Книги по разным темам Журнал технической физики, 2002, том 72, вып. 5 01;05;06;08;11 Лазерное возбуждение изгибных волн и их рассеяние фрактальными неоднородностями в тонкой пластине й М.Л. Лямшев Научный центр волновых исследований Института общей физики РАН, 119991 Москва, Россия e-mail: lyamshev@kapella.gpi.ru (Поступило в Редакцию 30 октября 2001 г.) Рассматриваются возбуждение изгибных волн в тонкой пластине (пленке) гармонически модулированным лазерным излучением и их рассеяние на малых статистических фрактальных неоднородностях. Получено выражение для средней интенсивности флуктуаций поля рассеянных волн. Установлена связь интенсивности с параметрами лазерного излучения, характеристиками пластины и фрактальной размерностью неоднородностей. Обсуждается ожидаемая частотная зависимость затухания изгибных волн в пластине, обусловленная их рассеянием на фрактальных неоднородностях.

Пленки из различных материалов с различными фи- используется метод малых возмущений. Полученные зическими свойствами служат основой приборов совре- результаты могут представить интерес в связи с лазерменной электроники и лазерной техники. К настоящему ной оптоакустической диагностикой неоднородностей в времени достигнут значительный прогресс в их полу- пленках применительно к неразрушающему контролю чении. Например, удается выращивать алмазные пленки пленок.

большой площади (до тысяч cm2) и толщиной порядка Рассеяние изгибных волн на случайных неодно1Ц2mm [1]. Алмазные пленки могут найти применение родностях в пластине уже рассматривалось ранее.

при создании алмазных окон для мощных CO2-лазеров.

Неоднородности предполагались либо дельта-коррелиПоверхность любой пленки является шероховатой рованными [5], либо их статистические свойства описы(неровной). Это связано, в частности, с технологивались гауссовой корреляционной функцией [6]. Однако ческими процессами выращивания пленки из газовой неоднородностями в пленках-пластинах часто присущи фазы ростового вещества. Шероховатость пленки может фрактальные свойства. Фрактальные структуры харакдостигать до 10% от толщины пленки. Следует отметеризуются масштабной инвариантностью или скейлинтить, что поверхности реальных тел всегда являются гом. Как следствие этого корреляционные функции и шероховатыми. Даже в тех случаях, когда они кажутся спектры статистических фракталов описываются степенидеально ровными (гладкими), в действительности они ными законами с дробным показателем [2]. Принятые шероховаты, и дело лишь в масштабах этих шерохов [5,6] статистические модели неоднородностей могут ватостей [2]. Недавно сообщалось, например, что на оказаться неадекватными реальным неоднородностям в поверхности жесткого диска компьютера наряду с регупластинах (пленках).

ярными неровностями-бороздками, несущими сигнальПусть на тонкую пластину падает вертикально к ее ную информацию, всегда существуют статистические поверхности луч лазера с гармонически модулированной неровности с фрактальными свойствами [3]. Большое интенсивностью. Для смещений u(x, y) пластины, совервлияние на физические свойства пленок (механические, шающей вынужденные изгибные колебания, справедливо электрические, магнитные и другие свойства) оказывауравнение [7] ет их внутренняя структура. Нередко микроструктура F(x, y) пленки является неупорядоченной и фрактальной. Это [ - k4(x, y)]u(x, y) =, (1) g в полной мере относится, например, к пленке Ч слою где аморфного полупроводника [4].

2 2 EhС акустической точки зрения пленки можно рас + ; g =, x2 y2 3(1 - ) сматривать как тонкие пластины с неоднородностями, обусловленными неровностями поверхности и микроне- k4(x, y) =k4 1 + (x, y), k4 =[32(1 - )]/Eh2, однородностями внутренней структуры. Ниже рассматg Ч цилиндрическая жесткость; E Ч модуль Юнга; Ч ривается возбуждение изгибных волн в тонкой пластине коэффициент Пуассона; 2h Ч толщина; Ч плотность гармоническим модулированным лазерным излучением и их рассеяние неоднородностями пластины. Предпола- материала пластины; Ч круговая частота модуляции интенсивности лазерного излучения; k Ч волновое гается, что поглощение лазерного излучения происходит в тонком приповерхностном слое пластины, толщина число распространяющихся изгибных волн (колебаний) которого значительно меньше толщины пластины. Неод- в пластине; (x, y) Ч случайная статистически однонородности предполагаются случайными, статистически родная функция, характеризующая неоднородности в однородными и малыми (слабыми). Для решения задачи пластине; (x, y) = 0 и |(x, y)| 1; F(x, y) ЧфункЛазерное возбуждение изгибных волн и их рассеяние фрактальными неоднородностями... ция, характеризующая внешнюю силу, обусловленную где R = x2 + y2; (x, y) Ч координаты точки набдействием лазерного излучения на пластину. людения; (x0, y0) Ч координаты точки источника;

