Эффективные математические методы вычисления цен опционов в моделях, допускающих скачки

Здесь и ниже ".*" используется для обозначения покомпонентного произведения элементов двух массивов.

Для аппроксимации операторов Sf- = ?^(?), найдём приближение функции 1пФ частичной суммой ее ряда Фурье с помощью формулы (13). Коэффициенты bf, в (13) определяются по формуле (12) и могут быть эффективно вычислены с помощью iRDFT. Имеем,

ваа М/2?

Н^тта У"а 1пФ(^е"2"ш/м^ = */Ш^Т[1пФр). (21)

2?а -^Ч'а Ma

l=-M / 2+1

Следующим шагом вычислим функции bdM в (14)Ч(15), и обозначим приближенные факторы Винера-Хопфа через функции

?(??) = Afв)exp(^Mfв)),/ = -М/2,...,0. (22)

Действие операторов ?^ на функции можно аппроксимировать следующим образом:

(Sюg)(xk) = iRDFT[pг ж RDFT[g]]{k), к = 0,..., М - 1.аа (23)

Отметим, что в приложениях к финансовой математике часто возникают задачи, когда интеграл Фурье (3) для функции д в формулах (20), (23), расходится при ? ? R (например, когда функция выплат д растёт на одной из полуосей). Поэтому для улучшения сходимости метода при численной реализации операторов гj~, Е~ следует рассматривать преобразование Фурье соответствующих функций д с определённым экспоненциальным весом.

Фиксируем действительное число ? и вводим функции g(JJ{x) = g{x)e(JJX. Положим q(jj = q + ?(??) и рассмотрим оператор гqu с символом q(jj{q(jj + Va(^))-1, где ??(?,) = ?(? + ??) Ч?(??) - также является характеристической экспонентой некоторого процесса Леви. Исходные операторы и операторы ?9?, S^ связаны следующими соотношениями.

?-(??)?- = e^S-e-^,а 0+Ы^ = e^+eЧ,аа (24)

qSquаа =аа e^e-^V (25)

Таким образом, центральным результатом первой главы является метод приближенной факторизации Винера-Хопфа для широкого класса моделей Леви. Разработанный метод "Быстрой факторизации Винера-Хопфа" (БФ-ВХ) включает в себя эффективную практическую реализацию операторов ?+ и ?~ являющихся факторами Винера-Хопфа в факторизационном тождестве (11). Вычислительная сложность алгоритма численной реализации действия операторов ?+ и 8~ равна 0(М In М), где М - число точек дискретизации по

17

пространственной переменной. Управлять точностью аппроксимации факторов можно увеличивая область локализации и число М, которое одновременно является количеством слагаемых в Фурье разложении факторов. Метод БФВХ, основанный на свойствах безгранично делимых распределений и алгоритме быстрого преобразования Фурье, по простоте реализации близок к конечно-разностным схемам, но существенно выигрывает в скорости и точности, как показано в главе 5.

Предложенный автором метод БФВХ - это первое применение приближенной факторизации Винера-Хопфа к решению задач финансовой математики для общих моделей Леви. Первыми работами, в которых был описан метод БФВХ, являются [5, 10, 11]. Отметим, что работа [5] была выполнена совместно с С. 3. Левендорским; в работе были построены два метода решения задачи ценообразования барьерных опционов:

1. метод "Быстрой факторизации Винера-Хопфа", предложенный автором диссертации;
2. "Итерационный метод Винера-Хопфа" (метод ИВХ), предложенный С. 3. Левендорским.

Метод ИВХ заключается в представлении оператора задачи в виде суммы главной (легко факторизусмой) и подчинённой части. Далее, задача рассматривается в явно-неявном виде (неявном относительно главной части и явном относительно подчинённой. Затем задача решается методами Винера-Хопфа и простой итерации. Оба метода (БФВХ и ИВХ) хорошо согласуются между собой, но метод БФВХ в несколько раз быстрее.

Метод "Быстрой факторизации Винера-Хопфа" позволяет за секунды и даже доли секунды решать огромный спектр задач финансовой математики. В частности, с помощью метода "Быстрой факторизации Винера-Хопфа" можно вычислять цены барьерных, американских опционов, цифровых опционов первого касания, опционов Swing в общих моделях Леви (см. [1, 5, 8, 10, 11, 13, 16, 18, 20, 36]). Метод легко обобщается на случай моделей Леви с переключением режимов по параметрам и моделей со стохастической волатильностью (см. [1, 10, 12, 19, 33, 35]). Таким образом, становится практически возможным калибровать модели финансового рынка, допускающие скачки, по ценам опционов не только европейского стиля.

Во второй главе разработаны эффективные математические методы вычисления безарбитражных цен барьерных опционов в моделях Леви. Предположим, что относительно нейтральной к риску меры, выбранной рынком, цена базового финансового актива (напр., акции) описывается моделью

St = ex\(26)

18

где Xt - процесс Леви с инфинитезимальным генератором L (см. (2)) и характеристической экспонентой ф (см. (1)). Тогда должно выполняться условие M[eXн] < +00, и следовательно, характеристическая экспонента ф должна допускать аналитическое продолжение в полосу ?у? ? (Ч1,0) непрерывное вплоть до границы. Далее, если безрисковая годовая процентная ставкаг > 0 постоянна и по акции не выплачиваются дивиденды, тогда дисконтированный процесс цены акции должен быть мартингалом. Равносильно, должно выполняться следующее условие8

г + ф{-г) = 0,(27)

которое можно использовать для выражения параметра ? через остальные параметры процесса (см. (1)):

? = ?-~ +

l-ey + yl{_lM{y))Il{dy).(28)

Обозначим через h - поглощающий барьер, Т - некоторый момент времени. В приложениях часто возникает задача вычисления следующего функционала:

V(x,t) = М \е-^т-Чхт>кд{Хт)\Хг = х\ ,аа (29)

где X_t = info<s<нXн - процесс инфимума, г > 0, Т > 0 момент времени. В частности, данный функционал решает задачу ценообразования барьерного опциона в финансовой математике.

Пусть St - модель цены акции (26), г > 0 безрисковая процентная ставка по облигациям. Напомним, что барьерный опцион на акцию - это контракт, по которому выплачивается определённая сумма G(St) в момент окончания срока действия контракта Т, при условии, что течении срока действия контракта цена акции St не упадёт ниже определённого барьера Н (англ. down-and-out barrier opt/ions) или не поднимется выше определённого барьера Н (англ. up-and-out barrier options). Когда барьер Н пересекается, то опцион обесценивается; иногда владелец получает некоторую компенсацию (англ. rebate).

В частности, если рассматривается барьерный опцион с барьером снизу с правом продать акцию по цене К ("опцион put"), то

G(S) = l(ff>+TO)(SOmax{0,tf-S}.

8 Boyarchenko S. I., Levendorskii S.а Z.а Non-Gaussian Merton-Black-Scholes theory // New Jercey, London, Singapore, Hong Kong : World Scientific, 2002.

19

В случае барьерного опциона с барьером сверху с правом купить акцию по цене К ("опцион call"), мы получаем, что

G{S) = l(o;H){S) max{0, S - К}.

