Geum.ru
   Все авторефераты - Беларусь    Архивные справочники

Конструктивный анализ периодической краевой задачи для системы матричных дифференциальных уравнений типа Риккати-01.01.02 - дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление

Автореферат диссертации

 

Учреждение образования Гродненский государственный университет имени Янки Купалы

УДК 517.925

Роголев Дмитрий Владимирович

КОНСТРУКТИВНЫЙ АНАЛИЗ ПЕРИОДИЧЕСКОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ СИСТЕМЫ МАТРИЧНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

ТИПА РИККАТИ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени

кандидата физико-математических наук

по специальности л01.01.02 - дифференциальные уравнения,

динамические системы и оптимальное управление

Гродно, 2012


Работа выполнена в государственном научном учреждении Институт технолонгии металлов НАН Беларуси


Научный руководитель:

Официальные оппоненты:


аптинский Валерий Николаевич,

доктор физико-математических наук, профессор, главный научный сотрудник лаборатории модифицирования сплавов государственного научного учреждения Институт технологии металлов НАН Беларуси

Садовский Антон Павлович,

доктор физико-математических наук, профессор,

профессораа кафедрыаа дифференциальных

уравнений и системного анализа Белорусского государственного университета


Гринь Александр Александрович,

кандидат физико-математических наук, доцент, заведующий кафедрой алгебры, геометрии и методики преподавания математики учреждения образования Гродненский государственный университет имени Янки Купалы

Оппонирующая организация: государственное научное учреждение Институт

математики Национальной академии наук Бенаруси

Защита состоится 06.04.2012 в 10 на заседании совета по защите диснсертаций К 02.14.02 при учреждении образования Гродненский государственнный университет имени Янки Купалы по адресу: 230023, г. Гродно, ул. Ожеш-ко, 22, ауд. 209.

Телефон ученого секретаря: (+375 152) 74 43 76; (+375 152) 73 19 26.

E-mail: v.pronko(S>grsu.by, .

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ГрГУ им. Я. Купалы.

Автореферат разослан 05.03.2012.


Ученый секретарь

совета по защите диссертаций К 02.14.02


В.А. Пронько


КРАТКОЕ ВВЕДЕНИЕ

Теории периодических краевых задач для обыкновенных дифференцинальных уравнений посвящено большое количество исследований. Важность этих исследований объясняется тем, что приёмы исследования этих задач сонставляют методологическую основу математической теории колебаний периондического типа. В ХХ-м столетии в связи с потребностями науки и техники иннтенсивное развитие получили не только качественные методы, но и аналитиченские, численные, численно-аналитические методы, а также функционально-аналитические методы.

Численно-аналитические методы позволяют для достаточно широких классов краевых задач исследовать существование решения и одновременно с помощью численных вычислительных процедур находить это решение в виде последовательности функций, а также оценить отклонения точного решения от его приближений. При этом используются также аналитические вычислительнные процедуры, связанные с представлением решений в форме рядов или понследовательных приближений. Очевидно, аналитические решения с точки зренния качественного и количественного анализа удобнее численных. Например, некоторые подходы дают не только эффективные приёмы получения аналитинческих решений, но и могут быть использованы для получения численно-аналитических решений сложных прикладных краевых задач, которые ранее решались только численно.

Поскольку в математической литературе не существует универсальных ментодов исследования краевых задач, то вполне естественной является разработка таких методов применительно к отдельным классам задач. Из этих методов следунет выделить так называемые конструктивные методы, которые дают эффективные условия разрешимости краевых задач и удобные для практического применения алгоритмы построения их решений. Отметим, что в теории периодических краенвых задач для исследования разрешимости и построения решений широко испольнзуются различные аналитические методы: как классические (метод малого паранметра Ляпунова-Пуанкаре, метод последовательных приближений, метод рядов Фурье), так и обобщения и модификации этих методов. В излагаемой работе нанряду с классическим методом последовательных приближений используются его модификации, вытекающие из конструктивного метода регуляризации . Установнлено, что в рассмотренных случаях эти модификации являются более эффективнным средством построения приближённых решений исследуемой задачи.

Следует отметить, что вопросы конструктивной теории краевых задач для

1 Лаптинский, В.Н. Конструктивный анализ управляемых колебательных систем / В.Н. Лаптинский. -Минск : Институт математики НАН Беларуси, 1998. - 300 с.

1


многомерных систем дифференциальных уравнений специального вида мало изучены. К таким системам относятся матричные дифференциальные уравненния Риккати, Ляпунова ' ' и их обобщения ' ' , в частности, системы матричных дифференциальных уравнений типа Риккати ' , играющие важную роль в теонрии и приложениях дифференциальных уравнений. Поэтому развитие констнруктивных методов применительно к малоизученным краевым задачам преднставляется актуальным.

Данная работа посвящена конструктивному анализу периодической краенвой задачи для системы матричных дифференциальных уравнений типа Риккати.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Связь работы с крупными научными программами (проектами) и темами

Работа выполнена в рамках задания Создание конструктивных методов анализа периодических и многоточечных краевых задач для нелинейных дифнференциальных систем (Математические модели 07.2, сроки выполнения 2006-2010 гг., номер госрегистрации 20062047) в Государственной программе фундаментальных исследований Исследование математических моделей и их применение к анализу систем, структур и процессов в природе и обществе (шифр Математические модели).

Цель и задачи исследования

Целью работы является конструктивный анализ периодической краевой задачи для системы матричных дифференциальных уравнений Риккати с перенменными коэффициентами. Основные задачи: получение конструктивных доснтаточных условий существования и единственности решения в различных слунчаях и разработка алгоритмов его отыскания.

Положения, выносимые на защиту

- достаточные условия существования и единственности решений перио-

2 Reid, W.T. Riccati Differential equations / W.T. Reid. - New York, London, 1972.

3аа Параев, Ю.И. Уравнения Ляпунова и Риккати/ Ю.И. Параев. - Томск: Томский госуниверситет,

1989.-166 с.

4 Егоров, А.И. Уравнения Риккати / А.И. Егоров. - М. Физматлит, 2001. - 320 с.

5 Захар-Иткин, М. X. Об одном классе граничных задач, имеющем применения в теории многоволнон

вых линий передач / М. X. Захар-Иткин // УМН, 1970. - Т. XXV, вып. 5 (155). - С. 240-241.

