Все научные статьи
Четырбоцкий А.Н. Геохимический процесс минералообразования как динамика системы типа ресурс-потребитель
Научная статья
Электронный журнал ИССЛЕДОВАНО В РОССИИаа 1257аа Геохимический процесс минералообразования как динамика системы типа ресурс-потребитель
А. Н. Четырбоцкий Дальневосточный геологический институт ДВО РАН,г. Владивосток
Введение
Традиционный методический инструментарий для исследования формирования и эволюцииа геохимических сообществ минералов основан на принципах термодинамики. Для его конкретного практического применения требуется большой объем экспериментально полученных эмпирических констант. В геохимии и петрологии проведение подобных экспериментов сопряженно с трудоемкими и весьма дорогостоящие исследованиями. При этом картина формирования и непосредственное взаимодействие самих минералов остается как бы за кадром используемой термодинамической модели. Поэтому актуальной представляется задача компактного математического описания зарождения и взаимодействия непосредственно самих минералов.
Здесь простой способ параметризации указанного явления заключается в самом подходе его модельного представления. Соотношения между различными минералами сообществам том числе и вмещающей породой,определяется по типу "ресурс-потребитель". Подобное представление позволяет одновременно учитывать как термодинамические,так и кинетические факторы взаимодействия отдельных минералов между собой. Автор выражает благодарность проф. С. А. Щеке за плодотворные беседы при обсуждении механизма природного минералообразования и проф. О. В. Авченко за ряд полезных замечаний.
Математические модели минералообразования основаны на нескольких качественно разных подходах. Базис одних из низ составляет формализм молекулярной динамики и химической кинетики. Модели этого типа [3-5] позволяют детально описать эволюцию сложных гетерогенных систем геохимических процессов, разновидность которых и составляет существо минералообразования. Однако практическое их использование в геохимии и петрологии ограничено наличием весьма скудного верифицированного эмпирического материала. В связи с чем В. А. Жариков[6] отмечает, что альтернативные кинетическому подходу физико-химические методы исследовния в геохимии оказываются более эффективными.
В геохимии и петрологии теоретическим ядром основных моделей природного минералообразования является принцип локального равновесия Д. С. Коржинского [10,11].
Электронный журнал ИССЛЕДОВАНО В РОССИИаа 1258 Согласно ему из неравновесного по отношению к некоторому набору минералов расплава/раствора последовательно выпадают именно те минералы,для которых в текущий момент времени раствор данного состава является равновесным. Эволюция химического состава раствора определяется временем достижения устойчивого термодинамического равновесия системы раствор-фаза. Указанный принцип составляет основу компьютерного алгоритма расчета эволюции геохимических систем Г. Хельгесона[15,16] и И. К. Карпов с коллегами [8,9]. Основные недостатки этих подходов обусловлены наличием нескольких альтернативных решений и привлечением для исследований по этой схеме большого объема разнородной информации.
Миниралообразование как процесс кристаллизации вещества начинается с образования в исходном растворе зародышей новой фазы и их дальнейшего роста. Поскольку допускается гетерогенность расплава,неодинаковость для его отдельных частей внешних и внутренних условий,то сами зародыши будут изначально отличаться между собой как по своему химическому составу так и простанственно-временным распределением . Каждый из зародышей в дальнейшем трансформируется в тот или иной минерал. Уже на стадии формирования зародыши конкурируют между собой как за непосредственно слагающие их химические элементы субстрата,так и за пространственно-временной ресурс раствора. При этом свободную от минералов часть расплава можно считать также членом ассоциации. В связи с указанным,представляется целесообразным использовать для описания подобного механизма формирования и эволюции формализм систем типа ресурс-потребитель. Таким образом,сам отдельный минерал как комплекс химических элементов,взаимосвязанных между собой законами и постулатами физической химии,может быть описан как один из конкурирующих видов их некоторого сообщества. Математический формализм этих систем для биологических сообществ разработан и детально изложен в [2,12]. Базисом формализма служат положения химической кинетики. Согласно им скорость бимолекулярной химической реакции пропорциональна числу столкновений реагентов и, следовательно, произведению их концентраций. Здесь в качестве реагентов выступают минералы,концентрации которых во вмещающейаа породеаа обозначимаа черезаа М. (1<1<п),гдеаа паа числоаа ихаа различныхаа видов.
