Авторефераты по темам >>
Разные специальности - [часть 1] [часть 2]
Автоморфизмы и теоретико-модельные вопросы для нильпотентных частично коммутативных групп
Автореферат кандидатской диссертации
На правах рукописи
Трейер Александр Викторович
АВТОМОРФИЗМЫ
И ТЕОРЕТИКО-МОДЕЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
ДЛЯ НИЛЬПОТЕНТНЫХ ЧАСТИЧНО
КОММУТАТИВНЫХ ГРУПП
01.01.06 Ч математическая логика, алгебра и теория чисел
АВТОРЕФЕРАТ
диссертации на соискание учёной степени
кандидата физико-математических наук
Омск 2010
Работа выполнена в лаборатории комбинаторных и вычислительных
методов алгебры и логики
Омского филиала Института математики
им. С.Л. Соболева СО РАН
Научный руководитель:аа доктор физико-математических наук
профессор Ремесленников Владимир Никанорович
Официальные оппоненты:аа доктор физико-математических наук
профессор Романовский Николай Семёнович
кандидат физико-математических наук
доцент
Шевелин Михаил Александрович
Ведущая организация: Алтайский государственный университет.
Защита состоится 10 июня 2010г. в 15 ч. 00 мин. на заседании диссертационного совета ДМ.212.179.07. при ОмГУ им. Ф.М. Достоевского по адресу: 644077, г. Омск, ул. Нефтезаводская 11.
С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ОмГУ им. Ф.М. Достоевского.
Автореферат разослан "__ " апреля 2010.
Учёный секретарь диссертационного совета
кандидат физ.-мат. наук,аа A.M. Семёнов
Общая характеристика работы
Актуальность темы. Частично коммутативные группы естественным образом возникают во многих разделах и приложениях математики. Эти группы очень удобны для исследования благодаря удобным нормальным формам и разрешимости большинства алгоритмических проблем. Введением в теорию частично коммутативных групп могут служить статьи обзорного характера [10, 16].
Частично коммутативные группы (также известные как прямоугольные группы Артина или графовые группы), по определению, являются конечно представимыми группами у которых определяющие соотношения состоят только из конечного числа соотношений вида [ж, у] = 1, между элементами х и у из порождающего множества группы. Удобно задавать частично коммутативные группы с помощью конечного простого (то есть без кратных рёбер и петель) графа Г. Пусть граф Г имеет множество вершин X= {х\}... }хп} и множество рёбер Е(Г), тогда графу Г будет соответствовать частично коммутативная группа Fp заданная с помощью порождающих и определяющих соотношений:
Fr = (х1,...,хп\[х,у] = 1а оа {х,у) к Е(Г)), при этом граф Г часто называют графом коммутативности для группы
К настоящему времени опубликовано большое число статей посвященных изучению частично коммутативных групп. Не имея возможности дать полный анализ работ, приведём небольшой обзор результатов тесно связанных с нашей диссертацией. В [12] доказано, что частично коммутативные группы изоморфны тогда и только тогда, когда изоморфны их графы коммутативности. В [13] описаны централизаторы элементов в частично коммутативных группах. В [7] показано, что фундаментальные группы почти всех поверхностей являются подгруппами частично коммутативных групп. В [18] введены понятия параболической и квазипараболической подгрупп, и на этом языке описаны централизаторы произвольного множества элементов частично коммутативной группы. В [17] построена теория ортогональности для частично коммутативных групп. С помощью этой теории получено много результатов, описывающих структуру частично коммутативных групп.
Много статей посвящено изучению автоморфизмов частично коммута-
3
тивных групп. Одними из первых работ в этом направлении стали статьи [13] и [14], в первой работе описывается структура группы автоморфизмов частично коммутативной группы, вторая посвящена описанию порождающего множества для группы автоморфизмов частично коммутативной группы. В статье [20] подробно описывается стабилизатор решётки замкнутых множеств для группы Fyи показывается, что этот стабилизатор является арифметической группой. Таким образом, построена бесконечная серия арифметических групп в которой конечному простому графу Г соответствует арифметическая группа.
Частично коммутативную группу можно определить в любом многообразии групп М. Как и в многообразии всех групп, частично коммутативные группы в многообразии М определяются заданием конечного неориентированного графа. Среди работ в этом направлении отметим работу Ч.К. Гупты и Е.И. Тимошенко [1], где для частично коммутативных ме-табелевых групп получено много интересных результатов, среди которых, в частности, доказано, что две частично коммутативные метабелевы группы имеют одинаковые элементарные теории тогда и только тогда, когда их графы изоморфны. Существует ряд работ посвященных изучению частично коммутативных групп в многообразии двуступенно нильпотентных Q-групп, среди них выделим работы А.А. Мищенко [4, 5], где решается проблема универсальной эквивалентности и описываются координатные группы алгебраических множеств для частично коммутативных двуступенно нильпотентных групп.
