Авторефераты по темам  >>  Разные специальности - [часть 1]  [часть 2]

Нелинейные явления при течении неньютоновской жидкости в плоских ступенчатых симметричных каналах

Автореферат кандидатской диссертации

 

На правах рукописи

 

 

 

АЛЬ КАРАГУЛАЙ ХУССАМ АЛИ ХАЛАФ

 

НЕЛИНЕЙНЫЕ ЯВЛЕНИЯ

ПРИ ТЕЧЕНИИ НЕНЬЮТОНОВСКОЙ ЖИДКОСТИ

В ПЛОСКИХ СТУПЕНЧАТЫХ СИММЕТРИЧНЫХ КАНАЛАХ

 

 

Специальности: 01.02.05 - Механика жидкости, газа и плазмы,

05.13.18 - Математическое моделирование,

численные методы и комплексы программ

 

 

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени

кандидата технических наук

 

 

Казань - 2012

Работа выполнена в федеральном государственном бюджетном образовательном учреждении высшего профессионального образования Казанский национальный исследовательский технологический университет (ФГБОУ ВПО КНИТУ)

Научный руководитель: адоктор технических наук,

старший научный сотрудник,

Тазюков Фарук Хоснутдинович

Официальные оппоненты: Плохотников Сергей Павлович,

доктор технических наук, доцент,

Казанский национальный исследовательский технологический университет, кафедра информатики и прикладной математики

Гильфанов Камиль Хабибович,

доктор технических наук, профессор

Казанский государственный энергетический университет, заведующий кафедрой автоматизации технологических процессов и производств

Ведущая организация: аОАО УНижнекамскнефтехимФ,

г. Нижнекамск

Защита состоится л18 мая а2012 года в л1400 часов на заседании диссертационного совета Д212.080.11 в Казанском национальном исследовательском технологическом университете по адресу: 420015, г. Казань, ул. К. Маркса, 68 (зал заседаний Ученого совета).

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ФГБОУ ВПО КНИТУ.

Автореферат диссертации разослан "___"а а_____ 2012г.

Ученый секретарь

aa

а диссертационного совет А. В. Герасимов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

В последние годы наблюдается повышенный интерес к исследованию проблемы втекания жидкости во внезапно расширяющиеся каналы. Симметричные расширяющиеся каналы являются популярным элементом машин и аппаратов химической технологии и используются в холодильной технике, процессах экструзии, формовании изделий из полимерных материалов, процессов прядения, в мембранной технологии и многих других процессах и аппаратах. При этом, геометрическая простота канала не приводит к предсказуемым симметричным течениям. Более того, течение характеризуется такими эффектами, как асимметрией, вторичными циркуляционными течениями и многими другими нелинейными эффектами и представляют значительный интерес для исследователей для понимания физических особенностей таких течений.а

Экспериментально обнаружено, что при течении жидкости с числом Рейнольдса ниже некоторого критического значения, поток остается симметричным. Это симметричное течение становится неустойчивыми при достижении числом Рейнольдса критического значения и образуется пара несимметричных по отношению к оси канала зон с циркуляционным течением.

Результаты исследований несимметричных течений ньютоновской вязкой жидкости в расширяющихся симметричных каналах, благодаря работам Ферна, Дурста, Меллинга, Друкакиса, Оливейры и многих других авторов, становятся известными широкому кругу специалистов. Получено достаточно много результатов по определению критического значения числа Рейнольдса, формы циркуляционных зон и т.д. В настоящее время назрела необходимость исследования течений неньютоновских жидкостей. Исследование особенностей явления бифуркации в неньютоновских жидкостях должно привести к росту эффективности технологических процессов, в которых используются расширяющиеся каналы.

Актуальность проблемы заключается, во-первых, в широком применении течений жидкостей, обладающих неньютоновскими свойствами, в плоских симметричных ступенчатых каналах и назревшей необходимости ясного понимания и грамотного толкования эффектов, проявляющихся при этих течениях, во-вторых, в необходимости оказывать влияние на этот процесс, контролировать его и управлять им.

