Авторефераты по всем темам >>
Авторефераты по разное
На правах рукописи
Носков Геннадий Андреевич
Алгоритмические и метрические проблемы в теории бесконечных групп
01.01.06 - Математическая логика, алгебра и теория чисел
АВТОРЕФЕРАТ
диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук
Омск - 2010
Работа выполнена в Омско м филиале Инстит ута Мате ма т ики им. С. Л. Собо лева СОРАН.
Официальные оппоненты:
д. ф. -м. н, профессор, Ро мановский Ни ко лай Се мёнович д. ф. -м. н, профессор, Саркисян Рафаэль Арташесович д. ф. -м. н, профессор, Тимошенко Евгений Иосифович
Ведущая организация: Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова
Защита состоится 28-го апреля 2011 года в 16.00 часов на заседании диссертационного совета ДМ 212.179.07 при Омском государн ственном университете им. Ф. М. Достоевского, расположенном по адресу:
пр. Мира,55-А, г.Омск, 644077.
С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Омского государственного университета им. Ф.М. Достоевского.
Автореферат разослан 27-го декабря 2010 года.
Ученый секретарь диссертационного совета, к.ф.-м. н, доцент Семёнов А. М.
Общая характеристика работы
Актуальность работы. В 1912 году М.Дэн сформулировал три фундан ментальные алгоритмические проблемы теории групп: проблема равенства, проблема сопряженности и проблема изоморфизма. Эти проблемы играют важную роль и в современной геометрической теории групп, являясь мерой сложности различных классов групп. Отметим, что проблема сопряженнон сти содержит в себе проблему равенства, так как сопряженность единичному элементу равносильна его тривиальности. Проблемы сопряженности и изон морфизма, понимаемые в широком смысле, также связаны между собой. Нан пример, сопряженность матриц над некоторым кольцом эквивалентна изон морфности определенного типа модулей над кольцом многочленов. В свою очередь, проблема изоморфизма модулей ранга 1 над коммутативным целостн ным кольцом A может быть сведена к проблеме равенства в группе Пикара кольца A.
Мотивация к изучению проблем М.Дэна исходит из алгебраической тон пологии. Проблеме равенства для фундаментальной группы топологического пространства T соответствует топологическая проблема: стягиваема ли данн ная замкнутая петля в T ? Сопряженность элементов в группе 1(T ) соответн ствует свободной гомотопности двух замкнутых петель. Наконец, решение проблемы изоморфизма для фундаментальных групп дает метод для разлин чения пространств (проблема гомеоморфизма).
В работе М.Дэна первые две проблемы были решены для фундаментальн ных групп компактных поверхностей. Но только в 1968 году Ф.Вальдхаузен сумел доказать разрешимость проблемы равенства для групп узлов, и пон надобилось еще 22 года, прежде чем З.Села (1993) доказал разрешимость проблемы сопряженности.
Принципиальное решение проблем Дэна было получено благодаря прон никновению в теорию групп идей и методов математической логики. Одн ним из величайших достижений математики двадцатого века является устан новление точного смысла понятия лалгоритм. В 1936 г. были практически одновременно опубликованы работы А.Чёрча, С.К.Клини, А.М.Тьюринга и Э.Л.Поста, в которых эта проблема была решена. Появление первых результан тов о неразрешимости привело к идее о том, что фундаментальные проблемы М.Дэна рекурсивно неразрешимы. В частности, оказалось, что существует конечно заданная группа с неразрешимой проблемой равенства. Полное и ден тальное доказательство этой теоремы было опубликовано ак. П.С.Новиковым в 1955 году. Вскоре после этого ак. С.И.Адян доказал неразрешимость проблен мы изоморфизма любой данной конечно определенной группе. Неразрешимость сопутствующей проблемы гомеоморфизма n-мерных топологических многообразий при n 4 доказал А.А.Марков (1958).
В многообразии всех абелевых групп A все проблемы Дэна и многие друн гие имеют очевидное положительное решение. Поэтому естественным предн ставляется вопрос об алгоритмических проблемах для разрешимых групп.
Проблема равенства для разрешимых групп. Проблема равенства решан ется положительно в классе полициклических групп ввиду их матричной представимости. В силу теоремы Ф.Холла (1954) конечно порожденная мен табелева группа финитно аппроксимируема, поэтому проблема равенства в многообразии A2 решается положительно. Прямой алгоритм для проблемы равенства в A2 указал Е.И.Тимошенко (1973). Проблема равенства в многообн разии ZA2 центрально-метабелевых групп решена положительно Н.С.Романовским (1982). Результат затем был усилен О.Г.Харлампович (1987), докан завшей, что в многообразии N2A, как и в любом его подмногообразии, прон блема равенства разрешима.
Н.С.Романовский доказал, что проблема вхождения решается положин тельно для конечно порожденных AN -групп (1980). По-видимому, теорема Романовского справедлива и для конечно порожденных полициклическихн над-абелевыми групп.
Проблема сопряженности. М.И.Каргаполов и В.Н.Ремесленников (1966) доказали разрешимость проблемы сопряженности в классе всех конечно пон рождённых свободных разрешимых групп. Проблема сопряженности в свон бодных поли-нильпотентных группах решена P.A.Саркисяном (1972). Из теон ремы В.Н.Ремесленникова (1973) следует, что при n 5 существуют примеры конечно определенных в многообразии An групп, для которых она решается отрицательно. С другой стороны, Р.А.Саркисян (1972) указал алгоритм рен шения проблемы сопряженности для свободных полинильпотентных групп, а Дж.Болер (1976) - для одного конкретного класса метабелевых групп.
Проблема изоморфизма. В.Н.Ремесленников и А.С.Киркинский построн или для каждого n 7 такую конечно определенную в An группу G, что не существует алгоритма, выясняющего для любой конечно определенной в An группы, изоморфна она G или нет. Здесь интересной нерешенной задачей остается проблема изоморфизма для метабелевых групп. Напомним, что в классе всех групп отрицательно решается проблема изоморфизма единичной группе, в то время как в многообразии An эта проблема имеет положительное решение. Проблема изоморфизма для нильпотентных групп решена положин тельно Ф.Грюневальдом и Д.Сегалом (1980). Отметим, что близкая к ней по постановке проблема эпиморфизма неразрешима уже в классе 2-нильпотентн ных групп. Неразрешимость проблемы эндоморфной сводимости в свободных нильпотентных группах большого ранга доказал В.А.Романьков (1997). Эта работа имеет важные следствия, в том числе её идеи привели к доказательн ству неразрешимости проблемы тождества в теории групп (Ю.Г.Клейман).
