Авторефераты по всем темам >>
Авторефераты по разное
На правах рукописи
Рогазинский Сергей Валентинович
АЛГОРИТМЫ СТАТИСТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ ДЛЯ РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ КИНЕТИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ БОЛЬЦМАНОВСКОГО ТИПА
01.01.07 - вычислительная математика
Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук
Новосибирск - 2010
Работа выполнена в Учреждении Российской академии наук Институте вычислительной математики и математической геофизики Сибирского отделения РАН
Научный консультант: член корреспондент РАН Михайлов Геннадий Алексеевич
Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор Смелов Владислав Владимирович доктор физико-математических наук, профессор Черемисин Феликс Григорьевич доктор физико-математических наук, профессор Григорьев Юрий Николаевич
Ведущая организация: Учреждение Российской академии наук Институт теплофизики Сибирского отделения РАН
Защита состоится 17 ноября 2010 года в 1500 часов на заседании диссертационного совета Д 003.061.01 при Учреждении Российской академии наук Институте вычислительной математики и математической геофизики Сибирского отделения РАН по адресу:
630090, Новосибирск, проспект Лаврентьева, 6.
С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Учреждения Российской академии наук Института вычислительной математики и математической геофизики Сибирского отделения РАН.
Автореферат разослан - 2010 года.
Ученый секретарь диссертационного совета к.ф.-м.н. Рогазинский С.В.
Общая характеристика работы
Актуальность темы.
Многие задачи динамики разреженного газа приводят к необходимости решения кинетических уравнений. Часто они формулируются как соответствующие начально-краевые задачи для нелинейного кинетического уравнения Больцмана или коагуляции. В случае задач, связанных с рассмотрением процессов коагуляции, сталкиваются с необходимостью решения нелинейного кинетического уравнения Смолуховского. Оба этих уравнения имеют одинаковый тип нелинейности, поэтому,в дальнейшем, будем называть эти уравнения нелинейными уравнениями больцмановского типа.
Сложная нелинейная структура этих уравнений делает, в подавляющем большинстве случаев, невозможным их аналитическое решение, поэтому численные методы, практически, являются единственным способом нахождения решения таких задач. Отсюда следует, что построение численных алгоритмов для решения нелинейных кинетических уравнений больцмановского типа является важной и актуальной задачей.
Хорошо известно, что физическая интерпретация нелинейных кинетических уравнений больцмановского типа носит вероятностный характер.
Основываясь на этом, с начала 60-х годов прошлого века к численному решению задач для уравнений этого типа началось применение статистического моделирования на эвристическом уровне с использованием, так называемой N-частичной модели газа. Наибольшую известность, например, в динамике разреженного газа для проведения практических расчетов получила эвристическая схема Тсчетчик времениТ, которую предложил Г.Берд (G. Bird).
Целью диссертационной работы является построение и обоснование алгоритмов статистического моделирования для решения нелинейных кинетических уравнений больцмановского типа, основанных на использовании N-частичной модели газа, эволюция которой описывается уравнением Колмогорова. Применение разработанных алгоритмов к решению некоторых задач динамики разреженного газа.
Методы исследования базируются на уравнениях Колмогорова, описывающих эволюцию ансамбля взаимодействующих частиц, теории интегральных уравнений второго рода и теории весовых методов Монте-Карло.
Научная новизна.
Х Построен и обоснован новый алгоритм статистического моделирования решения задачи Коши для уравнения Смолуховского. Этот алгоритм основан на предложенном автором методе дополнительной переменной, что дает возможность имитировать процесс коагуляции при фиксированном числе модельных частиц.
Х Построен и обоснован новый алгоритм статистического моделирования решения задачи Коши для уравнения коагуляции с источником, причем в качестве вспомогательных уравнений использовалась система уравнений Колмогорова.
Х Предложен и обоснован метод мажорантной частоты, на основе которого построена эффективная схема моделирования решения задачи Коши для основного кинетического уравнения Каца. Этот метод сочетает в себе идеи метода максимального сечения и метод дополнительной рандомизации.
Х Теоретически обоснована схема Берда для случая пространственно однородной релаксации химически нейтрального газа, т.е. получено интегральное уравнение на плотность взаимодействий, которое описывает эволюцию N-частичной модели газа. Доказано, что при определенных условиях и при N одночастичная плотность распределения удовлетворяет обобщенной задаче Коши для уравнения Больцмана.
Х Построены и обоснованы алгоритмы статистического моделирования однородной по пространству релаксации газа и смеси химически нейтральных газов. Эти алгоритмы основаны на предложенном автором методе дополнительной переменной.
Х Разработаны новые алгоритмы весового моделирования эволюции ансамблей взаимодействующих частиц для оценки функционалов от решения пространственно-однородных кинетических уравнений Больцмана и Смолуховского.
Х Предложены и апробированы алгоритмы для частичного ценностного моделирования элементарных переходов при решении кинетических уравнений. Для моделирования длины свободного пробега N-частичной системы использовано несколько приближений к известной функции ценности, которые могут быть использованы в реальных задачах.
Х Разработанные весовые методы, в сочетании с методом коррелированной выборки, применены для исследования важной параметрической зависимости приближенного решения уравнения Больцмана от числа модельных частиц. Для модельных N-частичных кинетических уравнений с помощью высокоточных тестовых расчётов впервые получен порядок относительной погрешности 1/N.
Практическая значимость работы. Разработанные алгоритмы могут применяться при решении практических задач коагуляции и динамики разреженного газа: для моделирования обтекания выпуклых тел потоками разреженного газа, моделирование течения газа в соплах различной геометрии.
ичный вклад соискателя заключается в построении и обосновании алгоритмов статистического моделирования для решения нелинейных кинетических уравнений больцмановского типа, основанных на использовании N-частичной модели газа, эволюция которой описывается уравнением Колмогорова. А также применение разработанных алгоритмов к решению некоторых задач динамики разреженного газа.
Все результаты, представленные в диссертации, получены автором самостоятельно или при его непосредственном участии.
Апробация работы. Основные результаты, изложенные в диссертации, докладывались и обсуждались на семинаре Отдела статистического моделирования в физике ИВМиМГ СО РАН(1985-2010г.г.), а также на ряде всероссийских и международных конференций, в том числе:
- Всесоюзных конференциях по динамике разреженного газа (1985, 1987, 1989, 1991 г.г.);
- Всесоюзных школах-семинарах по методам механики сплошной среды (1985, 1987, 1989 г.г.);
- Всесоюзной конференции по методам Монте-Карло (1985);
- Всесоюзных конференциях по прикладной аэродинамике (Днепропетровск 1986, 1988 г.г.);
- Советско-Японских симпозиумах по вычислительной аэродинамике (Хабаровск, 1988 и Цукуба, 1990);
- III Аэрокосмическом симпозиуме (Брауашвайг, Германия, 1991 г.);
- XVI, XVII, XVIII, XXIV, XXV Международных симпозиумах по динамике разреженного газа ( Цукуба, Япония, 1984; Стэнфорд, США, 1988; Аахен, Германия, 1990; Ванкувер, Канада, 1992, Бари, Италия 2006, С.Петербург, Россия 2008 );
- Всероссийской конференции по вычислительной математике КВМ (г. Новосибирск 2007, 2009);
Публикации. По теме диссертации опубликовано 53 печатные работы, в том числе одна монография. Основные результаты содержатся в журналах из списка ВАК [1-16].
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, семи глав, заключения и списка цитируемой литературы. Общий объем работы 231 страница, включая 23 рисунка и 5 таблиц. Список литературы содержит 264 наименования.
Основное содержание работы
Во введении обоснована актуальность темы диссертации, цель и задачи исследований, дается краткий обзор литературы по изучаемым в диссертации вопросам. Изложено краткое содержание диссертации по главам и параграфам.
