Авторефераты по всем темам >>
Авторефераты по разным специальностям
На правах рукописи
Барышева Ирина Владиславовна
АППРОКСИМАЦИИ ОПЕРАТОРОВ С ЧАСТНЫМИ ИНТЕГРАЛАМИ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ К ИНТЕГРАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ
01.01.01 вещественный, комплексный и функциональный анализ
АВТОРЕФЕРАТ
диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук
Ростов-на-Дону 2012
Работа выполнена в ФГБОУ ВПО УЛипецкий государственный педагогический университетФ
Научный консультант:
доктор физико-математических наук, профессор Калитвин Анатолий Семёнович
Официальные оппоненты:
Пилиди Владимир Ставрович, доктор физико-математических наук, профессор ФГАОУ ВПО УЮжный федеральный университетФ заведующий кафедрой информатики и вычислительного эксперимента Ляхов Лев Николаевич, доктор физико-математических наук, профессор ФГБОУ ВПО УВоронежский государственный университетФ, профессор кафедры математического и прикладного анализа
Ведущая организация:
ФГБОУ ВПО УЮжно-Уральский государственный университет Ф (НИУ) (Челябинск)
Защита состоится У24Ф декабря 2012 г. в 15 час. 45 мин. на заседании диссертационного совета Д 212.208.29 по защите докторских и кандидатских диссертаций при Южном федеральном университете по адресу: 344090, г.
Ростов-на-Дону, ул. Мильчакова, 8-а.
С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Южного федерального университета по адресу: ул. Пушкинская, 148.
Автореферат разослан У Ф ноября 2012 г.
Ученый секретарь диссертационного совета Д 212.208.29 Кряквин В.Д.
ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ
Актуальность темы. Математическими моделями, описывающими различные проблемы механики сплошных сред, теории упругих оболочек и других задач, являются частные случаи интегрального уравнения (I - K)x = f, (1) где I тождественный оператор, K = C + L + M + N, операторы C, L, M, N представляются равенствами:
b (Cx)(t, s) = c(t, s)x(t, s), (Lx)(t, s) = l(t, s, )x(, s)d, a d (2) (Mx)(t, s) = m(t, s, )x(t, )d, c b d (Nx)(t, s) = n(t, s, , )x(, )dd, a c t, [a, b], s, [c, d], заданные функции c(t, s), l(t, s, ), m(t, s, ), n(t, s, , ) и f(t, s) измеримы по совокупности переменных. Здесь и далее интегралы рассматриваются как интегралы Лебега. Исследование таких моделей основывается на свойствах оператора K и свойствах решений уравнения (1). Оператор K обычно называют оператором с частными интегралами, так как в нём содержатся интегралы, в которых неизвестная функция x интегрируется по части переменных. Операторы с частными интегралами принципиально отличаются от обычных интегральных операторов. В частности, оператор K не является компактным даже при c(t, s) 0 и в общем случае непрерывных ядер l, m, n. Более того, при [a, b] = [c, d] = [0, 1], единичном ядре l и нулевых функциях c, m и n K не интегральный, а I - K не нётеров операторы, тогда как (Bx)(t) = x() d компактный интегральный оператор с ядром l в пространствах L2 и C.
Свойства оператора K зависят от пространств, в которых он изучается.
Оператор K в идеальных пространствах и в пространстве непрерывных функций исследовался Ю. Аппеллем (Вюрцбург), П.П. Забрейко (Минск), А.С. Калитвиным (Липецк), А.И. Поволоцким (Санкт-Петербург), О.П.
Околеловым (Липецк), Е.В. Фроловой (Липецк); в пространстве L2 суммируемых с квадратом функций В.С. Пилиди. (Ростов-на-Дону), а также новгородскими математиками: Л.М. Лихтарниковым, Л.З. Витовой, В.В. Болтянским; операторы и уравнения с разностными ядрами изучались А. Бёттхером (Хемниц), А.А. Говорухиной, Н.В. Коваленко, И.Б. Симоненко (Ростов-на-Дону). Сингулярным интегральным уравнениям и операторам с частными интегралами, а также уравнениям типа свёртки, посвящены работы ростовских математиков: В.А. Какичева, В.С. Пилиди, И.Б. Симоненко.
