Авторефераты по всем темам >>
Авторефераты по разное
На правах рукописи
Шалаев Владимир Иванович Асимптотические задачи теории трехмерного пограничного слоя при до- и сверхзвуковых скоростях Специальность 01.02.05 - механика жидкости, газа и плазмы
АВТОРЕФЕРАТ
диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук
г. Москва - 2010 г.
Работа выполнена в Государственном образовательном учреждении высшего профессионального образования Московский физико-технический институт (государственный университет) (МФТИ) Научный консультант д.ф.-м.н Дудин Георгий Николаевич
Официальные оппоненты:
д.ф.-м.н., профессор Шевелев Юрий Дмитриевич (ИАП РАН) д.ф.-м.н., профессор Диесперов Вадим Николаевич (МФТИ) д.ф.-м.н., профессор Алексин Владимир Адамович (ИПМ РАН) Ведущая организация - Институт теоретической и прикладной механики СО РАН им.
С.А. Христиановича
Защита состоится л___ __________ 2010 г. в л___ часов на заседании диссертационного совета Д 212.156.08 при Московском физико-техническом институте по адресу: Московская обл., г. Долгопрудный, Институтский переулок,
С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Московского физико-технического института
Автореферат разослан л__ __________2010 г.
Ученый секретарь диссертационного совета В.П. Коновалов
ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ
Исследования особенностей вязких пространственных течений при больших числах Рейнольдса является одной из фундаментальных и актуальных проблем современной аэрогидромеханики. Это обусловлено интенсивным развитием авиационно-космической техники, необходимостью поиска новых подходов к повышению аэродинамического совершенства и новых принципов конструирования летательных аппаратов. Основой таких исследований являются лабораторные и летные эксперименты, но они дают ограниченную информацию о деталях течения, а их использование сильно увеличивает время и стоимость разработок.
Комплексный подход с использованием достижений теории и основанных на ней вычислительных методов, особенно на стадии предварительного проектирования, позволяет в значительной степени решить эти проблемы: определить параметрические зависимости аэродинамических характеристик и область критических режимов, выбрать рациональный облик аппарата и провести оптимальное планирование экспериментальных исследований. Во многих случаях такой подход - единственное средство получения информации о тонкой структуре течений. Принципиальная необходимость и практическая значимость теоретических исследований фундаментальных свойств вязких пространственных течений и разработок новых теоретических методов и подходов к их анализу была продемонстрирована при создании авиационно-космических систем, таких как Буран и Space Shuttle, а также современных дальнемагистральных самолетов.
Несмотря на быстрое развитие вычислительной техники и методов математического моделирования течений на основе уравнений Навье-Стокса и Рейнольдса, задачи теории трехмерного пограничного слоя не потеряли своей актуальности и представляют значительный интерес в аэрогидродинамике. Это связано с тем, что в области больших чисел Рейнольдса свойства уравнений Навье-Стокса недостаточно изучены, а требования к точности численного моделирования приводят к необходимости разрешения мелких масштабов и применению сложных вычислительных процедур, что существенно увеличивает размерность задачи, время расчетов и часто превышает возможности вычислительной техники. Теория пограничного слоя позволяет использовать аналитические подходы при исследовании особенностей сложных течений, что позволяет повысить эффективность применения математических моделей более высокого порядка и основанных на них вычислительных процедур. Это показывает, например, разработка теории отрыва в двумерных течениях. Кроме этого, существует целый ряд физических проблем, таких как задачи устойчивости течений, ламинарно-турбулентного перехода и развитого турбулентного течения, изучение которых традиционно ведется в рамках теории пограничного слоя. Исследование этих проблем важно, как с точки зрения развития теории и разработки расчетных моделей, так и для приложений. Поэтому исследование задач трехмерного пограничного слоя представляется весьма актуальным и имеет острую практическую направленность.
Целью настоящей работы является теоретическое и численное исследование задач стационарного и нестационарного трехмерного пограничного слоя, к которым относятся:
1. Анализ уравнений трехмерного нестационарного пограничного слоя в случае малых поперечных течений.
2. Анализ уравнений трехмерного нестационарного пограничного слоя на тонких крыльях при малых углах атаки.
3. Анализ уравнений трехмерного нестационарного пограничного слоя на слабо несимметричных телах при малых углах атаки.
4. Разработка на основе теоретических исследований и верификация рационального метода расчета ламинарного и турбулентного трехмерного стационарного пограничного слоя на тонких крыльях и слабо несимметричных телах и численное исследование некоторых задач этого и смежного типов.
5. Анализ особенностей, возникающих в трехмерном пограничном слое на конических поверхностях, и связанной с этими особенностями структуры течения.
Научная новизна полученных результатов заключается в следующем.
Рассмотрена задача, не только нулевого, но и первого приближения для трехмерного нестационарного пограничного слоя с малыми поперечными скоростями и через физические параметры течения определен порядок возмущений.
Определен класс задач, для которого применение теории возмущений является эффективным, и для него получено автомодельное решение уравнений. Выведена система уравнений для объединяющего два приближения композитного решения, которая много проще исходной системы, включает основные пространственные эффекты и обобщает приближение малых вторичных течений.
На основе применения метода сращиваемых асимптотических разложений к задачам трехмерного нестационарного пограничного слоя на тонких крыльях и слабо несимметричных телах при малых углах атаки их удалось свести к решению последовательности двумерных стационарных и нестационарных задач.
На основе проведенного теоретического анализа предложен и верифицирован эффективный метод расчета ламинарного и турбулентного стационарного трехмерного пограничного слоя и с его помощью проведены исследования некоторых течений.
Получены точные решения асимптотических уравнений, описывающих ламинарное течение во внешней части трехмерного пограничного слоя на тонких конических поверхностях, и на этой основе изучен новый тип особенностей уравнений трехмерного пограничного слоя.
Изучена структура течения в окрестности особенности и построена регулярная асимптотическая модель течения на основе уравнений Навье-Стокса. Получены точные решения уравнений этой модели для внешней области и показано, что они сращиваются с решениями уравнений пограничного слоя.
Получено решение задачи первого приближения для пограничного слоя на тонком крыле малого удлинения с прямыми передними кромками и проведен анализ особенностей, возникающих в плоскостях, проходящих через точки излома передних кромок, включая плоскость симметрии.
Научная и практическая ценность работы состоит в следующем.
На основе асимптотического анализа уравнений удалось упростить постановку и решение широкого класса задач теории трехмерного нестационарного пограничного слоя.