Предположим, что пластина непрозрачна для лазер- k2 = k2 + k2.

x y ного излучения и оно поглощается в тонком приповерх- Подставляя (8) в (6) и интегрируя, получим для ностном слое пластины. Это не ограничивает общности нулевого приближения u0(x, y) рассмотрения проблемы. Обычно распределение интенE1mI0a2 exp(ikR) k2aсивности I0(x, y) лазерного излучения на поверхности u0(x, y) = exp -. (9) пластины подчиняется гауссову закону. С учетом ска- Cpg 32ik5 R занного для F(x, y) можно написать выражение [8] Из (9) следует, что ДнулеваяУ изгибная волна в зоне Фраунгофера представляет собой цилиндрическую E1m x2 + yF(x, y) =- I0 exp -, (2) расходящуюся волну, амплитуда которой определяется Cp aмощностью (I0a2) лазерного излучения и параметрами где a Ч радиус лазерного луча (пучка) на поверхно- пластины. Обращает на себя внимание множитель сти пластины, Ч коэффициент объемного теплового k2aрасширения, Cp Ч удельная теплоемкость материала exp -, пластины, m Ч коэффициент модуляции (0 m 1) и 1 Ч коэффициент поглощения лазерного излучения из которого следует, что амплитуда ДнулевойУ волны в пластине.

существенно зависит от параметра (ka), характериПредставим смещение пластины в виде зующего размеры лазерного ДпятнаУ на поверхности пластины по сравнению с длиной волны. Можно видеть, u(x, y) u0(x, y) +u1(x, y) +..., (3) = что для эффективного возбуждения нулевой изгибной волны в пластине необходимо, чтобы размеры лазерного где u1(x, y) Ч смещения, обусловленные рассеянием изгибных волн ДнулевогоУ приближения со смещения- пятна на поверхности пластины удовлетворяли условию ka 1.

ми u0(x, y).

Рассмотрим флуктуации смещений пластины в поле Подставляя (3) в (1) и принимая во внимание (2), рассеянной волны. В предположении, что фронт падаюполучаем для u0(x, y) и u1(x, y) следующие уравнения:

щей нулевой волны в области с коррелированными неодE1 x2 + yнородностями является плоским, решение уравнения (5) ( - k4)u0(x, y) =- I0 exp -, (4) Cpg a2 можно представить выражением k2 exp(ikR1) ( - k4)u1(x, y) =-4k4(x, y)u0(x, y). (5) u1(x1, y1) =AR2ik Пользуясь методом функции Грина, решения уравнений (4) и (5) можно написать в виде (x0, y0) exp[ikxx0 + ikyy0] S ui(x, y) = Qi(x0, y0)G(x0, y0/x, y)ds(x0, y0), (6) S exp[-ik xx0 - ik yy0]ds(x0, y0). (10) где Qi(x, y) Ч функции, описывающие правые части Здесь A0 u0(x, y) Ч характеризует амплитуду уравнений (4) и (5) (i = 0, 1); G(x0y0/x, y) Ч функция падающей ДнулевойУ волны на расстоянии R = x2 + yГрина, являющаяся решением уравнения в области расположения неоднородностей; r0(x0, y0) Ч координаты точки с недонородностями; r1(x1, y1) Ч ( - k4)G(x0, y0/x, y) =(x0 - x)(y - y0) (7) координаты точки наблюдения. Умножая (10) на комплексно-сопряженное выражение, получаем для и удовлетворяющая условию излучения на бесконечносреднего квадрата флуктуации смещений пластины в сти. Предположим, что кривизна фронта падающей на рассеянной волне.

неоднородности ДнулевойУ изгибной волны не влияет на эффекты рассеяния, т. е. фронт волны на масштабах kкорреляции неоднородностей можно считать плоским. |u1(x1, y1)|2 = |A0|2 B(x 0, y 0, x 0, y 0 ) 2RПоле рассеянных волн будем рассматривать в зоне ФраS унгофера по отношению к размерам радиуса корреляции exp[ik(n - n )(r 0 - r 0 )]dx(x 0, y 0)dx(x 0, y 0 ), (11) неоднородностей. В этом случае для отыскания нулевого и первого приближений смещений пластины достаточно где B(x 0, y 0, x 0, y 0 ) (x 0, y 0)(x 0, y 0 ) Ч функция знать асимптотику функции Грина, как это следует из корреляции случайных неоднородностей; n и n Ч теоремы взаимности [8]. Она имеет вид [7] векторы, характеризующие соответственно направление падающей (ДнулевойУ) и рассеянной (первого приближеexp(ikR) G(x0, y0/x, y) =- exp(ikxx0 + ikyy0), (8) ния) волн.

