Авторефераты по всем темам >>
Авторефераты по техническим специальностям
На правах рукописи
Жермоленко Виктор Николаевич
АНАЛИЗ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ С НЕОПРЕДЕЛЁННОСТЬЮ МЕТОДОМ ЭКСТРЕМАЛЬНЫХ ОТКЛОНЕНИЙ
Специальность 05.13.01 - Системный анализ, управление и обработка информации (в отраслях информатики, вычислительной техники и автоматизации)
Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук
Москва 2010
Работа выполнена в Российском Государственном Университете нефти и газа им. И.М. Губкина
Научный консультант:
доктор физико-математических наук, профессор Александров Владимир Васильевич
Официальные оппоненты:
доктор физико-математических наук, профессор Рапопорт Лев Борисович доктор физико-математических наук, профессор Формальский Александр Моисеевич доктор физико-математических наук, профессор Либерзон Марк Рахмильевич
Ведущая организация: Институт проблем мехники им. А.Ю. Ишлинского РАН.
Защита состоится 2010 г. в 14:00 часов на заседании Диссертационного Совета Д 002.226.02 Учреждения Российской академии наук Института проблем управления им. В.А.
Трапезникова РАН. Телефон Совета: (495) 334-93-29.
Адрес Института: 117997 г. Москва ул. Профсоюзная д. 65.
С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Учреждения Российской академии наук Института проблем управления им. В.А. Трапезникова РАН.
Автореферат разослан 2010 г.
Учёный секретарь Диссертационного Совета Д 002.226.кандидат технических наук В.Н. Лебедев
ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ
.
Актуальность темы. В реальных условиях параметры управляемых систем и действующих на них возмущений могут быть известны неточно или определены неоднозначно. Это приводит к тому, что, как правило, приходится учитывать неопределённость или неполноту описания систем, которая присутствует в их математических моделях. Информация о не полностью определённых параметрах может ограничиваться лишь границами областей их изменения, заданных, например, техническими допусками. В таких условиях приходится иметь дело с семейством систем, параметры которых могут принимать любые значения в заданных пределах; при этом говорят о системах с интервальной параметрической неопределённостью.
Проблема анализа и обеспечения устойчивости систем с неопределённостью занимает одно из центральных мест в теории и практике управления. Основополагающими в её исследовании были работы А.И. Лурье, М.А. Айзермана, В.А. Якубовича, Е.С. Пятницкого. В них упомянутая задача получила название задачи об абсолютной устойчивости. В последнее время интенсивно развивается более общий подход к обеспечению требуемых свойств систем по отношению к неопределённости, называемых робастностью. Решению задач абсолютной и робастной устойчивости, робастного управления и стабилизации посвящено огромное количество работ, в их числе работы Я.З. Цыпкина, Б.Т. Поляка, В.Л. Харитонова, Л.Б. Рапопорта, В.В. Александрова, Ю. Аккермана, Б.Р. Бармиша и других исследователей.
Не менее актуальны задачи обеспечения динамической точности и подавления возмущений систем с неопределённостью.
Точность характеризуется максимально возможными отклонениями фазовых координат или функций от них от надлежащих режимов. Впервые задача экстремального анализа точности систем с неопределённостью была рассмотрена Б.В.
Булгаковым. Значительный вклад в её развитие внесён Н.Т.
Кузовковым, Я.Н. Ройтенбергом, В.В. Александровым, Л.С.
Гноенским, А.М. Формальским, Г.М. Улановым.
Важное значение имеет исследование колебательности систем с неопределённостью. Для одномерных систем n-го порядка И.Т. Кигурадзе, Н.Х. Розовым и В.В. Александровым предложена классификация систем по типу осцилляционных свойств их решений. Системы отнесены к одному из n классов, в том числе, абсолютно неколебательные, абсолютно колебательные и колебательные системы разных типов.
Понятие динамической точности систем с неопределённостью по смыслу близко понятию динамической устойчивости упругих систем. Это открывает широкие возможности для новых приложений задачи Булгакова. Получение аналитических условий динамической устойчивости и гарантированных оценок максимальных отклонений систем с распределёнными параметрами - достаточно сложная задача, имеющая значительный теоретический и практический интерес.
Анализ подходов, используемых для её решения, свидетельствует о том, что в вопросах применения современных методов и результатов теории колебаний, робастной устойчивости и управления имеются пробелы. Так, в существующих методиках нормирования (оценки опасности) вибрации упругих конструкций - трубопроводов с пульсирующей транспортируемой средой не представлены способы определения максимально возможных амплитуд колебаний диагностируемых параметров: виброперемещений и виброскорости. Остаётся нерешённой и проблема отыскания наиболее опасных пульсаций давления среды в трубопроводах, приводящих к их колебаниям с максимальными амплитудами. Решение может быть получено с помощью редукции к задачам того же содержания для последовательности систем с сосредоточенными параметрами.
Тематика диссертации тесно примыкает к вариационному методу анализа абсолютной устойчивости, развитому Е.С. Пятницким и его учениками в ИПУ РАН. Утверждения, доказанные в диссертации с помощью и на основе задачи Булгакова с нефиксированным временем дополняют и углубляют результаты, полученные вариационным методом Е.С. Пятницкого.
Развитие качественных методов анализа робастности различных динамических свойств систем управления с неопределённостью, получение аналитических и конструктивных критериев проверки их наличия по-прежнему остаются актуальными в теории робастных систем как с теоретической, так и с практической точек зрения. Актуальность темы работы определяется целесообразностью разработки метода анализа экстремальных режимов систем с неопределённостью и нахождения их экстремальных отклонений; метода, позволяющего получать аналитические критерии колебательности, робастной устойчивости и стабилизации, динамической точности и управляемости. Актуальны и задачи повышения динамической устойчивости трубопроводов и разработки методики нормирования их вибрации по наиболее опасному варианту.
Диссертационная работа выполнена в соответствии с тематическим планом договора о научном сотрудничестве РГУ нефти и газа им. Губкина с ОАО ГАЗПРОМ УПРОМГАЗФ.
Цель исследования состоит в разработке эффективного метода для исследования экстремальных режимов систем управления с нестационарной неопределённостью и его применении к решению теоретических и прикладных задач анализа колебательности систем, робастности их динамических свойств и выявления связей между ними. Метод назван методом экстремальных отклонений. Поставленная цель достигается решением следующих основных задач:
1) исследование осцилляционных свойств решений систем управления второго и третьего порядка с нестационарной параметрической неопределённостью, классификация систем по признаку колебательности, то есть разделение систем на абсолютно неколебательные и колебательные разных типов;
2) построение траекторных воронок двумерных систем управления с нестационарной параметрической неопределённостью;
3) исследование абсолютной устойчивости, неустойчивости и полной управляемости двумерных систем управления с нестационарной параметрической неопределённостью, выявление связей между указанными динамическими свойствами;
4) экстремальный анализ динамической точности систем управления второго порядка с внешними или/и параметрическими возмущениями, построение областей достижимости;
5) робастная стабилизация ограниченным управлением параметрически возмущаемой системы второго порядка;
6) исследование абсолютной устойчивости систем управления третьего порядка с нестационарной параметрической неопределённостью;
7) разработка методики нахождения экстремальных пульсаций давления среды в трубопроводе и расчёта его динамической реакции на экстремальные возмущения.
Методы исследования. Используется аппарат теории колебаний и устойчивости, теории управления и систем с переменной структурой, метод фазового портрета и метод Фурье.
Достоверность результатов основана на использовании апробированного математического аппарата, корректностью постановки задач, адекватностью исходных предположений и допущений, строгостью математических выкладок и доказанностью сформулированных утверждений. Ряд результатов включен в УКлассический университетский учебникФ МГУ им.
М.В. Ломоносова по оптимальному управлению движением.
Научная новизна полученных результатов.
1) Разработан метод экстремальных отклонений для анализа экстремальных режимов систем управления второго и третьего порядка с нестационарной параметрической неопределённостью. Метод позволяет получать доведённые до формул в терминах параметров систем или легко проверяемые критерии их колебательности и неколебательности, абсолютной устойчивости и неустойчивости, робастной стабилизации, управляемости и динамической точности. Метод состоит из двух этапов: а) анализ поведения траекторий систем на фазовой плоскости и в фазовом пространстве, классификация множеств решений и разделение систем аналитическими критериями на абсолютно неколебательные и колебательные разных типов; б) анализ экстремальных режимов колебательных систем разных типов на основе решения задачи Булгакова об экстремальном отклонении с нефиксированным временем.
2) Проведено полное исследование осцилляционных свойств двумерных систем с параметрической неопределённостью. Впервые в форме аналитических критериев произведена их классификация по признаку колебательности. Критерии абсолютной неколебательности, колебательности в положительном или/и отрицательном направлении позволяют осуществить глобальную отделимость соответствующих множеств решений систем.
3) Дифференциально-геометрическим способом синтезированы кусочно постоянные матричные управления, задающие ветви границ траекторных воронок двумерных систем с нестационарной параметрической неопределённостью. Моменты переключений найдены в виде функций от параметров систем.
Установлены аналитические критерии абсолютной устойчивости, полной неустойчивости и полной управляемости. Выявлена взаимосвязь между колебательностью, устойчивостью, неустойчивостью и управляемостью. Показано, что в условиях Гурвица абсолютно неколебательные системы абсолютно устойчивы и не вполне управляемы, а критерий полной управляемости колебательных систем является следствием критериев абсолютной устойчивости и неустойчивости.
