Geum.ru
   Авторефераты по темам  >>  Разные специальности - [часть 1]  [часть 2]

Решение задачи нелинейной оптимизации тепловых процессов при граничном управлении

Автореферат кандидатской диссертации

 

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

КЫРГЫЗСКО-РОССИЙСКИЙ СЛАВЯНСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Диссертационный совет К 730.001.02

 

на правах рукописи

 

КРАСНИЧЕНКО ЛЮБОВЬ СЕРГЕЕВНА

Решение задачи нелинейнойа оптимизации тепловых процессов при граничном управлении

01.01.02 - дифференциальные уравнения,

динамические системы и оптимальное управление

 

АВТОРЕФЕРАТ

 

диссертации на соискание ученой степени

кандидата физико-математических наук

 

Бишкек-2012
Работа выполнена в Кыргызскоа - Российском Славянском Университете

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук Керимбеков А. К.

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук Скляр С.Н.

Кандидат технических наук

Миркин Е.Л.

Ведущая организация:

Иркутскийаа государственный университет.

Защита состоится л30 мая 2012 г. в а14.00а ачасов на заседании диссертационного совета К 730.001.02 при Кыргызско-Российском Славянском Университете по адресу: Кыргызстан, 720000, г. Бишкек, ул. Киевская, 44.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Кыргызско-Российского Славянского Университета по адресу: Кыргызстан, 720000, г. Бишкек, ул. Киевская 44.

Автореферат разослан л27аа апреляаа 2012г.

Ученый секретарь

диссертационного совета

к.ф.-м.н., доцент ааС. Н. Землянский


ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ


Актуальность темы. Теория оптимального управления системами с распределенными параметрами, основы которой были заложены в 60-е годы прошлого столетия в работах А.Г. Бутковского, А.И. Егорова, Т.К. Сиразетдинова и др., в настоящее время, является одним из интенсивно развивающихся научных направлений. Теория получила широкое развитие в исследованиях А.Г. Бутковского,

А.И. Егорова, Т.К. Сиразетдинова, К.А. Лурье, В.И. Плотникова,

Ж.Л. Лионса, их учеников и последователей.

На практике встречаются множество задач прикладного характера,а гдеаа действие функции внешнего воздействия сосредоточено в одной точке, которая может быть как фиксированной, так и подвижной.

В случаях, когда точка приложения внешних воздействий сосредоточена на границе появляется задача оптимизации с граничными управлениями. Примеры подобного рода азадач для тепловых процессов приведены в монографиях А.Г. Бутковского а

1) Оптимальное управление системами с распределенными параметрами. - М.: Наука, 1965; 2) Методы управления системами с распределенными параметрами. - М:.Наука, 1975. аВ природе реальные процессы обычно протекают нелинейно. Поэтому многие задачи прикладного характера, в частности задачи оптимизации, по своей сущности являются нелинейными.а Однако нелинейные задачиа оптимизации из-за сложности аих аисследования и недостаточной разработанности методов их решения относятся к мало изученной области теории оптимального управления. В диссертации основное внимание уделено исследованию задачи нелинейной оптимизации, где граничное управление является нелинейной функцией от управляющих параметров, анапример, задача оптимального нагрева стержня при тепловом лучистом обмене на концах стержня, происходящего по закону Стефана-Больцмана, приводит к задаче с нелинейным граничным управлением.

Исследование разрешимости нелинейных задач оптимизации и разработка конструктивных методов их решения является одной из актуальных задач теории оптимального управления системами с распределенными параметрами.

Цель работы Исследовать разрешимость задачи нелинейной оптимизации тепловых процессов при нелинейных граничных управлениях в случае, когда

  1. функция граничного воздействия (теплового потока) нелинейно зависит от скалярной функции управления;
  2. функция граничного воздействия (теплового потока) нелинейно зависит от векторнойа функции управления;

и разработать алгоритм построения приближенного решения, адоказать их сходимость к точному решению задачи нелинейной оптимизации по оптимальному управлению, оптимальному процессу и функционалу.

Методика исследования. В процессе исследования использованы методы теории оптимального управления системами с распределенными параметрами, теории дифференциальных уравнений в частных производных, теории интегральных уравнений, функционального анализа, а также метод решения нелинейных интегральных уравнений с дополнительныма условием в виде неравенства, разработанный проф. А. Керимбековым.

Научная новизна работы. Впервые, на примере управления тепловыми процессами, происходящими в стержне конечной длины,а разработан алгоритм построения приближенного решения нелинейной задачи оптимизации тепловых процессов в случае,

1) когда функция граничного воздействия (теплового потока) нелинейно зависит от скалярной функции управления (управление с одного конца);

2) когда функций граничных воздействий (тепловых потоков) нелинейно зависят от векторнойа функции управления (векторное управление с двух концов).

