Все авторефераты - Беларусь

Архивные справочники

Метод канонических форм в теории наблюдения линейных систем с квазидифференцируемыми коэффициентами по специальности л01.01.02 - дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление

Автореферат диссертации

аГосударственное научное учреждение ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ НАЦИОНАЛЬНОЙ АКАДЕМИИ НАУК БЕЛАРУСИ;

УДК 517.977 + 517.926

АСТРОВСКИЙ АНАТОЛИЙ ИВАНОВИЧ

МЕТОД КАНОНИЧЕСКИХ ФОРМ

В ТЕОРИИ НАБЛЮДЕНИЯ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ

С КВАЗИДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

по специальности 01.01.02 Ч дифференциальные уравнения,

динамические системы и оптимальное управление

МИНСК, 2012

Работа выполнена в Институте математики НАН Беларуси

Научный консультант:

Официальные оппоненты:

Гайшун Иван Васильевич, доктор физико-математических наук, академик, профессор, директор Института математики НАН Беларуси

Марченко Владимир Матвеевич, доктор физико-математических наук, профессор, зав. кафедрой высшей математики Белорусского государственного технологического университета

Метельский Анатолий Владимирович, доктор физико-математических наук, профессор кафедры высшей математики Белорусского национального технического университета

Минченко Леонид Иванович, доктор физико-математических наук, профессор, зав. кафедрой информатики Белорусского государственного универсинтета информатики и радиоэлектроники

Оппонирующая организация:а Белорусский государственный университет

Защита состоится <б> апреля 2012г. в 1300 на заседании совета по защите диссертаций Д 01.02.02 при Государственном научном учреждении <Инсти-тут математики Национальной академии наук Беларуси> по адресу: 220072, г. Минск, ул. Сурганова 11, тел. ученого секретаря 284-19-58.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института математики НАН Беларуси

Автореферат разослан л1 марта 2012г.

Ученый секретарь совета

по защите диссертаций, кандидат

физико-математических наук

СВ. Лемешевский

ВВЕДЕНИЕ

В диссертации исследуются свойства наблюдаемости линейных нестанционарных систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Наблюндаемость наряду с устойчивостью, управляемостью, стабилизируемостью является фундаментальным структурным свойством динамических синстем (Р. Калман, Н.Н. Красовский, А.Б. Куржанский, Ф.Л. Черноусько, Р. Габасов, Ф.М. Кириллова, И.В. Гайшун, С.К. Коровин, П.Е. Эльяс-берг, R.E. Brammer, F.C. Schweppe, L.M. Silverman, L. Weiss и др.). При изучении многих проблем из теории управляемых движений необходимо знание текущих состояний системы. Это важно, например, когда управнляющие воздействия формируются по принципу обратной связи. Однако координаты объектов часто недоступны непосредственному наблюдению (измерению), но вместе с тем имеется информация о состоянии объектов в виде некоторой выходной функции. Суть задачи наблюдаемости заклюнчается в выяснении вопроса о возможности однозначного восстановления текущих (или начальных) состояний системы по данным наблюдений. Актуальность задач наблюдения заметно усилилась в последнее время в связи, например, с задачами космической навигации, при проектировании космических навигационных систем и др.

В математической теории управления к настоящему времени накоплено значительное количество теоретических и прикладных результатов, отнонсящихся к фундаментальным проблемам теории систем. Исследования по одним направлениям в основном закончены, по другим же направлениям продолжается интенсивный поиск. К последним относятся и разделы по теории линейных нестационарных систем управления-наблюдения. Анализ таких объектов стимулирован как их широким распространением в прилонжениях, так и их важностью для теории дифференциальных уравнений и математической теории управления. Исследование линейных систем имеет не только самостоятельное значение, но и служит основой для изучения нелинейных уравнений по их линейному приближению.

Один из мощных методов исследования структурных свойств динамиченских систем основан на классической идее A.M. Ляпунова о преобразованнии системы к простейшей форме, что в ряде случаев позволяет полностью изучить фундаментальные свойства сложных систем. Успешно этот поднход применяется при изучении устойчивости линейных нестационарных синстем обыкновенных дифференциальных уравнений. Для систем управления-наблюдения реализация идей A.M. Ляпунова заключается в приведении иснходной системы к простейшему (каноническому) виду с помощью подхо-

дящей группы линейных преобразований. В качестве канонических систем обычно рассматриваются системы с матрицами в форме Фробениуса, котонрые в случае одномерной выходной функции эквивалентны линейному сканлярному квазидифференциальному уравнению n-го порядка с коэффицинентами, зависящими от времени. Выбор таких систем в качестве канониченских объясняется тем, что для них основные задачи математической теории систем решаются сравнительно просто. В монографии И.В. Гайшуна данно применение канонических форм Фробениуса к классическим проблемам синтеза нерезонансных систем, управления спектром, стабилизации, асимпнтотического оценивания состояний и др. Теория канонических форм оказанлась эффективной и для стабилизации нелинейных уравнений по линейному приближению. Однако вопрос о преобразовании заданной линейной нестацинонарной системы наблюдения к канонической форме к настоящему времени полного решения не имеет. Первые работы (L.M. Silverman, Н. Е. Meadows, W.A. Wolovich, M.Y. Wu и др.) в этом направлении гарантировали приведенние системы к канонической форме в предположении равномерной наблюданемости (управляемости) и дифференцируемости коэффициентов достаточнно большое число раз. К настоящему времени теория канонических форм Фробениуса для линейных нестационарных систем управления и наблюденния полно разработана в так называемом гладком случае (И.В. Гайшун). Диссертационная работа является развитием идей и методов исследования нестационарных систем, предложенных в работах академика И.В. Гайшуна.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Связь работы с крупными научными программами (проектами) и темами

Тема диссертационной работы соответствует направлению <Физические и математические методы и их применение для решения актуальных пронблем естествознания, техники, новых технологий, экономики и социальных наук>, включенному в Перечень приоритетных направлений научных исслендований Республики Беларусь на 2011-2015 годы, утвержденный постановнлением №585 СМ РБ от 19.04.2010. Работа выполнялась в рамках задания <Математическое моделирование процессов управления сосредоточенными и распределенными системами> (Математические модели 13, одобрено решеннием Совета по координации фундаментальных и прикладных исследований

Гайшун, И.В. Введение в теорию линейных нестационарных систем / И.В. Гайшун. -

М.: Едиториал УРСС, 2004. - 409с.

от 8.02.2006г.) Государственной программы фундаментальных исследований <Исследование математических моделей и их применение к анализу систем, структур и процессов в природе и обществе>; задания <Алгебраическая и геометрическая теория динамических систем управления> (Математические структуры 15, постановление №21 Президиума НАН РБ от 24.03.2005г.) Гонсударственной программы фундаментальных исследований <Исследование основных математических структур и проблем математического моделиро-вания> (постановление №111 СМ РБ от 29.01.2002), а также ряда проектов Белорусского республиканского Фонда фундаментальных исследований.

Цель и задачи исследования

Целью диссертации является разработка новых методов исследования различных типов наблюдаемости и построения канонических форм для линнейных нестационарных систем обыкновенных дифференциальных уравненний. Основное внимание уделяется расширению класса систем наблюдения, для которых в конструктивной форме в терминах исходных параметров можно получить необходимые и достаточные условия наблюдаемости и сунществования канонических форм Фробениуса. Для достижения этой цели в работе решаются задачи равномерной, аппроксимативной, точечной, понложительной наблюдаемости; задача квазидифференцируемости выходных функций систем наблюдения; задача эквивалентности линейных равномерно наблюдаемых нестационарных систем для различных групп преобразований; задача разрешимости операторного уравнения относительно коэффициентов канонических форм.

Положения, выносимые на защиту

На защиту выносятся:

метод исследования наблюдаемости, основанный на квазидифференцинруемости выходных переменных, позволивший получить достаточные условия полной, а также необходимые и достаточные дифференциальнной и равномерной наблюдаемости;
доказательство необходимых и достаточных условий существования каннонических форм Фробениуса для равномерно наблюдаемых систем с квазидифференцируемыми коэффициентами и метод их построения;
установлено, что выходные функции точечно наблюдаемых систем являнются многочленами по некоторой системе функций Чебышева, на основе чего доказаны необходимые и достаточные условия точечной, равномернно точечной и положительной наблюдаемости;

обоснование алгоритма описания информационных множеств для равнномерно наблюдаемых систем с помехами волновой структуры, основаннного на канонических формах Фробениуса, позволившего, в частности, получить достаточные условия идеальной наблюдаемости, представленнные в терминах обобщенной матрицы Грама;
доказано, что дискретная аппроксимация по схеме Эйлера равномерно наблюдаемой дифференциальной системы тотально наблюдаема и что ее каноническая форма (при условии существования пределов некотонрых функций, построенных по ее коэффициентам) сходится к канонинческой форме дифференциальной системы;
алгоритм решения билинейной минимаксной задачи с линейными огранничениями и его применение к построению априорной гарантирующей операции оценивания состояний линейных дискретных систем наблюденния с помехами.

Таким образом, в диссертации разработаны и обоснованы новые метонды исследования задач наблюдения в линейных нестационарных системах обыкновенных дифференциальных уравнений, дающие концептуальное разнвитие теории наблюдаемости линейных нестационарных систем.

ичный вклад соискателя

Основные результаты диссертации получены автором самостоятельно.

Апробация результатов диссертации

Результаты диссертации были представлены на следующих международнных научных конференциях и семинарах: <Optimale Steurimg-Theorie und Anwendimgen> (Leipzig, 1983), II Всесоюзной школе-семинаре по оптимизанции и ее приложениям в экономике (Ашхабад, 1984), Всесоюзной школе вынчислительные методы и математическое моделирование> (Москва, 1984), Sixth Czechoslovak Conference on differential equations and their applications (Brno, 1985), <Mathematische Optimierung-Theorie und Anwendungen> (II-menau, 1986), Девятом Всесоюзном симпозиуме <Системы программного обеспечения решения задач оптимального планирования> (Минск, 1986), Шестой Всесоюзной конференции по управлению в механических систенмах (Львов, 1988), 7-th IFAC Workshop on control application of nonlinear programming and optimization (Tbilisi, 1988), 3-ей Уральской региональной конференции <Функционально-дифференциальные уравнения и их прило-жения> (Пермь, 1988), 7-ой Чехословацкой конференции по дифференцинальным уравнениям и их приложениям (Equadiff-7, Прага, 1989), Всесоюзной конференции <Негладкий анализ и его применение в экономике> (Баку,

1991), Еругинских чтениях-П (Гродно, 1995), Вторых республиканских чтениях по обыкновенным дифференциальным уравнениям, посвященных 75-летию Ю.С. Богданова (Минск, 1995), VII Белорусской математической конференции (Минск, 1996), Еругинских чтениях-Ш (Брест, 1996), Понт-рягинских чтених-VII (Воронеж;, 1996), Еругинских чтениях-IV (Витебск, 1997), Еругинских чтениях-V (Могилев, 1998), <Динамические систенмы: устойчивость, управление, оптимизация> (Минск, 1998), Еругинских чтених-VI (Гомель, 1999), <Аналитические методы анализа и дифференнциальных уравнений> (Минск, 1999), VIII Белорусской математической конференции (Минск, 2000), <Аналитические методы анализа и дифференнциальных уравнений> (Минск, 2001), <Проблемы управления и приложения (техника, производство, экономика)> (Минск, 2005, 2006), <Динамические системы: устойчивость, управление, оптимизация> (Международная коннференция к 90-летию со дня рождения академика Е.А. Барбашина, Минск, 2008), <Дифференциальные уравнения и топология> (Международная конференция, посвященная 100-летию со дня рождения Л.С. Понтрягина, Москва, 2008), <Аналитические методы анализа и дифференциальных уравнений> (Минск, 2011) и семинаре Белорусского математического общества.