Метаморфические клоны минералов выделяются в отдельные виды. Следуя традициям математической биологии,сам ресурс, в понимаемом здесь контексте,обозначим через R. Тогда следуя вышеуказанным положениям, общую модель эволюции ассоциации минералов сформулируем в виде
dR/dt =-R2>^+j>yM;.+г0(t,R)
Электронный журнал ИССЛЕДОВАНО В РОССИИаа 1259 dM,/dt = M,(flr,*- г/?yM; - 2>,М;.-et)+Ut), ieJ2 dM,/dt = M, (^i? - ?Д;М; + ?Г,М;. -*,)H,(t), ieJ3
При записи системы было предположено следующее :
1. Каждый из минералов с интенсивностью or; = a-(t) потребляет исходный ресурс.аа Случай
нулевых значений указывает либо на привнос этого минерала извне,либо на другую историю его возникновения(например,минерал не является потребителем ресурса,а есть метаморфный клон других менералов).
2. Допускается ситуация рекристаллизации минералов,когда продукты разложения некоторых
из них могут составлять ресурс для формирования других. Интенсивность этого процесса
определяется коэффицентами st = st(t) .а Случай нулевых значений указывает на отсутствие
рекристаллизации;
3. Допускается ситуация, когда часть минералов(набор Л) конкурируют между собой за
исходный ресурс. Интенсивность конкуренции определяется набором { ДДО }Х Нулевое
значениеа Д. указывает на отсутствие конкуренции между i-м и j-м минералами.
Полагается Pit(t) > 0 ,т. е. каждому минералу свойственно самоограничение:чем
больше его количество,тем сильнее проявляются сдерживающие факторы его роста. ;
4. Допускается ситуация, когда часть минералов(набор J2) может служить ресурсом для
метаморфных минералов(группа J3). Тогда интенсивность расхода вещества части
минералов J2 и потребления этого вещества метаморфными минералами из группы J3
определяется набором { ytj(t) }.а Случай равенства нулю указывает,что для минералов ie J2
и j е J3 этот механизм отсутствует;
5. Допускается ситуация привноса или выноса в некоторые моменты времени случайного
количества тех или иных минералов. Отражением этой сиуации является присутствие в
правой части случайных функций ?, г (t),0<i<n. Если в некоторые моменты времени Хк
осуществлялся привнос или вынос компонентов,Щ эта функциия может быть аппроксимирована,например, выражениема ?,аа (i)='S\ak8(t Ч tk). Под знаком суммы первый
к^Тк
член произведения характеризует саму величину привноса\выноса,второй-8-функцию. Она равна нулю всюду кроме случая равенства нулю своего аргумента. В этом случае она равна бесконечности. При этом интеграл от нее равен 1.
Электронный журнал ИССЛЕДОВАНО В РОССИИаа 1260 6.аа Не рассматривается процесса формирования зародышей минералов.а Полагается,что их начальные концентрации задаются набором М0={М;, 1 <j<п}.
В принципе,разделение набора индексов на три группы весьма условное. Можно принять J1=J2=J3={ 1,2,3,...п}. Тогда соответствующая часть элементов матриц в правой части (1) обращается в ноль. Однако здесь такая общность приводит к потере ясности и размытости картины явления.
Система записана в весьма общем виде. Поскольку для расплава выполняется принцип локального равновесия,то при кристаллизации ряд минералов выпадает из него существенно раньше остальных(первыми кристаллизуются и выпадают из системы тугоплавкие минеральна последними-легкоплавкие)Поэтому близкий к своему стационарному состоянию минерал выпадает из системы и в дальнейшей ее динамике участие не принимает. Для простоты дальнейшего изложения ограничимся случаем отсутствия случайных воздействий и действия метаморфических факторов. В этом случае предлагается следующая модель эволюции ассоциации минералов
п
dR/dt =-^YjgciM]
dMi/dt = Mi(aiR-j31]M])(1)
MД =R0-R-f>;
Здесь R0а начальная концентрация раствора. Индексом п обозначена часть раствора,которая
выпадает из него на самом конечном этапе кристаллизации. Самим типам минералов присвоены номера таким образом,чтобы последовательность их выпадения из раствора соответствует возрастанию их номеров.