Важнейшими частными случаями уравнения (1) являются уравнения Вольтерра с оператором t (Kv x)(t, s) = l(t, s, )x(, s)d+ a s + m(t, s, )x(t, )d + n(t, s, , )x(, )dd, c T S где T S = [a, t] [c, s] или T S = [a, b] [c, s], или T S = [a, t] [c, d] и Вольтерра-Фредгольма с оператором t (Kf x)(t, s) = l(t, s, )x(, s)d+ a d + m(t, s, )x(t, )d + n(t, s, , )x(, )dd, c T S где T = [a, b] или T = [a, t], S = [c, d] или S = [c, s] с частными интегралами. Уравнения Вольтерра с частными интегралами впервые, по-видимому, изучались В. Вольтерра, Э. Гурса, Г. Мюнтцем. Приложения этих уравнений к задачам теории упругих оболочек и дифференциальных уравнений с частными производными рассматривались в монографиях И.Н. Векуа (Тбилиси), А.В. Бицадзе (Москва). Операторы и уравнения Вольтерра и Вольтерра-Фредгольма с частными интегралами исследовались Ю. Аппеллем, П.П. Забрейко, А.С. Калитвиным, В.А. Калитвиным (Липецк), а прикладные задачи, при математическом моделировании которых получаются такие уравнения, описаны в работах московских механиков: В.М. Александрова, Е.В. Коваленко, А.В. Манжирова, С.М. Мхитаряна. Приближённое и численное решение уравнений (1) рассматривалось О.П. Околеловым, а уравнений Вольтерра и Вольтерра-Фредгольма А.С. Калитвиным, В.А.
Калитвиным, О.П. Околеловым.
Спектральные свойства операторов K, Kv, Kf рассматривались в работах Ю. Аппелля, В.В. Болтянского, Л.З. Витовой, П.П. Забрейко, А.С. Калитвина, В.А. Калитвина, Е.В. Фроловой, Л.М. Лихтарникова, О.П. Околелова. Нётеровость, фредгольмовость и обратимость операторов и однозначная разрешимость уравнений с частными интегралами изучались Ю. Аппелем, П.П. Забрейко, А.С. Калитвиным, Е.В. Фроловой.
Решение уравнения (1) может обладать различными свойствами по каждой из своих переменных. Например, задача Коши для линейных интегро-дифференциальных уравнений Барбашина, моделирующих различные прикладные задачи, связана с нахождением решений частных случаев уравнения (1) в пространстве частично дифференцируемых функций1, а при численном решении уравнения и оценке погрешности аппроксимации интегралов суммами требуется существование производных по одной из переменных подынтегральной функции, а по другой переменной достаточно непрерывности. Поэтому актуальной задачей стало изучение свойств оператора K и уравнения (1) в пространствах частично дифференцируемых функций двух переменных.
Несмотря на то, что теория операторов и уравнений с частными интегралами интенсивно развивается, особенно в последние годы, многие вопросы ещё не исследованы. Явное построение решений этих уравнений возможно лишь в редких случаях, поэтому важное значение имеют приближенные и численные методы решения. Разработка приближенных и численных методов решения уравнений с частными интегралами невозможна без изучения свойств как самих уравнений, так и содержащихся в уравнениях операторов с частными интегралами, и связана с аппроксимацией таких операторов, что свидетельствует об актуальности тематики диссертационного исследования.
Цели работы:
установить условия действия и непрерывности операторов K, Kv и Kf в пространствах частично дифференцируемых функций двух переменных;
исследовать аппроксимации операторов с частными интегралами в пространствах частично дифференцируемых функций двух переменных;
получить условия нётеровости, фредгольмовости, обратимости операторов и однозначной разрешимости уравнений с частными интегралами и ядрами общего вида в пространствах частично дифференцируемых функций двух переменных, используя аппроксамации операторов с частными интегралами;
провести обоснование применения метода вырожденных ядер для приближённого решения уравнений с частными интегралами в пространстве частично дифференцируемых функций двух переменных и получить оценAppell J.M., Kalitvin A.S., Zabrejko P.P. Partial Integral Operators and Integro-Differential Equations. - New York: Marcel Dekker, 2000. - 560 p.p.
ку погрешности.
Методы исследования. Доказательства теорем проводятся общими методами функционального анализа, спектральной теории линейных операторов, теории интегральных уравнений.
Научная новизна. Все полученные в данной диссертационной работе результаты являются новыми.