Для определённости, мы остановимся на случае барьерных опционов с барьером снизу без компенсации. Тогда цена такого опциона V(x,t) с барьером Н и сроком действия Т, при условии St = Нех, определяется по формуле (29) с д(х) = G(Hex) и h = 0.

Будем считать, что функция выплат д непрерывна при х > 0 и удовлетворяет следующим условиям:

д(х)аа =аа 0,ж< 0,а (30)

д(х)аа <аа С,ж>0, (31)

где С > 0.

Если характеристическая экспонента^ достаточно регулярна (напр., принадлежит классу РПЛЭ), то вычисление функционала V(x,t) (29) можно свести к решению начально-краевой задачи для обобщённого уравнения Блэка-Шоулса8. Положим ?(?,?) = V(x,T Ч т). Тогда ?(?,?) является единственным и непрерывным на (0; +оо) х (0, +оо) решением в классе ограниченных измеримых функций следующей задачи8 (см. также [5]):

(dT + r-L)v(x,T)аа =аа 0, т>0,ж>0; (32)

v(x,0)аа =а д(х), х > 0;а (33)

v(x,r)аа =аа 0, г >0,ж <0.а (34)

Отметим, что можно рассмотреть и случай более общих функций выплат д(х). В частности, для барьерных опционов с барьером снизу вида call, достаточно ввести подходящий экспоненциальный вес, см. ниже.

Замечание 2.а Отметим, что при г = 0, задача (32)-(34) возникает в естественных науках при моделировании траектории движения частицы с помощью процесса Леей Xt с генератором L вида (2). В этом случае, решение задачи ?(?,?) представляет собой плотность вероятности положения частицы в момент временит при условии, что в начальным момент времени т = 0 плотность вероятности была равна д(х).

Во втором параграфе главы автором предлагается решить начально-краевую задачу (32)-(34) для безарбитражной цены барьерного опциона методом

20

горизонтальных линий в сочетании с методом БФВХ. Напомним, что метод горизонтальных линий - это процедура дискретизации одной переменной (в нашем случае т) в то время, как другая (в нашем случае х) остаётся непрерывной.

Разделим промежуток [0,Т] на N подпериодов точками Tj = jAt,j = О,1,..., N, где ?? = ?/?, и обозначим через Vj(x) приближенное значение V(x, Tj). Тогда Vo(x) = д(х), и аппроксимируя производную дт в (32) конечной разностью, мы получаем, для j = 1, 2,..., N: семейство следующих задач:

(q Ч L)vj(x) = At~1Vj-i(x)м х > 0.аа (35)

Vj{x) = 0, х < 0,аа (36)

где q = ??_1 + г. Решение каждой задачи может быть записано в терминах операторов ?+ и ?~ (см. (Ю))5:

Vj{x) = {qAty^-l^+oo^S+Vj.iix),(37)

где 1а(х) - индикатор-функция множества А.

Как видно из (37), на каждом шаге по времени возникает необходимость применения факторов Винера-Хопфа в операторной форме. Поскольку явные формулы для факторов сложны для практической реализации, то применение любых приближенных формул будет создавать на каждой итерации по времени дополнительные вычислительные ошибки.

Для того, чтобы обойти эту сложность автором предлагается вычислять на каждом шаге j = 1, 2,..., TV, не функции Vj(x)7 а вспомогательные функции Wj(x)7 определяемые по формуле:

Wj(x) = l(p;+00)(x)S+Vj-i(x).(38)

Из (37)-(38) и формулы Винера-Хопфа (11) следует, что функции Wjи Wj-\ связаны формулой:

Wj(x) = (qAt)-ll{0.+oo)(x)Sqw]-i(x),(39)

где символ оператора Sqявно определяется через характеристическую экспоненту процесса ф} см. (9).

Таким образом, алгоритм включает следующие шаги:

1. находим W\(x) по формуле (38);
2. j= 2,..., TV, находим Wj(x) по формуле (39);

9 Rothe, E. Zweidimensionale parabolische Randwertaufgaben ais Grenzfall eindimensinaler Randwerttaufgaben // Math. Ann. - 1930. - Voi. 102.

21

Х определяем vn(%) по формуле:

vN(x) = {q^r)-lE-wN{x).(40)

Далее, применяем метод "Быстрой факторизации Винера-Хопфа", разработанный автором в главе 1, который включает в себя эффективную численную реализацию операторов ?+, 8~ и гq. Отметим, что для вычисления vn нам необходимо применять операторы ?+ и 8~ только на первом и последнем шагах, соответственно. Следовательно, приближенные формулы (16) для символов операторов ?+ и 8~ нам понадобятся только один раз. На всех промежуточных шагах (см. (39)) будет использоваться аналитическое выражение для символа оператора ?q: что существенно уменьшит вычислительную ошибку. Вычислительная сложность описанного алгоритма будет равна0(NM In М), где М - число точек пространственной переменной х.

Отметим, что для опциона call с барьером снизу, интеграл Фурье (3) для функции выплат д расходится при ? ? R. Поэтому в зависимости от типа опционов, то есть вида функции д: для улучшения сходимости метода при численной реализации операторов ?+ 8~ следует рассматривать преобразование Фурье функций Vjс определённым экспоненциальным весом. Это ещё один новый элемент предлагаемого метода. Отметим, что в ряде работ, посвященных вычислению европейских опционов в моделях Лсви, в терминах преобразования Фурье, в подобных ситуациях возникает необходимость сдвига контура интегрирования в комплексную плоскость. Следовательно, усложняются вычисления. Предлагаемый приём эквивалентен указанной процедуре, но позволяет оставаться на вещественной оси и использовать преимущества быстрого преобразования Фурье для вещественнозначных функций.

Пусть символ оператора Ч L, характеристическая экспонента ф процесса Левп Xt}голоморфна в полосе Q^ E (?_;?+), ?_ < Ч 1 < 0 < ?+ (см. (26)). Данное условие выполняется, например, для процессов класса РПЛЭ. Фиксируем действительное число ?, ?_ < ? < ?+, и вводим функции Vj(x) = Vj(x)eUJX. Положим q(jj= q+ ?(??) и рассмотрим оператор ?Чш с

символом (/?^?+?^??)-1; гДе ??(?) =?(?+??)~Ф(ъш) также является характеристической экспонентой некоторого процесса Леви. Исходные операторы и операторы ?qu, Si^ связаны соотношениями (24)-(25), учитывая которые, выражение (37) можно переписать в виде

v%(x) = (qvAtr^-lfr+^WSlv^ix).(41)

Введём вспомогательную функцию w^{x) по формуле

?%{?) = l(0;+oc)(^+X-i(^ (42)

тогда алгоритм переписывается в следующем виде:

22

1. находим wf(x) по формуле (42);
2. j = 2,..., ?, находим Wj(x) по формуле:
3. определяем v^(x) по формуле:

???(?) = ^???)-??-?????(?);

Ха находим vn(x) = v^(x)(x)e~UJX.

Таким образом, для вычисления vnнам опять необходимо применять операторы ?+ и Е~ш только на первом и последнем шагах, соответственно. Как показывают вычислительные эксперименты, для опционов call с барьером снизу оптимальный выбор ? = Ч 2, а для опционов put с барьером сверху -? = 1.

В з3 второй главы метод БФВХ применяется после применения преобразования Лапласа относительно времени к начально-краевой задаче (32)-(34). Определим преобразование Лапласа-и(г, ж) относительно временной переменной по формуле

?(?,?) :-

-??