Треугольность матрицы |3={ Ду } "~^=1аа (нулевые значения элементов выше ее диагонали)
отражает факт отсутствия эволюции для выпавших из раствора минералов. На этапе же эволюции их динамика не зависит от динамики минералов с последующими номерами. Действительно, механизмы потребления ресурса нижестоящих минералов заканчивают свои действия до момента включения механизмов потребления последующих минералов. В момент включения последних часть ресурса уже израсходована и не может быть использована. Поэтому последующие минералы потребляют тот ресурс,который достался им в наследство после потребления ресурса предшествующими минералами. Таким образом,природная минерализация представляет собой иерархический процесс потребления ресурса раствора
Электронный журнал ИССЛЕДОВАНО В РОССИИаа 1261 ассоциацией минералов. На период потребления ресурса j-м минералам последующие ложидают своей очереди его потребления. Дождавшись этого момента,этот минерал становится главным его потребителям. Подобная ситуация имеет место для сообществ биологических видов,для которых свойственна временная дифференциация следования максимумов биомасс[13]. Динамика ресурса согласно первому уравнению (Г) определяется выражением
R=R0 Пехр(-\ajMjdt),
У=1аа to
где Ю время начала кристализации. Пусть t 0 и t времена начала и окончания кристаллизации j-ro минерала,а М 0 и М его соответствующие концентрации. Интеграл в показателе экспоненты с достаточной степенью точностью аппроксимируем выражением ajM-0l(t-г -1-0),гдеаа М .01 =(М .0+М .j)/2 полусумма начальной и конечной концентраций j-ro
минерала. При записи этого выражения был учтен фактор отличности от нуля функции потребления ресурса только на отрезке [t;0,^;1] и в первом приближении на этом отрезке ее
можно положить равной константе ог;. Если получившийся интеграл вычислить по правилу
трапеций,то как раз и получим аппроксимацию показателя экспоненты. В соответствии с указанным,динамика ресурса характеризуется соотношением
тt
R=R0 Пехр[-а*М;. m(tfl -1]0)] *ехр(-а;+1 \Mm+ldt) (2)
Первый член произведения представляет уже потребленный m видами минералов ресурс,а второй-доступный для дальнейшего потребления оставшейся части n-m видами минералов ресурс. При m<n имеет место процесс кристаллизации,в противном случае-этот процесс закончен. Нижняя временная граница применимости (2) отвечает t>t10,T. е. начальный момент для системы (1) совпадает со временем завершения формирования зародышей 1-го минерала. Верхней границы не существует:при t>tnl сам процесс кристаллизации закончен и ассоциация минераловаа ваа дальнейшемаа неаа эволюционирует.аа Количествоаа оставшегосяаа ресурс равно
п
R0 ]~~[exp[-cir*M;01(Y;1 -tJ0)].а Анализ (2) указывает на мультипликативный характер
воздействия потребления минералами на ресурс. Таким образом,формально потребление ресурса подобно вероятности суммы независимых случайных величин. В действительности, же,зависимостьа междуаа конечнымиаа концентрациямиа последующиха номероваа минераловаа от
Электронный журнал ИССЛЕДОВАНО В РОССИИаа 1262 предшедствующих обусловлена наличием конкурентных взаимотношений. Эта рекуррентная связь регулирует значения конечных концентраций
M]l=[a]K]-fjP]kMkiyp]],(3)
к=\
где R;. =R(t .j), P*kj значения коэффицентов конкуренции на отрезке [t -0,f .J и l<j<n-l.а Характер
изменения коэффицентов конкуренции аналогичен интенсивности потребления ресурса:эти коэффиценты принимают ненулевые значения только на указанном временном отрезке. Общее
решение уравнений системы (1) для 1 <j <п-1 имеет вид
ttt
М; = М]0 exp(J(z;.(0^)/[l +MJ0\Р3] exp(j>/r)^ ],аа (4)
totto
Vi=<*P-Y<Pf№b(5)
k=\
Подстановка соответствующих выражений в (5) позволяет получить выражения,определяющие эволюцию компонентов ассоциации минералов.
