Книги по разным темам Журнал технической физики, 2004, том 74, вып. 11 01;07 Прохождение импульсов через границу раздела линейной и резонансной сред й С.Ш. Таджимуратов Физико-технический институт АН Республики Узбекистан, 700084 Ташкент, Республика Узбекистан e-mail: tadjimuratov@yahoo.com (Поступило в Редакцию 1 декабря 2003 г.) Рассмотрена задача о перечении оптическим импульсом границы раздела между линейной и резонансной средами. Получены зависимости параметров прошедших и отраженных волн от параметров падающей волны.

Вычислены амплитуда и скорость прошедшей волны, когда падающая волна имеет солитонную форму.

1. Известно, что задача вычисления параметров от- на границе предложена самосогласованная процедура с раженных и прошедших волн через границу раздела привлечением соотношений метода обратной задачи.

2. Для простоты рассмотрим случай, когда на границу двух сред решается в общем виде только в случае, раздела нормально падает плоская волна с линейной когда среды являются линейными. В случае же, когда поляризацией. Координатную систему выберем таким одна или обе среды являются нелинейными, необходимо образом, чтобы плоскость yOz совпадала с границей каждый конкретный случай нелинейности рассматривать раздела, ось y была параллельна электрическому векотдельно (см., например, [1]).

тору волны E =(0, E, 0), а ось x была направлена в Основной трудностью для решения задачи в общем сторону резонансной среды. При этом магнитное поле виде является различие функциональных форм волн для будет направлено вдоль оси z, H =(0, 0, H).

разных сред, а также сложная зависимость поляризации При этих предположениях из уравнений Максвелла среды от поля. В результате граничные условия не получим граничные условия для электрических и магдают простых соотношений для определения параметров нитных составляющих волн в первой и второй средах волн. Однако если уравнение, описывающее эволюции волны в нелинейной среде, интегрируется с помощью E1(x = 0) =E2(x = 0), метода обратной задачи рассеяния (МОЗР), то в ряде случаев появляется возможность обойти эти трудности. 4 PH1(x = 0) - H2(x = 0) =, (1) Так, в работе [2] задача прохождения импульса через c t резонансную пленку, разделяющую две линейные среды, где P0 Ч поверхностная поляризация на границе резорешена с применением МОЗР. Это достигалось ввенансной среды, c - скорость света в вакууме.

дением дополнительного фиктивного поля с последуюВолны в линейной и резонансной средах и поляризащим приведением уравнений к интегрируемому виду.

цию нелинейной среды представим в виде В работах [3,4] рассматривалась задача, когда обе среды являются нелинейными. Авторы работ [3,4] вычислиE1 = E0(x, t) exp i(k1x - t) ли переходное излучение солитона в предположении, что параметры сред близки. Использование линейно- + Er(x, t) exp -i(k1x + t) + c.c., го подхода при рассмотрении приграничной динамики волн было предложено в работе [5]. Действительно, в приграничном слое из-за малости расстояний можно E2 = Et(x, t) exp i(k2x - t) + c.c., считать, что нелинейные эффекты не успевают развиться и изменение параметров волны можно вычислить в P0 = P0(x, t) exp i(k2x - t) + c.c.. (2) линейном приближении.

В данной работе рассматривается падение импульса Здесь E0, Er, Et и P0 Ч плавные огибающие падающей, из линейной среды на плоскую границу с резонансной отраженной и прошедшей волн и поляризации соотсредой, состоящей из двухуровневых атомов. Извест- ветственно; Ч частота; k1, k2 Чволновые числа в но [6], что такая среда описывается системой уравнений, линейной и резонансной средах. Для плавных огибаюинтегрируемой МОЗР. С помощью приближения плав- щих волн и поляризации, исключая магнитное поле, из ных огибающих получено соотношение для параметров уравнений (1) получим электромагнитных волн. При этом из-за сложной зависиE0 + Er = Et, мости поляризации среды от поля вместо простого алгебраического получается функциональное уравнение. Для k1(E0 - Er ) - k2Et = -4i P0. (3) определения параметров прошедшей и отраженной волн cПрохождение импульсов через границу раздела линейной и резонансной сред В случае резонансной среды, состоящей из двухуров- Мы не будем непосредственно решать (9). Вместо невых атомов для поляризации, имеем [6] этого, рассматривая величины как функционал от E и считая E как вариацию потенциала, найдем изменеP0 = -in0p0, (4) ние как вариацию. Тогда полное решение представится в виде где n0 Ч поверхностная концентрация; p0 Чдипольный момент атомов, угловые скобки означают усреднение по допплеровскому уширению; Ч есть произведение = 0 + + d. (10) амплитуд волновых функций основного 1 и возбужденного 2 состояний атома Здесь есть вектор-столбец =(1, 2)T, индекс T = -212, (5) означает транспонирование, 0 Ч решение при = 0.

При этом в качестве берем функцию с асимптотиками где звездочка означает комплексное сопряжение; 1, определяются из уравнений lim ( ) exp(-i ) =. (11) - -1 + i1 = 2, Вариационные производные можно найти, варьируя уравнения (6) (см., например, [7]), 2 - i2 = - 1. (6) ( - ) = 2( ) 2( )( ) - 2( )( ), Здесь = /e, Ч расстройка частоты, вызE a ванной допплеровским уширением; 2=2n0 p0/ ;

( - ) =(p0/ )Et(, ); = e1/2(x/c); = (t -e1/2x/c);

= 1( ) 1( )( ) - 1( )( ), 2 E a e1/2 Ч линейная часть диэлектрической проницаемости 2 (12) резонансной среды. Для волны в резонансной среде где Ч коэффициент Иоста, используемый в методе имеем уравнение обратной задачи; ( ) Ч ступенчатая функция =. (7) 1 для > 0, ( ) = Уравнения (6), (7) представляют собой замкнутую 0 для < 0.

