Кожевникова И.А., Швейкина В.И. Уточненная стохастическая модель колебаний уровня Каспийского моря

Iаа 0.2

<и о

Sа ^а О

К йаа и

а

са

-30а -29 -28 -27 -26

Уровень, м. абс

Рис. 2. Фазовый портрет уровня Каспийского моря.

В статье [4] обосновано представление о колебаниях уровня Каспия как о хаотическом процессе, чьи переходы с одного устойчивого состояния в другое поддаются только вероятностной оценке. Как правило, колебания уровня замкнутого водоема рассматриваются как случайный процесс. В статье сделана попытка показать, что колебания Каспия обусловлены взаимодействием нескольких случайных процессов, каждый из которых описывает лопределенную компоненту изменчивости, обусловленную влиянием некоторого природного фактора. Таким образом, мы получаем многомерное описание колебаний уровня Каспия.

Получить модель колебаний уровня моря можно разными способами. Первый способ, разработанный авторами, основан на аппроксимации исходных данных. Полученное приближение колебаний используется в качестве коэффициента сноса в уравнении Фоккера-Планка-Колмогорова (ФПК), решение которого дает плотность распределения. Такой способ, использующий нелинейную регрессию 5-го порядка, применен при построении модели колебаний Каспия в [4]. Дополненные среднемесячные данные по г. Махачкале, оцененные с помощью нелинейной регрессии [1], по-прежнему демонстрировали два устойчивых уровня и один неустойчивый. Интересно отметить, что ряд среднегодовых значений уровня Каспия по г. Баку, для которого также была построена нелинейная стохастическая модель с использованием нелинейной регрессии, обнаруживает три устойчивых состояния и два неустойчивых (переходных). Значения всех корней регрессии оказались действительными, хотя сама регрессия не очень четко фиксирует эти состояния, два корня, соответствующие значениям уровня -28,31 и -28,17 м абс. мало различимы. В статье предложен еще один способ получения модели, четко фиксирующий наличие трех устойчивых состояний. Идея заключается в решении обратной задачи: аппроксимируются не исходные наблюдения, а эмпирическая плотность вероятностей, на основе которой строится модель.

Задача статистического разделения смесей вероятностных распределений

Смешанное распределение вероятностей характерно для многих процессов, описывающих природные явления. В гидрологических исследованиях, как правило, используется какое-нибудь одно распределение вероятностей, с помощью которого описывается весь ряд наблюдений. Конечно, выбор распределения зависит от задачи, которую при этом решают. Если, например, интересует в основном правильное описание вероятности редко встречающихся событий, то рациональнее использовать степенное распределение [2,6]. По речному стоку ряды наблюдений достаточно хорошо описываются гамма распределением, а в некоторых случаях 3-х параметрическим распределением Вейбулла,

Электронный научный журнал ИССЛЕДОВАНО В РОССИИаа 1452а которое в гидрологических исследованиях принято называть распределением Крицкого-Менкеля. Для построения смешанного распределения, кроме упомянутых выше, могут быть использованы и многие другие распределения, например, экспоненциальные, пуассоновские, биномиальные и др. [3]. Оценка теоретических параметров смешанного распределения также может быть осуществлена различными методами, например, методом моментов, методом максимального правдоподобия, методом наименьших квадратов, некоторыми видами минимаксных оценок, графическими методами и т.д. В статье использованы гауссовские распределения, а для предварительного оценивания параметров и получения начальной точки итеративного метода - графический метод.

Таким образом, имея на сегодня три устойчивых состояния, исследуемый процесс можно аппроксимировать смесью трех нормальных распределений. Применяя строгие математические процедуры, можно провести кластерное разделение ряда наблюдений за уровнем моря, однако простой здравый смысл позволяет выделить три периода, когда колебания уровня происходили около одного из устойчивых состояний. Первый период, включающий 37 лет наблюдений, приходится на начало ряда, когда море тяготело к уровню -26 м абс, второй период включает резкое падение уровня моря и его стабилизацию около -28 м абс, и третий, содержащий наблюдения с 1986 г., характеризуется колебанием уровня около -27 м абс. Для каждого из этих трех периодов по критерию Д'Агустино была проверена и принята гипотеза о подчинении колебаний нормальному закону. Так как указанный критерий редко применяется при исследовании гидрологических явлений, опишем его более подробно [9]. Рассмотрим натурные данные Хх...Хп и построим для них вариационный ряд Х^<Х(2)<...<Х(Ду Определим выборочную

Т

функцию D = ЧЧ,

п S

где

s^-t^-xf

Ча 1аа "

П ,-=1

Ваа [9]аа показано,а чтоа еслиа выборк Хх...Хпаа взятаа иза нормальногоа распределения,а то

асимптотическиеаа значения математического ожидания и стандартного отклонения выборочной функции D соответственно равны

?(?>)л Ч - = 0,28209479,