Альтернативный подход к алгоритмическим проблемам для линейных алгебн раических групп был развит в 80-х годах прошлого столетия Р.А.Саркисяном.
Этот подход также даёт положительное решение проблемы изоморфизма для конечно порожденных нильпотентных групп по модулю выполнимости принн ципа Хассе для односвязных полупростых алгебраических групп, опреден ленных над полем рациональных чисел. Выполнимость принципа Хассе долгое время оставалась доказанной для всех односвязных полупростых алн гебраических групп, кроме группы E8 (Г.Хардер). Случай E8 был рассмотн рен В.И.Черноусовым (1989) и, таким образом, решение Саркисяна стало безн условным. Проблема изоморфизма для полициклических групп была решена Д.Сегалом (1990).Один из возможных подходов к проблеме изоморфизма осн нован на понятии рода. Для произвольной группы G обозначим через FG мнон жество конечных гомоморфных образов группы G, рассматриваемых с точн ностью до изоморфизма. Р од G(G) группы G - это множество всех групп H, таких, что FG = FH (снова рассматриваемых с точностью до изоморфизма).
Вопрос о мощности (G) множества G(G) известен как проблема рода. Известн но, что почти полициклические группы G, H принадлежат одному роду в том и только том случае, когда их пополнения в проконечной топологии тополон гически изоморфны. Легко видеть, что (G) = 1 в случае абелевой группы G. В то же время существуют достаточно простые примеры неизоморфных нильпотентных групп одного рода. Для класса нильпотентных групп функн цию (G) исследовали Ф.Харари и П.Пикель, Г.Мислин, К.Лемер и другие (1970-е годы). Для этих групп Ф.Грюневальд и Р.Шарлау показали, что функн ция (G) не ограничена даже на классе нильпотентных групп класса 2 (1979).
П. Пикель доказал, что род свободной группы в любом нильпотентном мнон гообразии тривиален (1976). Глубокий результат Ф.Грюневальда и Д.Сегала утверждает конечность (G) для произвольной полициклической группы G (1978). Из этого результата следует, что для фиксированной полициклической группы G существует алгоритм, распознающий, изоморфна ли произвольная полициклическая группа группе G.
Проблема рода усложняется при переходе к метабелевым группам. Осн новываясь на результатах Х.Басса и П.Мурти о группе Пикара групповон го кольца абелевой группы, П.Пикель построил пример метабелевой группы бесконечного рода и доказал, что род произвольной группы не содержит собн ственного гомоморфного образа этой группы. Наконец, все еще неизвестно, тривиален ли род абсолютно свободной группы Fn ранга n 2. Аналогичный вопрос для группы SLn(Z) также все еще открыт.
Предположим, что C есть класс групп, имеющий локально-глобальное свойство для изоморфизма, т.е. для G и H в C имеет место изоморфизм G H тогда и только тогда, когда F(G) = F(H). Используя челночный алгоритм, легко убедиться, что проблема изоморфизма для конечно опреден ленных групп из C имеет положительное решение. Хотя локально-глобальное свойство не имеет места для полициклических групп, его более слабый варин ант все же справедлив: для данного множества X конечных групп существун ет лишь конечное множество изоморфных классов почти полициклических групп, таких, что F(G) = X (Грюневальд - Пикель - Сегал (1980)).
Порождающий ранг. Понятие размерности в линейной алгебре имеет естественный аналог в теории групп. Порождающи м рангом d(G) группы G называется минимальная мощность ее порождающего множества. П.Линнел и Дж.Вархюрст доказали, что для полициклической группы G выполняется неравенство d(G) d() + 1 (1981). Здесь d() обозначает минимальное чисн ло топологических порождающих проконечного пополнения группы G, так что теорема утверждает, что если все конечные факторы группы G порожн даются d элементами, то сама группа G порождается d + 1 элементами. Для абелевой группы G имеет место равенство d(G) = d().
Элементарные теории. Алгоритмические проблемы в многообразиях структур глубоко связаны с фрагментами элементарных теорий этих многон образий. Так проблема равенства в многообразии эквивалентна проблеме разн решимости его универсальной теории (Дж.Мак-Кинси ). Пусть K - класс алн гебраических структур определенной сигнатуры . Сигнатуре известным образом сопоставляется язык первого пор ядка L. Множество T всех предлон жений сигнатуры , справедливых в некотором классе структур сигнатуры , называется элементарной теорией данного класса. Теория называется разн решимой, если существует алгоритм, позволяющий по любому предложению определить, принадлежит ли оно теории или нет. Первым фундаментальным результатом явилась теорема Геделя - Россера (1936) о неразрешимости арифн метики. С другой стороны, А.Тарский доказал разрешимость теории поля комплексных чисел (1948). Он же придумал методы определимости и интерн претируемости для доказательства неразрешимости теорий. В самой общей форме основной метод доказательства неразрешимости - метод относительн ной элементарной определимости - был изобретен и сформулирован ак. Ю.Л.
Ершовым. Пусть S - структура сигнатуры . Пусть S - сигнатура, получаен мая из добавлением констант, по одной для каждого элемента из S. Подмнон жество L Sn, n 1, (относительно) опр еделимо, если существует формула (x), x = (x1,..., xn) сигнатуры S, такая, что L = {s Sn : S |= (s)}.
Аналогично вводятся определимые предик аты, к онгруэнции, факторструктуры.
i Назовем структуру S0 предикатной сигнатуры (Pim ) определимой (с параметн рами) в S, если имеются определимое в S подмножество S1, определимая i конгруэнция K на S1, определимые предикаты Pim на S1, согласованные с конгруэнцией K и такие, что факторструктура S1/K изоморфна S0. Оказын вается, что если в структуре S определима структура S0 с наследственно неразрешимой элеменатарной теорией, то элементарная теория S также нан следственно неразрешима. В качестве S0 часто используется стандартная мон дель арифметики, а также группа Новикова. Метод определимости широко применялся в работах Р.Робинсона и Дж.Робинсон, где, в частности, доказан но, что если R - кольцо полиномов на полем нулевой характеристики или p-адических чисел, то существует p R, такой, что pN определимо в R. При отождествлении pN N умножение в N определимо в R, и, следовательно, R неразрешимо. До сих пор неизвестен ответ на вопрос: разрешима ли дион фантова проблема над бесконечным конечно порожденным коммутативным кольцом? Разрешима ли диофантова проблема на полем рациональных чин сел? В случае кольца Z диофантова проблема, известная как 10-я проблема Гильберта, неразрешима (ак. Ю.В.Матиясевич (1970)).
