Книги по разным темам
Журнал технической физики, 2004, том 74, вып. 7 01 Фрактальные блуждания и блуждания на фракталах й В.В. Учайкин Ульяновский государственный университет, 432700 Ульяновск, Россия e-mail: uchaikin@sv.uven.ru (Поступило в Редакцию 25 декабря 2002 г. В окончательной редакции 4 декабря 2003 г.) Рассматривается одномерное блуждание частицы, совершающей мгновенные скачки между случайно распределенными ДатомамиУ среды, в которых она пребывает случайное время. Случайные расстояния между соседними парами атомов и промежутки времени между перескоками взаимно независимы. Исследуется асимптотическое (t ) поведение этого процесса в связи с проблемой интерпретации обобщенного уравнения диффузии с дробными производными (УДДП). Показано, что в рассматриваемой модельной задаче интерпретация УДДП как уравнения, описывающего блуждания (диффузию) во фрактальной среде, неверна. Причина в том, что при выводе УДДП предполагается независимость последовательных скачков (фрактальные блуждания), тогда как в рассматриваемом случае они коррелированы: частица, покидающая ДатомУ в направлении, обратном предыдущему, проходит тот же самый путь до попадания в атом.Введение Столь характерные свойства интерпретируются как фрактальность среды (наличие больших пустот на всех Появившийся и энергично распространяющийся в масштабах) и память частицы (вероятность покинуть последнее десятилетие термин Даномальная диффузияУ, атом в единицу времени зависит от того, когда частица или как синоним Дстранная кинетикаУ, используется в него попала). Уточнению первой, фрактальной интердля обозначения таких процессов, в которых диффупретации и посвящена настоящая работа.
зионный пакет расплывается по закону, отличному от нормального случая (t) t. Чаще всего используется Одномерный фрактальный газ аппроксимация (t) t1/, где показатель отличен от 1/2. К числу таких процессов относятся перенос В работе [5] случайное распределение {Xj} = зарядов в аморфных полупроводниках, диффузия в по=..., X-2, X-1, X0, X1, X2,... точечных атомов на прялимерных и пористых материалах, в турбулентных и мой, обладающее свойствами 1) X0 = 0; 2) Xi < Xj, вращающихся потоках, в межзвездной среде и скальных если i < j; 3) Xj - Xj-1 = R Ч взаимно независимые, j породах и др. [1Ц3].
одинаково распределенные случайные величины с обАналитическое описание таких процессов часто осущей функцией распределения F(x), названо одномерным ществляется посредством обобщенного уравнения дифлоренц-газом. Легко видеть, что распределение вероятфузии с дробными производными (УДДП), в одномерности числа атомов N+(x) в промежутке (0, x] выражаном случае имеющего вид ется через многократные свертки распределения F(x) /2 соотношением p(x, t) 2 t= -D - p(x, t) + (x), W (n, x) P{N+(x) =n} = Fn(x) - Fn+1(x).
t x2 (1 - ) Аналогичное соотношение имеет место и для распре0 < 2, 0 < 1. (1) деления числа частиц N-(x) в интервале [-x, 0). Полное Здесь (z ) Ч гамма-функция Эйлера, число атомов на отрезке [-x, x] равно сумме t N(x) =N+(x) +N-(x) +1.
p(x, t) 1 p(x, )d = Выбирая разные функции распределения F(x), полуt (1 - ) t (t - ) чаем различные модели случайной среды. Так, использование ступенчатой функции Хэвисайда Ч производная Римана-Лиувилля дробного порядка, (-2/x2)/2 Ч дробная степень оператора второй про- 0, x < a, F(x) =H(x - a) изводной [4]. Показатели и связаны с распределе1, x a ниями случайных пробегов R и времен пребывания дает одномерную детерминированную решетку, экспочастицы в ловушках-атомах асимптотическими соотноненциальное распределение шениями P{R > r} r-, r F(x) =1 - exp{-x} и приводит к независимо распределенным атомам (пуассоP{ >t} t-, r. новская модель).
124 В.В. Учайкин Нетрудно видеть, что удовлетворяющий условию (3) лоренц-газ обладает следующими свойствами: 1) все атомы равноправны и все процессы N(Xj, Xj + x) статиd d стически эквивалентны N(Xj, Xj + x) = N(x) (символ = обозначает равенство распределений связываемых им случайных величин); 2) среднее (по ансамблю) число атомов растет с тощиной слоя, отсчитываемой от одного из них по степенному закону, N(x) N1x, 0 <1;
3) относительные флуктуации числа атомов в этом слое не убывают с увеличением его толщины, а остаются постоянными.
