Н.С.Бахвалов, Н.П.Жидков, Г.М.Кобельков ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ Данная книга представляет собой переработанный вариант учебного пособия Численные методы тех же авторов, вышедшего в 1987 году. Добавлен

материал, относящийся к решению систем линейных уравнений с плохо обусловленными матрицами, решению задачи Коши для систем жестких обыкновенных дифференциальных уравнений, аппроксимации функций, методу сопряженных градиентов. Видоизменено изложение оптимального линейного итерационного процесса и рассмотрен многосеточный итерационный метод Ч один из наиболее применяемых в настоящее время методов решения сеточных краевых задач.

Содержание Предисловие 7 Введение 8 1 Погрешность результата численного решения задачи 17 з 1. Источники и классификация погрешности 17 з 2. Запись чисел в ЭВМ 21 з 3. Абсолютная и относительная погрешности. Формы записи данных 22 з 4. О вычислительной погрешности 25 з 5. Погрешность функции 27 з 6. Обратная задача 32 2 Интерполяция и численное дифференцирование з 1 Постановка задачи приближения функций з 2. Интерполяционный многочлен Лагранжа з 3. Оценка остаточного члена интерполяционного многочлена Лагранжа з 4. Разделенные разности и их свойства з 5. Интерполяционная формула Ньютона с разделенными разностями з 6. Разделенные разности и интерполирование с кратными узлами з 7. Уравнения в конечных разностях з 8. Многочлены Чебышева з 9. Минимизация оценки остаточного члена интерполяционной формулы з 10. Конечные разности з 11. Интерполяционные формулы для таблиц с постоянным шагом з 12. Составление таблиц з 13. О погрешности округления при интерполяции з 14. Применения аппарата интерполирования. Обратная интерполяция з 15. Численное дифференцирование з 16. О вычислительной погрешности формул численного дифференцирования з 17. Рациональная интерполяция 3 Численное интегрирование з1. Простейшие квадратурные формулы. Метод неопределенных коэффициентов з 2. Оценки погрешности квадратуры з 3. Квадратурные формулы НьютонаЧ Котеса з 4. Ортогональные многочлены з 5. Квадратурные формулы Гаусса з 6. Практическая оценка погрешности элементарных квадратурных формул з 7. Интегрирование быстро осциллирующих функций з 8. Повышение точности интегрирования за счет разбиения отрезка на равные части з9. О постановках задач оптимизации з 10. Постановка задачи оптимизации квадратур з11. Оптимизация распределения узлов квадратурной формулы з 12. Примеры оптимизации распределения узлов з 13. Главный член погрешности з14. Правило Рунге практической оценки погрешности з 15. Уточнение результата интерполяцией более высокого порядка точности з 16. Вычисление интегралов в нерегулярном случае з 17. Принципы построения стандартных программ с автоматическим выбором шага 4 Приближение функций и смежные вопросы з 1. Наилучшие приближения в линейном нормированном пространстве з 2. Наилучшее приближение в гильбертовом пространстве и вопросы, возникающие при его практическом построении з 3. Тригонометрическая интерполяция. Дискретное преобразование Фурье з 4. Быстрое преобразование Фурье з 5. Наилучшее равномерное приближение з 6. Примеры наилучшего равномерного приближения з 7. О форме записи многочлена з 8. Интерполяция и приближение сплайнами 5 Многомерные задачи з 1. Метод неопределенных коэффициентов з 2. Метод наименьших квадратов и регуляризация. з 3. Примеры регуляризации з 4. Сведение многомерных задач к одномерным з 5. Интерполяция функций в треугольнике з 6. Оценка погрешности численного интегрирования на равномерной сетке з 7. Оценка снизу погрешности численного интегрирования з 8. Метод Монте-Карло з 9. Обсуждение правомерности использования недетерминированных методов решения задач з 10. Ускорение сходимости метода Монте-Карло з 11. О выборе метода решения задачи 6 Численные методы алгебры з 1. Методы последовательного исключения неизвестных з 2. Метод отражений з 3. Метод простой итерации з 4. Особенности реализации метода простой итерации на ЭВМ з 5. 