В соответствие с вышесказанным, а также в связи с уникальными особенностями проблемы, исследование течения в симметричных расширяющихся каналах является важной и актуальной проблемой в различных технологических процессах.

Исследования носят межотраслевой характер и проведены в соответствии с Координационным планом РАН Теоретические основы химической технологии, НИР отделения Химии и химической технологии АН Татарстана по теме: Механика реологических сред в каналах сложной геометрии.

Целью данного исследования является математическое моделирование течения нелинейно-вязкой жидкости в симметричном расширяющемся канале, определение характеристик течения.

Для достижения сформулированной цели были поставлены следующие задачи:

? Разработать методику численного моделирования задач течения неньютоновских жидкостей с неустойчивостью и неединственным решением.

?Численно исследовать условия, при которых ламинарное симметричное течение несжимаемой неньютоновской жидкости в симметричном канале становится несимметричным.

? Исследовать влияние аномалии вязкости на возникновение нелинейного эффекта потери симметрии при течении жидкости в расширяющихся каналах. Определить значение критического числа Рейнольдса.

?Выявить причины и механизмы потери симметричности потока в симметричных каналах.

?Определить параметры, влияющие на изменение значения критического числа Рейнольдса, при котором нарушается симметрия потока.

Научнаяа новизна состоит в том, что впервые получены новые данные о влиянии свойств нелинейно-вязких жидкостей на потерю симметрии течения, на картину течения и на распределение напряжений в области течения в закритической области, а такжеа получены новые данные по возможности управления этим эффектом. Введение дополнительных элементов в канале позволило практически полностью исключить эффект потери симметрии. На основе метода контрольных объемов, разработан алгоритм для численной реализации сформулированной задачи течения нелинейно-вязкой жидкости в ступенчатом канале и создан программный продукт, реализующий этот алгоритм.

Практическая значимость. Практическая значимость работы заключается в том, что в результате моделирования течения нелинейно-вязкой жидкости в ступенчатом канале даны рекомендации по значительному увеличению критического значения числа Рейнольдса, а также значительному снижению пиков напряжений в потоке и особенно вблизи стенок канала. При этом происходит перестройка течения жидкости внутри канала, течение становится симметричным при больших значениях критического числа Рейнольдса. Данная ситуация приводит к необходимостиа изменения формы канала, а именно, изменение степени расширения или введение дополнительных блоков. Результаты исследований предполагается использовать на ОАО Нижнекамскшина при модернизации элементов установок литья под давлением. Таким образом, результаты проведенного теоретического исследования течения нелинейно-вязкой жидкости являются основой для отработки различных технологий, в которых используются расширяющиеся каналы. К этим технологиям также относятся мембранные технологии, литье под давлением, криогенная техника и многие другие технологии.а

Автором впервые:

?построена математическая модель течения нелинейно-вязкой жидкости в плоском ступенчатом симметричном канале. Разработан алгоритм расчета, учитывающий неединственность решения, и компьюторная программа на алгоритмическом языке Фортран-90;

аа а?на основании математического моделирования получены новые данные по влиянию реологических свойств жидкости (аномалия вязкости) на возникновение ситуации, при которой симметричное ламинарное течение теряет устойчивость и устанавливается ламинарное несимметричное течение;

?получено распределение продольной скорости, давления и напряженийа в области течения;

?показано, что введение дополнительных элементов в канал позволяет значительно увеличить критическое значение числа Рейнольдса, что позволит получить симметричный поток при больших расходах;

?на основе результатов моделирования предложены методы управления эффектом потери устойчивости симметричных течений.

Достоверность полученных результатов

Достоверность полученных результатов основана на применении современных методов математического моделирования, базирующихся на общих законах сохранения, учитывающих особенности течения нелинейно-вязких жидкостей.

Достоверность результатов работы подтверждается путем сравнения результатов моделирования с экспериментальными и теоретическими данными других авторов.

