Книги по разным темам Журнал технической физики, 2005, том 75, вып. 9 01;09 Фрактальная модель частотной зависимости ослабления электромагнитных волн фрагментами растительности й В.К. Балханов, Ю.Б. Башкуев Бурятский научный центр СО РАН, 670047 Улан-Удэ, Россия e-mail: lab@rgp.bsc.buryatia.ru (Поступило в Редакцию 20 сентября 2004 г.) Дана теория, описывающая степенную частотную зависимость ослабления Y электромагнитных волн СВЧ диапазона фрагментами растительности, экспериментально открытая в работе [1]. Установлено, что Y 3-D, где Ч круговая частота; 3 Ч размерность евклидова пространства; D Ч фрактальная размерность структуры, образованная фрагментами растительности.

Введение стотную зависимость ослабления. В конце покажем, как найденную зависимость можно определить из качественного фрактального анализа.

В работе [1] экспериментально определена степенная частотная зависимость ослабления электромагнитных волн СВЧ диапазона фрагментами растительно1. Связь ослабления с приведенным сти (рис. 1). Наиболее естественным описанием выимпедансом явленной закономерности является привлечение фрактального подхода и эквивалентной электрической схеНа рис. 2 представлена схема измерительной устамы. Такой подход позволяет выразить степенной поновки [1]. Как отмечено в самой работе [1] и видно казатель в зависимости от ослабления частоты через из схемы на рис. 2, условия эксперимента позволяют фрактальную размерность D и размерность евклидова считать, что на объемный слой, образованный фрагпространства, куда вложены фрагменты растительности.

ментами растительности, падает плоская волна. Сам Сначала в нашей работе ослабление будет выражено эксперимент состоит в измерении волны (1/Y )eikx, прочерез приведенный импеданc как величину, часто шедшей рассматриваемый объемный слой. Здесь Y Ч употребляемую в радиофизике [2]. Затем покажем, как искомое ослабление, k Ч волновое число, x Ч ось строится фрактальное множество, описывающее фраграспространения плоской волны. Для однородной среды менты растительности. Далее электрические свойства в СВЧ диапазоне квадрат волнового числа фрагментов растительности промоделируем эквивалентными электрическими схемами, из которых составим иерархическую систему, и в итоге получим искомую чаk2 =.

CЗдесь Ч круговая частота, C Ч скорость света, Ч комплексная диэлектрическая проницаемость. Ослабление находится из решения волновой задачи в трехслойной среде: свободное пространствоЦобъемный слой, заполненный фрагментами растительности,Цсвободное пространство. С учетом существования прямой и обратной волны в объемном слое для множителя Y, который как раз и описывает ослабление, можно получить следующее выражение:

Y = -1. (1) Приведенный импеданс неоднородных сред отличен от случая однородной среды. Однако будем предполагать справедливость линейной связи между ослаблением и обратной величиной приведенного импеданса и в случае неоднородных сред, к которым относятся и фрагменты растительности. Простейшая модель, в рамках которой Рис. 1. Частотная зависимость ослабления ЭМ волн с основ- приведенный импеданс связан с неоднородностью среды, 2.046 1.694 0.ными ветками: Y = 5.92 f (1), 9.47 f (2), 1.26 f (3). основана на фрактальном множестве.

Фрактальная модель частотной зависимости ослабления электромагнитных волн... схемы и рассматриваемого явления и построение электрической цепи означают, что характеристики последней подчиняются тем же соотношениям, что и исходные физические явления. В данной статье мы примем, что фрагменты растительности образуют емкостную среду и могут быть промоделированы в широком диапазоне частот активным сопротивлением R и емкостью C.

В нашем рассмотрении задачи мы имеем дело с приведенным импедансом. В электрической схеме приведенный импеданс можно получить, разделив сопротивление всех элементов электрической схемы на сопротивление свободного пространства, равного 377. Чтобы не Рис. 2. Схема измерительной установки. 1 Ч излучательный загромождать формулы, это сопротивление свободного рупор, где формируется плоская волна; 2 Ч приемный рупор.