В настоящей диссертационной работе мы определяем и исследуем частично коммутативные двуступенно нильпотентные Л-группы, где R Ч биномиальное кольцо. Для этих групп решаются две основные задачи: описание группы автоморфизмов частично коммутативных двуступенно нильпотентных Л-групп и исследование выполнимости экзистенциальных формул специального вида, построенных по конечному простому графу, на частично коммутативных двуступенно нильпотентных Л-группах (в случае если R Ч поле рациональных чисел). Изучение выполнимости специальных формул важно для решения проблемы универсальной эквивалентности частично коммутативных двуступенно нильпотентных Q-групп, что было сделано А.А. Мищенко в работе [4]. Отметим также, что исследование структуры группы автоморфизмов позволяет нам построить новую серию арифметических групп так как она от отличается от серии, полученной в [20].
4
Цели работы. В данной работе мы ставим перед собой следующие задачи: исследовать структуру группы автоморфизмов Aut(Gr) для частично коммутативной двуступенно нильпотентной Л-группы Gy-, описать порождающее множество для Aut(Gr), построить новую серию арифметически групп, изучить выполнимость экзистенциальных формул специального вида на группе Gy в случае если R - поле рациональных чисел.
Методика исследования. В качестве методов исследования использовались методы теории графов, и методы теории нильпотентных групп.
Научная новизна работы. Все результаты диссертации являются новыми. Перечислим основные результаты диссертации в порядке их появления в работе:
1.а Описана структура группы автоморфизмов Aut{GY) группы Gy- Опи
сание Aut{GY) сводится к изучению Auti{GY) Ч инейной части груп
пы автоморфизмов группы Gy- Затем, для Aiiг/(Gr) получено следу
ющее разложение:
Auti(GT) = (UT(GT) X У (Г)) X Aut(Tc),
где UT(Gy) Ч унипотентная часть Aiiг/(Gr), V(T) Ч множество вершинных автоморфизмов, a Aut(Tc) Ч группа автоморфизмов компресс-графа Гс.
- Вычислена ступень нильпотентности группы UT(Gy)-
- Построена новая серия арифметических подгрупп.
- Описано множество порождающих элементов группы автоморфизмов группы Gy
- В случае когда биномиальное кольцо R является полем рациональных чисел, описаны специальные экзистенциальные формулы, выполняющиеся на Q-группе Gy-
5
Теоретическая значимость. Достаточно подробно описана структура всей группы автоморфизмов для частично коммутативных двуступен-но нильпотентных Д-групп. Исследована выполнимость экзистенциальных формул специального вида на частично коммутативных двуступенно нильпотентных Q-группах. Последний результат важен для решения проблемы универсальной эквивалентности для частично коммутативных двуступенно нильпотентных Q-rpynn.
Практическая ценность. Работа имеет теоретический характер.
Апробация работы. Результаты полученные в настоящей диссертации докладывались на международной математической конференции "Маль-цевские чтения" (г. Новосибирск 2006 г., 2008 г., 2009 г.); международной математической конференции "Эйлер и современная комбинаторика" (г. Санкт-Петербург, 2007 г.), международной школе-семинаре "Новые алгебро-логические методы решения систем уравнений в алгебраических системах" (г. Омск, 2009 г.), а также на заседаниях Омского Алгебраического семинара.
Публикации. Результаты диссертации опубликованы в работах [24, 25, 26, 23, 22]. Работы [24, 25, 26] выполнены совместно с Алексеем Александровичем Мищенко при равном вкладе соавторов. Работа [23] выполнена совместно с Владимиром Никаноровичем Ремесленниковым при равном вкладе соавторов.
Структура и объем работы.
Диссертация изложена на 118 страницах, состоит из введения, параграфа Предварительные сведения, двух глав и списка литературы. Главы разбиты на параграфы, некоторые параграфы структурированы по пунктам. Список литературы содержит 26 наименований.
Диссертация начинается с небольшого предварительного параграфа, где вводятся основные определения. Основное содержание диссертации разделено на две главы.
Первая глава диссертации посвящена изучению группы автоморфизмов Aut(Gr) группы Gy- Важную роль в доказательствах играет критерий когда произвольное отображение группы Gy заданное на порождающих элементах продолжается до автоморфизма {теорема 1.3). Теорема
6
1.2 сводит описание Aut(Gr) к изучению Auti(Gr) Ч инейной части группы автоморфизмов группы Gy- Затем, в теореме 1.8 для группы Auti(Gr) получены следующие разложения: Auti(Gr) = (UT(GY)X,V(T))AAut(Tc), где UT(Gr) - унипотентная часть Auti(Gr), V(T) - множество вершинных автоморфизмов, a Aut(Tc) - группа автоморфизмов компресс-графа Гс. В параграфе 1.5 доказано, что ступень нильпотентности группы UT(Gy) равна некоторому числу которое зависит от графа Г и найдена мальцев-ская база для UT(Gy). В параграфе 1.7 описано множество порождающих элементов группы автоморфизмов группы Gy-
Во второй главе, мы рассматриваем частично коммутативные двусту-пенно нильпотентные Q-группы, то есть биномиальное кольцо R является полем рациональных чисел. Итак, по любому конечному простому графу Т в параграфе 2.1 определяется экзистенциальная формула специального вида ф(Т). Вторая глава посвящена решению следующей проблемы: для какого графа Т формула ф(Т) выполнятся на Q-группе Gp? Для ответа на этот вопрос вводятся три специальные операции на графах, удовлетворяющие следующему свойству: если применяя данные операции к графу Т\ мы получаем граф Т2, то формула ф{Т\) выполняется на группе Gy тогда и только тогда, когда формула фТя) выполняется на группе Gy- С помощью этих операций задача решается последовательно: сначала для случая, когда граф Т является путём или линейным графом, затем, для случая когда граф Т является циклом длины к без диагоналей (к > 3), и, наконец, задача решается для произвольного графа Т.