Первая глава посвящена известному методу прямого статистического моделирования, предложенному Г. Бердом. В данном главе излагается один из возможных вариантов теории этого метода. С помощью построенной теории удалось показать, используя условия применимости метода Берда, непосредственную связь этого метода с уравнением Больцмана в пространственно однородном случае.
Вторая глава посвящена прямому статистическому моделированию кинетических процессов, основанному на использовании уравнений Колмогорова.
В целях удобства запишем нелинейное уравнение Больцмана в форме, в которой явно представлены законы сохранения импульса и энергии при столкновении двух частиц. Для этого воспользуемся следующим выражением w(v1, v2 v1, v2) = (v1 - v2)2 - (v1 - v2)2 v1 + v2 - v1 - v= (|v1 - v2|, )1 3, 2 где 1(... ) и 3(... ) - одномерная и трехмерная дельта-функции.
Тогда задача Коши для уравнения Больцмана, записанного в новой форме, примет вид:
f(v, t) =n0 w(v, v1v, v1) {f(v, t)f(v1, t) - f(v, t)f(v1, t)} dv dv1dv1, t>0, t (2.1) f(v, t) = f0(v). (2.2) t=При построении метода Монте-Карло для решения задачи Коши (2.1) (2.2) в соответствие с общим подходом, можно сформулировать вспомогательное уравнение и начальные условия к нему для эволюции ансамбля взаимодействующих частиц. Однако, проще воспользоваться известным в кинетической теории газов N-частичным уравнением Каца (в данном случае оно совпадает с уравнением Колмогорова), которое запишем в тех же обозначениях, что и уравнение (2.1):
P (v1,..., vN, t) n0 N-1 N = w(vi, vjvi, vj) t N - i=1 j=i+ P (v1,..., vi,..., vj,..., vN, t) - P (v1,..., vN, t) dvidvj, t > 0. (2.3) Присоединяя к этому уравнению начальные условия P (v1,..., vN, t) = P0(v1,..., vN), vi R3, t (0, T ], (2.4) t=получим задачу Коши для N-частичного уравнения Каца.
Зададим на решении P (v1,..., vN, t) задачи (2.3) - (2.4) линейный функционал (1) f(v, t) = P (v, v2,..., vN, t)dv2... dvN = P (v, t), для него справедлива следующая теорема соответствия.
Теорема 2.1.Функционал f(v, t), как функция параметров (v, t), при условии молекулярного хаоса, удовлетворяет задаче (2.1),(2.2).
Данная теорема устанавливает связь между решением задачи (2.3),(2.4) и решением задачи (2.1),(2.2). Используя ее, можно строить методы МонтеКарло для решения нелинейного кинетического уравнения Больцмана в пространственно однородном случае. В п. 2.1. описывается известный процесс моделирования, который носит название "основной марковский процесс". Трудоемкость этого метода пропорциональна N3, где N - число модельных частиц. В случае максвелловских молекул реализация этого алгоритма (основного марковского процесса) для моделирования парных столкновений в модельном ансамбле частиц является самым простым и быстродействующим алгоритмом. Это обстоятельство связано с тем, что величина, определяющая случайное время между столкновениями в модельном ансамбле частиц N-1 N N-1 N A(V)= w(vi, vjvi, vj)dvidvj= gijtot(gij)=N(N-1) const, i=1 j=i+1 i=1 j=i+так как gtot(g) = const для максвелловских молекул, и нет необходимости вычисления этой величины после каждого столкновения.
Построение марковского процесса, основанное на другом принципе, позволяет сохранить указанные выше свойства алгоритма для максвелловских молекул. Этот принцип использует специфику N-частичной модели газа и основан на идеях метода "максимального сечения"и дополнительной рандомизации. В п. 2.2. вводится метод мажорантной частоты, который реализует этот принцип.
В п. 2.3. рассмотрен вопрос о корреляционной функции двух частиц в методе прямого статистического моделирования в пространственно однородном случае. В системе с конечным числом взаимодействующих частиц, когда фазовые координаты частиц после взаимодействия вычисляются с учетом выполнения определенных законов сохранения, неизбежно возникает зависимость между фазовыми координатами частиц. Это приводит к нарушению условия молекулярного хаоса. Для описания этого нарушения вводится корреляционная функция двух частиц g(v1, v2, t) = p(v1, v2, t) - p(1)(v1, t)p(1)(v2, t), где p(1)(v1, t) = p(v1, v2, t)dv2.
В данном пункте для уравнения Колмогорова при слабых ограничениях на сечение взаимодействия двух частиц, получено равновесное решение и показано, что оператор двухчастичных столкновений обладает полным набором собственных функций. Эти два факта дают возможность представить в виде сходящегося ряда решение задачи Коши для уравнения Колмогорова и определить временную асимптотику корреляционной функции двух частиц.
Нахождение равновесного решения уравнения Колмогорова опирается на следующую теорему.
Теорема 2.2. В классе непрерывных функций, удовлетворяющих условиям:
1. pN(v1,..., vN) 0 V = (v1,..., vN) R3N, 2. pN(V, t)dV = 1, N N 2 3. vi pN(V, t)dV = vi pN(V, 0)dV = N E, E = const > 0, i=1 i=4. pN(v1,..., vi,..., vj,..., vN, t) = pN(v1,..., vN, t), i, j [1,..., N], i = j, максимум функционала H(p) = - p(v1,..., vN) ln p(v1,..., vN)dv1... dvN реализуется на единственной функции N 3 3vM(V) = fM(vi), fM(v) = exp(- ).
2E 2E i=Далее рассматривается оператор двухчастичных столкновений Kp(v1, v2) = w(v1, v2v1, v2) [p(v1, v2) - p(v1, v2)] dv1dv2.
Показано, что оператор K обладает полной ортонормированной системой собственных функций {i(v)}.
Опираясь на этот факт, получено асимптотическое по времени выражение для корреляционной функции двух частиц (1) (1) g(v1, v2, t) exp(-1t) F(v1, v2) - fM(v1)F (v2) - fM(v2)F (v1), k здесь F(v1, v2) = cii(v1, v2), где i(v1, v2) - собственные функции i=двухчастичного оператора столкновений, относящиеся к собственному числу 1.
В третьей главе представлен метод дополнительной переменной для решения уравнения Больцмана в пространственно однородном случае и его обобщение на смеси химически нейтральных газов. Приведено его обоснование.
Метод дополнительной переменной основан на использовании уравнений Колмогорова в качестве уравнений, описывающих эволюцию ансамбля взаимодействующих частиц. В п. 3.1. описывается построение данного метода для простого одноатомного газа в пространственно однородном случае.
Пусть имеется система, состоящая из N частиц. Состояние каждой частицы будем описывать совокупностью фазовых координат x = (w, v) , где v - скорость частицы, w - дополнительная фазовая координата. Состояние всей системы будем описывать вектором X = (x1,..., xN). Введем в рассмотрение p(X, t) - плотность распределения вероятностей по состояниям системы в момент времени t, заданной на [0, ). Функция N p(x1,..., xN, t) в силу своего определения удовлетворяет условию нормировки:
p(X, t)dX ... p(x1,..., xN, t)dx1... dxN = 1.
N Подчиним эволюцию плотности распределения p(X, t) во времени уравнению Колмогорова, полагая, что характер взаимодействия частиц в ансамбле парный:
p(x1,..., xN, t) = N t N- = k(x i, x j xi, xj)p(x1,..., x i,..., x j,..., xN, t)dx idx j i=1 j=i+1 N-1 N - k(x i, x j xi, xj)p(x1,..., xN, t)dx idx j, (3.5) i=1 j=i+1 p(x1,..., xN, t) = p0(x1,..., xN).
t=В (3.5) взаимодействие частиц описывается функцией k(x 1, x 2 x1, x2). Для сохранения общности изложения ее вид не конкретизируется.