?(?,?) dr,

где ? - параметр преобразования, Ш.Х > 0. В дальнейшем, будем полагать, что ? ? R+. Согласно стандартным правилам операционного исчисления

dTv(r, х) ь- Аг;(А, х) Ч г>(0, х), Lv(t, х) ь- Lv(X, х).

Применяя преобразование Лапласа к уравнению (32), мы получаем, что образ v(X,x) удовлетворяет следующему уравнению:

(? + r -L)v(X,x) = д(х),х > 0, (43)

с преобразованными граничными условиями

?(?,?) = 0, х<0.(44)

Далее, мы решим соответствующую задачу для положительных значений параметра преобразования, определяемых алгоритмом Гавера-Стехфе-ста, с помощью метода БФВХ, используя аналог формулы (37) с q= X+ г.

23

Напомним, что согласно формуле Гавера-Стехфеста10, функция г>(т, х) может быть приближённо записана в виде

2п

где п - натуральное число, а константы uok определяются по формуле

шк :--

.!)+* Ы2)аа min^^

?а Г+1С^С^,(46)

ni

в которой [х] - целая часть числа х, а С^ = /L_K\\K\~ биномиальные коэффициенты. В связи с биномиальными коэффициентами в весах ?&, алгоритм Гавера-Стехфеста с ростом п требует увеличения количества значащих цифр в расчётах для достижения хорошей точности13.

Отметим, что в основе алгоритма Гавера-Стехфеста использовался дискретный аналог формулы Поста-Виддера, включающий в себя использование конечных разностей для аппроксимации ?-& производной образа. Согласно теореме Виддера, для непрерывной и ограниченной функции /(т), преобразование Лапласа которой существует для любого ? > О,

/Маа = lim Нn(t);(47)

л, - нбgK?)V(н).

где f(k>(X) - к-я производная преобразования Лапласа / в точке ?. Сходимость равномерная на любом конечном отрезке.

Таким образом, для хорошего численного обращения решения ?(?,?) задачи (43), (44), на самом деле, необходимо найти дх ~??(\??).

Дифференцируя обе части уравнений (43), (44) по параметру ? для j = 1,2,..., TV Ч 1, получаем последовательность следующих задач

(X + r-L)d{v(X,x)аа =аа -jd{~1v(X,x),x>0,(49)

d{v(X,x)аа =аа 0, х<0.(50)

Фиксируем целое число N > 1, и положим ?? = Т'/?", ? = l/??. Затем введём следующие функции:

vo{x)аа =а g{x);(51)

10 Valko, P. P. Abate, J. Comparison of sequence accelerators for the Gaver method of numerical Laplace transform inversion // Computers and Math, with Applies. - 2004. - Vol. 48. - P. 629-636.

24

Выражая ???^-^,?) через Vj+i(x), с учётом (49), получаем, что функции Vj(x) являются решениями семейства задач (35)-(36) с q = г + l/??. Опять можно применить метод БФВХ, см. шаги (38)-(40). Наконец, принимая во внимание теорему Виддера (см., (47)-(48)), мы приходим к выводу, что решение vn(x) стремится к решению v(T, х) задачи (32)-(34), при неограниченном росте N и фиксированном Т.

Вместе с тем, показано, что функции Vj(x) одновременно являются аппроксимацией решения v(jAr, х) задачи (32)-(34), полученные методом горизонтальных линий после дискретизации времени и замене производной в (32) конечной разностью. Данное наблюдение является очень важным, поскольку позволяет перенести все свойства последовательностей (48) в формуле Поста-Виддера, которые изучались многими авторами11, на решения vn(x) последовательности задач (35)-(36). В частности, это касается вопросов ускорения сходимости.

Известно, что формула Поста-Виддера даёт достаточно плохую аппроксимацию (порядка TV-1)11. Для того, чтобы достичь хорошей точности необходим алгоритм ускорения сходимости для последовательности vn(х). Большинство подходов к ускорению сходимости метода Поста-Виддера используют экстраполяцию (напр., полиномиальную12 или аппроксимацию Паде13). В частности, мы получаем простое обоснование экстраполяции Ричардсона для барьерных опционов.

Таким образом, мы показали, что метод горизонтальных линий для задачи (32)-(34) сходится и более того, указали порядок сходимости ([6, 16, 19]). Сходимость метода линий может быть также доказана путём технически более сложного интегрирования по частям интегрального представления решения в комплексной плоскости14.

На основе свойств функционалов в формуле Поста-Виддера, мы доказали следующее утверждение.

Утверждение 1. Пусть Xt - процесс Леей с инфинитезимальным генератором, (2), г>(т, х) - решение задачи (32)-(34); Vj (Т, х), j = N Ч 1, N Ч

2,..., 0 - последовательность решений семейства задач (36)-(35) с vQ (Т, х) = g(x), q = ??-1 + г и ?? = ?/?. Тогда для каждого фиксированного х выполняются следующие свойства:

11 Jagerman, D. L. An inversion technique for the Laplace transform with applications // Bell System

Tech. J. - 1978. - Vol. 57. - P. 669-710.

12а Abate, J. Whitt, W. Numerical inversion of Laplace transforms of probability distributions // ORSA

Journal on Computing. - 1995. - № 7. - P. 36-43.

13а jYolov, G. A. Kitaev, M. Y. Improvement of accuracy in numerical methods for inverting Laplace

transforms based on the Post-Widder formula // Computers and Mathematics with Applications. - 1998.- Vol.

36, № 5.- P.23-34.

14а Levendorskii, S. Z. Convergence of Carr's randomization approximation near barrier // SIAM J. Finan.

Math. - 2011. - № 2. - 79-111.

25

0<???(???) <suvxгRg(x),W;

V7V; VC > 0; уравнение vNа (T, x) = С относительно переменной T UM,eem не более корней, чем, у равнение v (Т} х) = С;

имеют место следующие асимптотики:

???\?,?)-?(?,?)аа ~аа гг^,JV^ooаа (53)

?=1

J2w(k,m)v^kk\T,x)-v(T,x)аа =аа 0(N-m),N -^ oc (54)

k=н

где mGN, w(k,m) определяются по формуле

7 ТТЬ

Ш(*'т) = (-1Г^Г=*)Г (55)

Численные эксперименты, проведенные автором, показывают, что при выборе 7У = 10иш = Зв формуле (55) (60 итераций по времени), предлагаемый метод даёт ту же точность вычислений, что и метод, основанный на неоптимизированном методе горизонтальных линий при N = 1000 Ч 2000. Следовательно, данный подход позволяет увеличить скорость вычислений безарбитражных цен барьерных опционов в десятки раз. Точность метода возрастает с увеличением параметров N и m в формуле (54). В отличие от метода, основанного на алгоритме Гавера-Стехфеста, метод, использующий формулу Поста-Виддера, не требует применения длинной арифметики.