На защиту выносятся результаты математического моделирования течения нелинейно-вязкой жидкости в плоских симметричных каналах, содержащих местные сужения. При этом представлены следующие результаты.

1. Сформулированы математические модели течения нелинейно-вязкой жидкости в каналах различной формы.

2. Приведены контурные графики, характеризующие влияние аномалии вязкости на распределение давления, напряжений и продольной компоненты скорости в области течения.

3. Представлен анализ причин и механизмов потери симметричности потока в симметричных каналах.

• Показаны возможности управления процессом возникновения нелинейного эффекта потери симметрии.

Апробация. Основные положения диссертационной работы докладывались и обсуждались на семинарах и отчетных конференциях КНИТУ (КГТУ-КХТИ) 2008-2012 годов, а также докладывались на VII Школе-семинаре молодых ученых и специалистов им. академика РАНа В.Е. Алемасова, 15-17 сентября 2010г., г. Казань, III Всероссийской научно-практическая конференции Научная инициатива иностранных студентов и аспирантов российских вузов, 20-21 мая 2010г., г. Томск, Всероссийской молодёжной научной конференции Актуальные проблемы современной механики сплошных сред, 16-19 октября 2010г., г. Томск, Десятой Всероссийской научной конференции Краевые задачи и математическое моделирование, 26-27 ноября 2010г., г. Новокузнецк, AERC 2011, 7th Annual European Rheology Conference, May 2011г., Suzdal, Научно-практической конференции Высокоэффективные Технологии в Химии, Нефтехимии и Нефтепереработке, 20 мая 2011г., г. Нижнекамск, Международной научно-практической конференции Актуальные проблемы естественных и гуманитарных наук 10-11 ноября 2011г., г. Зеленодольск.

ичный вклад автора в работу. Все основные результаты работы получены лично автором. Использованные материалы других авторов помечены ссылками. В постановке задач и обсуждении результатов принимал участие научный руководитель д.т.н. Тазюков Ф.Х.. Автор благодарит также к.т.н., с.н.с. Института механики и машиностроения КазНЦ РАН Снигерева Б.А. и проф. Лайека Гора Чанда (Индия) за внимание к работе и ценные критические замечания.

Публикации. По теме диссертации имеется 12 публикаций.

Объем работы. Содержание диссертации изложено на 132а астраницах машинописного текста, содержит 2 таблицы, 106 рисунков. Список использованной литературы включает 124 наименования.

Структура работы. Работа состоит из введения, четырех глав, заключения и списка использованной литературы.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается актуальность проблемы, формулируются цели и задачи исследования, приводится краткое содержание диссертации.

В главе 1 приводится обзор литературы по теме диссертации, где отмечено следующее. Выбор конститутивного реологического соотношения является необходимой часть математического моделирования течений неньютоновских жидкостей. Приведено обсуждение различных моделей нелинейно-вязких аконститутивных реологических соотношений. Приведено описание метода контрольных объемов. Главу завершает критический анализ экспериментальных и теоретических работ, посвященных возникновению асимметричной моды течения в симметричных ступенчатых каналах. Симметричная, относительно оси симметрии канала, математическая постановка задачи позволяет надеяться на возможность получения симметричной картины течения. Однако эти надежды не всегда исполняются вследствие сложностиа течения вблизи сужений. Так при течении вязкой ньютоновской жидкости в расширяющемся канале (1:3) и при значении числа Рейнольдса атечение становится несимметричным. При этом отмечается, что явление потери симметрии потока связан с эффектом Коанда, когда поток притягивается к одной из стенок канала и определяется эволюцией и нелинейным взаимодействием различного рода возмущений, возникающих вблизи сужений.а

В главе 2 представлены результаты математического моделирования течения нелинейно-вязкой жидкости в длинном плоском канале. Схема течения приведена на рис.1. Жидкость втекает из узкой части канала ширины h в часть канала ширины H=3h. Уравнения, записанные в безразмерной постановке и описывающие течение в канале, представлены в виде

а, а аа (1)

а,а аа аа (2)

где а- вектор скорости; - давление; .

