Все научные статьи
Бернгардт О.И., Орлов И.И. Квадратурные компоненты сигнала при ЛЧМ-зондировании ионосферы
Научная статья
Электронный журнал ИССЛЕДОВАНО Ваа РОССИИаа 1451
htttp://zhumal.ape.relarn.ra/articles/2003/121pdf
Квадратурные компоненты сигнала при ЛЧМ-зондировании ионосферы.
Бернгардт O.H.(berng(г)iszf.irk.ru ), Орлов И.И.
Институт солнечно-земной физики СО РАН, г.Иркутск
Аннотация. В работе рассмотрен временной подход к получению известных уравнений, связывающих форму принятого сигнала с характеристиками ионосферного канала в предположении слабой зависимости передаточной функции канала от частоты. С помощью двумерного метода стационарной фазы получены уравнения, отличающиеся от стандартных лишь в области заметных изменений передаточной функции с частотой. Работа представляет методический интерес в связи с последовательным получением известных уравнений в рамках временного подхода, без промежуточного рассмотрения распространения узкополосных сигналов через ионосферный радиоканал.
Введение.
Одним из методов дистанционной радиодиагностики ионосферы является метод, основанный на зондировании сигналами с линейной частотной модуляцией (ЛЧМ), широким спектром (ЧЗОМГц) и большой базой (скорость изменения частоты ~100КГц/сек при общей длитеьности порядка 1 минуты) -ЛЧМ-зондирование. Он применяется в различных модификациях - вертикальном, наклонном и возвратно наклонном зондировании. Теоретическим основам этого метода посвящены работы [1-3].
Большинство этих работ основано на спектральном подходе к анализу принятого сигнала - в результате приема или в процессе промежуточных преобразований рассматривается распространение узкополосного эквивалентного сигнала через стационарный ионосферный канал. Подобный подход требует существенной модификации при решении задачи распространения в нестационарном канале.
Стандартным методом аналитического исследования распространения ЛЧМ-сигналов является метод стационарной фазы [10]. В рамках этого подхода достаточно легко получить выражения для формы сигнала, прошедшего через достаточно произвольный стационарный линейный канал, одним из примеров которого является ионосфера [11] . Однако, к недостаткам подобного подхода можно отнести представление исследуемого действительного сигнала в комплексном виде [11], и промежуточные преобразования сигнала к его спектру и обратно. Этот подход, а также рассмотрение распространения узко полосных сигналов через ионосферный канал [12], налагает дополнительные ограничения на характеристики канала (так называемая полоса когерентности канала).
В работе приводится последовательная процедура получения связи формы принятого сигнала в терминах квадратурных компонент при ЛЧМ-зондировании описанными сигналами с большой базой вдали от момента начала зондирования и критических частот с такими характеристиками передаточной функции ионосферного канала, как АЧХ и наклон ФЧХ, без рассмотрения распространения узкополосного сигнала. Показано, что процедура приводит к известным результатам, полученным другими методами.
Исходное выражение для принятого сигнала.
