Все научные статьи
Швейкина В.И., Кожевникова И.А. Исследование одной нелинейной модели формирования речного стока
Научная статья
Электронный научный журнал ИССЛЕДОВАНО В РОССИИаа 1145аа Швейки на В.И. (shveik(fl)aq ua.laser. ru) (1), Кожевникова И.А. (2)
(1) Институт водных проблем Российской академии наук, (2) Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова
В работе методами стохастической и хаотической динамики исследована физически обоснованная малопараметрическая модель формирования речного стока. Показано, что исследуемая модель может иметь хаотические решения. Этот факт говорит о невозможности детерминированного прогноза стока рек на длительные сроки.
Введение. Развитие теории нелинейных динамических систем позволило описывать новые классы неустойчивых динамических систем, поведение которых можно охарактеризовать как хаотическое. Оказалось, что хаос присущ почти всем неустойчивым динамическим системам и тем самым - математическим моделям большинства реальных процессов. Одним из первых, кто предложил математические модели гидрофизических процессов, имеющие хаотические решения, был В.И. Найденов, чьи труды способствовали зарождению принципиально новой нелинейной гидрологии.
В начале 1990-х гг. В.И. Найденов начал исследования в области гидрологии суши, решая проблему колебаний уровня Каспийского моря. Он первый обратил внимание на то, что эмпирическая оценка плотности распределения вероятностей уровня моря имеет две моды [7]. До этого момента в гидрологических исследованиях для аппроксимации эмпирических распределений применялись только одномодальные законы. Все усилия были направлены на доказательство однородности исследуемых рядов, а точки, которые не ложились на кривые так, как надо, попросту выбрасывались как случайно появившиеся. Для получения бимодальной плотности распределений нужны были принципиально новые методы исследования. В.И. Найденов получает бимодальную плотность распределения как решение уравнения Фоккера-Планка-Колмогорова. Основой для построения этого уравнения послужила нелинейная регрессия 5-го порядка, построенная на эмпирических данных. Во второй половине 1990-х гг. в зарубежной литературе появилась работа о бимодальности влагозапасов почвы [15], а после 2000 г. вышла работа о полимодальности речного стока [4]. Однако до настоящего времени нет моделей формирования речного стока, решения которых демонстрировали бы это свойство. В статье предлагается решение этого вопроса.
Следующей инновацией в гидрологических исследованиях В.И. Найденова было получение аттрактора как решения системы двух нелинейных дифференциальных уравнений. В основу были положены два фундаментальных закона: закон сохранения вещества, математическим выражением которого является уравнение водного баланса, и закон сохранения импульса движения. Моделирование многолетнего речного стока на основе применения уравнения водного баланса водосбора впервые было предложено М. Фирингом [13] и в дальнейшем получило развитие в работах В.Евжевича [17], В Клемеша [14], Дж. Саласа и Р.Смита [16]. В.И. Найденов в дополнение к имеющимся результатам учел нелинейную зависимость испарения с поверхности водосбора от его влагозапасов, вытекающую из анализа тепловлагообменных процессов. Была построена нелинейная модель, которая демонстрировала неустойчивость и появление автоколебательных режимов. Теоретически была показана цикличность гидрологических процессов,
1 Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант 06-05-64464).
Электронный научный журнал ИССЛЕДОВАНО В РОССИИаа 1146аа Постановка задачи
Исследования колебаний уровня бессточных водоемов, таких, например, как
Каспийское море, озера Балхаш, Чад, Чаны, Большое Соленое показали, что эти колебания
имеют бимодальные плотности распределения вероятностей. Для проверки того, что такое
же свойство присуще и стоку рек, были построены гистограммы для некоторых рек
России, например, Лена, Шилка, Амур, Унжа, Ока, суммарного стока рек, впадающих в
Каспийское море, а также рек Колумбия, Ниагара, Миссури, Янцзы, Эльба, Дунай.