В области теории групп исходным был вопрос А.Тарского (1945) : разн решима ли элементарная теория свободной неабелевой группы? Положительн ный ответ дан А.Г.Мясниковым и О.Г.Харлампович.
Широкое внимание привлек класс разрешимых групп. А.И.Мальцев дон казал неразрешимость элементарной теории конечно порожденной свободн ной разрешимой неабелевой группы (1960). В статье чл. корр. АН СССР М.И.Каргаполова и его учеников была выдвинута гипотеза: элементарная теон рия конечно порожденной нильпотентной группы разрешима тогда и только тогда, когда группа почти абелева (1969).Гипотеза была доказана Ю.Л.Ершовым (1972). М.И.Каргаполов в докладе на международной конференции по теории групп (Канберра, 1973 г.) обобщил гипотезу на конечно порожн денные почти разрешимые группы. Н.С.Романовский доказал гипотезу для почти полициклических групп (1980).
Условия конечности для метабелевых групп. Свойства конечной порожн денности и конечной определенности являются фундаментальными свойстван ми в теории бесконечных групп. Для группы G в многообразии групп V свойство конечной определенности приобретает новый смысл - мы называн ем G конеч н о определенной в V, если G имеет код, являющийся объединенин ем конечного числа соотношений и всех тождеств V. Естественный вопрос, когда эта лотносительная конечная определенность влечет лабсолютную, привлек широкое внимание. Уже в случае многообразия метабелевых групп вопрос оказался в высшей степени нетривиальным и привел к открытию зан мечательного линварианта БириЦШтребеля, позволяющего эффективно рен шить алгоритмическую проблему распознаваемости конечной определеннон сти. Пусть Q - конечно порожденная абелева группа, и Q* = Hom(Q, R){0} - множество ненулевых характеров из Q в аддитивную группу R. Инварин ант БириЦШтребеля c конечно порожденного ZQ-модуля M состоит из всех M характеров Q*, для которых M не является конечно порожденным над полугрупповым кольцом ZQ полугруппы Q = {q Q: (q) 0}. Назон вем инвариант m-асимметричным, если любое m-точечное подмножество в c содержится в открытом полупространстве пространства Q*. Произвольн M ная конечно порожденная метабелева группа является расширением вида M Q с абелевыми группами M, Q, причем M обладает естественн ной структурой конечно порожденного ZQ-модуля. Теорема БириЦШтребен ля утверждает, что конечно порожденная метабелева группа конечно опрен делена тогда и только тогда, когда c является 2-асимметричным, т.е. не M содержит пары диаметрально противоположных точек. Из конструктивного описания c следует алгоритмическая разрешимость проблемы распознаваен M мости конечной определенности в многообразии метабелевых групп. Свойства конечной порожденности и конечной определенности являются лишь первын ми двумя в бесконечной цепочке гомологически-топологических свойств конечности. По опрeделению группа имеет тип F Pn, если тривиальный Z-модуль Z обладает проективной pезольвентой P : Pn P1 P0 Z, в которой Z-модули Pn,..., P1, P0 конечно порождены. Хорошо известно,что класс F P1-групп совпадает с классом всех конечно порожденных групп, и что конечная определенность влечет F P2.
Р.Бири (1981) высказал гипотезу, описывающую структуру метабелевых F Pn-групп в терминах инварианта c. Произвольная конечно порожденная M метабелева группа является расширением вида M Q с абелевыми группами M, Q, причем M обладает естественной структурой ZQ-модуля.
Гипотеза (Р.Бири ). Конечно порожденная метабелева группа пpинадн лежит классу F Pm пpи m 2 в том и только том случае, когда инвариант c является m-асимметричным.
M Р.Бири и Р.Штребель доказали сформулированную гипотезу при m = 2.
Гипотеза была доказана также для метабелевых групп конечного ранга (Х.
Оберг (1986)). Бири и Гровз доказали, что F Pm над Q влечет m-асимметричность инварианта модуля Q Z M. Техника доказательства включает гомологическую алгебру.
Автоматные группы. Существование алгоритма, решающего проблему равенства в данной группе G, еще не означает возможность проводить реальн но эффективные вычисления. Нужды теории 3-мерных многообразий привен ли Кеннона, Тёрстона и Эпстина к созданию теории автоматных групп. В процессе исследования авторы пришли к замечательному определению авн томатности, представляющему собой сплав свойства рекурсивности норн мальных форм и чисто геометрического свойства лустойчивости. Пусть A* - свободный моноид над конечным алфавитом A. Мы предполагаем, что A сон держит формально обратные элементы, т.е состоит из пар символов a, a-1.
Будем говорить, что группа G порождается множеством A, если задано отобн ражение a a G, a A, индуцирующее эпиморфизм Ф-Ф : A* G. Граф Кэли C = CA(G) состоит из множества вершин V C = G и ребер (= дуг ) из a g в ga (g G, a A). Всякое ребро g - ga имеет метку a. Каждое слово w = a1a2a3... A* имеет значение w G. Кроме того, w определяет путь из g G в gw:
a1 a2 ag - ga1 - ga1a2 - ga1a2a3...
Подмножество L A* называется нормальной формой в G, если L = G.
Нормальная форма L определяет комбинг ( = причёсывание) графа Кэли, а именно, для любой пары g, h G и любого слова w L, такого, что w = g-1h, однозначно определён путь gh из g в h с меткой w. Подмножество L A* нан зывается регулярным (рациональным) языком, если L распознается конечным автоматом над A или, эквивалентно, L получается из конечного множества применением конечного числа операций объединения, произведения и порожн дения.
Нормальная форма L устойчива (fellow traveller property), если существун ет константа k = k(L), такая, что любые пути с метками v, w L, общим началом и с концами на расстоянии 1 являются k-близкими в том смысн ле, что выполняется неравенство d(v(t), w(t)) k, t = 0, 1,... Если, бон лее того, неравенство выполняется для путей, начала и, соответственно, конн цы которых находятся на расстоянии 1, то L называется биустойчивой.