Опубликованность результатов диссертации

По теме диссертации соискателем опубликовано 48 работ (36 работ без соавторов), одна монография, 20 статей в журналах, 4 статьи в книгах и сборниках, 5 статей в трудах и материалах международных конференций, 18 тезисов докладов на международных конференциях. Основные результаты диссертации изложены в 30 работах [1] Ч [30]. Общий объем опубликованных материалов составляет 29,5 авторских листа.

Структура и объем диссертации

Диссертация включает в себя перечень условных обозначений, введение, общую характеристику работы, 6 глав, содержащих 35 разделов, заключение и библиографический список. Полный объем диссертации составляет 198 страниц. Список использованных источников содержит 309 наименований на 28 страницах, из них 48 публикаций соискателя.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

В первой главе дан обзор литературы по теме диссертации и обоснована актуальность исследований. В главе 2 изучается наблюдаемость линейных нестационарных систем обыкновенных дифференциальных уравнений на ос-

нове применения и развития теории квазидифференцирования. Это позволянет ослабить известные требования на дифференцируемость коэффициентов в условиях наблюдаемости. Изучены равномерная наблюдаемость, аппрокнсимативная наблюдаемость, точечная наблюдаемость, равномерно точечная наблюдаемость и положительная наблюдаемость.

Пусть на отрезке Т = [to,ti]задана линейная нестационарная система наблюдения

x(t) = A(t)x(t), y(t) = c(t)x(t) (teT),(1)

в которой (п х п)-матрица A(t) и n-вектор-строка c(t) непрерывны на Т. Отождествим каждую такую систему (1) с парой (А, с), а множество всех их обозначим через Еп. В классической постановке задача полной наблюндаемости формулируется как проблема наличия взаимно однозначного сонответствия между выходными функциями у {t) = y(t, Xq) и порождающими их начальными условиями Xqк Шп. При конструировании систем регулиронвания, как правило, регулятор строится в виде функции текущего состоянния x{t). Поэтому знание вектора x{t) является необходимой предпосылкой создания эффективных систем регулирования. Хорошо известно, что если матрица наблюдаемости S{t) системы (1) невырождена в некоторой точке о" к Т (и стало быть, система (1) полностью наблюдаема на Т), то по знанчению выходного сигнала и его производных в момент а алгебраическим путем можно найти вектор х{а). Однако определение x{t) в точках t:отнличных от о", приводит к непростой задаче интегрирования нестационарной системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Ясно, что проблемы интегрирования можно избежать, если потребовать невырожденность матнрицы S(t) при всех tк Т. Указанное требование было использовано как чисто техническое средство, позволяющее строить канонические формы синстем наблюдения и оно было положено в основу определения равномерной наблюдаемости. Ниже приводится определение равномерной наблюдаемонсти в терминах выходной функции.

Определение 1. Система (1) называется равномерно наблюдаемой на Т, если при любом Хо к W1 функция y(t) = y(t, Xq) принадлежит пронстранству C^iT^R) и отображение x(t) -+ (y(t), y{1)(t), ..., 2/(n-1)(г)) инъективно для каждого tк Т.

Красовский, Н.Н. Теория управления движением / Н.Н. Красовский. - М.: Наука, 1968. - 476с.

^Silverman, L.M. Transformation time-variable systems to canonical (phase-variable) form / L.M. Silverman // IEEE Trans. Autom. Control. - 1966. - Vol. AC-11, №2. - P. 300 - 303.

Silverman, L.M. Controllability and observability in time-variable linear systems / L.M. Silverman, H.E. Meadows // SIAM J. Control. - 1967. - Vol. 5, №1. - P. 64 - 73.

Для исследования свойства равномерной наблюдаемости системы (1) ввендем оператор L: Т,п Ч>ж Еп, действующий по правилу

L(A,c) = (А, сА + с).

По индукции можно найти любую степень Lоператора L, область опреденления которого обозначим через Т)^- Каждую систему (А, с) к Т>], назовем системой класса к. Пусть система (А, с) имеет класс (п Ч 1). Тогда для tк Т определены n-вектор-функции строки

st(t) = Si-i^Ait) + Si_i(*), s0(*) = c(t) (г = 1, 2,... ,n - 1), (2)

из которых составим (п х п)-матрицу S^).

Если элементы матрицы A{t) принадлеж;ат пространству Cn_2(T, М), а компоненты вектор-функции c(t) содерж;атся в множ;естве Сп~ (Т, М), то 5*(/:) представляет собой хорошо известную матрицу наблюдаемости, которая играет важную роль при исследовании линейных нестационарных систем наблюдения (Д'Анжело, И.В. Гайшун, Р. Калман, Н.Н. Красовский, В.М. Морозов, В.И. Каленова, A. Chang, L.M. Silverman, Н.Е. Meadows, L. Weiss, W.A. Wolovich, M.Y. Wu и др.). В терминах этих матриц получены условия наблюдаемости, на основе матриц наблюдаемости строятся преобразования, приводящие системы наблюдения к каноническим формам и т.п.

Справедлив следующий критерий равномерной наблюдаемости.

Теорема 1. Пара (А, с) к Sn равномерно наблюдаема на Т тогда и только тогда, когда она имеет класс п Ч 1 и rank S(t) = п (Vtк Т).

Понятие равномерной наблюдаемости в разделе 2.2 диссертации распронстранено на линейные нестационарные системы с mвыходами и доказаны необходимые и достаточные условия наличия этого свойства.

В разделе 2.3 диссертации установлена связь равномерной наблюдаемонсти с вопросом существования разрешающих операций в классе обобщенных функций или (по другой терминологии) распределений. Согласно2 полная наблюдаемость системы (1) гарантирует для любого р к Шп существование такой измеримой почти всюду ограниченной функции г = r{t) (разрешаюнщей операции), что при каждом Xqк Шп выполнялось равенство

/ r(t)y(t,x0)dt = pfx0.

В литературе исследовалось существование разрешающих операций как при геометрических, так и при функциональных ограничениях (Н.Н. Красов-

ский, А.Б. Куржанский, Р. Габасов, Ф.М. Кириллова, О.И. Никонов, R.F.

Brammer и др.).

Пусть 6а Ч дельта-функция (распределение) Дирака, сосредоточенная в точке о" к Т. Рассмотрим систему (А, с) к Sn класса п Ч 1. На выходах у = y(t) такой системы определены обобщенные функции

Sаа =6{0)аа ?(1)аа 6^~1)

(та иа 1аа иа 1аа Х Х Х 1аа иаi

(6а Ч г-ая производная распределения 6а), при этом для каждого индекнса г = О,1,...,п Ч 1 выполняется равенство 6а (у) = S{(a)x(a). Поэтому справедливо соотношение S(a)x(a) = 0а(у)} где 9а(у) Ч п-вектор-столбец с элементами 6а(у), 6а (у), .. ., 6а (у)- Значит в случае равномерной нанблюдаемости однозначно восстанавливается состояние х(а) = S~1(a)Qa(y). Однако указанная формула имеет чисто теоретическое значение, поскольнку распределения 6а не могут быть точно реализованы. В разделе 2.3 на основе использования известных способов аппроксимации дельта-функций и ее производных с помощью (^-последовательностей гладких функций понлучены асимптотические оценки состояний х(о~). Пусть задана некоторая (^-последовательность j^j(^)} ж_-,жДля каждой выходной функции y(t) систенмы (А, с) определим величины

7М= аа/' У( - r)6f'\т)о1т (г = 0,1,..., п-1; j = 0,1,2,...), (3)

из которых составим n-вектор-столбец Zj((j) = (ij(o~)tXj(с), Х Х Х ,7j (а))-

Определение 2. Систему (А, с) назовем аппроксимативно наблюдаенмой в классе 6-последовательностей, если при любом Хо к W"Jвыходная функция y(t) принадлежит пространству Сп~1(Т, Ш) и существует такая непрерывная, не зависящая от Хо, обратимая при каждом а к Т (п х п)-матрица М(а), что для любого > 0 найдется номер ttiq= т(хо,а,6), обладающий свойством \\х(а,Хо) Ч M(a)zj(a)\\ < при j> mo, где || Х || Ч некоторая норма в W1.

Определение 2 означает, что по величинам (3) можно сколь угодно точнно оценить состояние х(а), при этом знание производных выходного сигнала

Владимиров, B.C. Обобщенные функции в математической физике / B.C. Владиминров. - М.: Наука, 1976. - 280с.

"Антосик, П. Теория обобщенных функций. Секвенциальный подход / П. Антосик, Я. Микусинский, Р. Сикорский. - М.: Мир, 1976. - 312с.

не требуется. Операция дифференцирования выходного сигнала y{t) перенносится на функции 6j(t), которые могут быть выбраны заранее, а значит, заранее вычислены и их производные.

Теорема 2. Система (А, с) к ?п аппроксимативно наблюдаема в классе 5-последовательностей тогда и только тогда, когда она равномерно наблюдаема.

Свойство равномерной наблюдаемости в смысле определения 1 требует определенную гладкость коэффициентов, что сужает класс рассматриваенмых систем. С целью ослабления этого требования в разделе 2.5 диссертации используется техника квазидифференцирования . Это позволяет построить матрицу наблюдаемости для более широкого класса систем и получить коннструктивные условия различных типов наблюдаемости.

Пусть i) Ч целое неотрицательное число. Обозначим через Ы${Т) совонкупность всех нижнетреугольных матриц P(t) размера ((#+ 1) х (# + 1)) с непрерывными на Т элементами Pki(t) (i,k= 0,1,..., $), удовлетворяющинми условию

Pkk(t)е=0 (teT),(fc = O,l,...,0).

Выберем какую-либо матрицу P{t) из множества Ы${Т). Квазипроизводнные pw(t), pw(t), ... , Pw{t) порядка 0,1,..., "д относительно матрицы P{t) непрерывной функции w: Т Ч>ж К. определяются по следующим рекуррентнным правилам

'А;-1Д..ЛЛ\а k~l

ГУ, I

pW(t) =Pkk{t)-

d(w(t)) Pw(t) = poo{t)w{t), pw(t) = pu(t)аа VPаа ' П +Pio(t){Pw(t)),...,

*-^ ~ ^d{p~f])+J2mmPw(t))аа (* = 2,з,...,*).

i=0

Семейство всех непрерывных функций, обладающих непрерывными квазинпроизводными относительно заданной матрицы Р к Ы$(Т), обозначим через Ср{Т). Определим линейный функционал Аа = рАа на Ср{Т) равенством Aa(w) = poo(a)w(a): а его квазипроизводные 3рАа зададим соотношениянми pAa(w) = ( Ч iy{Jpw(a)). егко заметить, что отображение Аа является аналогом дельта-функции Дирака 5а, сосредоточенной в точке <т, в которую оно и превращается, когда матрица P(t) единична. Для системы наблюдения

x{t) = A{t)x{t), y{t) = C{t)x{t) {teT).(4)

'Наймарк, M.A. Линейные дифференциальные операторы / М.А. Наймарк. - М.: Нанука, 1969. - 528с.

(здесь A(t) и C(t) Ч матрицы размеров (п х п) и (т х п) соответственно с непрерывными на Т элементами) в разделе 2.5 доказаны эффективные условия полной и дифференциальной наблюдаемости в случае квазидиффе-ренцируемости выходных функций.

Пусть P{t) Ч заданная матрица из множества Ы${Т). Будем говорить, что система наблюдения (4) имеет Р-класс q, 0 < q< $, и при этом писать (Л, С) к {Р, q}, если компоненты каждой выходной функции этой системы принадлежат множеству СР(Т): т.е. имеют непрерывные квазипроизводные до порядка qвключительно.