На решении p(x1,..., xN, t) задачи (3.5) определим функционал f(v, t) ... (w)p(x, x2,..., xN, t)dx2... dxNdw.
N-В нашем распоряжении имеются две произвольные функции (w) и k(x 1, x 2 x1, x2), первая из которых определяет функционал f(v, t), а вторая описывает взаимодействие частиц в (3.5). Выберем эти функции таким образом, чтобы f(v, t) удовлетворял при условии молекулярного хаоса нелинейному уравнению Больцмана. В частности, положим A0(|v1 - v2|, ) k(x 1, x 2 x1, x2) = a(N - 1) {(w1 - w2) [q1(s, u )(v1 - v1)(v2 - 2)(w1 - 1(s, u ))(w2 - 2(s, u ))+ + q2(s, u )(v1 - 1)(v2 - 2)(w1 - 3(s, u ))(w2 - 4(s, u ))] + + (w2 - w1) [q1(s, u )(v1 - 1)(v2 - v2)(w1 - 2(s, u ))(w2 - 1(s, u ))+ + q2(s, u )(v1 - 1)(v2 - 2)(w1 - 4(s, u ))(w2 - 2(s, u ))] + + [1 - (w1 - w2) - (w2 - w1)] [q1(s, u ) + q2(s, u )] (v1 - 1)(v2 - 2)(w1 - w )(w2 - w )} d, (3.6) 1, z > 0, где s = max{w1, w2}, u = min{w1, w2} и (z) = 0, z 0.
w Далее положим (w) =, где a = wp(1)(w, v, t) | dwdv, тогда a t=w f(v, t) = p(1)(w, v, t)dw (3.7) a (далее индекс у f(v, t), опускается, так как вид уже фиксирован).
Теорема 3.1.Пусть величины A0(|v1 - v2|, ), q1(s, u), q2(s, u), i(s, u), где i = 1, 2, 3, 4,, входящие в k(x 1, x 2 x1, x2), неотрицательны и связаны соотношениями 3(s, u)q2(s, u) = 3(u, s)q2(u, s), (3.8) A0(|v1 - v2|, ) = n(|v1 - v2|, )|v1 - v2|, (3.9) 3(s, u)q2(s, u) + 2(s, u)q1(s, u) + 4(s, u)q2(s, u) = 2su. (3.10) [s - 1(s, u)] q1(s, u) + sq2(s, u) = su, q1(s, u) + q2(s, u) = 1. (3.11) Тогда в приближении молекулярного хаоса функционал f(v, t) удовлетворяет задаче Коши f(v1, t) = n |v1 - v2|(|v1 - v2|, ) {f(1, t)f(2, t)-f(v1, t)f(v2, t)} dv2d, t t w f(v1, t) | = p(1)(w1, v1)dw1.
a t=Очевидно, что соотношений (3.8) - (3.11) недостаточно для однозначного определения k(x 1, x 2 x1, x2). Таким образом, существует целый класс функций k(x 1, x 2 x1, x2), который определяется видом (3.6) и соотношениями (3.8) - (3.11). С каждой функцией из этого класса связан соответствующий столкновительный процесс. В частности, Схема 1.
q1(s, u) = s - u, 1(s, u) = s, 3(s, u) = s, q2(s, u) = u, 2(s, u) = u, 4(s, u) = u.
Схема 2.
q1(s, u) = s, 1(s, u) = s - u, 3(s, u) = s - u, q2(s, u) = 0, 2(s, u) = 2u, 4(s, u) = 2u.
Численные эксперименты, проведенные по схемам 1 и 2 показали, что дисперсияоценоквслучае схемы2примерно в1.5раза выше,чемвслучаесхемы 1.
В п.3.2. производится обобщение метода дополнительной переменной на смеси химически нейтральных газов.
В четвертой главе производится построение весовых и ценностных модификаций оценок, используемых в методе статистического моделирования для приближенного решения нелинейного уравнения Больцмана. В п.4.1. для построения и обоснования алгоритмов прямого статистического моделирования с целью приближенного решения нелинейного кинетического уравнения Больцмана предлагается использовать линейное интегральное уравнение, которое эквивалентно N-частичному уравнению Леонтовича с регуляризованным по пространственным переменным эффективным сечением парных столкновений. Однако использовать это уравнение непосредственно для построения стандартных весовых модификаций прямого моделирования невозможно, так как его ядро представляет собой сумму взаимно сингулярных слагаемых. В настоящей главе это затруднение преодолевается путем введения номера взаимодействующей пары частиц в число координат фазового пространства системы, в результате чего в ядре остается лишь один сингулярный сомножитель. Для такого ядра оказывается возможным построение алгоритма с "глобальным"весом, который после каждого элементарного перехода в моделируемой цепи Маркова домножается на стандартный весовой множитель. Это позволяет распространить хорошо разработанную теорию весовых методов на рассматриваемый класс задач и, в частности, дает возможность оценивать параметрические производные от решения, что особенно важно при численном исследовании влияния различных параметров на решение нелинейного уравнения Больцмана.
В п.4.2 и п.4.3. формулируется математическая модель стохастической кинетики многочастичной системы и, после "расслоения"распределения столкновений в системе по номеру пары взаимодействующих частиц, построено базовое интегральное уравнение в расширенном фазовом пространстве. Оно имеет следующий вид t F (Z, t) = F (Z, t )K(Z, t Z, t)dZ dt + F0(Z, t). (4.12) 0 Z здесь dZ = dXd0(), причем интегрирование по мере 0 означает суммирование по всем различным парам = (i, j), или F = KF + F0, где K интегральный оператор с ядром K(Z, t Z, t) = K(Z, t Z, t)a ()A-1(R, V, S ), K(Z, t Z, t) = A(R, V, S )E(R, V, S, t - t )(R - R - (t - t )V ) K1(V, S V, S|R, ), N K1(V, S V, S|R, ) = k(vi, s i, vj, s j vi, si, vj, sj|ri, rj) (vm - vm), m=m =i,j t - A(R +t V,V,S)dt A(R, V, S ) = a(), E(R, V, S, t) = e.
Обычно при решении методом прямого статистического моделирования вычисляют не само решение, а функционалы от него вида JH(t) = H(X)p(X, t)dX.
Для них имеем следующее утверждение.
t Лемма 4.1. Справедливо представление JH(t)= H(X, t-t )F (Z, t )dZdt, 0 Z где Z = (R, S, , V ), H(X, t) = H(R + tV, V, S)E(R, V, S, t).
В п.4.4. вводится цепь Маркова {Zn, tn}, n = 0, 1, , с нормированной плотностью перехода (1) P (Z, t Z, t) = p1(t|X, t )(R - R - (t - t )V )q(|R, V, S ) N p2(V, S|R, , V, S ) (vm - vm) m=m =i,j и нормированной плотностью распределения начального состояния (Z0, t0) :
(0) P (Z, t) = P0(Z)(t).
Далее, производится построение случайного веса по формулам:
Q0 = F0(Z)/P0(Z), Qn = Qn-1Q(Zn-1, tn-1; Zn, tn);
Q(Z, t ; Z, t) = {A(R, V, S )E(X, t - t )/p1(t|X, t )} {a ()A-1(R, V, S )/q(|R, V, S )} ()(V, S|R, V, S, )a-1(x i, x j)/p2(V, S|R, , V, S );
Вес Qn, в отличие от использованных в главе 3 нестандартных весов отдельных частиц, можно назвать "глобальным". Для вычисления величины JH(t) введем случайные величины - функционалы от траектории системы = QnH(Xn, t - tn), = QH(X, t - t)/g(X, t), n=t где g(X, t ) = 1 - p1(|X, t )d. В теории методов Монте-Карло величину принято называть оценкой по столкновениям, а величину - оценкой по поглощениям.
