Все научные статьи
Стародубцев П.А., Стародубцев Е.П. Теоретические основы влияния океанского волновода на условия распространения низкочастотного просветного сигнала
Научная статья
Электронный журнал ИССЛЕДОВАНО В РОССИИа 1104 на условия распространения низкочастотного
просветного сигнала
Стародубцев П.A.fpavel@ias.ru.), Стародубцев Е.П.
Тихоокеанский Военно-Морской институт имени С.О.Макарова
Владивосток
Введение. Улучшение характеристик устройств обработки требует более глубокого понимания особенностей распространения акустических волн в водной среде, а усовершенствование акустических моделей стимулирует разработку более сложных методов обработки. Характер распространения акустических волн в океане определяется целым рядом факторов[1-3], обусловленных свойствами, как самой среды, так и ее границ. Для морской среды характерно наличие неоднородностей или в общем случае областей с различными значениями показателей преломления звука, которые находятся в состоянии турбулентного движения. Наличие подобных пространственно-временных неоднородностей среды обуславливает прием сигналов по нескольким лучам, причем их количество и углы прихода, а также амплитуды и фазы, составляющих сигнала будут непрерывно изменяться [2,3].
Наибольшее влияние на распространение звука в море оказывают вертикальные градиенты скорости звука, создающие рефракцию, и, как следствие, многолуче-вость сигнала в точке приема. Акустическое поле описывается уравнениями линейной акустики, в которых детерминированная компонента скорости звука представляет собой явление рефракции. Случайная компонента, вызвана флуктуациями поля температуры, поля солености, внутренними волнами и представлена в теории акустического поля явлением объемного рассеяния звука.
Рефракция, как физическое явление, характерна для распространения волн в среде с изменяющейся регулярным образом в пространстве - времени скоростью звука. Она состоит в искривлении лучей, возникающем в результате их внутренних отражений от областей с различными скоростями звука. В плоско - слоистой модели морского волновода искривление лучей возникает в вертикальной плоскости. В областях с вертикально-горизонтальными градиентами скорости звука лучи искривляются в двух плоскостях - перпендикулярной и параллельной поверхности. При волновой трактов-
Электронный журнал ИССЛЕДОВАНО В РОССИИа 1105аа Детерминированная компонента акустического поля допускает модовое (волновое) описание распространения волн в области низких частот, а в области средних и высоких частот - лучевую (оптическую) асимптотику.
Постановка задачи. Для учета реальных условий распространения низкочастотных звуковых волн в океанском волноводе определим математические зависимости для коэффициентов межмодового рассеяния, функционально влияющие на процесс изменения спектральных характеристик просветных сигналов, на основании уравнения Гельмгольца [1-3]:
pdi\(p~lgradu) + (a>2 /с2)и = 0.аа (1)
Для проведения дальнейших рассуждений, введем малый параметр sи разложения *^~UQ-rbUy,pЧPq-гЬ^СЧ Gq "г& - Предположим, что плотность ( р0 ) и скорость звука (с0) зависят только от глубины ( z), и неоднородности р и q как функции х, у имеют компактный носитель О..
Подстановки и0 = фа (z)H0(kR'), их = ^.Q,-(x,_y)^-, где ф1 суть рас-
/аа 9а 9
пространяющиесяа моды,аа R' = ^(x Ч Xq) + (у Ч Уо) , С^О'-Уо)-аа координаты источника звука, дают, с помощью некоторых приближений дальнего поля, формулы
ДЛЯ Cjj.
Эти формулы обобщают соответствующие формулы из [3 ], где рассматри
валсяаа случай
р =px+о{z- sf(x,y))(p2 -рх), с = сх + 0(z - ef(x,y))(c2 - q) с посто
янными р^ ,/?2 Х> с\ Х> с2 (о Ч ступенчатая функция Хевисайда). С помощью специ
ального выбора (х.^-координатной системы с началом в Д простые формулы, ис
пользующие двумерное преобразование Фурье функции топографии fix, у) были по
лучены в[3] в случае удаленного источника.аа Решающее приближение, сделанное в
I/9 9
[3], состояло в замене 1 / -\R'а н 1 / -vXq+ _у0аа в асимптотике функции Ханкеля. С помощью использования разложений Фурье и Фурье-Бесселя р^,{р\ IPq)zи с\ по
Электронный журнал ИССЛЕДОВАНО В РОССИИа 1106 удаленных, так и для близко расположенных источников.