Оказалось, что их плотности вероятностей не являются одномодальными. Так как
построение гистограмм не является объективной оценкой плотности вероятностей (их
внешний вид зависит от выбора разбиения исходного ряда), то были рассмотрены их
фазовые портреты. Для построения фазовой плоскости можно использовать ряд
наблюдений (ось X) и ряд приращений (ось Y). Зоны скопления точек на фазовых
портретах будут качественно характеризовать наиболее часто встречающиеся значения
стока. Выделение нескольких таких зон говорит о наличии нескольких мод в плотности
вероятностей конкретных рядов. На рис.1 (а, б) представлены соответственно гистограмма
и фазовый портрет для суммарного среднегодового стока рек, впадающих в Каспийское
море,а ва которома 80%аа приходитсяа наа стока р.Волги.
|
(б)
400 450а 500
Сток, куб.км
Рис. 1. Гистограмма (а) и фазовый портрет (б) для суммарного стока рек, впадающих в Каспийское море. Пунктир на фазовом портрете относится к данным до 1930 г., сплошная линия - после 1930 г.
На гистограмме четко выделяется наличие второй моды. Для построения фазового портрета весь ряд наблюдений по стоку рек был разделен на две части: до 1930 г. и после него, так как именно с этого года началось резкое падение уровня моря (за последующие 10 лет уровень понизился на 1.8 м). Такое резкое изменение колебаний уровня моря неминуемо должно было быть связано с изменением стока рек его бассейна. Действительно, фазовый портрет демонстрирует произошедшие коренные изменения в стоке рек: меняется его среднее многолетнее значение, появляется второе устойчивое состояние, плотность вероятностей становится бимодальной. Бимодальность плотности вероятностей означает наличие двух устойчивыхаа асостояний и, следовательно,
Электронный научный журнал ИССЛЕДОВАНО В РОССИИаа 1147аа
возможность регулярных и нерегулярных переходов между ними. Для подтверждения того, что стоку рек свойственны нерегулярные переходы, по методике, подробно описанной в работе авторов [3], были рассчитаны оценки фрактальной размерности фазовой траектории, которые являются диагностическими характеристиками хаотических режимов. Для рек Унжа, Ока, Лена, и суммарного стока рек, впадающих в Каспийское море, получены следующие результаты. Соответствующие корреляционные размерности равны 3.361, 2.54, 2.58 и 1.51 (для траекторий белого шума эти значения могут неограниченно возрастать), информационные размерности - 0.821, 0.850, 0.689 и 0.628 (можно считать получились близкими по величине к 1), показатели Ляпунова - 4.104, 4.001, 5.250 и 6.323 (все значения положительны). Полученные значения хаотических характеристик свидетельствуют о наличии хаотической составляющей в рядах наблюдений по стоку.
Основная задача, решение которой представлено в статье, состоит в нахождении таких областей параметров исследуемой модели, которые обеспечивали бы возникновение хаотических режимов. В этом случае можно говорить об адекватности модели наблюденным данным.
Нелинейная модель формирования речного стока
Впервые простая физическая модель процесса многолетних колебаний средних годовых величин стока и влагозапасов речного бассейна была предложена в работе [9]. Для ее построения были использованы два общих закона природы: закон сохранения вещества и закон сохранения импульса движения. Первый выражался уравнением водного баланса относительно двух переменных: влагозапаса W и речного стока Q, второй -уравнением движения стока:
Ч = P-E(W)-Q
dtуаа 'аа *
dQ=(} Q_(1)
dtK(W)'
где P - осадки, E(W) - испарение, G - силы тяжести, действующие на массы воды в бассейне, l/K\W) - коэффициент сопротивления бассейна движению воды в замыкающий створ бассейна. Этот коэффициент тесно связан с гидрогеологическими особенностями строения бассейна.
Решение системы (1) было получено при предположении, что в качестве нелинейной функции испарения использовалась функция
E(W)-\E~4W~W^а W<W*'
[Е0,W>W..
Величина Wx оценивалась по пористости грунта; значения Я считалось зависящим от климатических параметров и теплофизических свойств грунтов бассейна. Аналогично выбиралась нелинейная функция для коэффициента сопротивления
k(w)-- |
\Ko+0(W-W.\ w<wД
\к0,w>w..