4) В форме обратных связей найдены наихудшие возмущения, приводящие к максимальным отклонениям от нулевого положения систем второго порядка с внешним, а также аддитивно-параметрическим возмущением. Получены устойчивые предельные циклы, ограничивающие области достижимости систем и определены их максимальные отклонения.
5) Решена задача о робастной стабилизации ограниченным управлением параметрически возмущаемой системы второго порядка. Разработаны два способа робастной стабилизации:
минимаксный и с помощью скользящего режима.
6) Для одномерных систем третьего порядка с параметрической неопределённостью установлен аналитический критерий неколебательности по первой производной и произведена классификация систем по этому признаку. Методом экстремальных отклонений в сочетании с принципом максимума Понтрягина получен конструктивный критерий абсолютной устойчивости колебательных систем, основанный на использовании отображения Пуанкаре.
7) Метод экстремальных отклонений впервые применён к исследованию вибрации упругой конструкции трубопровода с пульсирующей транспортируемой средой.
Практическая значимость и реализация результатов.
1) Разработанный метод экстремальных отклонений позволяет исследовать важную прикладную проблему возможности возникновения резонансных процессов в системах с неопределённостью. Найдены наихудшие, с точки зрения обеспечения устойчивости, стабилизации и точности, воздействия на системы и экстремальные движения, осуществляющие максимальные отклонения от желаемого положения.
2) Метод экстремальных отклонений может быть применён для исследования широкого класса систем. В качестве практического приложения, иллюстрируещего возможности и эффективность метода, решены задачи определения условий динамической устойчивости участка трубопровода с пульсирующей транспортируемой средой и гарантирующем оценивании диагностируемых при нормировании вибрации параметров.
3) Впервые поставлена и методом экстремальных отклонений решена задача нахождения экстремальных пульсаций давления среды в П-образном трубопроводном элементе. Установлены аналитические условия его динамической устойчивости, определяющие предельную амплитуду пульсации давления среды, и аналитические выражения для максимально возможных амплитуд виброперемещений, виброскорости, динамической составляющей изгибного напряжения, по которым производится нормирование вибрации.
4) Полученные результаты позволяют прогнозировать опасное развитие вибрации упругих систем, совершенствовать методологию её нормирования и могут быть рекомендованы для разработки методики нормирования вибрации по наиболее опасному варианту, направленной на увеличение запаса прочности и сроков эксплуатации упругих конструкций.
5) Ряд результатов работы принят для практического использования ОАО ГАЗПРОМ УПРОМГАЗФ.
Основные положения, выдвигаемые на защиту:
1) Метод экстремальных отклонений для анализа экстремальных режимов динамических систем второго и третьего порядка с неопределённостью при наличии внешних или/и параметрических возмущений.
2) Аналитические критерии абсолютной неколебательности, колебательности, абсолютной устойчивости, полной неустойчивости, полной управляемости двумерных систем с параметрической неопределённостью. Исследование системных связей между перечисленными динамическими свойствами.
3) Аналитические решения задач анализа точности систем управления второго порядка с внешним и аддитивно-параметрическим возмущениями.
4) Два способа робастной стабилизации параметрически возмущаемой системы второго порядка: минимаксный и основанный на использовании скользящего режима.
5) Аналитический критерий абсолютной неколебательности систем третьего порядка с параметрической неопределённостью. Конструктивный критерий их абсолютной устойчивости, полученный методом экстремальных отклонений в сочетании с принципом максимума Понтрягина.
6) Методика нахождения экстремальных пульсаций давления в П-образном трубопроводе и расчёта его динамической реакции, позволившая получить аналитические условия динамической устойчивости, выражения для максимальных амплитуд виброперемещений, виброскорости, изгибного напряжения, по которым производится нормирование вибрации.
Апробация работы. Основные результаты докладывались и обсуждались на следующих конференциях и семинарах:
Х на V, VI, VII, IX Международных семинарах им. Е.С. Пятницкого УУстойчивость и колебания нелинейных систем управленияФ, Москва, ИПУ им. В.А. Трапезникова РАН, 1998 г., 2000 г., 2002 г., 2006 г.;
Х на ХIX Международной конференции УДифференциальные уравнения и их приложенияФ, Москва, МГУ, 1998 г;
Х на V Международной конференции УХаос и структуры в нелинейных системахФ, Астана, Евразийский университет, 2006 г.;
Х на III и VIII Всероссийских конференциях УАктуальные проблемы развития нефтегазового комплекса РоссииФ, Москва, РГУ нефти и газа им. И.М. Губкина, 1999 г., 2010 г.;
Х В ИПУ им. В.А. Трапезникова РАН:
на Московском семинаре УТеория автоматического управленияФ под рук. проф. Б.Т. Поляка, на семинаре лаборатории динамики нелинейных процессов управления под рук. проф.
.Б. Рапопорта, на семинаре лаборатории теории систем с распределёнными параметрами под рук. проф. А.Г. Бутковского.
Х В ИПМех им. А.Ю. Ишлинского РАН:
на семинаре УМеханика системФ, им. акад. А.Ю. Ишлинского при научном Совете РАН по механике систем под рук. акад.
В.Ф. Журавлёва и акад. Д.М. Климова, 2009 г.;
на семинаре УТеория управления и динамические системыФ под рук. акад. Ф.Л. Черноусько, 2009 г.;
на семинаре УПроблемы механики сплошных сред,Ф под рук.
проф. С.В. Нестерова и проф. Д.В. Георгиевского, 2009 г.;
Х В Институте машиноведения им. А.А. Благонравова РАН:
на Московском семинаре молодых учёных по проблемам машиностроения, под рук. чл.-корр. Н.А. Махутова, 2009 г.;
Х В МГУ им. М.В. Ломоносова:
на Московском семинаре УМеханика деформируемого твёрдого телаФ, на семинарах УУправление в механических системахФ, УНелинейные задачи механики управляемых системФ, кафедры прикладной механики и управления;
Х В Университете Висконсин-Мэдисон (США): на семинарах факультетов инженерной механики и вычислительной техники под рук. проф. В.Я. Люмельского и проф. Б.Р. Бармиша.
Публикации. Результаты диссертации опубликованы в научных работах, в том числе 12 статей в рецензируемых журналах из списка ВАК РФ.
Структура и объём работы. Представляемая работа состоит из введения, четырёх глав, заключения, приложения, списка литературы и включает 240 страниц, 35 рисунков. Библиография содержит 183 наименовения.
КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ
.
Во введении рассмотрены некоторые вопросы теории колебаний, устойчивости и точности систем с неопределённостью, близкие к изучаемым в диссертации. Дан обзор результатов, относящихся к теме диссертационной работы, приводится обоснование её актуальности, сформулированы цель и основные задачи, дана общая характеристика работы.
В первой главе метод экстремальных отклонений разработан для двумерных систем с параметрической интервальной неопределённостью, движение которых описывается однородными нестационарными дифференциальными уравнениями:
= A(t)x, (1) где t R+ = [0, ); x = (x1, x2) R2 вектор состояния, элементы aij(t) (i, j = 1, 2) матрицы A(t) это либо фактические управляющие воздействия, либо параметрические возмущения, либо интервальная параметрическая неопределённость, отображающая неполноту информации в описании системы.
Об элементах aij(t) известно лишь, что это измеримые ограниченные функции a- aij(t) a+, или в матричной форме:
ij ij A- A(t) A+. (2) Линейные по управлениям (возмущениям) A(t) и фазовым координатам x системы вида (1) называются билинейными.
Через P = [a-, a+ ] [a-, a+ ] [a-, a+ ] [a-, a+ ] обозна11 11 12 12 21 21 22 чен параллелепипед в пространстве Oa11a12a21a22 параметров системы (1), представляющий собой область значений управления (возмущения) A(t).
Совокупность матричных управлений A(t), удовлетворяющих ограничениям (2), обозначена через = {A(t) : A- A(t) A+ A(t) P }.
Ставится цель: разработать метод, позволяющий получить для двумерных билинейных систем (1), (2) аналитические, т.е. выраженные через граничные значения a, критерии абij солютной неколебательности, колебательности разных типов, абсолютной устойчивости, полной неустойчивости и полной управляемости систем (1), (2) в классе и исследовать системные связи между этими динамических свойствами.
Инструментом достижения цели служат траекторные воронки X(x0) двумерных билинейных систем (1), (2):
X(x0) = {xA(t, x0) : A() , t R+}, где xA(t, x0) - решение системы (1), соответствующее конкретной функции A() и начальному условию x0.
С точки зрения теории управления траекторная воронка X(x0) представляет собой множество достижимости двумерных билинейных систем (1), (2) из точки x0.
Получено полное решение следующих задач:
1. Колебательность двумерных билинейных систем.
2. Особые множества и их связь с динамическими свойствами.
3. Синтез управлений для границ траекторных воронок.
4. Траекторные воронки двумерных билинейных систем.
5. Абсолютная устойчивость.
6. Полная нестойчивость.
7. Полная управляемость билинейных систем.
Х Колебательность двумерных билинейных систем.
Исследованы осцилляционные свойства решений двумерных билинейных систем (1), (2), произведена их классификация и разделение в форме аналитических критериев на абсолютно неколебательные и колебательные разных типов.