Рассмотрим прохождение ЛЧМ-сигнала через ионосферу в терминах прохождения сигналов через линейные каналы. Произвольный зондирующий сигнал d(t) после прохождения через канал с импульсным
откликом h(f) представим в виде u(f) :
u(t) = \h(t)a(t - x)dx(1)
о
При диагностике ионосферы методами вертикального, наклонного и возвратно-наклонного зондирования зондирующий сигнал a(t) имеет вид ЛЧМ-импульса:
Электронный журнал ИССЛЕДОВАНО Ваа РОССИИаа 1452
htttp://zhumal.ape.relarn.ra/articles/2003/121pdf
a(t) = Tl(t)cos(Q)0t + fit212)(2)
где Tl(t) - огибающая, часто имеющая форму прямоугольного импульса большой длительности (она отлична от нуля в области t ? [0, Т ], /3 - скорость изменения частоты, 600 - начальная частота. Импульсный отклик ионосферного канала можно представить в виде:
h{t) = 2 \н(а>) cos(cot - (р(а>)) Ч (3)
о 1ж
гдеа Н(0))- модуль передаточной функции ионосферного канала,аа (р(С0)а - фаза передаточной функции
ионосферного канала. Представление импульсного отклика в виде интеграла по действительным функциям (3) (а не в виде интеграла Фурье) взято для удобства. Такое представление может быть получено из представления в виде интеграла Фурье с учетом того, что h(t) - действительная функция. Одной из форм представления узкополосных сигналов является их представление в виде квадратурных компонент. Несмотря на то, что сигнал в нашем случае не является узкополосным, можно ввести аналог квадратурных компонент и в этом случае (подставив (2) в (1) и преобразовав косинус суммы):
u(t) = ua(t)cos(co0t + fit2 /2) + ub(t)sm(co0t + fit212)(4)
где 'квадратурные компоненты' и a (t), ub (t) имеют вид:
\=\h(T)U(t-T)
2 /оа ,аа а*-\\ |
cos(ft;0T - fir /2 + fitt) sm(co0T - fir2 / 2 + fi tr) j
dt(5)
Верхний предел интегрирования равен t вследствие того, что Tl(t < 0) = 0 . Представление сигнала в виде квадратурных компонент (4) удобно тем, что при переносе частоты (например, при умножении на ЛЧМ-сигнал COs(ft>j^ + р t / 2) с другой начальной частотой 0)х и последующей низкочастотной фильтрацией) принятый сигнал будет иметь вид:
u(t) = иа (t) cos((ft>j - G)0 )t) + ub (t) sin((ft>j - G)0 )t)(6)
Таким образом, подобные квадратурные компоненты сохраняются при переносе на другие частоты. Выделить квадратурные компоненты из принятого сигнала можно различными способами. Один из них -классическая схема раздельного гетеродинирования по двум каналам (умножения в одном канале на косинусное колебание, а в другом канале - на синусное колебание с последующей низкочастотной фильтрацией), дает соответствующие квадратурные компоненты на выходе соответствующих каналов. Другой способ (рассмотрен например, в [4]) заключается в цифровом приеме с частотой дискретизации,
равной учетверенной несущей 4(щ Ч О)0), и последующим разделением полученного массива данных
(каждый член которого определяется попеременно то одной квадратурной компонентой, то другой). В большинстве случаев, из принятого сигнала сложно выделить импульсный отклик ионосферы, поэтому чаще всего исследуется передаточная функция ионосферного канала, для зависимости которой от геофизических параметров ионосферы построено большое количество моделей. При этом, если спектр зондирующего сигнала достаточно узкополосен и сосредоточен вблизи некоторой частоты, то его групповая задержка будет определяться первой производной фазочастотной характеристики ионосферного канала на этой частоте. Это свойство используется при так называемом импульсном зондировании, когда последовательно излучаются импульсы на разной несущей частоте. По полученным групповым задержкам строится дальностно-частотная характеристика (ДЧХ) - зависимость групповой задержки в канале от частоты. Одной из схем построения зависимости групповой задержки от частоты в случае ЛЧМ-зондирования является гетеродинирование принятого сигнала с последующей спектральной обработкой скользящими Фурье-спектрами, теория такого метода изложена, например в [3]. Однако, существуют методики, в которых связь принятого сигнала с параметрами ионосферного канала получена не в спектральном, а во временном виде [1]. К недостатку этих методик можно отнести то, что при получении они тем или иным образом используют промежуточные прямые и обратные фурье-преобразования принятого и зондирующего сигнала, что не позволяет, в частности, обобщить их на получение формы принятого сигнала после прохождения
Электронный журнал ИССЛЕДОВАНО Ваа РОССИИаа 1453
htttp://zhumal.ape.relarn.ra/articles/2003/121pdf
нестационарного ионосферного канала. В работе мы получим связь принятого сигнала с параметрами ионосферного канала без промежуточных фурье-преобразований зондирующего и принятого сигнала.
Прохождение ЛЧМ-импульса через ионосферный канал.
