Авторефераты по темам  >>  Разные специальности - [часть 1]  [часть 2]

Положительные элементы и рациональные множества в группах

Автореферат кандидатской диссертации

 

На правах рукописи

Воронина Ольга Александровна

ПОЛОЖИТЕЛЬНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ И РАЦИОНАЛЬНЫЕ МНОЖЕСТВА В ГРУППАХ

01.01.06. - математическая логика, алгебра и теория чисел

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

Омск-2012

Работа выполнена на кафедре информационных систем института математики и информационных технологий ФГБОУ ВПО "Омский государственный университет им. Ф.М. Достоевского"

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук профессор Романьков Виталий Анатольевич

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук профессор

Мартынов Леонид Матвеевич кандидат физико-математических наук Трейер Александр Викторович

Ведущая организация:

ФГБОУ ВПО "Новосибирский государственный

технический университет".

Защита состоится 1 марта 2012 г. в 15 ч. 30 мин. на заседании диссертационного совета ДМ 212.179.07 при Омском государственном университете им. Ф.М. Достоевского по адресу: 644099 Омск, ул. Певцова, 13, к. 15.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Омского государственного университета имени Ф. М. Достоевского.

Автореферат разослан л _____ 2012 г.

Учёный секретарь диссертационного совета

М4**0

A.M.а Семенов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. В настоящее время теория групп является одним из самых развитых разделов алгебры, имеющим многочисленные приложения как в различных областях математики, так и за ее пределами.

Одно из наиболее актуальных направлений исследований в теории групп определяется различными вопросами о каноническом представлении элементов группы и ее подмножеств тем или иным эффективным способом. Это определяет связь теоретико-групповых проблем с проблемами теории формальных языков.

Комбинаторная теория групп, основы которой изложены в монографиях Магнуса, Карраса, Солитера , Линдона, Шуппа , связана с представлениями групп через порождающие элементы и определяющие соотношения. Особое значение в ней придается конечным представлениям и соответственно конечно определенным группам. Многочисленные примеры таких групп представлены в книге Коксетера, Мозера . Исторический обзор содержится в очерке Чандлера . При данном подходе выделяются группы, допускающие нормальные формы элементов, эффективные переписывающие процессы и т.п.

Группы также могут задаваться порождающими элементами в некоторых известных группах - матричных, фундаментальных группах топологических пространств, группах, действующих на деревьях, группах автоморфизмов групп или других алгебраических структур и т.п. Подмножества свободного моноида называется языками. Среди них выделяются, например, регулярные (рациональные) языки и их различные обобщения. Классическая теория полугрупп исследует регулярные множества и конечные автоматы. Теорема Клини устанавливает связь между этими понятиями. См. по этому поводу монографии Айленберга , Харрисона , Ревеса , Карпова .

Данное направление получило также свое теоретико-групповое развитие. Во многом этому способствовали известные лекции Гилмана .

1 Магнус В., Каррас Л., Солитер Д. Комбинаторная теория групп//М.: Наука, 1974. 2индонР., ШуппП. Комбинаторная теория групп//М.: Мир, 1980.

3 Coxeter H.S.M., Moser W.O.J. Generators and relations for discrete groups// Springer-Verlag, New

York - Heidelberg, 1972.

4 Чандлер Б., Магнус В.аа Развитие комбинаторной теории групп// Очерк истории развития идей.

М. Мир, 1985.

5а Eilenberg S. Automata, Languages, and Machines, A and B// New York: Academic Press, 1974.

6Harrison H. Introduction to Formal Language Theory// Addison-Wesley Reading, MA., 1979.

7а Revesz G. Introduction to Formal Languages // McGraw Hill, New York, 1983.

8 КарповЮ. Г. Теория автоматов// СПб.: Питер, 2002.

9 Oilman R.H. Formal Languages and Infinite Groups// DIMACS Series in Discrete Mathematics and

Theoretical computer science, AMS. - 1996, v. 25, 27-51.

3

В теоретико-групповом контексте одним из подходов является рассмотрение формальных языков вместе с гомоморфизмами в группы. В частности, одна из известных задач - нахождение формальных языков из некоторого класса (например, рациональных), которые отображаются на группу биективно. С другой стороны, рациональные множества можно рассматривать непосредственно в группах, являющихся частным случаем моноидов. Подобные исследования представляют самостоятельный интерес. Укажем, например работыа .