Т е о р е м а 1. Для абсолютной неколебательности двумерных билинейных систем (1), (2) необходимо и достаточно, чтобы выполнялось неравенство:
min D(A) = (- + 4-) 0, AP где D(A) = tr2A - 4 det A = 2(A) + 4(A), (A) = (a11 - a22), (A) = a12a21, a- - a+, если a- - a+ 0, 11 11 - = |a+ - a- |, если a+ - a- 0, 11 22 11 0, если a- - a+ < 0, a+ - a- > 0;
11 22 11 - = min{a- a-, a- a+, a+ a-, a+ a+ }. 12 21 12 21 12 21 12 Х Синтез управлений для границ траекторных воронок.
Экстремальные свойства ветвей границ траекторных воронок систем второго порядка исследовались в работах А.Г. Бутковского и И.А. Султанова, где ветви границ воронок названы максимум- и минимум-оптимальными траекториями.
При условии min det A > 0, (3) AP обеспечивающем отсутствие у двумерных билинейных систем (1), (2) особых множеств, доказана следующая теорема.
Т е о р е м а 2. Синтез экстремальных матричных управлений AL(x) и AR(x), задающих левые и правые ветви границ траекторных воронок X(x0) имеет вид:
- + aL (x) = c11 + d11sgn[-x1l2 (x)], aR (x) = c11 + d11sgn[x1l2 (x)], 11 - + aL (x) = c12 + d12sgn[-x2l2 (x)], aR (x) = c12 + d12sgn[x2l2 (x)], 12 - + aL (x) = c21 + d21sgn[x1l1 (x)], aR (x) = c21 + d21sgn[-x1l1 (x)], 21 - + aL (x) = c22 + d22sgn[x2l1 (x)], aR (x) = c22 + d22sgn[-x2l1 (x)], 22 (4) 1 1 где cij = (a+ + a-), dij = (a+ - a-); li (x) = qi, x, ij ij ij ij 2 - + qi и qi крайние правый и левый векторы пучка {qi}, опорные прямоугольнику Qi = [a-, a+] [a-, a+], (i, j = 1, 2).
i1 i1 i2 iСинтез (4) осуществлён дифференциально-геометрическим способом, основанным на результатах И.А. Султанова и А.Г.
Бутковского.
Две кусочно постоянные системы = AL(x)x и = AR(x)x, где AL(x), AR(x) определены в (4), названы в работе экстремальными системами. Они описывают поведение ветвей границ траекторных воронок. Х Траекторные воронки двумерных билинейных систем.
Синтез (4) позволяет построить траекторные воронки двумерных билинейных систем (1), (2), (3). Их построение производится наложением друг на друга фазовых портретов двух независимых экстремальных систем = AL(x)x и = AR(x)x.
Показано, что абсолютно неколебательные билинейные системы (1), (2), (3) подразделяется на следующие два вида:
a) max trA 0, b) min trA 0.
AP AP На рис. 1 представлены траекторные воронки абсолютно неколебательных систем (1), (2), (3) вида a) и b). Траекторные воронки X(x0) на рис. 1 и всех последующих заштрихованы.
XX+ + ll1 llxL x- L l2 R R X(x0) + X(x0) + llR L L xlR R R L xX1 L X-1 O O Рис. 1.
На рис. 2a (2b) изображён участок траекторной воронки X(x0), x0 = (-1, 0) абсолютно колебательных в отрицательном (положительном) направлении систем (1), (2), (3).
a + Xb l2 l2 XO xmL xMR X-1 1 R L X(x0) + + llllX(x0) L R X-O xmR xML 1 - + l2 lРис. 2.
Каждая из ветвей границ траекторных воронок на рис. имеет форму спирали, скручивающейся или раскручивающейся по (против) часовой стрелке, либо замкнута, при этом другая - незамкнута. Решение экстремальной системы = AL(x)x, = AR(x)x, которой отвечает замкнутая ветвь границы воронки, будет периодическим. Одна из ветвей - максимум-оптимальная, а другая - минимум-оптимальная траектория. Абсциссы точек первого пересечения максимум (минимум)-оптимальной левой или правой ветви границы траекторной во+ ронки X(x0), x0 = (-1, 0) с полуосью OX1 на рис. 2 и последующих обозначены через xML или xMR (xmL или xmR).
1 1 1 Это экстремальные значения функционалов задач Булгакова с нефиксированным временем о максимальном (минимальном) отклонении. Ветви границ воронок других осцилляционных типов будут комбинациями линий, изображённых на рис. 1, 2.
Xb a XX(x0) X(x0) L R X1 L R X-1 O O -1 xML Рис. 3.
На рис. 3 изображены траекторные воронки колебательных в отрицательном направлении двумерных систем (1), (2), (3), а на рис. 4 - колебательных в двух направлениях систем.
а X2 Xд X(x0) R L xMR X1 xmL XO -1 O xmR -1 xML L R X(x0) Рис. 4.
Траекторные воронки всех осцилляционных классов двумерных систем (1), (2), (3) дают полное представление о динамических свойствах и служат основой для исследования абсолютной устойчивости, неустойчивости и управляемости. Х Абсолютная устойчивость двумерных билинейных систем.
В работе доказаны следующие утверждения.
Теорема 3. Для абсолютной устойчивости абсолютно неколебательных двумерных билинейных систем (1), (2) необходимо и достаточно выполнения условий Гурвица:
max trA = (a+ + a+ ) < 0, min det A > 0, (5) 11 AP AP т.е. положительное решение имеет проблема М.А. Айзермана.
Для абсолютно колебательных, колебательных в отрицательном (положительном) направлении [для колебательных в двух направлениях] двумерных билинейных систем (1), (2), (5) сформулировано следующее условие Булгакова:
xML < 1 (xMR < 1) [max{xML, xMR} < 1], (6) 1 1 1 где xML (xMR) координата точки первого пересечения ре1 шения экстремальной системы = AL(x)x ( = AR(x)x), x0 = (-1, 0), задающей максимум-оптимальную ветвь границы тра+ екторной воронки X(x0) с положительной полуосью OX1.
Теорема 4. Для абсолютной устойчивости колебательных двумерных билинейных систем (1), (2) необходимо и достаточно выполнения условий Гурвица (5) и условия Булгакова (6).
Условия Булгакова (6) выражены через граничные значения a (i, j = 1, 2) неопределённых параметров систем (1), (2).
ij Х Полная неустойчивость двумерных билинейных систем.
Исследование неустойчивости аналогично предыдущему.
Теорема 5. Для полной неустойчивости абсолютно неколебательных билинейных систем (1), (2) необходимо и достаточно выполнения УантиусловийФ Гурвица:
min trA = (a- + a- ) > 0, min det A > 0. (7) 11 AP AP Для абсолютно колебательных или колебательных в отрицательном (положительном) направлении [для колебательных в двух направлениях] билинейных систем (1), (2), (7) сформулировано противоположное (6) УантиусловиеФ Булгакова:
xmR > 1 (xmL > 1) [min{xmR, xmL} > 1], (8) 1 1 1 где xmR (xmL) - координата точки первого пересечения реше1 ния экстремальной системы = AR(x)x ( = AL(x)x), x0 = (-1, 0), задающей минимум-оптимальную ветвь границы тра+ екторной воронки X(x0) с положительной полуосью OX1.
Теорема 6. Для полной неустойчивости колебательных систем (1), (2) необходимо и достаточно выполнения антиусловий Гурвица (7) и надлежащего антиусловия Булгакова (8).
Х Полная управляемость двумерных билинейных систем.
При исследовании особых множеств систем (1), (2) получено, что анализ полной управляемости систем содержателен при условии (3). При этом абсолютно неколебательные системы (1), (2) не вполне управляемы. Абсолютно устойчивые или полностью неустойчивые системы (1), (2), (3) также не могут быть полностью управляемыми. Поэтому для полной управляемости систем (1), (2), (3) необходимо, чтобы они были колебательными, но не были ни абсолютно устойчивыми, ни полностью неустойчивыми.
Теорема 7. Для полной управляемости колебательных билинейных систем (1), (2), (3) необходимо и достаточно, чтобы траекторная воронка X(x0), x0 = (-1, 0) содержала как уходящие в бесконечность, так и стремящиеся к началу координат фазовые траектории.
В качестве следствий из теоремы 7 получены критерии полной управляемости колебательных систем всех типов.
Теорема 8. Для полной управляемости колебательных в отрицательном (положительном) направлении билинейных систем (1), (2), (3) необходимо и достаточно, чтобы выполнялись неравенства xML > 1, xmR < 1 (xMR > 1, xmL < 1). (9) 1 1 1 Установлено, что граница области полной управляемости колебательных систем (1), (2), (3) образована границами областей её абсолютной устойчивости и полной неустойчивости, а сама область управляемости расположена между ними.
Таким образом, критерий полной управляемости колебательных систем (1), (2), (3) представляет собой следствие критериев их абсолютной устойчивости и полной неустойчивости.
Х Абсолютная устойчивость системы управления второго порядка с нелинейным нестационарным элементом.
Методом экстремальных отклонений получена аналитическая форма критерия абсолютной устойчивости системы = Ay + b(, t), = c, y, 0 (, t) k2, (10) где A постоянная (2 2) гурвицева матрица, b и c постоянные (2 1) векторы, y фазовый вектор.
Е.С. Пятницкий показал, что абсолютная устойчивость нелинейной системы (10) эквивалентна абсолютной устойчивости билинейной системы = Ay + bu(t), = c y = c, y, (11) в классе ограниченных измеримых функций U: 0 u(t) k.