пространства не выписываем.

Приступим к моделированию электрических свойств фрагментов растительности эквивалентной иерархиче2. Фрактальное множество ской электрической схемой, состоящей из последовательно соединенных активного сопротивления R и емкоМы привлечем методы фрактальной геометрии [3,4] сти C (рис. 3). Эта схема полностью аналогична схеме, для построения фрактальной модели фрагментов расиспользованной в работе [5]. Приведенный импеданс тительности. Аналогичные модели, например, были испервой ветки пользованы для анализа шероховатостей [5].

() =R +.

Пусть вначале имеем одну ветку. Ее длину можно iC измерить масштабом, прикладывая его только один При последующем разбиении фрагментов растительраз: N() =1. Разделим отрезок на три части, причем боности на две следующие параллельные ветки сопроковые составят 1/ часть от исходного. Срединную часть тивление r изменяем в раз, а r0 и емкость C выбрасываем. Возьмем теперь масштаб равным /;

оставляем неизменными. Импеданс для этого случая прикладывая его два раза, можно измерить общую двух параллельных диэлектрических веток будет длину оставшихся отрезков, т. е. N(/) =2. Заменяя 1 здесь 2 на 2 N(), получаем функциональное уравнение () = R +.

2 iC N(/) =2N(). Его решение: N() -D, где степенной показатель D = ln 2/ ln называют фрактальной разПерепишем его в виде, из которого будет виден мерностью. Если взять несколько веток и расположить механизм дальнейшего простроения общего импеданса их на плоскости, то после описываемого построения фрактальная размерность будет D = ln 4/ ln. Заполняя () =.

ветками объемную камеру, для фрактальной размерно1 + 1/R iC сти образованной ими структуры находим Далее каждую из веток снова разбиваем на два меньln ших ветвления с увеличенным в раз сопротивлением r D =. (2) ln 3. Эквивалентная электрическая схема При анализе волновых процессов в неоднородных средах необходимо иметь аналитическое выражение для частотных характеристик основных электрических параметров. Одним из возможных методов представления частотных зависимостей электрических параметров могут служить эквивалентные схемы, позволяющие наглядно представить основные особенности этих зависимостей [6]. Методология отображения уравнения Максвелла на графические состоит в том, что электромагнитные поля в исследуемой области подвергаются своеобразной проекции Ч они отображаются на пространственную электрическую цепь с сосредоточенными или распреде- Рис. 3. Эквивалентная электрическая схема для моделироваленными элементами [7]. Сопоставление электрической ния фрагментов растительности.

Журнал технической физики, 2005, том 75, вып. 134 В.К. Балханов, Ю.Б. Башкуев и неизменными r0 и C. Собирая все, получаем общий в виде исследовательского инструмента взять электроимпеданс в виде бесконечной дроби магнитные волны, то естественным масштабом будет длина волны, т. е. за мы должны принять длину электромагнитной волны. Заменяя теперь на 1/, () =R +.

iC + снова приходим к соотношению (6).

R+ iC+ 2R+...

В конце необходимо заметить следующее. Фрактальная размерность отражает геометрические свойства Если в выражении неоднородной среды. Однако результаты, представленные на рис. 1, явно указывают на зависимость разR + iC +...

мерности D от влажности. Причем, как следует из результата (7) и выводов работы [1], с увеличением параметр вынести за скобки, то легко находим влажности величина D уменьшается. Указанная зависи мость означает, что влажность существенным образом () =R +. (3) влияет на геометрические характеристики фрагментов iC + () растительности. Отвлекаясь от детального исследования такого влияния, которое будет сделано позднее, укажем В пределе, когда () 1, из (3) следует только, что из данных, представленных в работе [1], следует соотношение () = (). (4) В случае трехмерного пространства выражение (4) D = 0.582 m-0.885.

