Книги по разным темам
Журнал технической физики, 2004, том 74, вып. 11 01;04 Влияние сжимаемости на устойчивость идеально проводящей плазменной струи плоской и цилиндрической конфигурации й И.А. Жвания, В.Г. Кирцхалия, А.А. Рухадзе Сухумский физико-технический институт, 384914 Сухуми e-mail: sipt@myoffice.ge Институт общей физики им. А.М. Прохорова РАН, 119991 Москва, Россия (Поcтупило в Редакцию 10 марта 2004 г.) Рассматривается влияние сжимаемости на устойчивость плазменной струи при различной конфигурации ее поверхности, являющейся поверхностью тангенциального разрыва. Показано, что сжимаемость может играть как дестабилизирующую, так и стабилизирующую роль в зависимости от соотношения магнитогидродинамических параметров струи и среды, в которой она движется. Показано также, что в определенных условиях влияние сжимаемости зависит от длины волны возмущения.1. Дисперсионное уравнение, описывающее соб- постоянная, имеющая размерность скорости; d Чтолственные колебания идеально проводящей плазменной щина или диаметр струи; Up = /k Ч фазовая скорость;
струи в магнитогидродинамическом приближении, имеет Ч длина волны возмущения, которое задается в виде вид [1Ц3] плоской волны.
N2() Уравнение (1) получено в предположении, что век= -G(, ), (1) N1() торы V, k и Hi направлены вдоль оси Z, являющейся где осью симметрии цилиндрической струи. Плоская струя N1() =b2 - 2, (2) 1 симметрична относительно плоскости X = 0 и рассматN2() =b2 - (a - )2. (3) ривается полупространство X 0. Следовательно, воз2 мущения задаются следующими формулами:
Вид функции G(, ) зависит от конфигурации поверхности струи, являющейся поверхностью тангенциf (x, z, t) = f (x) exp i(kz - t) i i ального разрыва для плоской струи, (9) m2 th (m1) для плоской струи, m1 f (r, z, t) = f (r) exp i(kz - t) i i G(, ) = m2I0(m1)K1(m2) для цилиндрической струи.
для цилиндрической струи, (10) m1I1(m1)K0(m2) (4) i = 1 относится к внутренней области струи, а i = 2 Чк Здесь введены обозначения внешней. Предполагается также, что волны, излучаемые (b2 - 2)(1 - 2) 1 струей во внешнюю область, являются поверхностными, m2 = = 1 + 1(), (5) 2 1b2 - (1 + b2)чему соответствует m2 > 0.
1 2. В несжимаемом случае, когда Ci = (i = 1, 2), b2 - (a - )2 2 - (a - )i() =0, уравнение (1) переходит в квадратное уравm2 = = 1 + 2(), (6) 2 2b2 - (2 + b2)(a - )2 2 нение относительно. Требуя неотрицательность его дискриминанта, условие устойчивости струи запишется 1() =, (7) 2 2 в виде [3,4] 1b2 - (1 + b2)1 (a - )4 G() +1 G()b2 + b1 2() =, (8) a2. (11) 2 2b2 - (2 + b2)(a - )2 G() 2 причем I0, I1, K0, K1 Ч модифицированные функции Знак равенства в (11) соответствует критическоБесселя, а му значению скорости a2, при превышении которой cr для заданной длины волны возмущения развивается V - Up V VA1 VA =, a =, b1 =, b2 =, неустойчивость. Функция G() определяется из (4) при C C C C m1 = m2 = 1 и ее график приведен на рис. 1. Видно, 1 C1 C2 kd d что для плоской струи она монотонно растет от =, 1 =, 2 =, = =, 2 C C до 1, а для цилиндрической монотонно убывает от где V Ч скорость струи относительно неподвижной до 1. Следовательно, конфигурация струи существенно плазменной среды; VAi = Hi/ 4i Ч скорость Аль- влияет на ее устойчивость лишь при длинноволновых вена; i Ч плотность; Ci Ч скорость звука; C Ч возмущениях, когда <1.