Теорема 4.1.При выполнении условий P0(Z) = 0, если F0(Z) = 0;
Q(Z, t ; Z, t) < +, Z, Z Z; t, t [0, T ], имеем E = JH(t). Если, дополнительно, g(X, t) > 0, X X, t [0, T ], то E = JH(t).
В п.4.5. рассматриваются вопросы, связанные с конечностью введенных оценок и .
Весовой метод дает возможность эффективно изучать зависимость результатов от параметров задачи (п.4.6.), например, от параметров {ck} дифференциального сечения (xi, xj), в том числе параметра регуляризации . В частности, с помощью стандартных приемов теории весовых алгоритмов построены оценки соответствующих параметрических производных с конечной дисперсией.
В п.4.7. построенные в предыдущих пунктах весовые методы применяются к приближенному решению нелинейного кинетического уравнения Больцмана в пространственно однородном случае. Подробно, с применением весового метода, исследуется зависимость решения от количества частиц в модельном ансамбле.
Рассмотрим какой-либо функционал GN от решения PN(V, t) уравнения (2.3). Предполагая аналитическую зависимость GN от, представим его в N следующем виде:
GN = G + + O( ). (4.13) N NПервый член в правой части описывает предельное значение рассматриваемого функционала и соответствует бесконечному числу частиц в модельной системе. Коэффициент от N не зависит, поэтому можно провести два расчета при N1 и N2, а затем, считая N1, N2 достаточно большими ( в смысле справедливости разложения (4.13) ), исключить линейное по слагаемое из N (4.13) и получить приближение к G:
NG GN + (GN - GN ). (4.14) 2 2 N2 - NЗначение разности GN - GN может оказаться малым по сравнению со зна2 чениями GN, GN, поэтому для ее вычисления необходимо применять метод 2 коррелированной выборки. В данном случае особенностью его применения является одновременное построение траекторий N-частичного случайного процесса при различных N с положительной корреляционной зависимостью.
Оказалось, что наиболее эффективно с помощью веса учитывать лишь различие параметров распределения случайного временного интервала между последовательными столкновениями для ансамблей частиц объемом N1 и N2.
Алгоритм такого учета состоит в следующем. Временной шаг моделируется соответственно плотности exp(-), причем aN2/2 aN1/2. После выбора веса Q1, Q2, соответствующие ансамблям объемов N1, N2 пересчитываются по формулам :
aN1 aNQ1 = Q 1 exp(-(aN1/2 - )), Q2 = Q 2 exp(-(aN2/2 - )) 2 2 Очевидно, что целесообразно подобрать так, чтобы достигался следующий минимакс:
min max EQ2(t), EQ2(t).
1 Откуда вытекает, что минимаксное значение = a(N1 + N2)/4.
Для достижения большей корреляционной зависимости между ансамблями частиц требуется дополнительно коррелировать парное взаимодействие частиц. Для этого целесообразно выбирать номер взаимодействующей пары без использования метода исключения. Приводятся два таких способа розыгрыша : простой и сложный выбор пар.
Численные эксперименты проводились для решения задачи Коши (2.1), (2.2) с известным решением Боболева:
v2 1 - (t) v2 f(v, t) = ((2(t))- exp - - + 1, 2(t) (t) 2(t) где параметры (t) и определяются соотношениями (t) = 1 - e-t;
= g(cos ) sin3 d, g() = (2)-1; -1 1, = 1.1.
Использовалось два ансамбля частиц с N1 = 11, N2 = 10, при этом осреднение результатов производилось по 107 траекторий случайного процесса. Оценивался функционал z5(t) - 10-ый момент скоростей частиц. На рис. 4.1., 4.2. хорошо видно (в пределах доверительного интервала), что компенсация линейной зависимости по на основе результатов расчетов для N N1 и N2 позволяет значительно повысить точность аппроксимации решения уравнения Больцмана решением N-частичного уравнения по параметру.
N Фактически, такая процедура по точности получаемых результатов эквивалентна проведению вычислений с количеством частиц равным N1 в модельной системе.
Рис.4.1. Поведение Z5 от времени. Рис.4.2. Поведение Z5 от времени.
Простой выбор пар. Сложный выбор пар.
В п.4.8. рассматриваются УценностныеФ модификации весового статистического моделирования для численного решения нелинейного кинетического уравнения Больцмана в пространственно-однородном случае. В данном случае использовалось частичное ценностное моделирование, в частности, оптимизировалось распределение длины свободного пробега при моделировании цепи Маркова. Для оценки функционалов JH(t) применялась оценка по столкновениям. Поскольку при моделировании используются нормированные приближения к функции ценности, то вероятность обрыва цепи Маркова при этом тождественно равна нулю, следовательно, необходимо дополнительно моделировать обрыв траектории с малой вероятностью. Один из вариантов обрыва цепи связан с введением поглощения, начиная с m-го состояния. В настоящей пункте был использован следующий вариант обрыва. Продолжаем временной промежуток, на котором строится цепь, на величину > 0.
Функция H, определяющая JH(t), зануляется после пересечения уровня T, а распределение столкновений моделируется на расширенном временном интервале t [0, T + ]. Формально, на этом интервале цепь Маркова имеет бесконечное число переходов, но функция H отлична от 0 только в интервале [0, T ], поэтому обрыв траектории при t > T оставляет оценку несмещенной.
В качестве приближений к функции ценности свободного пробега рассматривались:
1. (t) = I(t); 2. (t) = z5(T + - t) I(t), 1 где I(t) - индикатор временного интервала [0, T + ].
Численные эксперименты проводились для задачи Коши, сформулированной в п.4.7., для значений T = 1, T = 5, и T = 10. Модельный ансамбль содержал N = 100 частиц и осреднение проводилось по 106 траекториям.
Параметр продолжения временного промежутка, на котором строилась цепь Маркова был равен = 10-5. При применении обоих приближений наблюдалось снижение трудоемкости в указанных временных точках приблизительно в два раза по сравнению с трудоемкостью прямого моделирования.
Пятая глава посвящена статистическому моделированию решения нелинейного кинетического уравнения Смолуховского. В п.5.1. описывается статистическое моделирование решения задачи Коши для нелинейного кинетического уравнения Смолуховского с источником. При наличие источника кластеров уравнение коагуляции имеет следующий вид:
n(l, t) = k(i, j)n(i, t)n(j, t) - n(l, t) k(l, i)n(i, t) + q(l, t) (5.15) t i+j=l i=где n(l, t) - числовая плотность кластеров размера l в момент времени t, k(i, j) - коэффициенты коагуляции, которые являются заданными величинами, q(l, t) - источник кластеров размера l. В предыдущих главах для описания эволюции ансамбля взаимодействующих частиц использовалось уравнение Колмогорова с постоянным числом модельных частиц. Для учета источника с заданным спектром в нелинейном кинетическом уравнении Смолуховского, при построении метода Монте-Карло, необходимо использовать N-частичное уравнение Колмогорова с переменным числом частиц. В данном пункте получена система уравнений Колмогорова, описывающая эволюцию ансамбля взаимодействующих частиц и учитывающая источник частиц с заданным спектром по размерам. Доказано, что при условии молекулярного хаоса, функционал n(l, t) =... NP (N, l, l2..., lN, t), N=0 l2=1 lN =где P (N, l1,..., lN, t) - решение системы Колмогорова, как функция параметров (l, t), удовлетворяет уравнению (5.15) с соответствующими начальными условиями. Далее система уравнений Колмогорова записывается в интегроалгебраическом виде и формулируется метод прямого моделирования.