(Би)автоматная струк тур а на группе G - это (би)устойчивая регулярная норн мальная форма на G. В то время как автоматность дает эффективное рен шение проблемы равенства, биавтоматность дает эффективное решение прон блемы сопряженности. Примерами автоматных групп являются гиперболин ческие группы (М. Л. Громов (1987)). Примером неавтоматных групп являн ются все группы SLn(Z)(n 3). В задаче классификации автоматных арифн метических групп получены значительные продвижения, но окончательное решение до сих пор не получено. В качестве подзадачи здесь содержится проблема автоматности групп, действующих на билдингах. В самом деле, нан пример, всякая дискретная подгруппа группы SLn(Qp) действует собственно на ассоциированном билдинге Брюа - Титса. Более общо, пусть - кусочно евклидов стягиваемый комплекс неположительной кривизны (=CAT(0) комн плекс). Пусть G : - собственное кокомпактное изометрическое действие.
Верно ли, что G биавтоматна? Ответ неизвестен даже в случае евклидовых билдингов. В двумерном случае проблема детально рассмотрена С.Герстеном и Х.Шортом, доказавшими биавтоматность фундаментальной группы конечн ного кусочно евклидова 2-комплекса неположительной кривизны, имеющего тип A1 A1, A2, B2 или G2. В качестве следствия они получили биавтоматн ность группы без кручения, действующей собственно и кокомпактно на евклин довом билдинге типа A2. Близкие результаты были получены В.Бальманом и М.Брином, Д.Картрайтом и М.Шапиро, Я.Святковским. Важным общим рен зультатом является теорема Г.Нибло и Л.Ривза о биавтоматности кубических групп.
Связный граф C обладает свойством ограниченного ук орачивания есн ли существует k > 0, такое, что для любого негеодезического пути v(t) в C существует k-близкий путь w(t) c теми же концами, что и v(t), но короче, нежели v(t). Важность свойства ограниченного укорачивания для изучения функций роста объясняется теоремой Дж.Кеннона: если группа G порождан ется конечным множеством A, и CA(G) обладает F F T - свойством, то язык геодезических в этом графе регулярен. Кроме того, функция роста |Bn|tn группы G относительно A рациональна.
Свободные подгруппы. Нахождение свободных неабелевых подгрупп игн В англоязычной литературе falsification by fellow traveller property или FFTЦproperty.
рает важную роль в изучении парадокса Банаха - Тарского, функций роста и алгебраической энтропии.
Автоморфизмы. Изучение групп автоморфизмов алгебраических струкн тур важно с алгоритмической точки зрения. Например, пусть G и H Ч кон нечно порожденные нильпотентные группы. Изоморфизм мальцевских пополн нений GQ и HQ имеет место в том и только том случае, когда изоморфны соответствующие Q-алгебры Ли g, h. Решая вопрос об изоморфизме g, h, мы можем считать, что эти алгебры изоморфны над полем комплексных чисел, так как элементарная теория этого поля разрешима. В этом случае можно применить теорию неабелевых когомологий, из которой следует, что алгебра h изоморфна алгебре g тогда и только тогда, когда построенный по h кон цикл из множества H1(Gal(Q/Q), Autg) тривиален. P.A.Саркисян доказал, что тривиальность коцикла можно алгоритмически распознать при условии выполнимости принципа Хассе для односвязных полупростых алгебраин ческих групп, определенных над Q. Таким образом, группа автоморфизмов Aut(g) появляется в проблеме изоморфизма.
Научная новизна. Все результаты, представленные в диссертации, явн ляются новыми на момент их публикации.
Объект исследования. Объектами исследования являются разрешин мые группы, коммутативные кольца, группы Ли, кусочно евклидовы комн плексы (включая евклидовы билдинги), группы когомологий.
Методы исследования. В работе используются методы геометричен ской и комбинаторной теории групп (включая вложение Магнуса и кусочно евклидову геометрию), коммутативной алгебры, алгебраической геометрии (включая примарное разложение и группы классов дивизоров) и гомологин ческой алгебры (включая спектральную последовательность Хохшильда - Серра).
Цель и задачи диссертации. Изучение алгоритмических свойств разн решимых групп и групп, действующих на комплексах неположительной крин визны. Решение ряда проблем теории групп: проблемы Каргаполова о разн решимости элементарной теории разрешимой группы, проблемы сопряженн ности в метабелевых группах, проблемы рода для свободных метабелевых групп. Построение биавтоматных структур на группах автоморфизмов евклин довых билдингов. Доказательство несуществования автоматных структур на модулярных группах Гильберта.
Достоверность научных положений. Достоверность научных полон жений и полученных результатов обеспечиваются их согласованностью с обн щепризнанными представлениями. Результаты опубликованы в российских и зарубежных журналах, неоднократно докладывались на семинарах и конфен ренциях. Они известны в научном сообществе и цитируются в работах других авторов. Показатель цитируемости по поисковой системе Google Scholars ран вен 236 (на ноябрь 2010 г.). Результаты по теме диссертации опубликованы в 1977-2009 годах. Достоверность научных положений и полученных резульн татов обеспечиваются также положительными рецензиями в реферативных журналах Математика, Math. reviews, и Zentralblatt fuer Mathematics.
Научные положения, выносимые на защиту. На защиту выносятся следующие положения и результаты.
1. Решение проблемы сопряженности для конечно порожденных метабен левых групп.
2. Характеризация конечно порожденных разрешимых групп с разрешин мой элементарной теорией.
3. Решение проблемы рода для свободной метабелевой группы конечного ранга.
4. Доказательство гипотезы Бири для расщепляемых конечно порожденн ных метабелевых групп без кручения.
5. Построение биавтоматных структур на группах автоморфизмов евклин довых билдингов. Доказательство неавтоматности модулярной группы Гильн берта.
Практическая ценность и область применения результатов. Предн лагаемая работа носит теоретический характер. Полученные результаты и мен тоды могут найти применение в дальнейших исследованиях по теории групп.
Многие доказанные в диссертации теоремы могут быть включены в спецкурн сы для студентов и аспирантов.
Публикации. Материалы диссертации опубликованы в 39 печатных ран ботах, из них 37 статей - в рецензируемых журналах, в т.ч. 29 статей - в журналах и изданиях из перечня ВАК. Без соавторов выполнены 27 опублин кованных научных работ по теме диссертации, 12 работ написаны совместно.
Из 29 работ в журналах из перечня ВАК 9 выполнены в соавторстве.