примет следующий вид:

Здесь m Ч гравиметрическая влажность растительности.

() = ().

Это Ч функциональное уравнение, и его решение Заключение будет () -3+D, (5) Согласно основному положению фрактальной геометгде использовали (2).

рии Ч самоподобию, физические величины при налиПодставляя (5) в (1), получаем искомую частотную чии многомасштабности выражаются через друг друга зависимость ослабления степенным образом. Однако, используя только самоподобие объектов, в общем случае невозможно выразить Y 3-D. (6) степенные показатели через фрактальную размерность.

Необходимо привлечение других аргументов. Мы при Используя результаты, полученные в [1], находим рассмотрении ослабления электромагнитных волн фрагфрактальную размерность для трех случаев различментами растительности предлагаем подход, основанный ной влажности, представленных на рис. 3 работы [1]:

на представлении геометрии фрагментов растительности D(1) =0.95; D(2) =1.3; D(3) =2.3. По-видимому, это фрактальным множеством.

типичные значения размерностей, которые имеют фрагДля определения зависимости ослабления от частоменты растительности, а возможно, и лесные масты вводится приведенный импеданс, а неоднородная сивы.

среда из фрагментов растительности представляется в виде фрактальной структуры. При этом электриче4. Качественная фрактальная ские свойства фрагментов растительности моделируюткартина ся иерархической эквивалентной схемой из активных сопротивлений и емкостей. Предложенное построение В работе [1] было отмечено, что Днаблюдается близпозволяет получить степенную частотную зависимость кая к линейной зависимость ослабления от биомассы ослабления, где степенной показатель выражен через растительностиУ. Поскольку объем измерительной кафрактальную размерность.

меры фиксировали, то ослабление оказывается пропорВыявленная степенная частотная зависимость ослабциональным плотности биомассы. В свою очередь ления получена также из независимого качественного плотность определенным образом связана с линейным фрактального анализа. На основании существенной заразмером [8]. Обозначим линейный размер как, тогда висимости от влажности фрагментов растительности [1] из пропорциональности Y следует, что Y 1/3-D.

нами предложена формула зависимости D от гравиметСогласно основным положениям фрактальной геометрической влажности ее фрагментов.

рии, для исследования неоднородных объектов необходимо иметь масштабную линейку. Используя ее, объ- Работа частично поддержана грантами РФФИ екты можно рассмотреть в различных масштабах. Если (№ 03-05-96029, 05-01-97200, 05-02-97202).

Журнал технической физики, 2005, том 75, вып. Фрактальная модель частотной зависимости ослабления электромагнитных волн... Список литературы [1] Чухланцев А.А., Маречек С.В., Новичихин Е.П. и др. // РЭ.

2004. Т. 49. № 6. С. 677Ц682.

[2] Башкуев Ю.Б. Электрические свойства природных слоистых сред. Новосибирск: Изд-во СО РАН, 1996. 196 с.

[3] Mandelbrot B.B. Les Objets Fractals: Forme, Hazard et Dimension. Paris: Flammarion, 1975.

[4] Мандельброт Б. Фрактальная геометрия природы. М.:

Изд-во Института компьютерных исследований, 2002.

656 с.

[5] Лиу С., Каплан Т., Грэй П. // Фракталы в физике. М.: Мир, 1988. С. 543Ц552.

[6] Ржевский В.В., Коренберг Е.Б. Рудничная радиоинтроскопия и радиосвязь. М.: Недра, 1978. 189 с.

[7] Петров А.С., Иванов С.А., Королев С.А. и др. // Успехи современной радиоэлектроники. 2002. № 1. С. 3Ц38.

[8] Федер Е. Фракталы. М.: Мир, 1991. 254 с.

Журнал технической физики, 2005, том 75, вып.    Книги по разным темам