6а Murty, K.N. Two (multi) point nonlinear Lyapunov systems - existence and uniqueness / K.N. Murty,

G.W. Howell, S. Sivasundaram // Journ. Mathem. Anal, and Appl. - 1992. - V. 167. - P. 505-515.

7 Murty, K.N. Two (multi) point nonlinear Lyapunov systems associated with an nth order nonlinear system of

differential equations - existence and uniqueness/ K.N. Murty, G.W. Howell, G.V.R.L. Sarma// Mathem. Probl. in

Engineering - 2000. - V. 6. - P. 395-410.

8а Анисович, В.В. Об одном подходе к решению задач оптимального управления/ В.В. Анисович,

Б.И. Крюков, В.М. Мадорский // Доклады АН СССР. - 1980. - Т. 251, № 2. - С. 265-268.

9а Lucas, J. Explicit solutions of Riccati equations appearing in differential games / J. Lucas // Applied Matheн

matics Letters. - 1990. - V. 3, №. 4. -P. 9-12.

2


дической краевой задачи для системы матричных дифференциальных уравненний типа Риккати в различных случаях;

  1. алгоритмы построения приближённых решений указанной задачи;
  2. оценки области локализации этих решений. ичный вклад соискателя

В диссертацию включены только те результаты, которые получены лично соискателем. Роль научного руководителя В. Н. Лаптинского, в соавторстве с которым выполнены работы [1-3, 5-8], состояла в постановке задачи, помощи в выборе методики исследований и анализе полученных результатов. Результаты работ [4, 9-14] получены соискателем самостоятельно.

Апробация результатов диссертации

Результаты диссертации докладывались и обсуждались на международнных математических конференциях:

  1. Первой международной конференции Математическое моделированние и дифференциальные уравнения (Минск, 2007);
  2. X Белорусской математической конференции (Минск, 2008);
  3. XIII Международной научной конференции по дифференциальным уравнениям Еругинские чтения-2009 (Пинск, 2009);
  4. 5-й Международной конференции Аналитические методы анализа и дифференциальных уравнений (АМАДЕ-2009), (Минск, 2009);
  5. Международной математической конференции Пятые Богдановские чтения по обыкновенным дифференциальным уравнениям 2010 (Минск, 2010);
  6. XIV Международной научной конференции по дифференциальным уравнениям Еругинские чтения-2011 (Новополоцк, 2011);
  7. 6-й Международной конференции Аналитические методы анализа и дифференциальных уравнений (АМАДЕ-2011), (Минск, 2011).

Опубликованность результатов диссертации

Основные результаты диссертации опубликованы в 14 печатных работах [1-14], среди которых 3 статьи в рецензируемых научных журналах, соответстнвующих пункту 18 Положения о присуждении ученых степеней и присвоении учёных званий в Республике Беларусь, общим объёмом около 2 авторских лиснтов; 7 тезисов докладов на математических конференциях, 3 препринта.

Структура и объём диссертации

Диссертация состоит из введения, общей характеристики работы, четырёх глав, библиографического списка, двух приложений.

Полный объем диссертации составляет 160 страниц машинописного текнста, из которых 11 страниц занимает список использованных источников, сондержащий 133 наименования; 53 страницы - приложения, содержащие променжуточные математические выкладки и иллюстративные примеры.

3


ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ


Во введении обосновывается актуальность темы диссертации и привондятся основные направления исследования.

В первой главе даётся краткий обзор литературы и основных методов исследования начальных и краевых задач для многомерных систем дифференнциальных уравнений. Рассмотрены работы других авторов, посвященные решеннию двухточечных краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравннений. Изложена суть конструктивного метода исследования краевых задач для многомерных систем дифференциальных уравнений, применяемого автонром в диссертационной работе.

= Al(t)X+XBl(t)+X(Sl(t)X + S2(t)Y) + Fl(t), A2(0Y + YB2(0 + Y(P1(0X+P2(0Y) + F2(0,

Во второй главе диссертации на основе применения конструктивного метода регуляризации (с использованием левосторонней регуляризации) провендён анализ следующей краевой задачи:

(1)

(2) (3)

dX

dt

dY

Х(0) = Х(ю),

Y(0) = Y(fi>),аа (4)

где X, Y - квадратные матрицы порядка n, матрицы A. (7), В. (t), S; (t), P. (t),

F. (t) (i = 1,2) определены и непрерывны на промежутке [0,со]; со > О.

Система типа (1), (2) впервые появилась, по-видимому, в теории диффенренциальных игр (см., например, работу J. Lucas ). Двухточечная краевая задача дляаа системыаа матричныхаа уравненийаа тип (1),аа (2)аа поставлен ваа работе

о

В.В. Анисовича, Б.И. Крюкова, В.М. Мадорского . Примем следующие обозначения: Z) = {(f,X,Y):0^r^fl?,||X||^iol,||Y||^/72}, ,D = {(X(0,Y(0):||X||c ^/^,||Y||C ^/>2},

Ai(о) = ^A>(T)dT> ft=|Aл:1H|' ^=mfxIM0l> Д =тах||В.()||, 8i =maxрД) , //j =max|P.(t)\\, ht =max|F.(t)\\, |Т|С =тах|Т()|,

Яп = Ух 2ai(ai+ A +25iPi +52Р2)о2 +(Л +2^iA +82p2)a)

Ч2=ГАР(0\-^а(0 + 1у У21=Г2МР2М2а2о + 11

q22 = y2 Чa2 (a2 + (52 + julpl +2ju2p2)co2 +(/?2 +julpl +2ju2p2)co

где t [0,co], pl,p2>0, I Х I - норма матриц (S и T), удовлетворяющая мультипнликативному неравенству |ST| <|S||T| .

4


Теорема 2.1. [1, 2, 5]. Пусть выполнены следующие условия:

1) detA. фО (/ = 1,2),

+

2)аа пЬл [К + ) А + 8ХА2 + А А А + ^ ]^2


(5)



+ [Д # + ?1Ур2 + $2 А А + /^ ] <у}< А > Г2 Ьл2 [(л2 + А)а2 +М2Р +МАА2 +^2]^2


+


(6)


+ [А А + th Р + А А А +К~\о)\<р2,

(V)

3) ?п<1, det(E-Q)>0,

где Е = diag(1,1), Q = (qtJ).