Часто, при рассмотрении прохождения сигналов через ионосферный канал, его передаточная функция представляется в виде суммы передаточных функций отдельных мод (лучей). Каждая мода при этом имеет свою АЧХ и ФЧХ, и их зависимость от частоты можно полагать достаточно плавной. Физическим механизмом формирования подобной структуры передаточной функции может быть как анизотропия среды, приводящая к формированию нескольких 'лучей' распространения сигнала [5], так и существование спектра собственных колебаний (нормальных волн) канала Земля-ионосфера [6]. Для упрощения выкладок рассмотрим распространение сигнала через одномодовыи канал, поскольку переход к многомодовому каналу в рамках теории линейных каналов сведется к суммированию сигналов, прошедших через каналы отдельных мод. Для получения связи принятого сигнала с параметрами передаточной функции канала подставим в выражение для квадратурных компонент принятого сигнала (5) интегральное выражение для импульсного отклика ионосферного канала (3):
з-?&л*-л
cos(co0x- fix2 12 + fitr) sin(co0x - fix2 / 2 + fi tx)
cos(cot - <р(а>))(7)
Полученное выражение обычно прямо не анализируют, поскольку под интегралом стоят быстро осциллирующие функции (произведение гармонических функций). Поэтому, обычно анализируют не это выражение,аа разбиваютаа излучаемыйаа сигналаа поаа времениаа н импульсыаа (представляютаа функцию
N
Ti(t) = /^Пэ(7 Ч пТэ)аа (гдеа Tl?(t)аа отличен от нуля при tE [0,7^]), суммирование выносят за знак
и=1
интеграла и рассматривают отдельно распространение каждого импульса TI (t Ч пТ ), считая его спектр узко полосным, после чего результат суммируется [1].
Проанализируем распространение сигнала без разбиения на короткие временные импульсы.
Для примера, рассмотрим интегральное выражение для одной из квадратурных компонент:
tо т
ua (t) = 2 \dx \ЧH(co)U(t - х) cos(co0x - fix212 + /3 tx) cos(ft>r - (pip)))(8)
оа о 2n
Данный интеграл (8) можно разложить на сумму двух интегралов - суммарного и разностного аргумента:
tо т
ua(t) = \dx fЧH(co)U(t - x)cos(co0x- fix212 + ptx + an- (p{co))
оа о ln
(9)
+ \dx fЧH(oj)Tl(t - x) cos(co0x - fix212 + (5 tx - cox + <p(o)))
о 0 z/t
Под обоими интегралами в (9) стоят выражения, являющееся произведением медленно меняющегося
(A(t, Т, СО) = Tl(t - Х)Н(С0))аа иа быстроаа осциллирующегоаа (COs(CO0X - fix2 12 + f3tX(COt- <р(со))))
множителей. Поэтому, можно применить к вычислению этих интегралов двумерный метод стационарной фазы [7]. Согласно методу стационарной фазы, основной вклад в интеграл дают области вблизи стационарных точек быстро осциллирующих функций. При этом, стационарная точка первого интеграла
(х1, Щ ) определяется системой уравнений:
-щ =co0+p{t-xl)
ь = |
dcpico^(10)
dcol
а стационарная точка второго интеграла определяется условием:
Электронный журнал ИССЛЕДОВАНО Ваа РОССИИаа 1454
htttp://zhumal.ape.relarn.ra/articles/2003/121pdf
со, =co0+p(t-'ul)
d(p(col)
dco, |
Ъ =
(И)
Поскольку стационарная точка дает вклад в в интеграл в случае, если она находится внутри области интегрирования, должны выполняться условия:
Це[0,оо] ke[0,f]
(12)
Из этих условий следует, что первая стационарная точка лежит за пределами области интегрирования, и первый интеграл в (9) пренебрежимо мал. Следует заметить, что основной вклад в интеграл дают при этом только области, для которых d<p(CQ) I d(x> > 0. Уравнение на стационарную точку (11) определяет точку в
пространстве (т, СО), окрестность которой дает основной вклад в интеграл (9). Положение этой точки зависит от внешнего параметра t, таким образом, в каждый момент времени основной вклад определяется областью в пространстве (т,СО), ежащей на кривой {Tl(t),COl(t)) (11). Система (11) имеет единственное решение при непрерывной функции d(p{co) I dco в областях, где <р (СО) +1 / /3 имеет постоянный знак. В случае ионосферного канала, часто вторая производная фазы | <р (бО) \<\1 /3, поэтому система (11) имеет одно решение.