Содержание работы
Диссертация начинается с параграфа Предварительные сведения, в котором мы вводим главный объект настоящей работы частично коммутативную двуступенно нильпотентную Л-группу и определяем другие нужные нам понятия. Сформулируем основные определения.
Определение. Произвольную коммутативную область целостности содержащую Z как подкольцо, назовём биномиальным кольцом R, если для каждого элемента X к R и любого натурального числа п, кольцу R принадлежит следующий биномиальный коэффициент:
гмА(А-1)(А-2)...(А-п + 1)
7
Определение. Нильпотентная группа G ступени нильпотентности т называется R-группой (здесь R - биномиальное кольцо), если для любого А к R и х к G единственным образом определён элемент хх к G, и для всех элементов группы G и кольца R выполнены следующие аксиомы (х,у,Х\,... ,хп к G, Л,/ к R):
-L .аа /yаа /y Х t/yаа t/yаа t/yаа Ха Iа t/y J t/y
- y~lxxy = (y~lxy)x.
- x\ .. .xx = (ж,. ..хп)хт^{Х) ...т^ (X), где X = {xh .. .,xn}, тг{Х) - i-oe слово Петреску. Напомним читателю, что для любого натурального i, i-oe слово Петреску рекурсивно определяется следующей формулой:
х[...х\1 = т?(Х)т?(Х)... т^Г (Х)т? (X) в свободной группе F с порождающими х\,... ,хп, в частности,
п
п{Х) = хлх2...хт т2(Х) =аа Па [xt,Xj} mod 7з(^), где 7з(^) -третий элемент нижнего центрального ряда группы F.
В данной работе мы будем использовать нильпотентные группы ступени т = 2. Всюду далее, коммутатор двух элементов х,у к G будем обозначать через [х, у] = х~1у~1ху, через G' - коммутант группы G и через Z(G) - центр группы G.
Определение. Многообразие двуступенно нильпотентных групп N2 определяется тождеством:
G к N2 если Ух, у, z к G [х,у, z] = [[х, у], z] = 1.
В многообразии N2 третья аксиома в определении 2 -группы выглядит следующим образом:
3'.хх...хх = (х}...хп)хт2х(Х)}гдет2(х}...}хп)= Цаа [хг,х3].
< ,
Класс двуступенно нильпотентных Л-групп будем обозначать через А^д-Класс А^д является многообразием в языке Lr = Lgr U {f\ |A к R}, где Lgr - стандартный групповой язык, f\ - унарная алгебраическая операция,
8
которая интерпретируется в некоторой алгебраической системе G данного язьжа следующим образом:
/л(ж) = жА, где х к G.
Будем называть алгебраические системы язьжа Lr Д-группами, если в них выполнены аксиомы группы и аксиомы 1, 2 из определения 2, и нильпо-тентными Д-группами, если G - нильпотентная группа и в ней выполнены аксиомы 1,2,3.
Введём основное понятие данной работы - частично коммутативную двуступенно нильпотентную Д-группу, где Д-биномиальное кольцо, используя то, что в многообразии А^д, как и в других многообразиях, определена теория определяющих соотношений. Пусть Fn^R - свободная группа многообразия А^д, с базой V = {<2i,...,an}. Пусть Г - конечный простой граф (неориентированный граф без кратных рёбер и петель мы называем простым) с множеством вершин V(T) = V и множеством рёбер Е(Г). Определим частично коммутативную двуступенно нильпотентную Л-группу соответствующую графу Г с помощью порождающих и определяющих соотношений в многообразии А^д:
GT = {V\Rr)N2R, где Rr = {[аг,а3] = 1| {аг,а3) к Е(Г)}.
Далее, для формулировки результатов диссертации введём операторы _L и ad, введём отношение эквивалентности на вершинах графа Г, и определим понятие компресс-графа.
Пусть Г Ч произвольный конечный простой граф с множеством вершин X = {ж,... ,хп}. Для пары вершин ж, у из одной компоненты связности графа Г определим расстояние d(x,y) как минимум из всех длин путей, соединяющих х и у. Если х и у находятся в различных компонентах связности графа Г, то положим d(x, у) = ею. Для множества Y С X определим его ортогональное дополнение:
У-1- = {х X\d{x,y) < Уу к Y}.