В cилу управляемости пары {A, b} существует линейная замена переменых y = Lx, с помощью которой система вида (11) приводится к так называемой УфробениусовойФ форме 1 = x2, (12) 2 = -( + v(t))x1 - 2( + v(t))x2, k где = -1trA + , = -kb c = -k b, c = (b1c1 + b2c2), 2 4 4 = det A + , |v(t)| 1;
= -k Ab-(trA)b, c = -k(a11b2c2+a22b1c1-a12b2c1-a21b1c2).
2 Теорема 9. Для абсолютной устойчивости колебательной системы (12) необходимо и достаточно выполнения условий Гурвица:
> ||, > (13) и условия Булгакова:
1 2 + exp{-[( + ) + ( - ) ]} < 1, (14) 1 2 - где (-)+2 arcctg, если D(1) < 0, 1 = |D(1)|, 1 = (-)+2+ln, если D(1) > 0, 2 (-)+2-(-)+2 arcctg, если D(-1) < 0, 2 = |D(-1)|, 2 = (-)+2+ln, если D(-1) > 0, 2 (-)+2-D(v) = ( + v)2 - 4( + v), 1 = , если D(1) = 0, = , если D(-1) = 0. 1 Во второй главе метод экстремальных отклонений развивается для неоднородных систем второго порядка: сначала для систем с внешним возмущением, а затем для систем с внешним и аддитивно-параметрическим возмущениями.
Х Методом экстремальных отклонений решена задача анализа точности колебательной системы второго порядка с внешним возмущением 1 = x2, (15) 2 = -kx1 - 2x2 + bv, v() V = {v() : |v()| 1}, и исследована зависимость её решения от начальных условий.
Здесь k > 2, > 0, b > 0 постоянные коэффициенты, v() кусочно непрерывная ограниченная функция.
Цель: найти максимальные возможные отклонения Mi = sup | xi(v, t, x0)| (i = 1, 2), (16) v()V, t[0, ), x0G а также реализующее их наихудшее возмущение и исследовать зависимость решения задачи от начальных условий x0 G, где G - прямоугольник с центром в начале кооординат.
Средство: решение получено с помощью вспомогательной задачи Булгакова с нефиксированным временем:
x1(v, t1, x0) max (17) v()V x1(t0) = -a0 < 0, x2(t0) = 0, x1(t1) = b0 > 0, x2(t1) = 0, x2(t) = 0 t (t0, t1), геометрический смысл которой состоит в том, что ищется максимальный размах колебания координаты x1(v(), t, x0) на ФполупериодеУ между двумя последовательными экстремумами.
Наихудшее возмущение, доставляющее решение задаче (17), найдено в форме обратной связи, т.е. в виде синтезирующей функции, которая получена тем же способом, что и экстремальные управления для ветвей границ траекторных воронок в первой главе. При этом в каждой точке максимум-оптимальной ветви границы траекторной воронки Xv(x), на которой осуществляется решение задачи (17), угловой коэффициент касательной dx2 x1 v = -2 - k + b dx1 x2 xпринимает максимальное значение, из чего следует, что наихудшим будет возмущение v(x) = sign {x2}.
Способ синтеза экстремальных управлений, использующий dxвыражение для углового коэффициента, развит в работах dxА.М. Формальского и Э.К. Лавровского.
Функция v(x) доставляет решение и аналогичной (17) экстремальной задаче:
x1(v, t1, x0) min (18) v()V x1(t0) = b0 > 0, x2(t0) = 0, x1(t1) = -a1 < 0, x2(t1) = 0, x2(t) = 0 t (t0, t1).
Наихудшее возмущение v = sign {x2(t)} кусочно постоянная периодическая функция, частота = k - 2 которой совпадает с частотой собственных колебаний.
В результате последовательного решения задач Булгакова (17), (18) получена экстремальная траектория xv (t, x0) с максимальными амплитудами {ai}, {bi} (i = 0, 1, 2,...) координаты x1(v, t, x0). Между ai и bi имеют место зависимости:
bi = ai + b(1 + )/k, ai+1 = + b(1 - )/k, bi где = exp(-/), = k - 2.
Эти соотношения определяют точечное отображене Пуан- + каре полуоси OX1 (OX1 ) в себя. Неподвижными на прямой переключения OX1 (x2 = 0) будут точки: (-a, 0), (b, 0) где b 1 + exp(-/) b a = b = = cth.
k 1 - exp(-/) k 2 Теорема 10. В системе (15) при воздействии наихудшего возмущения v = sign {x2} устанавливаются автоколебания, которые отображаются на фазовой плоскости устойчивым предельным циклом Cv, проходящим через неподвижные точки (a, 0). Область Qv, ограниченная циклом Cv, это область достижимости системы из любой точки x Qv.
Эта теорема устанавливает связь между теорией автоколебаний и теорией накопления возмущений. Максимально возможные значения функционалов: J1 = cx = c1x + c2, J2 = c1x2 + c22 также достигаюся на предельном цикле Cv.
Параметрические уравнения предельного цикла Cv:
2 exp(-t) b x1(t) = k 1 - sin t + cos t, 1-exp(-/) 2 exp(-t) b x2(t) = 1-exp(-/) sin t, 0 t , = k - 2.
Решение задачи (16) анализа точности системы (15) для любой области G Qv имеет вид b M1 = sup | x1(v, t, x0)| = a = cth, k 2 v()V, t[0, ), x0G (19) 2 exp(- arcctg ) b M2 = sup | x2(v, t, x0)| = .
1 - exp(-/) k v()V, t[0, ), x0G Если начальная точка x0 расположена снаружи замкнутой области Qv, то последовательные максимальные (а вместе с ними и минимальные) амплитуды монотонно убывают. При этом максимум-оптимальная (внешняя) ветвь границы траекторной воронки Xv(x0) наматывается снаружи на предельный цикл Cv, а минимум-оптимальная (внутренняя) ветвь через конечное число полувитков входит внутрь области Qv и заканчивается на особом отрезке Z, т.е. в Узоне залипанияФ.
Траекторная воронка Xv(x0), x0 Qv изображена на рис. 5.
/ Xv(x0) + x0 Cv Qv x Z Рис. 5.
Х Полученные результаты использованы для решения задачи анализа точности линейной системы второго порядка вида = Ay + bv, где A постоянная гурвицева матрица (22) с комплексными собственными числами, b постоянный столбец, пара {A, b} управляема, v() V ограниченное возмущение.
Для этой системы решена аналогичная (16) задача анализа точности, т.е. найдены максимальные возможные отклонения Mi = sup | yi(v, t, y0)| (i = 1, 2) v()V, t[0, ), y0G и реализующее их наихудшее возмущение.
Х Затем метод экстремальных отклонений распространён на решение задачи анализа точности системы второго порядка с внешним и аддитивно-параметрическим возмущениями + 2 + [k + av]x = bv + dw, (20) где v(), w() возмущения разной природы, принадлежащие множеству кусочно непрерывных ограниченных функций:
v(), w() V = {v(), w() : | v() | 1, | w() | 1}.
Постоянные величины , k, a удовлетворяют ограничениям 0 < a < k, 0 < k - a, в силу которых система (20) колебательна. Величину d можно считать неотрицательной.
Требуется найти максимальные возможные отклонения M1 = sup | x(x0, v, t)|, v()V, t[0, ), x0G (21) M2 = sup | (x0, v, t)|.
v()V, t[0, ), x0G и реализующие его наихудшие возмущения.
Для ограниченности максимального отклонения (21) необходимо и достаточно потребовать выполнение критерия (14) абсолютной устойчивости однородного уравнения + 2 + [k + av]x = 0, (22) в классе возмущений v() V. Критерий (14) применительно к уравнению (22) имеет вид k + a exp(-T ) < 1, (23) k - a T = -/-++/+, - = arcctg(/-), - = arcctg(-/+), - = k - a - 2, + = k + a - 2.
Наихудшие для системы (20) возмущения v, w, как и выше, получены в виде обратной связи, т.е. в форме синтеза, который осуществлён тем же способом, что и ранее. В результате найдено, что v = sign {(b - ax)}, w = sign .
Решение задачи анализа точности системы (20) аналогично предыдущему. Остаётся в силе теорема об автоколебаниях в системе (20), предельном цикле и области достижимости.
Резонанс в системе (20) при наличии только внешнего возмущения w() (v() 0) рассмотрен выше в ходе решения задачи анализа точности системы (15). Оценки максимальных отклонений системы (20) при v() 0 получаются из (19) подстановкой величины d вместо b.
Сначала решена задача анализа точности системы (20) под воздействием только наихудшего аддитивно-параметрического возмущения v(x) = sign {(b - ax)} в отсутствие внешнего возмущения (w() 0).
При x < b/a наихудшее возмущение имеет вид v = sign {}.
Возможны две ситуации: предельный цикл Cv может пересекать прямую переключения x = b/a либо не пересекать. Если предельный цикл Cv её не пересекает, то в таком случае задача анализа точности системы (20) имеет аналитическое решение. Использование отображение Пуанкаре полуосей OXи OX+ в себя позволило получить аналитические выражения для неподвижных точек x- и x+, то есть точек пересечения предельного цикла Cv с полуосями OX:
- + b e-T (1 + e-T ) 1 + e-T x- = - +, - + 1 - e-(T +T ) k + a k - a (24) + - + b e-T (1 + e-T ) 1 + e-T x+ = +, - + 1 - e-(T +T ) k - a k + a - + - + где T = /-, T = /+, T + T - период наихудшего возмущения v = sign {(t)}.
