Все научные статьи
Сергеев И.Ю., Ященко А.К. Расчет электрических токов и полей сферически-симметричной ударной волны в ионосферной плазме
Научная статья
Электронный журнал ИССЛЕДОВАНО В РОССИИа 504
Расчет электрических токов и полей сферически-симметричной ударной волны в ионосферной плазме
Сергеев И.Ю. ( fje@beep.ru ), Ященко А.К.
Институт земного магнетизма, ионосферы и распространения радиоволн РАН (ИЗМИРАН)
Рассмотрена задача о генерации ударной волной и распространении электромагнитного импульса в однородной ионосферной плазме. Получено выражение для электрических токов, вызываемых ударной волной расширяющегося сферически-симметричного поршня. Эти токи являются источником электромагнитного излучения, распространяющегося в ионосферной плазме. Проведен расчет пространственно -временного распределения этого излучения. Показано, что электромагнитное поле перед фронтом ударной волны в основном распространяется вдоль линий магнитного поля в виде квазигармонического импульса внутри конуса с осью, совпадающей с линиями поля. Вне конуса поле распространяется по закону диффузии.
1.а Введение.
Функционирование космической техники и аварийные ситуации на ней сопровождаются процессами взрывного типа на высотах ионосферы, генерирующими электромагнитные возмущения. В настоящее время эти возмущения рассматриваются как фактор экологического воздействия на околоземное космическое пространство [1]. Процессами, моделирующими подобные воздействия, являются активные эксперименты в ионосфере, например, со взрывной инжекцией легко ионизируемых веществ [2-5]. При проведении этих экспериментов в ионосфере за пределами возмущенной области наблюдаются низкочастотные электромагнитные импульсные сигналы с амплитудой до 100-200 мВ/м. Значительные возмущения электрического поля зарегистрированы лишь в тех случаях, когда измерения проводились вблизи той силовой линии магнитного поля Земли, которая проходила через точку подрыва. Расчет электромагнитного импульса ударной волны взрыва в слабоионизованной плазме с анизотропной проводимостью был проведен в работе [6]. Для расчета тока за фронтом ударной волны в этой работе использована полуэмпирическая модель возмущения термодинамических параметров газа, в котором проводимость Холла много меньше проводимости Педерсена. Показано, что поле распространяется по закону диффузии в магнитной силовой трубке с поперечным размером, совпадающим с диаметром сферической ударной волны. В нижней ионосфере величина проводимости Холла одного порядка или превышает значение проводимости Педерсена. Анализ импульсной функции электромагнитного поля в этой области ионосферы, проведенный в работах [7-10] показал, что возмущение распространяется в виде волнового пакета. Ниже проведен расчет пространственно-временного распределения электромагнитного поля на высотах нижней ионосферы перед фронтом ударной волны на основе полуэмпирической модели ее распространения, приведенной в работе [6].
2.а Электрический ток за фронтом ударной волны.
Подрыв взрывчатого вещества сопровождается разлетом продуктов взрыва. Так как их плотность много больше плотности разреженного газа, то поверхность продуктов взрыва является расширяющимся сферическим поршнем. При своем расширении поршень формирует ударную волну в результате перемещения сжатых слоев воздуха между его поверхностью и фронтом ударной волны. Согласно модели формирования ударной волны, возникающей в результате разлета продуктов взрыва произведенного в момент времени t= 0, плотность р и давление р газа за ее
фронтом определяются выражениями [6]:
Электронный журнал ИССЛЕДОВАНО В РОССИИа 505
рф=р^ + 2/{(1 + Г)М^г
Рф= [lPlD2 /(у +1)1 -(у- \)/2уМ\,
Z = r/R,г0(t) = Rl/R = 2(l-l/M%r + i),
где: Рф и рф - плотность и давление газа на фронте ударной волны, рх - плотность газа в невозмущенной области, у - показатель адиабаты, М = D/ Сзв - число Маха, сзв - скорость звука, г -расстояние от точки взрыва. Радиус Rи скорость Dфронта ударной волны определяются равенст-
вами:
1аа IIаа ,аа 8 (3-r) Х5аа *'1+3]l47J |
R= RH{1 +1(\ + к) DH /RH}Ж1+к) ,D = DH{RjR)\k = \
где обозначено: RH,DH- соответственно начальные радиус и скорость фронта ударной волны.