2 -процесс практической оценки погрешности и ускорения сходимости з6. Оптимизация скорости сходимости итерационных процессов з 7. Метод Зейделя з 8. Метод наискорейшего градиентного спуска з 9. Метод сопряженных градиентов з 10. Итерационные методы с использованием спектрально- эквивалентных операторов з11. Погрешность приближенного решения системы уравнений и обусловленность матриц. Регуляризация з 12. Проблема собственных значений з 13. Решение полной проблемы собственных значений при помощи QR- алгоритма 7 Решение систем нелинейных уравнений и задач оптимизации з 1. Метод простой итерации и смежные вопросы з 2. Метод Ньютона решения нелинейных уравнений з 3. Методы спуска з 4. Другие методы сведения многомерных задач к задачам меньшей размерности з 5. Решение стационарных задач путем установления з 6. Как оптимизировать ? 8 Численные методы решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений з 1. Решение задачи Коши с помощью формулы Тейлора з 2. Методы РунгеЧ Кутта з 3. Методы с контролем погрешности на шаге з 4. Оценки погрешности одношаговых методов з 5. Конечно-разностные методы з б. Метод неопределенных коэффициентов з 7. Исследование свойств конечно-разностных методов на модельных задачах з 8. Оценка погрешности конечно-разностных методов з 9. Особенности интегрирования систем уравнений з 10. Методы численного интегрирования уравнений второго порядка з11. Оптимизация распределения узлов интегрирования 9 Численные методы решения краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений з 1. Простейшие методы решения краевой задачи для уравнений второго порядка з 2. Функция Грина сеточной краевой задачи з 3. Решение простейшей краевой сеточной задачи з 4. Замыкания вычислительных алгоритмов з 5. Обсуждение постановок краевых задач для линейных систем первого порядка з 6. Алгоритмы решения краевых задач для систем уравнений первого порядка з 7. Нелинейные краевые задачи з 8. Аппроксимации специального типа з 9. Конечно-разностные методы отыскания собственных значений з 10. Построение численных методов с помощью вариационных принципов з 11. Улучшение сходимости вариационных методов в нерегулярном случае з 12. Влияние вычислительной погрешности в зависимости от формы записи конечно-разностного уравнения 10 Методы решения уравнений в частных производных з 1. Основные понятия теории метода сеток. з 2. Аппроксимация простейших гиперболических задач з 3. Принцип замороженных коэффициентов з 4. Численное решение нелинейных задач с разрывными решениями з 5. Разностные схемы для одномерного параболического уравнения з 6. Разностная аппроксимация эллиптических уравнений з 7. Решение параболических уравнений с несколькими пространственными переменными з 8. Методы решения сеточных эллиптических уравнений 11 Численные методы решения интегральных уравнений з1. Решение интегральных уравнений методом замены интеграла квадратурной суммой з 2. Решение интегральных уравнений с помощью замены ядра на вырожденное з 3. Интегральные уравнения Фредгольма первого рода Заключение Список литературы Предметный указатель Предметный указатель Алгоритм ненасыщаемый, 65 Весовая функция, Аппроксимация, 379 Восполнение, дифференциального уравнения Выделение весовой функции, разностной схемой, 379 Гарантированные оценки Большое число, 23 погрешности на классе Валле-Пуссена теорема, 179 функций, Вариация, 522 Главный член погрешности, Верная цифра, 23 Дивергентность разностной схемы, 527 методы, Дискретные коэффициенты Фурье, схемы, 173 Ленточная структура, Дифференцирование численное, 76 Линейная оценка погрешности, Замыкание алгоритма, 437 Линейное разностное уравнение, нерегулярное, 437 Мажорирующее разностное регулярное, 437 уравнение, Значащие цифры, 23 Матрица Интегрирование Грама, осциллирующих функций, 116 ортогонализации, системы уравнений, 396 отражений, Интерполирование, 36 Мера с кратными узлами, 49 обусловленности Интерполяционная формула матрицы, Лагранжа, 41 системы, Ньютона, 46 погрешности аппроксимации, для интерполирования назад, 69 Метод для интерполирования вперед, 69 Адамса, Интерполяция, 36 Гаусса, квадратичная, 72 Зейделя, линейная, 71 Монте-Карло, тригонометрическая, 173 Ньютона решения нелинейных Итерационные методы построения уравнений, многочлена наилучшего Ритца, равномерного приближения с РунгеЧКутта, использованием спектрально Эйлера, эквивалентных