Определение. Будем говорить, что множество У С X является замкнутым, если cl(Y) = Y, где cl(Y) = (У-1)-1.
Обозначим через Ь(Т) множество всех замкнутых подмножеств в X.
Определение. Для произвольного элемента х к X обозначим через ad(x) = (х1- \ {х})1- и пусть Lad = {ad(x)\x к X}.
9
Определение. Определим частичный порядок <ad на множестве X следующим образом: будем считать, что х <aj у тогда и только тогда, когда ad(x) С ad(y). Будем считать, что х <aj у тогда и только тогда, когда ad(x) С ad(y).
Определим на множестве X отношение эквивалентности ~_l правилом х ~_l 2/, х}у к X, если и только если х1- = yL. Обозначим через [х}_\_ класс ^-эквивалентности для х. Введём на X другое отношение эквивалентности ~0 правилом х ~0 у^ если и только если яг1 \ х = у1- \ у. Обозначим через [х]0 класс о-эквивалентности для х.
Определим отношение ~ на X по правилу х ~ у, если и только если или х ~ У-, или х ^0 у. Обозначим через [х] Ч класс эквивалентности элемента х к X и пусть [ж],..., [хт] Ч множество всех классов эквивалентности для элементов из X.
Определение. Компресс-граф для графа Г есть граф Гс с вершинами Xе = {[х]\х к X} и пары вершин [х] и [у] соединены ребром, если и только если (х}у) есть ребро в графе Г. Это определение ребра не зависит от выбора представителей в классах вершин [х] и [у].
Удобно рассматривать граф Гс в новой категории Ч в категории помеченных графов. Для этого разделим множество X в дизъюнктивное объединение трёх множеств:
Х = {х к Х\[х] = [х}0 = [х]}, Х = {хеХ\\[х]\ =гж>2},
Х0 = {хеХ\\[х]0\ = 1х>2}.
Если х к Xi, то метка х есть ц(х) = {1}. Если х к Х, то метка х есть ц(х) = {^,Гх}, если х к Х, то /(ж) = {o,lx}.
Обозначим через Aut(T) Ч группу автоморфизмов графа Г и через Aut{Tc) Ч группу автоморфизмов компресс-графа Гс как помеченного графа. Поскольку граф Гс конечный, то и группа автоморфизмов графа Aut(Tc) - конечная группа. Пусть ф к Aut(T): тогда фс = с о ф есть автоморфизм Гс как помеченного графа. Обозначим через Aut(c) : Aut(T) Ч> Aut(Tc), АиЬ(с)(ф) = фс. Для [х] к Xе пусть S^i Ч симметрическая группа порядка | [х] |, тогда верно
10
Предложение 3. [17]. Отображение Aut(c) есть эпиморфизм Aut(V) на Aut(Tc). Более того, существует вложение г : Aut(Tc) в Aut(V) такое, что
АЫ(Г) = ( Па SM)\Aut(Tc).
[х]еХс
Пусть Y С X, подгруппу группы Gp, построенную на вершинах из У, будем обозначать через Ру.
Первая глава диссертации посвящена изучению структуры группы автоморфизмов для частично коммутативных двуступенно нильпотентных групп.
Определим понятие Л-автоморфизма двуступенно нильпотентной R-группы G:
Определение. Пусть группа G из многообразия А^,д- Отображение ф : G Ч>ж G называется R-автоморфизмом, если
- ф Ч групповой автоморфизм;
- для любого х к G и любого а к R выполнено ф(да) = ф(д)а-
- группа G Ч -группа;
- автоморфизм группы Gявляется Д-автоморфизмом;
- Aut(G) Ч группа всех Л-автоморфизмов для G.
- Группа V(V) является нормальной подгруппой в V*(V).
- Верно равенство V(T) П Aut(T) = ker Autc, где Autc : Aut(T) -^ Aut(Tc) Ч канонический автоморфизм.
- Группа V*(Г)а есть полупрямое произведение V(V)а и Aut(Tc),а то есть V*{T) = V{T) X Aut{Tc).
- тг(ф) - проекция для ф Ч отображение фк{ф) является единственным среди проекций автоморфизма ф, которое является автоморфизмом принадлежащим V* (Г).
- Пусть ф = фо Х фк{ф), тогда тг(фо) = е, где Ч тождественный автоморфизм из Aut(Tc).
- Матрица [фо] является нижней клеточно-диагональной матрицей с единичными клетками на главной диагонали.
- Для любого g к G, существует однозначная запись в форме g = t^tf ...tp\ ateR
- Пусть Gi = (ti,.. Лр)и, тогда следующая цепочка подгрупп:
- Auti(Gr) = Autf(Gr) \Aut(Tc), где Aut(Tc) - группа автоморфизмов графа Гс;
- Aut^(Gr) = UT(Gy) X V(Gy), где V(T) - вершинная группа автоморфизмов, V{T) ^ Паа GL{\[xi]\,R).
- если R = Ъ, то множеством матриц Diagz и Try.