Теоретическая и практичекая значимость. Полученные в диссертации результаты носят теоретический характер и могут быть использованы в целях дальнейшего развития теории линейных операторов и уравнений с частными интегралами в пространствах дифференцируемых и частично дифференцируемых функций, а также при исследовании свойств математических моделей, описывающих различные проблемы механики сплошных сред, теории упругих оболочек и других прикладных задач.
Апробация работы. Основные результаты диссертации неоднократно докладывались на семинарах и конференциях в Липецком государственном педагогическом университете, на Воронежских весенних математических школах ФПонтрягинские чтенияУ в 2000, 2003, 2008 гг., на Международных научных конференциях и семинарах: ФНелинейный анализ и функционально-дифференциальные уравненияУ (Воронеж, 2000), ФСовременные проблемы прикладной математики и математического моделированияУ (Воронеж, 2007), Воронежской зимней математической школе С.Г.
Крейна (Воронеж, 2008); ФСовременные методы и проблемы теории операторов и гармонического анализа и их приложенияУ (Ростов-на-Дону, 2011, 2012); были представлены на Всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной математике (Йошкар-Ола, 2006).
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1Ц17]. В совместных работах [9Ц17] научному руководителю принадлежат постановки задач и некоторые идеи доказательств. В статье [17] использовалась общая схема доказательства, предложенная А.С. Калитвиным и Е.В. Фроловой.
Объём и структура работы. Диссертация состоит из введения, трёх глав, объединяющих 8 параграфов, списка литературы, содержащего наименований, и двух приложений; общий объём работы 109 страниц, в том числе приложения 7 страниц. Нумерация формул и теорем своя в пределах каждого параграфа.
КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ Во введении дается краткий обзор исследований по теории операторов и уравнений с частными интегралами, их приложениям, методам приближённого и численного решения уравнений и излагаются основные результаты диссертации.
Глава 1.
В первой главе изучаются непрерывность и аппроксимации операторов с частными интегралами.
з1 носит вспомогательный характер. Здесь описываются пространства дифференцируемых и частично дифференцируемых функций нескольких переменных и некоторые их конструкции. Через U (V ) обозначается пространство функций двух переменных, которые имеют p (q) непрерывных частных производных по первой (второй) переменной.
В з2 изучаются условия действия и непрерывности операторов K, Kv и Kf. В теореме 2.1 показывается, что если оператор K действует в пространстве U, то он непрерывен.
Пусть одно из множеств: [a, b], [c, d], D. Будем считать, что , причём если = [a, b], то = , если = [c, d], то = , если = D, то = (, ). Измеримую по совокупности переменных на D функцию f(t, s, ) назовем L1-непрерывной, если > 0 > 0, что f(t1, s1, ) - f(t2, s2, ) d < при |t1 - t2| < , |s1 - s2| < ; L1-ограниченной, если f(t, s, ) d F < +;
равномерно суммируемой, если |f(t, s, )| () и () d < .
Достаточные условия действия оператора K в пространстве U содержит Теорема 2.2. Пусть выполнены условия: а) функция c и ее частные производные по t до порядка p включительно непрерывны по совокупности переменных на D; б) ядра l, m, n L1-непрерывны и L1-ограничены вместе со своими частными производными по t до p-го порядка включительно; в) частные производные по t до p-го порядка включительно от ядер равномерно суммируемы на [a, b], [c, d], D соответственно.
Тогда оператор K непрерывен в U.
Следствие 2.1. Пусть функции c(t, s), l(t, s, ), m(t, s, ), n(t, s, , ) p раз непрерывно дифференцируемы по переменной t. Тогда K непрерывный линейный оператор на U.
Для пространства V сформулированы аналогичные утверждения. В теоремах 2.4, 2.5 и следствии 2.3 представлены условия непрерывности действия оператора K из пересечения пространств U и V в их сумму. Аналогичные условия непрерывности действия в пространстве U (V ) приводятся для операторов Kv и Kf. Также проводятся оценки норм операторов.
з3 посвящён аппроксимациям операторов с частными интегралами. В теореме 3.1 рассматривается общий случай аппроксимации оператора K оператором K с ядрами l, m, n в пространстве L(U) ограниченных на U линейных операторов.