Параметр /? считался существенно зависящим от вязкости воды, пористости почв, наличия трещинно-карстовых отложений и т.д. Решение (1) имело автоколебательный характер, которому на фазовой плоскости соответствовал предельный цикл.
В статье предлагается рассмотреть более общие условия возникновения автоколебаний в системе (1), которая является физически обоснованной моделью формирования речного стока. Во-первых, снимаются ограничения на функции E\W) и K(fV), считаем, что они нелинейно зависят от влагозапасов. И, во-вторых, рассмотрим нелинейность вплоть до третьего порядка.
Электронный научный журнал ИССЛЕДОВАНО В РОССИИаа 1148аа
Стационарная точка (fVs,Qs) системы (1), определяется условиями:
dW/dt = 0, dQ/dt = 0.
В окрестности этой точки разложим правую часть первогоаа уравнения системы в ряд Тейлора с точностью до 3-его порядка. Учтем, что
да fdW\Д,,Длд fdW"
\ = an |
= -E'(w) = aw;
dW v dt J w=wsdO\ dt J w=ws
Q=QSQ=QS
d2аа fdW\ dW2 {dt )
w=ws Q=QS
E"(W)
2
an
d3аа fdW* dW3 [dt J
w=ws Q=QS
Em(w) 6
a.
д (dW\
1ак как первая частная производная по стокуа Ч ---------- аявляется постоянной, то все
последующие частные производные по стоку более высокого порядка равны нулю. Получим разложение дляа ааизменения влагозапасов, если введем обозначения:
W-W,=W, Q-Q,=Q,
Ч = awW + amQ + a20W2 + a30W3. dt
Аналогично для второго уравнения, учтем, что
2(wX\ |
2Q(WS) |
k{ws) |
д-та =эд+ш=
K2{WS) |
dW I dt J w=wД
-\G"(WS)+Q(WS) Gm(Ws)+Q(Ws) K'{WS)_ 2K2{wy^ |
Q=Qs
d2аа fdQ^ |
if |
||
dW2 {dt J |
w=wД Q=QS |
A |
|
d3аа fdQ\ |
if |
||
dW3 {dt J |
w=wД Q=QS |
ч |
|
d2а fdQ\ |
w= |
||
dWdQ {dt ) |
ws |
||
s/ J
+ 6- |
K"'(WS)аа K'(WS)K"(WS) , K'3(WS)
K2(WS)K3(WS)K4(WS)
d3а fdQ\а = K"(WS)а K'2(WS) dW2dQ {dt ) w=ws 6K2(WS) Ж3 (Ws)
dQ{dt)w=ws K(WS)а 01'
W=WS
Q=QS
v21>
dQ
Последняя строка показывает, что первая частная производная по стоку от---- не зависит
dt
от Q. Следовательно, все последующие частные производные по стоку более высокого
порядка будут равны нулю. Получим
К# + bmQ + b20W2 + b30W3 + bnWQ + b2lW2Q |
dQ
dt
Система (1) принимает вид
[dW
dt dQ .. dt |
a10W + amQ + a20W2 + a30W3
(3) |
KW + KU + b20W2 + b30W3 + \ Щ + b2lW2Q.
Электронный научный журнал ИССЛЕДОВАНО В РОССИИаа 1149аа Учет нелинейной зависимости испаряемости (условной величины, характеризующей максимальное возможное испарение в данной местности при неограниченном запасе воды) и, следовательно, испарения от влагозапасов суши приводит к тому, что система уравнений водного баланса и баланса количества движения воды в речном бассейне оказывается существенно нелинейной и неустойчивой. Многочисленные положительные и отрицательные обратные связи, действующие в системе речной бассейн - атмосфера могут порождать упорядоченные структуры, т.е. при определенных условиях система может стремиться к самоорганизации. Потеря системой устойчивости и возникновение на этой основе автоколебаний является одним из примеров возникновения в системе упорядоченной структуры. Такие колебания обусловлены не внешним воздействием, а внутренней структурой самой системы.