Одним из наиболее популярным математическим методом приближенного решения задач ценообразования опционов являются конечно-разностные схемы, рассмотренные в з4 второй главы. Этот метод достаточно популярен на практике, поскольку в диффузионных моделях соответствующая матрица системы является трехдиагональной и легко обращается. Однако, в случае моделей финансового рынка, допускающих скачки, возникает необходимость обращать "плотные" теплицевы матрицы. Для того, чтобы обойти эту проблему большинство авторов предлагают явно-неявные схемы, в которых после дискретизации получается трехдиагональная система15. Основная идея заключается в том, чтобы дискретизация дифференциальной части инфини-тезимального генератора осуществлялась неявным способом, а интегральной - явным. Очевидно, что при таком подходе теряется точность расчётов и для достижения результатов с низкой погрешностью требуется очень мелкая сетка.

15 Cont, R. Voltchkova, E. A finite difference scheme for option pricing in jump diffusion and exponential Levy models // SIAM Journal on Numerical Analysis. - 2005. - Vol. 43. - № 4. 1596-1626.

26

Альтернативный подход, основанный на методе простой итерации, предложен в з4 второй главы, см. также [4]. Недостатком этого подхода является необходимость проводить несколько итераций на каждом шаге по времени, что существенно замедляет вычисления.

Напомним, что в конечно-разностных схемах в общих моделях Леви производные в инфинитезимальном операторе заменяются на конечные разности, а интегральная часть оператора, отвечающая за скачки в цене акции, заменяется на дискретную сумму. В процессе построения конечно-разностной схемы происходит дискретизация по пространственной и временной переменным, усечение больших скачков и аппроксимация малых. Усечение больших скачков необходимо для получения конечного числа слагаемых в интегральной сумме, аппроксимация малых скачков нужна в случае, когда мера Леви имеет неинтегрируемую особенность в нуле. Отметим, что ряд авторов18 заменяет малые скачки дополнительной диффузионной компонентой, которая, в случае чисто негауссовых процессов Леви, качественно меняет инфините-зимальный оператор появлением производной второго порядка. При вычислении безарбитражных цен барьерных опционов такая аппроксимация, безусловно, скажется на поведении цен вблизи барьера. Автором предлагается заменить малые скачки введением дополнительного сноса, что не изменит порядок оператора, и следовательно, сохранит качественные особенности решения (см., напр., [4]).

В предыдущих параграфах второй главы для решения задач типа (5)-(6) применялся метод БФВХ. Вместе с тем, указанные задачи можно эффективно решить с помощью конечно-разностных схем, применяя формулу факторизации Винера-Хопфа для теплицевых матриц, см детали в [21].

Выберем шаг в пространстве логцены Ах и положим xб = 1Ах7 I ? Z. Большинство конечно-разностных схем, построенных для аппроксимации инфинитезимального оператора процесса Леви, в контексте ценообразования опционов, объединяет его представление в следующем виде:

Lg(xk) = ? ai9(xk+i) + а0д(хк), oli > О, I ф 0; ^ aб = -а0 < ос.

Данное представление можно интерпретировать с вероятностной точки зрения, как аппроксимацию исходного процесса Леви марковской цепью с непрерывным временем со счётным числом состояний {a^j^Z^, матрица интен-сивностей которой порождается последовательностью {?!/}^1^^, и является

27

Тогда получаем следующую аппроксимацию для оператора q l{q Ч L).

q~\q - L)g(xk) = ? aw(xk-i),(57)

/ez

где

-q 1a-i,l^0;a0 = l + q 1^л/

После дискретизации функцию g G i^(R) можно считать кусочно-постоянной на сегментах (ж/ Ч Аж/2; xб + Аж/2]. Следовательно, можно рассматривать функцию g как элемент ^(Z): g = {ХХ,9{?-2),9{?-?)?9{??)?9{??)?9{?2)?) Тогда перепишем (57) в терминах матрицы Лоренца L(a): порождённой последовательностью {ai}:

q н(q- L)g(xk) = (L(a)g)k, к G Z.

(59)

Пусть T обозначает единичную окружность в комплексной плоскости. Поскольку {ai} принадлежит /?(?), мы можем ввести функцию a(t) = ^k akt -, н G T, которая известна, как символ матрицы (оператора) Лоренца L{a). Напомним, что множество таких функций образует алгебру Винера W := VK(T)16, которая является банаховой алгеброй относительно поточечных алгебраических операций и нормы ||а||и/ = ?^ |&&|

Далее, последовательность {ак}к=-<х> представляет собой набор коэффициентов ряда Фурье функции a(t):

ак

1

2^r

aie

??

)e-ik(pd(p,ke Z.

(60)

Обозначим через F : ^(T) Ч>ж 2(Z) оператор, который отображает функцию a(t) в последовательность коэффициентов {ак} ее ряда Фурье (см. (60)). Хорошо известно16, что матрица Лоренца L(a) представляет собой матричное

16 Bуttcher, A. Silbermann, В. IntroductiontolargetruncatedToeplitzmatrices// Springer-Verlag, New York, Berlin, Heidelberg, 1999.

28

представление оператора умножения на функцию a{t) в Ь2(Т) относительно ортонормированного базиса {-k=eikнp}- Следовательно, L(a) = FaF~l, откуда следует, что

L(ai)L(a2) = L(ai<22), Vai,a2 G Loo(T).а (61)

Согласно теореме Винера, если a G W и ?(?) ?^ 0, Vi G Т, тогда а~1 = I/a G W. Будем обозначать множество всех обратимых элементов алгебры W через GW. Согласно свойствам оператора Лоренца (см. (61)), обратный оператор к обратимому оператору Лоренца с символом из алгебры Винера снова является оператором Лоренца с символом в алгебре Винера.

Последовательность {<2/}t^oo порождает также бесконечную матрицу Теплица Т{а):

Т(а)

( (lo?_?а (1-2(2-3

CL\CLqCLЧi&Ч?

(L'i(L\ (LqCLЧi

ЙЗ (L'i (L\(Lq

V......................

\

/

(62)

Тогда, учитывая, что T(a) = PL(a)P (Р - оператор ортогональной проекции из /2(Z) на /2(N)), после применения конечно-разностной схемы (см. (57)), (5)-(6) можно переписать в виде:

Т(а)д = PG,

гдс G = (..., G(x-2),G(x-i),G(xo),G(xi),G(x2), мент /2(Z).

В работе показывается, что символ a{t) удовлетворяет необходимым условиям стандартной теоремы об обращении теплицевых матриц. Итак, в контексте рассматриваемых конечно-разностных схем, можно показать, что справедливо следующее утверждение (см. [21]).

Утверждение 2. Пусть последовательность {щ}^!^, определяемая по формулам (58); представляет собой набор коэффициентов ряда Фурье функции a(t). Тогда оператор Т(а) обратим и существуют ?+, а_}p}p+мp- G GW, b G W такие, что a = exp(т) = a+a,- и

a+(t) = J2a+th

k>0

T(a) = T{a-)T{a+) P(t) = (a(t))-\P(t) = J2Pkth

kАZ

P-(t) = Y,Pktk

k<0

k<0

T{a)-1 =?(?;1)?(??1), p+(t) = {a+(t))-\p.(t)

P+(t) = Y,Ptt\teT.

k>0

(64)

(65) :?_(?))"1,(66)

(67)

29

Следовательно, решение задачи (63)) может быть записано в виде:

д = T(a;1)T(aI1)G. (68)

С практической точки зрения, (68) удобнее переписать в терминах операторов Лоренца L(p):

д = L(p+)PL(p_)G.(69)

С помощью утверждения 2, можно построены явные формулы для символов

p+(t),p-(t):

к=+сок=Ч\

p+(t) = ехр(- h(tk - 1)), p-{t) = ехр(- ^ bk(tk - l)),н e Т. (70)

k=0k=Чco

где

lna(e'Vfc>,fcGZ. (71)

Численная реализация (69) осуществляется с помощью быстрого преобразования Фурье.

