторгруппу группы G.
Из теоремы 3.4 следует также Следствие 3.7. Для каждого нечетного n 1003 любая нециклическая подгруппа свободной бернсайдовой группы B(m, n) является SQ-универсальной в многообразии всех групп периода n.
В совместной работе [17] С. И. Адяна и И. Г. Лысенока при любом нечетном n 1003 строится бесконечная 2-порожденная группа, каждая собственная подгруппа которой содержится в некоторой циклической подгруппе порядка n. Построенные в работе [17] группы будем называть группами Адяна-Лысенока. В главе 4 эти группы и их различные модификации применяются для исследования периодических групп фиксированного периода.
В разделах 4.3 - 4.5 доказываются следующие тероремы.
Теорема 4.2. При любом нечетном n 1003 в многообразии Bn всех групп периода n существует континуум неизоморфных групп Адяна-Лысенка.
Теорема 4.3. Для любого m > 1 и нечетного n 1003 mпорожденная свободная бернсайдова группа B(m, n) не удовлетворяет условиям минимальности и максимальности для нормальных подгрупп.
Теорема 4.3 для нечетных n 1003 отвечает на вопрос 3.10 из главы VI монографии [5]. При m > 1 и нечетных n = k s, где k 665 и s > 1, а также при m > 65 и нечетных n 665 бесконечно убывающие и возрастающие цепи нормальных подгрупп в B(m, n) впервые были указаны С. И. Адяном в [5] (см. [5, гл. VI, теорема 3.9]) и в [31].
Определение 6. Скажем, что группа A вполне аппроксимируется группамими из класса K, если для каждого конечного набора неединичных элементов группы A существует эпиморфизм из A на некоторую группу из класса K, при котором образы данного конечного набора - неединичны.
Теорема 4.4. При всяком m > 1 и нечетном n 1003 свободная периодическая группа B(m, n) вполне аппроксимируется группами Адяна-Лысенка.
Теорема 4.5. При всяком нечетном n 1003 и для любых m k 2 m-порожденная свободная периодическая группа B(m, n) вполне аппроксимируется свободной периодической группой B(k, n).
Представление : G B(H) группы G над гильбертовым пространством H называется унитаризуемым, если существует такой обратимый -оператор T, что оператор Ug T (g)T для любого элемента g G является унитарным, т.е. (Ugx, Ugy) = (x, y) для любых двух векторов x, y H. Группа G называется унитаризуемой группой, если все е е равномерно ограниченные представления над гильбертовым пространством H являются унитаризуемыми.
Н.Монод и Н.Озава, в совместной работе [32] исследуя поставленный Ж.Диксмьe вопрос: Следует ли из унитаризуемости группы е аменае бельность?, доказали (см. [32, теорема 2]), что свободные бернсайдовы группы B(m, n) не унитаризуемы для всех нечетных чисел n = n1n2, где n1 665 и n2, m > 1. В нем существенно используется теорема С. И. Адяна о не аменабельности групп B(m, n) (см. [8, теорема 5]).
На основе этого результата нами доказаны следующие теоремы.
Теорема 4.6. Для каждого нечетного числа n = n1n2, где n1 6и n2 > 1, любая бесконечная подгруппа свободной бернсайдовой группы B(m, n) - не унитаризуемая группа.
Теорема 4.7. Пусть n = n1n2 - произвольное нечетное число, где n1 665 и n2 > 1. Существует континуум не изоморфных 3порожденных групп, удовлетворяющих тождественному соотнопению xn = 1, каждая из которых не унитаризуема.
В коуровской тетради [21] С. И. Адян поставил вопрос (см. вопрос 7.[21]): Известно, что свободные периодические группы B(m, n) простого периода n > 665 обладают многими свойствами, аналогичными свойствам абсолютно свободных групп. Верно ли, что все собственные нормальные подгруппы группы B(m, n) не являются свободными периодическими группами? Основным результатом главы 5 является следующая теорема.
Теорема 5.1. Пусть n 1003 - нечетное число и N - подгруппа свободной бернсайдовой группы B(m, n) произвольного (конечного или бесконечного) ранга m. Предположим, что подгруппа N изоморфна свободной периодической группе B(r, n) при некотором r 1. Тогда N совпадает со своим нормализатором в группе B(m, n).