В качестве l, m, n рассматриваются вырожденные ядра u v l(t, s, ) = ln(t, s)an(), m(t, s, ) = mj(t, s)bj(), n=1 j=(3) r n(t, s, , ) = nk(t, s)ck(, ), k=где ln, mj, nk U; функции an, bj, ck (n = 1,..., u; j = 1,..., v; k = 1,..., r) непрерывны. Из теоремы 3.1 непосредственно следует Теорема 3.2. Пусть выполнены условия теоремы 2.2. Тогда найдутся последовательности операторов Li, Mi, Ni, Ki с вырожденными ядрами (3), которые сходятся к операторам L, M, N, K соответственно в пространстве L(U) ограниченных на U линейных операторов.
Пусть t, s, , [0, 1] и = 0, 5. Аппроксимацию оператора K, при которой его ядра приближаются отрезками степенных рядов, обеспечивает ic(t, s) il(t, s, ) im(t, s, ) Теорема 3.3. Если функции,, и ti ti ti in(t, s, , ) непрерывны по совокупности переменных, ti il(t, s, ) im(t, s, ) A < , B < , ti ti in(t, s, , ) C < (i = 0, 1,...) ti и r r il(, s, ) (t - )i im(, s, ) (t - )i l(t, s, )= , m(t, s, )= , ti i! ti i! i=0 i=r in(, s, , ) (t - )i n(t, s, , )= , ti i! i= где r p, то операторы K и K действуют в U, причем p p j 2j-r 2j-r-k k K -K (A+C) + B Cj.
(r + 1 - j)! (r + 1 - j + k)! j=0 j=0 k=Для пространства V аналогичные утверждения сформулированы в теоремах 3.4Ц3.6. Аппроксимации оператора Kv в пространствах U и V изучаются в теоремах 3.7Ц3.9.
Глава 2.
Важнейшие свойства математических моделей, описываемых уравнениями с частными интегралами, связаны с нётеровостью, фредгольмовостью и обратимостью операторов и однозначной разрешимостью уравнений с частными интегралами. Во второй главе аппроксимации операторов с частными интегралами применяются при исследовании условий нётеровости, фредгольмовости и однозначной разрешимости в пространстве U линейных уравнений с частными интегралами. Здесь нётеровым (фредгольмовым) оператором A называется ограниченный линейный оператор, у которого область значений замкнута, а размерности ядра и коядра конечны (в случае фредгольмова оператора ядро и коядро имеют одинаковую размерность). Уравнение Ax = f с нётеровым, фредгольмовым, обратимым на X оператором A будем называть нётеровым, фредгольмовым, однозначно разрешимым соответственно. Однозначно разрешимое уравнение иногда называют обратимым.
В главе 2 установлена структура резольвенты обратимого в пространстве U уравнения с частными интегралами (1), где K = L + M + N, приведены альтернатива Фредгольма и критерии фредгольмовости и однозначной разрешимости интегральных уравнений с частично интегральными операторами, ядра которых зависят от двух переменных, получены условия однозначной разрешимости и фредгольмовости уравнений Вольтерра и Вольтерра-Фредгольма с частными интегралами. Рассмотрена однозначная разрешимость в пространстве U интегральных уравнений некоторых задач механики сплошных сред, теории упругости и других задач.
В з4 исследуются условия нётеровости и фредгольмовости оператора I -K и уравнения (1), где K = L+M +N, f U, с вырожденными ядрами.
Формулируются теоремы о равносильности фредгольмовости оператора I -K с вырожденными ядрами (3), где системы функций {an|n = 1,..., u} и {bj|j = 1,..., v} ортонормированы, фредгольмовости операторов I - L и I - M, которая в свою очередь равносильна неравенству 1(s) 2(t) = 0, где 1(s) и 2(t) определители 1 - 11(s)... - 1u(s) 1 - 11(t)... - 1v(t) 1(s)=......................, 2(t)=....................., -u1(s)... 1 - uu(s) -v1(t)... 1 - vv(t) b ni(s)= an()li(, s)d (n, i=1,..., u), a d jk(t)= bj()mk(t, )d (j, k =1,..., v).
c В з5 установлены критерии фредгольмовости в пространстве U оператора I -K.
Теорема 5.1. Если функции l(t, s, ), m(t, s, ), n(t, s, , ) p раз непрерывно дифференцируемы по переменной t, то фредгольмовость уравнения (1) эквивалентна фредгольмовости уравнений (I-L)x = f и (I-M)x = f.