При выводе этих формул существенно использованы теоремы сложения для цилиндрических функций и замкнутые выражения для трилинейных комбинаций для функций Бесселя. Полученные формулы могут быть использованы для регуляризации обратной задачи.
Определение коэффициентов межмодового рассеяния. Перейдем к более подробному изложению. Звуковое поле точечного источника в волноводе постоянной глубины Н описывается уравнением Гельмгольца [3-6]
Р
д 1 диаа д 1аа даа д \ ди +---------- + |
Галя.. ла аал а,.\ ГЛ
+ Ч-u = S(x-x0)(2)
\дхрдха ду р дуа dzpdz)а с1
с граничными условиями и |
= 0. z=H |
= о,аа 0п
z=0
Будем предполагать, что повсюду, за исключением некоторой ограниченной области Д плотность р и скорость звука с однородны относительно горизонтальных координат и принимают значения соответственно /?n (z) и С0 (z) . Внутри области Q
плотностьаа иаа скоростьаа звук неоднородныаа иаа принимаютаа значенияаа P]_{x,y,z)
yicx(x,y,z).
Предполагая, что эти значения малы, решим задачу рассеяния звукового поля точечного источника на области неоднородности. Запишем скорость звука и плотность в виде
с = с0 (z) + scx(х, у, z); р = р0 (z) + spx(х, у, z) > (3)
где sЧ малый параметр, а звуковое поле и запишем в виде и = И0 + ?Щ, где И0 -звуковое поле источника, их - рассеянное поле. Подставим выражения для р, спив уравнение (3) и выпишем члены при s:
Электронный журнал ИССЛЕДОВАНО В РОССИИа 1107
И, = 2аа '"1
А
да 1 |
да 1 |
да 1 |
+ |
аа 2
-щх + |
жW- |
\z |
-w,аа +ж
^Ааа ^Ааа & Роj
Plx
Ро
PlyЩХ+ЧЩу +
Ро
(а \
А
Ро)
г, (о2 С\
соа со
(4)
Полагаем и0 = ф j{г)щ ' (kjR'), где R' = д/(х - х0 )2 + (у - у0 )2 - расстояние от источника с координатами (х0, _у0 ) до точки наблюдения в декартовой системе координат, центр которой находится в области Да ф ,ж и ^,а - собственная
функция и собственное значение с номером j, удовлетворяющие следующей краевой задаче
Род*
1
Ро
\^Ф = к^Ф1__0=о/ф
с |
J |
dz
z=H
= 0
(5)
Подставим выражение для И0 в (5) и возьмем преобразование Фурье
я JxJy |
ЩЧКЮ+ |
exp^r{xcoзе+ysir№))dyck |
VvAo |
+
аа 2
г щ +рс |
со
жи |
\z |
+Чщ =
А |
\У() J |
zа С0
{( |
А* . , Л(*_*о)аа А^ . ЛО^оУ
----- ^,(z) Ч-------------- -фЛ2)Ч----------
IVаа ^ |
Ааа У # Ааа 'а R'
1 , ~<2Г ci ,
Н?(кЯ') |
соаа соаа ) |
Ч+2-Т-Ч
(6)
Полагаем и^ = Хг-(?г-^г-, тогда слева имеем:
Г |
СО |
-г2й1 + р0
и,
\Роа J
+^-2, =^с,(-,2+л^м
где Л. - собственное значение ф1. Помножим обе части выражения н проин-
тегрируем по z, и возьмем обратное преобразование Фурье. Получим следующие формулы для коэффициентов рассеяния из /'-той моды в у'-тую:
Электронный журнал ИССЛЕДОВАНО В РОССИИ 1108
т\ "и
слт
Ал2
\f(x, у) щЦг(х cos *F+у sin Ч*)) х
х exp(z'r/7 cosi^F - в))
1
Л?-г2
rdydxc№dr
(7)
где
ФгФ |
LuQ) |
Ро |
*,У)
[
н
+
plxk(x-x0)р1укЛу-у0)
R'
Ро |
Каа Роа R'
2СХа <M> |
El |
ФгФ%
JZ+2) |
Hз>(kjR>)
Cqа соаа Ро )
#Г(М') +
dz
(8)
Для оценки интеграла по*Рв формуле (7) воспользуемся методом стационарной фазы в точке х?=0. Получим следующее выражение
-inIA
4ът |
QM- |
[fаf/(^)re^^;!^+y^W^.