- если R - поле нулевой характеристики, то, соответственно, множеством матриц DiagR и Try.
- вопрос выполнимости ф(Т) решается для случая, когда граф Г Ч линейный граф (параграф 2.3);
- вопрос выполнимости ф(Т) решается для случая, когда граф Г является циклом длины п ^ 4 без диагоналей (параграф 2.4);
- рассматривается общий случай, то есть когда граф Г Ч произвольный конечный простой граф (параграф 2.5).
Пусть XЧ множество порождающих элементов группы Gв многообразии Л^2,д; G= (X)r, другими словами, наименьшая Л-подгруппа, содержащая X, совпадает с G. Тогда, как обычно, автоморфизм ф полностью определяется своими значениями на порождающем множестве X.
Далее, для удобства изложения, примем следующие допущения:
Пусть Г Ч конечный простой граф, Gp Ч частично коммутативная двуступенно нильпотентная Л-группа, и ф Ч R-автоморфизм Gp, X= {xi,..., хп} Ч множество канонических порождающих Gp. Пусть
ф(х\) = хгп ... ж?1пс,
Y\djn)а dj\аа Х Х Х djn^п
где Са ка Gr,аа ciijка R,i,j=а 1,...,п. Обозначим через [ф] Ч матрицу (aiij), i,j= l,...,n.
11
Так как коммутант Gr группы Gr характеристическая подгруппа, то автоморфизм ф индуцирует факторный автоморфизм ф на фактор-группе Gr/Gp, который является свободным Л-модулем с базой X= {ж,..., ж^}, причём
\dj I)dj\ Х Х Х djnаа 1
Y\JjnJ Ч Jjlаа Х Х Х Jjn
и матрица [ф] = [ф] = {(iij) к GL(n,R), i,j = l,...,n.
Во введённых обозначениях верна
Теорема 1.2. Пусть Gr частично коммутативная двуступенно ниль-потентная R-группа с множеством канонических порождающих X = {х\}... ,хп}. Тогда:
1)существует короткая последовательность:
1 -> IAut{GT) -> Aut{GT) -Д GL{n, R) -> 1,
где f Ч гомоморфизм факторизации, IAut(Gr) = ker/;
Auti(Gr) = Imf Ч подгруппа факторных автоморфизмов в GL(n} R);
2)IAut(Gr) Ч абелева нормальная подгруппа, изоморфная
Стр Xа ...а X Стр/
п раз
3)множество порождающих Aut(Gr) есть объединение прообразов мно
жества порождающих для Auti(Gr) и множества порождающих
для IAut(Gr).
Теорема 1.2 сводит изучение структуры Aut(Gr) к изучению структуры группы факторных автоморфизмов Auti(Gr)-
Важную роль в работе играет критерий для отображения группы Gr быть автоморфизмом. Перед его формулировкой введём понятие Г-допустимой матрицы:
Определение. Матрицу А = (о^-) к GL(n}R) Ч назовём!'-допустимой, если для любой пары индексов (i,j)таких, что (xi,Xj)а ка Е и любой другой пары индексов k,l,таких, что (xk,xi)аа ^а Е, минор порядка 2:
ы |
0.
12
Теорема 1.3. Отображение ф, определённое выше, продолжается до R-автоморфизма группы Gr тогда и только тогда, когда выполнены следующие два условия:
1.Матрица [в] = (c^j), i, j = 1,...п является Г - допустимой матри
цей.
/сЛ
2.Столбец С =аа :аа является произвольным элементом из свобод-
ного R-модуля (G'T)n.
Следующие теоремы описывают структуру группы линейных автоморфизмов Auti(Gr).
Теорема 1.5. Группа вершинных автоморфизмов V(V) изоморфна прямому произведению групп вида GL(rii}R)}i = l,...,m; другими словами,
т
V(T)^l[GL(nl}R). =\
Подгруппу V*(T) = (V(T), Aut(T)) из Auti(Gr) назовём обобщённой подгруппой вершинных автоморфизмов.
Теорема 1.6. Пусть V*(Г) Ч обобщённая подгруппа вершинных автоморфизмов, тогда
Пусть автоморфизм ф к Auti(Gr) с матрицей [ф] = (ску), i, j = 1,..., п и автоморфизм Л к Aut{Tc). Для формулировки следующих теорем нам понадобится понятие Л-проекции. В общих чертах, смысл понятия Л-проекции заключается в занулении некоторых блоков матрицы [ф]: в соответствии с Л.
Дадим подробное описание понятия Л-проекции. Автоморфизм Л графа Гс определяет подстановку s\ на множестве классов эквивалентных вершин графа Г:
13
sx:(lyi\аа жжаа Ут]\(Г
гА |
Обозначим через Маа множество матриц вида:
ш ы |
(а аыа\
W,]а оа оаа /
где АуУк} есть матрица из кольца матриц размерности \[укт}\ над R.