Утверждение теоремы 5.1 для нечетных n > 1080 было доказано А.Ю.Ольшанским в работе [33].
Следствие 5.1. Пусть n 1003 - нечетное число и N - нормальная подгруппа свободной бернсайдовой группы B(m, n) произвольного ранга m. Тогда если при некотором r 1 подгруппа N изоморфна свободной бернсайдовой группе B(r, n), то подгруппа N совпадает со всей группой B(m, n).
Из этого следует положительный ответ на указанный вопрос 7.1 [21] для всех простых n > 997.
В доказательстве теоремы 5.1 существенно используется доказанное в разделе 5.3 следующее Предложение 5.1. Пусть B(|U|, n) - свободная бернсайдова группа нечетного периода n 1003 с базисом U = {a1, a2,...}. Предположим, что слово v = v(a1, a2,..., am) не сопряжено в группе B(|U|, n) какой либо степени порождающей a1. Тогда существует неабелева простая факторгруппа B(|U|, n)/L такая, что 1. канонический образ порождающей a1 в группе B(|U|, n)/L имеет порядок n, 2. (a1L) = v(a1, a2,..., am)L для любого автоморфизма : B(|U|, n)/L B(|U|, n)/L.
Из теоремы С. И. Адяна о том, что центр группы B(m, n) для всех неч етных n 665 и m > 1 тривиален, следует, что группа B(m, n) изоморфна группе своих внутренних автоморфизмов. В терминах так называемых точных последовательностей это означает, что последовательность гомоморфизмов Aut(B(m, n))/ 0 B(m, n) Aut(B(m, n)) Inn(B(m, n)) является точной, где Inn(B(m, n)) есть группа внутренних автоморфизмов группы B(m, n).
В главе 6 исседуются автоморфизмы свободных бернсайдовых групп B(m, n).
Определение 7. Пусть G - произвольная группа, Aut(G) - автоморфизм группы G и H - подгруппа группы G. Автоморфизм называется нормальным автоморфизмом группы G, если (H) = H для любой нормальной подгруппы H группы G.
Определение 8. Автоморфизм группы G назовем Mнормальным, если для любой максимальной нормальной подгруппы N группы G выполнено равенство (N) = N.
Первым основным результатом главы 6 является следующая Теорема 6.1. При любом неч етном n 1003 каждый Mнормальный автоморфизм свободной бернсайдовой группы B(m, n) ранга m > 1 является внутренним автоморфизмом.
Следствие 6.1. При любом неч етном n 1003 каждый нормальный автоморфизм свободной бернсайдовой группы B(m, n) ранга m > является внутренним автоморфизмом.
Следствие 6.1. выявляет еще одну аналогию между свойствами свободных бернсайдовых и абсолютно свободных групп.
Известно, что всякая совершенная группа выделяется прямым множителем в любой группе, в которой она содержится в качестве нормальной подгруппы. В разделе 6.6 доказывается теорема, которая выявляет некоторую аналогию между совершенными группами и группами B(m, n).
Теорема 6.2. Пусть n 1003 нечетное число и G произвольная периодическая группа, поядок каждого элемента которой не превосходит число n. Тогда, если группа G содержит нормальную подгруппу N, изоморфную свободной бернсайдовой группе B(m, n) некоторого ранга m > 1, то G есть прямое произведение подгруппы B(m, n) и ее централизатора в G.
Теоремы 6.1, 6.2 были доказаны также Е.Черепановым в работе [34], но только для нечетных n > 1080.
Следствие 6.4. Пусть n 1003 - нечетное число и G - произвольная периодическая группа, порядок каждого элемента которой не превосходит число n. Тогда, если группа G содержит нормальную подгруппу N, изоморфную свободной бернсайдовой группе B(m, n) для некоторого ранга m > 1, то порядок каждого элемента группы G является делителем числа n.
Следующая теорема показывает, что группа внутренных автоморфизмов свободной бернсайдовой группы обладает некоторым свойством максимальности.
Теорема 6.3. Пусть порядок каждого элемента подгруппы H группы Aut(B(m, n)) не превосходит число n, где n 1003 нечетное число.