В доказательстве теоремы 5.1. операторы L и M аппроксимируются опе раторами L и M с вырожденными ядрами u v l(t, s, )= ai(s)bi(t)li(), m(t, s, )= cj(s)dj(t)mj(), i=1 j=где bi, dj C(p), ai, cj C, li L1, mj L1, а L1 и L1 пространства сумми руемых на [a, b] и [c, d] функций переменной и соответственно. При этом -1 - существуют операторы I -(L-L) и I -(M -M) с резольвентными ядрами 1 и 2 соответственно. Рассматриваются определители 1 - 11(s)... - 1u(s) 1 - 11(t)... - 1v(t) 3(s)=......................, 4(t)=....................., -u1(s)... 1 - uu(s) -v1(t)... 1 - vv(t) b b in(s)= li() an(s)bn(t) + 1(t, s, 1)an(s)bn(1)d1 d (i, n=1,..., u), a a d d jk(t)= mj() ck(s)dk(t)+ 2(t, s, 1)ck(1)dk(t)d1 d (j, k =1,..., v).
c c Из доказательства теоремы 5.1 следует Теорема 5.2. Пусть функции l(t, s, ), m(t, s, ), n(t, s, , ) непрерывны по совокупности переменных вместе со своими частными производными по переменной t до порядка p включительно. Тогда фредгольмовость оператора I - K равносильна неравенствам 3(s) = 0 и 4(t) = 0.
з6 посвящен исследованию однозначной разрешимости уравнений с частными интегралами с непрерывными вместе с частными производными по переменной t до p-го порядка включительно ядрами. Условия однозначной разрешимости (фредгольмовости, нётеровости) уравнений (I - L)x = f и (I - M)x = f в пространстве U содержит Теорема 6.1. Если функции l, m непрерывны по совокупности переменных вместе со своими частными производными по переменной t до p-го порядка включительно, то в пространстве U однозначная разрешимость, фредгольмовость и нётеровость уравнений (I - L)x = f и (p) (I - M)x = f совпадают с однозначной разрешимостью в C[a,b] и C[c,d] соответственно интегральных уравнений Фредгольма второго рода семейств b (p) x(t) = l(t, s, )x()d + f(t) (s [c, d], f C[a,b]), a (4) d x(s) = m(t, s, )x()d + g(s) (t [a, b], g C[c,d]).
c Теорема 6.2. Если функции l, m, n непрерывны по совокупности переменных вместе со своими частными производными по переменной t до p-го порядка включительно, то равносильны следующие утверждения:
а) уравнение (1) фредгольмово в U;
б) уравнения (I - L)x = f и (I - M)x = f однозначно разрешимы в U;
(p) в) уравнения семейств (4) однозначно разрешимы в C[a,b] и C[c,d] соответственно;
г) уравнение (1) нётерово в U.
Если операторы (I-L)-1 и (I-M)-1 существуют и представимы в виде b (I - L)-1x(t, s) = x(t, s) + r1(t, s, )x(, s)d, a d (I - M)-1x(t, s) = x(t, s) + r2(t, s, )x(t, )d, c где r1 и r2 резольвентные ядра операторов L и M соответственно, то уравнение (1) равносильно уравнениям (I - H)x = u и (I - P )x = v, (5) где H = (I - M)-1(I - L)-1(LM + N), P = (I - L)-1(I - M)-1(ML + N), u = (I - M)-1(I - L)-1f, v = (I - L)-1(I - M)-1f.
В теореме 6.3 (следствии 6.1) показано, что в пространстве U обратимость оператора I - K (однозначная разрешимость уравнения (1)) равносильна обратимости операторов I - H и I - P (однозначной разрешимости уравнений (5)). В доказательстве теоремы 6.3 оператор H аппроксимиру ется оператором H с вырожденным ядром k h(t, s, , ) = hi(t, s)di(, ) hi U, di C(D), i= а через 3 обозначено резольвентное ядро оператора I - (H - H). В случае вырожденных ядер в теореме 6.4 доказано, что уравнение (1) однозначно разрешимо точно тогда, когда 1(s) = 0, 2(t) = 0, = 0, где 1 - 11... - 1w =................, -w1... 1 - ww b d b d ij = di(, ) hj(, )+ 3(, , 1, 1)hj(1, 1)d1d1 dd a c a c (i, j = 1,..., w). Для ядер, удовлетворяющих условиям теоремы 2.2 или следствия 2.1, аналогичные утверждения содержатся в теореме 6.5. Кроме того, для всех типов ядер строятся резольвентные ядра r1, r2, r3 операторов L, M и H соответственно, приводятся условия однозначной разрешимости в пространстве U уравнения x = Kx + f и формула для нахождения его решения b d x(t, s) = f(t, s) + r1(t, s, )f(, s) d + r2(t, s, )f(t, ) d+ a c b d + r(t, s, , )f(, ) dd, a c где r(t, s, , ) = r2(t, s, )r1(t, , ) + r3(t, s, , )+ b d + r3(t, s, 1, )r1(1, , )d1 + r3(t, s, , 1)r2(, 1, )d1+ a c b d + r3(t, s, 1, 1)r2(1, 1, )r1(1, , )d1d1.
