Книги по разным темам Журнал технической физики, 1998, том 68, № 1 Краткие сообщения 01;07;09 Линейные топологические дефекты в векторных электромагнитных полях й М.О. Сопин Черновицкий государственный университет им. Ю. Федьковича, 274012 Черновцы, Украина (Поступило в Редакцию 8 июня 1996 г.) Рассматривается топологическая структура векторного электромагнитного поля в окрестности точки, где амплитуда поля обращается в нуль. Изучаются линейные топологические дефекты в виде дислокаций волнового фронта и дисклинаций. Показано, что поляризация поля в окрестности нуля амплитуды отлична от исходной. Исследуется структурная устойчивость нулей амплитуды.

1. На тот факт, что фаза волновой функции по самому дополнительному калибровочному условию [7] смыслу определена лишь по модулю 2, обратил вни A = 0, div A = 0. (2), (3) мание П. Дирак еще в 1931 г. Им же был рассмотрен исключительный случай, встречающийся, когда волновая Предлагая гладкость компонент вектор-потенциала и функция обращается в нуль, Ч в таком случае фаза рассматривая для общности случай m-кратного нуля, волновой функции не имеет смысла [1]. В применеамплитуду поля в некоторой окрестности точки нуля нии к линейным скалярным волнам ситуация, в котрой представим в виде фаза неопределена, рассматривалась в [2]. Фазовые сингулярности, являющиеся линиями в пространстве или 3 точками на плоскости, при обходе вокруг которых фаза (1,2) u1,2(x1, x2, x3) = f xj1xj2... xjm. (4) j1 j2... jm испытывает скачок, кратный 2, были названы дислокаj1, j2,..., jm=1 циями волнового фронта. Было показано, что дислокации представляют тонкую структуру волнового поля в (1,2) Здесь f Ч постоянные коэффициенты. Удовлетвоj1 j2... jm смысле выявления ими необычной фазовой топологии рение условиям (2) и (3) приведет к тому, что u1,2 на масштабном уровне, определяемом длиной волны.

окажутся гармоническими функциями двух переменных Нули амплитуд и ассоциированные с ними дислокации x1 и x2. Далее следует различать два случая.

волновых фронтов изучались как в статистических по(1,2) 3. Пусть f Ч комплексные величины. Это позj1 j2... jm лях [3,4], так и в полях, имеющих детерминистскую воляет рассматривать u1,2 как функции комплексного природу [5]. Заметим, что рассмотрение проблемы переменного. Естественным является требование анапроводилось в скалярном приближении. Попытка учета литичности (если переменным считать x1 + ix2) или векторного характера спекл-поля была предпринята в [6].

антианалитичности (когда переменным является x1 -ix2) В настоящей работе мы покажем, что учет векторных этих функций. Таким образом, конструируются два типа свойств электромагнитного поля приводит к новым инлокальных решений, которые в цилиндрической системе тересным результатам, не имеющим места в скалярных координат (,, x3) имеют вид волнах.