Тогда если H Inn(B(m, n), то H = Inn(B(m, n)).
Список литературы 1. W.Burnside, УOn an unsettled question in the theory of discontinuous groupsФ, Quart. J. Pure Appl. Math., 33 (1902), 230Ц238.
2. И. Н. Санов, УРешение проблемы Бернсайда для показателя 4Ф, Ученые записки ЛГУ. Сер. матем., 10 (1940), 166Ц170.
3. M. Hall, УSolution of the Burnside problem for exponent sixФ, Illinois J. Math., 2 (1958), 764Ц786.
4. П. С. Новиков, С. И. Адян, УО бесконечных периодических группах.
I, II, IIIФ, Изв. АН СССР. Сер. матем., 32 (1968), 212Ц244, 251Ц524, 709Ц731.
5. С. И. Адян, Проблема Бернсайда и тождества в группах, Наука, М., 1975..
6. С.И.Адян, УПроблема Бернсайда и связанные с ней вопросыФ, УМН, 2010, № 5, 5Ц60.
7. В. Л. Ширванян, УВложение группы B(, n) в группу B(2, n)Ф, Изв. АН СССР. Сер. матем., 40:1 (1976), 190Ц208.
8. С. И. Адян, УСлучайные блуждания на свободных периодических группахФ, Изв. АН СССР. Сер. матем., 46:6 (1982), 1139Ц1149.
9. G. N. Arzhantseva, J. Burillo, M. Lustig, L. Reeves, H. Short, E.
Ventura, УUniform non-amenabilityФ, Adv. Math., 197:2 (2005), 499 - 522.
10. С. И. Адян, УПериодическое произведение группФ, Теория чисел, математический анализ и их приложения, Тр. МИАН, 142, Наука, М., 1976, 3Ц21.
11. С. И. Адян, УЕще раз о периодических произведениях групп и проблеме А.И.МальцеваФ, Матем. заметки, 88:6 (2010), 3 - 10.
12. А. Ю. Ольшанский, УБесконечная простая нтерова группа без крученияФ, Изв. АН СССР. Сер. матем., 43:6 (1979), 1328Ц1393.
13. А. Ю. Ольшанский, УБесконечная группа с подгруппами простых порядковФ, Изв. АН СССР. Сер. матем., 44:2 (1980), 309Ц321.
14. А. Ю. Ольшанский, УО теореме НовиковаЦАдянаФ, Матем. сб., 118(160):2(6) (1982), 203Ц235.
15. А. Ю. Ольшанский, УГруппы ограниченного периода с подгруппами простого порядкаФ, Алгебра и логика, 21:5 (1982), 553Ц618.
16. В. С. Атабекян, С. В. Иванов, Два замечания о группах ограниченного периода, Деп. в ВИНИТИ 2243-В87.
17. С. И. Адян, И. Г. Лыснок, УО группах, все собственные подгруппы которых конечные циклическиеФ, Изв. АН СССР. Сер. матем., 55:5 (1991), 933Ц990.
18. А. Ю. Ольшанский, Геометрия определяющих соотношений в группах, Наука, М., 1989.
19. S. V. Ivanov, УThe free Burnside groups of sufficiently large exponentsФ, Int. J. of Algebra and Computation, 4 (1994), 1Ц307.
20. И. Г. Лыснок, УБесконечные бернсайдовы группы четного периодаФ, Изв. РАН. Сер. матем., 60:3 (1996), 3Ц224.
21. В. Д. Мазуров, Ю. И. Мерзляков, В. А. Чиркин (ред.), Коуровская тетрадь. Нерешенные вопросы теории групп, изд-е 7, Изд-во Инта матем. СО АН СССР, Новосибирск, 1980.
22. E. Flner, УOn groups with full Banach mean valueФ, Math. cand, (1955), 243Ц254.
23. D.V. Osin, УUniform non-amenability of free Burnside groupsФ, Arch.
Math., 88:5 (2007), 403Ц412.
24. P. de la Harpe, УUniform growth in groups of exponential growthФ, Geom. Dedicata, 95 (2002), 1Ц17.
25. S. V. Ivanov, A. Yu. OlТshanskii, УSome applications of graded diagrams in combinatorial group theoryФ, Groups St. Andrews 1989, Vol. 2, London Math. Soc. Lecture Note Ser., 160, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1991, 258Ц308.