В рамках этого подхода разработан и верифицирован эффективный метод расчета характеристик трехмерного пограничного слоя для практически важных конфигураций обтекаемых поверхностей - тонких крыльев и слабо несимметричных тел при малых углах атаки. Этот подход применяется в ЦАГИ для решения задач, связанных с ламиниризацией обтекания перспективных летательных аппаратов.
На основе исследований по влиянию локального объемного и поверхностного нагревания газа получен патент на способ управления вихревой структурой обтекания тел.
Аналитические исследования течения вязкого газа около конических поверхностей позволили получить новые знания об особенностях уравнений трехмерного пограничного слоя и структуре течения в окрестности этих особенностей. Эти результаты представляют как чисто теоретический интерес, так и полезны для построения эффективных алгоритмов расчета и конечно-разностных сеток при решении подобного типа задач на основе уравнений Навье-Стокса.
На защиту выносятся:
1. Асимптотический анализ уравнений нестационарного трехмерного пограничного слоя с малыми поперечными скоростями, полученное автомодельное решение уравнений первого приближения и уравнения для составного решения.
2. Асимптотический анализ уравнений трехмерного нестационарного пограничного слоя на тонких крыльях при малых углах атаки и полученные асимптотические уравнения.
3. Асимптотический анализ уравнений трехмерного нестационарного пограничного слоя на слабо несимметричных телах и полученные асимптотические уравнения.
4. Метод расчета характеристик трехмерного стационарного ламинарного и турбулентного пограничного слоя на тонких крыльях и слабо несимметричных телах, его верификация и результаты исследования некоторых задач трехмерного пограничного слоя.
5. Результаты аналитических исследований особенностей уравнений трехмерного пограничного слоя на конических поверхностях, асимптотическая структура течения в их окрестности, полученные в рамках уравнений Навье-Стокса уравнения для асимптотических областей и их решения.
Апробация работы. Основные результаты работы докладывались на Всесоюзных и Всероссийских школах и конференциях: Численные методы механики сплошной среды (Омск, 1985 гг), Методы аэрофизических исследований (Новосибирск, 1986 г.), Моделирование в механике (Якутск, 1987 г.), "Аэродинамика летательных аппаратов" (Жуковский, 2007 г.), Проблемы механики сплошных сред и физики взрыва (Новосибирск, 2007 г.), VII Всесоюзном съезде по теоретической и прикладной механике (Москва. 1991), IХ Всероссийском съезде по теоретической и прикладной механике. (Нижний Новгород, 2007г.); Международных школах-семинарах и конференциях: "Турбулентный пограничный слой" (Жуковский. 1992 г.), Фундаментальные исследования в аэрокосмических науках (Жуковский, 1994 г.), "Модели и методы аэродинамики" (Евпатория, 2002Ц20г.); Методы аэрофизических исследований (Новосибирск, 2007 г.), 42 и 43-й конференциях AIAA (Рино, Невада, 2002-2003 гг.) Международной конференции по высоскоскоростным течениям (WEHSF, Москва, 2008), Европейской конференции по аэрокосмическим наукам (EUCASS, Версаль, 2009). По материалам диссертационной работы опубликовано 11 печатных работ в рецензируемых журналах и получен 1 патент.
Все вынесенные на защиту результаты получены автором самостоятельно. При постановке задач по теории стационарного трехмерного пограничного слоя с малыми поперечными течениями полезными были консультации А.Д. Хонькина, с которым автор имеет три совместные публикации. Экспериментальные исследования пограничного слоя на треугольном крыле выполнены совместно с А.С. Мозольковым и В.М. Божковым. Расчеты пограничного слоя с объемным и поверхностным нагревом выполнены как часть работ по управлению структурой отрывного обтекания конуса в соавторстве с Н. Малмутом, А.В. Федоровым, В.А. Жаровым и И.В. Шалаевым. Результаты применения полученных результатов к расчету сопротивления трения тел вращения под углом атаки опубликованы совместно с Н. Малмутом, А.В. Федоровым.
Достоверность полученных результатов подтверждается их внутренней согласованностью и непротиворечивостью, применением стандартных методов асимптотического анализа для их получения, сравнением результатов расчетов с экспериментальными данными и численными решениями полных уравнений трехмерного пограничного слоя, а также тем, что часть из них получена на основе точных аналитических решений.
КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ
Результаты работы изложены на 285 страницах, включая введение, шесть глав, заключение, список литературы и приложение.
Во введении, указаны цель работы и рассматриваемые задачи, показана их актуальность, изложены результаты, которые выносятся на защиту, отмечены их научная новизна, научная и практическая ценность, апробация и достоверность.
Глава 1 носит обзорный характер. В разделе 1.1 рассмотрена общая постановка задачи трехмерного нестационарного пограничного слоя на поверхности тела длиной b0, шириной l0 b0 и толщиной c0 (рис. 1.1). Для анализа течения введены безразмерные переменные x z n Re tu p p u x , z , n , t , p , u b0 b0b0 b0u u w v Re h w , v , h , , , u u h Здесь звездочкой отмечены размерные величины:
- плотность, h - энтальпия, - вязкость, - теплопроводность, u, w и v - продольная, поперечная и нормальная скорости; t - время, n - нормаль к поверхности тела, x и z - криволинейные неортогональные координаты на поверхности тела с репером ex,en,ez ; x, z - угол между координатными линиями. Индексом Рис. 1.1. Схема течения. помечены характерные значения функций в набегающем потоке. Уравнения и краевые условия пограничного слоя в безразмерных переменных имеют вид u u u w u u k2 u v k1ctgu2 w2 k12uw 1 p t H1 x H2 z n sin n n w u w w w w k1 w v u2 k2ctg w2 k21uw 2 p t H1 x H2 z n sin n n h u h w h h p u p w p v 1 M t H1 x H2 z n t H1 x H2 z u 2 w 2 u w h 1 M 2 cos n Pr n n n n n v uH2 sin wH1 sin 1 1 t n H x H z h 1 M p x, z, H H1H2 sin h n 0: u w 0, v vw t, x, z, h hw t, x, z 0 n n : u ue t, x, z, w we t, x, z, h he t, x, z (1.1) Здесь H1(x, z) и H2(x, z) - коэффициенты Ламе; k1, k2, k12 и k21 характеризуют кривизны координатных линий. Для уравнений (1.1) необходимо задать состояние течения в начальный момент времени, а на каждом шаге по времени - начальные условия, в качестве которых обычно используются решения в плоскостях растекания, симметрии и в критической точке, которые проанализированы в разделе 1.2. Течение в пограничном слое может быть ламинарным или турбулентным, что учитывается положением ламинарнотурбулентного перехода и выбором моделей вязкости и теплопроводности. В разделах 1.и 1.4 представлен обзор современных подходов к моделированию ламинарнотурбулентного перехода и развитого турбулентного течения.