В настоящей работе изучаются положительные элементы свободных абелевых групп и группы Гейзенберга, а также рациональные подмножества разрешимых групп. Понятия положительного и потенциально положительного элемента свободной группы дано А. Мясниковым, В. Шпильрайном в известном сборнике нерешенных проблем теории групп - Open problems in combinatorial and geometric group theory . Нами рассматривается естественное обобщение этих понятий на произвольные группы. Мы также несколько изменили терминологию, говоря об элементах положительных относительно данной системы порождающих элементов и положительных элементах.

Основными результатами в этой части работы является критерий одновременного приведения к положительному виду конечного набора элементов свободной абелевой группы и описание положительных элементов группы Гейзенберга. Заметим, что группа Гейзенберга (свободная нильпотентная группа ранга 2 ступени нильпотентности 2) достаточно известна не только в математике, но и в физике. Группа Гейзенберга и ее обобщения используются в алгебраической геометрии, квантовой механике, ей посвящены специальные статьи и монографии.

Вторая часть работы связана со следующей гипотезой В. А. Романькова.

Гипотеза. Если в конечно порожденной разрешимой группе G все

Bazhenovaаа G.аа A. Rational sets inаа polycyclic groups//аа Международнаяаа конференция "Комбинаторные и вычислительные методы в математике". - Омск, 1999, 76-81. Herbst Т., Thomas R.M. Group presentations, formal languages and characterizations of one-couter group//Theoret. Comput. Sci. v. 112, 1993, 187-213.

Kambites M., Silva P. V., and Steinberg B. On the rational subset problem for groups // Journal of Algebra, 309, 2007, 622-639.

Roman'kovа V. A.аа On theа occurrenceа problemа for rationalа subsetsа of group//а Международная конференция "Комбинаторные и вычислительные методы в математике". - Омск, 1999, 235 - 242. Недбай М.Ю. Некоторые свойства рациональных множеств в группах// Международный семинар по теории групп. - Екатеринбург, 2001, 158-160.

Недбай М.Ю. О высоте рациональных подмножеств в группах// Вестник Омского университета. Вып. 4. - Омск: Изд-во ОмГУ, 2000, 11-13.

11 Baumslag G., Myasnikov A. G., Shpilrain V. Open problems in combinatorial group theory, second edition, from: "Combinatorial and geometric group theory (New York, 2000/Hoboken, NJ, 2001)", // Contemp. Math. 296, Amer. Math. Soc, 2002, Problem F34. 1-38.

4

рациональные подмножества образуют булеву алгебру, т.е. замкнуты относительно теоретико-множественных операций объединения (это всегда выполняется по определению), пересечения и дополнения, то группа G почти абелева, т.е. содержит абелеву подгруппу конечного индекса.

Заметим в этой связи, что в любой конечно порожденной почти абелевой группе все рациональные подмножества булеву алгебру образуют. То же самое можно сказать о свободных моноидах и свободных группах. Г.А. Баженова доказала, что класс групп с отмеченным свойством замкнут относительно свободных произведений и конечных расширений. Однако в классе конечно порожденных разрешимых групп все известные примеры групп с этим свойством почти абелевы. Г.А. Баженова установила в своих работах , что любая нильпотентная, полициклическая, метабелева группа с этим свойством почти абелева. Она также доказала, что конечно порожденные разрешимые группы конечного ранга с этим свойством почти абелевы. В целом, однако, гипотеза В. А. Романькова остается открытой.

В работе рассмотрены конечно порожденные матричные группы и нильпотентные расширения абелевых групп. Для них доказаны теоремы, аналогичные теоремам Г.А. Баженовой. Также рассмотрены рациональные подмножества 4-порожденной прямоугольной группы Коксетера.

Основной целью работы является изучение положительных элементов и рациональных подмножеств в группах.

Методика исследования ориентирована на использование методов теории групп и теории определяющих соотношений, а также теорию конечных автоматов.

Научная новизна. Все результаты, полученные в диссертации, являются новыми.

Перечислим основные результаты диссертации в порядке появления их в работе:

1. Найденыаа необходимыеаа иаа достаточныеаа условияаа одновременного приведения набора элементов свободной абелевой группыа Ап

12а Баженов Г.аа А.аа Оаа рациональныхаа множествахаа ваа разрешимыхаа группах.аа Кандидатская

диссертация//Омск: ОмГУ, 1999.