2. Итак, рассмотрим волновое монохроматическое электромагнитное поле, обладающее пространственной A = am ei(t-kx3m). (5) неоднородностью. Поместим в некоторую точку про- i странства, где амплитуда поля обращается в нуль, начало Злесь a Ч несущественная для нас комплексная констансистемы координат, направив ось 0X3 вдоль волновота. При этом мы предполагали, что векторы k, E и H го вектора k. В силу волнового характера, векторпопарно ортогональны (E = -A/ct и H = rot A Ч потенциал поля можно выбрать в виде двухкомпонентнапряженности электрического и магнитного полей). Два ной функции типа решений соответствуют состояниям поля с правой u1(x1, x2, x3)eiи левой круговой поляризацией. Фазовые поверхности A = ei(t-kx3). (1) решений представляют собой геликоиды противоположu2(x1, x2, x3)eiной закрутки, причем направление закрутки и характер Здесь 1, 2 Ч некоторые вещественные константы. круговой поляризации жестким образом связаны друг Как обычно, поле подчиняется волновому уравнению и с другом. В силу аналитичности (антианалитичности) Линейные топологические дефекты в векторных электромагнитных полях компонент комплексной амплитуды нуль является изо- в окружность. Введение топологического заряда позволялированной точкой в плоскости x3 = 0, но может описы- ет разбивать множество таких отображений на непересевать некоторую кривую в трехмерном пространстве. Эта кающиеся классы эквивалентности по признаку Q. Такое линейная фазовая сингулярность, являющаяся носителем обособление делает проблему рождения (уничтожения) нуля амплитуды, будет линией винтовой дислокации. топологических дефектов нетривиальной. Тем не менее, Топологически устойчивым решениям отвечают линии, рассматривая слияние двух дислокаций одинаковой сине имеющие ни начала, ни конца. лы, но противоположной закрутки, получим Нетривиальность топологической структуры электроcos m магнитного поля в окрестности нуля видна, если расA+ + A- = 2am ei(t-kx3). (7) смотреть плоское поле градиента фазы w =(1, 2).

- sin m Интегральные траектории такого поля замкнуты и описывают планарные вихри. Топологическим инвариантом Как видно, дислокации, аннигилируя, рождают дисклиявляется величина нацию, имеющую соответствующий порядок нуля. В [4] был указан механизм рождения двух разноименных дислокаций из точки нуля амплитуды. Из нашего примера Q w-2(w1dw2 - w2dw1) =m, следует возможность сопряжения дисклинаций с концами разноименных дислокаций, иначе говоря, дислокации выражающая число оборотов вектора w вокруг точки могут парами рождаться из дисклинаций и оканчиваться нуля [8]. У физиков эта величина получила название на дисклинациях.

топологического заряда и в данном случае может при6. Наконец, сделаем несколько замечаний по поводу нимать целые значения Q = 0 (фон), Q = +1 (моструктурной устойчивости рассмотренных нами нулей нопольный вихрь), Q = +2 (дипольный вихрь) и т. д.

амплитуды векторного электромагнитного поля. НапомКак видно из [5], двум типам решений можно приписать ним, что функция называется структурно устойчивой, разноименные топологические заряды.

если при любых достаточно малых гладких возмущениях (1,2) 4. Пусть f Ч действительные величины. Тогда j1 j2... jm ее критические точки не меняют своего типа [10]. Из вектор-потенциал в окрестности нуля имеет вид уравнения (3) следует, что всегда можно найти гладкую функцию F(x1, x2), такую, что компоненты амплитуды 1 cos m + 2 sin m вектор-потенциала поля будут выражаться через произA = m ei(t-kx3). (6) 2 cos m - 1 sin n водные от этой функции u1 = F/x2, u2 = -F/x1, по-прежнему u3 0. Формально это следует из возможЗдесь 1, 2 Ч несущественные для нас вещественные ности введения в окрестности точки нуля симплектичеконстанты. При этом мы опять требовали выполнения ской структуры, задаваемой 2-формой dx1dx2. В этом условия попарной ортогональности тройки векторов k, случае амплитуда вектор-потенциала записывается в виE и H. Существенным отличием от предыдущего случая де кососимметричного градиента u = s grad F. Нуль амявляется то, что в окрестности такого нуля поляризация плитуды поля, таким образом, является критической точоказывается линейной.

кой функции F(x1, x2). Известно, что критическая точка Нетривиальность топологической структуры электроструктурно устойчива тогда и только тогда, когда она магнитного поля в окрестности нуля видна, если рассмоне вырождена, вырождение нуля в свою очередь опредетреть инвариант ляется рангом матрицы Гессе 2F(0, 0)/xjxk [10].