(9) |
Найдем теперь асимптотику для интеграла по г. Рассмотрим замкнутый контур,
охватывающий первую четверть комплексной плоскости. Интеграл по этому контуру
будет равен вычету в точке Лг- и интегралу по мнимой оси, оценку которого найдем
поаа методуаа Лапласа.аа Такимаа образом,аа дляаа интегралаа вида
г Qxp(ir(r/ - [х cos в + у sin #]))
/ = |
-drимеем оценку:
г (А]-г2)
/
-in
ехр(/Л(77 - [х cos в + у sin #]))
+
НА2 (tj- (х cosO+ у sin в))ш
.(10)
Поскольку второе слагаемое мало, мы можем им пренебречь и окончательно получить следующее выражение:
Электронный журнал ИССЛЕДОВАНО В РОССИИа 1109
X
(11)
X
Iаа I f(x, У) ехр(-/Л(х cos в + у sin 0))dyd
x
вид: |
Чтобы восстановить из производных плотность, в выражении дляДх,^), проинтегрируем первое слагаемое по частям по х и по>\ Тогда формула (8) будет иметь т,тжтт'
j '0аа J |
f(x,y)=tH
aW/-^ |
-+2- |
А 1 ФгФ]2 tyсх фф}
А A Uvzа Аа сосоА
Hf{kjK)dz-
Пыи |
H?\kK)dz |
-<(
sin9 |
-cos6> |
# |
# |
*Д*"*Ь)а .* ^^o)Ja ФгФ,
у |
Аа А
(12)
Перейдем в полярные координаты X= RCOS Of, у = Rsin а .Тогда
R' = -^R2 +Д02 -2RR0cos(a-a0)
где (i?o ?<^о) ~~ координаты точечного источника. Отметим, что поскольку коэффициентыаа к j(х Ч Xq) / R' иаа к А у Ч Уо) IR' представляютаа собойаа соответственно
COS (if/ Ч а) и sin (if/ Ч а) , где ^-угол между Rи R', то по теореме сложения Графа имеем разложения [4,5]:
оо
cosif/Hi1\kJR') = ^H2il(kJR0)Jm(kJR)cosm(a-a0)
m=-co
(13)
оо
Я л(kjR>) = ^ Я ?> (kjRo )Jm (kjR) cosm(a -a0)
m=-coПодставляя их в формулу (12), имеем:
Электронный журнал ИССЛЕДОВАНО В РОССИИа 1110аа
Cu(?l) НХЧкМ
оо
жI'
т=-<х>
X
'Ч
4л- ^A~rj
An
RJm(k,R) |
mv"j' |
f0 (R, a) Qxp(-iRA cos (в - a)) x
Х0 |
Хo
x cos mice - a0)dadR
An
, (14)
-iAHZ(kjR0)
Х0
mv"jj |
RJm{k,R)
Хo
fx (R,a) Qxp(-iRA cos (в - a)) x
x(cosm{a - a0)cos(a0 +6) + sinm{a - a0)sin(a0 + 6))dadR
где
<M |
MR,<*) =
L
J |
k2аа Piаа ФгФ],
Poаа Po
' Pl\аа ФгФ^+2С01аа CX
Po |
VPo> |
Cqаа co Po
> Jz
(15)
f |
/l(*,л)
2аа Piаа ^л>У
я Po Po
Jz
Разложим expjЧiRAC0S((9 Ч a)\ по функциям Бесселя Jn (AR) , а функции Pl,(PlIPq)zи Cj разложим в ряды Фурье:
= %(&*; ь = %Ш |
в. |
I_ \аа ооаа оо
я=Б^; |
к=-сю |
/=Чоо |
(16)
Теперь интегралы по а во всех слагаемых будут иметь вид
An
i(k+n)a |
el(K+n,a cosm(a -a0)da = ж1а$
к+п,т>
ХО
где з к+п т - символ Кронекера, в результате чего в рядах Фурье остаются только
члены с индексом т-п [7,8].Тогда получаем следующее выражение для межмодовых коэффициентов:
Электронный журнал ИССЛЕДОВАНО В РОССИИ 1111аа
iyf27TQxp(iAT]-i7r/4) ^аа .у
сиж№ = -Ч------ гЧЧ- 2^(_ ZJ ехР(-^#)х
х JTexpipnaJа (^Ч^)-|Л^1(^ЛУ'(аь^))><
т=-сс
J |
co 0 amJK)Jn{kJR)RdR+
+ Н*ХкЯ)[Ьт_№УЛЬт<Ю.