Найдены параметрические уравнения предельного цикла Cv, из которых получены аналитические выражения для максимально возможных отклонений координаты и скорости:
M1 = sup | x(x0, v, t)| = max {| x-|, x+}, v, t, x0GQ v (25) M2 = sup | (x0, v, t)| = max {| -|, +}, v, t, x0GQ v где x- и x+ определены формулами (24), а -, + равны:
b - = - k - a x+ + exp(- arcctg ), k-a b + = - k + a x- + exp(- arcctg ).
+ k+a + Этот результат сохраняется и в случае любой области на чальных условий, находящейся внутри предельного цикла Cv.
Исследование обобщённого резонанса при v = v, w = w проводится по той же схеме, что и при v = v, w() 0. Все утверждения и результаты сохраняются с изменениями, состоящими в том, что при b > 0 (b < 0) в полученных формулах следует вместо величины b подставить b+d (b-d). Для максимальных отклонений системы (20) при обобщённом резонансе v = v, w = w остаются справедливыми оценки вида (25).
Х Далее метод экстремальных отклонений использован для робастной стабилизации ограниченным управлением параметрически возмущаемой системы управления второго порядка 1 = x2, (26) 2 = -[1 + v]x1 + u.
Относительно параметрического возмущения v и внешнего управления u предполагается лишь, что это кусочно непрерывные ограниченные функции, ресурсы которых описываются параметрами и :
v() V = {v() : | v() | }; u() U = {u() : | u() | }.
Предложены два способа решения задачи робастной стабилизации: минимаксный и с помощью скользящего режима.
В первом способе в качестве математической модели управления в конфликтной ситуации принята схема позиционных дифференциальных игр. Метод экстремальных отклонений применён к решению двух вспомогательных экстремальных задач с нефиксированным временем, образующих дифференциальную игру: минимаксной и максиминной. Выведены конструктивные необходимые и достаточные условия оптимальности поведения игроков в указанных задачах и доказано существование седловой точки вспомогательной дифференциальной игры. Построена оптимальная минимаксная стабилизирующая стратегия управления. Исследовано поведение на фазовой плоскости экстремальных траекторий, соответствующих решению вспомогательных минимаксной и максиминной задач. Получены следующие результаты.
- В форме синтезирующей функции найдено наихудшее возмущение v(x) = - sign{x1 x2}.
- Если 0 < 1/2, то синтез минимаксного стабилизирующего управления имеет вид:
| x1(ti)| (x) = - sign{x2}, ti : x2(ti) = 0 (i = 0, 1, 2,..., ), при этом найденное управление не использует информацию о величине , ограничивающей ресурс возмущения v() V, то есть является робастным.
- Показано, что в системе (26) при u = (x), v = v(x) существует неустойчивый предельный цикл C, который ограничивает на фазовой плоскости область её робастной стабилизации Q = intC. Точками пересечения цикла C с осью OX1 слу2 жат точки: (a, 0), где a = b =.
- При 1/2 < 2/3 синтез минимаксного робастного стабилизирующего управления имеет вид:
| x1(ti)| (x) = - sign{x2}, ti : x2(ti) = 0 (i = 0, 1, 2,..., ).
При минимаксная робастная стабилизация невозможна.
Второй способ робастной стабилизации основан на использовании свойств систем с переменной структурой, в частности, свойств скользящих движений по линии или поверхности переключений. Из работ С.В. Емельянова и его коллег, А.Ф.
Филиппова, В.И. Уткина и ряда других исследователей известно, что преднамеренное введение в стабилизируемую систему скользящего режима является эффективным средством наделить её желаемыми свойствами. Второй способ позволил построить область робастной стабилизации системы (26) для любых значений - ресурса возмущения v() V. Получены следующие результаты.
- Стабилизирующее робастное управление второго способа стабилизации системы (26) выбрано в форме релейного синтеза -, если s = x2 + x1 > 0, > 0, u(x) = , если s = x2 + x1 < 0, u(0) = 0, который также не использует информацию о величине .
- Среди движений системы (26) при u = u(x), v = v(x) есть скользящее движение, которое происходит вдоль прямой разрыва s = x1 + x2 = 0 релейного управления u(x). Финальная стадия процесса стабилизации всегда происходит в скользящем режиме. Робастное управление u(x) обеспечивает требуемые свойства системы (26) за счёт наличия на прямой его переключения s = 0 отрезка скользящего движения.
- Для траекторной воронки Xv(x0), u = u(x), v() V зона скольжения представляет собой отрезок A1A2 : x2 + x1 = 0, | x1| , (1 + + 2) служащий отрезком скольжения для максимум-оптимальных ветвей её границы.
- В системе (26) при u = u(x), v = v(x) также существует неустойчивый предельный цикл C, ограничивающий на фазовой плоскости область робастной стабилизации Q = intC системы (26), рис. 6.
XC Aa X -a As = Q Рис. 6.
- Точки (a, 0) пересечения предельного цикла C с осью 2 OX1 определяются по формулам: a 1 -.
(2+3+32) В частности, получено, что если 0 < 2/3, то область робастной стабилизации Q системы (26), построенная с помощью релейного робастного регулятора u(x), находится внутри области Q, полученной выше для данного случая посредством минимаксного закона управления (x).
- Если 0, то a a, то есть C C.
- Результат исследования влияния величины параметра , ограничивающего ресурс возмущения v() V, на структуру области робастной стабилизации Q системы (26), отвечающей релейному стабилизирующему управлению u = u(x), представлен на рис. 7.
XXC A1 Aa XX - -a -1 AAs = s = Q Q = 2 + 2/0 < X2 X A1 A XX-- --1 A2 s = AQ Q s = < > = 2 + 2 + 1 + Рис. 7.
В третьей главе положения метода экстремальных отклонений распространены на системы третьего порядка с параметрической неопределённостью, описываемые дифференциальными уравнениями с коэффициентами нелинейно зависящими от произвольного ограниченного возмущения:
1 = x2, 2 = x3, (27) 3 = -r(v)x1 - q(v)x2 - p(v)x3, v() V = {v() : |v()| 1}, где v() V возмущение, о котором известно лишь, что оно измеримо и ограничено; функции p(v), q(v), r(v) таковы, что для уравнений (27) с любой начальной точкой x(t0) = x0 и любым возмущением v() V, t t0 выполняются условия Каратеодори существования и правосторонней единственности решения, например, p(v), q(v), r(v) кусочно непрерывны по v [-1, 1], кроме того, удовлетворяют некоторым условиям, сформулированным в процессе исследования.
Цель состоит в получении критерия абсолютной устойчивости системы (27) с функциональным включением в классе V.
Необходимыми для абсолютной устойчивости системы (27) будут обобщённые условия Гурвица min r(v) > 0, min q(v) > 0, min [p(v)q(v)-r(v)] > 0. (28) v[-1,1] v[-1,1] v[-1,1] Доказано следующее утверждение.
емма 1. В условиях (28) не стремиться к нулю могут только те решения системы (27), которые бесконечное число раз пересекают II или IV четверть плоскости x2 = 0.
Получен аналитический критерий абсолютной неколебательности по производной 1 = x2 системы (27), смысл которого состоит в том, что при всех постоянных v [-1, 1] собственные значения матрицы системы (27) должны быть действительными, а области их значений не должны пересекаться.
Т е о р е м а 11. Для абсолютной неколебательности по производной 1 = x2 системы (27), (28) необходимо и достаточно выполнения неравенств:
а) max D(v) 0, v[-1,1] б) max 1(v) min 2(v), (29) v[-1,1] v[-1,1] в) max 2(v) min 3(v), v[-1,1] v[-1,1] где -3(v) -2(v) -1(v).
Для абсолютно неколебательной по производной 1 = xсистемы (27) критерием её абсолютной устойчивости служат условия Гурвица (28), то есть проблема М.А. Айзермана также имеет положительное решение.
Для колебательной по производной 1 = x2 системы (27), (28) корректна задача Булгакова о максимальном отклонении с нефиксированным временем:
[x2(v(), T1, x0) + x2(v(), T1, x0)] max, 1 v()V (30) x0() : (x1(t0) = cos , x2(t0) = 0, x3(t0) = - sin ), где 0 0 < , T1 = T1() первый после t0 нуль координаты x2(v(), t, x0()).
Для отыскания наихудшего возмущения v использован принцип максимума Понтрягина. Показано, что для нелинейных по v функций p(v), q(v), r(v) остаётся в силе предложенная В.В. Александровым для линейного случая процедура сведения задачи Булгакова (30) к задаче Коши для системы дифференциальных уравнений шестого порядка, образованной уравнениями исходной и сопряжённой систем. Эта система осуществляет отображение дуги E единичной полуокружности в нижней полуплоскости x2 = 0, где E :
x1 = cos , x2 = 0, x3 = - sin , 0 0 в непрерывную кривую GE в верхней полуплоскости x2 = 0.
В момент T1() попадания решения задачи Коши на верхнюю полуплоскость x2 = 0 определена функция () :
= arcctg -x (v, T1(), x0()) с областью определения [0, ] x3(v, T1(), x0()) и областью значений [0, 0], где 0 = (0), 0 . Функция () непрерывна и монотонно убывает от 0 до 0.
Возможны только следующие три случая:
a) 0 = 0, 0 < ; b) 0 = 0, 0 = ; c) 0 > 0, 0 = .
В результате решения задач Коши определяются наихудшие возмущения v(t) для всех 0 0 , а также кривая GE и график функции (), то есть устанавливается () отображение E - GE. Возможный вид графиков функций () в трёх указанных случаях a), b), c) представлен на рис. 8.