32ik5R Журнал технической физики, 2002, том 72, вып. 140 М.Л. Лямшев Введем относительные координаты = x 0 - x 0 и = Подставляя (18) в (14), получаем для коэффициента = y 0 - y 0, и координаты центра тяжести 1 = рассеяния = 1/2(x 0 + x 0 ) и 2 = 1/2(y 0 + y 0 ). Принимая во mS 2 2k3r2[(1 + q2r2)+1]-1. (19) 0 внимание, что функция корреляции статистически Из выражения (19) следует, что при q2r2 однородных процессов зависит лишь от разности фрактальные свойства неоднородностей не играют роли координат, а интегрирование по координатам центра в рассеянии волн. Напротив, при qr0 1 получаем тяжести дает величину площади S пластины, получаем mS 2 2k3(qr0)-2-2. (20) = + kОценим частотную зависимость затухания изгибных |u1(x1, y1)|2 = |A0|2 S B(r ) exp(iqr )dr. (12) 2R1 волн, обусловленную рассеянием на неоднородностях, - () mSd. (21) В выражении (12) конечные пределы интегрирования, определяемые размерами площади пластины S, Рассмотрим случай неоднородностей в виде структур заменены на в силу того, что величина функции с фрактальной границей. Известно, что для таких струккорреляции быстро стремится к нулю за пределами тур фрактальная размерность границ может быть в преобласти корреляции неоднородностей и делах D 1, 3-1, 7 (см., например, [2]). Подставляя это q = k(n - n )r (x, y ). значение фрактальной размерности в (16) и принимая во внимание, что d = 2, получаем = -(2, 7-2, 3).

Интеграл в выражении (12) с точностью до мно- Приравнивая величине показателя при q в выражителя (2)-2 представляет собой пространственный жении (20), получаем значение, характеризующее энергетический спектр флуктуаций неоднородностей порядок функции Макдональда = 0, 35-0, 15. Имея в виду, что q k, получаем для частотной зависимости + коэффициента затухания G(q) =(2)-2 B(r) exp(iqr)dr. (13) () 0,3-0,7.

Можно видеть, что показатель в частотной зависиОпределим теперь, как это принято в статистической мости затухания равен нецелому числу. Это обусловлено фрактальными свойствами неоднородностей. Покатеории волн, коэффициент рассеяния mS, который будет определяться потоком энергии через границу замкнуто- затель может служить мерой фрактальности неоднородностей [10]. Заметим, что теория затухания ультразвука го контура радиуса R. С учетом (12) и (13) получим в твердом теле, обусловленного наличием дислокаций, mS 2k3G(q). (14) приводит к зависимости () -1, т. е. к нефрактальной зависимости: показатель в частотной зависимости Важнейшей особенностью фрактальных моделей неод- затухания равен целому числу.

нородностей является степенной спектр флуктуаций, Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ который можно представить в виде (грант № 99-02-16334) и INTAS (грант № 97-31680).

G(q) q, (15) Список литературы где параметр характеризуется дробной величиной, а для неоднородностей с фрактальной границей (фрак[1] Handbook of Industrial Diamonds Films / Ed. M.A. Prulas, тальной поверхностью) определяется выражением L. Popovie, L. Bigelow. Marcel Dekker, Inc., 1997.

[2] Feder J. Fractals. New York: Plenum Press, 1988.

= D - 2d. (16) [3] Karaback T., Zhao Y.-P., Liew T. et al. // J. Appl. Phys. 2000.

Vol. 88. N 6. P. 3361Ц3366.

Здесь D Ч фрактальная размерность, d Ч размер[4] Chen Z., Zhang S., Tan S.O. // J. Appl. Phys. 2001. Vol. ность пространства вложения. Для описания случайных (1). P. 783Ц785.

фрактальных неоднородностей возьмем функцию корре- [5] Рыбак С.А. // Акуст. журн. 1971. Т. 17. № 3. С. 412Ц418.

[6] Красильников В.Н. // Акуст. журн., 1962. Т. 8. № 2. С. 183 - ляции в виде (см., например, [9]) 188.

[7] Morse P.M., Ingard U.K. Yheoretical Acoustics. New York:

B(r) = 2 [2-1 ()]-1(r/r0)K(r/r0), (17) Mc. Graw-Hill Book Comp., 1968. 937 p.

где () Ч гамма-функция; K(u) Ч функция Макдо- [8] Лямшев Л.М. Лазерное термооптическое возбуждение звука. М.: Наука, 1989. 232 с.

нальда порядка v; r0 Ч радиус корреляции неоднород[9] Zhao Y.-P., Wang G.-C., Lu T.M. // Phys. Rev. B. 1998. Vol. ностей.

(11). P. 7300Ц7309.

Для энергетического спектра имеем [10] West B.J., Shlesinger M.F. // J. Stat. Phys. 1984. Vol. 36.

P. 779Ц786.

G(q) = 2 r2[(1 + q2r2)+1]-1. (18) 0 Журнал технической физики, 2002, том 72, вып.    Книги по разным темам