емма 1. Система (4) имеет Р-класс qтогда и только тогда, когда существуют и непрерывны матрицы Sk(t), определяемые формулами

S0{t) = poo{t)C{t), S^t) = pn{t){So(t)A(t) + S0(t)) +ро(*)ЗД,

k-i Sk(t) = pkk(t)(Sk-^Ait) + Sk-iit)) + J2Pkj(t)Sj(t) (k = 2,3,..., q).аа (5)

3=0

Составим из блоков Sk(t) (к = 0,1,. .., q) матрицу S^q\t) = I ,аа -^Ч ) .

Мож;но заметить, что для любого решения x{t) системы (4) и соответствуюнщего ему выхода y(t) выполняется равенство Y(t) = S^q\t)x(t), где Y(t) Ч столбец, образованный элементами py(t), py(t), .. . ,qpy(t).

Пусть система (4) имеет Р-класс q. Скажем, что она наблюдаема в мнонжестве функционалов (разрешающих операций) РАа, рАа, ...,рАа, если по элементам РАа(у) (к = 0,1,...,д) однозначно находится вектор х(а). Когда наблюдаемость имеет место при произвольном а к Т, то систему (4) назовем равномерно наблюдаемой. Поэтому система (4) Р-класса qвполне наблюдаема на Т, если для некоторого и к Т верно условие rank S^q\a) = п и дифференциально наблюдаема на Т, когда rank S^{t) =пдля почти всех tк Т. Очевидно, критерием равномерной наблюдаемости системы (4) Р-класса qслужит равенство rank S^q> (t) = п при каждом tк Т.

Обозначим через Vn(A^c) семейство всех матриц P{t) из множества Ып(Т): относительно которых все выходные функции системы (1) (п Ч 1) раз непрерывно квазидифференцируемы. Для любой матрицы Р к Vn(A,c) определим матрицу наблюдаемости Sp(t) по формулам (5) при q= п Ч 1.

емма 2. При каждом tк Т все матрицы Sp(t) (Р к Vn(A,c)) однонвременно либо вырождены либо невырождены.

Из леммы 2 следует, что условия наблюдаемости системы (1) не зависят от выбора матрицы Р к Vn(A,c).

При использовании техники квазидифференцирования возникает нетринвиальная проблема нахождения хотя бы одного элемента Pit) множества Ы$(Т): относительно которого выходные функции системы наблюдения qраз квазидифференцируемьг В разделе 2.6 указан один класс систем наблюденния со скалярным выходом, для которых эта проблема легко решается.

Говорят, что линейная система

x(t) = H(t)x(t), y(t)=g(t)x(t),

имеет верхнюю форму Хессенберга, если непрерывные на отрезке Т (пх п)-матрица H(t) и n-вектор-строка g(t) задаются следующим образом:

H(t)

ДпМаа rl2(t)аа ru(t)

7*21 (*) T22{t) 7*23 (?)

0а 7*32 (?) Г3з{)

0 0

V о

g(t) = (0,аа 0,

7*l,n-lWа nn{t) \

r2,n-l{t)r2n{t)

7*3,n-lWаа 7*3n(^)

'nЧljUЧlyL')'пЧ1,п\^)

'n,nЧl\t)innyt) /

o, noW).

(6)

Пусть

rkik-!(t)^0 (teT),а ( =1,2,

Определим ((n + 1) x (n + 1))-матрицу Q(t) =

(r^it)0

(7)

-Гпп{)Гпп_1()

i,n-l\4

0а 0

-rn.hn{t)rnl_,n_2{t)аа -rn-i,n-i{t)rn\n_2{t)

оа о

-r2n(t)r2^(t)

-r2,n-l(t)r2?(t)

\-nn(t)-n,n-l(t)

которая, очевидно, принадлежит множеству Ып{Т).

г ,1(1) 0 -ru(t)аа l)

емма 3. Если выполняются условия (7), то пара (Н,д) в верхней форме Хессенберга (6) имеет Q-класс п и каждая ее выходная функция y(t) удовлетворяет квазидифференциальному уравнению ny(t) = 0.

Таким образом, в случае системы наблюдения с матрицами (6), обладанющей свойством (7), без труда находится матрица Qк Ып(Т)7 относительно которой все выходные функции п раз квазидифференцируемы.

Пусть QnЧ совокупность всех невырожденных при каждом tк Т (пх п)-матриц G(t)} принадлежащих классу С (Т, Мпхп). Действие группы Qnна паре (А, с) из ?п зададим правилом

G*(A,c) = (G-lAG-G~lG, cG), G Qn,

которое в терминах пространства состояний системы означает замену пенременных x(t) по формуле x(t) = G(t)z(t). Символом О (А, с) обозначим орбиту системы (А, с) к Sn относительно группы Qn.

Легко проверить, что если система (А, с) имеет Р-класс q7то такой же Р-класс имеет и любая система орбиты 0(А,с) (поскольку множество всех выходов пары (А, с) инвариантно относительно действия группы Qn). Поэтонму, когда в орбите О (А, с) содержится система в верхней форме Хессенберга, каждая выходная функция y(t) пары (А, с) п раз квазидифференцируема относительно матрицы (8) и удовлетворяет однородному квазидифференнциальному уравнению ny(t) = 0. Следовательно, наличие в орбите 0(А,с) пары в верхней форме Хессенберга позволяет сравнительно просто решить вопрос о квазидифференцируемости выходных функций системы (А, с).

Сказанное выше приводит к необходимости исследования вопроса о вознможности преобразования системы (А, с) к верхней форме Хессенберга, т.е. к вопросу о наличии в орбите 0(А,с) хотя бы одной пары (Н,д) вида (6). Как показывают примеры, это бывает не всегда. Однако, если в множестве О (А, с) содержится какая-либо система в форме Хессенберга, то в нем именется и бесконечное множество таких систем.

емма 4 Если в орбите О (А, с) содержится пара (Н, д) в верхней форнме Хессенберга со свойством (7); то совокупность Од(А, с) всех хессенбер-говых систем с этим свойством, расположенных в 0(А,с), описывается соотношением

O0H{A)c) = {G^{H)g):С?д},

где Q& Ч подгруппа группы Qn, состоящая из всех верхнетреугольных невынрожденных матриц.

Критерий существования системы в верхней форме Хессенберга в орбите О (А, с) доставляет следующая

Теорема 3. Множество О (А, с) содержит пару в верхней форме Хеснсенберга (Н,д), удовлетворяющую условию (7), тогда и только тогда, конгда все выходные функции y(t) системы (А} с) п раз квазидифференцируемы

относительно некоторой матрицы Р к Ып{Т) и только они удовлетворянют однородному квазидифференциальному уравнению py{t) = 0.

Критерий существования верхней формы Хессенберга, описываемой теонремой 3, не является конструктивным, поскольку не дает способа постронения матрицы P{t). Поэтому в разделе 2.7 получены более эффективные признаки не пустоты множества Он(А^ с). Для формулировки этих условий зададим скалярные функции b{j{t) (i= 1, 2,. .., n; j= iЧ 1, i,..., n) и п-вектор-строки pi(t) (I= 1, 2,..., n) следующим образом. При i = 1, j = 0, I = n положим

b10(t) = \\c(t)l pn(t) = c(t)\\c(t)\\-\

а для остальных индексов определим их при к = 0,1,. .. ,п Ч 2 по рекурнрентным правилам:

bn-k,j{t) = (pn-k{t)A(t) + pn-k{t))p'j{t) {j= n,n- 1,.. . ,n - k),

bn-k,n-k-i{t) = \\pn-k{t)A(t) +pn-k{t) - ^2 bn-k,%{t)p%{t)\\,

i=nЧkn

pn-k-i(t) = {pn-k(t)A(t)+pn-k(t)- Y^ ьп-кМРг^))ь-\п_к_г(г).

i=nЧk

Теорема 4. В орбите О (А, с) пары (А, с) содержится система (Н,д) в верхней форме Хессенберга со свойством (7) тогда и только тогда, конгда bn-k,n-k-i(t) т^ 0 пРи каждом tк Т и п-вектор-функции pn-k(t) (к = 0,1,..., п Ч 1) непрерывно дифференцируемы на Т, при этом элеменнты Vij(t) пары (Н,д) определяются соотношениями rw(t) = bw(t), rn-k,i{t) = bn-k,i{t) {к = 0,1,..., n- 1; i = n,n-l,...,n- к- 1),

ru(t) = (pi(t)A(t) + рЩр'п) (г = 1, 2,..., n),

а матрица G(t) преобразования (A}c) Ч> G* (A, c) = (H, g) может быть выбрана ортогональной.

Определение 1 дает свойство равномерной наблюдаемости в терминах отображения х (t) Ч> (y(t), y^\t), ..., y^n~l> (?)), использующего при кажндом tк Т значения выходной функции y(t) и ее первых (п Ч 1) производнных. Однако системы наблюдения не всегда позволяют получать значения производных выходных функции в момент t:а численные методы их нанхождения, как правило, дают большие погрешности. Поэтому в разделе 2.8 изучено понятие точечной наблюдаемости, которое означает возможность

восстановления начального (текущего) состояния системы по значениям вынходной функции на любом строго упорядоченном наборе из п точек.

Известно, что система (1) полностью наблюдаема на Т тогда и только тогда, когда компоненты n-вектор-строки h{t) = c(t)F(t,to) инейно незанвисимы на множестве Т. Здесь F(t,to) Ч фундаментальная матрица систенмы (1). Из свойств полной наблюдаемости следует существование строго упорядоченного набора точек т = (т, Т2,..., тп), Т{ к Т, (г = 1, 2,..., п), т~ < Т2 < ... < тп, что отображение

От:а Rn^Rn, От(х0) = (у(тих0), у(т2,х0), ..., у(тп,х0))

инъективно. Другими словами, значения выходной функции y(t, Xq) в точках т\, Г2, ..., тп однозначно определяют начальное состояние Xq. В литературе такой набор точек называют программой наблюдений, а задачу ее нахожденния относят к проблеме управления процессом наблюдения.

Определение 3. Систему (1) назовем точечно наблюдаемой на мнонжестве Т, если для любого строго упорядоченного набора т = (т, Т2,..., тп) оператор От инъективен.

Теорема 5. Система (1) точечно наблюдаема тогда и только тогда, когда набор функций h(t) = {h\{t), ti2(t), ..., hn(t)} является системой Чебышева порядка (п Ч 1) на Т.

Примерами точечно наблюдаемых систем на любом отрезке являются полностью наблюдаемые стационарные системы, матрицы А которых имеют различные действительные характеристические числа.

емма 5. Свойство точечной наблюдаемости системы (1) инваринантно относительно действия группы Qn.

Рассмотрим понятие наблюдаемости, объединяющее как равномерную, так и точечную наблюдаемость. Пусть ?ц < ^2 < Х Х Х < ?п Ч конечная послендовательность точек из множества Т, т = т(?) = (т,Т2,.. ., тто) Ч упоряндоченный по возрастанию набор ее различных элементов и к{ Ч количество таких элементов гj, что гj = Т{ (г = 1, 2,... , т). Предположим, что каждая выходная функция y(t) системы (1) (п Ч 1) раз непрерывно дифференцирунема и построим n-вектор-столбец YTс компонентами

уЦ-1\п) (j = l,2,...,^; г = 1,2,...,т).

Определение 4. Систему (1) назовем равномерно точечно наблюданемой на Т,а если каждая выходная функция этой системы (п Ч 1) раз

непрерывно дифференцируема и для любого упорядоченного набора точек С = (?ъ?2? Х Х Х 5?п) оператор Ot:а W1Ч>ж W1, OUxo) = YTинъективен.

емма 6. Система (1) равномерно точечно наблюдаема тогда и тольн

ко тогда, когда определитель А* (а ' ? ) отличен от нуля при

любом наборе точек гiаа <а ^2аа <аа Х Х Хаа <а ?,п из Т.