Тогда задача (1)-(4) однозначно разрешима в области D. Для доказательства теоремы сначала выведена система матричных интенгральных уравнений, эквивалентная задаче (1)-(4):


(t г

X(t) = A;1(a>)

J jA^cr^cr [А1(г)Х(г) + Х(г)В1(г) +

.oVo у

й) (соД

+X(r)(S1(r)X(r) + S2(r)Y(r)) + F1(r)]t/r-J Ja^ct)^ [А^Х^-ь +Х(г)В1 (г) + X(r)(S! (г)Х(г) + S2 (г) Y(r)) + еl (г)] dx -

со

-J[x(r)B1 (г) + X(r)(S1 (г)Х(г) + S2(r)Y(r)) + - (r)]drа ,а (8)


(t

Y(0 = A2

J JA2 (<т)<*<т [A2(r)Y(r) + Y(r)B2(r) +

.оДоа у

й) /fflаа Д

+Y(r)(P1(r)X(r) + P2(r)Y(r)) + F2(r)]jr-J \A2(a)da [A2(r)Y(r) +

t\TJ

+Y(r)B2(r) + Y(r)(P1(r)X(r) + P2(r)Y(r)) + F2(r)]jr-

CO1

-J[Y(r)B2(r) + Y(r)(P1(r)X(r) + P2(r)Y(r)) + F2(r)]^аа . (9)


ю

Далее исследована разрешимость системы (8), (9) с помощью обобщённонго11' принципа Банаха-Каччиопполи сжимающих отображений. Доказано, что


456 с.


Приближённое решение операторных уравнений / М. А. Красносельский [и др.] - М. : Наука, 1969.


решение X = Х(7), Y = Y(7) этой системы на рассматриваемом множестве сунществует и единственно.

Для построения решения системы (8), (9) разработаны итерационные алнгоритмы с различными вычислительными схемами.

В разделе 2.2 исследуется алгоритм решения задачи (1)-(4) на основе классического метода последовательных приближений:


х


t I т

х,(0=аг1И

J \Mcr)dcr [A1(r)X,_1(r) + X,_1(r)B1(r) +

ovo J

соесо

+Хк_, (r)(S1 (rJX^ (г) + S2 (г) Yk_, (г)) + F, (г)] dx - J J Ах (cr)dcr

t \т

[\ №-i M+X*-i MBi M + X*-i toft X*-i W + S2 (r)Yw (г))^ (r)]dT-

со

-J[X,_1(r)B1(r) + Xt_1(r)(S1(r)Xt_1(r) + S2(r)Y,_1(r)) + F1(r)]^а ,аа (10)


t Iаа T

Y,(0 = A2-1H-

J \A2(cr)dcr [А2(т)\к_1(т) + \к_1(т)В2(т) +

ovo

,? = 1,2,-, (И)

+\к_1(т)(Р1(т)Хк_1(т)+Р2(т)\к_1(т)) + ?2(т)Ут-\\\A2(cr)dcr x[A2 (r)Y^ (r) + YkA (r)B2 (r)+Y,_1 (rjft (r)Xw (r)+P2 (r)YH (r)) + F2 (r)]^r--f [Yw (r)B2 (r) + Yw (r)(P1 (r)XkA (r) + P2 (r)Yw (r)) + F2 (r)]^r

где Х0(), Y0(?) - произвольные матричные функции класса С[0,&>], принаднлежащие множеству D.

Изучены вопросы сходимости, скорости сходимости алгоритма (10), (11). Соответствующие результаты представлены теоремой 2.2.

Теорема 2.2. Пусть выполнены условия (5)-(7). Тогда в области D решенние задачи (1)-(4) существует и единственно. Это решение представимо как предел равномерно сходящейся последовательности матричных функций, опнределяемых рекуррентными интегральными соотношениями (10), (11), при этом справедлива оценка

Z^(E-Q)_1Q'Z0,i = 0,l,2,...,аа (12)


П

Х-Х

е\\\аа _Yа IIаа Л

i\\C

где Ъ; =

> ^о -

Y-Y

llY -Y I

*1 0

А1 Ао|1с

1С J

г IIC J

На основе оценки (12) получена следующая коэффициентная оценка:


Z<Z0+(E-Q)"1Z0,


(13)


^llv IIа Л

llAllc

, llYllаа , vllаа Hey

где Z =

ж> Z0 -

Ao|lc

,lY II

Приближённые решения, построенные по алгоритму (10), (11), не обязанны удовлетворять краевым условиям (3)-(4). В этом смысле эффективными явнляются алгоритмы с неявной и модифицированной явной вычислительными схемами, полученные в разделах 2.3 и 2.4.

В разделе 2.3 разработан алгоритм решения с неявной вычислительной схемой:


t ( т

х,(0=аг1М

J \Mcr)dcr [A1(r)X,_1(r) + X,_1(r)B1(r) +

.ovo у

+Xk_, (r)(S1 (r)Xw (r)+S2 (r)Yw (т))Щ (rj]dr-

со е со

-J J A, (a)da [A, (r)Xw (r)+XH {т)Ъх (r) +

t\zУ

+Хк_х (r)(S1 (т)Хк_х (r)+S2 (т)\к_х (фЪ (r)]dr-

со

-J[X W! W+X, (r)(S1 (т)Хк (r) + S2 (r)Y, (т))Щ (r)]^r

Y,(0 = A21H-

J Ja2h^o- [A2(r)yt_1(r)+xt_1(r)B2(r)+

.ovoа у

+Y,4 (0(P! (О**-! (r) + P2 (r) \k_x (0)+F2 (r)] Jr-

CO е CO\

-J Ja2(<t)</<7 [A2(r)Yt_1(r) + yt_1(r)B2(r) +

Лг у

+Y,4 (0(P! (О**-! (r) + P2 (r) \k_x (0)+F2 (r)] Jr-


(14)



-J[Y,(r)B2(r) + Y,(r)(P1(r)X,(r) + P2(r)Y,(r)) + F2(r)]^r


,k = l,2,...аа (15)


где в качестве начального приближения Х0, Y0 приняты постоянные матрицы, определяемые из соответствующих условий (3), (4) для приближений ХД),


С1=-А-

-А"


о

со

С^ВДО^ + С J*S1(r)6/rC1+J*S2(r)^rC2 +ц(0

0 со

С2|В2(0^ + С2а \?х{т)йтСх+\?2{т)йтС2а +F2(0


(16)

(17)


Полученная последовательность {Xk(t),Yk(t)}Q сходится равномерно по [0,&>] к решению системы интегральных уравнений (8), (9), при этом спранведлива оценка


Z<(E-H)HZ0, / = 0,1,2,...,


(18)


где матрица Н эффективно определяется на основе матрицы Q.