Полученные результаты являются новыми в теорииа оптимального управления системами с распределенными параметрами, в частности

- установлено, что оптимальное управление определяется как решение нелинейного интегрального уравнения и удовлетворяет дополнительному условию в виде неравенства;

- найдено достаточное условие разрешимости задачи нелинейной оптимизации с нелинейным граничным управлением и результаты обобщены на векторный случай;

- разработан алгоритм построения приближенного решения задачи нелинейной оптимизации (как в случае скалярного, так и в случае векторного управлений) и доказана их сходимость к точному решению.

Основные положения, выносимые на защиту:

- найдены достаточные условияа разрешимостиа задачи нелинейной оптимизации теплового процесса, происходящих в стержне,а в случае минимизации квадратичного функционала и управления с одного конца;

- найдены достаточные условияа разрешимостиа задачи нелинейной оптимизации теплового процесса, происходящих в стержне,а в случае минимизации квадратичного функционала и векторного управления с двух концов;

- разработан алгоритм построения приближенного решения задачи нелинейной оптимизации тепловых процессов при нелинейных граничных скалярных и векторных управлений и доказана егоа сходимость;

- теоретические выводы подтверждены численными расчетами которые проводились на модельных задачаха управления тепловыми процессами.

Теоретическая и практическая ценность. Разработанный алгоритм построения приближенного решения задачи нелинейной оптимизацииа при нелинейных граничных управлений может быть использован на практике в прикладных задачах связанных с управлением тепловых процессов. Полученные теоретические выводы представляют интерес в теории оптимального управления системами с распределенными параметрами, ибо они могут быть использованы для развития методов исследованияа и при разработке конструктивных методов решения нелинейных задач оптимизации.

Апробация результатов. аОсновные результаты диссертации были доложеныа на

  1. Ежегоднойа конференции молодых ученых и студентов: Современные техника и технологии в научных исследованиях МНИЦГП научная станция РАН (Бишкек, 2009Ц2011)
  2. международной научной конференции Асимптотические, топологические и компьютерные методы в математике, посвященной 80-летию члена-корр. РАН Иманалиева М.И. (Бишкек, 2011)
  3. научном семинаре Оптимальное управление системами с распределенными параметрами кафедры Прикладная математика и информатика Кыргызско-Российского Славянского Университета (научн. рук. д.ф.-м.н., проф. Керимбеков А.)

Структура и объем диссертации. Работа состоит из введения,

3 глав, заключения, списка литературы из 69 наименований и приложений. Общий объем работы содержит 105а страниц машинописного текста, 9 таблиц и 13 рисунков. Нумерация математических соотношений и формул производится по главам и параграфам в виде (a.b.c), гдеа а - номер главы, b - номер параграфа в данной главе, c - номер формулы в данном параграфе.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении изложена актуальность исследования задач оптимизации с нелинейными граничными условиямиа и разработки конструктивных методов решения нелинейной задачи оптимизации систем с распределенными параметрами.

В первой главе приведены апримеры задач оптимизации с граничными управлениями для атепловых процессов, сделан краткий обзор исследований, примыкающих к теме диссертации и изложено краткое содержание диссертации.

Во второй главе исследованы вопросы однозначной разрешимости задачи нелинейной оптимизации теплового процесса в случае, когда управление нелинейно входит в граничное условие иа минимизируется квадратичный функционал. Установлено, что оптимальное управлениеа удовлетворяет нелинейному интегральному уравнению и дополнительному условию в виде неравенства. Найдено достаточное условие однозначной разрешимости задачи нелинейной оптимизации.

В з2.1 рассматривается краевая задача управляемого процесса

,аа а(1)

, (2)

(3)аа где заданная функция аанелинейно зависящая от функции управления аописывает изменения граничного теплового потока; аТ - фиксированный момент времени; H - пространство Гильберта.

Построено слабо обобщенное решение краевой задачи (1) Ц(3) в виде

где аа - полная ортонормированная система собственных функций краевой задачи.

В аз2.2аа сформулирована азадача оптимального ауправления, где требуется найти управление, которое вместе с соответствующим ему решением аакраевой задачи (1)-(3)а минимизирует интегральный квадратичный функционал

где азаданная функция.