+H^\kJR0)[dm_n(R)Jm(kJR)RdR
+
(17)
где
'"аа 1н' Аа а "аа ^ " А |
а.
(18) |
жJz |
. ^ <иа#>
сД
~"аа J-H |
"я с?аа са о
Коэффициенты a(R), b(R), c(R) разложим в ряды Фурье-Бесселя по функциям Jт-п (у kRIV), где L- правая граница интервала разложения (0<R<L), у у. -положительные корни уравнения Jт-п {R) = 0 . Коэффициенты разложения обозначим соответственно Ak, Bk, Су.. Подставляя эти разложения в выражение для Q ,, окончательно получаем[3,8]:
iyfbr Qxp(iArj-i7r/4) ^{аа Д.
С17М = Ч:----------------- т=-------- 2j(-Vехр(-ш0)х
4 л-а ^JArjи=-оо
СО СОаа , ч
+ |
х ?ехр(Щл0)><Е (А;я11)(А/йД)-г-ЛЯт1(А/й0)г^+в|Д,
'=1
^ |
f ^-и 7-Я J^kjRW^AVRdR
V^а У
2аа ехр(г(тф - пф2 ))
ж
т
^ -1 *?
№
А'
где
Электронный журнал ИССЛЕДОВАНО В РОССИИа 1112аа
4=j>;^._^ dz (19) -н
а=?^Ыс,=?>с-"''
аа "а аа " со со А
Полученное выражение можно свести к еще более простому виду, подставив значение интеграла
kLj |
Imn =[jm-n-у* Jm(k]R)Jn(AR)RdR,
Ук |
Yk |
n
ехр<1(тф-пф2У)
^)а-{ц-^-и
Хпри
L |
L |
^ЧЛ <?,.<Ч+Л
(20)
0-приневыполн^и этогоусловия
Заключение. Формула (20) может использоваться для решения обратной задачи восстановления неоднородности морской среды, что позволяет в приближенной форме учитывать условия распространения низкочастотного просветного сигнала в океанском волноводе. Обрезая входящие в данное выражение, ряды конечным числом членов, можно прийти к линейной системе уравнений, которая в общем случае является невырожденной. Проведенные Тихоокеанским океанологическим институтом (ТОП) численные исследования показывают, что эта система линейных уравнений плохо обусловлена, так что требуется дополнительная регуляризация дескриптивного характера, а в перспективе дополнительных теоретических изысканий наиболее эффективных методов учета влияния среды на распространяющийся просветный сигнал.
ЛИТЕРАТУРА
- Математическая энциклопедия. Издательство.-М.: Советская энциклопедия, 1985.
- Пискунов Н.С. Дифференциальное иаа интегральноеаа исчисление.-М.:Наука,1976.
- Подводная акустика / Перевод с английского М.: Мир, 1970, с.246-325.
- Савельев И.В. Дифракция света//Курс физики. Т.З.-М.: Наука, 1971.-е.284-319.
- Клещев А.А., Шейба Л.С. Рассеяние звуковой волны идеальными вытянутыми сфероидами // Акустический журнал.-1970г,-Т.26, №2, с.264-268.
Электронный журнал ИССЛЕДОВАНО В РОССИИа 1113аа Все научные статьи