a c Здесь r1, r2, r (r1, r2, r3) резольвентные ядра оператора K с частными интегралами (операторов L, M, H соответственно). В заключение параграфа для уравнения x = Kx + f сформулирована альтернатива Фредгольма.
В з7 рассматриваются частные случаи и математические модели некоторых прикладных задач, приводящихся к интегральным уравнениям с частными интегралами. В теоремах 7.1 и 7.2 представлены критерии фредгольмовости и однозначной разрешимости уравнения (1) с ядрами l(t, ) и m(s, ). Теорема 7.3 содержит условия однозначной разрешимости уравнения Вольтерра в пространстве U.
Теорема 7.3. Пусть функции l, m, n непрерывны по совокупности переменных вместе со своими частными производными по переменной t до p-го порядка включительно. Тогда для любой функции f U уравнение (1) Вольтерра с оператором Kv имеет в U единственное решение.
При выполнении условий теоремы 7.3. решение уравнения (1) Вольтерра с оператором Kv может быть получено методом последовательных приближений. Критерий однозначной разрешимости уравнения ВольтерраФредгольма содержит Теорема 7.4. Пусть функции l, m, n непрерывны по совокупности переменных вместе со своими частными производными по переменной t до p-го порядка включительно и f U. Тогда в U однозначная разрешимость уравнения (1) Вольтерра-Фредгольма с оператором Kf равносильна однозначной разрешимости уравнения x = Mx + f.
В примерах пунктов 7.3 и 7.4 эти утверждения применены к интегральным уравнениям Вольтерра и Вольтерра-Фредгольма с частными интегралами, моделирующих некоторые прикладные задачи.
Глава 3.
Третья глава посвящена вопросам приближённого и численного решения интегральных уравнений с частными интегралами.
В з8 рассматривается применение метода вырожденных ядер к приближенному решению интегральных уравнений с частными интегралами. Получена оценка погрешности решения уравнения x = (L + M + N)x + f при аппроксимации его ядер l, m, n вырожденными ядрами.
Теорема 8.1. Пусть уравнение (1) имеет единственное решение, существуют такие постоянные 0, 1, 2, Q0, Q1, Q2, , , что p p b d i (f - f1) i(n - n) dd < 0, < , ti ti a c i=0 i= p p i b d i(l - l) i-k(m - m) d < 1, d < 2, Cik ti ti-k a c i=0 i=0 k= p p b d b i(r2r1) ir dd < Q0, d
1 - (1 + )(1 + Q) Соискатель благодарит своего научного руководителя доктора физикоматематических наук, профессора Калитвина Анатолия Семёновича за терпение, внимательное отношение и постоянный интерес к работе, а также за консультации и ценные советы.
Публикации автора по теме диссертации 1. Барышева, И.В. Аппроксимации операторов Вольтерра с частными интегралами / И.В. Барышева // Операторы с частными интегралами: Сб.
науч. тр. - Липецк, 2003. - Вып. 6. - С. 39Ц51.
2. Барышева, И.В. Об аппроксимации операторов Вольтерра с частными интегралами операторами с вырожденными ядрами / И.В. Барышева // Воронежская весенняя математическая школа УПонтрягинские чтения XIVФ: Материалы школы, Воронеж, 3Ц9 мая 2003 г./ ВГУ, МГУ, МИРАН.
Воронеж, 2003. С. 16Ц17.
3. Барышева, И.В. О численном решении уравнений с частными интегралами / И.В. Барышева // Обозрение прикладной и промышленной математики: материалы VII Всерос. симпозиума по ПиПМ, Йошкар-Ола, 16Цдекабря 2006 г. Москва, 2007. Т. 14. Вып. 2. С. 263Ц264.
4. Барышева, И.В. О линейных уравнениях с частными интегралами в пространстве частично дифференцируемых функций / И.В. Барышева // Современные проблемы прикладной математики и математического моделирования: Матер. Междунар. науч. конф., Воронеж, 11Ц16 декабря 2007 г.