Под самоорганизацией понимается процесс установления в системе порядка, происходящего исключительно за счет совместного действия и взаимосвязей ее компонентов. В системе при установлении порядка все элементы взаимосвязаны, и каждый несет информацию обо всех. Фактически, самоорганизация представляет собой установление организованности, устойчивого движения, порядка за счет согласованного взаимодействия компонентов внутри системы при отсутствии упорядочивающих воздействий со стороны среды. В открытых системах под воздействием внешней среды могут возникать внутренние флуктуации, как самой системы, так и ее компонентов. Флуктуации могут быть свободными, вынужденными и автоколебаниями. К свободным обычно относят постепенно затухающие флуктуации. Автоколебания - незатухающие, самоподдерживающиеся колебания, происходящие в диссипативных открытых, далеких от равновесия системах, т.е. системах, определяющихся параметрами, свойствами и природой самой системы. Точки бифуркации в таких системах часто провоцируются изменением управляющего параметра или управляющей подсистемы. В рассматриваемой системе (3) в качестве управляющего параметра может быть рассмотрена скорость испарения, изменение которой приводит к качественно новому движению всей системы.
Тепловая неустойчивость испарения может быть обусловлена, в частности, большой разницей в теплофизических свойствах сухих компонентов почвы и воды. Теплоемкость сухих пористых грунтов более чем в 5 раз меньше теплоемкости воды, поэтому влажный слой почвы медленно нагревается и медленно остывает. При этом, чем больше увлажнена почва, тем меньше амплитуда колебаний температуры воздуха, что ведет к меньшему испарению и увеличению запасов влаги в почве. Такая положительная обратная связь делает возможным в далеких от равновесия состояниях усиление очень слабых возмущений до крупномасштабных. При положительной обратной связи система получает определенную энергию. Если эта энергия больше энергии потерь, то амплитуда малых вначале колебаний нарастает. При нарастании амплитуд колебаний энергия, поступающая извне, уменьшается и при некоторой амплитуде колебаний становится равной энергии потерь. В результате устанавливается режим стационарных автоколебаний, при котором внешний источник компенсирует все потери энергии. Таким образом, автоколебательные системы должны быть принципиально нелинейными -именно нелинейность не позволяет колебаниям безгранично нарастать, управляя поступлением и тратами энергии источника.
Электронный научный журнал ИССЛЕДОВАНО В РОССИИаа 1150аа Исследуем решения системы (3) при различных значениях параметра а10, при этом остальные параметры имеют ниже приведенные значения
^ = awW-Q-0.5W2-W3
dt^
d^ = o.5W-o.4Q-W2-o.5WQ-4W2Q + 6W3
.. dt
Набор этих коэффициентов показывает, насколько сильно испарение с поверхности водосбора и коэффициент сопротивления движению воды в бассейне зависят от влагозапаса.
Решение рассматриваемой системы для влагозапасов и стока как функции времени представляет собой автоколебательные процессы, при этом сток имеет некоторое запаздывание относительно влагозапасов. Период цикла определяется величиной параметра al0=-E'(w), при изменении которого от 0.4 до 0.98 сохраняется
автоколебательные режимы. То есть, автоколебания возникают, когда производная испарения отрицательна, испарение уменьшается при возрастании увлажненности. Явление гистерезиса испарения теоретически было выведено В.И. Найденовым. Есть и экспериментальные исследования [11] зависимости испаряемости от степени увлажненности территории, которые показывают, что в периоды максимального суточного и годового хода температур, когда очень велика роль теплоемкости суши, испаряемость с увлажненных районов заметно меньше, чем с засушливых. Наблюдения также показывают, что испарение с поверхности насыщенной влагой суши на 50% больше, чем с поверхности рядом расположенного мелкого водоема.