Пусть ф к Auti(Gr) с матрицей А = {puj). Пусть /(А) Ч множество пар (i,j), i,j = 1,...,п, таких, что (i,j)к /(Л) тогда и только тогда, когда если хг к [эд], то х3 к [у^], где sa(M) = [Ук,]- Обозначим через фх Ч отображение группы Gp с матрицей [ф\] = (с^-), где с^- = ску, если (,) к /(Л) и CKj- = 0, если (i,j)^ -/"(А). Ясно, что [0д] к МА. Отображение 0л назовём А-проекцией автоморфизма ф.
Теорема 1.7. Для юбого автоморфизма ф к Aiiг/(Gr) существует однозначно определённый автоморфизм тг(ф) из Aut(Tc) такой, что:
4- Автоморфизм ф индуцирует перестановку ^(ф) на множестве Lad, то есть Рамх\ = P<ad(x)yw для всех х к X, или, другими словами,
а(хф) Cad(fW).
Теорема 1.8. В обозначениях из теоремы 1.7 верны следующие утвер-эюоения.
1. Отображение 7Г : Auti(Gr) Ч>ж Aut(Tc) является эпиморфизмом. Пусть кегтг = Autf(GT). Тогда Auti{GT) = Autf(GT) X Aut{Tc), то есть, Auti(Gr) есть полупрямое произведение групп Autf(Gr) uAut{Tc).
14
2. Все матрицы автоморфизмов из Autf(Gr) являются нижне клеточно-диаг опальными и Aut^Gr) = UT(Gt)W(V), гдеТ(Сг) = Аи^(Ст)Г\ UTc(n, R), где UTc(n, R) Ч группа нижних унитреугольных матриц над R, у которых в блоковом представлении на главной диагонали находятся единичные блоки.
Перейдём к описанию унипотентной части UT(Gr).
Определение. Упорядоченное множество Т = {t\,... ,tp}, р к N;
элементов группы G называется мальцевской базой, если для него выполнены следующие условия.
G = Gl<G2<...<Gp< Gp+l = 1аа (2)
является центральным рядом
3.G{/G{+\ - одномерный свободный R-модуль с базой {ti}, где г к {1,... ,р}.
Элементами нашей мальцевской базы будут Г-допустимые трансвекции. Трансвекция trij(a) называется Г-допустимой, если Х{ <ad %j-
Теорема 1.9. Пусть Т Ч множество Г - допустимых трансвекции eudatrij(l) с порядком определённым выше, тогдаТ Ч есть мальцевская база для UT(Gr).
Определение. Высотой решётки допустимых множеств группы Gr назовём число равное максимальной длине строго убывающей цепочки элементов из X относительно порядка <aj. Будем обозначать это число через h(Gr)-
Теорема 1.10. Ступень нильпотентности группы автоморфизмов UT(Gr) равна h(Gr)-
Определим понятие арифметической группы над кольцом Z. Линейная алгебраическая группа, по определению, есть группа, основное множество которой есть аффинное алгебраическое множество, такое, что групповые операции умножения и обращения являются морфизмами в категории алгебраических множеств. Говорят, что линейная алгебраическая группа G Q-определена, если она есть подгруппа GL(n,C), а её основное множество определяется системой уравнений с коэффициентами из Q. Подгруппа А С G П GL(n, Q) называется арифметической подгруппой G, если она
15
соизмерима cGfl GL(n,Z). Напомним, что две подгруппы А и В группы G называются соизмеримыми, если А П В является подгруппой конечного индекса и в А, и в В.
Пусть R Ч биномиальное кольцо, содержащееся в С. Тогда подобным образом можно определить и понятие Л-арифметической группы, заменяя поле Q на поле частных кольца R.
Теорема 1.11. Пусть R Ч биномиальное кольцо, содержащееся в С, и пусть Auti(Gr) Ч группа факторных автоморфизмов группы Сг,д. Тогда группа Auti(Gr) является R-арифметической для случая, когда R есть кольцо Z или поле нулевой характеристики.
Перейдём к описанию порождающего множества для группы автоморфизмов Aut(Gr)
Из теоремы 1.2, следует, что gen(Aut(Gr)) = gen(Auti(Gr))Ugen(IAut(Gr)). Также в теореме 1.2 показано, что группа IAut(Gr) = (Gr)n, где GY коммутант группы Gy- Поскольку коммутант G'T имеет структуру свободного R - модуля с базой Y = {г/&/|для всех [xk}xi] =? 1}, то и его п-я степень IAut(Gr) = (G'T)n = G'T х ... х G'T также является свободным R - модулем размерности п Х \Y\,то есть имеет весьма понятную структуру, и система порождающих IAut(Gr), является произвольной базой для R-модуля (Ср)п. Таким образом, осталось описать порождающее множество для Auti(Gr)-
По теореме 1.8, имеем следующие разложения для Auti(Gr)'-
Из вышеуказанных разложений следует, что gen(Auti(Gr)) = gen(UT(Gr))U gen(V(T)) Ugen(Aut(Tc)). Мы в предыдущих параграфах описали порождающее множество для UT(Gr), описание же для группы вершинных автоморфизмов V(V) даёт
Теорема 1.12. Подгруппа V(T) порождается:
16
Таким образом, описано порождающее множество для всей группы автоморфизмов группы Gy-
Во второй главе мы работаем только с частично коммутативными дву-ступенно нильпотентными Q-группами, или, другими словами, рассматриваем случай когда биномиальное кольцо R является полем рациональных чисел. Глава начинается с определения экзистенциальной формулы ф(Т) по конечному простому графу Т. Приведём это определение: каждой вершине графа Т взаимооднозначно ставится в соответствие одна из букв Z\,..., zn формулы ф(Т), где |V^(T)| = п. Формула будет иметь вид:
ф(Т) = 3*1... zn(/\ [zi, Zj] = 1 Л /\[zk, zil^lA^Zi^ZjA^Zi^l),
i^ji
где [zi, Zj] = 1 тогда и только тогда, когда вершины, соответствующие Z{ и Zj в графе Т, соединены ребром, и [zk}zi] =? 1 если вершины, соответствующие Zk и zi в графе Т, не соединены ребром.