Если система (1) равномерно наблюдаема, то, вообще говоря, она не явнляется равномерно точечно наблюдаемой. Пусть равномерно наблюдаемая пара (А, с) имеет класс п и S{t) Ч ее матрица наблюдаемости. Определим n-вектор-функцию f{t) по правилу

fit) = iflit)1 hit), ..., fnit)) = snit)S~lit).

Преобразование переменных г(t) = S(t)x(t) переводит систему (1) в систему

№ = (S(t)A(t)S-\t) + S(t)S-\t))№ с выходной функцией у it) = гi(t).

Теорема 6. Если система (1) класса п равномерно наблюдаема и уравннение y(n\t) Ч fnit)y^n~l\t) Ч ... Ч fi[t)y{t) = 0 неосцилляционно на Т, то пара (Д с) равномерно точечно наблюдаема.

В классической постановке задачи наблюдаемости линейных систем прендполагается, что значения выходной функции доступны наблюдателю в кажндый момент t. Однако в приложениях это осуществимо не всегда. В ряде зандач наблюдения исследователю известна не выходная функция системы (1), а лишь ее неотрицательный срез,аа т.е. функция y+{t) = max(0, c(t)x(t)).

Определение 5. Систему (1) назовем положительно наблюдаемой, если для любых различных начальных состояний х\ = xl(to) и х\ = Жо(^о) соответствующие им функции y+it,xl) и y+it,x^) различны на Т.

Теорема 7. Пусть для пары (А, с) выполняются условия: 1) система функций h(t) = c(t)F(t,to) = {hi(t), ti2(t),..., hn(t)} вполне линейно незанвисима на Т; 2) у каждой нетривиальной линейной комбинации системы функций |/ii(г), /i2(?),..., hn(t)} существует хотя бы один корень-узел. Тонгда пара (Д с) положительно наблюдаема на Т.

"Крейн, М.Г. Проблема моментов Маркова и экстремальные задачи / М.Г. Крейн, А.А. Нудельман. - М.: Наука, 1973. - 552с.

В диссертации приведен ряд примеров, которые иллюстрируют условия

теоремы 7.

Теорема 8. Если функции |/ii(г), /12(^)5 Х Х Х ? ^п(^)} образуют систему функций Чебышева порядка п Ч 1 наТ', то пара (А} с) полностью наблюданема, но не является положительно наблюдаемой.

Теорема 9. Равномерно наблюдаемая система (1) класса п положинтельно наблюдаема тогда и только тогда, когда любое нетривиальное реншение уравнения y^n'(t) Ч fn{t)y^n~l\t) Ч ... Ч fi(t)y(t) = 0 имеет хотя бы один корень-узел на (to,ti).

В главах 3 и 4 описаны классы эквивалентности действия группы линнейных невырожденных непрерывно дифференцируемых преобразований на множестве систем наблюдения и на основе привлечения техники квазидифнференцирования7 предложен метод построения канонических форм Фро-бениуса для линейных нестационарных систем наблюдения, существенно ослабляющий известные ограничения на коэффициенты. Приведено доказантельство необходимых и достаточных условий существования канонических форм Фробениуса для равномерно наблюдаемых систем с квазидифферен-цируемыми коэффициентами. Для систем (А, с) к Sn построено уравнение и получены условия существования и единственности его решений, позвонляющие исчерпывающим образом дать ответ на вопрос о существовании и нахождении канонической формы. Предложена рекуррентная процедура нахождения коэффициентов канонической формы для равномерно наблюндаемых систем класса {Р, п\. Построена нижнетреугольная матрица P(t), относительно которой все выходы системы (А, с) п раз квазидифференциру-емы и с помощью которой можно построить матрицу наблюдаемости, иденнтифицирующую свойство наблюдаемости.

Совокупность вышеописанных результатов обосновывается с помощью следующих утверждений.

емма 7. Две системы (А} с) и (?>, d) из ?п принадлежат одной и той же орбите относительно действия группы Qnтогда и только тогда, когда их множества выходов Ут(А}с) и Ут(В}о1) совпадают.

Существенную роль при изучении классов эквивалентности играют полнные инварианты группы преобразований Qnна множестве систем наблюденния. Для того чтобы их определить обозначим через 1Zчасть множества Pn_i, состоящую из равномерно наблюдаемых систем и пусть lZn= 1ZГ\Т)п,

т.е. lZnЧ это множество равномерно наблюдаемых систем класса п. На мнонжестве lZnзададим отображение / по правилу:

f:nn^C(T,Rn), f(A,c)(t) = sn(t)S-\t),(9)

где S(t) Ч матрица наблюдаемости пары (А, с), а векторная функция sn(t) находится из рекуррентных соотношений, аналогичных формулам (2}

Теорема 10. Отображение (9) является полным инвариантом дейстнвия группы Qnна множестве lZn.

Из теоремы 10 следует, что между множествами f(lZn) и lZn/Qnсущенствует взаимно однозначное соответствие. Иной способ характеризации орнбит группы Qnна множестве !Znзаключается в том, чтобы каждой орбите поставить во взаимно однозначное соответствие некоторую систему по вознможности простой (канонической) структуры. Учитывая хорошо известные результаты для автономных систем и канонические формы неавтономных систем (1) с бесконечно дифференцируемыми матрицами, представляется естественным в качестве канонических выбирать пары в форме Фробениуса

о о о

A(t)

/0	0аа ...
1	0аа ...
0	1 ...
\о	0аа ...

a0(t) \

Cli{t)

a2{t)

1аа an-i(t)J

(0,аа 0,аа ...аа 0,аа 1).аа (10)

Нетрудно проверить, что если

С/= 2,3,

то система (10) принадлежит классу (п Ч 1) и ее матрица наблюдаемости So(t) невырождена при всех (tк Т). Следовательно, пара (Л,с) равномернно наблюдаема.

Обозначим через fj(A,c)(t) (j= 1, 2,... ,п) компоненты n-вектор-функ-ции f(A,c)(t): построенной по системе (А, с) к !Zn. Введем в рассмотрение подмножество 7Znмножества !Znjэлементы (А} с) которого обладают свойнством:

ЫА,с)еС*-\ТЛ) (j = l,2,...,n). Из доказательства теоремы 10 следует, что множество Ип инвариантно отнносительно действия группы Qn- Пусть Куп Ч совокупность всех систем вида (10) с функциями ctjиз множества CJ(T} Ж) (j= 0,1,. .., п Ч 1). Следующая теорема, основанная на анализе соотношения f(A} с) = /(А0, с0), показыванет, что множество орбит !Zn/Qn<параметризуется> системами из КУп.

Теорема 11. юбая система из множества кгп принадлежит классу !Znи в каждой орбите О к !Zn/Qnсуществует одна и только одна систенма (А0, с0) вида (10) с а3 к С3{Т, Ж) (j= О,1,..., п - 1).

Например, при п = 3 для пары (А, с) к 1Z\ функции ao(t), ai(t), а^) имеют вид

aQ(t) = h(t)-h(t) + h(t), ax(t) = f2(t) -2hit), a2(t) = h(t).

В диссертации приведены примеры, которые демонстрирует эффективность теоремы 11, а также то, что у равномерно наблюдаемых систем класса п Ч 1 канонические формы могут существовать, а могут и отсутствовать; что сунществуют равномерно наблюдаемые системы класса п с полными инварианнтами, не удовлетворяющими условиям гладкости fj(A, с) к С^~1(Т} Ж)} котонрые могут как иметь каноническую форму, так и не иметь ее. Приведенные примеры показывают, что, во-первых, все условия теоремы 11 существенны, а, во-вторых, вопрос о существовании канонических форм для систем (Л, с) из множества 7Z\7Znостается открытым.

В разделе 4.2 разработан метод нахождения канонической формы для заданной пары (Л, с) к Sn (если такой формы не существует, то метод это устанавливает). Для этого по параметрам систем (Л, с) и (А0 , с0) построено дифференциальное уравнение

Q(t) = A\t)Q(t) - Q(t)A(t) (t T)аа (11)

относительно (n x п)-матрицы Q(t), которая подчиняется условию

cQ(t) = c(t) (teT).(12)

Обозначим через qi(t) (i= 1,2,...,п) строки матрицы Q(t). Несложно убедиться, что условия (11), (12) равносильны при г = 1,2,...,п Ч 1 соотнношениям

qn(t) = c{t), qn-i{t) = qn-i+i{t) + qn-i+i{t)A(t) - an-i{t)c{t),а (13)

q1(t)+q1(t)A(t)-ao(t)c(t) = 0 (teT).(14)

Пусть Cn= C(T, Шп) Ч множество всех непрерывных на отрезке Т n-вектор-строк; а Ч перестановка компонент строки v= (v\, г>2, Х Х Х ? vn), дейнствующая по следующему правилу:

a(v) = (v2, Vs, ..., Vn, Vi),

и р Ч проекция на первую координатную ось: pv= V\. Определим послендовательность операторов Vk: Sn х Сп Ч>ж Сп (к = 1,2,...) следующим образом:

Vi(A,c,v){t) = c{t) + c{t)A{t) - c{t)pv{t),

V2(A,c,v)(t) = ^Ш^Ш + Vl(A,c,v)(t)A(t)-c(t)Mv(t)),

vM,^v)tt)J{V2{A^vm

Очевидно, область определения T>(Vk) каждого оператора Vkне пуста.

Далее важное значение имеет случай к = п. Поэтому приведем простое описание области определения D(Vn), выраженное в терминах квазидифнференцирования. Для любой функции vк Сп зададим нижнетреугольную ((п + 1) х (п + 1))-матрицу

P(v(t))

/а 1а 0а 0

-vi(t)1а 0

-v2(t)0а 1

\-vn(t)0а 0

...аа 0	о\
...аа 0	0
...аа 0	0
...аа 0	1/

емма 8. Тройка (A,c,v) принадлежит области определения оператонра Vnтогда и только тогда, когда каждая выходная функция y(t) систенмы (Д с) п раз непрерывно квазидифференцируема относительно матрицы P(t) = P(v(t)).

Рассмотрим уравнение

VJA,c,v){t) = 0

(16)

относительно vк Сп. Из соотношений (13), (14) и построения оператора Vn(A,c,v)(t) егко вытекает, что если система (А, с) обладает канонической формой, то n-вектор-функция v(t) = (o;n_i(t), an-2(t), ..., o;o(t)) являетнся решением этого уравнения. Поэтому справедливы следующие признаки отсутствия канонической формы.

Теорема 12. Пара (А, с) к ?п не имеет канонической формы, если либо множество Т>а,с(Уп) = {vк Сп : (A,c,v)к T>(Vn)} пусто, либо уравнение (16) неразрешимо.

Теорема 13. Если уравнение (16) разрешимо, но его решение не единнственно, то система (А} с) не имеет канонической формы.

Пусть для системы (А, с) уравнение (16) построено. Обозначим через Qn(A,c) подмножество множества Vn(A,c), состоящее из элементов, отнонсительно которых каждая выходная функция системы (А, с) п раз непренрывно квазидифференцируема. В силу леммы 8 множество Qn(A,c) не пунсто. Выберем какую-либо матрицу Р к Qn(A,c) и предположим, что пара (А, с) к Sn равномерно наблюдаема относительно P{t). В силу леммы 2 она будет равномерно наблюдаемой и при любой Р к Qn(A,c). Поэтому далее будем говорить просто о равномерной наблюдаемости.