Определитель матрицы вторых производных будет равен Ч fi(p (со) Ч 1. В случае | ф (со) |< 1 / /5 он имеет порядок -1 и нигде не вырождается, а собственные значения матрицы (определяемые выражением
12=<ра Ч /? + Ч -\J(<pа + /?)аа +4)аа ваа этомаа случаеаа имеютаа разныеаа знаки.аа Поэтому,аа зависимость
квадратурной компоненты сигнала от времени определяется выражением:
иа(0 = (1 + flp'fa))"1/2 A(t,щл)cos(^2 /2 + cpiw,))
(13)
здесь \Tl,COl) как функции времени t определяются системой уравнений (11). Проводя аналогичные вьгаисления со второй квадратурной компонентой сигнала, мы получим следующие выражения для пары квадратурных компонент, представленные в виде вектора:
4(0'
(i + ZV'K))-1'2^,^)
cos(/frf/2 + p(fi)j))^
sin(ye-r12 / 2 + (p(col))
(14)
Таким образом, вектор квадратурных компонент принятого сигнала имеет следующую структуру. Вектор квадратурных компонент описывает на фазовой диаграмме (оси которой соответствуют первой и второй квадратурныма компонентам)а некоторуюа кривую.а Модуль радиус-вектора определяется произведением
{\ + /5(р (Oj))"а Yl{tЧ Т1)Н{а1) , определяясь в большей части траектории (где вторая производная
фазы по частоте мала) исключительно модулем передаточной функции канала Н{0)г). Закон изменения
фазы радиус-вектора Ф(0 = /?Tj / 2 + (р{С0х) во времени определяется исключительно фазой передаточной функции канала. Его можно легко определить, дифференцируя фазу и первое уравнение системы (11) по t, при этом она оказывается пропорциональной групповой задержке узко полосного сигнала
на несущей частоте Щ^) (11):
db(t)
dt
= -&№(?))
(15)
Учет многомодовой структуры ионосферного канала.
Рассмотримаа распространение зондирующего сигнал в многомодовом канале, поскольку часто передаточную функцию реального ионосферного канала можно считать суммой различных передаточных
Электронный журнал ИССЛЕДОВАНО Ваа РОССИИаа 1455
htttp://zhumal.ape.relarn.ra/articles/2003/121pdf
функций отдельных 'мод' (лучей) [5-6]. При этом, первая производная фазы каждой отдельной передаточной функции связана с групповой задержкой сигнала соответствующей моды.
Пусть передаточная характеристика канала представима в виде суммы передаточных функций М каналов:
м
Н(со)е"р(0)) =J]Hn(co)e"p"('a)(16)
и=1
Вынося в (9) суммирование за знак интеграла, можно вычислить вклад каждого члена суммы отдельно двумерным методом стационарной фазы (аналогичным описанному выше для одномодового канала), и в результате получить следующее вьфажение для принятого сигнала:
ua(tf\а ?,(Ч,И(0Л
иъЛ*) |
и=1 |
\иъ (f)j
(17)
где каждый член суммы (17) имеет вид, определяемый формулой (14), но функции Хх, Щ, Н, <р заменяются на Tln,COln,HД,<рД, которые удовлетворяют системе (11), построенной для фазы <рп(0)п) передаточной
функции соответствующей моды. Видно, что принятый сигнал есть сумма отдельных сигналов (17), каждый из которых имеет одинаковую структуру - его амплитуда определяется модулем передаточной функции канала для соответствующей 'моды', а скорость изменения фазы - групповой задержкой соответствующей 'моды' на частоте, определяемой системой (11).