Влияние сжимаемости на устойчивость идеально проводящей плазменной струи... 3. Рассмотрим теперь эту задачу с учетом малой сжимаемости, когда i 1 и i > bi. В этом случае |i()| 1, т. е. m2 > 0 (i = 1, 2), поэтому правая часть i уравнения (1) является отрицательной величиной, из чего следует, что условие реальности его корней, необходимое для устойчивости струи, может выполняться лишь в том случае, если N1() и N2() имеют разные знаки. В условиях малой сжимаемости, когда i > bi, из выражений (5) и (6) следует, что неравенство m2 > i выполняется, если Ni () и Di() имеют одинаковые знаки, где Di Ч знаменатель m2, причем при их положиРис. 1. График функции G(): 1 Ч плоская струя, 2 Ч i тельности в среде распространяется поперечная волна цилиндрическая струя.
альвеновского типа, а при отрицательности Ч продольная магнитозвуковая волна. Таким образом, струя устойчива, если внутри и вне струи распространяются магнитогидродинамические волны разной природы, приacr > <чем волна первого типа генерируется на той стороне тангенциального разрыва, где альвеновская скорость больше, а второго Ч там, где меньше [5].
<1 >2 Будем считать G(, ) медленно меняющейся от (b1+ b2)2+ b1(1 - )функцией и запишем уравнение (1) в виде (b1+ b2)G(, 0) +1 2 - 2a + aG - G(, 0)b2 - b2 = 0, (15) 1 Рис. 2. Зависимость a2 от G() для несжимаемой плазменной cr струи. G() < 1 Чплоская струя, G() > 1 Ч цилиндрическая где 0 Ч корень уравнения (1) в несжимаемом слуструя.
чае, соответствующем критическому значению скорости струи, когда дискриминант уравнения равен нулю.
Разложив функцию G(, 0) в ряд по малым параВ работе [4] приведен анализ выражения (11) с метрам 1 = i(0) и ограничившись членами первого целью определения минимального значения acr, ниже порядка малости, найдем которой струя устойчива при любых. На рис. 2 показан результат этого анализа, из которого следует, что влия- G(, 0) =G()(1 + ), (16) ние конфигурации струи в данном случае определяется где параметром b2 2H2 1/ = =. (12) 2 0 2 - 1 1 - для плоской струи, b1 1H1 2 sh K1() K0() I0() I1() Видно, что в области G() 1, соответствующей = 0 1+ - - 1 1+ 2 2 K0() K1() 2 I1() I0() плоской струе, наблюдается следующая закономерность:
для цилиндрической струи.
если >1, то с увеличением G() от 0 до 1 (с увеличением от 0 до ) a2 монотонно убывает от до (17) cr минимального значения в точке G() =1 Можно показать, что все множители при i положительные величины, поэтому a2 =(b1 + b2)2 + b2(1 - )2. (13) cr G()=0 > 0, если 2 > 0, 1 < 0, (18) 0 При <1 a2 является немонотонной функцией G() < 0, если 2 < 0, 1 > 0.
cr и его минимальное значение, достигаемое в точке экстремума G() =, равно Сравнив (2) и (3) с (7) и (8), легко найдем, что при 0 i > bi знаки 1 совпадают со знаками Ni = Ni(0).
Для критической скорости при малой сжимаемости из a2 =(b1 + b2)2. (14) cr min уравнения (15) будем иметь Область G() 1 соответствует цилиндрической G(, 0) +1 G(, 0)b2 + b1 струе, и здесь мы имеем обратную картину. Таким a2 =. (19) cr G(, 0) образом, при >1 плоская струя более устойчива, чем цилиндрическая, а при <1 Ч наоборот.
Журнал технической физики, 2004, том 74, вып. 134 И.А. Жвания, В.Г. Кирцхалия, А.А. Рухадзе скачка магнитного поля (H2 > H1; 2 1), так иза счет acr <скачка плотности (H2 H1; 2 >1). В первом случае =0 VA2 > VA1 и, как было указано выше, N2 > 0 (2 > 0) >0 0 и N1 < 0 (1 < 0). Тогда, как следует из (18), >и a2 < 0, т. е. сжимаемость дестабилизирует течение, cr 2 причем при устойчивом течении внутри генерируется b1(1 - ) (b1+ b2)2+ b1(1 - )2 магнитозвуковая волна, а вне Ч волна альвеновского b1(1 - ) типа. В другом случае VA2 < VA1; следовательно, N2 < 0 0 (2 < 0), N1 > 0 (1 > 0), <0 и a2 > 0, т. е. сжиcr маемость стабилизирует течение, причем вне струи G генерируется магнитозвуковая волна, а внутри Ч волна Рис. 3. Зависимость a2 от G() для плоской сжимаемой струи cr альвеновского типа.