Второй граничный поток

а

Граница вихря

а

Полностью развитый

нижний поток

а

Полностью развитый

верхний поток

а

Рис.1. Схема течения в плоском расширяющемся канале

а

В качестве конститутивного реологического уравнения, связывающего напряжения с градиентом скорости, принимается модель нелинейно-вязкой жидкости (степенная модель):

а а, аааа (3)

где атензор скоростей деформаций, аэффективная вязкость. Обобщенное число Рейнольдса Re определяется как

,

где U - характерная скорость (определяемая как средняя скорость), h - ширина канала во входном сечении, K и n консистенция и показатель неньютоновости для нелинейно-вязкой степенной модели соответственно. В работе также использовались реологические модели Карро-Ясуда и Кросса.

В начале главы приводится математическая постановка задачи.

На стенках канала задавались условия прилипания. На входе в канал задавался параболический или постоянный профиль скоростей. На выходе из канала задавалось установившееся течение.

В этой главе приведены результаты моделирования для вязкой ньютоновской (n=1) жидкости, дилатантной (n>1) и псевдопластической (n<1) жидкостей соответственно. На рис.2 представлены контуры линий тока при различных значениях числа Re. Здесь можно отметить, что при малых значениях числа Рейнольдса (Re<50) течение остается симметричным относительно оси канала. С ростом значения числа Рейнольдса течение жидкости становится асимметричным. На рис.3 показано сравнение контуров линий тока для псевдопластичной (n=0.8), ньютоновской (n=1.0) и дилатантной (n=1.2) жидкостей при значении числа РейнольдсаRe=130. Можно видеть, что для псевдопластиков не возникает вторичное циркуляционное течение на нижней стенке. Тогда как для ньютоновской и дилатантной жидкостей вторичное течение характерно.

a) b) c) Рис.2. Линии тока для ньютоновской жидкости: a) Re=25, b) Re=80, c) Re=130

a) b) c) аа Рис.3. Линии тока для Re=130: a) псевдопластик n=0.8, b)ньютоновская жидкость, c) дилатантная жидкость n=1.2

Результаты расчетов представлены в виде диаграммы (рис.4). Видно, что при малых значениях числа Рейнольдса размеры циркуляционных зон одинаковы и после достижения критического значения размеры этих зон начинают отличаться. Можно видеть, что существует две характерные точки.

аРис.4. Возникновение бифуркации течения для вязких и нелинейно-вязких жидкостей. Xr=Xr1 или Xr2

аа Это переход от симметричного течения к несимметричному и появлениеа второйа циркуляционной зоны. Первая характерная точка соответствует Reкр=46 для дилатантной жидкости, Reкр=48 для ньютоновской жидкости, Reкр=51 для псевдопластика. а Можно видеть также и вторую характерную точку возникновения вторичного течения. а аОтметим, что отсутствует вторая ветвь адля

псевдопластика, то есть, в данном диапазоне чисел Рейнольдса появление второй циркуляционной зоны для псевдопластика не характерно. В главе приведены результаты исследования возможности влияния на образование несимметричной структуры течения. Для этого в канал были установлены блоки. Исследования показали, что установка блоков на стенках канала или на оси каналаа приводит к восстановлению симметричной формы течения. К этому же результату приводит и уменьшение степени расширения канала (Рис.5,6).

a)аа b) а Рис.5. Картина течения без блока(a) и с блоком в центре канала(b)

a)а b) Рис.6. Уменьшение степени расширения с 1:5 (a) до 1:2(b)

В третьей главе приведены результаты моделирования течения жидкости в канале, содержащем резкие расширение и сужение. Показано, что и в этом случае при значении числа Рейнольдса больше критического возникает переход от симметричной формы течения к несимметричной. аРезультаты расчетов в виде диаграммы приведены на рис.7. Из анализа диаграммы можно заметить, что при малых значениях числа Рейнольдса течение остается симметричным относительно оси канала. С ростом значения числа Рейнольдса течение