Во главе 2 представлен асимптотический анализ уравнений трехмерного нестационарного пограничного слоя в случае малых поперечных течений. В разделе 2.1 рассмотрен общий случай, для которого справедливы соотношения 1 p w ~~ cos ~ k1 ~ 1 2.1) H2 z Малый параметр характеризует величину возмущений давления. При условиях (2.1) геометрические характеристики и функции течения представляются асимптотическими разложениями x H1 H10 s H11 s, z O , H2 H2 s, z, s H10dx xc k11 s, z, k11 s, z,C s, z O k1, k12,cos 2 2 k2 k20 s, z k210 s, z k211 s, z O k21 k20 k210 2 , Ve ue,he, p, e, e,e Ve0 t, s Ve1 t, s, z O 2 V u,v,h, , , V0 t, s, n, z V10 t, s,n, z 1V11 t, s, n, z O 1 1 we, w we1 t, s, z, w1 t, s, n, z O (2.2) Масштаб возмущений в пограничном слое, 1 1, заранее не известен, он находится из анализа уравнений. Оценки (2. 1) и разложения (2. 2) применимы в случае умеренных чисел Маха. Функции нулевого приближения соответствуют пределу 1 и удовлетворяют уравнениям, которые подобны уравнениям осесимметричного пограничного слоя, но содержат координату z в качестве параметра.
0 0u0 0v0 (0) u0 u0 u0 p0 u k2 0u0 0, 0 u0 v0 t s n t s n s n n h0 h0 h0 2 p0 p0 u0 2 0 h0 u0 v0 1 M u0 0 t s n t sn n Pr n hn 0: u0 0, v0 vw, h0 hw 0, n : u0 ue0, h0 he0 (2.3) n Из разложений (2.2) следует, что в пограничном слое имеется два типа возмущений для вектора V t, s, n, z. Возмущения первого типа, порядка , определяются системой уравнений u10 u0 u10 u0 u10 u0 u0 u0 u10 u0 v10 v0 10 u0 v0 t s s n n t s n p1 u10 u0 H11 u0 p 0 10 0u0 s n n n H10 s s h10 h0 h10 h0 h10 h0 h0 h0 u10 u0 v10 v0 10 u0 v0 t s s n n t s n p1 p1 p0 u10 u0 u0 2 1 M2 u0 u10 20 10 t s s n n n 1 h10 h0 H11 h 10 u0 0 1 M2 p0 0 Pr n n n H10 s s 0u10 10u0 0v10 10v0 10 k20 0u10 10u0 t s n H11 0u0 k200u0 H10 s h n 0: u10 w1 v10 h10 0, 0, n : u10 ue1, h10 he1 (2.4) n Из этих равнений следует, что составляющие вектора V10 определяются исключительно возмущениями внешнего течения, при этом уравнения первого приближения остаются двумерными, а поперечная скорость никак не влияет на эти функции. Композитное решение для вектора V V0 V10 подчиняется уравнениям (2.3), если в них опустить индекс "0". Именно эти уравнения используются в различных вариантах приближения малых вторичных течений и, как показывают (2.4), они не содержат трехмерных эффектов.
Возмущения второго типа, порядка 1, подчиняются уравнениям u11 u0 u11 u0 u11 u0 u0 u0 u11 u0 v11 v0 11 u0 v0 t s s n n t s n u11 u0 0w1 u0 u 0 11 n n n 12 H2 z s h11 h0 h11 h0 h11 h0 h0 h0 u11 u0 v11 v0 11 u0 v0 t s s n n t s n p0 u11 u0 u0 2 1 h11 h 1 M2 u11 20 11 11 0 s n n n Pr n n n 0w1 h0 h 12 H2 z s w1 w1 w1 2 1 p1 p1 p0 w 0 u0 v0 k11u0 k20u0w1 C t s n H2 z s s n n 0u11 11u0 0v11 11v0 11 k20 0u11 11u0 t s n 0w1 0w1 s xc (t, z) , (t, z) H10 xc 12H2 z s z z h n 0: u1 w1 v1 h1 0, 0, n : u11 h11 0, w1 we1 (2.5) n Множитель правых частей этих уравнений содержит отношения двух малых параметров; без ограничения общности можно положить его равным единице и получить выражение для 1 (2.6) Краевые условия для составляющих вектора V11 t, x, y, z однородны, а он отличен от нуля только внутри пограничного слоя и определяются исключительно скоростью поперечного течения: V11 0, если w1 w1 z 0. Возмущения этого типа являются главными для тонких тел или крыльев малого удлинения, в этом случае 1 и 12 1. Уравнения (2.5) описывают собственные возмущения в пограничном слое, связанные исключительно с пространственным характером вязкого течения. Эти возмущения не учитываются в обычном приближении малых вторичных течений. Другой особенностью уравнений (2.5) является наличие производных u0 z и h0 z в уравнения продольного импульса и энергии, что делает задачу второго приближения трехмерной.
Использование численного дифференцирования для вычисления этих функций приводит к тому, что применение малого параметра становится не многим проще численного решения исходных уравнений (1.1). Можно получить отдельные уравнения для этих производных, дифференцируя уравнения (2.3), но при этом появляются три дополнительных уравнения. Хотя в целом такая система остается двумерной, большое число уравнений, делает метод возмущений малоэффективным.
В разделе 2.2 рассмотрен класс течений, допускающий упрощение постановки в рамках метода возмущений - для таких течений необходимо, чтобы форма поперечного сечения тела, а также скорость массобмена через поверхность и ее температура слабо зависели от поперечной координаты:
H2 H20(s) H21(s, z), k2 k20(s) k21(s, z) vw vw0(t, s) vw1(t, s, z), hw hw0(t, s) hw1(t, s, z) (2.7) При условиях (2.7) все параметры течения нулевого приближения не зависят от трансверсальной координаты, V0 V0 t, s, n, и u0 z h0 z 0 в (2.6). Для производной q1(t, s, z) w1 z в уравнении неразрывности дифференцированием уравнения поперечного импульса можно получить отдельное уравнение q1 q1 q1 k10 2 1 p1 p1 C p0 q 0 u0 v0 u0 k20u0q1 0 (2.8) t s n z H20 z z s z s n n В результате система уравнений (2.6) с дополнительным уравнением (2.8) становится автомодельной и может быть решена в отдельных сечениях z const, координата z содержится в искомых функциях как параметр. Размерность системы (2.3), (2.4), (2.5) и (2.8) все же остается большой и ее применение для решения инженерных задач неудобно по ряду причин, связанных с трудностями разделения краевых условий на основные и возмущения в реальных течениях и моделированием ламинарноЦтурбулентного перехода и турбулентного течения.