Апробация и внедрение результатов. Результаты, полученные в дисн сертации, докладывались на российских и международных конференциях: в Марселе-Люмини (Франция, 2004), Омске (2008, 2010), Новосибирске (2000, 2003, 2005), Эрлаголе (2000), Франкфурте-на-Майне (Германия,1999), Билен фельде (Германия, 2003), Гомеле (1986), Санкт-Петербурге (1982), Кемерове (1987), Кортрайке (Бельгия, 1999), Гаете (Италия, 2003), Варшаве (Польша, 2003), Гданьске (Польша, 2004), Обервольфахе (Германия, 2002, 2008), Красн ноярске (1993, 2002), Барнауле (1991).
Результаты обсуждались на специализированных семинарах: в Омском государственном университете (1975-2010), Новосибирском государственном университете (1981, 1983, 1987,1994, 2008), в университете Манитобы (Канан да, 1991, 1994), университете Кембриджа (Великобритания, 1995), Лондонн ском университете (Великобритания, 1995), университете Манчестера (Велин кобритания, 1995), университете Бильги (Турция, 2002, 2005), университен те Билефельда (Германия, 1998-2008), университете Франкфурта-на-Майне (Германия, 1995, 1996), университете Дюссельдорфа (Германия, 1999), унин верситете Бонна (Германия, 2003).
Структура и объем диссертации Диссертационная работа состоит из введения, пяти глав, списка цитируемой литературы, списка обозначений и списка терминов (предметного указателя). Диссертация содержит 6 рисунн ков. Список литературы состоит из 155 наименований. Полный объем диссерн тации составляет 257 страниц машинописного текста.
Каждая глава имеет номер и состоит из разделов и подразделов, нумеран ция которых подчинена нумерации глав. Нумерация теорем, лемм и рисунков в тексте диссертации сквозная. Номера формул подчиняются главам.
Содержание работы Во Введении обоснована актуальность диссертационной работы, сфорн мулирована цель и аргументирована научная новизна исследований, показана практическая значимость полученных результатов, представлены выносимые на защиту научные положения.
Глава 1. Проблема сопряженности для метабелевых групп. В главе описывается алгоритм, который по заданному конечному генетическон му коду группы G в многообразии 2-ступенно разрешимых (= метабелевых) групп решает проблему сопряженности в группе G. Эта теорема дает полон жительный ответ на вопрос М. И. Каргаполова (1973). Основными инструн ментами в доказательстве являются алгебраическая геометрия, коммутативн ная алгебра и теория чисел. С использованием вложения Магнуса проблема сводится к следующей: пусть A - группа обратимых элементов конечно пон рожденного целостного коммутативного кольца A; существует ли алгоритм, позволяющий для любого набора 1,..., n A найти определяющие соотн ношения подгруппы U в группе A, порожденной этими элементами? Идея алгоритма носит алгебро-геометрических характер. Пусть k - поле алгебраических чисел или конечное поле. Рассмотрим конечно порожденную целостную k-алгебру A как координатную алгебру аффинного многообразия V над полем k. Существует вложение V V, где V - нормальное проекн тивное многообразие. Алгебраически, для A эффективно строится градуирон ванная область k [y0,..., ym], такая, что кольца Ai = k [y0/yi,..., ym/yi] цен лозамкнуты, элементы из m Ai алгебраичны над k, и кольцо k [x1,..., xn] i= эффективно вложимо в A0. Пусть V = V V1 Vn - разложение на неприводимые компоненты, где Vi - неприводимые гиперповерхности. Опрен делено дивизориальное отображение div : U ZVi. Его образ описывается конструктивно, а ядро состоит из алгебраических элементов. Конструктивн ный аналог теоремы Дирихле позволяет описать ядро. Все доказательства систематически используют результаты А.Зайденберга - конструктивность примарного разложения, целого замыкания, идеала соотношений между данн ными элементами.
Решение проблемы сопряженности было обобщено на центрально метан белевы группы с условием малых централизаторов (К.Гупта и Г.А.Носков (1993)).
Глава 2. Элементарные теории разрешимых групп и колец. Осн новной результат главы - Теорема 3. Элементарная теория конечно порожденной почти разн решимой группы G разрешима тогда и только тогда, когда эта группа G почти абелева.
Ввиду теоремы Н.С.Романовского при доказательстве неразрешимости Th(G) можно считать, что все почти полициклические факторы F/H, где F, H - формульные подгруппы в G, почти абелевы. В разделе 2.6 показын вается, что неразрешимость Th(G) достаточно доказать в случае, когда G обладает следующими свойствами:
а) в G существует абелева нормальная формульная не конечно порожн денная подгруппа M, такая, что G/M абелева и не имеет кручения;
б) если Q = G/M, и M рассматривается стандартным образом как ZG-модуль, то аннулятор p модуля M в Z[Q] является простым идеалом, и ZQ/p-модуль M не имеет кручения;
в) всякая формульная подгруппа в G, строго содержащая M, не является нильпотентной.
После указанной редукции в группе G интерпретируется структура (N, +, |) - арифметика натуральных чисел с операцией сложения и предикатом ден лимости. Эта структура биинтерпретируема в обычной арифметике (N, +, ) (Р.Робинсон (1951)) Арифметика (N, +, ) имеет наследственно неразрешин мую теорию, и, значит, теория T h(N, +, |) также наследственно неразрешима ввиду критерия Ю.Л.Ершова. Из интерпретируемости (N, +, |) в G следун ет наследственная неразрешимость Th(G) по тому же критерию. С целью интерпретации арифметики в множестве G - M специальным образом вын бирается элемент и затем доказывается формульность полугруппы = n1nM. Далее, на строится формульный предикат (x, y), такой, что G |= (km1, lm2) k|l. Этот предикат и групповая операция позволяют отождествить множество смежных классов {nM}n1 со структурой (N, +, |).
Другими словами, (N, +, |) интерпретируется в G.
При доказательстве формульности полугруппы и формульности прен диката делимости получены вспомогательные результаты из коммутативной алгебры и алгебраической теории чисел. Эти результаты, приводимые ниже, ввиду их самостоятельной ценности, автор счёл разумным выделить в три раздела 2.3, 2.4, 2.5.
Теорема 4. (Теорема конечности числа делителей). Пусть A - конечно порожденное целостное коммутативное кольцо. Существует натуральное s (зависящее от A), такое, что для любого подмножества A мощнон сти s и любого ненулевого a A множество = { A : ( - )|a для всех } конечно.