13а Bazhenovaаа G.аа A. Rational sets inаа polycyclic groups//аа Международнаяаа конференция

"Комбинаторные и вычислительные методы в математике". - Омск, 1999, 76-81.

Баженова Г. А. Замкнутость одного класса групп относительно свободного произведения// Сиб.

матем. журн., 2000, 4, №41, 740-743.

Баженова Г. А. О регулярных множествах в группах//аа Kurosh Algebraic Conference '98, МГУ,

Москва, 1998, 137-138.

Баженова Г. А. О рациональных множествах в конечно порожденных нильпотентных группах//

Алгебра и логика. №.4, №39, 2000, 379 -394.

5

(векторного пространства Q" или R")kположительному виду.

2. Описаны положительные элементы группы Гейзенберга.

3.Доказано, что если в прямом произведении конечно порожденной разрешимой группы G с бесконечной циклической группой Z все рациональные подмножества образуют булеву алгебру, то группа G почти абелева.

1. Доказано, что если в конечно порожденной группе G, являющейся матричной группой или нильпотентным расширением абелевой группы, все рациональные подмножества образуют булеву алгебру, то группа G почти абелева.
2. Доказано,а чтоа рациональныеа подмножестваа 4-порожденных прямоугольных групп Коксетера образуют булеву алгебру.

Теоретическая и практическая значимость. Основные результаты диссертации носят теоретический характер и могут найти применение в дальнейших исследованиях рациональных подмножеств в группах.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на международной конференции Алгебра и математическая логика, посвященной 100-летию со дня рождения В.В. Морозова (г. Казань, 2011 г.), а также на Омском алгебраического семинаре.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в пяти работах ([1] - [5]).

Структура работы. Диссертация изложена на 66 страницах, состоит из введения, двух глав и списка литературы. Главы разбиты на параграфы, структурированные по пунктам. В работе принята следующая нумерация основных структурных единиц. Все определения и замечания имеют сквозную нумерацию. Также сквозную нумерацию имеют все теоремы, леммы. Каждая глава диссертации начинается с предварительного параграфа, где вводятся основные определения. Список литературы содержит 36 наименований.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

В первой главе приведены определения положительных элементов в группах и векторных пространствах. Даны необходимые понятия и факты об одновременном приведении элементов к положительному виду и о порождающих множествах произвольной нильпотентной группы. Основным результатом этой главы являются необходимые и достаточные условия одновременного приведения набора элементов свободной абелевой группы Ап (векторного пространства Q" или R") к положительному виду и описание положительных элементов группы Гейзенберга.

Сформулируем основные определения первой главы.

Пусть G - произвольная группа.

6

Определение 1. Если М произвольная часть группы G, то пересечение

гр(М) всех подгрупп содержащих М называется подгруппой,

порожденной множеством М. В этом случае М называется

порождающим множеством подгруппы гр(М). Элементы множества

М называются порождающими элементами подгруппы гр{М). В

частности, еслитоаа Маа называется порождающим

множеством группы G. Группа, обладающая конечным порождающим множеством, называется конечно порожденной. Если М подмножество группы G, то

гр(м)=\ ПУКМ' <=l'l=1'-'m r Х

Определение 2. Множество M элементов группы G называется минимальным порождающим множеством группы G, если любое собственное подмножество М' сМ порождает собственную подгруппу гр(М') группы G.

Определение 3. Порождающее множество М конечно порожденной группы G называется минимальным по числу элементов, если его мощность наименьшая среди всех порождающих множеств группы G.

Следующие определения введены А. Мясниковым и В. Шпильрайном в известном сборнике Open problems in combinatorial and geometric group theory нерешенных проблем в теории групп. Определение 4. Элемент и свободной группы Гп с фиксированным множеством свободных порождающих Хп={х1,...,хп) называется положительным элементом, если в редуцированной записи и в этих порождающих нет отрицательных степеней.

Определение 5.а Элементиназываетсяа потенциально

положительным, если он положителен в некоторой системе свободных порождающих Yn = \ух,..., уп\ группы Гп. Эквивалентно, если существует автоморфизм ф группы Гп такой, что и положителен относительно множества свободных порождающих ср[Хп)= {^(xj,..., <р(хп)}.