Пусть пара (А, с) к ?п фиксирована и Р к Qn(A,c). Обозначим ченрез 1ZPчасть множества Sn, состоящую из всех равномерно наблюдаемых систем класса {Р, п}. Очевидно, семейство 1ZPинвариантно относительно действия группы Яп, т.е. вместе с каждой парой (B,d) к 1ZPмножеству 1ZPпринадлежит и элемент G* (B,d), Gк Яп-

Для любой системы (B,d) к 1ZPсформируем ее матрицу наблюдаемости Sp(t) и зададим отображение

/Р:Тг?Ч>C(T,R"), fp(B,d)(t) = sn(t)Sp1(t).(17)

емма 9. Отображение fpявляется полным инвариантом действия группы Яп на множестве 7Zpn.

С помощью теорем 12, 13 и леммы 9 доказана

Теорема 14 Равномерно наблюдаемая система (А} с) имеет канониченскую форму, если и только если уравнение Vn(A,c,v)(t) = 0 разрешимо (и тогда его решение единственно).

В случае равномерной наблюдаемости пары (А, с) вопрос о канониченской форме исчерпывающим образом описывается уравнением (16). Однанко, пока нет каких-либо методов отыскания его решений. Поэтому в разделе 4.2 описана рекуррентная процедура построения строки v(t): удовлетворянющей уравнению (16), основанная в какой-то части на модификации спосонба нахождения формы Хессенберга, разработанного в главе 2. Кроме того, в процессе реализации указанной процедуры построена нижнетреугольная матрица P(t), относительно которой все выходы системы (А, с) п раз квази-дифференцируемы и с помощью которой можно построить матрицу наблюндаемости, идентифицирующую свойство равномерной наблюдаемости.

Предположим, что каноническая форма (10) существует. Это значит, что найдется такая матрица Gк Яп-, чт0

G-l(t)A(t)G(t) - G-l(t)G(t) = A{t), c(t)G(t) = с0.аа (18)

С помощью метода ортогонализации Грама-Шмидта запишем G{t) в виде произведения G{t) = G0{t)G&{t) ортогональной непрерывно дифференцинруемой матрицы G0{t) и верхнетреугольной непрерывно дифференцируемой матрицы (7д(?). Обозначим через

pn(t),аа pn-l(t),аа . ..,аа pi(t)

соответственно первую, вторую, .. . ,п-ую строки матрицы G'0{t) (штрих ознначает транспонирование), а через Qij{t) Ч элементы матрицы G&{t). Оченвидно, функции Pi(t) и Qij{t) удовлетворяют соотношениям

9u(t)^0, \\Pi(t)\\ = l, Р(Щ() = 0 (ij= 1,2,...,п; фз).(19)

Используя разложение G(t)а = G0(t)G^(t)} представим равенство (18) следующим образом

(С;(0Л(0+С7;(0)Со(0Сд(0 = Сд(0Л0(0+С7д(0,ф)Со(0 = сСХ1(0-(20)

Простой анализ тождества c(t)G0(t) = cG~^(t) с учетом ограничений (19) приводит к соотношениям

||с(*)|| ф О, Pl(t) = c(t)\\c(t)\\-\gnn(t) = \Ш\\-1.(21)

м:

Положим В{t) = (G'0(t)A{t) + G'0(t) \G0{t) и обозначим через b{j(t) элеменнты этой матрицы. Если для системы (А, с) существует каноническая форма Фробениуса (10), то, учитывая свойства матриц G0{t) и G&{t) можно рекур-рентно определить функции b{j(t), Pi{t) следующим образо

bw(t) = \\c(t)\\,Pl(t) = ф)\\ф)\\-г(22)

при г = 1, j= 0, а при i = l,2,...,n Ч 1 задав их соотношениями

bn+l.hn+l.J{t) = {pl{t)A{t)+pl{t))p'J{t) (j = 1,2,..., г),а (23)

bn+i-i,n-i{t) = \\pi{t)A(t) + pi{t) - ^2bn+i-i,n+i-k{t)pk{t)\\,а (24)

k=i

Pi+i(t) = Ь-1+1-ьп-г(){Рг()А() +pi(t) -J2bn+i-^+i-k(t)pk(t))i (25)

k=l

blj{t) = (pn{t)A{t)+pn{t))p'n+l_J{t) (j = l,2,...,n), а также элементы матрицы (7д(?):

9"М)=Ш\' 9'-u-l{t) = eky(26)

9ij+i(t) = Y^ b*k(t)9kj(t) - 9ij(t),(27)

где вычисления осуществляются последовательно для наборов индексов i = 1, j = 2,3, ...,п-1; г = 2, j = 3,4,... ,п - 1; ...; i = n-l,j = n-l. Следовательно, можно определить функции

п /гЧ1

(t)Vj(t) - gД+l-k,n(t)

Mt) = '------------------------------ ^-------------- m------------------------------ (28)

(fc = l,2,...,n).

Теорема 15. Система (А, с) обладает канонической формой (10) тогда и только тогда, когда построенные функции fjij(t), Pi(t), (г = 1,2,...,п), (j= г, г + 1,..., п) непрерывно дифференцируемы на Т и при любом tк Т выполняются условия

Ьм-iW^O (г = 1,2,...,тг); (29)

коэффициенты cvj(t) (j= 0,1,..., n Ч 1) в этом случае находятся по форнмулам cvj(t) = vn-j(t) (j= 0,1,..., п Ч 1); где г>й(?) Ч функции (28).

Пусть функции &у(?) найдены и верны неравенства (29). Используя функции bij{t) по формуле (8) легко находится матрица P(t): относительно которой существуют квазипроизводные выходных функций системы (А, с).

Теорема 16. Если выполняются условия теоремы 15, то каждая вынходная переменная y(t) системы (А} с) п раз непрерывно квазидифференци-руема по матрице P(t).

Вышеизложенное обосновывает следующий метод отыскания канониченской формы.

1.а По формулам (21), (22) - (25) вычисляем функции b{j(t) и строки

Pl(t),аа p2(t),аа ...,аа pn(t).

С помощью соотношений (26), (27) находим элементы Qij{t).
По формулам (28) определяем функции Vk(t) (к = 1, 2,... , п) и полангаем (ij{t) = vn-j(t) (j= 0,1,..., n Ч 1).

Если хотя бы один шаг из 1 - 3 не осуществим, то для системы (А, с) нет канонической формы относительно группы Qn.

Работоспособность предложенного метода построения канонической формы продемонстрирована на ряде примеров. Один из примеров устаннавливает, что с помощью нашей техники можно получить каноническую форму, когда нет требуемой гладкости полного инварианта, а второй, Ч когда даже не существует классической матрицы наблюдаемости.

Из изложенных результатов следует, что если система (1) имеет канонническую форму (Л,с), то любой ее выход y(t) п раз непрерывно квази-дифференцируем относительно матрицы P{t) вида (15) при Vi(t) = an-i(t) (i= 1,2,...,п). Следовательно, пара (А, с) принадлежит классу {Р, п} и функция у{t) удовлетворяет квазидифференциальному уравнению

d_ dt

d_ ~dt

-^--an.1(t)y(t)\ -an.2(t)y(t)\ -...\ -ao(t)y(t) = 0.

Таким образом, можно утверждать, что необходимым условием наличия каннонической формы является существование такой нижнетреугольной матнрицы P{t) с непрерывными элементами, что каждая выходная переменная у{t) системы (1) п кратно непрерывно квазидифференцируема относительно ее и служит решением указанного квазидифференциального уравнения.

Преобразования группы Qnне нарушают свойства наблюдаемости линейнных систем. Однако, если необходимо сохранить некоторые другие свойства системы, то возможные преобразования должны удовлетворять определеннным дополнительным условиям. Это приводит к задаче построения канонинческих форм относительно заданных подгрупп группы преобразований Qn. Впервые в теории канонических форм переход от группы Qnк произвольным ее подгруппам осуществлен в работах ' для линейных систем управления со скалярным входом, обладающих достаточно гладкими коэффициентами.

Выберем какую-либо подгруппу С группы Qnи скажем, что система (1) обладает канонической формой относительно группы С, если существует такое преобразование Gк ?, что G* (А, с) = (Л,с). Обозначим через Ос(А,с) орбиту действия группы С на множестве Еп, проходящую через точку (Л, с). В разделе 4.3 установлены условия существования канониченской системы (Л, с0) относительно группы С и указан способ ее построения.

емма 10. Если система (1) обладает канонической формой относинтельно группы С, в которой содержится группа всех постоянных невы-

уГайшун, И.В. Существование канонических форм линейных нестационарных систем управления относительно экспоненциальной группы / И.В. Гайшун // Дифференц. уравннения. - 1998. - Т. 34, №6. - С. 727 - 731.

Гайшун, И.В. Канонические формы линейных нестационарных систем управления отнносительно различных групп преобразований / И.В. Гайшун // Автоматика и телемеханника. - 1999. - №2. - С. 11 - 18.

рожденных матриц, то найдется такой элемент Р к Vn{A,c), что матнрица наблюдаемости Sp(t), построенная с его помощью, принадлежит множеству С.

Если в лемме 7 заменить группу Qnнекоторой ее подгруппой С, то она, вообще говоря, не верна. Однако справедлива

емма 11. Две системы (А, с) и (B,d) из ?п эквивалентны относинтельно группы С тогда и только тогда, когда У(А}с) = y(B,d) и при некоторой обратимой матрице Goматрица FA(t,to)GoFgl(t,to) принаднлежит множеству С.

Прежде чем переходить к построению полного инварианта, сформулирунем некоторые свойства множеств Vn{A^c).

Если пара (А, с) к ?п имеет класс п, то множеству Vn(A,c) принаднлежат все невырожденные нижнетреугольные матрицы с п раз непрерывно дифференцируемыми элементами.
Если две системы (А, с) и (B,d) класса п содержатся в одной орбите действия группы С на Еп, то Vn(A, с) = Vn(B, d).
Если пары (А, с) и (B,d) не эквивалентны относительно группы С и хотя бы одно из множеств Vn(A,c) или Vn(B,d) не пусто, то эти множества различны.
Если множества Vn(A,c) и Vn(B,d) не равны, то системы (А, с) и (B,d) ежат в разных орбитах действия любой группы С на множестве Еп.

Как и в случае группы Qn:распределение систем наблюдения по классам эквивалентности относительно группы С основано на свойствах инварианнтов, а существование канонических форм следует из разрешимости уравннений, построенных с помощью полных инвариантов. Поэтому в разделе 4.3 указано множество систем наблюдения, для которых такие инварианнты вычислены. Пусть P{t) Ч произвольный элемент из Ып{Т). Определим множество Т*{Р) С Sn по правилу

Р(Р) = Р,с)Ев: PeVn(A,c)}.

Обозначим через Т> (Р) подмножество множества Т>(Р): состоящее из всех равномерно наблюдаемых систем класса {Р,п}. Множество Т) (Р)} очевиднно, не пусто и инвариантно относительно группы С Зададим отображение fP: VR(P) Ч> C(T}Rn) по формуле (17).

емма 12. Если две пары (А, с) и (B,d) из множества VR{P) эквиванлентны относительно группы С, то fp(A,c) = fp(B,d), т.е. отображе-

ние fp(A,c) постоянно на орбите Ос(А,с) = Oc(B,d). Иначе говоря, fpЧ инвариант действия группы С на множестве VR(P).

Для описания множества, на котором отображение (17) является полным инвариантом, выделим в множестве Т> (Р) подмножество систем T)R(P)^ матрицы наблюдаемости Sp(t) которых принадлежат группе С. Далее счинтаем, что группа С содержит группу всех обратимых постоянных матриц.

Теорема 17. Отображение fpявляется полным инвариантом дейнствия группы С на множестве VR(P).

В разделе 4.3 получена формула, выражающая связь отображений fpи fwпри различных матрицах P(t) и W(t) из множества Ып{Т).