Рис.7. Диаграмма бифуркации решения для ньютоновской жидкости()

жидкости принимает асимметричную форму. С дальнейшим ростом значения числа Рейнольдса, как следует из диаграммы, течение жидкости становится еще раз симметричным. В этом случае течение характеризуется адвумя точками бифуркации. Первая точка бифуркации связана с переходом от симметричного течения к несимметричному при первом критическом зна-

чении числа Рейнольдса Reкр1=13.52. Вторая точка бифуркации определяет переход от несимметричного течения к симметричному при втором критическом значении числа Рейнольдса Reкр2=97.40. Можно отметить, что для псевдопластиков (в отличие от ньютоновской и дилатантной жидкостей) не возникает вторичное циркуляционное течение на нижней стенке.

В работе также показано, что увеличение степени расширения канала приводит к восстановлению симметричной формы течения.

Четвертая глава посвящена численному моделированию ламинарного течения нелинейно-вязкой жидкости для трех различных реологических моделей в плоских каналах, имеющих местное сужение, что очень важно при изучении гемодинамики. Особое внимание в данной главе посвящено исследованию влияния таких параметров, как число Рейнольдса Re иа степень сужения (стеноза) St, определению изменения скорости вдоль оси, давления и касательных напряжений на стенке для различных значений числа Рейнольдса. Схема течения приведена на рис.8.

Полностью развитый

верхний поток

а

Полностью развитый

нижний поток

а

Второй граничный поток

а

Граница вихря

а 

 

 

а Рис.8. Схема течения в канале

На рис.9 показаны контуры линии тока для различных значений числа Рейнольдса (Re=10, 30 и 50). Из этих рисунков видно, чтоа при малых значениях числа Re (Рис.9a) за препятствием возникают две симметричные циркуляционные зоны на верхней и нижней стенке, что и следовало ожидать. Приа увеличении значения числа Рейнольдса циркуляционные зоны увеличиваются в размерах и при превышении критического числа Re симметрия потока нарушается (рис.9b).

а a)

 

а b)

c)

 

Рис.9 Контуры линий тока для дилатантной жидкости (n=1.2) дляа (a) Re=10; (b) Re=30; (c) Re=50, 66% степенью стеноза(St)

Хотя форма стеноза и граничные условия на стенках симметричны, наблюдается несимметричность течения в области образования циркуляционных зон. Струя жидкости направлена к одной стороне канала, где образуется большая вихревая зона, удаленнаяа от стенозной области.аа Видно, что проявляется эффект нарушения симметрии потока, схожий с явлением бифуркации потери симметрии потока при течении во внезапно расширяющемся канале. В дополнение к основной вихревой зоне, на нижней стенке для всех реологических моделей, видно образование вторичного течения при Re=50. Вторичное течение образуетсяа вследствие возникновения градиента давления вдольа стенкиа на противоположной стороне. На рис.9с видно образование вторичной циркуляционной зоны вниз по потоку после основнойа области циркуляционного течения.

В дальнейшем, численно моделировалось течение для Re=50 и степенью сужения (стенозом) St равной 25%, 50% и 75% для трех реологических моделей жидкости (рис.10).

a)а

b)

 

c)

 

Рис.10. Контуры линии тока для псевдопластичной жидкости (n=0.8) при Re=50 для а) St=25%; b) St=50%; с) St=75%

аИз анализа результатов моделирования следует, что когдаа стеноз составляет 25%а циркуляционные зоны не образуются и даже при 50% степени стеноза появляется только маленькая циркуляционная зона. Для 75% степени стеноза циркуляционная зона является доминирующей в области течения. Можно отметить, что увеличение степени стеноза приводит к увеличению размера циркуляционной области, а также к проявлению асимметрии в течении и образованию вторичного течения за основной циркуляционной зоной.