Мы будем говорить о положительных относительно множества Хп элементах и, соответственно, о положительных элементах группы Fn, опуская слово "потенциально". Более того, если дана произвольная конечно порожденная группа G с множеством ее порождающих элементоваа Хп = jxj,..., хв|, то элемента иаа группыаа Gаа будем называть

Baumslag G., Myasnikov A. G., Shpilrain V. Open problems in combinatorial group theory, second edition, from: "Combinatorial and geometric group theory (New York, 2000/Hoboken, NJ, 2001)", // Contemp. Math. 296, Amer. Math. Soc, 2002, Problem F34. 1-38.

7

положительным относительно Хп, если его можно записать как положительное (т.е. полугрупповое) слово от порождающих Хп. Как правило, мы будем выбирать в качестве Хп минимальное по числу порождающих элементов множество.

Соответственно, элемент и конечно порожденной группы G называется положительным, если существует минимальное по количеству элементов порождающее множество Хп группы G, относительно которого и положителен.

Пусть Ап - свободная абелева группа с множеством свободных порождающих (базисом) Вп = {&1,й2,...,йв}. Любой элемент а группы Ап однозначно записывается в виде

a = b^bk2>-..,bkn~, (1) где к1,к2,...,кп целые числа. Другими словами при фиксированном базисе Вп = уэ1,Ь2,...,Ьп) группы Ап юбой элемент представляется в виде набора (k1,k2,...,kn)eZn. Имеется естественный изоморфизм An-Z", при котором элементу а соответствует набор (к1,...,кп)Z" из (1). Определение 6. Элемент а группы Ап будет положителен относительно Вп, если соответствующий набор (к1,к2,...,кп) положителен, т.е. ?,. > О для всех /=1,2,...,и. Элемент а группы Ап будет положителен, если существует базис Вп, для которого а положителен.

Это определение можно естественно расширить до случая линейного

пространства Q" размерности п над полем Q рациональных чисел или R" над полем R вещественных чисел. В этом случае элемент a = \kl,k2,...,kn)А.Q" (или R") положителен относительно стандартного базиса, если к, > 0 для / = 1, ...,п.

емма 1. юбой элемент свободной абелевой группы Ап = Z" или векторных пространств Q" и R" положителен.

Также рассматриваем свободную абелеву группу An-Z"а с фиксированным базисом Bn=lpl,b2,...,bn), и её рациональное и вещественное пополнения Q" и R", соответственно. Определениеа 7. Будем говорить,аа чтоа набор элементоваа а1,а2,...,ак свободной абелевой группы Апа (одного из векторных пространств Q"

или R") одновременно приводится к положительному виду, если существует такой базис группы Ап (пространства Q" и R"), в котором все элементы ах,а2,...,ак положительны.

8

Эквивалентно,а набораа одновременноа приводитсяа к

положительному виду, если существует автоморфизм ср группы Ап (векторного пространства Q"а или R") такой, что элементы а1,а2,...,ак

положительны относительно базиса <р{Вп) = \(р\р), ...,<р(рп)}-Основные результаты первого параграфа первой главы. Определениеаа 10.аа Набораа элементоваа а1Уа2,...,акаа группыаа Ап~2" (векторногоаа пространств Q" илиаа R")аа называетсяаа положительно

at ж а. = 0, гдеаа at > О для всех г = \,...,к следует, что а, = 0 для всех г = \,...,к .

Здесь а. натуральные числа (соответственно, неотрицательные рациональные или вещественные числа). В противном случае набор элементов а1,а2,...,ак называется положительно линейно зависимым.

Заметим, что положительно линейно зависимый набор, ненулевых векторов, не может быть приведен к положительному виду. Действительно, положительные в некотором базисе ненулевые элементы, не могут быть положительно линейно зависимыми, и это свойство не зависит от выбора базиса.

Рассмотрим вначале случай векторных пространств. Теорем 2.аа Набораа ненулевыхаа элементов а1,а2,...,ак векторного

пространства Q" или R" одновременно приводится к положительному виду тогда и только тогда, когда он положительно линейно независим.

В доказательстве существенно используется теорема Хана-Банаха, относительно которой см., например Бержеаа .

Перейдем теперь к случаю свободной абелевой группы Ап. Теорема 3. Набор ненулевых элементов al,a2,...,akсвободной абелевой

группы Ап= Z" приводится к положительному виду тогда и только тогда, когда он положительно линейно независим.

Следующая часть работы посвящена описанию положительных элементов группы Гейзенберга.

Определениеаа 11.аа Пусть G группа.аа Нормальный ряд

\<...<Gn<Gn+l<....<Gназывается центральным, если все его факторы центральны, т.е любой фактор GM/Gi ежит в ZyG/GJ -центре фактор группы GIGr

Определение 12.16 Группа G называется нильпотентной, если она обладает центральным рядом конечной длины 1 = G0 <Gt < ...<Gn = G.