Эксперименты показали [11,12], что слои воздуха, заключенные между фронтом УВ и контактной поверхностью продуктов взрыва движутся как единое целое со скоростью, равной скорости поршня и [6]:
\-\ |
и = |
2Dаа ,аа ..
М' |
(2)
у + \
Электрический ток_/а за фронтом ударной волны возникает в результате движения со скоро
стью и проводящего возмущенного газа в магнитном поле Земли В. В цилиндрической системе
координат (р, ф, z) с осью z, направленной вдоль магнитного поля, компоненты тока определяются
выражениями [14]:
jp= н (иВо /c)sm(0), уф = а-р (иВ0 /c)sin(e), j2=0,(3)
где ор, Он - проводимости Педерсена и Холла ионосферной плазмы за фронтом ударной волны, с - скорость света, в - угол между направлением магнитного поля Земли и радиус-вектора. Для расчета возмущенных проводимостей ор и о# воспользуемся равенствами [13]:
in |
стр = e2N
_________ с_______ аа .___________ ш_______
(4)
сгя = e2N
где е, m- заряд и масса электрона; N - плотность электронов; М - средняя масса ионов; а>н -арморовская частота электронов, Он - усредненная ларморовская частота ионов; ve- эффективная частота соударений электронов с ионами и молекулами; vin- частота соударений ионов с молекулами. За фронтом ударной волны величина частот столкновений частиц и плотности электронов определяется параметрами возмущенного газа. Так как частота столкновений пропорциональна корню квадратному из температуры, имеем:
\р<?)№ |
\ Р<?) Р<?) |
N = N, |
Р(&
(5) |
V = V1 т еа т е\ |
Vа = V- 1
ш ml-
Pi PiV Pi PiA
где vei, VjДi ,Ninpi- значение соответствующих величин в невозмущенной области.
На рис. 1 представлены графики зависимости от ? проводимостей ан и ар, рассчитанные по формулам (4) и (1, 2, 5). Расчеты проводились для различных высот: 100 км, когда в невозмущенной области максимально отношение <JhoI<Jpo(оро=5,1*10 с" , о#о=2,3*10 с" ) 130 км, когда в невозмущенной области отбора (о>о=2,2*10 с" , о#о=2,3*10 с" ), 160 км, когда в возмущенной об-
Электронный журнал ИССЛЕДОВАНО В РОССИИа 506
асти Он^Ор (в невозмущенной области о>о=1,0*10 с" , о#о=1,8*10 с" ) и 200 км, когда в невозмущенной области ОноОро (сгр0=3,6*105с"1, Ояо=1,6*104с"1). Для построения графиков выбраны следующие значения: DH=\Oc3ei5o (c3ei50=595,24 м/с - скорость звука в невозмущенной области на высоте 150 км), Rh=\m, t=2RH/DH, 6= Till. <Уро,Сно - соответственно педерсеновская и холловская проводимость в невозмущенной области.
-1
0.7а 0.8а 0.9а 1.0аа ?
Рис. 1. Зависимость проводимостей плазмы внутри области охваченной ударной волной от
расстояния.
Расчеты показывают, что возмущение проводимости локализовано в достаточно тонком слое вблизи поверхности фронта ударной волны. Подставляя (4) и (2) в (3), получим выражения для компонент электрического тока в возмущенной области за фронтом ударной волны:
*.2(0а b?(t)
sin в |
jp(<?, в, t) = еК1СзвМ(\ - <?0 (t)/tfa{t)
sin в |
j^^t)=eNlCJ^(l-^(t)/^a(A
[(1-6, (t)/гf+ Ъ] (t)аа (1 - <?0 (t)/tf+ bf(OJ где a(t), be(f), bj(t) - безразмерные коэффициенты, зависящие от времени.
е\ |
*.'(')=
у-\аа [i_2(l-M-2)/V + l| '
' 'аа ГРх(Wo)2(r2-0
0.81c32e A (l-у + 2уМ2)^ + у + 2М~2)
*?(')=
1аа урх |
Q |
(l-^o)2(r2-l)
v?! 0.8k32e A (l-r + 2rM2j(l + r + 2M-2) '
Электронный журнал ИССЛЕДОВАНО В РОССИИа 507
м=м.
м
R
-{k + \)cJ+ \
к+\
MH=DH/c3e- начальное число Маха.