На рис.11 представлено распределение осевой скорости, давления и касательного напряжения вдоль оси симметрии для псевдопластичной, ньютоновской и дилатантной жидкостей при значении числаа Re=50. Показано, что наблюдается максимальное значение скорости в узкой области течения для всех степеней сужения. Наблюдается значительное падение давления, причема наибольшее падение давления происходит в области сужения.

Рис. 11. Распределение осевой скорости, давления и касательного напряжения на стенке вдоль оси симметрии для Re=50 при St=75% для различных n (n=0.5, 1 и 1.5)

Наибольшие значения касательных напряжений наблюдаются в области расположения стеноза, а отрицательные касательные напряжения на стенке получаются в области расположения вихревой зоны. Для течения со степенью стенозаа 75%а преобладающим эффектом является распределение касательных напряжений независимо от увеличения или уменьшения скорости течения в области расположения стеноза. Образование большой циркуляционной зоныа проявляется в том, что касательные напряжения здесь принимают отрицательные значения.

Установка блока на оси канала приводит к восстановлению симметричности потока (рис.12). Данное обстоятельство, по всей видимости, связано с влиянием блока на эволюцию возмущений.

a) Re=50, без блока ааb) Re=50, с блоком в центре

Рис.12. Контуры линий тока с блоком и без блока для Re=50, St=0.75

Заключение и общие выводы

Изучаемое явление возникает в результате эволюции и взаимодействия различных мод возмущений с учетом взаимодействия конвективных и диссипативных процессов в потоке неньютоновской жидкости. Это взаимодействие носит нелинейный характер. Когда число Рейнольдса достаточно мало, течение устанавливается симметричным, а любые начальные возмущения будут подавляться посредством вязкой диссипации. С ростом значения числа Рейнольдса относительное стабилизирующее влияние вязкой диссипации уменьшается. Следовательно, существует критическое значение числа Рейнольдса, при котором еще соблюдается баланс между дестабилизирующим проникновением несимметричных возмущений вверх по потоку (конвекция несимметричных возмущений вверх по потоку), стабилизирующим эффектом вязкой диссипации и стабилизирующим влиянием основного изначально симметричного потока (конвекция симметричных возмущений вниз по потоку). При дальнейшем росте значения числа Рейнольдса дестабилизирующие эффекты (конвекция несимметричных возмущений вверх по потоку) становятся доминирующими и изначально симметричная форма течения становится неустойчивой. Дальнейший рост амплитуды асимметричных возмущений ограничивается конвективными и диссипативными эффектами происходящими в потоке. Таким образом, комбинация перечисленных эффектов и приводит к установлению устойчивой ассимметричной формы течения при значении числа Рейнольдса.

Проведенные, по построенной математической модели расчеты показали, что для небольших значений числа Рейнольдса, течение обобщенной ньютоновской жидкости в плоском симметричном канале (1:3) остается симметричным. При достижении числа Рейнольдса некоторого критического значения симметрия течения нарушается и в канале устанавливается несимметричное течение. С ростом значения числа Рейнольдса несимметричность течения усиливается и на одной стенке появляется вторичная циркуляционная зона. Значение критического числа Рейнольдса зависит от величины показателя неньютоновости. Введение дополнительных блоков в поток в исследованном диапазоне чисел Рейнольдса позволяет практически полностью исключить эффект потери симметрии при течении жидкости в канале. Положение и размеры блоков являются определяющими параметрами для восстановленияа симметричности течения.

По теме диссертации опубликованы следующие работы

Научные статьи, опубликованные в ведущих рецензируемых научных журналах и изданиях, рекомендованных ВАК

1. Халаф Х.А. Моделирование течений неньютоновских жидкостей в каналах, снабженных запорным клапаном / Х.А. Халаф, Ф.Х. Тазюков, К.М. Алиев, Р.С. Шайхетдинова // Вестник Казан. технол. ун-та. -2010, -№ 9, -С.496-504.