Эти свойства и дают основание назвать полученную структуру стохастическим фракталом (или фрактальным газом) Ч самоподобным в вероятностном смысле мноРис. 1. Регулярное (слева) и фрактальное (справа, = 0.75) жеством с фрактальной размерностью. Для фрактальраспределения атомов на прямой в разных масштабах.
ного газа вместо (2) имеет место соотношение f N(x), x f (N1xz, x)w(z )dz (5) В любом случае, если математическое ожидание случайной величины R конечно, мы получаем в асимптотике при x. Оно указывает на отсутствие самоусреднябольших x N(x) x и относительные флуктуации емости на фрактальных структурах Ч главную причину (x)/ N(x) 0. Это значит, что если f N(x), x Ч отличия блужданий на фракталах от блужданий в регунекоторая гладкая функция случайной переменной N, то лярной среде.
при x f N(x), x f N(x), x, т. е. с увеличением толщины слоя x происходит самоусреднение Фрактальная память f N(x), x f N(x), x. (2) Пусть теперь Аналогичным образом построим случайное множество точек {Tj} = T1, T2, T3,... на положительной поA 1 - F(x) x-, x <1. (3) луоси времени, характеризующее случайные моменты (1 - ) перескока блуждающей частицы с одного атома на В этом случае среднее расстояние между атомами другой. Как и выше, будем полагать случайные величины бесконечно, реальные же расстояния будут конечными = T, = T2 - T1, = T3 - T2,... взаимно неза1 2 в любой реализации случайной среды. Бесконечность висимыми и одинаково распределенными с функцией математического ожидания R приводит к тому, что на распределения Q(t) =P{
словами, частица не обладает памятью. Во всех остальных случаях говорят о частице с памятью, а если z n B W (i, x) w(z )dz, x, (4) 1 - Q(t) t-, t, < 1, i=1 (1 - ) то о частице с фрактальной памятью. Все, что было где z = n/ N(x), сказано выше относительно ансамбля {Xi}, справед-1-1/ -1/ z z ливо и для ансамбля {Ti}, в том числе и правило w(z ) = g+,.
(1 + ) (1 + ) усреднения (5). Если K(t) Ч случайное число скачков в фиксированном интервале (0, t], то усредненная по Здесь g+(z, ) Ч сосредоточенная на положительной статистическому ансамблю {Ti} функция h K(t), t удополуоси z > 0 плотность распределения вероятностей, влетворяет асимптотическому соотношению преобразование Лапласа которой имеет вид h K(t), t h(K1tz, t)w(z )dz, t. (6) g+(z, )e-z dz = e-.
Журнал технической физики, 2004, том 74, вып. Фрактальные блуждания и блуждания на фракталах Блуждание на фрактале Заключение Рассмотрим теперь процесс одномерного блуждания Чтобы ответить на поставленный в начале статьи частицы вдоль оси 0X. В начальный момент она на- вопрос, приведем решение уравнения УДДП (1), описыходится в начале координат. По истечении случайного вающее фрактальное блуждание Ч блуждание, при ковремени T1 = она перескакивает с равной вероятно- тором пробеги частицы имеют то же распределение, что стью в один из двух соседних атомов, где пребывает и интервалы между атомами рассматриваемой среды, но в течение случайного времени, после чего вновь независимы друг от друга (даже и в том случае, когда совершает скачок в один из соседних атомов (которым блуждающая частица меняет направление). Оно имеет теперь может оказаться и атом, находящийся в начале вид (,) координат, с которого она начинала движение).
f (x, t) =(Ct)-1/ (Ct)-1/x, (9) Если мы в качестве координаты выберем не x, а номер (,) где Ч плотность, частный тип которой использоатома i, а в качестве времени Ч не t, а номер момента ван в выражении (8).