Отметим, что построение канонической формы относительно группы Qnосуществлялось в два этапа. Сначала система (А, с) ортогональным преобнразованием переводилась в форму Хессенберга (Н,д)7 а затем хессенбергова форма верхнетреугольной матрицей представлялась в каноническом виде (Л,с). Такая процедура существенно использует тот факт, что с помощью ортогонализации Грама-Шмидта любую матрицу Gк Qnможно записать в виде произведения ортогональной и верхнетреугольной матриц, содержанщихся в множестве Qn. В случае произвольной группы это не всегда возможнно.

В главе 5 предложен и обоснован алгоритм описания информационных множества для системы наблюдения

x(t) = A(t)x(t) + B(t)C(t) (*Т=М]),аа (30)

y(t) = c(t)x(t) + f(t)№аа (ten(з)

12 с помехами волновой структуры

№ = Щ*)?о, ^о к Kfc.а (32)

Здесь x(t) Ч n-вектор состояний в момент t] A(t)} B(t) и W(t) Ч (nx n)-, (nx ?)- и (? x &)-матричные кусочно-непрерывные функции на Т; c(t) и fit) Ч соответственно п- и ?-вектор-строки, элементы которых кусочно-непрерывны на Т.

Указанный алгоритм основан на преобразование равномерно наблюдаенмых систем класса п (или систем класса {Р, п}) к канонической форме.

Куржанский, А. Б. Управление и наблюдение в условиях неопределенности / А.Б. Куржанский. - М.: Наука, 1977. - 392с.

Джонсон, С. Теория регуляторов, приспосабливающихся к возмущениям / С. Джонсон // Фильтрация и стохастическое управление в динамических системах. - М.: Мир, 1980. -С. 253 - 320.

Теорема 18. Пусть для пары (А} с) существует каноническая форма Фробениуса. Тогда информационное множество Х(т,у), соответствующее выходной функции y(t) системы (30); (31) с помехами волновой структуры

(32), имеет вид Х(т,у) = Iх к Жа :аа х = х(т) = G(t)4!z,

z% = {аг - ^2 hjtoj) ехр(Агт), г = 1, 2,..., щ ^ к К, jк /* J.

Подчеркнем, что все параметры, входящие в формулировку теоремы 18, вычислены без использования фундаментальной матрицы системы (30).

Особый интерес представляет случай, когда в присутствии помех по изнвестной выходной функции можно однозначно определить начальное состоняние. В этом случае информационное множество состоит из одной точки, а система (30) - (32) называется идеально наблюдаемой. В диссертации понлучены достаточные условия идеальной наблюдаемости в терминах матриц Грама, построенных по системам функций, которые выражены через исходнные параметры системы (30) - (32).

В главе 6 установлена связь канонических форм дифференциальных синстем наблюдения и их дискретных аппроксимаций. В монографии разнработаны процедуры построения канонических форм линейных дискретных систем при условии их тотальной наблюдаемости . Поэтому естественно понпытаться использовать этот факт для построения канонических форм непренрывных систем, используя следующую схему. Сначала с помощью аппрокнсимации Эйлера переходим от дифференциальной системы к дискретной, находим условия тотальной наблюдаемости последней и определяем ее канноническую форму, а затем переходим к пределу, неограниченно уменьшая шаг дискретизации.

Пусть на множестве (а, Ь) С Ж. задана система наблюдения

x(t) = A(t)x(t), y(t) = c(t)x(t),(33)

где A(t) Ч непрерывная (nx п)-матрица, c(t) Ч n-вектор-строка с непренрывными элементами. Выберем произвольный отрезок Т = [to,ti]С (а,Ь) и, аппроксимируя производную x{t) разностями Эйлера, перейдем к дискретнной системе

z(T + h) = (E + hA{r))z{r), у(т) = c(t)z(t).(34)

Здесь г к Zh = {toЧ(nЧl)h,... }to-h}to}to+h}... ,ti,ti+h,... ,ti + (nЧl)h},

ZhС (a, 6), h=---------- , am Ч достаточно большое целое число.

Гайшун, И.В. Системы с дискретным временем / И.В. Гайшун. - Минск: Ин-т матенматики НАН Беларуси, 2001. - 400с.

Считая величину шага hпока фиксированной, предположим, что синстемы (33), (34) допускают канонические формы и матрицы A(t), Во(т) коэффициентов этих форм определены функциями

a0{t), CKi(t), . ..,an_i(г) {t к Т) и/30(т, h), pi{r,h), ... ,/3n_i(r, h) (т Zfe).

Хотя матрица A(t) и имеет форму Фробениуса, однако матрица Е + hA(r) матрицей Фробениуса не является. В разделе 6.1 указано преобразование подобия Go = Go(h): приводящее ее к форме Фробениуса. Введем в рассмотрение функции

ро(т, h) = h~n(#,(т, К) + А (г, К) + .. Х + /Зп_! (г, /i) - 1) ,

№(r,/i) = /i^^q/3,(r,/i)-C^ (г = 1,2,...,п-2),а (35)

.?=*

pn-i{T,h) = h 1(рп-{т,К)-п),

где

Га 7'!

> h

П!

c) = { ад-г

О,а j < г.

В разделе 6.1 доказан ряд утверждений, позволяющих ответить на вонпрос, когда при hЧ>ж 0 каноническая форма системы (34) переходит в канонническую форму системы (33).

Теорема 19. Пусть дифференциальная система (33) равномерно нанблюдаема на множестве (а, Ъ). Тогда для любого отрезка Т = [to, t\\ С (а, Ъ) существует такое число ho> О, что дискретная система (34) тотальнно наблюдаема на множестве Z^ для всех 0 < h< hoи, следовательно, имеет на Z^ каноническую форму

K,c0) = (50(/3o(r,/i),A(r,/i),...,/3n_1(r,/i)),c).

Если функции pi(r}h), определенные формулами (35)а по коэффициентам 13{{т, К), равномерно сходятся, то на отрезке Т существует каноническая

форма (Л,с)а =аа (А0(ло(?),cki(?),... ,ап-\(t)),с]аа системы (33); причем

cvi(t) = \impi(r, h) (i = 0,1,..., n Ч 1).

В главе 5 в случае волновых помех предложен способ построения иннформационных множеств, использующий, в основном, аналитические вынчисления. Однако на практике часто о помехах известно лишь то, что они

принимают значения из некоторого ограниченного множества или, как гонворят, геометрически ограничены. В разделе 6.2 для линейных дискретных систем наблюдения предложен способ построения априорной гарантируюнщей операции оценивания при условии, что возможные реализации помех принадлежат полиэдрам. Пусть дана система линейных дискретных нестанционарных уравнений

x(t + l) = A(t)x(t) + D(t)v(t), ?к {0,1,...,Х-1},а (36)

где x{t) Ч n-вектор-столбец состояния в момент t; A(t): D(t) Ч матрицы размеров (п х n), (п х kv) соответственно; v(t) Ч /^-мерный вектор вознмущений, информация о возможных реализациях которого исчерпывается заданием его области допустимых значений

У={лкГ:аа Vv<f,v*<v<v*},

где nv= N-kv;vЧ столбец, составленный из векторов г>(0), г>(1), ..., v(NЧl); VЧ заданная матрица; /, г>*, V* Ч известные векторы. Предположим, что информацию о системе (36) можно получать с помощью выходной функции y(t)7 связанной с вектором состояния x{t) соотношением

y{t) = C(t)x(t) + B(t)г(t), кТ# = {tut2, ж ж ж,U} С {0,1,.. ., N}.

Здесь C(t) и B(t) Ч известные (m х п)- и (т х ?^)-матрицы; Т$ Ч заданная программа наблюдений, ?(?) Ч /^-мерный вектор помех, возможные реалинзации которого принадлежат множеству

8 = {?еШ*:G(<g, & < С < f},

где ^ Ч столбец, составленный из векторов г(гi), ^(^2)5 ж ж ж 1 ?(?#); GЧ занданная (т^ х щ) матрица; щ = $ Х к^; д, ?*,?* Ч заданные векторы соответнствующих размерностей. Считаем, что информация о начальном состоянии Хо = х(0) системы (36) заключается лишь в задании области Хо его возможнных значений (Хо Ч компактное подмножество из Жа).

Допустим, что в системе (36) реализовались некоторые неизвестные нанчальное состояние Xqк Хо, возмущение v к V и помеха ?ф к ?, которые породили выходную функцию у = (y0(ti) 2/(^2) Х Х Х y0(tti)) Х Для ряда задач оптимального управления и проектирования сложных систем (напринмер, при синтезе управления типа обратной связи) требуется знание либо вектора состояния системы в текущий момент времени, либо некоторой линнейной комбинации его компонент. Поэтому важное значение имеют оценки линейных функционалов XqЧ> р'хо (р к Шп) на информационном мнонжестве Ло(уФ)- Эти оценки заключаются в нахождении таких чисел к\р: E2V)

что

Zip< р'%0 < Z'ivдля любых хо к Хо(у0).

Величина р = к2Р Ч к\р называется точностью оценивания значений линейнного функционала р'хо на информационном множестве Х^{у<>).

Предложена процедура вычисления априорных оценок \р, к2Р на оснонве построения операции оценивания, которая ориентирована на получение наилучшей оценки для <наихудшего> выходного сигнала. При нахождении такой операции используется только информация о параметрах системы и об ограничениях на возмущения и помехи. Подчеркнем, что она определянется до получения выходной функции у{t) (tк Т#). Сами же оценки к\р и к2Р вычисляются по полученным значениям выходного сигнала. Построение априорной гарантирующей операции оценивания сводится к решению бинлинейной минимаксной задачи с линейными несвязанными ограничениями. В диссертации разработан, обоснован и программно реализован алгоритм решения билинейной минимаксной задачи

д(у) = таху'Сх Ч> min,

X= {х к W1: Ах < 6, Ъ, < х < &*},

Y = {ук Rm : By = d, d* < у < d*}.

Здесь С, Д В Ч матрицы размеров (тхп)} (кхп): (qх т) соответственно; 6, &*, &*, d:d*, d* Ч заданные векторы. Предполагается, что rank В = q. Преднлагаемый алгоритм основан на методе опорных планов и идее уменьшения оценки субоптимальности .

Габасов, Р. Методы линейного программирования / Р. Габасов, Ф.М. Кириллова. Минск: БГУ, 1980. - Ч. III - 368с.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Основные научные результаты диссертации.

Предложен метод исследования наблюдаемости, основанный на ква-зидифференцируемости выходных переменных и позволивший существенно ослабить известные требования гладкости коэффициентов. Доказано, что свойство равномерной наблюдаемости эквивалентно аппроксимативной нанблюдаемости, т.е. возможности с помощью (^-последовательностей сколь угодно точно оценивать текущее состояние системы без дифференцирования выходной функции. Результаты опубликованы в [7], [8], [14].
Доказаны необходимые и достаточные условия существования канонинческих форм Фробениуса для равномерно наблюдаемых систем с квазидиф-ференцируемыми коэффициентами, а также разработан и обоснован метод их построения. Результаты опубликованы в [3], [4], [5], [6], [8].
Установлено, что выходные функции точечно наблюдаемых систем являются многочленами по системе функций Чебышева, на основе чего донказаны необходимые и достаточные условия точечной, равномерно точечной и положительной наблюдаемости. Указаны взаимосвязи между понятиями равномерной наблюдаемости, точечной наблюдаемости и равномерно точечнной наблюдаемости. Результаты опубликованы в [9], [12], [13].

Предложен и обоснован алгоритм описания информационных мнонжеств для равномерно наблюдаемых систем с помехами волновой структунры. Получены достаточные условия идеальной наблюдаемости и ненаблюданемости в терминах обобщенной матрицы Грама. Результаты опубликованы в [9], [15], [19], [20].
Доказано, что дискретная аппроксимация по схеме Эйлера равномернно наблюдаемой дифференциальной системы тотально наблюдаема и что ее каноническая форма (при условии существования пределов некоторых функций, построенных по ее коэффициентам) сходится при неограниченном уменьшении шага дискретизации к канонической форме дифференциальной системы. Результаты опубликованы в [1], [2].
Разработан и обоснован алгоритм решения билинейной минимаксной задачи с линейными ограничениями. Дано его применение к построению априорной гарантирующей операции оценивания состояний линейных диснкретных систем наблюдения с помехами. Результаты опубликованы в [18], [21], [24], [25].