При скорости испарения E'(W) = -0.39 аттрактор решения обращается в точку, система стремится в устойчивое состояние. При E'\fV)= -0.4 период многолетних колебаний стока равняется 28.6 года. Система очень медленно входит в режим автоколебаний, требуется более 10000 шагов, чтобы колебания стали устойчивыми. При E'(fV) = -0.5 система быстро (достаточно рассмотреть первые 200-300 значений) стремится к предельной траектории, амплитуда колебаний как для влагозапасов, так и для стока быстро нарастает, период колебаний остается прежним. При E'[W)=-0.& период возрастает до 36.8 года, а при E'(fV) = -0.984 режим автоколебаний прекращается. Данная модель показывает, как скорость испарения может влиять на установление определенного периода колебаний. Может быть, поэтому в многолетних колебаниях стока рек выявлено значительное число разнообразных периодов от 2-3 лет до вековых.
В системе (4) в уравнении водного баланса до сих пор использовались осадки в виде постоянной величины. Однако реально эта величина отличается достаточно большой изменчивостью в пространстве и во времени. В качестве первого приближения учтем осадки как периодически возникающее возмущение, используя функцию косинуса. Система приобретает вид
Ч = ccwW-Q-0.5W2 -W3 +0.lcos(2t)
ип(5)
^ = 0.5W- 0AQ -W2- 0.5WQ -4ff2Q + 6ff3
[dt
Исследуем поведение этой системы в зависимости от управляющего параметра а10. Теперь автоколебательные режимы возникают как при отрицательных значениях E'yfV),
Электронный научный журнал ИССЛЕДОВАНО В РОССИИаа 1151аа Начиная от -0.1 и до -0.39 система имеет автоколебательные режимы. При E'yW) = -0.4 на фазовом портрете появляется многомодальность, концентрация значений стока около нескольких выборочных значений. Если сравнить полученное решение с фазовым портретом наблюденного ряда по стоку р. Волги (рис.2), то можно заключить, что модельный ряд отражает особенности натурного ряда. При выбранных значениях параметров автоколебательное решение имеет период равный 129 годам. Реальный процесс формирования стока, как и любой другой природный процесс, периодичен. Эта периодичность обусловлена различными циклами, которые как-то переплетаются между собой и оказывают то или иное влияние друг на друга. Модели, которые демонстрируют автоколебательные режимы, позволяют выделить самое существенное качество процесса формирования стока, его цикличность. Параметры этой цикличности амплитуда и период постоянно меняются, что удалось получить с помощью модели (5).
Рис. 2. Фазовый портрет решения модели (5) (а) и натурного ряда ( р.Волга - г. Волгоград) (б).
Кроме этого, в полученном решении системы (5) отражено еще одно характерное качество колебаний речного стока. Ранее в работах с участием авторов [6,8] показано, что колебания уровня Каспийского моря характеризуются бимодальностью своей плотности распределения вероятностей. Естественно предположить, что все климатические и гидрологические процессы, происходящие в бассейне и оказывающие влияние на формирование стока в море, также должны быть, по крайней мере, бимодальными. В работах Лобанова С.А. [4] с помощью вероятностного анализа кривых обеспеченностей убедительно показана полимодальность речного стока. Исследованы не только реки Дальнего Востока, но и других регионов мира: Европы, Азии, Северной Африки. Для рассмотренных рек практически со 100% надежностью обнаружено реальное существование полимодальности. Однако при попытках формализации динамики речного
Электронный научный журнал ИССЛЕДОВАНО В РОССИИаа 1152аа Дальнейшее небольшое изменение управляющего параметра (E'(W) =-0.44) приводит к тому, что система теряет упорядоченность, и колебания становятся хаотичными. Аттрактор становится странным, решение сильно зависит от начальных условий. Предельная траектория не просто замкнутая кривая, а заполняет некоторую область фазового пространства, к которой притягиваются фазовые траектории, не повторяющиеся с течением времени. Предельный цикл преобразуется в странный аттрактор - зону фазового пространства (рис.3), в котором два положения равновесия становятся неустойчивыми спиралями и сложная хаотическая траектория блуждает между ними. Для подтверждения того, что аттрактор получился странным, была посчитана его корреляционная размерность.
|
0.1 0.08 0.06 0.04 0.02 0 -0.02 -0.04 -0.06 -0.08 -0.1 -0.12
0.15а 0.2
Влагозапас, отн.ед.