скачка j, то в соответствии с центральной предельной Сопоставление пространственного распределения (8) теоремой получим частицы, блуждающей на фрактале, с решением i УДДП (9) (рис. 2) показывает, что последнее в общем 1 P{I < i|J = j} e-x /2 jdx, j. (7) случае нельзя интерпретировать как уравнение, описы2 j - вающее блуждание на фракталах: в первом случае диффузионный пакет расплывается по закону t/(2), во Этот результат является следствием усреднения по втором Ч по закону t/, т. е. гораздо быстрее. В слуансамблю случайных траекторий частиц с фиксирочае блужданий на фракталах показатель = /(2) ванными узлами и моментами перескока [7]. Чтобы принадлежит интервалу, меняется в пределах (0, 1/2) и получить искомую функцию распределения, необходимо усреднить (7) по двум независимым статистическим ансамблям {Xi} и {Tj}, т. е. по случайным значениям I и J индексов i и j соответственно, F(x, t) = P{I < i|J = i}.
Выполняя это усреднение с использованием формул (4) и (5), после некоторых преобразований получим (,) F(x, t) (Ct)-/(2)x, t, x, где C = const, (,) (2,) (x) = (x/y) g+(y, )dy, 0 Рис. 2. Пространственные распределения частицы, совершающей блуждания на фрактале (1) и фрактальные блуждания (2).
(2,) а (x) Ч субдиффузионное распределение, выведенНа вставке Ч изменение ширины соответствущих диффузионное в работе [8].
ных пакетов со временем. Показатели = 0.5, = 0.25.
Соответствующее соотношение для плотностей имеет вид f (x, t) =(Ct)-/(2) (2,) (Ct)-/(2)y- g+(y, )dy. (8) При 1 g+(y, ) (y - 1) и (2,) f (x, t) =(Ct)-2 (Ct)-/2.
(2,) При 1 распределение переходит в нормальное. При одновременном выполнении этих двух условий мы получаем гауссову форму для самой плотРис. 3. Траектории частицы, совершающей блуждания на ности f (x, t), что соответствует нормальной диффузии в фрактале (слева) и фрактальные блуждания (справа). Показарегулярной среде. тели = 0.5, = 1.
Журнал технической физики, 2004, том 74, вып. 126 В.В. Учайкин супердиффузионный режим ( >1/2) вообще не возникает. Причину этого различия можно увидеть из рис. 3:
фрактально блуждающая частица после вылета из атома всегда может уйти на большое расстояние, тогда как в случае блуждания на фрактале она может оказаться запертой между соседними кластерами, совершая между ними большое число переходов.
Различаются в рассматриваемых случаях и сами формы плотностей распределений (,) и (,).
В заключение подчеркнем, что эти выводы справедливы для статистического ансамбля одномерных ДзастывшихУ распределений. В многомерном блуждании корреляция между последовательными пробегами может быть выражена слабее и меньше сказываться на различии. Кроме того, ситуация может существенно измениться, если в течение характерного времени пребывания частицы на одном из атомов расположение атомов заметно меняется (как это имеет место при дифффузии в турбулентной среде, отсюда и супердиффузия).
Тем не менее установленные в настоящей работе факты представляются полезными для правильного понимания роли уравнений с дробными производными в проблеме диффузии частиц на фракталах с атомами-ловушками.
Автор благодарен В.В. Саенко за проведение численных расчетов и Е.В. Кожемякиной за подготовку рукописи к изданию.
Работа частично поддержана Российским фондом фундаментальных исследований (грант № 0001-00284, 0002-17507) и the Royal Society (grant gt/fSU/JP).
Список литературы [1] Bouchud J.-P., Georges A. // Phys. Rev. 1990. Vol. A41. P. 1156.
[2] Isichenko M.B. // Rev. Mod. Phys. 1992. Vol. 64. N 4. P. 961.
[3] ben-Avraham D., Havlin S. Diffusion and Reactions in Fractals and Disordered Systems. Cambridge University Press, 2000.
[4] Самко С.Г., Килбас А.А., Маричев О.И. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения.
Минск: Наука и техника, 1987.
[5] Barkai E., Fleurov V., Klafter J. // Phys. Rev. 2000. Vol. E61.
P. 1164.
[6] Боровков А.А. Курс теории вероятностей. М.: Наука, 1972.
[7] Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения. Т. 1. М.: Мир, 1967.
[8] Учайкин В.В. // ЖЭТФ. 1999. Т. 115. Вып. 6. С. 2113.
[9] Kolokoltsov V., Korolev V., Uchaikin V. Fractional Stable Distributions. Nottingam Trent University, 2000. N23/00.
Журнал технической физики, 2004, том 74, вып.
Книги по разным темам