Для одномодового канала определить групповую задержку, как функции частоты по принятому сигналу можно следующим образом. По фазовой диаграмме найти зависимостьа Тг (Y), подставить ее в первое
уравнение системы (11), получив, тем самым, вьфажение для (O^if). Пара этих функций позволяет построить зависимость Хх (С01) определив зависимость фазы передаточной функции от частоты. Вычислив по полученной зависимости dxx((0^)ld(Ox, найти зависимость H(f) по модулю радиус-вектора квадратурных компонент. Пара функций H(t) и 0)г (Y) позволяет получить зависимость модуля передаточной функции от частоты Н(со). Для многомодового канала, процедура определения характеристик передаточной функции каждого канала сводится к описанной задаче, а сама проблема представления передаточной функции многомодового канала в виде суммы одномодовых является сложной задачей и в данной работе не рассматривается.
Сравнение с выражениями, полученными ранее.
Для сравнения приведем вьфажение для сигнала, прошедшего одномодовый канал и полученное в [1]:
u(t) = -H(co2)Qxp(i[Q)0t + fit2 /2 -у?т22 12-(р{со2)})(18)
В отличие от изложенного в [1,2] метода получения в нашей работе не использовался промежуточный переход к спектру зондирующего и принятого сигнала. За счет этого появились следующие отличия полученных выражений от стандартных:
В выражениях, полученных ранее, нет зависимости амплитуды принятого сигнала от групповой задержки, учитываемой в полученном нами уравнении множителем (1 + /3(р (й)1)) , что позволяет более точно получать значения амплитуды передаточной функции канала вблизи критических частот, в области слабой зависимости групповой задержки от частоты выражения совпадают;
В полученных выражениях произведен учет формы огибающей зондирующего сигнала П(7), не учитываемый в (18), что позволяет описать принятый сигнал в случае сложной огибающей, при прямоугольной огибающей выражения совпадают;
Границы применимости полученных выражений.
Электронный журнал ИССЛЕДОВАНО Ваа РОССИИаа 1456
htttp://zhumal.ape.relarn.ra/articles/2003/121pdf
Рассмотрим область применимости полученных выражений. Метод стационарной фазы для оценки интегралов применим, когда внеэкспоненциальные множители слабо меняются на характерных масштабах изменения быстро осциллирующих экспоненциальных множителей под интегралом. Поскольку гессиан имеет смысл характерных размеров области, дающей основной вклад в принятый сигнал, то характерные
размеры области, дающей основной вклад в интеграл по (т, СО)а порядка 1/д//?,д//?а соответственно. В
узкой области частот вблизи СОг модуль передаточной функции можно представить виде:
H(cQ) = H(cQl)el+Y{0hXa-h)+(19)
При этом, согласно экспериментальным и теоретическим данным, приведенным в [8], последний член разложения почти везде имеет порядок ^ ~ 10 сек. Зондирующий сигнал обычно имеет следующие характеристики: длительность (характерное время изменения П(/)) - превышает 5-10 секунд, скорость изменения частоты /3 - порядка 10 сек . Поэтому, с учетом характеристик зондирующего сигнала и канала распространения, можно сказать, что функция A(t, СО, т)а действительно медленно меняется при
изменении Т на 1/у/? , а СО на у/? . Поэтому, метод стационарной фазы применим для вычисления этого интеграла и полученные выражения справедливы.
Также, важным для оценки области применимости метода стационарной фазы для оценки интегралов является учет граничных стационарных точек (критических точек) [7,9], в данном случае удовлетворяющих одному из условий:
?2 |
= 0, |
?2 |
= t, |
со2 |
= 0, |
со2 |
= оо |
(20)
Смысл первой критической точки заключается в том, что групповая задержка на некоторой частоте должна обращаться в ноль, практически такая точка не реализуется вследствие высоких начальных частот зондирования. Вторая критическая точка соответствует тому, что части сигнала с данной мгновенной частотой приходит одновременно с сигналом, соответствующим началу излучения ЛЧМ-импульса. Такая ситуация также практически реализуется только в области больших групповых задержек, то есть в области максимума электронной концентрации, третья точка не реализуется вследствие высокой начальной частоты зондирования, четвертая реализуется лишь вблизи области больших групповых задержек.