Рис. 3. Траектория, отвечающая хаотическому решению системы (5).
При определении корреляционной размерности непрерывная траектория дискретизируется - заменяется множеством из Nаа точек в фазовом пространстве. Затем
вычисляется расстояние между парами точек s.. = х. -х.\, используя обычную евклидову меру расстояния. Корреляционная размерность определяется как
\
1аа (числоа nap(i,j),аа дляа которых
С(г>- |
lim Ч-
J |
w^oo т\р [расстояниеаа sf}< г
Суммирование проводится вокруг цепочек, состоящих из нескольких точек фазового пространства. Многими исследователями было проверено, например, [12], что если траектория колебания соответствует белому шуму, то величина корреляционной размерности следует длине цепочки при ее увеличении. Для исследуемой траектории решения системы (5) С(г) стабилизировалось около значения 3.08, что подтверждает хаотический характер траектории.
Электронный научный журнал ИССЛЕДОВАНО В РОССИИаа 1153аа Система, описываемая дифференциальными уравнениями (5), имеет свою собственную структуру, которая с одной стороны подчинена общим законами природы, а с другой - способна менять характер своего движения, реагируя на изменяющиеся условия окружающей среды. Колебания стока, как в реальности, так и порожденные системой уравнений (5) обладают некоторым уровнем системности, уровнем гармоничного взаимодействия с окружающей средой (сток колеблется в лад с колебаниями осадков и температуры), а также сохраняя память о своих предыдущих состояниях (коэффициент автокорреляции). Чем выше коэффициент автокорреляции, тем больше информации о своей предыстории, тем оптимальнее работа по поддержанию своей структуры и всей природы в целом. Можно ли по некоторым параметрам (наблюдениям) определить уровень системности изменения стока, т.е. диагностировать и прогнозировать катастрофические изменения на реке, несущие ущерб человеку? Такая постановка задачи требует дальнейших исследований.
Заключение. В науке проблема исследования и описания хаотических движений возникла в середине XIX в., когда между теоретической гидродинамикой с ее уравнениями Навье-Стокса и прикладными задачами о течениях жидкостей и газов образовался ряд противоречий. Первую попытку включить в классическую физику описание хаотических движений сделал Рейнольде, введя безразмерный комплекс (число Рейнольдса), большие значения которого связаны с турбулентными, хаотическими течениями жидкостей, а малые - с ламинарными, упорядоченными. После создания статистической физики, которая описывает хаотические, случайные движения большого множества частиц, под истинно хаотическими процессами стали понимать броуновское движение молекул и турбулентное течение жидкостей. Впоследствии оказалось, что хаотические режимы могут возникать в простых системах, описываемых динамическими законами.
В статье исследована модель формирования речного стока, решение которой имеет хаотическую динамику. На фазовой плоскости такое решение представляет собой странный аттрактор. Большинство реальных процессов в своих колебаниях имеют целый набор как простых аттракторов в виде состояний равновесия или предельных циклов, так и странных. При этом, чем больше можно выделить странных аттракторов, тем система гибче, легче подстраивается под изменяющиеся условия окружающей среды, создавая гармоничный целостный комплекс. Чем больше в системе простых аттракторов, тем система ближе к резкому изменению своей структуры, ближе к катастрофе. Исследованная в статье модель в качестве решения имеет устойчивые автоколебания, математическим выражением которых является предельный цикл, дополненная регулярным внешним воздействием она демонстрирует детерминированный хаос.
итература
- Вергун В.В. Оценка качества функционирования системУ/Системы безопасности. 1999. № 30. С. 96-98.
- Исмайылов Г.Х., Федоров В.М. Анализ многолетних колебаний годового стока Волги.//Водные ресурсы. 2001. Т. 28. № 5. С. 517-525.
- Кожевникова И. А., Швейкина В.И. Нелинейная динамика колебаний уровня Каспийского моря. //Водные ресурсы. 2008. Т. 35. № 3. С. 313-320.
Электронный научный журнал ИССЛЕДОВАНО В РОССИИаа 1154аа Все научные статьи