Полученное распределение плотности тока за фронтом ударной волны свидетельствует о том, что ток сосредоточен в достаточно узком слое вблизи ее фронта. Это позволяет заменить распределение тока по радиусу его средним значением, определяя поверхностную плотность тока fравенством:
R
j(r,0,t)* S(r-R(t))jj(r,0,t)dr = S(r-R(t))j'(0,t).(6)
Данный интеграл считается точно, однако из-за громоздкости результата приводить его не будем.
0.5 0.4 0.3 |
фа 'аа 150 зл' -IJ(eNc ) j) 'а 150 зв' |
200 км |
|
0.2 |
|||
0.1 |
"Ч |
1 1 |
iа i |
0.5 |
160 км |
||
0.4 |
|||
0.3 |
|||
0.2 |
i_^ЧV |
||
0.1 |
~~~"А |
1 1 |
iаа i |
0.5 0.4 0.3 |
S f * _ / |
ъ 1 у |
130 км |
0.2 |
1 |
||
0.1 |
\l \| 1 \а 1 |
i i |
|
0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 |
100 км |
||
I",--*** |
,-''' |
\ ч \ |
|
------ 1------------------ 1-- |
,аа \ |
0 50аа 100а 150а 200 Т
Рис. 2. Зависимость тока ударной волны, проинтегрированного по толщине слоя, от безразмерного
времени.
На рис. 2 представлены зависимости у''ри у \ от безразмерного времени r=t/(RH/DH) на тех же высотах, что и на рис. 1. Графики были построены npnDH=\Oc3elso-, 9=п12\ за Njsoобозначена концентрация электронов в невозмущенной области на высоте 150 км.
3. Электромагнитный импульс ударной волны взрыва в нижней ионосфере.
Для расчета возмущения магнитного поля В и электрического поля Е, генерируемого в ионосферной плазме электрическим током jформируемым за фронтом ударной волны взрыва, воспользуемся квазистационарными уравнениями Максвелла:
rotE =а ,а rotB = Ч (6Ё + j) , divE = 4:ре
с ctс
где j- сторонний ток, <т - тензор проводимости ионосферной плазмы, ре - плотность электрического заряда, с - скорость света. Элементами тензора являются <т,,, <7Р и <7Н - продольная
Электронный журнал ИССЛЕДОВАНО В РОССИИа 508 -а \да 3 -
лам: h=--------- , в = rotA. Компоненты потенциала определяются интегралами:
Сdt
tСОаа СО
Д(Аz,0 = \dt'\dp'\dz'Gl}(Аp\z-z\t-1%(//,z\Оа ,а (7)
Чсоа 0а Чсо
где функция Грина G. представляет собой матрицу, элементы которой определяются равенством:
00 00
c\i+ ё )а о о
В формуле (7) обозначено: r/(t) - единичная функция, J] - функция Бесселя первого порядка. Индексы /', jпробегают значения /?, ф. Элементы матрицы Mt, определяются выражениями:
Mpp=CosQt + [v(k2+r2)-T]Sl^, MM=cosQt + [^2-T]SmQt
рфф
где
(а ^а sinQA
cosilt-Г-----------
Qаа J
Q^=Щ------------ 2W4*<g(rz+n-r\T(y,k) = Ч-- j-(^+2^)
2(1+ g ) 2(1+ g )
C2 <7H
A7l<Jpа <7p
В работе [7] показано, что выражение для Q при вычислении интегралов можно заменить ее
g2аа гЧ2---------- ------------------------ С2
приближенным значением:аа , где JU=-------- . Стоит заметить, что в
1 + gа 4;г<тя
пределе при g^>oточное выражение для Q равно приближенному, в остальных случаях (например, при g=0) использование приближенного выражения в интегралах функции Грина дает метод "перевала". Использую приближенное выражение можно представить функцию Грина в виде:
GtJ(j>,p',z,t) =а Уа р'ф)Кц ,
<1 + Г)
где элементы матрицы К- определяются равенствами:
v\ + 2g2v