Теорема 2.3. Пусть выполнены условия (5)-(7). Тогда в области D решенние задачи (1)-(4) существует и единственно. Это решение представимо как предел равномерно сходящейся последовательности матричных функций, опнределяемых рекуррентными интегральными соотношениями (14), (15) и удовнлетворяющих условиям (3), (4), при этом справедлива оценка (18).

Алгоритм (14), (15) неудобен тем, что основан на неявной вычислительной схеме: на каждом итерационном шаге для отыскания соответствующего приблинжённого решения приходится решать систему матричных интегральных уравненний. Поэтому в разделе 2.4 разработан алгоритм с явной вычислительной схемой:


t Iаа 2"

Х,+1(0 = АГ

J \Mcr)dcr [А1(г)Х,(г) + Х,_1(г)В1(г) +

.ovo )

+Xk_, (r)(S1 (r)Xw (r)+S2 (r)Yw (т))Щ (r)]dr-

CO еCO^

-J \\(cr)dcr [A1(r)X,(r) + X,_1(r)B1(r)+

t\T)

+Xk_x (r)(S1 (т)Хк_х (r)+S2 (т)\к_х (фЪ (r)]dr-

CO

-J[X,(r)B1(r) + Xt(r)(S1(r)Xt(r)+S2(r)Y,(r)) + F1(r)]^


(19)


t Iа T

Yt+1(0 = A-1H J \A2(cr)dcr [A2(r)Y,(r) + Y,_1(r)B2(r) +

LoVoаа J

+Y*_! (0(pi WXt, M + P2 (t) Yh (t)) + F2 (r)] dr -

CO / CO\

-J JA2 (<т)Лт [A2(r)Y,(r)+Y,_1(r)B2(r) +

t\tаа J

+YkA (т)(Ъ (r)Xw (r) + P2 (r)YH (r))+F2 (r)>r-


-J[Y,(r)B2(r) + Yt(r)(P1(r)Xt(r) + P2(r)Y,(r)) + F2(r)]^


k * = lz...


(20)


где X0 = 0, Y0 = 0,а Xl = -A"1 (co)Jеl (r)dr, Yl = -А"1 (со) JF2 (r)dr.

оа 0

8


Построенная последовательность |Х^ (),У^ (7)j равномерно сходится к решению X(7),Y(7) системы матричных интегральных уравнений (8), (9), при этом

Z,<(E-M-N)-1(Z,+NZ,_1),^ = 1,2,...,аа (21)

где матрицы М, N определяются на основе матрицы Q, причём М + N = Q,


2 J

Z0^


\j2coh


А<


Ух к X (ахРх +hx) + о(АРх + 8хРх2 + 8iPxPi) 72 { 2 а2^2 (лгЛ + ^2 ) + л (РгРг + MxPxPi + М2Р22 )}


Теорема 2.4. Пусть выполнены условия (5)-(7). Тогда в области D решенние задачи (1)-(4) существует и единственно. Это решение представимо как предел равномерно сходящейся последовательности матричных функций, опнределяемых рекуррентными интегральными соотношениями (19), (20) и удовнлетворяющих условиям (3), (4), при этом справедлива оценка (21).

В разделе 2.5 на модельной задаче дана иллюстрация применения излонженных результатов.

Полученные результаты (условия разрешимости, алгоритмы из разделов 2.3, 2.4) обобщают и развивают соответствующие результаты работы (см. з6.4) и работы (см. з1.3), относящиеся к матричному уравнению Риккати. В главе 3 изучение рассматриваемой задачи (1)-(4) продолжено на основе правостороннней регуляризации.

Наряду с обозначениями из главы 2 приняты следующие обозначения:

ВДй;)=ГвДгУг,^=||в:1И||, Рхх=Уха 2A(ai+ А + 25хРх + 52р2)со2 + (ах + 28хрх + 82р2)со

Px2=?XS2Pxо\^2PxCD + A> P2X=?2PxP2о\^2p2CD + lY


Р22=п2


2 А (а2 + А + РхРх + 2Р2Р2)о2 + (а2 + РхРх + 2Р2Р2)о



Теорема 3.1. [4, 6]. Пусть выполнены следующие условия: 1) detB.(<y)*0 (/ = 1,2),


(22)


Самойленко, A.M. Конструктивные методы исследования периодических и многоточечных краевых задач / A.M. Самойленко, В.Н. Лаптинский, К.К. Кенжебаев. - Киев : Институт математики НАН Украины, 1999.-224 с.

9


+

2) У {2 Д [(а + Д) А + ^ А2 + s2 А А + ^ ] ^2

+ [ад + 8xpl + S2plp2 +hl~\a>\<pl,

У2 |^Д [(а2 + Д )А +th А2 +МАА +^2]^2

1

+

12'

+ [л2/72 + jU2p22 + MlPlPl +h2~]о]^P2>

3)а pn<\, det(E-P)>0,

2deE = dmg(l\),P = (Pij).

Тогда задача (l)-(4) однозначно разрешима в области D.


(23)

(24)


Для задачи (1)-(4) в этом случае построена эквивалентная система матнричных интегральных уравнений, доказана её однозначная разрешимость. Разнработаны следующие итерационные алгоритмы построения её решения.

Алгоритм построения решения с классической вычислительной схемой (раздел 3.2):


х*(0=


{[А, (г)Хн (т)+Хк_, (r)B, (r) + Xw (r)(S1 (r)XH (r) + S2 (т)\кА (г)) о

Щ (г)][ /В, И^ W-J[AX (г)Х,ч (О+Х^ (г^ (г) +


+


 


t/r-

В,"'И.а (25)

+ХкА (r)(S1 (r)Xw (r) + S2 (г) Yw (r^+F, (г)] Jb, {&)da

со

-\[_\ {т)ХкА {т)+ХкА (г)^ {т)ХкА (r)+S2 {z)YkA {т))Щ (г)>


*.(') =


J[A2 (т)\кА (т) + \кА (г)В2 (г) + Yw (г)(Р1 (г)Хн (г) + Р2 (т)\кА (т)) + о

/гаа аа со

+F2(r)] Jb2 (<т)Лт ^-J[A2(r)Y,_1(r) + Y,_1(r)B2(r) +

у /



+YW (r){Yx (r)Xw (r) + P2 (г) Yw (r))+F2 (г)] JB2 (<j)d<j


dr-


-J[A2 (r)Yw (r)+Yw (rjft (т)Хк_х (r)+P2 (r)Yw (r)) + F2 (г)]</г В"1 (со), (26)

* = 1,2,...