Более удобной в этом отношении является система уравнений для композитного решения, объединяющего члены нулевого и первого приближений, которая представляется в следующей форме u u u p u u v t s1 n s1 n n p p u 2 h h h h u v 1 M2 u t s1 n t s1 n n Pr n w w w 1 p p1 p w u v k1u2 k2uw cos t s1 n H2 z s1 s1 n n q q q k1 1 p p1 cos p q u v u2 k2uq t s1 n z H2 z z s1 z s1 n n u v q k2u 0 (2.9) t s1 n Hx w w s Здесь q t, s1,n, z q1 , u u , s1(t, x, z) H1dx, (t, z) z H2 z xc 1 H2 cos 1 H1 1 Hk1 , k2 H2 x H1 z HH2 x Краевые условия для уравнений (2.9) сохраняют форму (1.1), но к ним добавляется очевидные условия для функции q t, s, n, z. Уравнения (2.9) обобщают уравнения прибли жения малых вторичных течений на случай малых, но конечных скоростей поперечного течения.
В главе 3 представлен асимптотический анализ уравнений трехмерного нестационарного пограничного слоя на тонких крыльях при малых углах атаки. В разделе 3.1 рассмотрена общая постановка задачи обтекания не-стационарным потоком вязкого газа тонкого крыла, которое мало отличается от цилиндрической поверхности Y Yc(Z), передняя кромка совпадает с линией X Xc (Z) на этой поверхности (рис. 3.1): - Рис. 3.1. Системы координат на крыле. относительная толщина, t - угол атаки, - удлинение. Предполагается, что выполнены условия ~ 1, ~ В разделе 3.2 представлен анализ уравнений для основной части поверхности ( x O 1 ), где справедливы следующие разложения для внешних краевых условий и гео метрических характеристик p pr t p1 t, x, z, he t, x, z hr t he1 t, x, z ue t, x, z ur t ue1 t, x, z, we 1we1 t, x, z, 1 k1 ~ k12 O 1, k2 ~ k21 O 1, s x xc z, tg 1 O 1 1 cos O 1, sin O 1 , H1 1 O , H2 1 O 1 (3.1) Здесь z - угол стреловидности передней кромки, - удлинение крыла. Малым пара метром задачи является масштаб возмущений давления 1: для крыльев умеренного удлинения ( O 1 ) O для до- и сверхзвукового потока и O 3 при M=O 1 ; для крыльев малого удлинения ( O 1 ) O . При условиях (3.1) течение в пограничном слое на основной части поверхности крыла относится к частному классу течений, рассмотренных в разделе 2.2, и описывается уравнениями, которые являются частным случаем уравнений (2.3)Ц(2.9). Эти уравнения не справедливы в окрестности передних кромок крыла и для этой области построено сингулярное асимптотическое решение (раздел 3.3).
В подразделе 3.3.1 рассмотрена затупленная передняя кромка, которая аппроксимируется параболической поверхностью с точностью O , где z - радиус кривиз ны носка профиля, ортогонального кромке. Координаты в окрестности кромки, показаны на рис. 3.2, а функции течения вводятся согласно соотношениям S s cos cos0 y sin0, y s cos sin0 y cos2Sdzn , dR , N cos u t, S, N, R U,v,W u U,V Re,W uO u U sin1 W cos1, w U cos1 W sin1 (3.2) Здесь R - координата вдоль кромки, S - ортогональна кромке и направлена вдоль ее плоскости симметрии, N - нормаль к поверхности, 1 - угол между координатными линиями z const и R const на поверхности крыла, 0 t, z 1 - угол между проекцией вектора скорости набегающего потока на плоскость R const и осью S.
a) вид сверху; b) сечение, ортогональное кромке;
Рис. 3.3.1 Криволинейная система координат в окрестности передней кромки.
В главном приближении задача в особой области сводится к уравнениям стационарного пограничного слоя на скользящей параболе единичного радиуса U V U U p U 0, U S1 V N S1 N S1 N N W W W U S1 V N N N 2 2 h h h p U W 1 M2 U U S1 V N S1 N N N Pr N h N 0: U W 0, V Vw t, S1, R, h hw t, S1, R 0 N N : U Ue t, S1, R, W We ur sin , h he t, S1, R (3.3) Длина координатной линии S1 ( R const ) и коэффициенты Ламе определяются выражениями 1 2 1 2 H1 1 O 0 , H2 O , cos O 2 H1 1 S1 H1 d H1 cH1 c ln 2 c H1 c c Положение критической линии c (t, R) является параметром задачи, который находится из решения задачи невязкого обтекания крыла.
Условия сращивания в двух асимптотических областях определяют начальные условия для уравнений на основной части поверхности. Они формулируются для некоторой плоскости S S0 из промежуточной области, такой что S0 s0 cos 1 и имеют вид u s0, n, z,t U S0, N, R,t cos W S0, N, R,t sin , h s0, n, z,t h S0, N, R,t w s0, n, z,t U S0, N, R,t sin W S0, N, R,t cos (3.4) В подразделе 3.3.2 задача безотрывного обтекания острой передней кромки сведена к задаче обтекания скользящего клина. Таким образом, задача нестационарного трехмерного пограничного слоя на тонком крыле сведена к последовательности двумерных стационарных и нестационарных задач. В разделе 3.3 рассмотрены особенности постановки задачи для тонких крыльев малого удлинения. В этом случае можно выделить собственные возмущения в пограничном слое ( V11 ), которые имеют главные порядок, а также получить решение внешней задачи в явном виде и показать справедливость положений, использованных при анализе течения для крыльев произвольного удлинения.