Очевидно, что подгруппы, фактор группы и декартовы произведения

15БержеМ. Геометрия Т-1//М.: Мир, 1984.

16 КаргаполовМ.И., Мерзляков Ю.И. Основы теории групп// 3-е изд., М.: Наука, 1982.

9

нильпотентных групп ступени не выше, чема к, также нильпотентны ступени не выше, чемаа к.аа Все такие группы по теореме Биркгофа образуют многообразие г\к.

Обозначим через Nrk свободную группу многообразия г\к ранга г . Она называется свободной нильпотентной группой ранга г ступени нильпотентности к.

Примерами нильпотентных групп служат конечные ^-группы, где р-простое число (см., например, [5]), и группы UTn(K) унитреугольных матриц над ассоциативным кольцом К с 1 размера п. Для определенности мы рассматриваем нижние унитреугольные матрицы, в которых по определению на главной диагонали стоят единицы, а выше нее - нули. Аналогично можно рассматривать группы верхних унитреугольных матриц, изоморфные соответствующим группам нижних унитреугольных матриц. Группы UTn (К) нильпотентны ступени п Ч 1. Нижним и одновременно верхним центральным рядом группы UTn(K) служит ряд иТп(К)>иТ^К)>...>иТпк(К)>...>ит:-\К) = 1, где UT'n (К) состоит из всех матриц, в которых первые i побочные диагонали

нулевые.

Среди групп унитреугольных матриц выделяется группа UT3 (Z), которая называется группой Гейзенберга. Группа UT3(Z) изоморфна группе N22. В качестве свободных порождающих группы UT3 (Z) можно взять стандартные трансвекции t2l и t32. Центр группы UT3(Z) -бесконечная циклическая группа, порожденная трансвекцией t3l. юбой элемент g группы UT3(Z) однозначно представим в виде g =t2\t3%t3l, где kl,k2,k3e Z.

Рассмотрим группу UTn(Z). Определим матрицы вида ti,\fx) = e + aeiJ, для любого а2. Мы также называем такие матрицы трансвекциями. В частности, t = ty (l) (z ф j). Здесь ey означает матричную единицу, т.е. матрицу, у которой на пресечении г -й строки и j -го столбца стоита 1,а а на остальных местах 0.а Легко видеть, что

ttJya) = ta для а Z. Также Да)г\Д/?)= Да + р) для а,/3 eZ.

Групповые операции над трансвекциями определяются только что приведенными соотношениями и известными формулами умножения матричных единиц: etJeJk = eik,а etJeek = 0, при j ф .

Говоря о порождающих множествах произвольной нильпотентной группы G, отметим следующий факт.

17 Биркгоф Г. Теория структур// М.: 1952.

10

емма 2. Множество элементов порождает нильпотентную группу G тогда и только тогда, когда образы этих элементов порождают абелеву фактор группу GIG'.

Отсюда следует, что минимальное порождающее множество нильпотентной группы G соответствует минимальному порождающему множеству фактор-группы GIG'.

Для группы UTn(Z) минимальное порождающее множество состоит из п Ч \ элемента. В часности, группа UTn(Z) порождена трансвекциями ti+l г, ;' = 1,...,и-1. Матрицы Al,...,An_lGUTn(Z) составляют минимальное порождающее множество группы UTn(Z) тогда и только тогда, когда матрица размера (и-)х(и-), составленная из элементов их 1-х побочных диагоналей обратима над Z.

Если G = Nrk - свободная нильпотентная группа ранга г ступени к, то NrkIN'rk есть свободная абелева группа Д. ранга г. Поэтому минимальное порождающее множество группы Nrk состоит из г элементов множества свободных порождающих группы.

Далее мы дадим полное описание элементов группы Гейзенберга G, положительных относительно стандартных множеств порождающих элементов. Мы называем систему gx, g2 порождающих элементов группы Gаа стандартной,аа еслиаа он имеетаа вид gl=t2l(s^),аа g2=?32(г2,hаа где

s^fi^ll-l}.

(I Оаа (Л

емма 3.аа Элемент gr (т, /) =

группыаа G, где т,1^0,

т 1 О

г / 1,

является положительным относительно одной из систем стандартных порождающих, тогда и только тогда, когда г находится в замкнутом интервале с границами 0, ml.