Теорема 5. (О необратимых элементах). Пусть A - конечно порожденн ное коммутативное целостное кольцо, - конечное подмножество в A, не содержащее 0 и 1, и ненулевой элемент A не является корнем из 1.
Тогда существует n N, такое, что все n - ( ) необратимы в A.
Теорема 6. (Определимость делимости). Пусть A - конечно порожн денное коммутативное целостное кольцо, и ненулевой элемент A не является корнем из 1. Тогда существуют N и r N, такие, что если задать на N предикат (x, y) x - 1|y - 1 & & xr - 1|yr - 1, то A |= (m, n) в том и только том случае, когда m|n.
Вторым по значимости результатом главы 2 является Теорема 7. Элементарная теория бесконечного конечно порожденного коммутативного кольца A (с единицей) разрешима в том и только том случае, когда кольцо A конечно.
Глава 3. Проблема рода для метабелевых групп. В главе решается проблема рода для класса (относительно) свободных метабелевых групп.
Обозначим через Mn свободную группу ранга n в многообразии метабен левых групп.
Теорема 8. Род группы Mn тривиален, т.е. группа Mn определяется с точностью до изоморфизма набором своих конечных гомоморфных образов.
Известные рассуждения (лчелночный алгоритм) показывают справедн ливость следующего частичного решения проблемы изоморфизма для мен табелевых групп: свойство произвольной конечно порожденной финитно апн проксимируемой группы G быть изоморфной свободной группе многообразия метабелевых групп, алгоритмически разрешимо. В доказательстве использун ются метод вложения Магнуса, теорема В.А.Артамонова об орбитах общей линейной группы и теорема КвилленаЦСуслинаЦСуона о свободе проективн ных модулей над кольцом многочленов (решение проблемы Серра).
Обозначим через = r = Z[x1,..., x1] кольцо многочленов Лорана 1 r с целочисленными коэффициентами от переменных x1,..., xr. Обозначим чен xi ei рез r свободный -модуль с базой {ei, ; 1 i r}. Матрицы ( ) свободно 0 порождают группу Mr(0) (вложение Магнуса). Пусть G - финитно аппроксин мируемая группа, родственная Mn(q), тогда G можно представить в виде Mn+m(q)/R, где m 0, и нормальная подгруппа R является нормальным замыканием конечного множества элементов. В разделе 3.2 производится переход к более удобному коду группы G, а именно, имеет место изоморн xi ei 1 en+j физм G = S(q)/R, где группа S(q) порождена матрицами ( ),, 0 0 1 i n, 1 j m, над кольцом Zq[x1,..., x1; e1,..., en+m], коэфн 1 n фициенты xi, ei, en+j есть коммутирующие трансцендентности, и R есть норн мальная подгруппа в S(q), порожденная определенными унитреугольными 1 fi матрицами, 1 i k. Лемма 20 дает следующий критерий: группа 0 G = S(q)/R изоморфна Mn(q) в том и только том случае, когда модуль n+m/R свободен ранга n. Знаменитая теорема КвилленаЦСуслинаЦСуона q утверждает, что конечно порожденный -модуль свободен тогда и только тон гда, когда он проективен. Проективность можно распознать в терминах матн рицы F, составленной из координат векторов f1,..., fk в базе {e1,..., en+m}.
А именно, модуль P над коммутативным кольцом проективен ранга n в том и только том случае, когда идеал Im, порожденный m m-минорами матрицы F, равен , и идеал Im+1 нулевой. Возвращаясь к доказательству основной теоремы, предположим, что наша группа G не изоморфна Mn(q) и, таким обн разом, P не изоморфен свободному модулю n. Тогда модуль P не является q проективным ранга n и, следовательно, либо Im = q, либо Im = q, Im+1 = 0.
В первом случае мы доказываем, что существует конечный гомоморфный обн раз группы G, который не может быть порожден n элементами в противон речии с тем, что группа Mn(q) n-порождена. Второй случай более трудный и требует детального анализа. Чтобы получить требуемое противоречие, мы конструируем n-порожденную конечную метабелеву группу, которая не мон жет быть конечным гомоморфным образом группы G. Более точно, в случае, когда q = 0, мы показываем, что существует простое p, такое, что G/Vp2(G) есть собственный гомоморфный образ группы Mn/Vp2(Mn) (здесь Vp(G) обон значает наибольший абелев гомоморфный образ периода G/Vp). В то же врен мя из совпадения родов следует, что группы G/Vp2(G),Mn/Vp2(Mn) изоморфн ны, это и доставляет искомое противоречие.
Глава 4. Инвариант Бири-Штребеля и гомологические условия конечности для метабелевых групп. Основной результат подтверждает гипотезу Бири для широкого класса метабелевых групп.
Теорема 10. Пусть конечно порожденная группа является расщепн ляемым расширением абелевой группы M с помощью абелевой группы Q, M не имеет кручения, и F Pm, m 2. Тогда инвариант c является M m-асимметричным.
Пусть A = ZQ/annM, MinA = {p1,..., pt}, Ai = A/pi (i = 1,..., t) и Ki - поле частных кольца Ai. В разделах 4.1.1, 4.1.2 доказывается, что ZQ-модуль N = A1 At вкладывается в M, и c = (K1, Q) M (Kt, Q), где (Ki, Q) есть множество характеров, индуцированных регулярн ными нормированиями поля частных Ki кольца Ai = ZQ/pi. Так как c не M является m-асимметричным, то подгруппа Q0 Zn имеет конечный индекс в Q, и характеры 1,..., k+1 Q0 (действующие посредством скалярного произведения) можно выбрать таким образом, что:
а) выпуклая оболочка C множества 1,..., xk+1 является k-мерным симн плексом, содержащим начало координат в качестве внутренней точки;
k+б) Q0 = Q Q, где Q = Zi, и Q является ортогональным дополн i=нением подгруппы Q;
в) каждый из характеров i индуцируется дискретным нормированием vi : Kp - Z, где pi Min A, и множество нормирований V = {v1,..., vk+1} i можно выбрать таким образом, что все vi, определенные на Kp (i [1; k +1]), i являются регулярными по отношению к некоторой базе трансцендентности поля Kp над Q.
i Спектральная последовательность ХохшильдаЦСерра примененная к расн ширению M Q, и критерий БириЦЭкмана позволяют свести проблен му к построению нетривиального элемента из EQ = (ZN), = M Q, лежащего в образе отображения EQ - EQ.