В данном разделе предложена оценка типа (13):

10


Z^(E-P)_1P'Z0,/ = 0,1,2,....


(27)


Алгоритм построения решения с неявной вычислительной схемой (разндел 3.3):


х*(0=


|[А1(г)Х,_1(г) + Х,_1(г)В1(г)+

Ю


+ХкА (r)(S1 (т)ХкА (r) + S2 (r)Yw (г))^ (г)] Jb, (<х)Лх \dr- J[AX (r)Xw (r) +


<ir-

+XW (r)B, (r) + Xw (r)(S1 (r)Xw (r) + S2 (r)Yw (г))^ Щ Jb: (<х)Лх

со

-/[A, (r)Xt (r) + Xt (r)(S, (OX, (r)+S2 (r)Yt (r))+F, (r)]rfr B"1 (л,),а (28)


Yt(0 =


J[A2(r)Y,_1(r) + Y,_1(r)B2(r)+

U


+YW (Oft (r)Xw (r) + P2 (r)Yw (r)) + F2 Щ }в2 (<х)Лх W-J[A2 (r)Yw (r) +


+YW (r)B2 (r) +Yw Wft (r)Xw (r)+P2 (r)YkA (r))+F2 (r)1 JB2 (<х)Лх


dr-



-J[A2(r)Y,(r)+Y,(r)(P1(r)X,(r)+P2(r)Y,(r))+F2(r)]^


В2Д = 1,2,...,а (29)


Алгоритм с явной вычислительной схемой (раздел 3.4):


Х*+1(*) =


J[A1(r)X,_1(r) + X,(r)B1(r) +

ю


+XW (r)(S1 (r)Xw (r) + S2 (r)Yw (r))^ (r)][ JB, (<т)Лт W-J[Ax (r)Xw (r) +


+X,(r)B1 (r) + Xw(r)(S1 (r)Xw(r) + S2(r)Yw(т))Щ(г)] Jb:(<х)Лх


<ir-



-{[A, (r)X, (r)+X, (r)^ (т)Хк (r)+S2 (r) Y, {т))Щ {r)~\dr


B'H,а (30)



Y*+i(0 =


J[A2(r)Yt_1(r)+Yt(r)B2(r)+

10


11


+Yk_, (Oft (т)ХкА (r) + P2 (r)Yw (r)) + F2 (r)] }в2 (tx)^ W-J[A2 (r)Y^ (r) +


+Y,(r)B2(r) + Yt_1(r)(P1(r)Xt_1(r) + P2(r)Yt_1(r)) + F2(r)] jB2H^o- <fr-

Vr )

со

-J[A2(r)Xt(r) + Y,(r)(P1(r)Xt(r) + P2(r)Yt(r)) + F2(r)]^ В2Д = 1,2,..., (31)

оаа J

Доказаны теоремы 3.2 -3.4, аналогичные теоремам 2.2 - 2.4.

Иллюстрация применения алгоритмов (25), (26) и (30), (31) изложена в приложении Б2.

Полученные результаты (условия разрешимости, алгоритмы из разделов 3.3, 3.4) обобщают и развивают соответствующие результаты работы (см. з6.4) иаа работыаа (см.аа з1.3),аа относящиесяаа каа матричномуаа уравнениюаа Риккати.

Четвёртая глава посвящена исследованию задачи (1)-(4) в случае, когда

матрицы М. = jа A. {r)dr, N; = -j В. {r)dr [i = 1,2) попарно не имеют общих

характеристических чисел.

В дополнение к обозначениям главы 2 приняты следующие обозначения:

Mt=\At(r)dT, N,=-JoeB,(r)<fr, Г;=|Ф:>)|, ап=Паа 2^+ A)(ai + /3i+2SiPi+S2P2)G)2 +(2Slpl+S2p2)co , л12 =Г<52рМ2^1 + &)а) + 1)> a2i ^WW^K + А)<У + 1Ь л22 = У2а 2 (а2 + А)(а2 + А + М А + 2//2 А )^2 + (м А + 2/^2А)ю

где Фг (/ = 1,2) - линейные операторы, Фг = M.Z - ZN;.

Теорема 4.1. [3, 7, 12]. Пусть выполнены следующие условия:

1) матрицы Мг, N,а (/ = 1,2) попарно не имеют общих характеристиче-

с/шх чисел:

(32)


+

2) Л {-^(лi + А)[(л! +Л)а +^iA2 +Ама Н]^2

+ (8хр? + S2plp2 +hl)a>j<pl, У 2 Ыл2 + А)[(л2 + А)А +МАА +/"2А2 +h2]cu2


+


(33)



+ (м А А + М2 А2 + ^2 Н ^ А , 3) ап<1, det(E-A)>0,


(34)


12


где Е = diag{\,\), А = (atJ).

Тогда задача (1)-(4) однозначно разрешима в области D.

Для доказательства теоремы сначала на основании условия (32) выведена соответствующая система матричных интегральных уравнений, эквивалентная задаче (1)-(4). Затем установлено, что из условий (33), (34) следует выполнение обобщённого принципа Банаха-Каччиопполи сжимающих отображений для этой системы на множестве D . Тем самым доказана однозначная разрешимость задачи (1)-(4) в области D.

Разработаны итерационные алгоритмы построения решений с различнынми вычислительными схемами.