Согласно принципа максимума для систем с распределенными параметрамиа получены условия оптимальности

гдеаа - решениеа краевой задачиаа сопряженной (1)-(3)

а а

Решение сопряженной краевой задачей (4) - (6) найдено по формуле

В з2.3 согласно условиям оптимальности ааустановлено что, оптимальное управление удовлетворяет нелинейному интегральному уравнению

и дополнительному условию

а т.е. оптимальное управление определяется как решение задачиа (7)-(8) аапри известной функции .а Заметим, что задача (7)-(8) представляет интерес и в теории интегрального уравнения, как самостоятельная задача.

Далее рассматривается вопрос однозначной разрешимости интегрального уравнения (7). Согласно методике, разработанной проф. Керимбековым А., положим

Отсюда, согласно (8), функция аопределяется однозначноа т.е. существует функцияа атакая, что

(9)

Относительно новой неизвестной функцииа аанелинейное интегральное уравнение (7) приводится к виду

которое адалее исследуется в операторной форме

где оператор адействует по формуле

аа Теорема:а Пустьа функцияаа аудовлетворяет условияма

а

аа функцияаа а-а условию

аТогда при выполнении условия

операторное уравнениеа ав пространствеаа H(0,T) аимеет единственное решениеаа

Это решение найдено методом последовательных приближений по схеме

гдеа апроизвольный элемент пространств H(0,T) ,

и удовлетворяет оценке

Найденное решение аподставляя в формулу (9) находим решение нелинейного интегрального уравнения (7)

Управлениеаа а может претендовать на лоптимальностьа лишьаа тогда, когда на этом управлении выполняется второе условие оптимальности (8). Это обстоятельство может повлиять на существованиеаа оптимального управления, т.е. если найденное управлениеа а не удовлетворяет аусловиюаа (8), тоа решениеаа задачи нелинейной оптимизации может не существовать. Однако можно указать класс функцийа а, дляаа которых условие (8) выполняется для любых функций , в частности и для функцийаа

В з2.4а построено решение задачи нелинейной оптимизации виде тройки а(), гдеа - оптимальное управление, аоптимальный процесс, аминимальное значение функционала.

Поскольку на практике найти точное решение нелинейного интегрального уравнения (10) не всегда удается, то астроится приближенное решение, удовлетворяющее желаемой точности. Дальнейшие выводы получены при условии, что а В этом случае оценка (11) приводится к виду

Основное содержание диссертации опубликовано

в следующих работах

  1. Керимбеков А.К, Красниченко Л.С. Решение задачи нелинейной оптимизации тепловых процессов при минимизации кусочно-линейного функционала, в случае граничного управления. // Ежегодная конференция молодых ученых и студентов. Современные техника и технологии в научных исследованиях. Бишкек: МНИЦГП Научная станция РАН, 2011. 45 с.
  2. Керимбеков А.К., Красниченко Л.С. О разрешимости задачи нелинейной оптимизации тепловых процессов при граничном управлении // Вестник КНУ им. Ж. Баласагына. Асимптотические, топологические и компьютерные методы в математике. Бишкек, 2011. С.76Ц79.
  3. Керимбеков А.К., Красниченко Л.С. Приближенное решение задачи нелинейной оптимизации // Вестник КРСУ. Бишкек: 2012. Т.12. №4. С.168Ц172.
  4. Красниченко Л.С. Приближенное решение задачи нелинейной оптимизации тепловых процессов при векторном граничном управлении // Вестник КРСУ. Бишкек: 2012. Т.12. №4. С. 172Ц175.

РЕЗЮМЕ

Красниченко Любовь Сергеевна

Решение задачи нелинейнойа оптимизации тепловых процессов при граничном управлении

Ключевые слова: тепловой процесс, слабо обобщенное решение, квадратичный функционал, нелинейное интегральное уравнение, оптимальное управление.

В диссертации исследованы вопросы однозначной разрешимости задачи нелинейной оптимизации теплового процесса в случае, когда скалярное (или векторное) управление нелинейно входит в граничное условие иа минимизируется квадратичный функционал. Установлено, что оптимальное управление удовлетворяет нелинейному интегральному уравнению (или системе уравнений) и дополнительному условию в виде неравенства (или системы неравенств). Найдено достаточное условие однозначной разрешимости задачи нелинейной оптимизации и разработан алгоритм построения решения со сколь угодной точностью.

Подписано в печать 25.04.12. Формат 60?841/16

Офсетная печать. Объем 1,25 п.л.

Тираж 100 экз. Заказ 308.

Отпечатано в типографии КРСУ

720048, г. Бишкек, ул. Горького, 2

     Авторефераты по темам  >>  Разные специальности - [часть 1]  [часть 2]