0 = 0 = = = = () () () 0 1 2 3 0 0 1 2 3 1 2 a) b) c) Рис. 8.
Через , на рис. 8 обозначены абсциссы пар точек гра1 фиков, симметричных относительно биссектрисы = .
() Использование отображения E - GE с учётом симметричности поля фазовых скоростей системы (27) позволило получить отображение Пуанкаре дуги E единичной полуокружности в нижней полуплоскости x2 = 0 в её образ PE в этой же =f() полуплоскости. Отображение E - PE описывается функ--цией последования = f(), которая представляет собой суперпозицию: f() = [()]. Графики функций последования = [()], соответствующие изображённым на рис. 8 графикам (), представлены на рис. 9.
= [()] = [()] = = = = [()] () () () 0 1 2 3 0 0 1 2 3 1 2 a) b) c) Рис. 9.
График функции последования = [()], полученный в результате решения задач Коши для системы дифференциальных уравнений шестого порядка при всех [0, ], и биссектриса = названы диаграммой типа диаграммы Ламерея. Она позволяет найти неподвижные точки ,..., 1 k отображения Пуанкаре, рис. 9. Неподвижным точкам ,..., 1 k соответствуют инвариантные направления лучи li : = - i в нижней полуплоскости x2 = 0. Совокупность инвариантных точек (лучей) обозначена через = {}k.
i Для устранения возможности параметрического резонанса в колебательной системе (27), (28) введено условие Булгакова:
0 max [x2(v, T2(), x0()) + x2(v, T2(), x0())] < 1, 1 i i 3 i i i i i (31) x1(t0) = cos , x2(t0) = 0, x3(t0) = - sin , i i где = {}k множество инвариантных точек (направлеi 0 ний), v = v (t) наихудшее возмущение, T2() 2-ой i i i после t0 нуль функции x2(v, t, x0()).
i i Теорема 12. Для абсолютной устойчивости системы третьго порядка (27) с параметрической неопределенностью необходимо и достаточно выполнения условия Гурвица (28) и одного из двух дополнительных условий: либо условия абсолютной неколебательности (29), либо условия Булгакова (31).
Полученные результаты применены для решения задачи об абсолютной устойчивости нелинейной системы третьего порядка с секторной неопределённостью вида (10), которая эквивалентна задаче об устойчивости билинейной системы (11).
Разработанный метод экстремальных отклонений может использоваться для решения широкого круга задач теории колебаний и робастной устойчивости. В силу близости понятий динамической точности систем с неопределённостью и динамической устойчивости упругих систем он примен для им исследования колебаний систем с распределёнными параметрами. В качестве примера практического использования метод применён в главе 4 для анализа колебаний трубопровода, вызванных пульсацией давления транспортируемой в нём среды.
В четвёртой главе изучаются вынужденно-параметрические поперечные (изгибные) колебания шарнирно закреплённого горизонтального участка П-образного трубопроводного элемента типичного для системы технологических трубопроводов обвязки нагнетатающих агрегатов комрессорных или перекачивающих станций, рис. 10.
fp pFf fp = 2pFf x pFf l h Рис. 10.
В поворотах трубопровода возникают создаваемые транспортируемым потоком сосредоточенные усилия fp = 2pFf, где p - давление, Ff - площадь внутреннего сечения трубы.
Вынужденно-параметрические колебания конструкции возникают вследствие пульсации давления p(t) движущейся среды.
Учёт влияния усилий fp, сосредоточенных в поворотах, на колебания горизонтального участка производится, согласно известному принципу механики, мысленным разрезанием трубопровода на опорах, отбрасыванием прилегающих частей и заменой их действия на исследуемый сегмент силами реакции.
В качестве расчётной схемы горизонтального участка изучаемой П-образной трубопроводной конструкции принимается трубопровод-балка, шарнирно закреплённая по торцам, нагруженная в опорных сечениях переменными изгибающими моментами M0(t), Ml(t) и растягивающими осевыми (продольными) силами N(t), рис. 11.
M0 Ml N N l Рис. 11.
Определение сил и моментов в опорных сечениях трубопровода в результате статического расчёта конструкции при постоянном давлении среды показало, что изгибающие моменты и осевые силы описываются линейными функциями от сосредоточенных в поворотах усилий fp, то есть от давления p0. В работе принята гипотеза квазистатики, состоящая в том, что при пульсации давления p(t) для сил и моментов в опорных сечениях изучаемого участка линейный характер зависимости от переменного давления сохраняется:
M0(t) = M0 + 0hp(t)Ff, Ml(t) = Ml0 + lhp(t)Ff, N(t) = N0 + Np(t)Ff.
В этих представлениях составляющие M0, Ml0, N0 изгибающих моментов и осевой силы, а также коэффициенты пропорциональности 0, l, N постоянны и зависят от геометрических и жесткостных характеристик конструкции. Эти параметры M0, Ml0, N0 и 0, l, N, характеризующие влияние боковых стоек, определены в результате вычисления статических значений изгибающих моментов и осевой силы сначала при p = 0, а потом при p = p0 путём статического расчёта трубопроводной конструкции.
Рассмотрена механико-математическая модель, описывающая напряжённо-деформированное состояние и вынужденнопараметрические изгибные колебания изучаемого трубопровода-балки как сегмента рассматриваемой П-образной трубопроводной конструкции. Модель учитывает воздействие на сегмент его веса, пульсирующей транспортируемой среды, а также соседних участков и представлена в следующем виде:
4w 2w w 2w EJ + [mf2 + pFf - N] + + m = -mg, (31) x4 x2 t t2w w(x, t) |x=0= 0, EJ |x=0= M0(t), x(32) 2w w(x, t) |x=l= 0, EJ |x=l= Ml(t) xp(x, t) = p0 + p(x, t), N(x, t) = N0 + Np(x, t)Ff, (33) M0(t) = M0 + 0hp(t)Ff, Ml(t) = Ml0 + lhp(t)Ff, где E - модуль Юнга материала трубы, J - момент инерции поперечного сечения трубы, EJ - его жёсткость на изгиб, Ff - площадь внутреннего сечения, mf, mp - удельные массы среды и трубы, m = mf + mp - суммарная удельная масса, w(x, t) - перемещение осевой линии трубопровода, p(x, t) = p0 + p(x, t) - давление среды: p0 - среднее значение, p(x, t) - пульсации давления, (x, t) = 0 +(x, t) - скорость среды, N(x, t) - продольная сила, [mf2(x, t) + p(x, t)Ff - N(x, t)] = S - эквивалентное продольное усилие, - коэффициент эквивалентного вязкого демпфирования.
Из-за несинхронности работы нагнетателей и высокой турбулезации нагнетаемого потока давление транспортируемой среды в каждом сечении рассматриваемого сегмента трубопровода считается возмущением, о котором известно лишь, что оно принадлежит классу кусочно непрерывных ограниченных функций времени: p(x, t) = p0 + p(t), |p(t)| p.
Наибольший вклад в величины усилий fp в поворотах трубы вносится давлением потока, поэтому пульсация скорости не учитывается: (x, t) 0.
Для решения сформулированной неоднородной нестационарной краевой задачи (31)Ц(33) об изгибных колебаниях шарнирно закреплённого по торцам трубопровода-балки, нагруженного в опорных сечениях переменными изгибающими моментами и осевыми силами, использована модификация метода Фурье, предложенная Г.А. Гринбергом. Решение уравнения (31) с граничными условиями (32) ищется в виде ряда Фурье w(x, t) = Zn(t)Xn(x), (34) n=где Xn(x) фундаментальные функции формы, Zn(t) функции времени, подлежащие определению. Скорость V, изгибающий момент M и изгибное напряжение связаны с перемеw щением w(x, t) известными соотношениями: V =, t 2w MD M = EJ, =, где D внешний диаметр трубы.
x2 2J Собственными формами колебаний в однородной задаче служат синусоиды sin(nx), а собственные частоты равны:
l n EJ S0 l n = 1 -, (n = 1, 2,... ).
l m EJ n В качестве фундаментальных функций в (34) надлежит взять Xn(x) = sin(nx), при этом неизвестные функции вреl мени Zn(t) (коэффициенты Фурье) определятся выражениями l 2 nx Zn(t) = w(x, t) sin( )dx. (35) l l После умножения обеих частей уравнения (31) на sin(nx) l l и интегрирования по x от 0 до l, с учётом граничных условий (32) и выражений (35) для неизвестных коэффициентов Zn(t), получены независимые обыкновенные дифференциальные уравнения, названные амплитудными уравнениями:
0 p mZn+n+[kn+knp(t)]Zn = Bn+bpp(t), (n = 1, 2,... ), (36) n 0 p где kn, kn, Bn, bp выражены через параметры конструкции.
n При p(t) 0 уравнения (36) имеют частные стационар0 0 0 0 ные решения Zn(t) Zn, где Zn = Bn/kn. При этом Zn оказываются коэффициентами ряда Фурье по синусам, описывающего кривую статического прогиба трубопровода.
После замены переменнных Zn = Zn + zn, p(t) = -pv(t), где функция |v(t)| 1 с неполным описанием соответствует пульсации давления транспортируемой среды, получены амплитудные уравнения в отклонениях от стационарных состояний Zn, описывающие амплитуды вынужденно-параметрических колебаний трубопровода по n-ой моде относительно линии статического прогиба:
zn + 2n + [kn + anv]zn = bnv, (n = 1, 2,...), (37) 0 p где = /2m, kn = kn/m, an = knp/m, bn = bpp/m, n v() V = {v() : | v() | 1} кусочно непрерывные функции.