Формулы (70) построены таким образом, что операторы L(p), L{p) получают следующий вероятностный смысл (см. [21]), который позволит их применять для вычисления других видов опционов, в частности, бермудских.

Теорема 1. Пусть выполнены условия утверждения 2 и последовательности {pi}, {pf} определены согласно (66), (67), (70), (71). Положим

Р(0аа =аа 5>ехр(-г/?ДЖ),?еН, (72)

/GZ /=0

?+(?)аа = ? РГ expH^rU e R,аа (73)

/=Чоо /=+оо

?~(?)аа =аа ?р+ехр(-г/?ДЖ),?еН. (74)

/=о

Тогда Р, Р+ и Р~ - характеристические функции безгранично делимых решетчатых распределений X, Х+ и Х~ с шагом Ах, принимающих вещественные, неотрицательные и неположительные значения, соответственно.

30

Таким образом, соответствующие операторы Лоренца L(p)} L(p+) и L(p ) можно интерпретировать, как операторы математического ожидания:

Цр)д(хк)аа =аа ^2pig(xk-i) = М\д(хк + Х)],(75)

/GZ /=0

L{p+)g{xk)аа =аа yS2ptg(xk-i) = M\g(xk+X-)]м(76)

/=Чоо /=+оо

L{p-)g{xk)а =аа J2pig(xk-i) = M[g(xk+X+)}.(77)

/=0

В силу указанной интерпретации операторы L(p) можно рассматривать как дискретные аналоги операторов 8Т.

Таким образом, задача (32)-(34) вычисления безарбитражной цены барьерного опциона во второй главе решается в три этапа:

Ха Сведение к семейству одномерных задач на полуоси для интегро-диффе

ренциального (псевдодифференциального) уравнения следующими ме

тодами:

1. методом горизонтальных линий путём дискретизации времени;
2. с помощью одностороннего преобразования Лапласа по временной переменной.

Ха Решение каждой задачи семейства с помощью приближенной фактори

зации Винсра-Хопфа:

1. применяется метод Винера-Хопфа в операторной форме, решение записывается в терминах операторов^, ?+,?", применяется метод "Быстрой факторизации Винера-Хопфа", разработанный в первой главе;
2. конечно-разностная схема сводит задачу к решению системы матрица, которой является тёплицевой, затем применяется приближенная факторизация Винера-Хопфа, приближенное решение записывается в терминах матриц Лоренца.

Ха Определение приближенного решения исходной задачи на основе реше

ний семейства одномерных задач.

Как показывают численные эксперименты, проведённые автором, построенные методы быстро сходятся и хорошо согласуются с другими методами (Монте-Карло и конечно-разностные схемы), но существенно превосходят их по скорости.

31

Наиболее эффективным оказывается применение метода, основанного на БФВХ и формуле Поста-Виддера. С одной стороны, данный метод позволяет существенно ускорять сходимость, с другой, его применение не требует вычислений с длинной арифметикой. Показано, что указанный метод без ускорения сходимости может быть интерпретирован, как метод горизонтальных линий. Таким образом, автором дано простое доказательство того, что метод горизонтальных линий для барьерных опционов сходится, указаны порядок сходимости и формулы ускорения (см. утверждение 1).

Разработанные в главе методы распространены на случай моделей Ле-ви, зависящих от марковской цепи. Следовательно, они могут, в том числе, использоваться для ценообразования барьерных опционов в моделях Леви со стохастической волатильностью.

Описанные в главе методы программно реализованы автором и опубликованы ([1, 4, 5, 10, 11, 13, 16, 18, 19, 21, 33, 35, 36]).

В третьей главе третьей главе предложены эффективные математические методы ценообразования цифровых опционов первого касания в моделях Леви.

Цифровой опцион первого касания (англ. first-touch digital) - это контракт, который выплачивает 1 д. е., если цена Sопределенного финансового актива (напр., акции) пересечёт некоторый барьер Н вплоть до конца срока действия опциона. Если барьер не пересекается, то опцион обесценивается. Различают цифровые опционы первого касания с барьером сверху и снизу.

Указанный вид опционов может быть интерпретирован как функция распределения вероятности первого перехода через барьер. Следовательно, данный вид задач имеет большое значение и для страховой математики. Напомним, что одной из общепринятых мер финансового риска является показатель VaR (англ. Value-at-Risk), который представляет собой квантиль распределения доходов (потерь) инвестора в момент достижения определённого временного горизонта. Однако, данный показатель не учитывает размер возможных потерь в течение рассматриваемого периода времени.

По аналогии с показателем VaR, ряд авторов17 предлагают рассматривать "внутрипериодический риск" (англ. "intra-horizon risk"), отражающий размер возможных потерь от текущего момента времени до конца периода (обычно рассматривается десятидневный период). Таким образом, "внутри-периодический риск" можно измерить, как квантиль распределения вероятности первого перехода за фиксированный (короткий) период времени. Отметим, что задача оценки функции распределения вероятности первого перехода частицы через барьер возникает во многих приложениях. Наибольший интерес представляет возможность учитывать скачки при моделирова-

17 Bakshia, G. Panayotov, G. First-Passage Probability, Jump Models, and Intra-Horizon Risk // Journal of Financial Economics. - 2010. - Vol. 95. - № 1. - P. 20-40.

32

нии движения частицы. Поэтому решение указанной задачи в моделях Леви представляет большой практический интерес.

Рассмотрим цифровой опцион первого касания на акцию Stв экспоненциальной модели Леви (26) с барьером снизу Н и сроком действия Т. Пусть F(St,t) - безарбитражная цена такого опциона, тогда,

F(S,t) = М[е-г{т'-ЧТ1<т| St = SI, (78)

где Т' случайная величина времени вхождения цены S в промежуток (?,?]. Формулу для цифрового опциона с барьером сверху легко получить, исходя из соображений симметрии.

Задача ценообразования цифровых опционов в моделях Леви сводится к начально-краевой задаче для обобщённого уравнения Блэка-Шоулса. Известны явные формулы для таких опционов в случае модели Блэка-Шоулса18 и общие теоретические формулы (сложные для практического применения) для случая РПЛЭ19.

Для решения данной задачи автором предлагается использовать метод горизонтальных линий и метод "Быстрой факторизации Винера-Хопфа". Как и в предыдущей главе метод горизонтальных линий может быть интерпретирован как формула Поста-Виддера, и сходимость метода может быть существенно ускорена с помощью прямого аналога утверждения 1. Далее, метод может быть распространён на случай моделей Леви с переключением режимов по параметрам процесса и стохастической волатильностью. В данной главе также предложена модификация полуявной процедуры вычисления американских опционов put в модели Коу19, на случай цифровых опционов первого касания.