Во второй главе описываются все такие графы Т для которых формула ф{Т) выполняется на группе Gy для фиксированного графа Г. Для решения этой задачи в параграфе 2.2 вводятся операции на графах, называемые раздутием и сжатием первого, второго и третьего рода, удовлетворяющие свойству: применение данных операций к графу Т сохраняет выполнимость формулы на группе Gy- Другими словами, если граф Т\ получен из графа Т' раздутием или сжатием первого, второго или третьего рода, то формула ф{Т\) выполняется на группе Gy тогда и только тогда, когда формула фТ) выполняется на группе Gy-
Общий результат о выполнимости формулы ф(Т) на группе Gy для заданных графов Т и Г получается последовательно в три этапа:
Решение случая пункта 3 основано на разборе первых двух случаев, на базе которых получается общий случай. Случай первого пункта разобран Мищенко А.А., случай второго разобран автором диссертации.
17
Под линейным графом длины п Ч 1 мы понимаем граф с вершинами {#1,..., хп} и п Ч 1 ребром, которые соединяют вершины с соседними номерами. Группу Gt, построенную по графу Г, обозначим через Сттг- -На рисунке 1 изображён линейный граф длины 5, по которому строится группа
Gq.
Обозначим за Сусп - цикл длины п без диагоналей. |
Рис. 3: Граф Сусп
Определение. Конечный граф Т назовём к-циклическим графом, если в графе Т есть только один цикл длины к без диагоналей.
Определение. Обозначим за Сусп класс п-циклических графов, полученных из Сусп добавлением висячих вершин к невисячим вершинам. (См. рис. 4)-
Основные результаты второй главы можно сформулировать в следующей серии теорем:
Теорема 2.1. Если ф(Т) выполняется на Gn, где Т - дерево, то найдётся к < п, такое, что Т к Pathk-
18
га vn
Рис. 4: Граф из класса Сусп
Теорема 2.2. Формула ф(Т) выполняется на группе Gnдля произвольного графа Т, тогда и только тогда, когда Т к Pathkдля некоторого к < п, где Т получается из Т полным сжатием первого и второго рода.
Теорема 2.3. Если ф(Т) выполняется на GcyCn, где Т - дерево, то найдётся к < п, такое, что Т к Pathk-
Теорема 2.4. Если ф(Т) выполняется на GcyCn, гдеТ -п-циклический граф, то Т к Сусп.
Теорема 2.5. Формула ф(Т) выполняется на группе Gcycnдля произвольного графа Т, тогда и только тогда, когда Т к Pathkили Т к Сусп, к < п, где Т получается из Т полным сжатием первого и второго рода.
Теорема 2.6. Формула ф(Т) выполняется на группе Grдля произвольных графов Т иТ, тогда и только тогда, когда существует граф Го -полученный из Г последовательностью элементарных раздутий и сжатий первого, второго и третьего рода, такой, что Т полный подграф Го-
Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю Владимиру Никаноровичу Ремесленникову за постановку задачи и помощь в её решении, а также другу и соавтору Мищенко Алексею Александровичу за ценные советы по оформлению работы.
Список литературы
[1] Ч.К. Гупта, Е.И. Тимошенко, Частично коммутативные метабелевы группы: централизаторы и элементарная эквивалентность, // Алгебра и логика, 48(3) 2009, С. 309 - 341 2009.
19
[2] А.Г. Мясников, В.Н. Ремесленников. Изоморфизмы и элементарные свойства нильпотентных степенных групп // Докл. АН. СССР, 258(5), С. 1056- 1059, 1981.
[3] А.Г. Мясников, В.Н. Ремесленников. Формульность множества маль-цевских баз и элементарные свойства конечномерных алгебр // Сиб. мат. журн., 23(5), С. 152 - 167, 1982. Translation in Sib. Math. J., 23(5), pp. 711-724, 1982.
[4] А.А. Мищенко. Об универсальной эквивалентности частично коммутативных двуступенно нильпотентных Q-групп // Вестника Омского Университета специальное издание, С. 93 - 100, 2008.