Приводятся результаты численного эксперимента, демонстрирующие хорошее согласие с тестовым решением.
В п.5.2. рассматривается случай нелинейного кинетического уравнения Смолуховского без источника. При применении уравнения Колмогорова для построения метода прямого статистического моделирования возникают определенные затруднения, связанные с вырождением количества частиц в модельном ансамбле. Использование метода дополнительной переменной (метод локальных весов) позволяет избежать этого нежелательного эффекта. В данном пункте сформулирована схема статистического моделирования с дополнительной переменной и приводится ее обоснование. Приведены результаты численного эксперимента.
В п.5.3. рассматриваются весовые методы Монте-Карло для приближенного решения нелинейного уравнения коагуляции без источника в пространственно однородном случае. Сформулировано уравнение Колмогорова, описывающее эволюцию ансамбля взаимодействующих частиц и учитывающее переменный характер количества частиц в ансамбле. Используя интегроалгебраическую форму данного уравнения, произведено расслоение столкновительного процесса по номеру взаимодействующей пары. Это приводит к формулировке базового интегрального уравнения в модифицированном фазовом пространстве. На основе это уравнения введение весов и построение оценок для параметрических производных осуществляются также как и в главе 4.
В качестве задачи, для решения которой использовались построенные алгоритмы, была выбрана следующая задача Коши:
n(l, t) = k(i, j)n(i, t)n(j, t) - n(l, t) k(l, i)n(i, t), (5.16) t 2 i=i+j=l n(i, t) | = i,1, (5.17) t=где n(i, t) - объемные концентрации частиц из i мономеров, зависящие от времени t; k(i, j) - коэффициенты коагуляции. Эта задача с k(i, j) = 1 имеет точное решение. Оно имеет вид:
n(k, t) = (0, 5t)k-1/(1 + 0, 5t)k+1, k 1, t > 0.
В численных экспериментах были реализованы алгоритмы для вычисления параметрических производных. С целью получения параметрической зависимости функционалов в рассматриваемой задаче Коши вводился параметр посредством замены коэффициента коагуляции на k(i, j) = . Для определенности рассматривался функционал, имеющий физический смысл - среднего количества частиц в коагулирующей системе в момент времени t. Статистическая оценка производной среднего количества частиц по коэффициенту коагуляции, полученная из оценки по-поглощениям имеет вид Ni(Ni - 1) N(N - 1) N | = [1 - (ti - ti-1)] - (t - t). (5.18) i=1 2N0 2N0 N=Результаты расчетов, с использованием этой оценки, для задачи Коши (5.16), (5.17) с начальным количеством частиц N0 = 200, представлены на рис. 5.2..
В расчетах использовалось 106 траекторий. Максимальное значение среднеквадратической погрешности относительно среднего значения оценки (5.18) в расчетных точках на всем временном интервале (0, 10] не привосходит 2%. На рис.5.2. пунктиром указан доверительный интервал, соответствующий утроенному максимальному значению среднеквадратической погрешности.
Рис. 5.2. Результаты численных расчетов производной по коэффициенту коагуляции функции N(t) с использованием оценки (5.18).
Рис. 5.3. Приближенное решение уравнения Смолуховского глобально-весовым методом :
-проверка порядка погрешности O(N0 ).
В численных экспериментах, в которых использовались построенные в данном пункте весовые алгоритмы, было выбрано значение k = 2 и решение рассматривалось на временном интервале (0, 10). Целью численных экспериментов было подробное исследование зависимости решения N-частичной задачи от числа начальных частиц. Поведение значения функционала n(2, t), на выбранном временном интервале, рассматривалось для модельных ансамблей, имеющих разное количество начальных частиц N0 = 20, 21. Для численных расчетов использовались как коррелированные алгоритмы прямого моделирования, так и весовые модификации. В каждом случае осуществлялся выбор номера пары без применения метода исключения. Одновременно строились две траектории, то есть моделировались ансамбли с начальным (1) (2) (1) (2) количеством частиц N0 и N0 (N0 > N0 ). Было реализовано два варианта моделирования. В первом варианте для разных ансамблей с начальным количеством частиц N0 проводилось прямое моделирование с использованием одних и тех же псевдослучайных последовательностей. Во втором варианте использовались, введенные выше, глобальные веса. При этом с помощью веса учитывалось различие параметров распределения случайного временного интервала между последовательными взаимодействиями при совмест(1) (2) ном моделировании ансамблей с начальным количеством частиц N0 и N(1) (2) (N0 > N0 ). Поскольку при моделировании N-частичных траекторий количество частиц изменяется, то временной шаг следует моделировать соответственно плотности n exp(-n), где n зависит от состояния траектории, причем A(2) n A(1). Далее для определенности, в качестве оценки n n для вычисления указанной разности, будет рассматриваться оценка . После выбора веса Q(1), Q(2), соответствующие ансамблям с начальным объемов n n (1) (2) N0, N0 пересчитываются по формулам :
A(i) Q(i) = Q(i) n-1 exp(-(A(i) - n-1)(tn - tn-1)), i = 1, 2 (5.19) n n-1 n-n-Во втором варианте моделируемая цепь строилась на основе рассмотренного в п. 4.7. минимакса, а результаты для обоих ансамблей вычислялись с помощью весов. В обоих случаях рассчитанное решение, приближенно соответствующее бесконечному числу начальных частиц, практически совпало с аналитическим. Это подтверждает эвристически предполагаемый порядок -погрешности O(N0 ).
Второй, т.е. весовой вариант, оказался несколько более эффективным. Полученные с помощью этого варианта моделирования результаты расчетов n(2, t) представлены на рис. 5.3. Две верхние кривые, соответствующие на(1) (2) чальным значениям частиц N0 = 21 и N0 = 20 практически совпадают. Нижние кривые представляют собой решение, рассчитанное по формуле (4.14) (кривая, показанная точками), и аналитическое решение, показанное сплошной линией. В приведенных расчетах использовалось 106 траекторий.
Максимальное значение среднеквадратической погрешности на всем временном интервале для верхних кривых равно 8.3 10-5, а для решения, рассчитанного по формуле (4.14), - 1.2 10-3.
При использовании весового моделирования время между взаимодействиями разыгрывалось по экспоненциальному закону с параметром равным 2A(1)A(2) k k k =, k = 0,..., n - 1.
A(1) + A(2) k k В п. 5.4. рассматриваются ценностные модификации статистического моделирования для решения нелинейного кинетического уравнения Смолуховского в пространственно однородном случае. Рассмотрено подробно Участичное ценностноеФ моделирование времени между столкновениями, когда осуществляется УценностноеФ моделирование только по временн координате, а для ой моделирования остальных координат используются физические плотности.
Для уравнения Смолуховского решается задача оценки величины (1) Ih (T ) = n1(T ), т.е. среднего числа мономеров в момент времени T. В качестве статистической оценки использовалась оценка по столкновениям. Рассматривались два приближения к функции ценности свободного пробега:
4 1. (t) = I(t); 2. (t) = exp( t) I(t), 1 (2 + T + )2 2 + T + где I(t) - индикатор отрезка [0, T + ], - величина продолжения временного промежутка, на котором строится цепь Маркова.
В данном пункте также рассмотрен случай частичного ценностного моделирования номера пары (при этом временная координата имеет физическое распределение) и случай полного ценностного моделирования (когда, наряду с ценностным выбором номеров сталкивающихся частиц, происходит ценностное моделирование временной координаты). Результаты численных экспериментов для N0=100, = 10-5, число траекторий 106 приведены в таблице 5.3.