Автор имеет определённый опыт применения асимптотических методов анализа (см., напр., [7]). Наиболее важный результат главы - это эффективная асимптотическая формула для цены цифрового опциона первого касания в модели Normal Inverse Gaussian (NIG). Приближенная формула представляет собой главный член асимптотики в явной формуле для цены. Напомним, что характеристическая экспонента процесса NIG имеет следующий вид:

№) = -?? + Ж"2 - (? + Ю2У/2 - (а2 - ?2)1%(79)

где где а > |/3|, ? > 0 и ? ? R. Отметим, что а Ч ? и а + ? описывают скорость экспоненциального убывания правого и левого хвостов распределения вероятности, соответственно.

18аа Ingersoll, Jr., J. E. Digital contracts: simple tools for pricing complex derivatives // Journ. of Business.

- 2000. - Vol. 73.

19аа Boyarchenko S. I., Levendorskii S. Z. Non-Gaussian Merton-Black-Scholes theory // New Jercey,

London, Singapore, Hong Kong : World Scientific, 2002.

33

Асимптотика вычисляется при условии, что параметр а в определении характеристической экспоненты процесса NIG стремится к бесконечности. Для типовых значений параметров асимптотическая формула даёт хорошее приближение, начиная с пяти дней до окончания срока действия опциона; чем дальше от барьера, тем лучше аппроксимация цены с помощью асимптотической формулы (подробнее, см. главу 5).

Все разработанные в главе методы были программно реализованы, а основные результаты третьей главы нашли отражения в следующих работах автора: [1, 3, 8, 16, 17]. Следует отметить, что работы [3, 17], посвященные асимптотической формуле выполнены совместно с С.З.Левендорским, которому принадлежит идея упростить выведенную им общую приближенную формулу в случае модели NIG. Техническая реализация асимптотической формулы для цифрового опциона первого касания в модели NIG была сделана автором.

В четвертой главе были рассмотрены методы количественного анализа

1. таможенных рисков, связанных с "перетеканием" товаров между органами таможенного оформления;
2. таможенных рисков, связанных с "товарами риска" и "товарами прикры-тия ;
3. финансовых рисков получения таможенных платежей ниже планового задания.

В ходе выполнения серии научно-исследовательских работ (НИР) под руководством автора, на базе Ростовского филиала Российской таможенной академии, разработаны методы оценки и анализа рисков, связанных с таможенной деятельностью. Исследования проводились совместно с сотрудниками таможенных органов и учениками, которые в настоящее время являются действующими сотрудниками таможенных органов или преподавателями Ростовского филиала РТА и нашли отражение в монографии [2] и публикациях (см. [9, 14, 15, 22-25, 27, 29, 31, 32, 34]).

Последние результаты автора в направлении выявления потенциальных таможенных рисков изложены в з2 четвёртой главы. В следующих параграфах четвёртой главы автором даётся анализ финансовых рисков, связанных с фискальной функцией таможенных органов. В первую очередь финансовые риски в таможенной деятельности возникают в связи с неопределенностью получения таможенных платежей, поскольку заранее невозможно предугадать их размер. Вместе с тем, перед таможенными управлениями и отдельными таможенными органами ставятся плановые задания по таможенным платежам. В частности, в контексте финансовых рисков в главе были проанализированы

34

импортируемые товарные группы, оформляемые в зоне деятельности Южного таможенного управления в период 2008-2009 годы. В результате, можно сделать вывод о высоком финансовом риске получения платежей с индексом ниже среднего, что говорит о наличие небольшой доли разовых платежеём-ких поставок.

Вместе с тем, в главе предложен новый подход к оценке ожидаемых таможенных платежей, основанный на реальных опционах. Данный подход даёт возможность изменять стратегию и принимать оптимальные решения в будущем в соответствии с поступающей информацией. Причём возможности принимать и изменять решения в будущем количественно оцениваются в момент планирования бюджета. В частности, при изменении конъюнктуры рынка (например, цен на нефть) Правительство может изменять ставки таможенных пошлин, отказываться от определённых расходов или начинать новые проекты. Выбрав модель для цены товара (например, нефти) с помощью метода Монте-Карло можно оценить стоимость реального опциона.

Метод реальных опционов предлагается применить для оценки функции распределения "выполнения планового задания". Автором предлагается моделировать процесс суммарных таможенных платежей с помощью субординатора (процесса Леви с неубывающими траекториями), при этом указанная функция распределения может быть интерпретирована как цифровой опцион первого касания с барьером сверху. Под барьером в данном случае понимается плановый показатель. Решение данной задачи можно эффективно осуществить методами главы 3.

Данная работа является новой в вопросе анализа финансовых рисков, связанных с таможенной деятельностью, и представляет собой первые шаги в этом направлении. В будущих исследованиях планируется развить эту тему.

В пятой главе описаны результаты вычислительных экспериментов, которые показывают, что разработанные автором в первых трёх главах методы быстро сходятся и согласуются с результатами, полученными другими методами (Монте-Карло, конечно-разностные схемы), но существенно превосходят их в скорости расчётов.

В Заключении автором:

1. суммируются результаты, проведённого исследования;
2. делаются выводы о возможности обобщения разработанных методов на случай других видов опционов (американских, опционов Swing, гибридов экзотических опционов: частично барьерных опционов, lookbarrier и других, в частности, см. [1, 4, 11, 12, 20, 26, 35, 36]);
3. обсуждается возможность применения других способов приближенной факторизации и сопряжённых трудностей;

35

1. обозначается возможность построение эффективных методов Монте-Карло для вычисления безарбитражных цен опционов, функция выплат, которых зависит от процесса инфимума(супремума) и исходного процесса;
2. определяется направление дальнейшего анализа финансовых рисков, связанных с таможенной деятельностью.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

1. Универсальная и эффективная процедура приближенной факторизации Винера-Хопфа в терминах характеристических функций (рабочее название: метод "Быстрой факторизации Винера-Хопфа", сокращённо: метод БФВХ), основанная на свойствах безгранично делимых распределений. Метод БФВХ применим для широкого класса процессов Леви, включающего в себя популярные модели финансовых рынков. По простоте практической реализации метод БФВХ сравним с конечно-разностными схемами, но даёт существенные преимущества при решении аналогичных задач финансовой математики. Более того, для применения метода БФВХ достаточно знать только характеристическую экспоненту модели Леви, в то время как для других методов (например, конечно-разностных схем), как правило, требуется дополнительный анализ особенностей меры Леви в окрестности нуля. Отметим, что мера Леви обычно значительно сложнее характеристической функции с вычислительной точки зрения, в частности, может выражаться с помощью специальных функций.
2. Алгоритм метода "Быстрой факторизации Винера-Хопфа", включающий в себя эффективную практическую реализацию операторной формы факторов Винера-Хопфа с помощью быстрого преобразования Фурье для всщсствсннозначных функций. Данный подход позволяет аппроксимировать операторы (факторы Винера-Хопфа в операторной форме) в формуле для цены опциона, в то время как для других методов (например, конечно-разностных схем) аппроксимируется оператор в уравнении для цены, а затем решается приближенная задача. Следовательно, метод БФВХ позволяет разрабатывать более точные численные методы вычисления безарбитражных цен опционов.
3. Эффективные математические методы ценообразования барьерных и цифровых опционов в моделях Леви без переключения режимов и с переключением режимов по параметрам процесса, которые легко обобщаются на случай моделей Леви со стохастической волатильностью. С помощью метода горизонтальных линий (дискретизации времени)

36

или преобразования Лапласа начально-краевая задача для обобщённого уравнения Блэка-Шоулса (или системы уравнений) сводится к семейству задач на полуоси, которые можно быстро и эффективно решить с помощью метода "Быстрой факторизации Винера-Хопфа". Более того, в предложенных методах приближённые формулы для факторов Винера-Хопфа применяются однократно, что позволяет значительно сократить вычислительные ошибки. Обоснована сходимость метода горизонтальных линий, указан порядок сходимости и предложены формулы ускорения сходимости.