Уравнения (37) независимы по zn, но связаны аддитивнопараметрическим возмущением v(). Для устойчивости по Ляпунову вынужденных решений амплитудных уравнений (37) необходимо и достаточно, чтобы однородные уравнения zn + 2n + [kn + anv]zn = 0, (n = 1, 2,... ) (38) были абсолютно устойчивыми в классе V. Это требование необходимо для динамической устойчивости трубопровода. Достаточным будет условие малости максимальных отклонений от нуля вынужденных решений амплитудных уравнений (37). Поэтому для отыскания достаточных условий динамической устойчивости трубопровода требуется решить задачу Булгакова анализа динамической точности амплитудных уравнений (37).
Таким образом, анализ динамической устойчивости трубопровода, колебания которого описываются уравнением (31) с нестационарными граничными условиями (32), отыскание наиболее опасных пульсаций давления транспортируемой среды и расчёт динамического отклика на них редукцией уравнения (31) сводятся к аналогичным задачам для счётной совокупности амплитудных уравнений в отклонениях (37).
Метод экстремальных отклонений позволяет получить доведённые до инженерных формул решения сформулированных задач: осуществить синтез экстремальных возмущений, то есть худших для каждой моды колебаний пульсаций давления среды, и определить максимальные амплитуды колебаний, виброскорости и изгибного напряжения.
Критерий (14), (23) абсолютной устойчивости каждого однородного уравнения (38) установлен в главе 1 и имеет вид:
kn + | an| n e-T < 1, (n = 1, 2,... ) (39) kn - | an| - + n n - + Tn = +, n = arcctg, n = arcctg, - + - + n n n n - + n = kn - | an| - 2, n = kn + | an| - 2, - + при этом | an| kn (n = 1, 2... ), а величины n, n, n практически совпадают друг с другом.
Из неравенств (39) получено необходимое условие динамической устойчивости изучаемого участка трубопровода:
EJm p <.
Ff| 1 - N| Из главы 2 с учётом | an| kn следует, что экстремаль ными для уравнений (37) будут возмущения: vn = sign n.
Им отвечают колебания в системах (37) с максимальной воз можной амплитудой, то есть vn худшие для каждого тона колебаний исследуемого участка пульсации давления среды.
Далее в главе 4 исследованы характеристики вынужденных решений n-го (n = 1, 2... ) амплитудного уравнения (37), отвечающие воздействию различных экстремальных возмущений vr = sign r (r = 1, 2,... ). Через Anr (n, r = 1, 2,... ) обозначены соответственные амплитуды установившихся периодических колебаний, имеющих ту же частоту, что и вынуждающее воздействие vr = sign rr(t), которое для n-го уравнения будет низкочастотным при r < n и высокочастотным при r > n.
Установлено, что, согласно теореме о малом параметре, вынужденные решения амплитудных уравнений (37) практически совпадают с решениями УукороченныхФ уравнений, полученных из (37) при an = 0.
Резонансные колебания в случае r = n, v = vr решений укороченных (при an = 0) уравнений (37) изучены в главе 2.
Показано, что при r = n, v = vr в системах (37) устанавливаются автоколебания, которым на фазовых плоскостях (zr, r) соответствуют устойчивые предельные циклы. Получены их параметрические уравнения и формулы для амплитуды Arr, виброскорости Vrr и частоты r = kr - 2 r автоколебаний (r = 1, 2... ):
2 exp(- arcctg ) br 1 + exp(- ) b r r r Arr =, Vrr = r.
kr 1 - exp(- ) 1 - exp(- ) kr r r (40) Использование выражений для kr, br через параметры трубопроводной конструкции и учёт соотношений r приводит к приближённым формулам для амплитуд резонансных колебаний и виброскорости 4| 0 - (-1)rl|hFfp 4r| 0 - (-1)rl|hFfp Arr , Vrr .
mlr2 EJm (41) Численные значения амплитуд колебаний и виброскорости, определяемые формулами (40), (41), практически совпадают.
В результате анализа периодических колебаний, установившихся при воздействии как низкочастотных (r < n), так и вы сокочастотных (r > n) возмущений vr = sign rr(t), найдены аналитические выражения для их амплитуд Anr:
2nr| 0 - (-1)nl|hFfl2p Anr , n33EJ где величины nr выражены через параметры kr, br.
Доказано, что знакоположительный ряд Anr сходится, n=при этом амплитуда Arr резонансных колебаний главный член ряда, так как вносит подавляющий вклад в его сумму.
Периодические колебания изучаемого участка трубопровода, установившиеся при действии экстремального возмущения vr = sign rr(t) представлены рядом Фурье nx p p wr(x, t) = znr(z, vr, t) sin, (42) nr l n=p где функции znr(z, vr, t) определяются формулой Коши.
nr p nx В силу неравенств |znr(z, vr, t) sin | Anr ряд из моnr l дулей членов ряда (42) мажорируется сходящимся знакополо жительным числовым рядом Anr. Тем самым доказано, что n=ряд Фурье (42) сходится абсолютно, а его резонансное слагаеp rx мое zrr(z, vr, t) sin по аналогии с главным членом Arr маr l жорантного ряда Anr может быть принято за главный член n=ряда (42). Величина главного члена ряда будет наибольшей при совпадении частоты периодической релейной пульсации давления среды с частотой низшей моды.
Утверждение о допустимости одночленной аппроксимации суммы ряда Фурье (42) распространено и на динамические составляющие изгибающего момента и изгибного напряжения:
4r| 0 - (-1)rl|hFfp EJ rx p max | Mr (x, t)| | sin |, (43) t l2 m l 2r| 0 - (-1)rl|DhFfp E rx p max | r(x, t)| | sin |. (44) t l2 Jm l Достаточное условие динамической устойчивости трубопровода имеет вид p Arr A, Vrr V, max | r(x, t)| , (r = 1, 2,...), (45) r r r t p где Arr, Vrr, max |r(x, t)| определены в (41) и (44).
t Из неравенств (45) определяются предельно допустимые в смысле динамической устойчивости значения параметров трубопроводной конструкции, например, амплитуда пульсации давления транспортируемой среды.
Результат исследования установившихся колебаний трубопровода представлен в виде бесконечной матрицы реакции R = (Anr), (n, r = 1, 2,... ), элементами r-го столбца которой служат члены ряда Anr, мажорирующего ряд Фурье (42).
n=Проведен численный расчёт П-образной трубопроводной конструкции при следующих значениях геометрических, жесткостных и динамических параметров:
l = 6 [м], H = 3 [м], сортамент труб 720 11.3 [мм], D = 0.72 [м], h = D = 0.72 [м], Ff = 0.3848 [м2], E=205000 [МПа], J=0.00155 [м4], EJ=318.36 [МНм2], плотность стали p = 78[кг/м3], плотность среды (газа) f=50 [кг/м3], m = mp + mf = 210.89 [кг/м], среднее давление p0=7.5 [МПа], амплитуда пульсаций давления p=3750 [Па], скорость газа 0=13 [м/сек], коэффициент демпфирования = 0.1.
Расчёт показал, что матрица реакции R = (Anr) имеет вид:
0.000763 5.47 10-9 7.01 10-10...
4.02 10-6 0.000254 2.43 10-9...
.
R = (Anr) = 2.34 10-7 1.11 10-8 0.000152...
............
Для динамических составляющих изгибного напряжения p l l r(x, t) при r = 1, x = и x = имеют место оценки:
2 p p l l max |1(2, t)| = 15, 46 [Мпа], max |1(4, t)| = 10, 93 [Мпа].
t t В настоящее время отсутствуют публикации, посвящённые отысканию экстремальных пульсаций давления среды в трубопроводах и расчёту соответствующей динамической реакции, что позволяет получить аналитические условия динамической устойчивости трубопроводов и выражения для максимальных амплитуд колебаний, виброскорости и изгибного напряжения, по которым производится нормирование вибрации.
В приложение вынесены доказательства некоторых утверждений.
ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ И ВЫВОДЫ 1) Разработан метод экстремальных отклонений для анализа экстремальных режимов динамических систем второго и третьего порядка с нестационарной неопределённостью. Метод позволяет получать доведённые до формул в терминах параметров систем или легко проверяемые результаты решения задач анализа колебательности, абсолютной устойчивости и неустойчивостии, робастной стабилизации и динамической точности систем. Метод состоит из двух этапов:
- анализ поведения траекторий систем на фазовой плоскости и в фазовом пространстве, разделение систем в форме аналитических критериев на абсолютно неколебательные и колебательные разных типов;
- анализ экстремальных режимов колебательных систем на основе решения задачи Булгакова об экстремальном отклонении с нефиксированным временем.