(1) Таблица 5.3. Оценка функционала Ih (T ) с использованием ценностного моделирования номера пары и различных УценностейФ свободного пробега для уравнения Смолуховского Sd (1)(T Моделирование Ih ) tc(сек.) Sv свободного пробега T = 1, n1(1) = 4.444444 10-прямое 4.4665 10-1 3.1 10-4 51 ценностное с 4.46928 10-1 4.9 10-5 74 27.ценностное с 4.469229 10-1 2.5 10-6 87 90T = 5, n1(5) = 8.16327 10-прямое 8.2420 10-2 5.6 10-5 88 ценностное с 8.2380 10-2 1.6 10-5 113 9.ценностное с 8.23824 10-2 1.1 10-6 142 16T = 10, n1(10) = 2.777778 10-прямое 2.8068 10-2 1.8 10-5 97 ценностное с 2.80473 10-2 6.6 10-6 124 5.ценностное с 2.804415 10-2 5.9 10-7 153 5T = 20, n1(20) = 8.26446 10-прямое 8.3443 10-3 5.2 10-6 102 ценностное с 8.3410 10-3 2.4 10-6 129 3.ценностное с 8.34050 10-3 2.7 10-7 161 2В шестой главе описан метод прямого моделирования для решения уравнения Больцмана в пространственно неоднородном случае. Рассмотрены вопросы, связанные с регуляризацией по пространственным переменным взаимодействия двух частиц. Получены приближенные экономичные алгоритмы, использующие дискретный шаг по времени. В п. 6.1. излагается вводная информация. Далее в п. 6.2. формулируется интегродифференциальное уравнение Колмогорова для эволюции ансамбля взаимодействующих частиц в пространственно неоднородном случае, учитывающее переменный характер количества частиц в модельном ансамбле. В качестве причины изменения числа частиц в ансамбле рассматриваются граничные условия, описывающие вход и выход частиц из модельного пространственного объема (он предполагается конечным). Граничные условия, описывающие вход частиц внутрь модельного объема, рассматриваются как источник частиц. Для сохранения общности изложения конкретизация функции k(vi, vj vi, vj|ri, rj), описывающей взаимодействие частиц ансамбля, при построении уравнения Колмогорова не производиться. Данная функция является регуляризацией взаимодействия по пространственным переменным и удовлетворяет условию ( - совокупность параметров регуляризации ) k(vi, vj vi, vj|ri, rj) k0(vi, vj vi, vj)(ri - rj), Здесь предел понимается в слабом смысле, k0(vi, vj vi, vj) - физическая плотность рассеяния.
В п.6.3. начально-краевая задача для уравнения Колмогорова, сформулированная в предыдущем пункте, записывается в виде интегрального уравнения Фредгольма второго рода. С использованием полученного интегрального уравнения формулируется метод прямого моделирования для приближенного решения начально-краевой задачи для нелинейного уравнения Больцмана. В п.6.4. представлены два традиционных вида регуляризации взаимодействия по пространственным переменным и в п.6.5. анализируются погрешности, связанные с ними. В п.6.6. производится приближенная минимизация трудоемкости алгоритма прямого моделирования при заданном уровне ошибки.
В п.6.7.-п.6.9., описываются экономичные(т.е. с трудоемкостью, пропорциональной полному числу частиц в системе) точные и приближенные алгоритмы статистического моделирования, использующие дискретный шаг по времени.
В численных расчетах методом прямого статистического моделирования всегда используется конечная система модельных частиц, и поэтому естественно исходить непосредственно из основного N-частичного кинетического уравнения для построения схем моделирования. Будем использовать основное кинетическое уравнение Леонтовича, для которого многими авторами подробно исследован переход к уравнению Больцмана. Такой подход существенно проясняет вопрос об адекватности результатов моделирования решению уравнения Больцмана.
Представим регуляризованное основное кинетическое уравнение Леонтовича в следующем эквивалентном виде:
N fN + vi fN + mfN = fN w(vi, vj vi, vj|ri, rj, )+ t ri i=1 i N(N - 1) [ij]m = max ij(gij|ri, rj, ), m = [ij]m. gij,ri,rj где - параметр регуляризации. Вероятностная трактовка интегральной формы уравнения (6.20) позволила получить общую схему прямого статистического моделирования. В зависимости от вида пространственной регуляризации взаимодействия частиц получен ряд точных алгоритмов реализации общей схемы моделирования: Х безъячеечный алгоритм, в котором возможны столкновения лишь тех частиц, расстояние между которыми не превосходит параметра регуляризации; Х ячеечный алгоритм, в котором сталкиваются только частицы, принадлежащие одной пространственной ячейке; Х ячеечный алгоритм с дополнительной сортировкой частиц по ячейкам. Отметим, что в первых двух алгоритмах необходим дополнительный отбор столкновительных пар в зависимости от пространственного положения обеих частиц. Для этих алгоритмов среднее время реализации одной N-частичной траектории непрерывного по времени случайного процесса пропорционально среднему числу частиц в системе. Заметим, что, в отличие от традиционной реализации метода ПСМ, в этих алгоритмах свободно-молекулярный перенос частиц должен выполняться после каждого столкновения. Для сохранения линейной зависимости трудоемкости от числа частиц была использована специальная организация вычислительного процесса (отложенный перенос). Приближенные экономичные алгоритмы моделирования пространственно неоднородных течений разреженного газа, использующие принцип расщепления на шаге t, представлены в данном пункте. Реализация процесса столкновений в этих алгоритмах соответствует точным алгоритмам, а свободномолекулярный перенос всех частиц производится только один раз на шаге t. Основным отличием всех этих алгоритмов от традиционных является использование единой временной шкалы для всей N-частичной системы. Повышение эффективности предложенных алгоритмов достигается разбиением области моделирования на ряд подобластей, что всегда приводит к уменьшению числа фиктивных столкновений. Использование переменного параметра регуляризации позволяет получить требуемое пространственное разрешение, в том числе и в зоне сильных градиентов течения. В п.6.10. получены асимптотические выражения для дисперсий оценок основных функционалов в методе прямого статистического моделирования в пространственно неоднородном случае. В седьмой главе приведены результаты применения полученных алгоритмов к решению прикладных задач. В п.7.1. приводятся результаты расчетов с использованием предложенных алгоритмов к решению двух классических задач динамики разреженного газа: структура ударной волны и теплопередача между двумя параллельными пластинами. Кроме этого приводятся результаты моделирования продольного обтекания плоской пластины и трехмерного обтекания затупленного полуконуса с крыльями. В задаче о теплопередаче в широком диапазоне чисел Кнудсена (от 1 до 0,01) получено практическое совпадение результатов по всем шести алгоритмам. Приведены результаты сравнения расчетов с при T1/T2 = 1.0, Kn = 0.05 и T. Расчеты структуры ударной волны для чисел Маха M = 3; 5; 7; 8 были в основном проведены по алгоритму 4, но для проверки работоспособности в части расчетов использовались и остальные алгоритмы. В п.7.2. приводятся результаты моделирования течения газа в MEMS. Ниже приведены отдельные результаты моделирования трехмерного течения газа в микросопле с высокой статистической