1. Эффективный асимптотический метод вычисления безарбитражных цен цифровых опционов первого касания в чисто негауссовой модели Normal Inverse Gaussian. Если необходимо с точностью до нескольких процентов определить цену опциона для одного значения цены базового актива не позднее, чем за 5 дней до окончания срока действия опциона, то асимптотическая формула может быть хорошей альтернативой методу БФВХ в смысле скорости.
2. Программная реализация метода БФВХ для ценообразования барьерных и цифровых опционов первого касания для различных моделей, допускающих скачки. Большинство разработанных алгоритмов внедрены в программный платформу Premia.
3. Преимущества метода БФВХ в контексте ценообразования различных видов опционов по сравнению с другими методами (Монте-Карло и конечно-разностные схемы) подтверждены разнообразными вычислительными экспериментами на модельных примерах. Метод БФВХ позволяет за секунды и даже доли секунды решать задачи ценообразования опционов в адекватных моделях финансовых рынков. Следовательно, подбор параметров моделей базовых активов можно достаточно быстро проводить на качественно более высоком уровне: калибровать модели по безарбитражным ценам экзотических опционов.
4. Общий подход к решению вспомогательных систем, возникающих после применения конечно-разностной схем к интегро-дифференциальному уравнению с частными производными для цены барьерного опциона. Метод использует приближенную факторизацию Винера-Хопфа в терминах тёплицевых матриц и эффективно применим к полностью неявным схемам относительно дифференциальной и интегральной частей оператора. Существующие конечно-разностные методы вычисления безарбитражных цен опционов применяются к явно-неявным схемам; явным (относительно дифференциальной части) и неявным (относительно интегральной части), что приводит к потери точности.

37

8. Выявление рисков в таможенной деятельности. Методика оценки финансового риска, связанного с получением таможенных платежей ниже планового показателя. Применение метода реальных опционов при формировании контрольных показателей.

сновные публикации по теме диссертации

Монографии

[1] Кудрявцев, О. Е. Современные численные методы решения интегро-дифференциальных уравнений, возникающих в приложениях: монография / О. Е. Кудрявцев // М.: Вузовская книга, 2010. - 144 с. (8,37 п.л.)

[2] Гамидуллаев, С. Н. Современные методы оценки и анализа рисков в таможенной деятельности : монография / С. Н. Гамидуллаев, О. Е. Кудрявцев, И. В. Хоршева. - М.: Вузовская книга, 2011. - 152 с. (9 п.л./З п.л.)

Публикации в ведущих международных рецензируемых журиалах, включенных в международные базы цитирования

[3] Kudryavtsev, О. E. Pricing of first touch digitals under normal inverse Gaussian processes / 0. E. Kudryavtsev, S. Z. Levendorskii // International Journal of Theoretical and Applied Finance.аа 2006.а - Vol.аа 9.а - №а 6. P. 915-949. (1,75 п.л./1 п.л.) Входит в международные системы цитирования Scopus, Mathematics Abstracts

[4] Levendorskii, S. The relative efficiency of numerical methods for pricing American options under Levy processes / S. Levendorskii, O. Kudryavtsev, V. Zherder // Journal of Computational Finance. - 2006. - Vol. 9. - № 2. P. 69-97. (1,25 п.л./0,6 п.л.) Входит в международную систему цитирования Web of Science

[5] Kudryavtsev, О. Fast and accurate pricing of barrier options under Levy processes / O. Kudryavtsev, S. Levendorskii // Finance Stock. - 2009. -Vol. 13. - № 4. - P. 531-562. (1,5 п.л./0,8 п.л.) Входит в международные системы цитирования Web of Science, Scopus, входит в Перечень ВАК

[6] Kudryavtsev, О.Ye. An efficient numerical method to solve a special cass of integro-differential equations relating to the Levy models / O. Kudryavtsev // Mathematical Models and Computer Simulations. - 2011.- Vol.3.- №6. P. 706-711. (0,5 п.л.) Входит в международную систему цитирования Springer

38

Публикации в российских рецензируемых изданиях, рекомендованных ВАК России

[7] Кудрявцев, О. Е. Спектральные асимптотики для магнитных операторов Шредингера и нильпотентные алгебры Ли. / О. Е. Кудрявцев // Доклады Академии Наук. - 2002. - Т. 382. - № 2. - С. 158-161. (0,3 п.л.)

[8] Кудрявцев, О. Е. Сравнительный анализ цен опционов first touch digital в модели NIG и скачкообразной диффузионной модели / О. Е. Кудрявцев // Обозрение прикладной и промышленной математики. - 2007. - т. 14. - в. 2. - С. 245-246. (0,1 п.л.)

[9] Кудрявцев, О.Е. Методика автоматизированного выявления потенциального риска перетекания товаропотоков между различными таможенными органами / О. Е. Кудрявцев, О. В. Лисейкина // Управление риском. - 2010. - № 3. - С.52-58. (0,5 п.л./0,25 п.л.)

[10] Кудрявцев, О. Е. Быстрый и эффективный метод оценивания барьерных опционов в моделях Леви с переключением режимов по параметрам процесса /О.Е. Кудрявцев // Научно-технические ведомости СПбГПУ.

- 2010. - Т. 93. - № 1. - С. 136-141. (0,5 п.л.)

[11] Кудрявцев, О. Е. Вычисление цен барьерных и американских опционов в моделях Леви / О. Е. Кудрявцев // Обозрение прикладной и промышленной математики. - 2010. - Т. 17. - № 2. - С. 210-220. (0,5 п.л.)

[12] Кудрявцев, О. Е. Эффективный численный метод оценивания американских опционов в моделях Леви с переключением режимов по параметрам процесса / О. Е. Кудрявцев // Вестник РГУПС. - 2010. - Т. 39.

- № 3. - С.158-167. (0,5 п.л.)

[13] Кудрявцев, О. Е. Эффективные численные методы оценивания барьерных опционов в моделях Леви / О. Е. Кудрявцев // Обозрение прикладной и промышленной математики. - 2010. - Т. 17. - № 4. - С.575. (0,1 п.л.)

[14] Гетман, А. Н. Оценка финансового риска получения таможенных платежей / А. Н. Гетман, О. Е. Кудрявцев // Научно-технические ведомости СПбГПУ. - 2010. - Т.108.- №5. - С. 115-122. (0,5 п.л./0,35 п.л.)

[15] Кудрявцев, О. Е. Целевые методики выявления рисков как один из элементов построения полнофункциональной модели системы управления рисками / О. Е. Кудрявцев, И. Б. Татарова // Вестник Российской таможенной академии. - 2011. - № 1. - С. 42-47. (0,5 п.л./0,25 п.л.)