Критерий нетривиальности (теорема 11) формулируется в терминах убын d вающей фильтрации {F } Q-подмодуля N модуля M и порядковой функции d o(f) = max d : f зануляется в Z[N/F ] Z . Критерий нетривиальнон сти естественно приводит к вопросу: как эффективно оценить сверху порядок элемента группового кольца? Следующий результат даёт ответ в терминах нормирований.
Теорема 14. Пусть K - конечное расширение поля рациональных функн ций Q(t1,..., tm), и пусть V = V1 Vs - конечное множество дискретн ных нормирований поля K, регулярных относительно базы (t1,..., tm). Для a = (a1,..., as) Ks обозначим V (a) = min {v(aj) : j = 1,..., s, v Vj}.
Тогда существуют такие положительные константы c0, c1, что для прон извольных векторов a1,..., ar Ks найдутся целые x1,..., xr, для котон рых следующее неравенство выполняется для любого подмножества I {1, 2,..., r}: V ( xi ai) c0 + c1ln(r) + max {V a1,..., V ar}.
I Глава 5. Автоматные группы. Основной результат состоит в доказан тельстве биавтоматности широкого класса групп, действующих на евклидон вых билдингах.
Теорема 16. Пусть - евклидов билдинг одного из типов An, Bn, Cn, n 2, упорядоченный стандартным образом. Пусть G : - свободное кокомн пактное действие автоморфизмами, сохраняющими порядок. Тогда G дон пускает биавтоматную структуру. Если есть произвольный евклидов билдинг одного из типов An, Bn, Cn, n 2, то всякая группа, действующая свободно и кокомпактно на , почти биавтоматна.
В разделе 5.1 мы приводим обзор стандартных фактов о евклидовых комплексах Кокстера. В разделе 5.2 мы вводим свойство упорядоченности евн клидова билдинга и доказываем, что всякий евклидов билдинг можно упорян дочить. В разделе 5.3 мы определяем естественный комбинг C на евклидовом билдинге. В разделах 5.4 и 5.5 мы доказываем свойства лустойчивости и рекурсивности для комбинга C. Заключительный раздел 5.6 посвящен докан зательству нашего основного результата. Основным инструментом являются автоматные группоиды.
Весьма похожими с билдингами свойствами обладают обобщенные дерен вья.
Теорема 24. Всякая конечно порожденная группа G, действующая свон бодно на лексикографическом Z2-дереве, допускает биавтоматную структун ру.
В доказательстве используются методы кусочно евклидовой геометрии.
А именно, строится 2-мерный квадратный комплекс X неположительной кривизны с фундаментальной группой G.
Значение теории автоматности заключается в геометризации эффективн ной вычислимости в группах. Анализ свойства устойчивости привёл У.Ноймана и М.Шапиро к понятию лограниченного укорачивания. В разделе 5.11 мы доказываем, что стандартное порождающее множество группы Кокстера кон нечного ранга удовлетворяет условию ограниченного укорачивания.
Теорема 27. F F T - свойство выполняется для любой группы Кокстера конечного ранга.
Теорема 28. Дуальный граф любого локально конечного билдинга облан дает F F T -свойством.
Этот результат влечет рациональность функции роста для ряда групп, действующих на билдингах (см. следствие теоремы 28).
Заключительный результат главы 5 доставляет новые нетривиальные примеры групп, не допускающих автоматных структур.
Теорема 29. Пусть O есть кольцо целых вполне вещественного поля K степени n над Q. Тогда при n 2 группа SL2(O) непричесываема в смысн ле ЭпстинаЦКеннонаЦТёрстона. В частности, такая группа не допускает автоматную структуру.
Мощным методом доказательства неавтоматности являются изопериметн рические неравенства. Из теоремы Эпстина-Тёрстона (1992) следует, что для доказательства непричёсываемости группы = SL2(O) достаточно найти вполне разрывное кокомпактное изометрическое действие : M на стягиван емом римановом многообразии M и такую последовательность липшицевых (n-1)-циклов bm, масса и диаметр которых растут полиномиально по m, что для любого выбора липшицевых n-цепей cm в M с условием cm = bm масса cm растет экспоненциально. Построение такой последовательности основано на теории приведения для модулярной группы Гильберта.
Основные результаты работы 1. Получено положительное решение проблемы сопряженности для класн са конечно порождённых метабелевых групп.
2. Получена характеризация конечно порождённых разрешимых групп с разрешимой элементарной теорией (решение проблемы М. И. Каргаполова).
3. Решена проблема рода для свободных метабелевых групп: род конечно порождённой метабелевой групп тривиален.
4. Подтверждена гипотеза Бири для широкого класса метабелевых групп:
Теорема. Пусть конечно порожденная группа является расщепляемым расширением абелевой группы M с помощью абелевой группы Q, M не имен ет кручения над ZQ, и F Pm, m 2. Тогда инвариант c является M m-асимметричным.
5. Доказана биавтоматность широкого класса групп, действующих на евклидовых билдингах и лексикографических Z2-деревьях. Доказана неавтон матность модулярной группы Гильберта.
Публикации в журналах из списка ВАК 1. Носков Г. А. Алгебраические группы с регулярными группами автоморн физмов // Матем. сб. 1977. Т. 103(145), № 3(7). С. 358Ц366.
2. Носков Г. А. О проблеме вхождения для кольца многочленов // Сиб.
матем. журн. 1978. Т. 19, № 6. С. 1413Ц1414.
3. Носков Г. А. О примитивных элементах в свободной группе // Матем.
заметки. 1981. Т. 30, № 4. С. 497Ц500.
4. Носков Г. А. О сопряженности в метабелевых групах // Матем. заметн ки. 1982. Т. 31, № 4. С. 495Ц507.
5. Носков Г. А. Об элементарной теории конечно порождённого коммутативного кольца // Матем. заметки. 1983. Т. 33, № 1. С. 23Ц29.
6. Носков Г. А. О числе порождающих группы // Матем. заметки. 1983.
Т. 33, № 4. С. 249Ц254.
7. Носков Г. А. Об элементарной теории конечно порожденной почти разн решимой группы // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1983. Т. 47, № 3.
С. 465Ц482.
8. Носков Г. А. О группах автоморфизмов метабелевых групп // Матем.
заметки. 1987. Т. 41, № 1. С. 9Ц22.
9. Носков Г. А. Целостность группового кольца почти разрешимой группы без кручения из GLn(Q) // Матем. заметки. 1989. Т. 45, № 2. С. 71Ц78.