Перейдем к рассмотрению положительных матриц относительно произвольных минимальных порождающих множеств.

Теорем 4.а юбаяа матриц gr{m,l)&Gаа приаа Ы +1/1^0аа является

положительной.

Во второй главе рассмотрены конечно порожденные матричные группы и нильпотентные расширения абелевых групп, а также прямоугольные группы Коксетера.

Определение 13. Пусть М - произвольный моноид (полугруппа с единицей). Тогда рациональные подмножества моноида М определяются по следующим правилам:

КаргаполовМ.И., Мерзляков Ю.И. Основы теории групп// 3-е изд., М.: Наука, 1982. 19 Баженова Г.а А.аа Оа рациональныха множестваха ваа конечноа порожденныха нильпотентных группах// Алгебра и логика. Т.4, №39, 2000, 379 - 394.

11

1)Конечные подмножествам являются рациональными.

2)Если множества Rа иа S рациональны, то их объединение R U S,

произведениеRS,атакжезвездноезамыканиеR* = {l}[j[jRi

являютсяа рациональными.аа (Заметим,аа чтоаа R*аа -а этоаа подмоноид,

порожденный R.)

3)Всякое рациональное множество получается из конечных множеств

с помощью конечного числа операций, описанных в пункте 2).

В частности, если М - это конечно порожденный свободный моноид, то рациональные подмножества М называются рациональными языками (а произвольные множества М - формальными языками).

Утверждение 1 Пустьа Gа - группа, и рациональные подмножество R^G содержится в подгруппе Н <G. Тогда R рационально в Н.

Будем в дальнейшем говорить, что группа является RSBA-группой (или обладает свойством RSBA), если её рациональные подмножества -булева алгебра. Предложение 1.

1. Конечные группы обладают свойством RSBA. (очевидно.)
2. Класс RSBA-групп замкнут относительно свободного произведения21
3. Почти RSBA-группа является RSBA-группой.

В частности, свободные группы принадлежат данному классу

Приведем несколько утверждений 2, 3, 4, 5, на которые мы будем в дальнейшем опираться, при получении основных результатов Теорема 5, Лемма 4, Теорема 6.

Утверждение 2. Пусть G - группа, и подмножество R^G рационально. Тогда подгруппа порожденная множеством R, также является рациональным подмножеством G .

Следующийаа факт,аа показывает,аа чтоаа приаа поискеаа групп,аа классы рациональныха подмножестваа которыха являютсяаа булевымиа алгебрами, достаточно ограничиться рассмотрением конечно порожденных групп. Утверждение З.22 Пусть G- группа, и Н <G ее подгруппа. Тогда Н является рациональным подмножествома Gаа в том и только в том случае, когда Н конечно порождена. В частности, если рациональные подмножеств G -аа булев алгебра,аа то G = G\@Ча рациональное подмножество G, и потому конечно порождена. Следующее утверждение является следствием утверждений 1 и 3. Утверждение 4.22 Пустьаа Gаа - группа,аа иа Н<Gаа ее подгруппа.а Если

Баженова Г. А. О регулярных множествах в группах// Kurosh Algebraic Conference '98, МГУ, Москва, 1998,137-138.

21 Roman'kov V. A.а On the occurrence problem for rational subsets of group// Международная

конференция "Комбинаторные и вычислительные методы в математике". - Омск, 1999, 235 - 242.

22 Oilman R.H. Formal Languages and Infinite Groups// DIMACS Series in Discrete Mathematics and

Theoretical computer science, AMS. - 1996, v. 25, 27-51.

12

рациональные подмножества G образуют булеву алгебру, то и рациональные подмножества Н образуют булеву алгебру.

Следующее утверждениеа содержит ва себеа сводкуа результатова о разрешимыхаа группах,аа классыаа рациональныхаа подмножестваа которых являются булевыми алгебрами. Утверждение 5.

1. Пусть G - полициклическая или конечно порожденная метабелева (в частности конечно порожденная нильпотентная) группа, рациональные подмножества которой образуют булеву алгебру. Тогда G почти абелева.
2. Если группа G - почти абелева, то ее рациональные подмножества - булева алгебра.

Теорема 5. Пусть G Ч конечно порожденная разрешимая группа, и рациональные подмножества прямого произведения GxZ Ч булева алгебра. Тогда G почти абелева.