Крр =НХ+ vH2 +--------- ЧЯ3 , Кфф =НХ+ vH2 - ЧЧЯ3 ,
2 g22g2
VV
Крфа = ~Кфр = ~gHl +~H2 +ЧН3-
g2g
В этих равенствах величины Н1,Н2,Н3 представляют собой интегралы:
Электронный журнал ИССЛЕДОВАНО В РОССИИа 509
_у=с
Нх = \drrJArPpArp')^ 2(1+g2) \dkcos(kz)codn*tkjk
о 0аа v
2+r2
vKk2
1+g2
1 ooа vtД2 oo sm
Я2=-р;к;к^;к/?УД;к//)? 2(lV)аа JdfcA:cos()b)Ч
p-^tkJk2+r2
г2V
w,jt2
i+g2
Jl^cc |
sin ju-^tkJk2+r2
Я3 = - fdyy3Jl{yp)Jl{yp,)a 2(1+g2) fdkcos(kz)-
0 |
kJk2+y2
v\k2
i+g2
(8)
Представляя в выражениях (8) cos(Az) бесконечным рядом Маклорена, производя интегрирование по частям и дифференцирование по параметру и последовательно воспользовавшись табличными интегралами 00 |
\ |
хехр |
1х2 + с2 |
О |
-\ |
х2 +с2 |
ы
'U |
х2 +с2 -с
COS
(ах)иХ
lДJj3 + Ja2+j32
a2 +J32
ехр
cJa2 +J32
(9)
JVv^V^/^cV^t = i/^)exp(-^) (// - модифицированная функция Бесселя по-о
рядка /) из [15] получаем точные значения величин Hi, Н2, Н3 . В результате функция Грина имеет вид:
Ф + g2)а {Jit) |
^а /а 1аа ча v'2;rvаа ,аа /7(0
GlJ(p,p\z,t) = Ч-------- -р'-^х
1 j п in)\-Lii |
Xt)а (2n)\J^lJ A/g4x |
х
00
I
и=0
r-x+j' ^аа д/g +x -x+yJу2I
2а 2 g +x -x+y
(10)
где L"jj- инейный оператор, действующий на функцию следующим образом:
дп |
дх |
х=1
+5,
-е-(s,x)f(g,x,l)
х=1
-с;
И
дх ду
*=;у=1
при п > 1,
4 /(g, *, зО = А1]?+ (g,l)/(g,l,l) + ?, <р_ (g,l)/(g,l,l)
д
dg' |
+ c^_(g'X\j-f(g'Xy)
у=\
+
_ vVg2+-*2-* |
гдеаа обозначено: у/+ (g, х) = yyf^ ^, Арр=\, Ан=\, А^ = -Афр = -g, B^=g,
l+2g2 |
_\а 1-е2аа <*р |
В. |
-с |
t-фф _l/g' ^ 1 |
'аа Фр ^ж'^рр |
8,Bt
4* Wh |
Как видно из выражения (10) полученная функция Грина представлена рядом, сходящимся при
Электронный журнал ИССЛЕДОВАНО В РОССИИа 5 ю
юбых значениях t, р, z. Компоненты потенциала электромагнитного поля произвольного осесим-метричного тока определяются формулами (7) и (10).
Анализируя выражение (10) можно заметить, что функция Грина имеет вид:
Р |
/ |
G, |
t |
t |
7/(0
t |
Аж^а^ |
+<Тр |
+<Тр |
An^o\j
4я^<тн+<тР
tи убывать по амплиту- |
w |
из которого следует, что пространственное распределение поля будет растягиваться от начала координат с течением времени, со скорость пропорциональной
<Ун+<Ур |
Га ------------- ^3
t |
Такое же поведение поля будет наблюдаться при |
де обратно пропорционально
+(jД |
^{ojj
больших расстояниях или временах при свертке функции Грина с токами, ограниченными по времени. Отметим, что временные характеристики поля зависят от проводимости Холла и Педерсена симметричным образом. Из формулы (10) так же следует, что амплитуда функции Грина убывает
Аналогичное поведение |
при удалении от оси Z пропорционально ехр
2а Чf----- 1
будет наблюдаться и при свертке функции Грина с пространственно ограниченными токами.
Электромагнитное возмущение, создаваемое ударной волной, определяется сверткой (7) функции Грина (10) с током (6). Расчет свертки (7) производился численно. Использовалась сферическая система координат: r = ра +Z, 6 - угол между Г и осью Z.
Рис. 3. Пространственное распределение электромагнитного возмущения ударной волны.