В главе 4 в рамках метода сращиваемых асимптотических разложений построена упрощенная система уравнений для трехмерного нестационарного пограничного слоя на телах с малой асимметрией поперечного сечения при малых углах атаки . В разделе 4.1 рассмотрена общая постановка задачи для Рис.4.1 такого класса тел. Поверхность тела, задается в цилиндрической системе безразмерных координат xr (рис. 4.1) уравнением r r0 x 1 r1 x, . Ко ордината x измеряется от вершины вдоль оси тела и отнесена к его длине b0, полярный радиус r отнесен к максимальной толщине тела b0, параметр характеризует отклонение поперечного сечения тела от круга, - полярный угол. Предполагается, что выполнены неравенства:
1, O 1, 1 (4.1) В разделе 4.2 изучено течение на основной части поверхности, где геометрические характеристики системы координат с точностью до линейных по и слагаемых представляются так H1 H10 x H11 x,, H2 r0 1 r1, k1 k11 x,, k12 k12 x, k2 k20 x k21 x,, k21 k20 x k21 x,, Ve ue, p / 2,he, e, e,e Ve0 t, x 2 Ve1 t, x, Ve2 t, x, we we1 t, x, we2 t, x, vw vw0(t, x) vw2(t, x,), hw hw0(t, x) hw2(t, x,) Эти соотношения показывают, что рассматриваемое течение является частным случаем течений изученных в главе 2; в пограничном слое решение представляется в виде асимптотических разложений 2 V u,h,v, V0 t, x,n 2 V11 V12 V21 V22 O w w1 t, x, y, w2 t, x, y, (4.2) Нулевое приближение соответствует осесимметричному пограничному слою на теле вращения r r0 x. Возмущения описываются уравнениями (2.5) и (2.8), которые прини мают более простую форму, так как 0 и уравнение для поперечной скорости отделяется; этим же свойством обладают уравнения для составного решения (2.9).
В разделе 4.3 рассмотрено течение около вершин тела ( x 0 ). В подразделе 4.3.изучено течение около острой вершины, которая аппроксимируется конусом r x 1 r1 . Краевые условия имеют вид s xH1 , ue siue t,, we siwe t,, he H0 t O s2i O s1i Для дозвукового течения параметр 0 i 1 есть функция угла раствора конуса c, причем, рассматривается только безотрывное обтекание, соответствующее 0 ; при сверхзвуковом обтекании с присоединенной ударной волной i 0. Показано, что течение описывается автомодельными стационарными уравнениями, в которые время входит в качестве параметра. На основании разложений вида (4.2) эти уравнения сведены к обыкновенным дифференциальным уравнениям, которые в терминах функций тока и имеют вид 2 mf Af i f T, mg Ag i 1 f g T we 3 i dT AT s2i 1 M2 mf, A f H1 g (4.3) uehe 2 ue Здесь штрихи обозначают дифференцирование переменной А.А. Дородницына , а полярный угол и время t являются параметрами. Решение уравнений (4.3) позволяют поставить начальные условия для уравнений (2.9).
В подразделе 4.3.2 рассмотрена задача обтекания затупленной вершины тела, кото , рая при x 0 аппроксимируется параболической поверхностью r 2R0x 1 r1 , где где R0 - минимальный радиус кривизны вершины. Показано, что при 0 в этой области описывается уравнениями для пространственной критической точки; для слабо несимметричного тела они сведены к нестационарному варианту уравнений (4.3) при i ue Kur 1 2 a sin2 0, we Kur a sin 2 1 f 1 T 2 mf Af f T b f T, dT AT ue t ue t 1 g mg Ag 2 f g T b g T ue t ln ur K 1 me we A 2 f g, b (4.4) ln ue 2 t ur K t Здесь K - постоянная, которая определяется глобальной структурой невязкого течения;
0 - угол между направлением 0 и направлением минимальной кривизны поверхности, a - постоянная, которая пропорциональна разнице между максимальным и минимальным радиусом кривизны. Уравнения (4.3) и (4.4) соответствуют координатному разложению уравнений (2.9) в окрестности вершины. При наличии угла атаки, в области x ~ xa, где xa координата критической точки, решение построено с помощью сингулярного асимптотическое разложения, и показано, что оно Рис 4.2. Схема течения. описывается уравнениями, подобными (4.4), но в системе цилиндрических координат X,,, связанных с критической точкой (рис. 4.2). Начальные условия для уравнений (2.9) на основной части поверхности задаются условиями сращивания ra w U cos r1 2Rx ra sin W 2Rx ra sin r1ra cos u U 2Rx ra sin Wra cos, ra R00 (4.5) В разделе 4.4 показано, что вычисление интегральных коэффициентов трения и теплопередачи для слабо несимметричного тела сводится к решению двумерной нестационарной задачи пограничного слоя для эффективного тела вращения r r0 1 r1, где r1 - осредненная по поперечному сечению функция возмущений поверхности.
В главе 5 описан метод расчета характеристик стационарного пространственного ламинарного и турбулентного пограничного слоя на тонких крыльях и слабо несимметричных телах при малых углах атаки, основанный на численном решении уравнений (2.9) (раздел 5.1) с помощью алгоритма И.В. Петухова.
В разделе 5.2 представлен метод расчета турбулентного пограничного слоя на основе преобразования уравнений, предложенного В.Д. Совершенным (подраздел 5.2.1). Метод верифицирован для трех градиентных моделей турбулентной вязкости сравнением результатов расчетов с экспериментальными данными и расчетами другими методами для пограничного слоя на пластине при различных параметрах потока (подраздел 5.2.2) и пограничного слоя на скользящем крыле в несжимаемой жидкости (подраздел 5.2.2). На рис.
5.1а приведены коэффициенты трения для пластины в дозвуковом потоке, а на рис. 5.1б - для скользящего крыла, где вертикальными отрезками показан диапазон, в котором лежат результаты расчетов этого течения различными методами.
103Cf эксперимент модель Себечи-Смита, Xtr= 0.32 м модель Мишеля, Xtr= 3, модель Себечи-Смита, Xtr= 2,2,1,X, м 1,0,6 0,8 1,0 1,2 1,а) б) Рис. 5.1. Коэффициент трения на пластине (а) и скользящем крыле (б) а) б) Рис. 5.2.
В разделе 5.3 в сравнении с экспериментальными данными представлены результаты расчетов сверхзвукового ламинарного и турбулентного пограничного слоя на трапециевидном (подраздел 5.3.1: M 2,03, Re 5, 27 106 и M 4,04, Re 1,05107 ) и треугольном (подраздел 5.3.2: M 1.5, Re 107 ) крыльях. На рис. 5.2а приведены распределения коэффициента трения сечения трапециевидного крыла по размаху, пунктир соответствует первому приближению. На рис. 5.2б приведена зависимость интегрального коэффициента трения треугольного крыла от угла атаки. Результаты демонстрируют хорошее согласие композитного решения с экспериментальными данными.