Рекомендации по практическому использованию результатов.

Полученные в диссертации результаты могут найти применение при коннструировании систем автоматического регулирования, при проектировании навигационных систем, при построении управления типа обратной связи в условиях неопределенности, при создании эффективных методов анализа и проектирования систем управления и др.

Проведенное в диссертации исследование позволило разработать и обоснновать новые методы исследования задач наблюдения в линейных нестацинонарных системах обыкновенных дифференциальных уравнений, дающие концептуальное развитие теории наблюдаемости для таких систем.

СПИСОК ПУБЛИКАЦИЙ СОИСКАТЕЛЯ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

Монографии

1.а Астровский, А.И. Наблюдаемость линейных нестационарных систем /

А.И. Астровский. - Минск: МИУ, 2007. - 220с.

Статьи в научных журналах

Астровский, А.И. Связь между каноническими формами линейных дифнференциальных систем наблюдения и каноническими формами их дискретных аппроксимаций / А.И. Астровский, И.В. Гайшун // Дифференц. уравнения. -2011. - Т. 47, т. - С. 954 - 962.
Астровский, А.И. Канонические формы линейных нестационарных систем наблюдения с квазидифференцируемыми коэффициентами относительно разнличных групп преобразований / А.И. Астровский, И.В. Гайшун // Дифференц. уравнения. - 2011. - Т. 47, №2. - С. 254 - 263.
Астровский, А.И. Один способ построения канонических форм Фро-бениуса линейных нестационарных систем наблюдения / А.И. Астровский, И.В. Гайшун // Дифференц. уравнения. - 2010. - Т. 46, №10. - С. 1479 - 1487.
Астровский, А.И. Квазидифференцируемость и канонические формы линнейных нестационарных систем наблюдения / А.И. Астровский, И.В. Гайшун // Дифференц. уравнения. - 2010. - Т. 46, №3. - С. 423 - 431.
Астровский, А.И. Преобразование линейных нестационарных систем нанблюдения со скалярным выходом к каноническим формам Фробениуса / А.И. Астровский // Доклады НАН Беларуси. - 2009. - Т. 53, №6.а С. 16-21.
Астровский, А.И. Квазидифференцируемость и наблюдаемость линейных нестационарных систем / А.И. Астровский, И.В. Гайшун // Дифференц. уравннения. - 2009. - Т. 45, Ml. - С. 1567 - 1576.
Астровский, А.И. Канонические формы линейных нестационарных систем наблюдения и хессенбергова наблюдаемость / А.И. Астровский // Доклады РАН. - 2002. - Т. 383, №4. - С. 439 - 442.

9.а Астровский, А.И. Обобщенная матрица Грама и ее применение к проблеме

наблюдаемости линейных нестационарных систем / А.И. Астровский // Матем.

заметки. - 2001. - Т. 2, Вып. 69. - С. 163 - 170.

Астровский, А.И. Канонические формы линейных нестационарных синстем наблюдения со скалярным выходом и хессенбергова наблюдаемость / А.И. Астровский // Труды Ин-та математики НАН Беларуси. - Минск, 2001. -Т. 10. - С. 21 - 25.
Астровский, А.И. Равномерно наблюдаемые линейные нестационарные системы со многими выходами и их канонические формы / А.И. Астровский, И.В. Гайшун // Дифференц. уравнения. - 2000. - Т. 36, №1. - С. 18 - 25.
Астровский, А.И. Равномерно точечная наблюдаемость линейных ненстационарных систем / А.И. Астровский // Доклады НАН Беларуси. -1999. - Т. 43, №3. - С. 9 - 12.
Астровский, А.И. Положительная наблюдаемость линейных нестационнарных систем / А.И. Астровский // Известия НАН Беларуси. Сер. физ.-мат. наук. - 1999. - №2.а С. 33 39.
Астровский, А.И. Равномерная и аппроксимативная наблюдаемость линнейных нестационарных систем / А.И. Астровский, И.В. Гайшун // Автоматика и телемеханика. - 1998. - №7.а С. 3а 13.
Астровский, А.И. Об информационных множествах для линейных нестанционарных систем с помехами волновой структуры / А.И. Астровский // Извенстия РАН. Теория и системы управления. - 1998. - №1. - С. 44 - 49.
Астровский, А.И. Управляемость линейных нестационарных систем в классе обобщенных функций конечного порядка / А.И. Астровский, И.В. Гайншун // Известия РАН. Теория и системы управления. - 1998. - №2. С. 24 - 30.
Гайшун, И.В. Описание множества равномерно наблюдаемых линейных нестационарных систем / И.В. Гайшун, А.И. Астровский // Доклады АН Беланруси. - 1996. - Т. 40, №5. - С. 5 - 8.
Астровский, А.И. Билинейные минимаксные задачи с линейными ограничениями: теория и вычислительный эксперимент / А.И. Астровский, С.К. Корженевич // Журнал вычисл. матем. и матем. физики. - 1993. - Т. 33, №6. - С. 837 - 856.
Астровский, А.И. Об одном способе решения задачи наблюдения-оценинвания в линейных нестационарных системах / А.И. Астровский // Дифференц. уравнения. - 1988. - Т. 24, №6. - С. 929 - 935.

зз

Астровский, А.И. Об одном способе построения информационных мнонжеств в линейных нестационарных системах наблюдения / А.И. Астровский // Доклады АН БССР. - 1988. - Т. 32, №9. - С. 773 - 776.
Астровский, А.И. Априорный способ построения гарантирующих операнций в задачах оценивания начального состояния / А.И. Астровский // Доклады АН БССР. - 1987. - Т. 31, №9. - С. 795 - 798.

Статьи в книгах, сборниках

Астровский, А.И. Операторное уравнение и его аппроксимация на мнонжестве линейных нестационарных систем наблюдения / А.И. Астровский // Труды Минского ин-та управления. - 2005. - №1. - С. 89 - 96.
Астровский, А.И. К теории наблюдения-оценивания в линейных нестанционарных системах с помехами волновой структуры / А.И. Астровский // Акнтуальные задачи теории динамических систем управления: сб. научных статей / Академия наук БССР, Ин-т математики; под ред. Р. Габасова, И.В. Гайшуна, Ф.М. Кирилловой. - Минск: Наука и техника, 1989. - С. 111 - 119.
Астровский, А.И. Решение билинейной минимаксной задачи с линейнынми ограничениями (MPBLA, DMPBLA) / А.И. Астровский // Программное обеспечение ЭВМ: сб. научных статей / Академия наук БССР, Ин-т матемантики; под ред. Р. Габасова, Ф.М. Кирилловой. - Минск: Ин-т математики АН Беларуси, 1985. - Вып. 55. - С. 85 - 93.
Астровский, А.И. Алгоритм решения билинейной минимаксной задачи с линейными ограничениями / А.И. Астровский // Конструктивная теория экснтремальных задач: сб. научных статей / Белорусский гос. ун-т; под ред. Р. Ганбасова, Ф.М. Кирилловой. - Минск: Университетское, 1984. - С. 156 - 172.

Материалы научных конференций

Астровский, А.И. Орбитальный метод исследования структурных свойств линейных нестационарных систем / А.И. Астровский // Проблемы управления и приложения (техника, производство, экономика): материалы меж-дунар. научн.- техн. конф., Минск, 16 - 20 мая 2006г. / Белорус, национальный техн. ун-т. - Минск, 2006. - С. 128 - 129.
Астровский, А.И. Орбитальный метод исследования линейных нестацинонарных систем / А.И. Астровский // Проблемы управления и приложения (техника, производство, экономика): труды междунар. конф., Минск: Ин-т мантематики НАН Беларуси, 2005. - Т. 1. - С. 107 - 113.

Astrovskii, A.I. On guaranteed estimation theory in linear discrete-time systems / A.I. Astrovskii // Proceedings of the 7-th IFAC Workshop on control application of nonlinear programming and optimization, Tbilisi. 1988.а P. 97 98.
Astrovskii, A.I. Bilinear minimax problem and its applications / A.I. Astrovskii // Proceedings of the Internat. Tagung <Mathematische Optimierung-Theorie und Anwendungen>, Eisenach-Ilmenau(DDR). 1986.а P. 7 10.
Астровский, А.И. Гарантированные оценки в задачах наблюдения в услонвиях неопределенности / А.И. Астровский // Optimale Steurung-Theorie und Anwendungen: Proceedings of the International Conf., Leipzig, 1983r. / Leipzig, 1983. - P. 10 - 12.

Тезисы научных конференций

Астровский, А.И. Канонические формы Фробениуса для непрерывных и дискретных систем наблюдения / А.И. Астровский, И.В. Гайшун // Аналинтические методы анализа и дифференциальных уравнений: тезисы докладов междунар. конф., Минск, 12 - 17 сентября 2011г. / Белорус, гос. ун-т, Ин-т математики НАН Беларуси. - Минск, 2011.а С. 23а 24.
Астровский, А.И. Канонические формы линейных нестационарных синстем наблюдения / А.И. Астровский // Дифференциальные уравнения и топонлогия: тезисы докладов междунар. конф., посвященной 100-летию со дня рожндения Л.С. Понтрягина, Москва, 17 - 22 июня 2008г. / Матем. ин-т им. В.А. Стеклова РАН, МГУ им. М.В. Ломоносова. - Москва, 2008. - С. 318.
Астровский, А.И. Взаимосвязь канонических форм Фробениуса для непрерывных и дискретных систем наблюдения / А.И. Астровский // Динаминческие системы: устойчивость, управление, оптимизация: тезисы докладов межндунар. конф. к 90-летию со дня рождения академика Е.А. Барбашина, Минск, 29 сентября - 4 октября 2008г. / Ин-т матем. НАН Беларуси. - Минск, 2008. -С. 56 - 58.
Астровский, А.И. Хессенбергова наблюдаемость и канонические формы линейных нестационарных систем наблюдения / А.И. Астровский // Аналинтические методы анализа и дифференциальных уравнений: тезисы докладов междунар. конф., Минск, 15 - 19 февраля 2001г. / Белорус, гос. ун-т, Ин-т мантематики НАН Беларуси. - Минск, 2001. - С. 21 - 22.
Астровский, А.И. Проблема канонических форм Фробениуса для линейнных нестационарных систем наблюдения / А.И. Астровский // VIII Белорус.

матем. конф.: тезисы докладов, Минск, 19 - 24 июня 2000г. Ч. 4. / Белорус. мат. об-во, Белорус, гос. ун-т, Ин-т математики НАН Беларуси, Госкомитет по науке и технологиям, М-во образования РБ. - Минск, 2000. - С. 54 - 55.