систему на эволюцию электрического поля в резонансной среде. Как отмечено выше, к ним можно применить Функция есть другое решение (8), определенная МОЗР [6] и решить задачу Коши. При этом начальное асимптотикой условие для этой задачи определяется из уравнений (3).

Из уравнений (3) выразим прошедшую волну через lim ( ) exp(i ) =. (13) падающую волну и поляризацию, исключая отраженную волну, Подставив (12) в (10), для получим выражение (0, ) =0 +. (8) Здесь 0 =(p0/ )E0, = 2e1/2/(e1/2 + e1/2), = = 0 + [0I1 - 0I2]. (14) 1 1 a = 2p0 /(e1/2 + e1/2)c. Из уравнения (8) видно, что, как 1 упомянуто выше, прошедшая волна зависит не только от Здесь падающей волны, но также и от поляризации, которая в свою очередь зависит от Et сложным образом (см. урав I1 =-2 2( )2( ) 12 +1( )1( ) 1 2 d, нения (5), (6)). Далее мы поступим следующим образом:

из функций нулевого приближения 0 находим согласно (5). Подставив в (8), найдем уточненное значение поля (0, ). С его помощью найдем функ2 I2 = -2 2( ) 12 + 1( ) 1 2 d. (15) цию в первом приближении и, повторяя эту самосогласованную процедуру, последовательно уточним.

В соответствии со сказанным подставим (8) в (6) Теперь мы можем найти, а следовательно, прошедшую и отраженную волны. Уравнения (3), (5), (8) и (14) 1 + i1 = 2(0 + ), решают эту задачу в общем виде. В качестве приложе ния рассмотрим случай, когда падающий импульс имеет 2 форму солитона, - i2 = - 1(0 + ), (9) 0 = sech(2t). (16) где 0 = (p0/ )E0, = (p0/ ).

Журнал технической физики, 2004, том 74, вып. 122 С.Ш. Таджимуратов При этом решение системы уравнений (6) при = 0 Таким образом, в настоящей работе выведены соотноесть шения, определяющие профиль и параметры прошедшей i sech(2t) и отраженной волн при падении первичной волны из 0 =.

- i - + 1 tanh(2t) линейной среды на границу резонансной среды. Для случая, когда падающий импульс имеет солитонную форму, Вычислив и подставив в (8), найдем прошедшую вычислены форма и параметры прошедшей волны. Этот волну случай рассмотрен для краткости, рассмотрение других 4 0 случаев также не должно вызывать затруднений.

(0, t) = sech(2t) 1 + th(2t) В заключение автор выражает благодарность Ф.Х. Абдуллаеву и Э.Н. Цою за стимулирующие обсуждения и 2 2 2 2 2 2 3 2 0 2 1 3 - sech2(2t) + - полезные замечания.

2 4 4 Автор также признателен Фонду поддержки фунда2 2 1 0 0 ментальных исследований АН РУз (грант № 15-02) за + i + th(2t) - sech2(2t).

2 2 частичное финансирование.

(17) Здесь Список литературы =, =. (18) 2 + 2 1 2 + [1] Бойко Б.Б., Петров Н.С. Отражение света от усиливающих Как видно, при пересечении границы форма импульи нелинейных сред. Минск: Наука и техника, 1988.

са деформируется и возникнет добавка к фазе. При [2] Рупасов В.И., Юдсон В.И. // ЖЭТФ. 1987. Т. 93. Вып. 2 (8).

дальнейшем движении импульса (17) из него могут С. 494.

образоваться одно- или многосолитонный импульсы.

[3] Абдуллаев Ф.Х., Джангирян Р. // ЖТФ. 1983. Т. 53. Вып. 12.

Считая, что выполнено условие для формирования С. 2307.

односолитонного импульса, вычислим его параметры. [4] Kivchar Y.S., Malomed B.A. // Rev. Mod. Phys., 1989. 61.

P. 763.

Для этого необходимо в рамках МОЗР решить зада[5] Abdullaev F.Kh., Darmanyan S.A., Bussimer P. // Proc.

чу ЗахароваЦШабата на собственные значения, которая Workshop ДOptical solitonsУ / Ed. F.Kh. Abdullaev. Singapure:

имеет вид (11), где вместо надо подставить спектральWorld Scientific, 1990. P. 13Ц20.

ный параметр k, [6] Лэм Дж. Введение в теорию солитонов. М.: Мир, 1980.

[7] Карпман В.И., Маслов В.Е. // ЖЭТФ. 1978. Т. 73. Вып. 2.

1 + ik1 = 2, С. 537.

2 - ik2 = - 1. (19) Комплексное значение параметра k определяет скорость и амплитуду образовавшегося импульса. Мы опять, как и в случае решения системы (9), находим изменение k как вариацию, что дает изменение параметров солитона при пересечении им границы раздела сред. Для разности амплитуд и скоростей падающего и прошедшего солитонов получим выражения 2 4 23 0 2 = + 2, 2 2 2 2 22 2 162 = + -. (20) 3 3 Как видно, амплитуда солитона при пересечении им границы растет. Заметим, что если функция распределения допплеровского уширения является четной функцией, то выражения для разностей амплитуды и скорости упрощаются:

2 4 23 =, 22 =. (21) Журнал технической физики, 2004, том 74, вып.    Книги по разным темам