26. B. H. Neumann, УAn essay on free products of groups with amalgamationsФ, Philos. Trans. Roy. Soc. London. Ser. A., 246 (1954), 503Ц554.
27. A. Yu. Olshanskii, M. V. Sapir, УNon-amenable finitely presented torsion-by-cyclic groupsФ, Publ. Math. Inst. Hautes EТtudes Sci., (2003), 43Ц169.
28. S. V. Ivanov, УOn subgroups of free Burnside groups of large odd exponent. Special issue in honor of Reinhold Baer (1902Ц1979).Ф, Illinois J. Math., 47:1-2 (2003), 299Ц304.
29. D. Sonkin, УCEP-subgroups of free Burnside groups of large odd exponentsФ, Comm. Algebra, 31:10 (2003), 4687Ц4695.
30. В. Н. Образцов, УТеорема о вложениях групп и ее следствияФ, Матем. сб., 180:4 (1989), 529Ц541.
31. С. И. Адян, УНормальные подгруппы свободных периодических группФ, Изв. АН СССР. Сер. матем., 45:5 (1981), 931Ц947.
32. N. Monod, N. Ozawa, УThe Dixmier problem, lamplighters and Burnside groupsФ, Journal of Functional Analysis, 258:1 (2010), 255Ц259.
33. A. Yu. OlТshanskii, УSelf-normalization of free subgroups in the free Burnside groupsФ, Groups, rings, Lie and Hopf algebras (St. JohnТs, NF, 2001), Math. Appl., 555, Kluwer Acad. Publ., Dordrecht, 2003, 179Ц187.
34. E. A. Cherepanov, УNormal automorphisms of free Burnside groups of large odd exponentsФ, Internat. J. Algebra Comput, 16:5 (2006), 839Ц847.
Публикации автора по теме диссертации 1. В. С. Атабекян, УО простых и свободных периодических группахФ, Вестн. МГУ. Сер. Математика, механика, 1987, № 6, 76Ц78.
2. В. С. Атабекян, УО периодических группах нечетного периода n 1003Ф, Матем. заметки, 82:4 (2007), 495Ц500.
3. В. С. Атабекян, УГруппы Адяна-Лысенка и (U) свойствоФ, Известия НАН Армении. Математика, 43:5 (2007), 14Ц25.
(Англ. перевод: УAdian-Lisenok groups and (U) conditionФ, Journal of Contemporary Mathematical Analysis, 43:5 (2008), 265Ц273).
4. V.S.Atabekyan, УNormal Subgroups in Free Burnside Groups of Odd PeriodФ, Armenian Journal of Mathematics, 1:2 (2008), 25Ц29.
5. В. С. Атабекян, УНормализаторы свободных подгрупп свободных бернсайдовых групп нечетного периода n 1003Ф, Фундамент. и прикл. матем., 15:1 (2009), 3Ц21.
6. В. С. Атабекян, УО подгруппах свободных бернсайдовых групп нечетного периода n 1003Ф, Известия РАН, сер. матем., 73:(2009), 3Ц36.
7. В. С. Атабекян, УРавномерная неаменабельность подгрупп свободных бернсайдовых групп нечетного периодаФ, Матем. заметки, 85:4 (2009), 516Ц523.
8. В. С. Атабекян, УО мономорфизмах свободных бернсайдовых группФ, Матем. заметки, 86:4 (2009), 483Ц490.
9. В. С. Атабекян, УНе -допустимые нормальные подгруппы свободных бернсайдовых группФ, Известия НАН Армении. Математика., 45:2 (2010), 21Ц36.
(Англ. перевод: УNon--admissible normal subgroups of free Burnside groupsФ, Journal of Contemporary Mathematical Analysis, 45:2 (2010), 112Ц122).
10. В. С. Атабекян, УНеунитаризуемые периодические группыФ, Матем. заметки, 87:6 (2010), 940Ц943.
11. В. С. Атабекян, УО нормальных подгруппах в периодических произведениях С.И.АдянаФ, Труды МИАН, 274 (2011).