точностью. Необходимые данные микросопла приведены в таблице 7.1.. Газ вытекает из микросопла в вакуум. Геометрическая конфигурация микросопла показана на Рис. 7.7., где схематично представлено разбиение трехмерной области моделирования. Отметим, что число Кнудсена, определенное здесь как отношение средней длины свободного пробега к размеру входного отверстия, равно 0.01. Температура стенок 300K и взаимодействие частиц газа со стенкой микросопла - диффузное ( полная аккомодация ). Таблица 7.1. Размеры микросопла и данные газа на входе в микросопло. длина 2.44мм высота входа 3.0мм высота среза 0.3мм высота выхода 1.5мм ширина 1.2мм газ Nдавление газа на входе 0.1атм температура на входе 2000К Рис. 7.7. Строение области моделирования для расчета течения газа в микросопле. Рис. 7.8. Распределение числовой плотности в установившемся течение газа в микросопле. Рис. 7.13. Контуры температуры в установившемся течение газа в микросопле. Заключение содержит перечень основных результатов диссертационной работы. Сформулируем основные результаты работы. 1. Теоретически обоснована схема Берда для случая пространственно однородной релаксации химически нейтрального газа, т.е. получено интегральное уравнение на плотность взаимодействий, которое описывает эволюцию N-частичной модели газа. Доказано, что при определенных условиях и при N одночастичная плотность распределения удовлетворяет обобщенной задаче Коши для уравнения Больцмана. 2. Используя уравнения Колмогорова, построены весовые и ценностные алгоритмы моделирования для пространственно однородного случая нелинейных кинетических уравнений Больцмана и Смолуховского. Разработанные весовые методы, в сочетании с методом коррелированной выборки, были применены для исследования важной параметрической зависимости приближенного решения уравнения Больцмана и Смолуховского от числа модельных частиц. Для модельных N-частичных кинетических уравнений с помощью высокоточных тестовых расчётов впервые получен порядок относительной погрешности 1/N. 3. Для пространственно неоднородного случая предложен новый алгоритм прямого моделирования, исследованы погрешности полученного алгоритма, получены оптимальные соотношения между параметрами алгоритма, влияющими на порядок погрешности. Построены экономичные алгоритмы, использующие дискретный шаг по времени. Получены асимптотические выражения для дисперсий основных гидродинамических характеристик газа. С использованием разработанных алгоритмов были решены тестовые задачи и задачи, имеющие важное практическое значение. Публикации по теме диссертации Публикации в журналах из списка ВАК. [1] Рогазинский С.В. Об одном подходе к решению однородного уравнения Больцмана // Ж. вычисл. матем. и матем.физ. 1987. Т. 27. N 4. С. 564-574. [2] Иванов М.С., Рогазинский С.В. Сравнительный анализ алгоритмов метода прямого статистического моделирования в динамике разреженного газа// Ж. вычисл. матем. и матем. физики. 1988. Т. 28. № 7. С. 1058-1070. [3] Ivanov M.S., Rogasinsky S.V. Analysis of numerical techniques of the direct simulation Monte Carlo method in the rarefied gas dynamics // Soviet Journal of Numerical Analysis and Mathematical Modeling. 1988. Vol. 3. № 6. P. 453-465. [4] Иванов М.С., Рогазинский С.В. Экономичные схемы статистического моделирования течений разреженного газа// Математическое моделирование. 1989. Т. 1. № 7. С. 130-145. [5] Иванов М.С., Рогазинский С.В. Статистическое моделирование течений разреженного газа на основе принципа мажорантной частоты // Докл. АН СССР. 1990. Т. 312. № 2. С. 315-320. [6] Михайлов Г. А., Рогазинский С.В. Весовые методы Монте-Карло для решения многочастичных задач, связанных с уравнением Больцмана// Докл. РАН. 2002. Т. 383. № 3. С. 731-734. [7] Михайлов Г. А., Рогазинский С.В. Весовые методы Монте-Карло для приближенного решения нелинейного уравнения Больцмана// Сибирский матем. журнал. 2002. Т. 43. № 3. С. 620-628. [8] Ivanov M.S., Korotchenko M.A., Mikhailov G.A., Rogazinsky S.V. New Monte Carlo global weight method for the approximate solution of the nonlinear Boltzmann equation // Rus. J. Numer. Analys. and Math. Modelling. 2004. Vol. 19. № 3. P. 223-240. [9] Коротченко М.А., Михайлов Г.А., Рогазинский С.В.. Иванов М.С. Глобально- весовой метод Монте-Карло для нелинейного уравнения Больцмана// Журнал вычисл. матем. и матем. физики. 2005. Т. 45. № 10. С. 1860-1870. [10] Михайлов Г.А., Рогазинский С.В., Урева. Весовой метод Монте-Карло для приближенного решения нелинейного уравнения коагуляции// Журнал вычисл. матем. и матем. физики. 2006. Т. 46. № 4. С. 714-725. [11] Mikhailov G.A., Rogasinsky S.V., Ureva N.M. Global weight Monte Carlo method for nonlinear coagulation equation// Russ. J. Numer. Analys. and Math Modelling. 2006. Vol. 21. № 1. P. 53-66. [12] Korotchenko M.A., Mikhailov G.A., Rogazinskii S.V. Value modifications of weighted statistical modeling for solving nonlinear kinetic equations// Russ. J. Numer. Analys. and Math. Modelling. 2007. Vol. 22. № 5. P. 471-486. [13] Коротченко М.А., Михайлов Г.А., Рогазинский С.В. Модификации весовых алгоритмов метода Монте-Карло для решения нелинейных кинетических уравнений. // Ж. выч. матем. и матем. физики. 2007. Т. 47. № 12. С. 2116-2127. [14] Михайлов Г.А., Рогазинский С.В., Коротченко М.А. Ценностные алгоритмы статистического моделирования для решения нелинейных кинетических уравнений// Докл. РАН. 2007. Т. 415. № 1. С. 26-30. [15] Titov E., Levin D., Rogazinsky S. V. Analyses of Numerical Errors in the Kinetic Modeling of Microthruster Devices// JOURNAL OF THERMOPHYSICS AND HEAT TRANSFER. 2007. Vol. 21. № 3. P. 616-627. [16] Rogasinsky S.V. Statistical modelling of the solution of the nonlinear Boltzmann equation in the spatially inhomogeneous case // Russ. J. Numer. Analys. Math. Modelling. 2009. Vol.24. № 5. P. 495-513. Прочие публикации [17 ] Пащенко С.Э., Рогазинский С.В., Сабельфельд К.К., Карасев В.В. Статистическое моделирование процессов коагуляции высокодисперсных систем // препринт N 574, В - СОАН, Новосибирск, 32C., 19[18 ] Рогазинский С.В. Метод Монте-Карло для решения нелинейного уравнения коагуляции // Сб.Теория и приложение статистического моделирования, Новосибирск, стр. 137-147, 19[19 ] Пащенко С.Э., Карасев В.В., Дулин М.Н., Сабельфельд К.К., Рогазинский С.В. Исследование быстропротекающих процессов образования аэрозолей в высокотемпературном факеле // Сб. Актуальные вопросы теплофизики физической гидрогазодинамики. ИТ СОАН, Новосибирск, стр.227-235, 19[20 ] Рогазинский С.В. Об одном подходе к решению нелинейных кинетических уравнений типа Больцмана методом Монте-Карло // 8 Всесоюзное совещание Методы Монте-Карло в вычислительной математике и математической физике. Тезисы докладов. Новосибирск 1985, C. 376-3[21 ] Рогазинский С.В. Об одном подходе к решению однородного уравнения Больмана // препринт N 617, В - СОАН, Новосибирск, 1985, 28C. [22 ] Иванов М.С., Рогазинский С.В. Сравнительный анализ численных схем метода прямого статистического моделирования течений разреженного газа // 8 Всесоюзное совещание Методы Монте-Карло в вычислительной математике и математической физике.