10. Носков Г. А. О числе порождающих кристаллографической группы // Сиб. матем. журн. 1989. Т. 30, № 2. С. 145Ц150.
11. Носков Г. А. Ограниченные когомологии дискретных групп с коэффицин ентами // Алгебра и анализ. 1990. Т. 2, № 5. С. 146Ц164.
12. Носков Г. А. Алгебры быстро убывающих функций на группах и коциклы полиномиального роста // Сиб. матем. журн. 1992. Т. 33, № 4. С. 97Ц103.
13. Gupta C. K., Noskov G. A. Conjugacy in centre-by-metabelian groups // Houston J. Math. 1993. Vol. 19, no. 2. Pp. 281Ц294.
14. Носков Г. А. Свойства T, FA, аменабельность и разрывность для групп, действующих на R-деревьях // Алгебра и анализ. 1993. Т. 5, № 3. С. 238Ц251.
15. Gupta C. K., Gupta N. D., Noskov G. A. Some applications of Artaн monov-Quillen-Suslin theorems to metabelian inner rank and primitivity // Canad. J. Math. 1994. Vol. 46, no. 2. Pp. 298Ц307.
16. Носков Г. А. Инвариант Бири-Штребеля и гомологические условия кон нечности для метабелевых групп // Алгебра и логика. 1997. Т. 36, № 2.
С. 194Ц218.
17. Gupta C. K., Noskov G. A. Splitting epimorphisms of free metabelian groups // Internat. J. Algebra Comput. 1997. Vol. 7, no. 6. Pp. 697Ц711.
18. Gupta C. K., Noskov G. A. On the genus of certain metabelian groups // Algebra Colloq. 1998. Vol. 5, no. 1. Pp. 49Ц66.
19. Носков Г. А. Причесывание треугольных билдингов // Сиб. матем. журн.
1999. Т. 40. С. 1109Ц1120.
20. Носков Г. А. Многомерные изопериметрические неравенства и непричен сываемость модулярной группы Гильберта // Алгебра и анализ. 1999.
Т. 11. С. 196Ц206.
21. Носков Г. А. Квазивыпуклость множества неподвижных точек автон морфизма гиперболической группы // Сиб. матем. журн. 1999. Т. 40, № 1. С. 164Ц166.
22. Noskov G. A. Growth of certain non-positively curved cube groups // Euroн pean J. Combin. 2000. Vol. 21, no. 5. Pp. 659Ц666.
23. Noskov G. Group actions on non-Archimedean trees, cube complexes and auн tomata // J. Group Theory. 2000. Vol. 3, no. 1. Pp. 101Ц112.
24. Noskov G. A. Combing Euclidean buildings // Geom. Topol. 2000. Vol. 4.
Pp. 85Ц116.
` 25. Noskov G. A., Vinberg E. B. Strong Tits alternative for subgroups of Coxeter groups // J. Lie Theory. 2002. Vol. 12, no. 1. Pp. 259Ц264.
26. Alperin R. C., Farb B., Noskov G. A. A strong Schottky lemma for nonposiн tively curved singular spaces // Geom. Dedicata. 2002. Vol. 92. Pp. 235Ц243.
Dedicated to John Stallings on the occasion of his 65th birthday.
27. Karlsson A., Noskov G. A. Some groups having only elementary actions on metric spaces with hyperbolic boundaries // Geom. Dedicata. 2004. Vol. 104.
Pp. 119Ц137.
28. Alperin R. C., Noskov G. A. Nonvanishing of algebraic entropy for geometriн cally finite groups of isometries of Hadamard manifolds // Internat. J. Algeн bra Comput. 2005. Vol. 15, no. 5-6. Pp. 799Ц813.
29. Грюневальд Ф., Носков Г. А. Большие гиперболические решетки // Алн гебра и логика. 2009. Т. 48. С. 174Ц189.
Прочие публикации 30. Носков Г.А., Ремесленников В.Н., Романьков В.А. Бесконечные групн пы // Итоги науки и техн. Сер. Алгебра. Топол. Геометрия, том 17, С. 65Ц157. ВИНИТИ, Москва, 1979.
31. Носков Г.А. Вычисление мультипликатора Шура конечно порожн денной метабелевой группы // Вычислительный центр СОАН СССР, Новосибирск, 84(508):22, 1984.
32. Носков Г.А. О роде свободной метабелевой группы // Вычислительн ный центр СОАН СССР, Новосибирск, 84(509):18, 1984.
33. Noskov Gen.A. The Hochschild-Serre spectral sequence for bounded cohomology // In L. A. BokutТ, Yu. L. Ershov, and A. I. Kostrikin, editors, Proceedings of the International Conference on Algebra, Part 1 (Novosibirsk, 1989), number 131 in Contemp. Math., pages 613Ц629, Providence, RI, 1992. Amer. Math. Soc.
34. Noskov G.A. Bounded shortening in Coxeter complexes and buildings // In Mathematical structures and modeling, No. 8 (Russian), pages 10Ц14.
Omsk. Gos. Univ., Omsk, 2001.
35. Karlsson Anders and Noskov Guennadi A. The Hilbert metric and Gromov hyperbolicity // Enseign. Math. (2), 48(1-2):73Ц89, 2002.
36. Alperin Roger C. and Noskov Guennadi A. Uniform growth, actions on trees and GL2// In Computational and statistical group theory (Las Vegas, NV/Hoboken, NJ, 2001), volume 298 of Contemp. Math., pages 1Ц5. Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2002.
37. Noskov G. A. Coarsely geodesic metrics on reductive groups (after H.
Abels and G. A. Margulis)// In Mathematical structures and modeling.
No. 15 (Russian), pages 5Ц17. Omsk. Gos. Univ., Omsk, 2005.
38. Karlsson A., Metz V., and Noskov G.A. Horoballs in simplices and Minkowski spaces // Int. J. Math. Math. Sci., 20 pages, Art. ID 23656, 2006.
39. Noskov G.A. Geodesics in the Heisenberg group: an elementary approach// Siberian Electronic Mathematical Reports, 5:177Ц188, 2008.
Отпечатано с оригинала-макета, предоставленного автором.
Подписано в печать Формат бумаги 60 84 1/16.
Тираж 100 экз. Заказ N Полиграфический центр КАН 644122, г. Омск, ул. Красный путь,
Авторефераты по всем темам >>
Авторефераты по разное