- Воронеж: ВГТА, 2007. - С. 27-28.
5. Барышева, И.В. Об обратимости уравнений с частными интегралами в пространстве C C(1)(t) / И.В. Барышева // ВЗМШ С.Г. Крейна: Тез.
докл., Воронеж, 24Ц30 января 2008 г. - Воронеж: ВГУ, 2008. - С. 14Ц16.
6. Барышева, И.В. О фредгольмовости уравнений с частично интегральными операторами и ядрами, зависящими от двух переменных / И.В. Барышева // ВВМШ УПонтрягинские чтения - XIXФ: Материалы школы, Воронеж, 3Ц9 мая 2008 г./ ВГУ, МГУ, МИРАН. - Воронеж, 2008. - С. 30Ц31.
7. Барышева, И.В. О численном решении интегрального уравнения одной плоской контактной задачи / И.В. Барышева // Перспективы науки.
- 2010. - №1(03). - С. 32Ц36.
8. Барышева, И.В. Об обратимости уравнений с частными интегралами в пространстве частично дифференцируемых функций / И.В. Барышева // Научные ведомости БеГУ. Физика. Математика. - 2011. - №17(12). - Вып. 24. - С. 28Ц40.
9. Барышева, И.В. Об одном классе интегральных уравнений в пространстве частично дифференцируемых функций / И.В. Барышева, А.С. Калитвин // Чернозёмный альманах научных исследований. Серия: УФундаментальная математикаФ. - Воронеж, 2009. - № 1(8). - С. 12Ц27.
10. Барышева, И.В. Об уравнениях Вольтерра с частными интегралами / И.В. Барышева, А.С. Калитвин // Междунар. науч. конф. УСовременные методы и проблемы теории операторов и гармонического анализа и их приложенияФ. Тезисы докладов, Ростов-на-Дону, 22-26 апреля 2012 г. - Ростов-на-Дону, 2012. - С. 9.
11. Барышева, И.В. Об уравнениях Вольтерра с частными интегралами в пространстве частично дифференцируемых функций с операторами частного интегрирования / И.В. Барышева, А.С. Калитвин // Научные ведомости БеГУ. Физика. Математика. - 2012. - №11(130). - Вып. 27. - С. 15Ц23.
12. Калитвин, А.С. Об операторах с частными интегралами в пространствах частично-дифференцируемых функций / А.С. Калитвин, И.В. Барышева // Операторы с частными интегралами: Сб. науч. тр. - Липецк, 1997.
- Вып. 2. - С. 12-19.
13. Калитвин, А.С. Об аппроксимации операторов с частными интегралами / А.С. Калитвин, И.В. Барышева // ВВМШ УПонтрягинские чтения - XIФ, Воронеж, 3Ц9 мая 2000 г.: Тезисы докл. шк. - Воронеж, 2000. - С. 72.
14. Калитвин, А.С. Об оценке решений интегральных уравнений с частными интегралами / А.С. Калитвин, И.В. Барышева // Междунар.
конф. УНелинейный анализ и функционально-дифференциальные уравненияФ, Воронеж, 15-20 мая 2000 г.: Тезисы докл. - Воронеж, 2000. - С. 114.
15. Калитвин, А.С. Об оценке решений интегральных уравнений с частными интегралами / А.С. Калитвин, И.В. Барышева // Операторы с частными интегралами: Сб. научн. тр. - Липецк, 2000. - Вып. 4. - С. 3Ц13.
16. Калитвин, А.С. О фредгольмовости уравнений с частными интегра лами в пространстве C C(p)(t) / А.С. Калитвин, И.В. Барышева // Операторы с частными интегралами: Сб. научн. тр. - Липецк, 2005. - Вып. 7.
- С. 8Ц23.
17. Калитвин, А.С. О фредгольмовости уравнений с частными интегралами в пространстве частично дифференцируемых функций / А.С. Калитвин, И.В. Барышева, Е.В. Фролова // Операторы с частными интегралами:
Сб. научн. тр. - Липецк, 2003. - Вып. 5. - С. 34Ц47.
Работы [8], [11] опубликованы в журналах из перечня рецензируемых научных журналов и изданий, рекомендованных ВАК Минобрнауки РФ.
Авторефераты по всем темам >>
Авторефераты по разным специальностям