103cf x = 0,cfx 103cf 12 Себечи и др.
b0= 0.458 m b0= 5.26 m композитное решение cfx cfx, cfz - полные уравнения(Себечи и др.) 0 cfz cfz -M=0.5, = 12.09o, z = 0.z x -0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,а) б) Рис. 5.3. Распределения напряжения трения на сверхкритическом крыле.
В разделе 5.4 в сравнении с численными решениями полных уравнений (1.1) представлены расчеты турбулентного пограничного слоя на сверхкритическом крыле переменной стреловидности при единичном числе Рейнольдса Re1 4.9106 м1 и двух режимах обтекания: 1) M 0.99, 3.12 (подраздел 5.4.1) и 2) M 0.5, 12.09 (подраздел 5.4.1). На рис. 5.3а представлены типичные результаты расчетов распределения напряжения поперечного ( cfz ) и продольного ( cfx ) трения по размаху крыла для режима 1, на рис. 5.3б - распределения трения вдоль хорды в области сопряжения наплыва и консоли для режима 2. В последнем случае расчеты были проведены для модели крыла в АДТ (b0 0.458 м) и реального крыла (b0 5.26 м). Решение композитных уравнений (2.9) хорошо согласуется с решениями полных уравнений (1.1).
В разделе 5.5 в сравнении с экспериментальными данными и численными решениями полных уравнений представлены расчеты ламинарного и турбулентного пограничного слоя на тонком конусе в сверхзвуковом потоке газа (подраздел 5.5.1) и эллипсоидах вращения в несжимаемой жидкости под углом атаки (подраздел 5.5.2). На рис. 5.4.а представлены зависимости интегральных коэффициентов ламинпрного трения от угла атаки для М =2, которые были получены с включением квадратичных по малому параметру членов в разложения (2.2). Сравнение показало, что метод возмущений хорошо согласуется с численным решением полных уравнений для 0.2 f 0, d 0.57522 0.20179 x 2 2 g 0, sin1d 1.9118 0.3268 y 2 1,y 1,M = 0,0,X 0, метод возмущений численное решение 0, 0,0,0 0,2 0,4 0,6 0, а) б) Рис. 5.4. Пограничный слой на телах вращения под углом атаки.
Точность композитного решения для случая ламинарного пограничного слоя на эллипсоиде вращения с отношением осей 1/4 под углом атаки 6 демонстрируют результаты сравнения границы области возвратных поперечных токов, представленные на рис. 5.4б.
Решение композитных уравнений (2.9) хорошо согласуется с решением полных уравнений при х < 0.6 и вдали от подветренной плоскости симметрии ( 180 ). Аналогичные результаты получены для турбулентного пограничного слоя на эллипсоиде с отношением осей 1/6 под углом атаки 10.
В разделе 5.6 в рамках локально-автомодельного приближения изучено влияние объемного и поверхностного локального нагрева газа на отрыв турбулентного пограничного слоя на тонком конусе. На рис. 5.5а приведены результаты расчетов зависимости положения отрыва на конусе от мощности объемного теплового источника при следующих параметрах: 3.15, половина угла раствора конуса c 5, T 288.15 K, u 10 м/с; середина источника располагалась в точке 0 1.714 рад (98.25o), его ширина 0.1884954. На рис. 5.5б приведены результаты расчетов влияния на положение отрыва температуры полосы поверхности (ширина полосы 12, середина ее расположена при 1 110 ) конуса (c 5 ) при u 20 м/с и относительных углах атаки 2 и 3. Из этих результатов следует, что объемный нагрев является более эффективным способом управления отрывом, чем нагрев поверхности.
о 1s, s, o 111111111 105 o Т, C Qп 110 100 200 300 40 200 400 600 8а) б) Рис. 5.5.
В разделе 5.7 приведены примеры влияния ламинарно-турбулентного перехода в пограничном слое на глобальную структуру обтекания крыльев и тел вращения. В подразделе 5.7.1 с помощью расчетов показано, что положение ламинарно-турбулентного перехода может влиять на отрыв пограничного слоя и положение скачка уплотнения при трансзвуковом обтекании крыльев. В подразделе 5.7.2 представлены примеры расчетов по влиянию положения перехода на отрыв пограничного слоя при сверхзвуковом обтекании крыла. В подразделе 5.7.3 указана возможность управления асимметрией обтекания тонкого конуса с помощью изменения положения ламинарно-турбулентного перехода.
В главе 6 представлены результаты теоретических исследований особенностей уравнений трехмерного ламинарного пограничного слоя на конических телах для модельной среды при Pr 1.
В разделе 6.1 рассмотрена задача для тонкого кругового конуса в сверхзвуковом потоке, в этом случае энтальпия определяется интегралом Крокко. В подразделе 6.1.1 дана постановка задачи и рассмотрена асимптотика решения для внешней части пограничного слоя, при Y 1, где скорости продольного и поперечного течения представляется в виде асимптотического разложения: u 1U ,, w 1W ,, а возмущения скоростей в главном приближении удовлетворяют линейной системе уравнений 2U U U 3 Re Y 2ka 1 0, dY dN, 2 2 x a , n 2W W W 2ka 1 1 m 2 W 2ka p0(k) p1 U 2 a 1 n 1 2 a n (6.1) Здесь - толщина вытеснения, 1 4 1 sin2, n 3m , k , p0 1 k p1, p1 M2 hw 2 k 3 c 2 Решения уравнений (6.1) должны убывать при и сращиваться с численным решением внутри пограничного слоя. В подразделе 6.1.2 проведена классификация известных автомодельных решений (6.1) для плоскостей растекания ( 0 ) и стекания ( 1). В подразделе 6.1.3 в аналитической форме получено общее решение задачи Коши для уравнений (6.1) nnU A k Erfc , a0 ,n 1, a ,n na0 ,n , n W , b ,m U B k 1 k k 1a0 ,m V , 2 m V , , n D exp , 1 2, 4 n b , m p0 k a , m , n p1a1 , m n m nm , n 1 t dt, a1 , m a0 , m 1 t dt (6.2) t t Здесь D - функция ВебераЦЭрмита. В соответствии с начальными данными в плос кости растекания возмущения поперечной скорости имеют два решения, которые различаются значением постоянной B. Функция W , ~ 1 k при B 0 и k 0, а скорость поперечного течения не обращается в ноль в этом пределе 56 yw y, 3B 0 1 D y exp , y Y В подразделе 6.1.4 показано, что второе решение ( B 0 ) регулярно при k 0, но имеет особенность в плоскости стекания z 1 0 при k 1/ 3, что определяется свойствами функций b , m и a , n b ,1 b1 ln z, b , m bmzm1, a ,1 a1 ln z, a , n anzn1 (6.3) В разделе 6.2 исследованы особенности на конических телах произвольной формы.