2. Khalaf H.А. Numerical simulation of flow of shear-thinning fluids in a symmetric channel with a suddenly expanded and contracted part / F.Kh. Tazyukov, H.A. Khalaf // Transactions of Academenergo, -2011, -№ 4, -С.38-49.

3. Халаф Х.А. Нелинейные явления при течении обобщенной ньютоновской жидкостиа в плоском канале / Х.A. Халаф, Ф.Х. Taзюков, К.М. Алиев // Журнал труды академэнерго, -2012, -№ 1, -С.44-49.

4. Халаф Х.А. Особенности течения жидкости во внезапно расширяющихся каналах / Ф.Х. Тазюков, Х.А. Халаф, К.М. Алиев, Р.С. Шайхетдинова // Вестник Казан. технол. ун-та. а-2012, -Т.15, -№ 4. -С.113-115.

Работы опубликованные в других изданиях

5. Khalaf H.А. The Numerical simulation of two-dimensional cartesian incompressible viscous flow / F.Kh. Tazyukov, H.A. Khalaf, B.А. Snigerev, K.M. Aliev // Докл. на III Всерос. научно-практ. конф. Научная инициатива иностранных студентов и аспирантов российских вузов, г. Томск, 20-21 мая 2010, -C. 250-256.

6. Халаф Х.А. Ламинарное течение обобщенной ньютоновской жидкости в канале, содержащем открытый клапан / Х.А. Халаф, К.М. Алиев, Ф.Х. Тазюков // VII Школа-семинар молодых ученых и специалистов - академика РАН В.Е. Алемасова, г. Казань, 15-17 сентября 2010, -С. 238-241.

7. Халаф Х.А. аБифуркация решения задачи течения жидкости через плоский симметричный канал с резким расширением / Ф.Х. Тазюков, Х.А. Халаф, К.М. Алиев // Всерос. молодёжная научн. конф. Актуальные проблемы современной механики сплошных сред, г. Томск, 16-19 октября 2010, -Т. 276, -С.173-176.

8. Khalaf H.А. Asymmetric flows of non-Newtonian fluids in symmetric planar expansion geometries / F.Kh. Tazyukov, H.A. Khalaf // Х Всерос. науч. конф. Краевые задачи и математическое моделирование, г. Новокузнецк, 26-27 ноября 2010, -Т.1, -С. 4-12.

9. Khalaf H.A. Numerical simulation of the laminar flow of non-Newtonian fluid through a disk-type prosthetic heart valve / F.Kh. Tazyukov, H.A. Khalaf // Diyala Journal of Engineering Sciences, Special Issue, Iraq, 2010, -P. 26-39.

10. Khalaf H.А. Bifurcation phenomena in the flow of non-Newtonian fluids in a symmetric channel with a suddenly expanded and contracted part / H.A. Khalaf, F.Kh. Tazyukov, B.A. Snigerev, K.M. Aliev, F.A. Garifullin // 7th Annual European Rheology Conference, Suzdal, 10-14 May 2011, -P.113.

11. Khalaf H.А. Bifurcation characteristics of flow in rectangular sudden expansion channels / H.A. Khalaf, F.Kh. Tazyukov, A.G. Kutuzov, G.N. Lutfullina // Высокоэффективные технологии в химии, нефтехимии и нефтепереработке, г. Нижнекамск, 20 мая 2011, -С. 185-189.

12. Khalaf H.А. Numerical simulation of blood flow through a modeled arterial stenosis / H.A. Khalaf, A.F. Tazyukova, G.C. Layek // Межд. науч.-практ. конф. Актуальные проблемы естественных и гуманитарных наук, г. Зеленодольск, 10-11 ноября 2011.

Соискательаа аа ааХалаф Х.А.

а

Заказа Тираж 80экз

Офсетная лаборатория КНИТУ

420015, Казань, ул. К. Маркса, 68

     Авторефераты по темам  >>  Разные специальности - [часть 1]  [часть 2]