Для аппроксимации интеграла вкладом единственной стационарной точки необходимо, чтобы стационарная точкаа (тг, СОг)аа была достаточно удалена от всех граничных точек. Ва [9] показано, что
^у/(со2,т2)-у/(со,т)
1. Здесь |
критерий достаточной удаленности - выполнение требованияа ОС
у/(С0, т) = (С00 Ч CO)t Ч /5та 12 + /5 tt + (р{С0) . Это условие выполняется, в частности, при
(t-T,)2!/^.(21)
Согласно этому, граничными эффектами можно пренебречь, если анализировать принятый сигнал начиная с времен порядка 1/\J/3 после начала излучения и не доходя у/? до критической частоты (в окрестности которой и множитель A(t, Т, СО) обращается в ноль, что приводит к необходимости использовать конкретные модели поведения Н(со),<р(со) вблизи такой критической частоты и что приводит к более сложным модельным функциям при вычислениях).
Заключение.
В работе получены простые соотношения (11),(14) устанавливающие связь между формой принятого сигнала (его квадратурными компонентами) при ЛЧМ-зондировании ионосферы широкополосным сигналом с большой базой вдали от его краев, и характеристиками передаточной функции
Электронный журнал ИССЛЕДОВАНО Ваа РОССИИаа 1457
htttp://zhumal.ape.relarn.ra/articles/2003/121pdf
канала - модуля и первой производной фазы. В отличие от стандартных методов [1,2,12], выражение построено в рамках временного подхода, без промежуточного перехода к спектрам сигналов, без рассмотрения распространения узкополосных сигналов и необходимого введения понятия полосы когерентности. Проведено сравнение полученных выражений с полученными ранее, показано что оба вида уравнений совпадают практически везде за исключением областей, где групповая задержка сильно меняется с частотой. Новые уравнения позволяют точнее учитывать форму огибающей принятого сигнала в областях,
где групповая задержка узкополосных сигналов заметно меняется с частотой (р(р (Щ) сравнимо с единицей).
Благодарности.
Авторы выражают благодарность Носову В.Е. и Михайлову С.Я. за интерес к работе. Работа выполнена при поддержке гранта №НШ 272.2003.5 государственной поддержки ведущих научных школ Российской федерации и гранта РФФИ №02-64570.
итература
1. Современные методы исследования динамических процессов в ионосфере, под ред.В.Д.Гусева,
Кишенев:Штиинца, 1991. -287с.
- Иванов В.А., Колчев А.А., Шумаев В.В., Определение передаточной функции широкополосного КВ-радиоканала для отдельных мод распространения //Проблемы распространения и дифракции электромагнитных волн, М.:МФТИ, 1995, С. 122-131
- Ильин Н.В., Орлов И.И., К теории зондирования ЛЧМ-сигналами //Оптика атмосферы и океана.- N12.-Томск.-1997-с.1513-1516.
- Побережский Е.С., Цифровые радиоприемные устройства, М.:Радио и связь, 1987, 184с.
- Гинзбург В.Л., Распространение электромагнитных волн в плазме.- М.:Наука.-1967. - 684с.
- Куркин В.И., Орлов И.И., Попов В.Н., Метод нормальных волн в проблеме коротковолновой радиосвязи.-М.:Наука.-1981. - 122с.
- Федорюк М.В. Асимптотика: интегралы и ряды.- М.:Наука.-1987- 544с.
- Засенко В.Е., Ильин Н.В., Орлов И.И., Искажение сигналов при вертикальном зондировании ионосферы //Исследования по гемагнитизму, аэрономии и физике Солнца.- М.:Наука.- вып.96.- с. 128-136.
- Анютин А.П., Боровиков В.А. Равномерные асимптотики интегралов от быстроосциллирующих функций с особенностями внеэкспоненциального множителя.- М., АНСССР.- Институт радиотехники и электроники.-препринт N42(414).- 1984- 52с.
- Гоноровский И.С. Радиотехнические цепи и сигналы, М., Советское радио, 1966, 440с.
- Вакман Д.Е., Асимптотические методы в линейной радиотехнике, М., Советское радио, 1962, 248с.
12. Иванов В.А., Особенности распространения коротковолновых ЛЧМ-радиосигналов в регулярной
ионосфере, препринт N3064-85, Йошкар-Ола, 1985, 41с.
Все научные статьи