На Рис. 3 приведено пространственное распределение поля. Видно, что сферически-симметричная ударная волна генерирует в ионосферной плазме электромагнитные возмущения, характер распространения которых существенно меняется в зависимости от угла между направлением распространения и магнитным полем. В интервале углов 0< 9< 30а поле переносится волно-
Электронный журнал ИССЛЕДОВАНО В РОССИИа 511
вым пакетом, имеющем резко выраженный осциллирующий характер. С увеличением угла количество осцилляции в волновом пакете убывает, а на экваторе при 0 =90 поле представляет собой одиночный импульс, который расплывается согласно законам диффузии. Численные расчеты показали, что частота в электромагнитном возмущении растет с уменьшением угла между Г и осью Z, а степень затухания падает. Это иллюстрирует Рис. 3. Так же расчеты показали, что с уменьшением угла возрастает фазовая скорость волны. Всё это позволяет говорить о каналировании импульса в окрестности магнитной силовой линии, пересекающей начало координат.
Заключение.
Рассмотренная в работе модель возмущения ионосферы продуктами взрыва позволяет находить закономерности движения ударной волны и распределение газодинамических величин за ее фронтом в зависимости от высоты взрыва, начального числа Маха и начального радиуса. При взрыве в ионосфере образующаяся ударная волна приводит к возмущению проводимостей Холла и Педерсена ионосферной плазмы. При этом формируются две токовые системы: незамкнутая, связанная с возмущением проводимости Холла, и замкнутая, связанная с возмущением проводимости Педерсена. Эти токи являются источником электромагнитного возмущения, распространяющегося в ионосферной плазме перед фронтом ударной волны. Характер его распространения существенно зависит от угла между направлением распространения и магнитным полем. При малых углах поле переносится волновым пакетом. С увеличением угла количество осцилляции в волновом пакете убывает. В экваториальной плоскости поле представляет собой однополярный импульс, который расплывается согласно законам диффузии. Частота осцилляции возрастает с уменьшением угла, а затухание поля убывает. С уменьшением угла возрастает фазовая скорость волны. Все это свидетельствует об эффекте каналирования распространяющегося электромагнитного поля в окрестности магнитной силовой линии, пересекающей начало координат.
Работа выполнена при частичной поддержке РФФИ (гранты №99-05-65650 и №01-05-06109)
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
- Адушкин В.В., Козлов СИ., Петров А.В. Экологические проблемы и риски воздействий ракетно-космической техники на окружающую природную среду // М.: Анкил, 2000.
- Holmgren G., Bostrom R., Kelley М.С. et al. Trigger, an Active Release Experiment that Stimulated Auroral Particle Precipitation and Wave Emission // J. Goephys. Res. 1980. V. 85. № 10A. P. 5043.
- Kelley M.C., Fahleson U.V., Holmgren G. et al. Generation and Propagation of an Electromagnetic Pulse in the Trigger Experiment and its Possible Role in Electron Acceleration // J. Goephys. Res. 1980. V. 85. № 10A. P. 5055.
- Marklund G., Brenning N., Holmgren G. et al. On transient Electric Fields Observed in Chemical Release Experiments by Rockets // J. Goephys. Res.а 1987. V. 92. № 5A. P. 4590.
- Schutz S., Adams G.J., Mozer F.S. Probe Electric Field Measurements Near a Midlatitude Ionospheric Barium Releasesа //а J. Goephys. Res.а 1973. V. 78. № 28. P. 6634.
- Метелкин E.B., Сорокин B.M. Возмущение электрического и магнитного полей ударной волной в средней ионосфере //Космические исследования, 1996. Т. 34. № 3. С. 264.
- Сергеев И.Ю., Сорокин В.М., Ященко А.К. Низкочастотное излучение осесимметричного тока в ионосферной плазме // Известия ВУЗов. Радиофизика, 2000. Т. 43. № 8. С. 688-695.
- Сергеев И.Ю., Сорокин В.М., Ященко А.К. Импульсное электромагнитное поле аксиально-симметричного тока в нижней ионосфере // Труды XII Всероссийской школы-конференции по дифракции и распространению волн. Российский новый университет. Москва. 2001. Т. 2. С. 427-428.
- Сорокин В.М., Ященко А.К. Распространение импульсов низкочастотных электромагнитных волн в ионосферной плазме // Известия ВУЗов. Радиофизика, 1992. Т. 35. № 5. С. 375-380.
- Sergeev I.Yu., Sorokin V.M., Yaschenko А.К. Low-Frequency Radiation from an Axisymmetric Current in an Ionospheric Plasma // Radiophysics and Quantum Electronics, 2000. V.43. № 8. P.619-
Электронный журнал ИССЛЕДОВАНО В РОССИИа 512
Все научные статьи