В подразделе 6.2.1 дан краткий обзор предыдущих исследований и представлена постановка задачи. В подразделе 6.2.2 рассмотрен пограничный слой на тонких конусах (ue e e 1) произвольной формы. Во внешней области течение определяется уравнениями 2 U U aAU, W W a AW 1 3K W pU (6.4) 3 2we 2we 3u y dy, A , K() , p() p1 1 K 1 2xa 3Rue 3Rue Здесь - поперечная координата, y - нормаль к поверхности, R - метрический ко эффициент. Решение уравнений (6.4) получено в квадратурах U , C1erfc 2, W , b U, N 3Q 3K Qp p Q(Q 1) pQ 2(Q1) m 1: b Ewe2(Q1) we d, Q 1 E(Q 1) E exp Qtln we tdt pQ we 2(Q 1)Qpwe 2Q m 1: b 2Qp ln we 2 we ln wed E NN 2( 2(N n 1: a E1we N 1) we 1)d, E1 exp 2 N t ln we t dt N 1 E1(N 1)0 Nwe 2(N 1)Nwe 2N 2(N n 1: a 2N ln we 2E1we 1) we ln wed (6.5) E1(N 1)Здесь n 3m k1, k K 1, 1 - плоскость стекания. В ее окрестности we ~ 1 , а функции a и b имеют особенности вида (6.2); получено, что такие же особенности имеют место для не тонких конусов.
В подразделе 6.2.3 показано, что наличие особенности приводит к образованию в окрестности плоскости стекания пограничной области размером порядка толщины пограничного слоя, где члены поперечной вязкой диффузии одного порядка с остальными членами уравнений пограничного слоя. В этой области введена переменная z kxR , Re 1 . Течение описывается параболизованными уравнениями Навье-Стокса при постоянном градиенте давления 2 uyy kh huz z kzwuz vuy, hyy kh hhz z kzwhz vhy M0 uy h2uz h wyy k h zw kzwwz vwy w u kw h k z z z 3Re 1 y e 1 ue 1 Re dy, Re ul y , Re 2x e 1 Краевые условия (1.1) сохраняют свою форму, а при z решение этих уравнений должно сращиваться с соотношениями (6.3). Во внешней части ( y 1) пограничной области в главном приближении справедливы уравнения U kUzz 1 k yU kzUz yy y W Wyy 1 k yWy kWzz kz 2k m 1 W p1U z z Решения этих уравнений имеет вид U y, z C1erfc 1 k y F(z), F erf z W B z C1erfc 1 k 2 Bzz z Bz 2 m 1 B 2mp1F(z) y , 2 z Функция B z выражается через функцию Куммера a,b, z 3 B mp1B0 z Bm 1 m,, z2 (6.6) 2 Здесь B0(z) - частное решение неоднородного уравнения. Условия сращивания (6.6) и (6.3) дают z : ~ z2(m1), B0(z) m 1, 2(1m) Bm bm R kx На рис. 6.1 решения представлены решения (6.6) (сплошные кривые) и решения (6.3) (пунктирные кривые) для двух значений параметра m = 1 (кривые 1 и 2) и 0.(кривые 3 и 4). Видно, что решения для пограничной Рис.6.1 области достаточно быстро переходят в решения уравнений пограничного слоя.
В подразделе 6.2.4 проведен анализ для области вязко-невязкого взаимодействия, которая образуется около плоскости стекания и имеет размер порядка корня квадратного из толщины пограничного слоя. В этой области введены деформированная переменная и функции R , ue ue 1, he he 1, we ue We x, A We, K We, R R 1, A1 O u u x, y,, h h x, y,, w w x, y,, v f Kg Ag xfx Течение в этой области описывается уравнениями трехмерного пограничного слоя uyy Wewu vuy xuux, hyy Wewh vhy M0uy xuhx 22 wyy Weww vwy w u Wew h We xuwx 33 Поперечная скорость на внешней границе слоя определяется распределением толщины вытеснения x, x,t dt 4m We x, k 1 r, r x, x 2 t Для внешней части пограничного слоя ( y 1) решение имеет вид 3 t y d x,, u 1U x,t,, w 1 c x, U, v y 1 k 1 r , p0 M0 hw 1, 2 U C1erfc t 1 r d 2mxdx 2 n 1 q d 2n 1 r c 2mxcx 2 m 1 q c 2m p1 qp0 (6.7) При функции d x, и c x, должны сращиваться с функциями a и b из (6.3). Решение уравнений (6.7) получено вдоль характеристик x, const - линий тока невязкого течения на поверхности тела m 1 p0 p1 qt m p1 p0q mc bm E2L LE2 tLdt m 1 q m 1 q E E2 , exp Lt ln tdt, L , 2, I , m 1 q n 1 q 1 r 1 r n qE3 tIdt nd an E3I nI E3 t, E3 , exp It ln tdt 2 n 1 q n 1 q Анализ этих соотношений показывает, что вязкоЦневязкое взаимодействие может приводить к ослаблению особенности, но не исключает ее совсем.
В разделе 6.3 изучены особенности уравнений пограничного слоя, связанные с изломом передней кромки тонкого крыла, форма в плане которого приведена на рис. 6.2.