В разделе 4.2 исследован алгоритм с вычислительной схемой классиченского типа:

t ( Т

Х*(0 = Ф-1а J j\(<7)^7 [А1(т)Хк_1(т) + Хк_1(т)В1(т) +

LoVoа У

со е со

+Хк_х(фх(т)Хк_х(r) + S2(г)\к_х(т))Щ(z)]dT-\\ j\[cy)dG [А1 (г)Хы(г) +

+Хк_, (r)B, (r) + Xw (r)(S1 (г)Х^ (r)+S2 (r)Yw (т))Щ (r)]dr + t +J[AX {т)Хк_х {т) + Хк_х {т)Ъх (т) + Хк_х (r)(S1 {т)Хк_х (r) + S2 {т)\кА (т)) + о

еt \а со

Щ(т)]\ Jbx (<т)Лт ^-J[A1(r)X,_1(r) + X,_1(r)B1(r) +

Уа t


I Ш

+XkA(r)(S1 (r)Xw(r) + S2(r)Y^(ф?,(г)] jX(cr)dcr

CO

-\[XkA (r)(S1 (r)Xw (r) + S2 (r)Yw (r))^ (r)]</r


dr-


(35)


е / г

?Д0 = Ф2"1Н jA2H^o- [A2(r)Y,_1(r) + Y,_1(r)B2(r) +

Lo Voа у

со е со

+?,_,(^(P,(r)^(r)+P2(r)Yk_x(r))+F2(r)]dr-j] J A2(о-)Лт [A2(r)Y^(r) +

+Y,_1(r)B2(r) + Y,_1(r)(P1(r)X,_1(r) + P(r)Y,_1(r)) + F2(r)]jr + t +J[A2 (r)Yk_x (t) + Yk_x (r)B2 (t) + Yk_x (r)(P1 (r)Xk_x (r) + P2 (r) Yw (r)) +

13


та со

+F2(r)] \B2(cr)dcr dr-\[A2(T)Yk_l(T) + Yk_l(T)B2(r) +

VOаа Уаа /

f CO

+Yk_x (r)(P1 (rJX^ (r) + P2 (r)Yw (r)) + F2 (r)]а JB2 (<r)rf<7

CO

-J[Y,_1(r)(P1(r)X,_1(r) + P2(r)Y,_1(r)) + F2(r)]^U = l,2,...а (36)

оа J

где X0(t), Y0(V) - произвольные матричные функции класса П[0,&>], принаднлежащие множеству D.

В этом разделе предложена оценка, аналогичная оценкам (13), (27).

В разделе 4.3 разработан алгоритм с неявной вычислительной схемой:


t ( т

Х*(0 = Ф-1а j] \К(? [A1(r)X,_1(r) + X,_1(r)B1(r) +

LoVo у

+Х,Ч(r^S,(т)Хк_х(r) + S2(г)?,_,(г))+Ц(г)>г-j] j\(a)da [А1 (г)Хы(г)

Л гаа у

+X*-i WB, (0 + Х^ (г)^ {т)Хк_х (r)+S2 (г) ?,_, (г))+ - (г)] dr + t +J[AX (r)Xw (r) + Xw (OB, (r) + Xw (r)(S1 {т)Хк_х (r) + S2 (r)Yw (r)) + о

еT\CO

Щ(т)]\ JB^dcr ^-J[A1(r)X,_1(r) + X,_1(r)B1(r) +

У /


+


+

dr-

+XkA (r)(S1 (r)Xw (r) + S2 (r)Y^ (r))^ (r)]l JB, И^т

(37)

-J[X, (r)^ (r)X,(r) + S2(r)Y,(r)) + Fx(r)]</rа ,

о J

?,(0 = Ф2_1 |j[jA2H^][A2(r)Y,_1(r) + Yt_1(r)B2(r) +

LoVoа у

+\к_, (т)^ (т)ХкА (г) + Р2(r)Yw (r)) + F2(r)]dT-\\ Ja2 (<r)rf<7 [A2(r)Yw (r)

Лг у

+YW (r)B2 (r) + YkA (т)(Ъ (r)X,, (r)+P(r)Yw (r)) + F2 (r)]^r +

+J[A2 (r)Yw (r) + Yw (r)B2 (r)+Yk_, (т)(Ъ (r)Xw (r) + P2 (r)Yw (r)) + о

/г и)

+F2(r)] jB2(<7)rf<7 ^-J[A2(r)Y,_1(r) + Y,_1(r)B2(r) +

У /

14


+Yk_, (r)(P1 (r)Xt, (r) + P2 (r)Yw (r)) + F2 (r)] JB2 (<r)rf<7


dr-



-jlY^P^X^ + P^Y^ + F^dT


k* = LZ


(38)


В разделе 4.4 разработан алгоритм с явной вычислительной схемой:


t ( т

х,+1(0=Ф_1

J J^H^o- [A1(r)X,(r) + X,(r)B1(r) +

ovo J

+Xk_, (r)(S1 (r)Xt, (r)+S2 (r)Yw (r))^ (г)]Л-

CO еCOаа \

жjljA1H^J[A1(r)X^r) + X,(r)B1(r) + Xt_1(r)(S1(r)Xt_1(r) + S2(r)Yt_1(r))

+FX (r)]^r + J[AX (r)X, (r) + X, (r)B1 (r)+Xw (r)(S1 (r)XH (r) + S2 (r) Yw (r)) +

о

/гаа CO

Щ(т)]\ JB^dcr dr-^A^X^ + X^B^r)

Jа t


+


dr-

+XkA (r)(S1 (r)Xw (r) + S2 (r)Y^ (r))^ (r)]l JBX И^т

(39)

-J[X, (r)^ (r)X, (r) + S2 (r) Y, (т))Щ (r)]dr о

Y*+1(0 = о2_1 |jfjA2(c7)^][A2(r)Y,(r) + Y,(r)B2(r) +

Lo Voаа у

+Y*-i M№ WXH (r) + P2 (r) Yk_, (r))+F2 (r)] dr-

CO еCO \

jljA2H^J[A2(r)Y,(r) + Yt(r)B2(r) + Yt_1(r)(P1(r)Xt_1(r) + P(r)Yt_1(r)) +

+F2(r)]^ + J[A2(r)Y,(r) + Yt(r)B2(r) + Yt_1(r)(P1(r)Xt_1(r) + P2(r)Yt_1(r)) +

о

/гаа и)

+F2(r)] JB2(<x)^7 ^-J[A2(r)Yt(r) + yt(r)B2(r)+

Jа t


dr-

+Yh_x (Oft (т)Хк_х (г) + P2 (r)Yw (r)) + F2 (r)] JB2 (<r)rf<7

со

-J[Y,(r)(P1(r)X,(r) + P2(r)Y,(r)) + F2(r)]^U = l,2,...аа (40)

15


Доказаны теоремы 4.2 - 4.4, аналогичные теоремам 2.2 - 2.4, 3.2-ЗА Иллюстрация применения алгоритмов (35), (36) и (39), (40) изложена в

разделе 4.5.