39

[16] Кудрявцев, О. E. Эффективный численный метод решения специального класса интегро-дифференциальных уравнений, связанных с моделями Леви / О. Е. Кудрявцев // Математическое моделирование. - 2011, - Т. 23, - № 5. - С.95-104. (0,5 п.л.)

Научные издания зарубежных научных центров

[17] Kudryavtsev, О. Comparative study of first touch digitals: normal inverse Gaussian vs. Gaussian Modelling / 0. Kudryavtsev, S. Levendorskii // Centre for Mathematical Physics and Stochastics Department of Mathematical Sciences, University of Aarhus, Research Report 33. - 2002.

(1,1 п.л./0,7 п.л.)

[18] Kudryavtsev, О. Fast and Accurate Pricing of Barrier Options Under Levy Processes // O. Kudryavtsev, S. Levendorski // Research Report № 6670, Institut National de Recherche en Informatique et en Automatique, Paris -Rocquencourt. - Octobre, 2008. (1,8 п.л./1,2 п.л.)

[19] Kudryavtsev, О. E. Efficient pricing options under regime switching / O. E. Kudryavtsev //Research Report № 7184. Institut National de Recherche en Informatique et en Automatique, Paris - Rocquencourt. - January, 2010. (1,6 п.л.)

[20] Kudryavtsev O., Efficient pricing of Swing options in Lйvy-driven models / O. Kudryavtsev, A. Zanette //Working Paper 1-2010, Dipartimento di Finanza dell'Impresa e dei Mercati Finanziari, Udine University (Italy), 2010. (0,75 п.л./0,4 п.л.)

[21] Kudryavtsev, О. E. An implementation of the Wiener-Hopf factorization into finite difference methods for option pricing under Levy processes / О. E. Kudryavtsev //Research Report № 7873. Institut National dc Recherche en Informatique ct en Automatique, Parisаа -аа Rocquencourt.аа -аа February, 2012. (1,9аа п.л.)

Статьи в других научных журналах и тезисы докладов на научных конференциях

[22] Беляева, Е. Н. Математические методы оценки таможенных рисков / Е. Н. Беляева, О. Е. Кудрявцев // Академический Вестник. - 2005.- Вып. 3.- С. 6-8. (0,2 п.л./0,1 п.л.)

[23] Кудрявцев, О. Е. Выбор объектов таможенного аудита с использованием системы анализа и управления рисками : учеб. пособие / О. Е. Кудрявцев, В. В. Соловьев, И. В. Соловьева. - Ростов н/Д : РИО РФ РТА, 2005. - 105 С. (4,5 п.л./1,2 п.л.)

40

[24] Кудрявцев, О. E. Оптимизация системы анализа и управления таможенными рисками / О. Е. Кудрявцев, И. В. Соловьева // Материалы научно-практического семинара "Таможенная служба России: современное состояние и перспективы развития". Рост, ф-л РТА. Ростов н/Д, 2005. - С. 74-79. (0,2 п.л./0,1 п.л.)

[25] Кудрявцев, О. Е. Метод экспертных оценок как один из способов оценки таможенного риска (на примере СТИ ЮТУ) / О. Е. Кудрявцев, И.

B.а Соловьева // Тезисы докладов научно-практического семинара "Про

блемы совершенствования таможенных процедур в свете развития но

вых информационных технологий". Рост, ф-л РТА. Ростов н/Д, 2006. Ч

C.а 85-89. (0,25 п.л./ОД п.л.)

[26] Levendorskii, S. Finite difference scheme for pricing American options under Levy processes / S. Levendorskii, O. Kudryavtsev, V. Zherder // Spring Southeastern Meeting, Florida International University, Miami, FL, Notices Program Issue: April 2006, Abstract Issue: 27/2. (0,1 п.л./0,05 п.л.)

[27] Кудрявцев, О. E. Совершенствование системы управления таможенными рисками на основе внедрения в практику деятельности таможенных органов ЮТУ балльного метода оценки таможенных рисков / О. Е. Кудрявцев, И. В. Соловьева // Материалы научно-практической конференции "Проблемы экономической безопасности России и роль таможенных органов в ее обеспечении". Рост, ф-л РТА. Ростов н/Д, 2007. - С. 16-24. (0,3 п.л./0,15 п.л.)

[28] Kudryavtsev, О. Fast and Accurate Pricing of Barrier Options Under Levy Processes / O. Kudryavtsev, S. Levendorskii // Abstracts of the 5th World Congress of the Bachelier finance society, London, 2008. - P. 33 (0,1 п.л./0,05 п.л.)

[29] Кудрявцев, О.E. Совершенствование системы управления таможенными рисками на основе методики выявления потенциальных "товаров риска" и "товаров прикрытия" / О. Е. Кудрявцев, И. Б. Дудукалова // Оптимизация таможенных процедур: от поиска решений к их реализации: материалы научно-практического семинара. Ростов-на-Дону: РИО Ростовского филиала, 2009. - С.32-41. (0,6 п.л./0,3 п.л.)

[30] Kudryavtsev, О. Efficient pricing barrier options under Levy Processes / O. Kudryavtsev // Abstracts of the 5th General Conference on Advanced Mathematical Methods in Finance, Bled - Slovenia, 2010. - P. 92. (0,05 п.л.)

[31] Кудрявцев, О. E. Математические методы оценки рисков: Учеб. пособ.

41

/ О.E. Кудрявцев // Ростов н/Д: Российская таможенная академия, Ростовский филиал, 2010. (4,2 п.л.)

[32] Лисейкина, О. В. Анализ и автоматическое выявление перетекания то-варопотоков между различными таможенными органами / О. В. Лисейкина, О. Е. Кудрявцев // Материалы научно-практического семинара "Таможенное дело на Юге России": история, теория, практика. - Ростов н/Д: Российская таможенная академия Ростовский филиал, 2010. - С. 135-140. (0,5 п.л./0,25 п.л.)

[33] Кудрявцев, О. Е. Приближенная факторизация Винера-Хопфа в задачах финансовой математики / О. Е. Кудрявцев // Международный семинар "Современные методы и проблемы теории операторов и гармонического анализа и их приложений". - Ростов н/Д: Южный федеральный университет, 2011. - С. 51. (0,1 п.л.)

[34] Кудрявцев, О. Е. Оценка финансового риска получения таможенных платежей ниже планового задания / О. Е. Кудрявцев // Модернизация таможенного дела - актуальная задача современного развития ФТС России // Сборник материалов Международной научно-практической конференции, 22 октября 2010. - М.: Изд-во Российской таможенной академии, 2011. - С. 44-49. (0,4 п.л.)

[35] Кудрявцев, О. Е. Численный метод оценивания барьерных и американских опционов в моделях Хестона и Бейтса / О. Е. Кудрявцев // Обозрение прикладной и промышленной математики. - 2011, - Т. 18, - № 2. - С. 289. (0,1 п.л.)

[36] Кудрявцев, О. Е. Эффективный численный метод вычисления цен барьерных опционов в моделях Леви / О. Е. Кудрявцев // Обозрение прикладной и промышленной математики. - 2011, - Т. 18, - № 3. - С. 355-372. (1 п.л.)

42

Кудрявцев Олег Евгеньевич

Эффективные математические методы

вычисления цен опционов в моделях,

допускающих скачки

Специальность 08.00.13 - Математические и инструментальные методы

экономики

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук