Авторефераты по всем темам  >>  Авторефераты по разным специальностям

На правах рукописи

Джасим Махмуд Дия

Асимптотическое поведение решений систем дифференциальных уравнений и оптимизация ветвей бифурцирующих циклов

01.01.02 дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

В О Р О Н Е Ж 2012

Работа выполнена в Дагестанском государственном университете

Научный консультант:

кандидат физико-математических наук, доцент Эфендиев Ахмад Рамазанович, Дагестанский государственный университет доцент кафедры теории функций и фунционального анализа

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Каменский Михаил Игоревич, Воронежский государственный университет зав. кафедрой функционального анализа и операторных уравнений доктор физико-математических наук, профессор Семенов Михаил Евгеньевич, Военный авиационный инженерный университет профессор кафедры теоретической гидрометеорологии

Ведущая организация: Российский университет дружбы народов

Защита состоится 22 мая 2012 г. в 15 часов 10 минут на заседании диссертационного совета Д 212.038.22 при Воронежском государственном университете по адресу: 394006, Воронеж, Университетская пл. 1,ауд.335.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Воронежского государственного университета.

Автореферат разослан апреля 2012 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Д 212.038.22 Гликлих Ю.Е.

Актуальность темы. Общеизвестно, сколь важны исследования, связанные с выяснением условий существования стационарных и периодических решений дифференциальных уравнений, изучением их свойств и поиском их точных или приближенных изображений (аналитических, графических и т.д.). Постоянный интерес представляют новые результаты по вопросам бифуркации циклов из сложного фокуса, обобщающие классические результаты А. Пуанкаре, А.М. Ляпунова, Дж. Биркгофа, А.А. Андронова и Э. Хопфа и др.

К необходимости многомодового бифуркационного анализа нелинейных колебаний приводит ряд задач классической динамики, климатотологии, теории фазовых переходов в кристаллах, теории нелинейных волн и др. разделов современного естествознания.

В связи с появлением в настоящее время мощных скоростных компьютеров и эффективных программноЦвычислительных комплексов появились и новые возможности в анализе ветвлений нелинейных периодических колебаний. Для реализации этих возможностей необходимо развитие аналитической и алгоритмической базы бифуркационного анализа.

Несмотря на значительные достижения в теории бифуркаций решений дифференциальных уравнений, многие актуальные задачи теории колебаний остаются недостаточно исследованными. В частности, недостаточно изучен случай параметрического возмущения динамической системы, рассмотренной вблизи вырожденного состояния покоя при наличии сильных резонансов. Практически отсутствуют алгоритмы приближенного построения и качественного анализа оптимальных периодических колебаний, бифурцирующих из сложной точки покоя динамической системы (с многомодовым вырождением).

Представленные в диссертации численно-аналитические схемы исследования стационарных точек и многомодовых бифуркаций циклов основаны на методах качественного анализа динамических систем, развитого в трудах В.В.Немыцкого, Н.Н. Красовского, А.А. Шестакова, Н.А. Бобылева, М.А. Красносельского, Э.М. Мухамадиева, Ю.И. Сапронова и др. В частности, результаты по бифуркациям и оптимизации циклов получены посредством конечномерных усечений динамических системы (методами функционального анализа) и сведения анализа амплитуднофазовых показателей циклов к поиску и анализу ветвящихся решений системы полиномиальных уравнений на конечномерном пространстве.

Цель данной работы описание поведения решений систем дифференциальных уравнений с однородными правыми частями и близких к ним, изучение особых точек динамических систем и областей их влияния, построение первых интегралов и описание условий устойчивости точек покоя, разработка алгоритмической основы для изучения и вычисления многомодовых циклов, создание теоретической основы для амплитудной оптимизации ветвей бифурцирующих циклов.

Научная новизна. Все результаты, включенные в диссертацию, являются новыми. Наиболее значимые из них перечислены в следующем ниже списке.

1. Новые условия существования, изолированности и асимптотической устойчивости точки покоя динамической системы.

2. Описание условий обобщенной однородности дифференциальных уравнений, условий существования нескольких независимых первых интегралов динамической системы и их построение.

3. Описание алгебраического строения главной части ключевого отображения в задаче о многомодовой бифуркации циклов, построение асимптотической формулы представления ветвей бифурцирующих циклов.

4. Описание условий оптимальности полигармонического колебательного импульса по коэффициенту несимметрии, доказательство существования и единственности оптимального полигармонического многочлена.

Методы исследования. В работе использованы качественные методы анализа особых точек и циклов динамических систем, развитые в трудах Пуанкаре, Ляпунова, Немыцкого, Красовского и др. При иучении многомодовых бифуркаций циклов использованы методы функционального анализа и, в частности, модификации метода Ляпунова - Шмидта (в пределах теории фредгольмовых уравнений). В задаче об амплитудной оптимизации циклов использованы методы математического программирования.

Теоретическая и практическая ценность. Данная работа в целом носит теоретический характер. Представленные в ней результаты могут быть использованы при изучении конкретных динамических систем.

Апробация работы. Результаты диссертации были доложены на 5ой международной конференции по ФДУ и их приложениям (Махачкала, 2011 г.), в Воронежской зимней математической школе (Воронеж, 20г.), на семинаре Теория бифуркаций проф. Ю.И. Сапронова в НИИМ ВГУ.

Публикации работы. Результаты диссертации опубликованы в 6 работах. Из опубликованных работ в диссертацию включены результаты, принадлежащие лично автору. Работы [1], [2] опубликованы в журналах из перечня рецензируемых научных журналов и изданий, рекомендованных ВАК Минобрнауки РФ.

   Авторефераты по всем темам  >>  Авторефераты по разным специальностям