Рассмотрим теперь проблемы оценки или идентификации параметров модели, представляющих собой проблемы статистического оценивания [1]. Их решение состоит в минимизации или максимизации некоторого количественного критерия степени отличия расчетов по модели и наблюдаемых реальных данных[6]. Именное название этого критерия-функционал невязки. Непосредственно процедуру оценки параметров можно реализовать только при наличии определенного фактографического материала. За редким исключением удается привлечь для исследований удолетворяющую требованиям той или иной модели репрезентативную выборку натурных или экспериментальных данных. Здесь эта выборка должна иметь упорядоченную по временам структуру,а ряды наблюдений характеризовать распределения по временам ресурса и концентрации отдельных минералов. Вопросы оценки параметров для подобных (Г) систем детально рассматриваются в [14,15]. Если выборка удолетворяет указанным требованиям,Щ предлагается следующий алгоритм оценки. Диагональным элементамаа /?* треугольной матрицы конкуренции |3*={ Р*к } "^=1аа предпишем
некоторые числа саа . Далее из (3) стандартным методом наименьших квадратов оценим
параметры ог; иа /?;yfc,k<j и l<j<n-l. Полученнаяаа совокупностьаа служитаа начальным
приближением для минимизации функционала невязки модели (4). Укажем теперь ограничения области допустимых значений параметров модели. Ограничения упорядочивают времен активнойа эволюцииаа минералова t .аа Согласноаа положениямаа модели,аа t 1должны
Электронный журнал ИССЛЕДОВАНО В РОССИИаа 1263 удолетворять цепочке неравенств: 111~t 2 0 <t 21~t 3 0... <t;. j ~t .+10 <... t n_l 0 <t п. Выражения для времен получаются непосредственно из (2)
t;.1=t;.0-[ln(R;/R0)+^aX,oi(^i-^o)]/лXo
к=\
Поэтому в рассматриваемом здесь случае, минимаксная задача соответствует минимизации функционала невязки модели (4) при ограничениях типа неравенств. Число таких неравенств равно п.
Заключение
В предлагаемом здесь подходе использованы представления о соотношениях между конкурирующими за ограниченный ресурс динамическими объектами. В данном случае роль объекта выполняет сложное природное образование-минерал. Многопараметрический механизм эволюции их ассоциации позволяет выполнить реконструкцию ее начального состояния. Кроме того,с помощью указанного механизма можно в цепочке событий формирования ассоциации выявить отсутствующие в натурных наблюдениях отдельные звенья. Дальнейшее развитие настоящей модели видется в привлечении положений о действии случайных источников/стоков,учете пространственной неоднородности расплава.
итература
- Бард И. Нелинейное оценивание параметров,М. ,Статистика, 1979,349 с.
- Вольтерра В. Математическая теория борьбы за существование,М. ,Наука, 1976,286 с.
- Голубев В. С. К теории метасоматической зональности при наличии параллельных реакций Геология и геофизика, 1970,№ 8,с. 87-95
- Голубев В. С. ,Шарапов В. Н. Динамика эндогенного рудообразования ,М. ,Недра, 1974,234 с.
- Голубев В. С. Динамика геохимических процессов ,М. ,Недра, 1981,207 с. АН СССР, 1957,184 с.
6.а Жариков В. А. О динамической теории метасоматоза,Геология рудных месторождений,
1971,13,№5,с. 113-117
7.аа Зуев С. М. Статистическое оценивание параметров математических моделей
заболеваний,М. ,Наука, 1988,192 с.
8.а Карпов И. К. ,Киселев А. И. ,Летников Ф. А. Химическая термодинамика в петрологии и
геохимии,Иркутск,Кн. из-во,1971,144 с.
9. Карпов И. К. ,Киселев А. И. ,Летников Ф. А. Моделирование природного
минералообразования на ЭВМ,М. ,Недра, 1976,254 с.
Электронный журнал ИССЛЕДОВАНО В РОССИИаа 1264аа
15.а Chetyrbotcky А. N. Parametrical model for vertical distribution of water mass density. -
Proceeding of the 4 Pasific/Asia offshore mechanics symposium, Pusan, Korea, October 31-nov. 2,
1996, p. 33-36
- HI. Helgeson H. С Thermodynamics of complex dissociation in aqueous solution at elevated temperatures J. Phys. Chem. ,1967, v. 7, № 10, p. 3121-3136
- H2. Helgeson H. С Description and interpretation of phase relations in geochemical processes involving aqueous solutions Amer. J. Sci, 1970, v. 268, № 5, p. 415-438
Все научные статьи