Астровский, А.И. Равномерно точечная наблюдаемость линейных ненстационарных систем / А.И. Астровский // Еругинские чтения VI: тезисы донкладов междунар. мат. конф., Гомель, 20 - 21 мая 1999г. Ч. I. / М-во образования РБ, Белорус, матем. об-во, Белорус, гос. ун-т, Ин-т математики НАН Беларуси, Гомельский гос. ун-т им. Ф. Скорины. - Гомель, 1999. - С. 88 - 89.
Астровский, А.И. Взаимосвязь равномерной и равномерно точечной нанблюдаемости линейных нестационарных систем / А.И. Астровский // Аналинтические методы анализа и дифференциальных уравнений: тезисы докладов междунар. конф., Минск, 14 - 18 сентября 1999г. / Белорус, гос. ун-т, Ин-т математики НАН Беларуси. - Минск, 1999. - С. 30.
Астровский, А.И. Квазипроизводные и форма Хессенберга для линейных нестационарных систем наблюдения / А.И. Астровский // Еругинские чтения V: тезисы докладов междунар. матем. конф., Могилев, 26 - 28 мая 1998г. Ч. I. / М-во образования РБ, Белорус, матем. об-во, Белорус, гос. ун-т, Ин-т матенматики НАН Беларуси, Ин-т прикладной оптики НАН Беларуси, Могилевский гос. ун-т им. А.А.Кулешова. - Могилев, 1998. - С. 108 - 109.
Астровский, А.И. Условия наблюдаемости линейных нестационарных синстем с непрерывными коэффициентами / А.И. Астровский // Междунар. конф. <Динамические системы: устойчивость, управление, оптимизация:, посвященнная 80-летию академика Е.А. Барбашина: тезисы докладов конф. / Ин-т матенматики НАН Беларуси, Белорус, гос. ун-т. - Минск, 1998. - Т 1. - С. 40 - 43.
Астровский, А.И. Управляемость линейных нестационарных систем и обобщенная матрица Грама / А.И. Астровский // Понтрягинские чтения-VII: тезисы докладов Весенней Воронежской матем. школы, Воронеж;, 1996г. / Вонронежский гос. ун-т. - Воронеж;, 1996. - С. 1.
Астровский, А.И. Равномерная наблюдаемость линейных нестационарнных систем / А.И. Астровский, И.В. Гайшун // Еругинские чтения III: тезисы докладов междунар. матем. конф., Брест, 1996г. / АН Беларуси, М-во образонвания и науки РБ, Белорус, матем. об-во, Брестский гос. ун-т. - Брест, 1996. -С. 29.
Астровский, А.И. Наблюдаемость линейных нестационарных систем с выходом типа насыщения / А.И. Астровский // VII Белорус, матем. конф.:

тезисы докладов, Минск, 1996г., 4.2. / Белорус, мат. об-во, Белорус, гос. ун-т, Ин-т математики НАН Беларуси, Госкомитет по науке и технологиям, М-во образования РБ. - Минск, 1996. - С. 188 - 189.

Астровский, А.И. Равномерная наблюдаемость и приводимость линейнных нестационарных систем наблюдения / А.И. Астровский // Еругинские чтения II: тезисы докладов матем. конф., Гродно, 1995г. / АН Беларуси, М-во образования и науки РБ, Белорус, матем. об-во, Гродненский гос. ун-т им. Я. Купалы. - Гродно, 1995. - С. 8.
Астровский, А.И. О типах управляемости и наблюдаемости линейных нестационарных систем / А.И. Астровский // Вторые республ. чтения по обыкнновенным дифференц. уравнениям, посвященные 75-летию Ю.С. Богданова: тензисы докладов междунар. конф., Минск, 5-9 декабря 1995г. / М-во образования и науки РБ, Белорусский гос. ун-т, Ин-т математики АН Беларуси, Белорус, мантем. об-во. - Минск, 1995. - С. 8.
Астровский, А.И. Об информационных множествах для нестационарных систем / А.И. Астровский // Шестая Всесоюзн. конф. по управлению в механнических системах: тезисы докладов, Львов, 1988г. / Госкомитет по науке и технике АН СССР, Ин-т проблем механики АН УССР, Ин-т прикладных пронблем механики и математики, Львовский гос. ун-т им. Ив. Франко. - Львов, 1988. - С. 174.
Астровский, А.И. Построение информационных множеств для линнейных нестационарных систем / А.И. Астровский // Функционально-дифференциальные уравнения и их приложения: тезисы докладов 3-ей Уральнской региональн. конф., Пермь, 1988г. / Уральский научный центр, Пермский гос. ун-т. - Пермь, 1988. - С. 153.
Астровский, А.И. Адаптивный алгоритм решения билинейной минимакснной задачи и его программная реализация / А.И. Астровский // II Всесоюзн. школа-семинар по оптимизации и ее приложениям в экономике: тезисы докландов междунар. конф., Ашхабад, 1984г. / АН СССР, Центральный экономико-матем. ин-т, Туркменский гос. ун-т им. A.M. Горького. - Ашхабад, 1984. -С. 28 - 29.
Астровский, А.И. Алгоритм решения билинейной минимаксной задачи / А.И. Астровский // Вычислительные методы и математическое моделирование: тезисы лекций и докладов Всесоюзн. школы, Москва, 1984г. / Ин-т прикладной матем. им. М.В. Келдыша, Ин-т математики АН БССР, Белорус, гос. ун-т. -Минск, 1984. - С. 236 - 237.

РЭЗЮМЭ

Астроуск Анатолй ванавч

МЕТАД КАНАШЧНЫХ ФОРМАУ У ТЭОРЫ1 НАЗРАННЯ Л1НЕЙНЫХ С1СТЭМ 3 КВА31ДЫФЕРЭНЦЫРУЕМЫМ1 КАЭФЩЫЕНТАМ1

Ключавыя словы: нейная нестацыянарная сстзма, назральнасць, раунамерная назральнасць, кваздьферзнцьруемасць, група пераутварэн-няу, кананчная форма Фрабенуса, поуны нварьянт, сстзмь у форме Хе-сенберга, нфармацьйнае мноства, дыскрэтныя сстзмь.

Мэта дьсертац: распрацоука новых метадау даследавання задач назральнасц у нейньх нестацыянарных сстзмах пабудова кананчньх формау. Асноуная увага удзяляецца пашырэнню класса сстзм назрання, для якх у канструктыунай форме у тзрмнах зыходных параметрау мож-на атрымаць неабходныя дастатковыя умовы наяунасц розных тыпау назральнасц снавання кананчньх формау Фрабенуса.

Вьнк дысертацыйнага даследавання: метад даследавання на-зральнасц, заснаваны на кваздьферзнцьруемасц выхадных змеиных, дазволушь атрымаць дастатковыя умовы поунай, а таксама неабходныя дастатковыя умовы дыферэнцыяльнай раунамернай назральнасц; доказ неабходных дастатковых умоу снавання кананчньх формау Фрабенуса для раунамерна назраемьх сстзм з кваздьферзнцьруемьм казфцьен-там метад х пабудовы; вызначана, што выхадныя функць кропкава назраемьх сстем з'яуляюцца мнагачленам па некаторай сстзме функцый Чэбышева, на выснове чаго даказаны неабходныя дастатковыя умовы кропкавай, раунамерна кропкавай дадатнай назральнасц; абгрунтаванне алгарытму апсання нфармацьйньх мноствау для раунамерна назраемьх сстзм з перашкодам хвалявай структуры, заснаванага на кананчньх формах Фрабенуса, дазволушага, у прьватнасц, атрымаць дастатковыя умовы дзальнай назральнасц, пададзеныя у тзрмнах абагульненай мат-рыцы Грама; даказана, што дыскретная апраксмацья па схеме Эйлера раунамерна назраемай дыферэнцыальнай сстзмь татальна назраема, што яе кананчная форма (пры умове снавання гранц некаторых функнцый, пабудаваных па яе каэфщыентах) сьходзцца да кананчнай формы дыферэнцыяльнай сстзмь; алгарытм вырашэння блнейнай мнмакснай заданы з нейньм абмежаванням яго прымяненне да пабудовы апрыор-най гарантуючай апераць ацэньвання стану нейньх дыскретных сстзм назрання з перашкодам.

РЕЗЮМЕ

Астровский Анатолий Иванович

МЕТОД КАНОНИЧЕСКИХ ФОРМ В ТЕОРИИ НАБЛЮДЕНИЯ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ С КВАЗИДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

Ключевые слова: инейная нестационарная система, наблюдаемость, равномерная наблюдаемость, квазидифференцируемость, группа преобранзований, каноническая форма Фробениуса, полный инвариант, системы в форме Хессенберга, информационное множество, дискретные системы.

Цель диссертации: разработка новых методов исследования задач нанблюдаемости в линейных нестационарных системах и построение канониченских форм. Основное внимание уделяется расширению класса систем наблюндения, для которых в конструктивной форме в терминах исходных параметнров можно получить необходимые и достаточные условия наличия различнных типов наблюдаемости и существования канонических форм Фробениуса.

Результаты диссертационного исследования: метод исследования наблюдаемости, основанный на квазидифференцируемости выходных перенменных, позволивший получить достаточные условия полной, а также необнходимые и достаточные условий дифференциальной и равномерной наблюндаемости; доказательство необходимых и достаточных условий существонвания канонических форм Фробениуса для равномерно наблюдаемых синстем с квазидифференцируемыми коэффициентами и метод их построения; установлено, что выходные функции точечно наблюдаемых систем являютнся многочленами по некоторой системе функций Чебышева, на основе ченго доказаны необходимые и достаточные условия точечной, равномерно тончечной и положительной наблюдаемости; обоснование алгоритма описания информационных множеств для равномерно наблюдаемых систем с поменхами волновой структуры, основанного на канонических формах Фробенинуса, позволившего, в частности, получить достаточные условия идеальной наблюдаемости, представленные в терминах обобщенной матрицы Грама; доказано, что дискретная аппроксимация по схеме Эйлера равномерно нанблюдаемой дифференциальной системы тотально наблюдаема, и что ее канонническая форма (при условии существования пределов некоторых функций, построенных по ее коэффициентам) сходится к канонической форме диффенренциальной системы; алгоритм решения билинейной минимаксной задачи с линейными ограничениями и его применение к построению априорной ганрантирующей операции оценивания состояний линейных дискретных систем наблюдения с помехами.

SUMMARY

Astrovskii Anatoly Ivanovich

METHOD OF CANONICAL FORMS IN OBSERVABILITY THEORY OF LINEAR SYSTEMS WITH QUASIDIFFERENTIATED COEFFICIENTS

Key words: linear time-varying system, observability, uniform observability, quasidifferentiation, transformation group, Frobenius canonical form, complete invariant, Hessenberg systems, information set, discrete systems.

The purpose of the dissertation: development of novel methods for investigating observability problems in linear time-varying systems and constructing canonical forms. The main purpose of the work is to extend the>

The results of the dissertation research: method for investigating observability, which is based on quasidifferentiation of output variables and allows to obtain sufficient conditions for complete observability, necessary and sufficient conditions for differential and uniform observability; proof of necessary and sufficient conditions for existence of Frobenius canonical forms in uniformly observed systems with quasidifferentiated coefficients and method for their construction; output functions of point-observed systems were established to be polynomials of a system of Chebyshev functions, which is base of the proof of necessary and sufficient conditions for point, uniform point and positive observability; the algorithm justification for description of information sets for uniformly observed systems with disturbance of wave structure, which is based on Frobenius canonical forms and allows, in particular, to obtain sufficient conditions for ideal observability, represented in terms of generalized Gramm matrix; it was proved that discrete approximation by Euler scheme of uniformly observed differential system is completely observed and its canonical form (in case of existence of limits of some functions constructed on its coefficients) converges to canonical form of the differential system; the algorithm for solving bilinear minimax problem with linear constrains and its application to construcнtion of a-priori guaranteed evaluation operation of states of linear discrete observa- bility systems with disturbance.

Подписано в печать 20.02.2012.

Формат 60 х 84/16.

Усл. печ. л. 2,41. Уч.-изд. л. 2,17.

Тираж 60 экз. Заказ 1.

Отпечатано на ризографе Института математики НАН Беларуси.

Издатель и полиграфическое исполнение:

Институт математики НАН Беларуси.

ЛИ 02330/0549443 от 8 апреля 2009г.

220072, г.Минск, ул. Сурганова, 11.

Все авторефераты - Беларусь

Архивные справочники

Blog

Автореферат диссертации