Нетрудно видеть, что только однократные нули амплитуQ A-2(A1dA2 - A2dA1) =-m. ды являются структурно устойчивыми (функция F имеет морсовский вид), нули высших кратностей этим свойx3, t=const ством не обладают. Другими словами, малое возмущение При m = 1 векторное поле является невырожден- (например, краевых условий) вызывает лишь смещение ным в точке нуля [9]. В этом случае нуль, будучи положения однократного нуля в плоскости x3 = const, изолированной точкой в плоскости x3 = 0, может опи- не разрушая его. Нуль высшей кратности при таком сывать некоторую кривую в трехмерном пространстве. возмущении может разрушаться, что и отмечалось для Топологически устойчивым решениям отвечают линии дислокации в [11].

без начала и конца. Такие линии, где направление век- 7. Таким образом, в пространственно неоднородных тора не определено, называются дисклинациями, они и электромагнитных волновых полях следует различать будут носителями нуля амплитуды в рассматриваемой нули амплитуд, ассоциированные с дислокациями волситуации. Топологический заряд, вообще говоря, может нового фронта, и нули амплитуд, ассоциированные с принимать отрицательные целые значения: Q = 0 (фон), дисклинациями. И те, и другие являются топологически Q = -1 (монопольный заряд), Q = -2 (квадрупольный устойчивыми образованиями, но только однократные нузаряд) и т. д. ли амплитуды обладают свойством структурной устойчи5. Плоское гладкое векторное поле, как известно [9], вости. В этом смысле нули высших кратностей являются задает некоторое непрерывное отображение окружности нетипичными топологическими объектами. Независимо Журнал технической физики, 1998, том 68, № 124 М.О. Сопин от природы поля его поляризационные характеристики в окрестности нуля амплитуды строго определены, причем поляризация оказывается круговой в окрестности нуля одного типа и линейной в окрестности нуля другого типа.

Наличие объектов топологической природы Ч дислокаций и дисклинаций превращает односвязное многообразие в многосвязное. Количественной характеристикой этих линейных дефектов служит некоторый инвариант Ч топологический заряд. Отметим, что в настоящей работе рассматривались локальные свойства поля общего вида.

Размеры окрестности нуля при такой постановке задачи будут определяться характеристическим параметром поля Ч длиной волны. В следующей работе мы покажем, что рассмотренными здесь двумя типами нулей отнюдь не исчерпываются все возможности тонкой структуры электромагнитного волнового поля.

Список литературы [1] Дирак П.А.М. К созданию квантовой теории поля: Основные статьи 1925Ц1958 годов. М.: Наука, 1990. 368 с.

[2] Berry M.V. // Singularities in Waves and Rays. Lections in Les Houches Summer School, 1980. North-Holland Publishing, 1981.

[3] Баранова Н.Б., Зельдович Б.Я. // ЖЭТФ. 1981. Т. 80.

Вып. 5. С. 1789Ц1797.

[4] Баранова Н.Б., Зельдович Б.Я., Мамаев А.В. и др. // ЖЭТФ. 1982. Т. 83. Вып. 5 (11). С. 1702Ц1710.

[5] Розанов Н.Н. // Опт. и спектр. 1993. Т. 75. Вып. 4. С. 861 - 867.

[6] Angelsky O.V., Besaha R.N., Mokhun I.I., Sopin M.O. // Proc. SPIE. 1995. Vol. 2647. P. 75Ц79.

[7] Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теория поля. М.: Наука, 1973.

504 с.

[8] Арнольд В.И. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1975. 240 с.

[9] Милнор Дж., Уоллес А. Дифференциальная топология.

М.: Мир, 1972. 277 с.

[10] Гилмор Р. Прикладная теория катастроф. М.: Мир, 1984.

Т. 1, 2.

[11] Болштянский М.А. // Опт. и спектр. 1995. Т. 79. Вып. 3.

С. 512Ц516.

Журнал технической физики, 1998, том 68, №    Книги по разным темам