Полученные результаты (условия разрешимости, алгоритмы из разделов

4.3, 4.4) обобщают соответствующие результаты работыаа (см. з6.4) и работы

(см. з1.3), относящиеся к матричному уравнению Риккати.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Основные научные результаты диссертации

В данной диссертационной работе на основе конструктивного метода иснследована периодическая краевая задача для системы матричных дифференцинальных уравнений типа Риккати. К числу наиболее важных относятся следуюнщие результаты.

  1. Разработана методика получения систем интегральных уравнений, экнвивалентных указанной периодической краевой задаче [1-4].
  2. Получены конструктивные достаточные условия однозначной разреншимости рассмотренной задачи [1-4].
  3. Разработаны эффективные итерационные алгоритмы построения реншений данной задачи, основанные на различных вычислительных схемах [1-4].
  4. Показано преимущество алгоритмов, полученных с помощью констнруктивного метода регуляризации, перед алгоритмами с классической вычиснлительной схемой [6, 7, 12].
  5. Выведены конструктивные оценки области локализации решений этой задачи и оценки, характеризующие скорость сходимости алгоритмов построенния её решений [1-4].
  6. Полученные результаты проиллюстрированы на модельных примерах [5-7].

Рекомендации по практическому использованию результатов Перечисленные результаты могут быть использованы при решении шинрокого круга задач естествознания, техники, экономики, социологии, связанных с анализом периодических краевых задач для многомерных систем обыкновеннных дифференциальных уравнений, а также в учебном процессе при чтении специальных курсов для студентов и аспирантов университетов.

16


СПИСОК ПУБЛИКАЦИЙ СОИСКАТЕЛЯ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

Статьи в научных журналах

  1. аптинский, В.Н. Конструктивный метод анализа периодической краевой задачи для системы матричных дифференциальных уравнений Рикканти / В.Н. Лаптинский, Д.В. Роголев // Динамика неоднородных систем: тр. ИСА РАН / Ин-т систем, анализа Рос. акад. наук ; под ред. Ю.С. Попкова.- М.: Книжный дом Либроком, 2008. -Т. 39(1). - С.138-147.
  2. аптинский, В.Н., О разрешимости периодической краевой задачи для системы матричных дифференциальных уравнений Риккати / В.Н. Лаптинский, Д.В. Роголев// Веснк Маплёускага дзярж. ун-та мя А.А.Куляшова. Сер. В, Прыродазнаучыя навук (матэматыка, фзка, бялогя). -2010. №1(35) - Могилёв : МГУ, 2010. - С.12-23.
  3. Роголев, Д.В. Анализ периодической краевой задачи для системы матричных уравнений типа Риккати/ Д.В. Роголев// Веснк Маплёускага дзярж. ун-та мя А.А.Куляшова. Сер. В, Прыродазнаучыя навук (матэматыка, фзка, бялогя). - 2011. №1(37) - Могилёв : МГУ, 2011. - С.4-19.
  4. аптинский, В.Н. Конструктивные методы построения решения пенриодической краевой задачи для системы матричных дифференциальных уравннений типа Риккати/ В.Н. Лаптинский, Д.В. Роголев// Дифференциальные уравнения. - 2011. - Т. 47, № 10. - С. 1412-1420.

Препринты

  1. аптинский, В.Н. Конструктивный анализ периодической краевой задачи для системы матричных дифференциальных уравнений типа Риккати (левосторонняя регуляризация) / В.Н. Лаптинский, Д.В. Роголев . - Могилёв : Белорусско-Российский университет, 2009. - 62 с. - (Препринт / ИТМ НАЛ Бенларуси, №12).
  2. аптинский, В.Н. Конструктивный анализ периодической краевой задачи для системы матричных дифференциальных уравнений типа Риккати (правосторонняя регуляризация) / В.Н. Лаптинский, Д.В. Роголев. - Могилёв : Белорусско-Российский университет, 2010.-51 с- (Препринт / ИТМ НАЛ Бенларуси; №16).
  3. аптинский, В.Н. Конструктивный анализ периодической краевой задачи для системы матричных дифференциальных уравнений типа Риккати (двусторонняя регуляризация) / В.Н. Лаптинский, Д.В. Роголев. - Могилёв : Бенлорусско-Российский университет, 2010.-56с- (Препринт / ИТМ НАЛ Беланруси; №22).

17


Тезисы докладов научных конференций

  1. аптинский, В.Н. Периодическая краевая задача для системы матнричных дифференциальных уравнений типа Риккати/ В.Н. Лаптинский, Д.В. Роголев // Первая международная конференция Математическое моделинрование и дифференциальные уравнения: тез. докл. Междунар. конф., Минск, 2-5 окт. 2007 г. / Ин-т математики НАЛ Беларуси. - Минск, 2007. - С. 86.
  2. Роголев, Д.В. Итерационный алгоритм построения решения периондической краевой задачи для системы матричных уравнений Риккати / Д.В. Роголев // X Белорусская математическая конференция: тез. докл. Междуннар. науч. конф., Минск, 3-7 ноября 2008 г. / Ин-т математики НАЛ Беларуси ; ред.: С.Г. Красовский, А.А. Лепин. - Минск, 2008. - Ч. 2. - С. 59-60.
  3. Роголев, Д.В. Модифицированный алгоритм построения решения периодической краевой задачи для системы матричных уравнений Риккати / Д.В. Роголев// XIII Международная научная конференция по дифференциальнным уравнениям (ЕРУГИНСКИЕ ЧТЕНИЯ - 2009): тез. докл. Междунар. науч. конф., Пинск, 26-29 мая 2009 г. / Ин-т математики НАН Беларуси, Полес. гос. ун-т ; ред.: В.В. Амелькин [и др.]. - Минск, 2009. - С. 46-47.
  4. Роголев, Д.В. О периодической краевой задаче для системы матринчных дифференциальных уравнений типа Риккати / Д.В. Роголев // Аналитиченские методы анализа и дифференциальных уравнений: тез. докл. Междунар. конф., Минск, 14-19 сент. 2009 г. / Ин-т математики НАН Беларуси. - Минск, 2009.-С. 135.
  5. Роголев, Д.В. К анализу периодической краевой задачи для системы матричных уравнений типа Риккати/ Д.В. Роголев// Международная матемантическая конференция Пятые Богдановские чтения по обыкновенным диффенренциальным уравнениям: тез. докл. Междунар. науч. конф., Минск, 7-10 дек. 2010 г. / Ин-т математики НАН Беларуси ; ред.: С.Г. Красовский, А.А. Леваков, С.А. Мазаник. - Минск, 2010. - С. 72-73.
  6. Роголев, Д.В. К анализу периодической краевой задачи для системы матричных уравнений Риккати / Д.В. Роголев // Еругинские чтения - 2011: тез. докл. XIV Междунар. науч. конф. по дифференц. уравнениям, Новополоцк, 12-14 мая 2011 г. / Полоц. гос. ун-т ; редкол.: И.В. Гайшун [и др.]. - Новополоцк, 2011.-С. 64.
  7. Роголев, Д.В. К конструктивному анализу периодической краевой задачи для системы матричных уравнений Риккати / Д.В. Роголев // Аналитиченские методы анализа и дифференциальных уравнений: тез. докл. Междунар. конф., Минск, 12-17 сент. 2011 г. / Ин-т математики НАН Беларуси ; ред.: СВ. Рогозин. - Минск, 2011. - С. 128.