Тезисы докладов. Новосибирк 1985, стр. 360-3[23 ] Рогазинский С.В. Применение МДП-метода к однородной релаксации смеси химически нейтральных газов // препринт N 640, В - СОАН, Новосибирск, 1986, 20C. [24 ] Иванов М.С., Рогазинский С.В. О связи метода прямого статистического моделирования с уравнением Больцмана // Сб. Статистическая механика. Численные методы в кинетической теории газов. ИТПМ СОАН, Новосибирск, 1986, стр.17-[25 ] Pashenko S.E., Sabelfeld K.K., Rogasinsky S.V. Monte Carlo simulation of coagulation processes // Fifteenith International Symposium on Rarefied Gas Dynamics. Book of abstracts. Grado, Italy, 1986,pp.55-[26 ] Рогазинский С.В. Метод Монте-Карло для нелинейного уравнения Больцмана в пространственно неоднородном случае // Сб. Методы статистического моделирования, В - СОАН, Новосибирск, 19[27 ] Рогазинский С.В. Теория метода прямого статистического моделирования для решения уравнения Больцмана ( метод Берда ) // препринт N 706, В - СОАН, Новосибирск, 1986, 20c. [28 ] Иванов М.С., Рогазинский С.В. Сравнительный анализ эффективности численных схем метода прямого статистического моделирования в динамике разреженных газов // Тезисы докладов IХ Всесоюзной конференции по динамике разреженных газов. Свердловск, 1987, т.1, стр.[29 ] Иванов М.С., Рогазинский С.В. Сравнительный анализ эффективности численных схем метода прямого статистического моделирования в динамике разреженного газа// препринт N 19-87, ИТПМ СОАН, Новосибирск, 1987, 18c. [30 ] Рогазинский С.В. Построение метода Монте-Карло для решения нелинейного уравнения коагуляции с источником// Сб. Численные методы статистического моделирования, В - СОАН, Новосибирск, 1987, стр.148-1[31 ] Рогазинский С.В. К теории метода прямого моделирования в динамике разреженного газа // Тезисы докладов Всесоюзной конференции ТАктуальные проблемы вычислительной и прикладной математикиТ, Новосибирск, 1987,стр.1[32 ] Иванов М.С., Рогазинский С.В. Метод прямого статистического моделирования в динамике разреженного газа // В - СОАН, Новосибирск, 1988, 120c. [33 ] Рогазинский С.В. К рeшению краевых задач для уравнения Больцмана методом Монте-Карло// Сб. Теория и приложения статистического моделирования, В - СОАН, Новосибирск, 1988, стр.101-1[34 ] Ivanov M.S., Rogasinsky S.V. Analysis of numerical schemes of direct statistical simulation method of rarefied gas dynamics// 16 International Simposium of Rarefied Gas Dynamics. Book of abstracts. Pasadena, California, USA, 1988, pp.14-[35 ] Иванов М.С., Рогазинский С.В. Сравнительный анализ эффективности численных схем метода прямого статистического моделирования в динамике разреженного газа// Труды IХ Всесоюзной конференции по динамике разреженных газов. т.1 Кинетическая теория газов. Аналитические и численные методы. Свердловск 1988, стр. 83-[36 ] Karasev V.V., Pashenko S.E., Sabelfeld K.K., Rogasinsky S.V. Investigation of the gas-cluster jet expansion from a capillary to vacuum and the deposition of clusters on a surface// XVI International Symposium on Rarefied Gas Dynamics. Book of abstracts. Pasadena, California, USA, 1988, pp.145-1[37 ] Иванов М.С., Рогазинский С.В. Экономичные схемы статистического моделирования пространственно неоднородных течений разреженного газа// препринт N 29-88, ИТПМ СОАН, Новосибирск, 1988, 34c. [38 ] Карасев В.В., Гераськин А.А., Камбалин С.А., Пащенко С.Э., Сабельфельд К.К., Рогазинский С.В. Высокоэффективные методы отбора проб аэрозолей для морфологического и элементного анализа индивидуальных частиц // XV Всесоюзная конференция. Актуальные вопросы физики аэродисперсных систем. Одесса 1989, т.1, стр.1[39 ] Иванов М.С., Рогазинский С.В. Экономичные схемы прямого статистического моделирования течений разреженного газа// Х Всесоюзная конференция. Динамика разреженных газов.Тезисы докладов. Москва 1989, стр.[40 ] Ivanov M.S., Rudyak V.Ja., Rogasinsky S.V. The direct statistical simulation method and the master kinetic equation// Proceeding of Soviet Union-Japan Symposium on Computational Fluid Dynamics. Khabarovsk 1988. Computing Centre of the USSR Academy of Sciences. Moscow 1989, pp.133-1[41 ] Рогазинский С.В. Решение краевых задач для уравнения Больцмана методом Монте-Карло// препринт N 843, В - СОАН, Новосибирск, 1989, 24c. [42 ] Рогазинский С.В. Метод Монте-Карло решения краевых задач для уравнения Больцмана// Сб. Теория и приложения статистического моделирования. Новосибирск, 1989, стр.108-1[43 ] Ivanov M.S., Rogasinsky S.V., Gimelshein S.F. Investigation of shock wave structure by majorant cell and free cell schemes of DSMC // XVII International Symposium on Rarefied Gas Dynamics. Book of abstracts. vol.2, Aachen, FRG, 1990, pp.568-5[44 ] Ivanov M.S., Rogasinsky S.V. Theoretical analysis of traditional and modern numerical schemes of the DSMC method // XVII International Symposium on Rarefied Gas Dynamics. Book of abstracts. vol.1, Aachen, FRG, 1990, pp.10-[45 ] Ivanov M.S., Rogasinsky S.V. Theoretical analysis of traditional and modern schemes of the DSMC method. ( invited Paper )// Proceeding of the 17th International Symposium on Rarefied Gas Dynamics. Aachen, FRG, 1990, pp. 629-6[46 ] Ivanov M.S., Rogasinsky S.V., Gimelshein S.F. Investigation of shock wave structures by majorant cell and free cell schemes of DSMC // Proceeding of the 17th International Symposium on Rarefied Gas Dynamics. Aachen, FRG, 1990, pp. 717-7[47 ] Иванов М.С., Рогазинский С.В. Статистическое моделирование течений разреженного газа на основе схем мажорантной частоты // Тезисы докладов Всесоюзной конференции ТАктуальные проблемы вычислительной и прикладной математикиТ, Новосибирск 1990, стр.68-[48 ] Rogasinsky S.V. On the pair correlations of particle evolution in the direct statistical simulation// Monte Carlo methods and applications,vol.2, No.1, 1996, pp.25-[49 ] Sabelfeld K.K., Rogasinsky S.V., Kolodko A.A., Levykin A.I. Stochastic algorithms for solving Smolouchovsky coagulation equation and applications to aerosol growth simulation// Monte Carlo methods and applications.,vol.2, No.1, 1996, pp.41-[50 ] Rogasinsky S.V. Solution of boundary value problems for nonlinear Boltzmann equation by Monte Carlo method // International Workshop on Numerical Methods for Kinetic Equations. Book of abstract. Berlin, WIAS Institute, 19[51 ] Rogasinsky S.V. Solition of stationary boundary value problems for nonlinear Boltzmann equation by Monte Carlo method // Monte Carlo methods and applications. vol.5, No 3, 1999, pp.263-2[52 ] Rogasinsky S.V. Direct simulation Monte Carlo method for stationary nonlinear Boltzmann equation// Bulletin of the Novosibirsk computing center. Series: Numerical Analysis; Issue: 9(2000); NCC Publisher, Novosibirsk. pp.77-[53 ] Mikhailov G.A., Korotchenko M.A., Rogasinsky S.V., Ivanov M.S. Monte Carlo global weight method for the nonlinear Boltzmann equation// Proceedings of the Fifth Workshop on Simulation. St. Petersburg (2005) 493-498. edited by S.M.Ermakov, V.B.Melas and A.N.Pepelyshev.