В подразделе 6.3.1 рассмотрена задача главного приближения Рис. 6.2. для пластины с изломом передних кромок и ее особенности - разрывы первого рода функций течения, которое описывается решением Л. Блазиуса. В подразделе 6.3.2 получены аналитические выражения для потенциала возмущений, связанных с воздействием пограничного слоя на внешнее течение около крыла малого удлинения с прямыми передними кромками. В окрестности плоскости 0 треугольного крыла скорости возмущений и их производные ведут себя следующим образом 2 1 3 Z , ue 2ln 2 ln 1 ln 1 2 8 8 X X ue 1 2ln 2 ln 1 ln X 2 8 X X we we 2 we ln , ln , ln X Z X X X X X В плоскости симметрии we 0, но этот предел не является регулярным, так как производная we Z имеет логарифмическую особенность при 0. На кромках крыла, 1, скорости конечны, но их производные имеют особенности вида 1 . Вершина крыла X 0 является особой точкой, в ее окрестности ue ~ we ~ X. Получено, что особенности такого вида имеют место в других плоскостях излома передней кромки. В разделе 6.3.3 исследованы свойства пограничного слоя второго приближения на треугольном крыле малого удлинения. Возмущения скоростей и энтальпии имеют вид P P w weg2 ,, u f0 f2 ,, h h0 1 M2 f0 f X X ln 1 1 ln 1 1 dn d , P 1 ln h0 s 1 1 1 1 Здесь f0 - функция Л. Блазиуса, n - нормаль к поверхности, продольная коорди ната, измеряемая от передней кромки X X0 . Функции f2 0, и g2 0, для M 2 представлены на рис. 6.3, они имеют особенности при 0. Показано, что g2 , при 1 1 имеют степенную особенность ( c0 и c1 - постоянные) 1 yc1 g2 1 1 1 M2 U0 1, U0 1 f0 1 c0 dy exp 4 Такое же поведение имеет функция f2 ,, но ее особенность ослаблена экспоненциаль но убывающим множителем.
------ f''(0,) 2 -4 g1''(0, - g''(0,) f1''(0, -- --0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,Рис. 6.3. Рис. 6.4.
В разделе 6.3.3 в рамках метода возмущений главы 3 исследованы особенности течения на тонком эллиптическом крыле малого удлинения, связанные с углом атаки. На основной части крыла функции тока представляются в форме 1 f f0 f1 ,, g g1 , 2 2 Функции f1 0, и g1 0, для M 2 изображены на рис. 6.4, они сингулярны при 0. При 1 c1 g1 1 1 1 M U0 и имеет степенную особенность, как и функция f1 ,, но в последнем случае она ос лаблена экспоненциально убывающим множителем.
В заключении представлены основные выводы по результатам работы.
Список литературы содержит 379 ссылок.
ОСНОВНЫЕ ВЫВОДЫ 1. Проведен асимптотический анализ уравнений трехмерного нестационарного пограничного слоя в случае малых поперечных течений, определены параметры возмущений. Выделен класс задач, для которого метод возмущений может быть эффективным, получены новые автомодельные уравнения, справедливые для малых, но конечных значений поперечной скорости, которые обобщают уравнения приближения малых вторичных течений.
2. В рамках метода сращиваемых асимптотических разложений показано, что на основной части поверхности тонких крыльев пограничный слой относится к частному классу течений с малыми поперечными скоростями, а в окрестности передних кромок описывается стационарными уравнениями теории скользящего крыла для параболической или клинообразной поверхности; получены условия сращивания обоих решений.
3. На основе метода сращиваемых асимптотических разложений показано, что на основной части поверхности слабо несимметричных тел под малым углом атаки пограничный слой относится к частному классу автомодельных течений с малыми поперечными скоростями. В окрестности конической или параболической вершины течение описывается стационарными или нестационарными уравнениями для критической точки, которые упрощены в рамках метода возмущений; получены условия сращивания обоих решений.
4. На основе развитого метода возмущений разработан и верифицирован сравнением с экспериментальными данными и другими численными решениями метод расчета стационарного пограничного слоя на тонких крыльях и слабо несимметричных телах под малым углом атаки. Получены численные решения некоторых задач пространственного ламинарного и турбулентного пограничного слоя для до-, транс- и сверхзвукового набегающего потока.
5. На основе аналитических решений асимптотических уравнений для внешней области стационарного трехмерного ламинарного пограничного слоя на конических поверхностях получен и исследован новый тип особенностей, возникающих в окрестности плоскости стекания такого течения. Рассмотрен тонкий круговой конус, произвольная коническая поверхность и тонкое эллиптическое крыло.
6. Показано, что течение в окрестности особенности характеризуется рядом асимптотических подобластей, включая пограничную область, которая описывается параболизованными уравнениями Навье-Стокса, и область взаимодействующего пограничного слоя. Для внешних частей этих подобластей получены аналитические решения и из условий сращивания определены свободные параметры.
ОСНОВНЫЕ ПУБЛИКАЦИИ 1. Божков В.М., Мозольков А.С., Шалаев В.И. Визуальное изучение пространственной картины течения около треугольного крыла в дозвуковой аэродинамической трубе// Известия АН СССР. МЖГ. 1976. № 2.
2. Хонькин А.Д., Шалаев В.И. Пространственный пограничный слой на тонких крыльях конечного размаха// Докл. АН СССР. 1989. Т. 307. № 2. С. 312-315.
3. Хонькин А.Д., Шалаев В.И. Пространственный пограничный слой на телах с малой асимметрией поперечного сечения при небольших углах атаки// Докл. АН СССР. 1990. Т.
313. № 5. С. 1067-1071.
4. Шалаев В.И. Пограничный слой на тонких крыльях малого удлинения// ПМТФ. 1992.
№1. С.71-78.
5. Шалаев В.И. Особенности в пограничном слое на конусе, обтекаемом под углом атаки// Изв. РАН. МЖГ. 1993. № 6. С. 25-33.
6. Shalaev V.I. Singularities of the boundary layer on a cone at incidence// Fluid Dynamics.
1993. V. 28. N 6. P. 770-776.
7. Shalaev V.I., Malmuth N., Fedorov A. Dynamics of Slender Bodies Separating from Rectangular Cavities// AIAA J. 2002. V. 40. N 3. P. 517-525.
8. V. Shalaev, A. Fedorov, N. Malmuth, V. Zharov, I. Shalaev. Surface plasma discharge for controlling forebody vortex asymmetry// US Patent 6796532. Issued on September 28. 2004.
9. Шалаев В.И. Нестационарные пограничные слои с малыми поперечными течениями// Изв. РАН. МЖГ. 2007. № 3. С. 72-83.
10. Shalaev V.I. Unsteady boundary layers with small cross flows// Fluid Dynamics. 2007. V.
42. N 3. P. 398Ц409.
11. Шалаев В.И. Особенности решений уравнений пограничного слоя и структура течения в окрестности плоскости стекания на конических телах// Изв. РАН. МЖГ. 2007. № 4. С.
61-71.
12. Shalaev V.I. Singularities of the Boundary Layer Equations and the Structure of the Flow in the Vicinity of the Convergence Plane on Conical Bodies// Fluid Dynamics. 2007. V. 42. N 4. P.
560Ц570.