операторов, 300 вариационно-разностный, Квадратуры верхней релаксации, Гаусса, 106 вилки, Грегори, 143 квадратного корня, Лобатто, 111 конечных элементов, НьютонаЧКотеса, 94 наименьших квадратов, Ромберга, 149 наискорейшего спуска, Симпсона, 88 неопределенных коэффициентов, 39, Филона, 117 Эйлера, 142 оврагов, обобщенные, 122 оптимальный, прямоугольников, 86 парабол, составные, 122 покоординатного спуска, трапеций, 87 пристрелки, Количество арифметических прогонки, операций, 41 проекционно-разностный, Конечно-разностное уравнение, 51 простой итерации, 265, Конечно-разностные регуляризации, релаксации, 289 прогонки, сверхрелаксации, 290 Обусловленность секущих, 335 матрицы системы, сопряженных градиентов, 294 системы, спуска, 336 Однородные схемы, стрельбы, 449 Односторонние формулы численного суммарной аппроксимации, 579 дифференцирования, циклической прогонки, 434 Одношаговые методы численного штрафа, 340 интегрирования, Методы Оператор расщепляющийся, интерполяционные, 376 Оптимальные квадратуры, экстраполяционные, 376 Оптимальный Многочлен наилучшего линейный итерационный процесс, равномерного приближения, 178 279, Многочлены по порядку итерационный процесс, Лагерра, 104 42, Лежандра, 104 Оптимизация Чебышева, 58 методов, второго рода, 104 оценки погрешности первого рода, 104 интерполирования, Эрмита, 104 распределения узлов интегрирования.

Якоби, 103 наименее уклоняющиеся от нуля, 60 скорости сходимости итерационного Наилучшее равномерное процесса, приближение, 178 Ортогональная система, Недетерминированный метод, 242 Ортогональные многочлены, Некорректные задачи, 608 Ортонормированная система Неравенство элементов, Бесселя, 169 Остаточный член формулы Лагранжа, Чебышева, 233 Очень большое число. -неравенство, Параметр регуляризации, Неустойчивость, Переобуславливатель, Неявная схема, метод, 376, Планирование эксперимента, Норма энергетическая, Плохо обусловленные системы, Нормы Повышение порядка точности векторов и матриц, разностной схемы, эквивалентные, Погрешность Область абсолютная, зависимости, аппроксимации дифференциального сходимости метода, уравнения разностной схемой, Обобщенное решение, 504, Обратная интерполяция, вычислительная, Обратный ход метода квадратуры на классе функций, Гаусса, математической модели, 17 Согласованные нормы, метода, 17 Спектральная эквивалентность, на классе задач, 63 Спектральный признак устойчивости, на шаге, 371 506, неустранимая, 17 Сплайн, относительная, 22 интерполяционный, предельная, 27 локальный, Порядок Стандартные программы, метода, 329 Строго нормированное пространство, погрешности аппроксимации, 380 Почти собственные значения, 270 Схема Эйткена, Преобразование Фурье Схемы, точные на решениях быстрое, 175 специального вида, дискретное, 173 Сходимость, Принцип замороженных Таблица разделенных разностей. коэффициентов, 521 Теорема Проблема собственных значений Валле-Пуссена, полная, 315 Чебышева, частичная, 315 Точки чебышевского альтернанса, 2-процесс ускорения сходимости, Триангуляции, Тригонометрическая интерполяция, Прямое произведение формул интегрирования, Узел интерполирования, внутренний, дифференцирования, граничный, Прямой ход метода Гаусса, нерегулярный, прогонки, приграничный, Разности регулярный, вперед, сетки, высшего порядка, Узлы интерполяции, конечные. Уравнения в конечных разностях, назад, Условие разделенные, центральные, 65, Разностная схема, 377 сильной минимальности, экономичная, 568 Устойчивость, Ряд Фурье дискретный, конечный, безусловная, 173 по начальным данным, Сеточная функция Грина, 423 условная, Сжатое отображение, 326 Формула Симметризация системы уравнений, Абеля, 276 Ромберга, Система жесткая, 398 Симпсона, Слой, 530 Филона, прямоугольников, 86 обусловленные системы, с кратными узлами, 96 Шаблон, трапеций, 87 Шаг таблицы, Формулы Экстраполяция, Адамса, 363, 378 Элемент наилучшего приближения, Грегори, 143 численного дифференцирования, 76 Элементарный треугольник, Функция сильно растущая, 23 Энергетическое Характеристическое уравнение, 55 неравенство, разностной схемы, 384 тождество, Хорошо Явная схема, 376, обусловленная (поставленная) Явный метод, 376, краевая задача,    Книги, научные публикации