18


РЭЗЮМЭ

Рогалеу Дзмтрьй Уладзмравч

Канструктыуны аналз перыядычнаи краявои заданы

для сстзмь матрычных дыферэнцыяльных раунанняу тыпа Рьккац

Ключавыя словы: перыядычная краявая задача, шматмерная Ыстэма, снаванне адзнасць рашэння, алгарытм, збежнасць.

Аб'ект даследавання - сстзма матрычных дыферэнцыяльных раунанняу Рьккац. Прадмет даследавання - рапгзнн перыядычных краявых задач для азначанай Ыстэмы.

Мэтай дысертацыйнага даследвання з'яуляецца канструктыуны аналз перыядычнаи краявои задачы для сстзмь матрычных дыферэнцыяльных раунанняу Рьккац са зменньм каафцзнтам. Асноуныя задачы: атрыманне канструктыуных дастатковых умоу снавання адзнасц рашэння у розных выпадках распрацоука алгарытмау яго адшукання.

Метады даследавання. Даследаванн праводзяцца з выкарыстаннем сучасных метадау канструктыунага аналзу краявых задач для шматмерных сстзм дыферэнцыяльных раунанняу, а таксама метадау тзорь дыферэнцыяльных раунанняу, класчнага функцыянальнага аналзу.

Атрыманыя вьнк х навзна. У дысертацыйнай рабоце атрыманы наступныя новыя вьнк:

  1. Атрыманы канструктыуныя дастатковыя умовы адназначнай развязальнасц перыядычнаи краявои задачы для сстзмь матрычных дыферэнцыяльных раунанняу Рьккац.
  2. Распрацаваны тзрацьйнья алгарытмы пабудовы рашэнняу азначанай краявои задачы.
  3. Атрыманы канструктыуныя ацзнк вобласц лакалзаць рашэнняу гэтай задачы ацзнк, якя характарызуюць хуткасць збежнасц алгарытмау пабудовы яе рашэнняу.

Рзкамендаць па вькарьстанн сфера ужывання. Дысертацыя носць тэарэтычны характар. Пералчанья вьнк могуць быць выкарыстаны пры вьрашзнн шырокага круга задач прыродазнауства, тзхнк, зканомк, сацьялог, звязаных з аналзам перыядычных краявых задач для шматмерных сстзм звычайных дыферэнцыяльных раунанняу.

19


РЕЗЮМЕ

Роголев Дмитрий Владимирович

Конструктивный анализ периодической краевой задачи

для системы матричных дифференциальных уравнений типа Риккати

Ключевые слова: периодическая краевая задача, многомерная система, существование и единственность решения, алгоритм, сходимость.

Объект исследования - система матричных дифференциальных уравненний Риккати. Предмет исследования - решения периодических краевых задач для указанной системы.

Целью диссертационного исследования является конструктивный ананлиз периодической краевой задачи для системы матричных дифференциальных уравнений Риккати с переменными коэффициентами. Основные задачи: полунчение конструктивных достаточных условий существования и единственности решения в различных случаях и разработка алгоритмов его отыскания.

Методы исследования. Исследования проводятся с использованием сонвременных методов конструктивного анализа краевых задач для многомерных систем дифференциальных уравнений, а также методов теории дифференцинальных уравнений, классического и функционального анализа.

Полученные результаты и их новизна. В диссертационной работе понлучены следующие новые результаты:

  1. Получены конструктивные достаточные условия однозначной разреншимости периодической краевой задачи для системы матричных дифференцинальных уравнений Риккати.
  2. Разработаны итерационные алгоритмы построения решений указаннной краевой задачи.
  3. Получены конструктивные оценки области локализации решений этой задачи и оценки, характеризующие скорость сходимости алгоритмов построенния её решений.

Рекомендации по использованию и сфера применения. Диссертация носит теоретический характер. Перечисленные результаты могут быть испольнзованы при решении широкого круга задач естествознания, техники, экономинки, социологии, связанных с анализом периодических краевых задач для мнонгомерных систем обыкновенных дифференциальных уравнений.

20


SUMMARY

Dmitry V. Rogolev

The constructive analysis of the periodic boundary value problem

for the system of matrix Riccati differential equations

Keywords: periodic boundary value problem, multidimensional system, the existence and uniqueness of the solution, algorithm, convergence.

The object of research is the system of matrix Riccati differential equations. Subject of research are the solutions of periodic boundary value problems for the sysнtem.

The aim of the dissertation research is a constructive analysis of periodic boundary value problem for system of matrix Riccati differential equations with variнable coefficients. Main tasks: getting constructive sufficient conditions for existence and uniqueness of solution for different cases and the development of algorithms of its finding.

Research methods. The researches are carried out using modern methods of constructive analysis of boundary value problems for multidimensional systems of differential equations, as well as methods of the theory of differential equations, clasнsical and functional analysis.

The results obtained and their novelty. The following new results have been obtained in this dissertation:

  1. The constructive sufficient conditions of unique solvability of periodic boundary value problem for system of matrix Riccati differential equations were obнtained.
  2. The iterative algorithms for constructing solutions to this boundary value problem were developed.
  3. Were obtained the constructive estimations of the localization of solutions of this problem and estimations that characterize the convergence rate of algorithms of constructing its solutions.

Recommendations for the use and sphere of use. Dissertation is theoretical in nature. The above results can be used in solving a wide range of problems of natuнral science, technology, economics, sociology, and which are related to the analysis of periodic boundary value problems for multidimensional systems of ordinary difнferential equations.

 
   Все авторефераты - Беларусь    Архивные справочники