Следующая Лемма 4 используется для доказательства Теоремы 5. емма 4.аа Пустьаа (ва контекстеа доказательстваа даннойа теоремы) группа Ма с условием Н' <М <На локально почти абелева, иа g еП.

Тогда группа Ml =<М, g >а локально почти абелева. Утверждениеа 6а (следствие теоремы 5) Если конечно порожденная разрешимая группа G разлагается в прямое проезведение G = GlxG2, где обе группыа Glаа иа G2аа бесконечны,а и рациональные подмножества группы G - булева алгебра, то G почти абелева.

По поводу Теоремы 5 также заметим, что, по Утверждению 4, условие рациональные подмножества GxZ Ч булева алгебра влечет условие рациональные подмножества G - булева алгебра. Теорема 6. Пусть G Ч конечно порожденная разрешимая группа, рациональные подмножества которой являются булевой алгеброй, и пусть существует такая нормальная абелева подгруппа А группы G, что GIA нильпотентна. Тогда G почти абелева.

Теорема 7. Пусть G Ч конечно порожденная разрешимая подгруппа матричной группы GLn{Q), где Q Ч поле характеристики ноль, и рациональные подмножества группы G Ч булева алгебра. Тогда G почти абелева.

Сформулируем для дальнейшего использования несколько базовых фактов о группах Коксетера.

Баженов Г.аа А.аа Оаа рациональныхаа множествахаа ваа разрешимыхаа группах.аа Кандидатская диссертация//Омск: ОмГУ, 1999.

24 Баженова Г.а А.аа Оа рациональныха множестваха ваа конечноа порожденныха нильпотентных группах// Алгебра и логика. Т.4, №39, 2000, 379 - 394.

13

Определение 15. Группа Коксетера - группа с отмеченной системой образующихаа < х. | е I >аа допускающаяаа определяющуюаа систему

соотношений [x^Xjp = 1,аа i,j , где пи=\ (так что х] =1 при любом г)

и щ =пц приаа Ф jаа - целое числоаа > 2аа илиаа goаа (в последнем случае

соотношения между xt и х; нет).

При этих условиях щ совпадает с порядком элемента хгх;.

Если щ= 2, то хг и Xj коммутируют.

Обозначим символом Chnа п Ч порожденную прямоугольную группу

Коксетера, заданную диаграммой, которая представляет собой цепочку. Определение 16.аа Прямоугольнойаа группойаа Коксетер называется группа, заданная конечным представлением следующего вида:

G =<xl,...,xn\x1i =\, ;' = 1,...,и; х.х^. = xJxi, {;,7'}/>, где I -произвольно заданное множество пар индексов i, j таких, что \<i,j<nи Ф j.

Предложение 2.

1) Геодезическими в графе Кэли для канонического представления

прямоугольной группы Коксетера < X \ R > являются те и только те

слова, которые не содержат подслова вида abv..b,a, />0, где a, Ь X - порождающие буквы, и для каждого 1 < z < / представление группы < X | R > содержит соотношение abi = Ър. (Геодезическая -это кратчайшее из слов, представляющих некоторый заданный элемент группы.)

1. Две геодезические в < X \ R > представляют один и тот же элемент группы тогда и только тогда, когда одна получается из другой серией перестановок соседних букв, коммутирующих друг с другом согласно соотношениям из R.
2. Если < X | R > - каноническое представление прямоугольной группы Коксетера, и 7cJ, то подгруппа, порожденная Y, изоморфна < Y | R' >, где множество соотношений R' получается из R удалением всех соотношений, содержащих буквы, не принадлежащие Y.
3. Пусть <AkjB\R>-каноническое представление прямоугольной группы Коксетера, причем АгВ = 0, и Аф0 фВ. Если каждая буква из А коммутирует с каждой буквой из В согласно соотношениям R, то данная группа изоморфна прямому произведению подгрупп, порожденных множествами А и В.

5)а Пусть <AkjB\R> - каноническое представление прямоугольной

группы Коксетера, причем АгВ = 0, и Аф0фВ. Если никакая буква из

А не коммутирует ни с какой буквой из В согласно соотношениям R, то

данная группа изоморфна свободному произведению подгрупп,

порожденных множествами А и В.

14

В данной главе рассматриваются рациональные подмножества 4-порожденных прямоугольных групп Коксетера.