[5] А.А. Мищенко. Структура координатных групп для алгебраических множеств в частично коммутативных нильпотентных группах // Алгебра и логика, 48(3), С. 378 - 399, 2009.
[6] P. Hall. Nilpotent groups // Canad. Math. Congr. Summer. Sem., Univ. of Alberta, Edmonton, 1957; reprint, The Edmonton notes on nilpotent groups, Queen Mary College, London 1969.
[7] J. Crisp, B. Wiest, Embeddings of graph braid groups and surface groups in right-angled Artin groups and braid groups" Algebra, Geometry, Topology, 4, pp. 439 - 472, 2004.
[8] S.P. Humphries. On representations of Artin groups and the Tits conjecture // J. Algebra 169(3), pp. 847 - 862, 1994.
[9] C. Wrathall. Free partially commutative groups, // Combinatorics, computing and complexity (Tianjing and Beijing, 1988), Math. Appl. (Chinese Ser.), 1, Kluwer Acad. Publ, Dordrecht, pp. 195 Ч 216, 1989.
[10] R. Charney. An introduction to right-angled Artin groups // Geometriae Dedicata, 125, pp. 141 - 158, 2007.
[11] R. Charney, J. Crisp and K. Vogtmann. Automorphisms of two-dimensional right-angled Artin groups // Geometry & Topology, 11, pp. 2227 - 2264, 2007, [12] C. Droms. Isomorphisms of graph groups // Proc. Am. Math. Soc, 100, pp. 407 - 408, 1987.
20
[13] H. Servatius. Automorphisms of Graph Groups // J. Algebra, 126(1), pp. 34 - 60, 1989.
[14] M.R. Laurence. A generating set for the automorphism group of a graph group // J.London Math. Soc, 52(2), pp. 318 - 334, 1995.
[15] K.H. Kim, L. Makar-Limanov, J. Neggers, F. Roush. Graph Algebras // J. Algebra, 64, pp. 46-51, 1980.
[16] A.J. Duncan, I.V Kazachkov, V.N. Remeslennikov. Centraliser dimension and universal> [17] A.J. Duncan, I.V Kazachkov, V.N. Remeslennikov. Orthogonal systems in finite graphs // Siberian Electronic Mathematical Reports, 5, pp. 151 -176, 2008.
[18] A.J. Duncan, I.V. Kazachkov, V.N. Remeslennikov. Parabolic and quasiparabolic subgroups of free partially commutative groups // J. Algebra, 318(2), pp. 918 - 932, 2007, [19] E. Esyp, I. Kazachkov, V. Remeslennikov. Divisibility theory and complexity of algorithms for free partially commutative groups // Groups, Languages, Algorithms. Contemoprary Mathematics, 378, pp. 319 - 348, 2005.
[20] A. Duncan, I.V. Kazachkov, V.N. Remeslennikov. Automorphisms of partially commutative groups. I: Linear subgroups", arXiv:math/0803.2213vl [math.GR] 14, pp. 1 - 25, 2008.
[21] G.A. Noskov. The image of the authomorphism group of a graph group under the abelinization map // Статья представлена в Вестник Новосибирского Государственного Университета. Серия: математика, механика, информатика.
Список работ автора
[22] А.В. Трейер. Два результата для группы автоморфизмов частично коммутативных двуступенно нильпотентных групп // Вестник НГУ. Серия: Математика, механика, информатика, 10(2) 2010, С. 2 - 15, 2010.
21
[23] В.Н. Ремесленников, А.В. Трейер. Структура группы автоморфизмов для частично коммутативных двуступенно нильпотентных групп // Алгебра и логика, 51(1), С. 60 - 97, 2010.
[24] А.А. Мищенко, А.В. Трейер. Выполнимость ?-формул на частично коммутативных двуступенно нильпотентных Q-группах // Вестник Омского Университета, 1, С. 15 - 17, 2006.
[25] А.А. Мищенко, А.В. Трейер. Структура централизаторов для частично коммутативной двуступенно нильпотентной Q-группы // Вестника Омского Университета спец. выпуск, С. 98 - 102, 2007.
[26] А.А. Мищенко, А.В. Трейер. Графы коммутативности для частично коммутативных двуступенно нильпотентных Q-групп // Siberian Electronic Mathematical Reports, 4, С. 460 - 481, 2007.
22
Трейер Александр Викторович
Автоморфизмы и теоретико-модельные вопросы для нильпотентных частично коммутативных групп.
Специальность 01.01.06 - математическая логика, алгебра и теория чисел
АВТОРЕФЕРАТ
диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук
Подписано в печать 27.04.2010. Формат бумаги 60x84 1/16.
Печ. л. 1,5. Уч.-изд. л. 1,3. Тираж 100 экз. Заказ 106.
Издательство ОмГУ
644077, г. Омск-77, пр. Мира 55-а.
Авторефераты по темам >>
Разные специальности - [часть 1] [часть 2]