при >1.
Для цилиндрической струи оптимальным является условие <1, G() 1, следовательно, разность в квадратных скобках в (22) Ч положительная величина, >acr т. е. знак a2 определяется знаком. Здесь аналогично cr =будем иметь следующее: если H2 < H1 и 2 1, то
(b1+ b2)2+ b1(1 - )В другом случае, когда H2 H1 и 2 <1, имеем обрат2 b1(1 - ) ную картину. Результаты этого анализа схематически показаны на рис. 3 и 4.
Представляет интерес рассмотрение случая, когда G струя течет в неоптимальных с точки зрения устойчиРис. 4. Зависимость a2 от G() для цилиндрической струи cr вости условиях, т. е. когда для плоской струи <1, а при <1.
для цилиндрической >1. Соответствующие результаты анализа выражения (22) представлены на рис. 5 и 6.
Видно, что в этих условиях влияние сжимаемости на Так как (19) формально совпадает с (11), его анализ устойчивость струи зависит не только от соотношения даст аналогичный результат, с той лишь разницей, что точка экстремума, определяемая формулой acr > G() =, (20) =1 + <будет несколько сдвинута вправо или влево в зависимо2 сти от знака. Изменится также величина a2 в точке b1(1 - ) cr (b1+ b2)2+ b1(1 - )G() =1 и будет равна 2 b1(1 - ) (b1+ b2)a2 =(b2 + b2) +b2(1 - )2 + b2(1 - 2).
cr 1 2 1 G()=(21) G Рассмотрим разность квадратов критических скороРис. 5. Зависимость a2 от G() для плоской струи при <1.
cr стей a2, определяемых формулами (19) и (11), cr b2 G2() - a2 =. (22) cr G() acr = >Ясно, что влияние сжимаемости на устойчивость течения плазменной струи будет определяться знаком этой разности: если a2 > 0, то сжимаемость стабилизирует cr 2 b1(1 - ) <струю, а если a2 < 0 Ч дестабилизирует. Проведем cr (b1+ b2)2+ b1(1 - )2 2 анализ выражения (22) с учетом результатов работ [4,5].
b1(1 - ) Так как с точки зрения устойчивости для плоской (b1+ b2)струи наиболее оптимальным является случай >1, G а G() 1, то разность в квадратных скобках Ч отрицательная величина. С другой стороны, неравенство Рис. 6. Зависимость a2 от G() для цилиндрической струи cr 2 =(2H2/1H1)1/2 > 1 может выполняться как за счет при >1.
Журнал технической физики, 2004, том 74, вып. Влияние сжимаемости на устойчивость идеально проводящей плазменной струи... магнитогидродинамических параметров внутри и вне струи, но и от длины волны возмущения.
В заключение можно сделать общий вывод о том, что если рассматривать плазменную струю определенной конфигурации (плоскую или цилиндрическую), то сжимаемость может играть как дестабилизирующую, так и стабилизирующую роль в зависимости от условий, в которых течет струя, и от длины волны возмущения, тогда как она однозначно дестабилизирует тангенциальный разрыв в его классическом понимании. Кроме того, плазменная струя работает как генератор магнитогидродинамических волн, природа которых также определяется условиями ее течения.
Список литературы [1] Кирцхалия В.Г. // Сообщения АН ГССР. 1983. Т. 117. № 2.
С. 282Ц283.
[2] Гвелесиани А.И., Джандиери Г.В., Кирцхалия В.Г. // Сообщения АН ГССР. 1986. Т. 121. № 1. С. 61Ц63.
[3] Parker E.N. // Astrophys. J. 1964. Vol. 39. P. 690Ц709.
[4] Kirtskhalia V.G., Zhvania I.A., Gvelesiani A.I. // Bulletin of the Georgian Academy of Science. 2000. Vol. 161. N 31. P. 48Ц50.
[5] Кирцхалия В.Г., Рухадзе А.А. // Краткие сообщения по физике ФИАН. 2003. № 11. С. 50Ц54.
Журнал технической физики, 2004, том 74, вып.
Книги по разным темам