Рассмотрим группу Ch4, порождающие которой будем обозначать буквами a, b,c,d:

Ch4 =<a,b,c,d\a2 = b2 =c2 = d2 =\;ab = ba, be = cb, cd = dc>. Существует естественный гомоморфизм <p : \a, b, c, d\ Ч> Ch4. Вначале мы построим рациональный языкаа L^\a,b,c,d\ , такой что Ф : L Ч> Ch4 - биекция.

Определение 18. Словом вида (1) назовем произвольное слово, принадлежащее языку \, сдас) а.

Словом вида (2) назовем произвольное слово, принадлежащее языку {s,bfdbjd.

Словом вида (3) назовем произвольное слово, принадлежащее множеству {s,b,c,bc\.

Словом вида (*) назовем произвольное слово, имеющее вид wl ...wna, где п > О, а - слово вида (3), а каждое слово wn i = \,...,п, имеет вид (1) или (2), причем либо все wj с нечетными индексами i имеют вид (1), а все wj с четными индексами i имеют вид (2), ибо наоборот, слова wj с четными индексами имеют вид (1), а слова wi с нечетными индексами

имеют вид (2). Язык L с {а, Ъ, с, d) - это язык, состоящий из всех слов вида (*). Предложение 3.

1. юбое слово вида (*) - геодезическая в Ch4.
2. Отображение <p:L^> Ch4 является отображением "на".
3. Если два слова u = wl...wnco, и v=w[...w'ka', вида (*) равны, то n = k, wl=w[,...,wn=w'n, Ф=(0'.
4. Если два слова и и v вида (*) различны, то ср\и)^ср\у).
5. Язык L рационален, и <p:L^> Ch4 - биекция.

Сформулируем и докажем несколько утверждений о приведении слов языка {а, Ъ, с, d\ к некоторому стандартному виду так, что задаваемый словом элемент группы при этом не изменяется.

емма 5.а 1) Если R с {а, Ъ, с) - рациональный язык, то существует рациональный язык R' с {а, с) {е, b) такой, что (p(R) = (p(R'). 2) Если R с {&, с, d\ -рациональный язык, то существует рациональный язык /?'с{&, d\ {s,c} такой, что q>\R) = q>\K).

15

емма 6. 1) Если R с {а, с) {s, й} - рациональный язык, то существует рациональный язык R' с \, сдас) {?,а}|5,й} такой, что cp{R) = cp{R'). 2) ?сли йср,б/}{г,е} -рациональный язык, то существует такой рациональный язык R' <^{s,b\db)*\s,dfe,c}, что <p(R) = <p(R'). емма 7. 1) Если R с \s,b}\db) (, d]{s,c} - рациональный язык, то существуют такие рациональные языки R1,R2,R3,R4,R5, что R=Rl\JR2bUR3cURfb[jR5, и языки Rj, i = 1,2,3,4, состоят из слов вида (1), ай,с {s, Ъ, с, cb).

2) Если R с {?,сдас) {, ад?,й| - рациональный язык, то существуют

такиеа рациональныеа языкиаа R1,R2,R3,R4,R5,что

R=Rl\JR2b[jR3c[jR4bc[jR5, и языки Rj, i = 1,2,3,4, состоят из слов вида (2), аЛ5с {, й, с, be].

Теорема 8. Пусть язык R с {а, й, с, d\ рационален. Тогда существует такой рациональный язык R', состоящий из слов вида(*), что <p(R') = <p(R).

Предложение 4. Класс рациональных подмножеств группы Ch4 является булевой алгеброй.

Публикации автора по теме диссертации

\У\Юрак О А. Об одновременном приведении элементов абелевых групп к

положительному виду// Вестник Омского университета №3, Омск, 2006, 18-20. \1\Юрак О А. Об одновременном приведении элементов абелевых групп к

положительному виду II// Вестник Омского университета №4, Омск, 2006, 15-16. [3]Юракаа О А.аа Положительныеаа элементыаа группыаа Гейзенберга.аа Positive

elements of the Heisenberg group are completely described// Вестник Омского

университета №2, Омск, 2008, 16-18. [4] Воронинаа О.А.аа Оа рациональныха подмножествах разрешимыха групп//

Материалыаа международнойаа конференцииаа Алгебр иаа математическая

логика, Казань: КФУ, 2011, 69-70. [5] Воронинаа О.А.аа Оа рациональныха подмножествах разрешимыха групп//

Вестник Омского университета №2, Омск, 2011, 19-23.

16

     Авторефераты по темам  >>  Разные специальности - [часть 1]  [часть 2]