2) При разработке метода решены следующие задачи:
- впервые в форме аналитических критериев произведена классификация двумерных систем с нестационарной параметрической неопределённостью по осцилляционным свойствам их решений, что позволяет говорить о возможности классификации многомерных систем по признаку колебательности;
- дифференциально-геометрическим способом осуществлён синтез экстремальных возмущений для двумерных систем с внешними или/и параметрическими возмущениями;
- построены траекторные воронки двумерных систем управления с параметрическими или/и внешними возмущениями;
- установлены аналитические критериии абсолютной устойчивости, неустойчивости и управляемости двумерных систем с параметрической неопределённостью, выявлены связи между указанными динамическими свойствами: абсолютно неколебательные системы не вполне управляемы, а критерий полной управляемости колебательных систем следствие критериев абсолютной устойчивости и полной неустойчивости;
- получены аналитические решения задач анализа динамической точности систем управления второго порядка с внешними или/и параметрическими возмущениями, найдены устойчивые предельные циклы, ограничивающие области достижимости систем, устанавлена связь между теорией автоколебаний и теорией накопления возмущений;
- разработаны два способа робастной стабилизации параметрически возмущаемой системы второго порядка: минимаксный и основанный на использовании скользящего режима, найдены неустойчивые предельные циклы, ограничивающие области робастной стабилизации;
- установлен аналитический критерий абсолютной неколебательности одномерных систем третьего порядка с параметрической неопределённостью по первой производной их решений и произведена классификация систем по этому признаку.
3) Методом экстремальных отклонений в комбинации с принципом максимума Понтрягина получен конструктивный критерий абсолютной устойчивости систем третьего порядка с параметрической неопределённостью.
4) Метод экстремальных отклонений примен для аналиим за экстремальных режимов широкого класса систем с неопределённостью, в том числе, систем с распределёнными параметрами. В качестве примера его использования проведено исследование динамической устойчивости упругой системы трубопровода с пульсирующей транспортируемой средой. Впервые разработана методика нахождения экстремальных пульсаций давления среды. Установлены аналитические условия динамической устойчивости, найдены выражения для максимально возможных амплитуд изгибных колебаний, виброскорости и изгибного напряжения, по которым производится нормирование вибрации. Это иллюстрирует возможность применения результатов, полученных в работе, к к решению задач анализа экстремальных режимов реальных систем, не ограниченных двумерным или трёхмерным фазовым пространством.
СПИСОК ПУБЛИКАЦИЙ ПО ТЕМЕ РАБОТЫ 1. Александров В.В., Жермоленко В.Н. Об абсолютной устойчивости систем второго порядка // Вестник МГУ. Серия 1.
Математика, механика. 1972. № 5. С. 102-109.
2. Александров В.В., Жермоленко В.Н. Критерий абсолютной устойчивости систем третьего порядка // Доклады АН СССР.
1975. Т. 222. № 2. С. 309-311.
3. Жермоленко В.Н. К задаче Б.В. Булгакова о максимальном отклонении колебательной системы второго порядка // Вестник МГУ. Серия 1. Математика, механика. 1980, № 2. С.
87-91.
4. Александров В.В., Жермоленко В.Н. Минимаксная стабилизация параметрически возмущаемой колебательной системы// Вестник МГУ. Серия 1. Математика, механика. 1998.
№ 6. С. 40-43.
5. Жермоленко В.Н. Робастная стабилизация параметрически возмущаемой системы второго порядка// Автоматика и телемеханика. 2001. № 2. с 122-134.
6. Жермоленко В.Н. Колебательность двумерных билинейных систем // Автоматика и телемеханика. 2005. № 9. С. 27-39.
7. Жермоленко В.Н. Особые множества и динамические свойства билинейных систем управления // Фундаментальная и прикладная математика. 2005. Т. 11. Вып. 8. С. 105-117.
8. Жермоленко В.Н. Траекторные воронки двумерных билинейных систем управления // Известия РАН. Теория и системы управления 2006. № 2. С. 29-42.
9. Жермоленко В.Н. Фазовые портреты двумерных билинейных систем управления // Известия РАН. Теория и системы управления. 2006. № 3. С. 13-23.
10. Жермоленко В.Н. Периодические движения и критерии абсолютной устойчивости, неустойчивости и управляемости двумерных билинейных систем // Автоматика и телемеханика. 2006. № 8, С. 12-35.
11. Жермоленко В.Н. Максимальное отклонение колебательной системы второго порядка с внешним и параметрическим возмущениями // Известия РАН. Теория и системы управления. 2007. № 3. С. 1-6.
12. Жермоленко В.Н. Применение метода экстремальных отклонений к исследованию вынужденно-параметрических изгибных колебаний трубопроводов // Автоматика и телемеханика. 2008. № 9, С. 10-33.
13. Александров В.В., Жермоленко В.Н. Абсолютная устойчивость параметрически возмущаемых систем третьего порядка // Автоматика и телемеханика. 2009. № 8, С. 20-40.
14. Александров В.В., Жермоленко В.Н. Минимаксная стабилизация колебательной системы второго порядка // Тезисы докладов XI Международного семинара им. И.Г. Петровского: Дифференциальные уравнения и их приложения. М:, МГУ, 20-24 января 1998 г. С. 34.
15. Александров В.В., Жермоленко В.Н. Игровая стабилизация параметрически возмущаемой системы второго порядка // Труды V Международного семинара: Устойчивость и колебания нелинейных систем управления. М:, ИПУ РАН. Москва, 3-5 июня 1998 г. С. 5.
16. Жермоленко В.Н. Стабилизация параметрически возмущаемой системы второго порядка с помощью скользящего режима. Тезисы докладов V Международного семинара: Устойчивость и колебания нелинейных систем управления. М:, ИПУ РАН, 3-5 июня 1998 г. С. 78-79.
17. Жермоленко В.Н. Робастная устойчивость параметрически возмущаемых билинейных систем. Тезисы докладов VII Международного семинара: Устойчивость и колебания нелинейных систем управления. М:, ИПУ РАН, 22-24 мая 2002г. С.
162-164.
18. Жермоленко В.Н. Периодические движения и критерии абсолютной устойчивости, неустойчивости и управляемости двумерных билинейных систем. Тезисы докладов VIII Международного семинара: Устойчивость и колебания нелинейных систем управления. М:, ИПУ РАН, 1-2 июня 2006 г. С. 84-86.
19. Жермоленко В.Н., Поляков В.А. Параметрическое возбуждение вибрации трубопроводных систем транспортируемым потоком. Тезисы докладов VIII Международного семинара: Устойчивость и колебания нелинейных систем управления. М:, ИПУ РАН, 31 мая-2 июня 2006 г. С. 86-89.
20. Жермоленко В.Н. Предельные циклы на фазовой плоскости // В кн. Задача Булгакова о максимальном отклонении и её применение. М:, МГУ, 1993. с. 35-48.
21. Жермоленко В.Н., Гонсалес Мастрапа Г., Хинг Кортон Р.
Абсолютная устойчивость двумерных систем // В кн. Задача Булгакова о максимальном отклонении и её применение. М:, МГУ, 1993. С. 57-80.
22. Жермоленко В.Н. Анализ точности управляемых динамических систем. М:, МИНГ им. И.М. Губкина. 1990. 58 с.
23. Жермоленко В. Н. Абсолютная устойчивость одного класса систем третьего порядка.//М:, Сборник научных работ молодых учёных и аспирантов. Институт механики МГУ. 1973.
№ 1. С. 160-168.
24. Александров В. В., Жермоленко В. Н. Абсолютная устойчивость систем третьего порядка с нелинейным нестационарным элементом //М:, Труды Института механики МГУ. 1975.
№ 40. С. 48-64.
25. Александров В.В., Жермоленко В.Н., Харченко К.И. Стабилизация параметрически возмущаемой системы второго порядка // Труды РГУ им. И.М. Губкина. 1996. с 68-79.
26. Zhermolenko V.N., Hing Corton R. Estabilidad absoluta de los sistemas de control automatico de segundo orden con coeficientes variables // Investigationes operationales. Universidad de la Havana.
1979. № 28. P. 39-54.
27. Zhermolenko V.N., Gonzales Mastrapa H. Sobre el ciclo limite en el problema de la desviacion maxima de un sistema de segundo orden // Investigationes operationales. Universidad de la Havana.
1979. № 28. P. 55-68.
28. Zhermolenko V.N., Gonzales Mastrapa H. Oscilaciones de los sistemas lineales de segundo orden con perturbaciones parametricas // Revista ciencias matematicas. La Havana. Cuba. 1982. vol. III, № 3. P. 111-129.
29. Zhermolenko V.N., Gonzales Mastrapa H., Bustamante J.
Sobre la desviacion maxima de los soluciones de los sistemas lineales de segundo orden con perturbaciones parametricas // Revista ciencias matematicas. La Havana. Cuba. 1983. vol. I, № 1.
P. 51-62.
30. Zhermolenko V.N., Gonzales Mastrapa H. Estabilidad absoluta de los sistemas lineales de segundo orden con perturbaciones parametricas // Revista ciencias matematicas. La Havana. Cuba. 1983.
vol. I, № 3. P. 3-24.
Вклад автора в совместные публикации.
[1] - аналитические критерии абсолютной неколебательности и абсолютной устойчивости систем второго порядка с секторной неопределённостью; [2, 24] - леммы о поведении в фазовом пространстве траекторий систем третьего порядка с секторной неопределённостью, критерии абсолютной неколебательности и абсолютной устойчивости неколебательных систем; [13] - результаты В.В. Александрова в [2, 24] для колебательных систем уточнены с помощью отображения Пуанкаре и распространены на случай параметрически возмущаемых систем третьего порядка с произвольной зависимостью коэффициентов систем от возмущения; [2, 14, 15, 25] - анализ поведения траекторных воронок, критерий существования седловой точки дифференциальной игры, синтез минимаксного робастного стабилизирующего управления; [19] - разработка и применение метода экстремальных отклонений к исследованию колебаний трубопроводов; [21, 26-30] - постановка задач, идеи и методы доказательств утверждений.
Авторефераты по всем темам >>
Авторефераты по техническим специальностям